电磁场课件第一章_矢量分析
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电动力学电磁场与电磁波课件第1章矢量分析
分析和处理电磁场问题的方法 —— 数学处理过程
矢量分析
本课程约定
? 物理量符号上方用“ ? ”或粗斜? 印刷体代表矢量 ，例如电场强度矢量E
? 物理量符号上方用“ ? ”代表单
位矢量，例如e?x,e?y,e?z 分别代表 x，
y，z 方?向的单位矢量， r? 代表位置 矢量 r 的单位矢量
第一章 矢量分析
e??
?
单位圆
x
?e??
??
?
? e?xcos?
? e?ysin?
?
? e?ρ
xy 平面上的投影图
?
矢量表示： A ? e?? A? ? e?? A? ? e?z Az
z
e?z
位置矢
r ? e?? ? ? e??? ? e?z z ???
?
位置矢量 ： r ? e?? ? ? e?zz
? P(?, ?, z) r
场物理量随时间变化。本课程主要讨论随 时间正弦或余弦变化的时变场，称时谐场
标量场（ Scalar Field ）
场物理量是标量，如温度场，电位场等
场矢物量理场量（是矢Ve量c，to如r F电ie场ldE??）r?,t?
2. 三种常用的坐标系
直角坐标系 基本变量： x, y, z
z
? P(x,y,z) r
e?x ? e?x ? e?y ? e?y ? e?z ? e?z ? 0
e?z e?y
e?x ?e?y ? e?y ?e?z ? e?z ?e?x ? 0
e?x
e?x ?e?x ? e?y ?e?y ? e?z ?e?z ? 1
??
? ? e?x e?x e?x
A?B ? AxBx ? AyBy ? Az Bz A ? B ? Ax Ay Az
矢量分析
本课程约定
? 物理量符号上方用“ ? ”或粗斜? 印刷体代表矢量 ，例如电场强度矢量E
? 物理量符号上方用“ ? ”代表单
位矢量，例如e?x,e?y,e?z 分别代表 x，
y，z 方?向的单位矢量， r? 代表位置 矢量 r 的单位矢量
第一章 矢量分析
e??
?
单位圆
x
?e??
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?
? e?xcos?
? e?ysin?
?
? e?ρ
xy 平面上的投影图
?
矢量表示： A ? e?? A? ? e?? A? ? e?z Az
z
e?z
位置矢
r ? e?? ? ? e??? ? e?z z ???
?
位置矢量 ： r ? e?? ? ? e?zz
? P(?, ?, z) r
场物理量随时间变化。本课程主要讨论随 时间正弦或余弦变化的时变场，称时谐场
标量场（ Scalar Field ）
场物理量是标量，如温度场，电位场等
场矢物量理场量（是矢Ve量c，to如r F电ie场ldE??）r?,t?
