八年级数学《轴对称图形》压轴题训练(含答案)

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八年级数学轴对称解答题综合测试卷(word含答案)

八年级数学轴对称解答题综合测试卷（word含答案）一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1）．（1）请运用所学数学知识构造图形求出AB的长；（2）若Rt△ABC中，点C在坐标轴上，请在备用图1中画出图形，找出所有的点C后不用计算写出你能写出的点C的坐标；（3）在x轴上是否存在点P，使PA=PB且PA+PB最小？若存在，就求出点P的坐标；若不存在，请简要说明理由（在备用图2中画出示意图）．【答案】（1）AB=52）C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、C6（1,0）；（3）不存在这样的点P．【解析】【分析】（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，利用勾股定理即可得出AB；（2）分别以A，B，C为直角顶点作图，然后直接得出符合条件的点的坐标即可；（3）作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB，作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，即x轴上使得PA+PB最小的点，观察作图即可得出答案．【详解】解：（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，由已知可得，BD=4，AD=2．∴在Rt△ABD中，AB=5（2）如图，①以A为直角顶点，过A作l1⊥AB交x轴于C1，交y轴于C2．②以B为直角顶点，过B作l2⊥AB交x轴于C3，交y轴于C4．③以C为直角顶点，以AB为直径作圆交坐标轴于C5、C6、C7．（用三角板画找出也可）由图可知，C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、C6（1,0）．（3）不存在这样的点P．作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB，作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，由图可以看出两线交于第一象限．∴不存在这样的点P．【点睛】本题考查了勾股定理，构造直角三角形，中垂线和轴对称--路径最短问题的综合作图分析，解题的关键是学会分类讨论，学会画好图形解决问题．2．如图，在△ABC中，AB=BC=AC=20 cm．动点P，Q分别从A，B两点同时出发，沿三角形的边匀速运动．已知点P，点Q的速度都是2 cm/s，当点P第一次到达B点时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．（1）∠A=______度；（2）当0＜t＜10，且△APQ为直角三角形时，求t的值；（3）当△APQ为等边三角形时，直接写出t的值．【答案】（1）60；（2）103或203；（3）5或20 【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质即可解答；（2）需分∠APQ=90°和∠AQP=90°两种情况进行解答；（3）需分以下两种情况进行解答：①由∠A=60°，则当AQ=AP 时，△APQ 为等边三角形；②当P 于B 重合，Q 与C 重合时，△APQ 为等边三角形. 【详解】解：（1）60°．（2）∵∠A=60°，当∠APQ=90°时，∠AQP=90°－60°=30°． ∴QA=2PA ．即2022 2.t t -=⨯ 解得 10.3t =当∠AQP=90°时，∠APQ=90°－60°=30°． ∴PA=2QA ．即2(202)2.t t -= 解得 20.3t =∴当0＜t ＜10，且△APQ 为直角三角形时，t 的值为102033或．（3）①由题意得：AP=2t ，AQ=20-2t ∵∠A=60°∴当AQ=AP 时，△APQ 为等边三角形 ∴2t=20-2t ，解得t=5②当P 于B 重合，Q 与C 重合，则所用时间为：4÷2=20 综上，当△APQ 为等边三角形时，t=5或20．【点睛】本题考查了等边三角形和直角三角形的判定以及动点问题，解答的关键在于正确的分类讨论以及对所学知识的灵活应用.3．再读教材:宽与长的比是2(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调,匀称的美感.世界各国许多著名的建筑.为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示; MN=2)第一步,在矩形纸片一端.利用图①的方法折出一个正方形,然后把纸片展平.第二步，如图②.把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.第三步,折出内侧矩形的对角线 AB,并把 AB折到图③中所示的AD处，第四步,展平纸片,按照所得的点D折出 DE,使 DE⊥ND,则图④中就会出现黄金矩形，问题解决:（1）图③中AB=________(保留根号);（2）如图③,判断四边形 BADQ的形状,并说明理由;（3）请写出图④中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由.（4）结合图④.