专题5.2 数列中的最值问题-2018届高三数学成功在我之优等生提分精品(word版含答案)

专题五 数列

问题二：数列中的最值问题

一、考情分析

数列中的最值是高考热点，常见题型有：求数列的最大项或最小项、与n S 有关的最值、求满足数列的特定条件的n 最值、求满足条件的参数的最值、实际问题中的最值及新定义题型中的最值问题等. 二、经验分享

(1) 数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列． ②用作商比较法，根据

a n ＋1

a n

(a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断．③结合相应函数的图象直观判断． (2) 最大值与最小值：若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1， 则a n 最大；若⎩

⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1， 则a n 最小. (3)求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；②利用等差数列的前n 项和S n ＝An 2

＋Bn (A ，B 为常数)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.另外，对于非等差数列常利用函数的单调性来求其通项或前n 项和的最值. 三、知识拓展

已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，①若0d >，n S 有最小值，若10,0k k a a +<>，则k S 最小，若0k a =则1,k k S S -最小； ①若0d <，n S 有最大值，若10,0k k a a +><，则k S 最大，若0k a =则1,k k S S -最大。 四、题型分析

(一) 求数列的最大项或最小项

求数列中的最大项的基本方法是： (1)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，

a n ≥a n ＋1(n ≥2)确定数列的最大项；(2)利用不等式

组⎩

⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，

a n ≤a n ＋1(n ≥2)确定数列的最小项．(3)利用函数或数列单调性求最大项或最小项. 【例1】已知数列}{n a 的通项公式为n a =

2156

n

n +,求}{n a 的最大项．

【分析】思路1：利用基本不等式求解.思路2：求满足⎩⎨⎧≥≥-+11

n n

n n a a a a 的n 的值.

【解法一】基本不等式法.

n a =

2156

n

n +=

1

156n n

+,因为156n n +≥1562n n ⨯；当且仅当156n n =,即n=156时,

而,144156169<< 且n∈N *

,于是将n=12或13代人,得1213a =a 且最大．

【评注】解法一是是利用基本不等式求解,解法二是通过确定满足⎩⎨

⎧≥≥-+1

1

n n n n a a a a 的n 的值,从而找到最大项

【小试牛刀】在数列{a n }中,a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭

⎪⎫1011n

(n ∈N *

).

(1)求证：数列{a n }先递增,后递减； (2)求数列{a n }的最大项.

【解析】因a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭

⎪⎫1011n

是积幂形式的式子且a n ＞0,所以可用作商法比较a n 与a n －1的大小. (1)证明：令

a n

a n －1

≥1(n ≥2),即（n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n

n ·⎝ ⎛⎭

⎪⎫1011n －1

≥1,整理得

n ＋1n ≥11

10

,解得n ≤10. 令

a n

a n ＋1

≥1,即（n ＋1）⎝ ⎛⎭

⎪⎫1011n

（n ＋2）⎝ ⎛⎭

⎪⎫1011n ＋1

≥1,整理得

n ＋1n ＋2≥10

11

,解得n ≥9. ∴从第1项到第9项递增,从第10项起递减. (2)解：由(1)知a 9＝a 10＝10

10

11

9最大.

【点评】要证明数列{a n }是单调的,可利用“{a n }是递增数列⇔a n ＜a n ＋1,数列{a n }是递减数列⇔a n ＞a n ＋1”来证明.注意数列的单调性是探索数列的最大、最小项及解决其他许多数列问题的重要途径,因此要熟练掌握上

述求数列单调性的方法. (二) 数列前n 项和最值问题

公差不为0的等差数列的前n 项和的最值问题在高考中常出现,题型有小题也有大题,难度不大,求等差 数列前n 项和最值的方法有：(1)利用{a n }中项的单调性,求出其正负转折项．(2)利用二次函数的性质求最

值．公差不为0的等差数列的前n 项和S n ＝An 2

＋Bn (A ,B 为常数)．(3)利用⎩⎪⎨⎪⎧S n ≥S n －1，

S n ≥S n ＋1

求出S n 的最值.

【例2】在等差数列{a n }中,a 1＝7,公差为d ,前n 项和为S n ,当且仅当n ＝8时S n 取最大值,则d 的取值范围是________．

【分析】知a 1和S 8最大,可以求出S n 关于d 的表达式是关于n 的二次函数,再用二次函数的最值来解决；还可用S 8最大推出项的正负和变化规律,并利用所有正数项和最大．

【小试牛刀】【安徽省宿州市2018届高三上学期第一次教学质量检测】在等差数列{}n a 中， 7

6

1a a <-，若它的前n 项和n S 有最大值，则当0n S >时， n 的最大值为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】A

【解析】数列{}n a 为等差数列，若

761a a <-，则766

0a a

a +<，可得0d < 60a ∴>， 760a a +<， 70a <，111620a a a ∴+=>， 110S >

112760a a a a +=+<， 120S <，则当0n S >时， n 的最大值为11，故选A

(三) 求满足数列的特定条件的n 的最值

【例3】【贵州省凯里市第一中学2018届高三下学期一模】已知{}n a 的前n 项和为12n n S m +=+，且

145,,2a a a -成等差数列， ()()

111n n n n a b a a +=

--，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则满足2017

2018n T >的最小