2. 三种常用的坐标系
直角坐标系 基本变量： x, y, z
z
? P(x,y,z) r
e?x ? e?x ? e?y ? e?y ? e?z ? e?z ? 0
e?z e?y
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A?B ? AxBx ? AyBy ? Az Bz A ? B ? Ax Ay Az
精品课件-电磁场与电磁波-第1章
第1章 矢量分析基础
第1章 矢量分析基础
1.1 矢量分析 1.2 场论 1.3 标量场的方向导数和梯度 1.4 矢量场的通量及散度 1.5 矢量场的环量和旋度 1.6 亥姆霍兹定理 1.7 圆柱坐标系和球坐标系
第1章 矢量分析基础 1.1 矢量分析 矢量分析讨论矢性函数的求导、积分等内容，它是矢量代 数的继续，也是场论的基础。在物理学和工程实际中，许多物 理量本身就是矢量，如电场强度、磁场强度、流体的流动速度、 物质的质量扩散速度及引力等。采用矢量分析研究这些量是很 方便的。有些物理量本身是标量，但是描述它们的空间变化特 性用矢量较为方便。如物体的引力势，描述它的空间变化就需 要用引力。再比如，空间的电位分布，描述其变化采用电场强 度较为方便。
记为
，u 即
l M0
u lim u(M ) u(M0 )
l M0 M M0
M0M
(1-7)
第1章 矢量分析基础 图1-6 梯度和方向导数
第1章 矢量分析基础
2. 方向导数的计算公式
设有向线段l的单位矢量为l°=l/l，这个单位矢量的方
向余弦为(cosα, cosβ, cosγ)，则标量场在某点的方向导
第1章 矢量分析基础
例1-1 若两个点电荷产生的电位 u(x, y, z) kq kAq r r1
为 r x2 y2 z2 r1 ,其(x a)2 y2 z2
中
，
，A、q和k是常数。求
电位等于零的等位面方程。
解 令u＝0，则有1/r=A/r1，即Ar=r1, 左右同时平方, 得
(xA2(x2a+y2+)z22)=(yx2+a)z22+y2+z2A2a 2
若问题的本身就是两个变量的函数，这种情形叫做平面标 量场。此时，标量场一般可以写为u(x，y)。标量场具有相同 数值的点，就组成标量场的等值线，等值线方程为
第1章 矢量分析基础
1.1 矢量分析 1.2 场论 1.3 标量场的方向导数和梯度 1.4 矢量场的通量及散度 1.5 矢量场的环量和旋度 1.6 亥姆霍兹定理 1.7 圆柱坐标系和球坐标系
第1章 矢量分析基础 1.1 矢量分析 矢量分析讨论矢性函数的求导、积分等内容，它是矢量代 数的继续，也是场论的基础。在物理学和工程实际中，许多物 理量本身就是矢量，如电场强度、磁场强度、流体的流动速度、 物质的质量扩散速度及引力等。采用矢量分析研究这些量是很 方便的。有些物理量本身是标量，但是描述它们的空间变化特 性用矢量较为方便。如物体的引力势，描述它的空间变化就需 要用引力。再比如，空间的电位分布，描述其变化采用电场强 度较为方便。
记为
，u 即
l M0
u lim u(M ) u(M0 )
l M0 M M0
M0M
(1-7)
第1章 矢量分析基础 图1-6 梯度和方向导数
第1章 矢量分析基础
2. 方向导数的计算公式
设有向线段l的单位矢量为l°=l/l，这个单位矢量的方
向余弦为(cosα, cosβ, cosγ)，则标量场在某点的方向导
第1章 矢量分析基础
例1-1 若两个点电荷产生的电位 u(x, y, z) kq kAq r r1
为 r x2 y2 z2 r1 ,其(x a)2 y2 z2
中
，
，A、q和k是常数。求
电位等于零的等位面方程。
解 令u＝0，则有1/r=A/r1，即Ar=r1, 左右同时平方, 得
(xA2(x2a+y2+)z22)=(yx2+a)z22+y2+z2A2a 2
若问题的本身就是两个变量的函数，这种情形叫做平面标 量场。此时，标量场一般可以写为u(x，y)。标量场具有相同 数值的点，就组成标量场的等值线，等值线方程为
工学第1章矢量分析课件
Ay
y
方向角与方向余弦： , ,
co sA x, co sA y, co sA z
|A |
|A |
|A |
在直角坐标系中三个矢量加法运算：
• 12.奥斯特的电生磁和法拉第的磁生电奠定了电磁学的基 础。