请在矩形 BCDE中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形,用字母表示出来,并写出它的长和宽.【答案】（1）5；(2)见解析;(3)见解析; (4) 见解析.【解析】分析：（1）由勾股定理计算即可；（2）根据菱形的判定方法即可判断；（3）根据黄金矩形的定义即可判断；（4）如图④﹣1中，在矩形BCDE上添加线段GH，使得四边形GCDH为正方形，此时四边形BGHE为所求是黄金矩形．详解：（1）如图3中．在Rt△ABC中，AB=22+=22AC BC+=5．12故答案为5．（2）结论：四边形BADQ是菱形．理由如下：如图③中，∵四边形ACBF是矩形，∴BQ∥AD．∵AB∥DQ，∴四边形ABQD是平行四边形，由翻折可知：AB=AD，∴四边形ABQD是菱形．（3）如图④中，黄金矩形有矩形BCDE，矩形MNDE．∵AD=5．AN=AC=1，CD=AD﹣AC=5﹣1．∵BC=2，∴CDBC=512-，∴矩形BCDE是黄金矩形．∵MNDN=215+=512-，∴矩形MNDE是黄金矩形．（4）如图④﹣1中，在矩形BCDE上添加线段GH，使得四边形GCDH为正方形，此时四边形BGHE为所求是黄金矩形．长GH=5﹣1，宽HE=3﹣5．点睛：本题考查了几何变换综合题、黄金矩形的定义、勾股定理、翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．4．问题探究：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．（1）证明：AD=BE；（2）求∠AEB的度数．问题变式：（3）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．（Ⅰ）请求出∠AEB的度数；（Ⅱ）判断线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）见详解；（2）60°；（3）（Ⅰ）90°；（Ⅱ）AE=BE+2CM，理由见详解.【解析】【分析】（1）由条件△ACB和△DCE均为等边三角形，易证△ACD≌△BCE，从而得到对应边相等，即AD=BE；（2）根据△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC，由点A，D，E在同一直线上，可求出∠ADC=120°，从而可以求出∠AEB的度数；（3）（Ⅰ）首先根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，据此判断出∠ACD=∠BCE；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD≌△BCE，即可判断出BE=AD，∠BEC=∠ADC，进而判断出∠AEB的度数为90°；（Ⅱ）根据DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，可得CM=DM=EM，所以DE=DM+EM=2CM，据此判断出AE=BE+2CM．【详解】解：（1）如图1，∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，AC BCACD BCE CD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE；（2）如图1，∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC，∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE=∠CED=60°，∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=120°，∴∠BEC=120°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°；（3）（Ⅰ）如图2，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∠CDE=∠CED=45°，∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，即∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠BEC=∠ADC，∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=180-45=135°，∴∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°，故答案为：90°；（Ⅱ）如图2，∵∠DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，∴CM=DM=EM，∴DE=DM+EM=2CM，∵△ACD≌△BCE（已证），∴BE=AD，∴AE=AD+DE=BE+2CM，故答案为：AE=BE+2CM．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定方法和性质，等边三角形的性质以及等腰直角三角形的性质的综合应用．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．5．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点 B是 y轴正半轴上一动点，点C、D在 x 正半轴上．