电磁学理论的完成者——英国的物理学家麦克斯韦（18311879）。麦克斯韦方程组——用最完美的数学形式表达了宏 观电磁学的全部内容 ，从理论上预言了电磁波的存在。
工学第1章矢量分析
三、电磁学应用突飞猛进（19世纪中至今）
• 1866年，德国的西门子发明了使用电磁铁的发电机，为 电力工业开辟了道路。
Ay
y
所以： AAxa ˆxAya ˆyAza ˆz
工学第1章矢量分析
矢量： AAxa ˆxAya ˆyAza ˆz
z
模的计算： |A| Ax2Ay2Az2
Az
A
单位矢量：
a ˆ|A A||A A x|a ˆx|A A y|a ˆy|A A z|a ˆz
o
Ax
cosa ˆxcosa ˆycosa ˆz x
工学第1章矢量分析
• 5. 1785年，法国科学家库仑在实验规律的基础上，提出了 第一个电学定律：库仑定律。使电学研究走上了理论研究的 道路。
• 6. 1820年，由丹麦的科学家奥斯特在课堂上的一次试验中， 发现了电的磁效应，从此将电和磁联系在一起 。
• 7. 1822年，法国科学家安培提出了安培环路定律，将奥斯 特的发现上升为理论。
所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
工学第1章矢量分析
例1：在直角坐标系中，x 方向的大小为 6 的矢量如何表
示？
6 aˆ x
电磁场与电磁波课件第一章 矢量分析
divA lim SA dS V 0 V
第一章 矢量分析
矢量场A的散度可表示为哈密顿微分算子▽与矢量A的标量
积， 即
divA A
A
x
ex
y
ey
z
ez
( Axex
Ayey
Azez )
Ax Ay Az x y z
(A B) A B
(A) A A
第一章 矢量分析
第一章 矢量分析
图 1-3 法线方向的取法
第一章 矢量分析
将曲面S各面元上的A·dS相加，它表示矢量场A穿过整个曲面 S的通量，也称为矢量A在曲面S上的面积分：
SdS SA ndS
如果曲面是一个封闭曲面，则
SA dS
第一章 矢量分析
1.3.2 矢量场的散度
lim SA dS
V 0 V
称此极限为矢量场A在某点的散度，记为divA，即散度的定义式为
grad (uv) vgradu ugradv 或 (uv) vu uv
grad
u v
1 v2
(vgradu
ugradv
或
u v
1 v2
(vu
uv)
grad[ f (u)] f ' (u)gradv 或 [ f (u)] f ' (u)u
第一章 矢量分析
例1-4 设标量函数r是动点M(x, y, z)的矢量r=xex+yey+zez的模，
(x y)2 z 0
或
z (x y)2
第一章 矢量分析
例1-2 求矢量场A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量线方程。 解： 矢量线应满足的微分方程为
dx xy 2
第一章 矢量分析
矢量场A的散度可表示为哈密顿微分算子▽与矢量A的标量
积， 即
divA A
A
x
ex
y
ey
z
ez
( Axex
Ayey
Azez )
Ax Ay Az x y z
(A B) A B
(A) A A
第一章 矢量分析
第一章 矢量分析
图 1-3 法线方向的取法
第一章 矢量分析
将曲面S各面元上的A·dS相加，它表示矢量场A穿过整个曲面 S的通量，也称为矢量A在曲面S上的面积分：
SdS SA ndS
如果曲面是一个封闭曲面，则
SA dS
第一章 矢量分析
1.3.2 矢量场的散度
lim SA dS
V 0 V
称此极限为矢量场A在某点的散度，记为divA，即散度的定义式为
grad (uv) vgradu ugradv 或 (uv) vu uv
grad
u v
1 v2
(vgradu
ugradv
或
u v
1 v2
(vu
uv)
grad[ f (u)] f ' (u)gradv 或 [ f (u)] f ' (u)u
第一章 矢量分析
例1-4 设标量函数r是动点M(x, y, z)的矢量r=xex+yey+zez的模，
(x y)2 z 0
或
z (x y)2
第一章 矢量分析
例1-2 求矢量场A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量线方程。 解： 矢量线应满足的微分方程为
dx xy 2
工学第1章矢量分析ppt课件
x
力的图示法：
F
FN
Ff
FFNFf
G
二、矢量的运算法则
1.加法: 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。
B
C
C
CAB
B
A
A
a.满足交换律： ABBA
b.满足结合律： ( A B ) ( C D ) ( A C ) ( B D )
在直角坐标系下的矢量表示: 三个方向的单位矢量用 aˆ x , aˆ y , aˆ z表示。
• 12.奥斯特的电生磁和法拉第的磁生电奠定了电磁学的基 础。
电磁学理论的完成者——英国的物理学家麦克斯韦（18311879）。麦克斯韦方程组——用最完美的数学形式表达了宏 观电磁学的全部内容 ，从理论上预言了电磁波的存在。
三、电磁学应用突飞猛进（19世纪中至今）
• 1866年，德国的西门子发明了使用电磁铁的发电机， 为电力工业开辟了道路。
动态场也称为时变场。Fra bibliotek第1章 矢量分析
一、矢量和标量的定义 二、矢量的运算法则 三、矢量微分元：线元，面元，体元 四、标量场的梯度 五、矢量场的散度 六、矢量场的旋度 七、重要的场论公式
一、矢量和标量的定义
1.标量：只有大小，没有方向的物理量。 如：温度 T、长度 L 等
2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。
如:力 F、速度 、v 电场 等 E
矢量表示为： A | A| aˆ
其中：|
A
|
为矢量的模，表示该矢量的大小。
为aˆ 单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。
所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
例1：在直角坐标系中，x 方向的大小为 6 的矢量如何表
示？
力的图示法：
F
FN
Ff
FFNFf
G
二、矢量的运算法则
1.加法: 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。
B
C
C
CAB
B
A
A
a.满足交换律： ABBA
b.满足结合律： ( A B ) ( C D ) ( A C ) ( B D )
在直角坐标系下的矢量表示: 三个方向的单位矢量用 aˆ x , aˆ y , aˆ z表示。
• 12.奥斯特的电生磁和法拉第的磁生电奠定了电磁学的基 础。
电磁学理论的完成者——英国的物理学家麦克斯韦（18311879）。麦克斯韦方程组——用最完美的数学形式表达了宏 观电磁学的全部内容 ，从理论上预言了电磁波的存在。
三、电磁学应用突飞猛进（19世纪中至今）
• 1866年，德国的西门子发明了使用电磁铁的发电机， 为电力工业开辟了道路。
动态场也称为时变场。Fra bibliotek第1章 矢量分析
一、矢量和标量的定义 二、矢量的运算法则 三、矢量微分元：线元，面元，体元 四、标量场的梯度 五、矢量场的散度 六、矢量场的旋度 七、重要的场论公式
一、矢量和标量的定义
1.标量：只有大小，没有方向的物理量。 如：温度 T、长度 L 等
2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。
如:力 F、速度 、v 电场 等 E
矢量表示为： A | A| aˆ
其中：|
A
|
为矢量的模，表示该矢量的大小。
为aˆ 单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。
所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
例1：在直角坐标系中，x 方向的大小为 6 的矢量如何表
示？
电子科技大学电磁场与电磁波课件第一章+矢量分析1
思考：计算圆柱、球的表面积、体积？
球坐标系中的线元、面元和体积元
14
线元矢量 d l e d r e r d e r sin d r
面元矢量 2 d S e d l d l e r d d r r rsin
d S e d l d l e r d r d r
A B Ax Bx ex ey Ay By ez Az Bz
A A 矢量 与B 的叉积
叉积仅服从分配律。
9
混合运算： —— 标量三重积 A ( B C ) B ( C A ) C ( A B ) A ( B C ) ( A C ) B ( A B ) C —— 矢量三重积
( A B ) C A C B C —— 分配律 ( A B ) C A C B C —— 分配律
10
1.2 三种常用的正交坐标系
三维空间点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。 正交曲线坐标系：三条正交曲线组成的确定三维空间任意点 位置的体系；
e
ey
ez 0 0 1 ez cos sin 0
e
ey
e
ex
圆柱坐标与 球坐标系
e
sin cos 0
ex
e
o
单位圆
x
直角坐标系与柱坐标系之间 坐标单位矢量的关系
0 0 1
ey
z
ez
er
e
直角坐标与 球坐标系
电磁场第1章
第1章矢量分析及场论 【例1-2】用矢量证明三角形正弦定理。 证明 如图1-8所示，三角形三边分别用矢量A、B、C 表示，根据矢量运算有 因为B×B=0，则有
B=C-A B×C=B×A
B×(C-A)=0,
所以
BC sinα=BA sin(π-γ)
A C = sin α sin γ
第1章矢量分析及场论 同理，可以证明
第1章矢量分析及场论 2）矢量减法 借助于矢量加法运算，矢量减法可以写成
A-B=A+（-B）
（1-6）
-B为矢量B的负值，即-B的模与B相等，但方向相反。 令D=A-B，采用如图1-4所示的作图法，表示从矢量 A中减去矢量B。
第1章矢量分析及场论
图1-4矢量减法
第1章矢量分析及场论 3）矢量加法的代数表示 矢量加法可以用代数表示为
A B = sin α sin β
最后可得
A B C = = sin α sin β sin γ
第1章矢量分析及场论
图1-8矢量三角形
第1章矢量分析及场论 3．三个矢量的乘积 三个矢量的乘积 三个矢量的乘积分为两类：三重标量积和三重矢量积。 1）三重标量积 三重标量积可表示为
A·(B×C)=B·(C×A)=C·(A×B)
图1-2空间位置矢量和距离矢量
第1章矢量分析及场论 1.1.2矢量运算 矢量运算 1．矢量的加法和减法 矢量的加法和减法 矢量的加、减运算遵循四边形法则，即两个不在同一 直线上的矢量决定一个平面，它们的和是同一平面上的另 一矢量。 1）矢量加法 【例1-1】已知矢量A、B，求C=A+B。 解 可以使用作图法得到C=A+B。
dV=dx dy dz
第1章矢量分析及场论 1.2.2圆柱坐标系 圆柱坐标系 圆柱坐标系 如图1-12（a）所示，圆柱坐标系的三个变量是ρ、φ、z。 与直角坐标系相同，圆柱坐标系也有一个z变量。各变量的 变化范围：0≤ρ＜∞,0≤φ＜2π,-∞≤z＜∞。
最新-《电磁场与电磁波》第1章矢量分析-PPT文档资料
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下： z
A B ( A x a ˆ x A y a ˆ y A z a ˆ z ) ( B x a ˆ x B y a ˆ y B z a ˆ z )
o y
x
(A y B z A z B y )a ˆx (A z B x A x B z)a ˆy (A x B y A y B x )a ˆz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
矢量： AAxa ˆxAya ˆyAza ˆz
z
模的计算： |A| Ax2Ay2Az2
Az
A
单位矢量：
a ˆ|A A||A A x|a ˆx|A A y|a ˆy|A A z|a ˆz
o
Ax
cosa ˆxcosa ˆycosa ˆz x
Ay
y
方向角与方向余弦： , ,
2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。
如:力 F 、速度 v 、电场 E 等
矢量表示为： A | A | aˆ
其中：|
A
|
为矢量的模，表示该矢量的大小。
aˆ 为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。
所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
例1：在直角坐标系中， x 方向的大小为 6 的矢量如何表示？
定义： A B C |A ||B ||C |s inc o s hBC A
含义：
C
标量三重积结果为三矢量构成
的平行六面体的体积 。
B
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
V A ( B C ) C ( A B ) B ( C A ) hBC
电磁场(第一章)矢量分析(1)
ˆ + z ( Ax B y − A y B x )
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x × y = z， y × z = x， z × x = y
每一分量都是由两项的差组成； 每一分量都是由两项的差组成； r r A × B = Ax A y Az 每一项的下标不含该分量符号； 每一项的下标不含该分量符号； Bx B y Bz 若每一项由A的分量乘以 的分量， 的分量乘以B的分量 若每一项由 的分量乘以 的分量，则 和的下标顺序是： 和的下标顺序是：x→y→z→x；差的是：z→y→x→z。 ；差的是： 。
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2、散度 、
电磁场理论基础
1.2.3 散度定理（高斯公式） 散度定理（高斯公式）
定理的内容： 定理的内容：矢量场散度的体积分等于该矢量穿 过包围该体积的封闭面的总通量， 过包围该体积的封闭面的总通量，即 r r r ∫∫∫V ∇ ⋅ A d v = ∫∫S A ⋅ d s 点电荷q在离其 在离其r处产生的电通量密度为 例1.1 点电荷 在离其 处产生的电通量密度为 r q r r ˆ ˆ ˆ D= r ， r = xx + yy + zz ， r = x 2 + y 2 + z 2 3 4πr 求任意点处电通量密度的散度，并求穿出以r为半径 求任意点处电通量密度的散度，并求穿出以 为半径 的球面的电通量Ψe。 的球面的电通量 r ˆ ˆ q r ˆ q xx + yy + z z r= 解： D = 3 4π ( x 2 + y 2 + z 2 )3 2 4πr
2
− 2 2 2 5 2 (x + y + z ) 3x2
q r 2 − 3x2 = 4π r5 ∂D y q r2 − 3y2 ∂D z q r 2 − 3z 2 = ， = 5 5 ∂y 4π ∂z 4π r r
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x × y = z， y × z = x， z × x = y
每一分量都是由两项的差组成； 每一分量都是由两项的差组成； r r A × B = Ax A y Az 每一项的下标不含该分量符号； 每一项的下标不含该分量符号； Bx B y Bz 若每一项由A的分量乘以 的分量， 的分量乘以B的分量 若每一项由 的分量乘以 的分量，则 和的下标顺序是： 和的下标顺序是：x→y→z→x；差的是：z→y→x→z。 ；差的是： 。
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2、散度 、
电磁场理论基础
1.2.3 散度定理（高斯公式） 散度定理（高斯公式）
定理的内容： 定理的内容：矢量场散度的体积分等于该矢量穿 过包围该体积的封闭面的总通量， 过包围该体积的封闭面的总通量，即 r r r ∫∫∫V ∇ ⋅ A d v = ∫∫S A ⋅ d s 点电荷q在离其 在离其r处产生的电通量密度为 例1.1 点电荷 在离其 处产生的电通量密度为 r q r r ˆ ˆ ˆ D= r ， r = xx + yy + zz ， r = x 2 + y 2 + z 2 3 4πr 求任意点处电通量密度的散度，并求穿出以r为半径 求任意点处电通量密度的散度，并求穿出以 为半径 的球面的电通量Ψe。 的球面的电通量 r ˆ ˆ q r ˆ q xx + yy + z z r= 解： D = 3 4π ( x 2 + y 2 + z 2 )3 2 4πr
2
− 2 2 2 5 2 (x + y + z ) 3x2
q r 2 − 3x2 = 4π r5 ∂D y q r2 − 3y2 ∂D z q r 2 − 3z 2 = ， = 5 5 ∂y 4π ∂z 4π r r
电磁场理论课件 Chapter 1 矢量分析.
C = A B sinθ
在直角坐标系下，叉积可以表示为：
ex ey ez A× B = Ax Ay Az
Bx By Bz
补充 ：坐标系及单位矢量 矢量的单位矢定义为：
eA =
A A
=
A Ax2 + Ay2 + Az2
1. 直角坐标 直角坐标系由三互相垂直的直线形成。
此三直线称 x 、 y 和 z 轴。三轴线的交点是原点。用单位矢量：ex ，ey ，ez 表征矢量分别沿 x 、 y 和 z 分量的方向。
P17~18： 1.1；1.9；1.12; 1.13; 1.15; 1.16; 1.23 补充： 矢量的表示及运算 矢量：既有大小，又有方向的量称为矢量。
选用适当的坐标系，一个矢量可以由它在各坐标轴上的投影来表示，如图所示：
ex = ax ， ey = ay ， ez = az
矢量的加法和减法 矢量相加和相减就是分别将矢量的各分量相加和相减，如图所示。如
球角坐标系 (r,θ ,ϕ; er , eθ , eϕ )
这三种坐标系的坐标及单位矢量之间的转换关系见附录 1 矢量函数在上述三种坐标系内应有的关系为：
F (r ) = F (x, y, z) = exFx (x, y, z) + ey Fy (x, y, z) + ez Fz (x, y, z) = F (r,α , z) = er Fr (r,α , z) + eα Fα (r,α , z) + ez Fz (r,α , z) = F (r,θ ,ϕ) = er Fr (r,θ ,ϕ) + eθ Fθ (r,θ ,ϕ) + eϕ Fϕ (r,θ ,ϕ)
间坐标（位置）的函数 E(x, y, z) 或 E(r ) ， 其三个坐标分量一般也是 x ， y ， z （或 r ）的函
电磁场课件第一章_矢量分析5
Fy 3
Fy (M
)
Fy z
Δz 2
M
Fz 4
Fz (M )
Fz y
M
Δy 2
z
3C
4
M2
z
y 1
o
y
x
计算 rot x F的示意图
34
于是 故得
F dl
( Fz
Fy )yz
C
y z
rot x F
lim
S 0
F dl
C
S
Fz Fy y z
同理可得
rot y F
Fx z
Fz x
如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无
旋场，又称为保守场。
如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为 有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。电流是 磁场的旋涡源。
32
2. 矢量场的旋度（ F ）
矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源
宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入 矢量场的旋度。
、rot
yF
、rot
z
F
的表达式
推导
rot
x
F
的示意图如图所示。
F dl F dl F dl F dl F dl
C
l1
l2
l13
l4
Fy1Δy Fz2Δz Fy3 (Δy) Fz4 (Δz)
而
Fy1
Fy
(M
)
Fy z
Δz 2
M
Fz 2
Fz
(M
)
Fz y
M
Δy 2
F 0, F 0
39
C F dl S F dS
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( A + B) C = A C + B C —— 分配律
A (B C) = B (C A) = C ( A B) A (B C) = ( AC)B − ( A B)C
—— 标量三重积 —— 矢量三重积
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来 确定。
圆柱坐标系
圆柱坐标系中的线元、面元和体积元
3. 球坐标系
= 0（圆锥面）
坐标变量
r,,
坐标单位矢量 er , e , e
r = r0
（球面）
位置矢量 线元矢量
r = err
dl = erdr + e rd + e rsind
= 0（半平面）
球坐标系
面元矢量
dSr
=
erdl dl
=
er
r
写成行列式形式为
ex ey ez A B = Ax Ay Az
Bx By Bz
A B = −B A
若
A
⊥
B
，则
A B
=
AB
若 A // B ，则 A B = 0
A B
B
AB sin
A
矢量A与B 的叉积
7
（5）矢量的混合运算
( A + B) C = AC + B C —— 分配律
sin cos
0
ey
sin cos
0
e
0 0 1
ez 0 0 1
ez
cos − sin
0
直角坐标与 球坐标系
ex
er sin cos
e − cos sin
e − sin
ey
sin sin cos sin
cos
ez
cos − sin
0
y
e
ey
e
ex
单位圆
o
x
直角坐标系与柱坐标系之间
P
ey
ex
o
点P(x0,y0,z0)
y
y = y0（平面）
x x = x0 （平面）
直角坐标系
z dSz = ezdxdy
dz
dS y = eydxdz
o
dy
dx
dSx = exdydz
y
x
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
2. 圆柱坐标系
坐标变量
,, z
坐标单位矢量 位置矢量
e ,e , ez
r = e + ez z
线元矢量
dl = ed + e d + ezdz
面元矢量
dS
= e dldlz
= e ddz
dS
=
e dl dlz
=
e ddz
dSz = ezdldl = ez dd
体积元
dV = dddz
z = z0（平面）
P(0,0, z0 )
= 0
（圆柱面）
= 0（半平面）
矢量的减法
5
（2）标量乘矢量
kA = exkAx + eykAy + ezkAz
（3）矢量的标积（点积）
A B = AB cos = Ax Bx + Ay By + Az Bz
A B = B A ——矢量的标积符合交换律
B
A
矢量A与 B 的夹角
A⊥B
A B = 0 A // B
Ax = A cos
z
Az
A
Ay
Ax O
y
Ay = A cos
Az = A cos
x
A = A(ex cos + ey cos + ez cos )
eA = ex cos + ey cos + ez cos
2. 矢量的代矢量为邻 B
边的平行四边形的对角线,如图所示。
2020.02.18
本章内容
1.1 矢量代数 1.2 三种常用的正交曲线坐标系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度 1.5 矢量场的环流与旋度 1.6 无旋场与无散场 1.7 拉普拉斯运算与格林定理 1.8 亥姆霍兹定理
2
1. 标量和矢量 标量：一个只用大小描述的物理量。 矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。
矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示
矢量的代数表示：A
=
eA A
=
eA
A
A
矢量的大小或模：A = A
矢量的单位矢量：
eA
=
A A
常矢量：大小和方向均不变的矢量。
矢量的几何表示
注意：单位矢量不一定是常矢量。
矢量用坐标分量表示
A = ex Ax + ey Ay + ez Az
2020.02.2014
r = ex x + ey y + ez z dl = exdx + eydy + ezdz
面元矢量
dSx = exdlydlz = exdydz
dS y
=
e
y
dl
x
dlz
=
eydxdz
dSz = ezdlxdly = ezdxdy
体积元
dV = dxdydz
z
z
=
z0
（ 平面） ez
三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正 交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为 坐标变量。
在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐 标系、圆柱坐标系和球坐标系。
1. 直角坐标系
坐标变量 x, y, z
坐标单位矢量 ex , ey , ez
位置矢量 线元矢量
A+ B
A
在直角坐标系中两矢量的加法和减法：
矢量的加法
A B = ex ( Ax Bx ) + ey ( Ay By ) + ez ( Az Bz )
矢量的加减符合交换律和结合律 交换律 A + B = B + A
B
A
A−B
−B
结合律 A + (B + C) = ( A + B) + C
ex ey = ey ez =ez ex = 0
ex ex = ey ey = ez ez = 1
A B = AB
（4）矢量的矢积（叉积）
A B = en AB sin
用坐标分量表示为
A B = ex ( Ay Bz − Az By ) + ey ( Az Bx − Ax Bz ) + ez ( Ax By − Ay Bx )
2sindd
dS
=
e dlrdl
= ezrsindrd
dS = edlrdl = erdrd
P(r0,0,0 )
体积元
dV = r 2sindrdd
球坐标系中的线元、面元和体积1元2
4. 坐标单位矢量之间的关系
直角坐标与
e
ex
cos
圆柱坐标系 e − sin
ez
0
圆柱坐标与 球坐标系
er e
e
e
坐标单位矢量的关系
z
ez
er
e
单位圆
e
o
柱坐标系与求坐标系之间 坐标单位矢量的关系
本章内容
1.1 矢量代数 1.2 三种常用的正交曲线坐标系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度 1.5 矢量场的环流与旋度 1.6 无旋场与无散场 1.7 拉普拉斯运算与格林定理 1.8 亥姆霍兹定理