（1）如图，若∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，BD、CE 是△ABC的两条角平分线，且BD、CE交于点F，直接写出CF的长_____．（2）如图，△ABD是等边三角形，以线段BC为边在第一象限内作等边△BCQ，连接 QD并延长，交 y轴于点 P，当点 C运动到什么位置时，满足 PD＝23DC？请求出点C的坐标；（3）如图，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在 y轴上运动时，求OP的最小值．【答案】（1）6；（2）C的坐标为（12，0）；（3）3 2 .【解析】【分析】（1）作∠DCH＝10°，CH 交BD 的延长线于H，分别证明△OBD≌△HCD 和△AOB≌△FHC，根据全等三角形的对应边相等解答；（2）证明△CBA≌△QBD，根据全等三角形的性质得到∠BDQ＝∠BAC＝60°，求出CD，得到答案；（3）以OA 为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP 交x 轴于点F．证明点P 在直线EF 上运动，根据垂线段最短解答．【详解】解：（1）作∠DCH＝10°，CH 交 BD 的延长线于 H，∵∠BAO＝60°，∴∠ABO＝30°，∴AB＝2OA＝6，∵∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，∴∠ABC＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∵BD 是△ABC 的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝40°，∴∠CBD＝∠DCB，∠OBD＝40°﹣30°＝10°，∴DB＝DC，在△OBD 和△HCD 中，==OBD HCD DB DC ODC HDC ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩∴△OBD ≌△HCD （ASA ）， ∴OB ＝HC ，在△AOB 和△FHC 中，==ABO FCH OB HC AOB FHC ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩∴△AOB ≌△FHC （ASA ）， ∴CF=AB=6，故答案为6；（2）∵△ABD 和△BCQ 是等边三角形， ∴∠ABD ＝∠CBQ ＝60°， ∴∠ABC ＝∠DBQ ，在△CBA 和△QBD 中，BA BD ABC DBQ BC BQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBA ≌△QBD （SAS ）， ∴∠BDQ ＝∠BAC ＝60°， ∴∠PDO ＝60°， ∴PD ＝2DO ＝6， ∵PD ＝23DC ， ∴DC ＝9，即 OC ＝OD+CD ＝12， ∴点 C 的坐标为（12，0）；（3）如图3，以 OA 为对称轴作等边△ADE ，连接 EP ，并延长 EP 交 x 轴于点F ．由（2）得，△AEP ≌△ADB ， ∴∠AEP ＝∠ADB ＝120°，∴∠OEF ＝60°， ∴OF ＝OA ＝3，∴点P 在直线 EF 上运动，当 OP ⊥EF 时，OP 最小， ∴OP ＝12OF ＝32则OP 的最小值为32．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．6．如图，在平面直角坐标系中，点B 坐标为()6,0-，点A 是y 轴正半轴上一点，且10AB =，点P 是x 轴上位于点B 右侧的一个动点，设点P 的坐标为()0m ,.（1）点A 的坐标为___________；（2）当ABP △是等腰三角形时，求P 点的坐标；（3）如图2，过点P 作PE AB ⊥交线段AB 于点E ，连接OE ，若点A 关于直线OE 的对称点为A '，当点A '恰好落在直线PE 上时，BE =_____________.（直接写出答案）【答案】（1）()0,8；（2）()4,0或()6,0或7,03⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）425【解析】【分析】（1）根据勾股定理可以求出AO 的长，则可得出A 的坐标；（2）分三种情况讨论等腰三角形的情况，得出点P 的坐标；（3）根据PE AB ⊥，点A '在直线PE 上，得到EAG OPG ，利用点A ，A '关于直线OE 对称点，根据对称性，可证'OPG EAO ，可得'8OP OA ，82AP ，设BE x =，则有6AEx ，根据勾股定理，有：22222BP BE EP AP AE 解之即可．【详解】解：（1）∵点B 坐标为6,0，点A 是y 轴正半轴上一点，且10AB =， ∴ABO 是直角三角形，根据勾股定理有： 22221068AO AB BO ，∴点A 的坐标为()0,8；（2）∵ABP △是等腰三角形，当BP AB 时，如图一所示：∴1064OP BP BO ，∴P 点的坐标是()4,0；当AP AB =时，如图二所示：∴6OP BO∴P 点的坐标是()6,0；当AP BP =时，如图三所示：设OP x =，则有6AP x∴根据勾股定理有：222OP AO AP +=即：22286x x解之得：73x = ∴P 点的坐标是7,03；（3）当ABP △是钝角三角形时，点A '不存在；当ABP △是锐角三角形时，如图四示：连接'OA ，∵PE AB ⊥，点A '在直线PE 上，∴AEG △和GOP 是直角三角形，EGA OGP ∴EAG OPG ，∵点A ，A '关于直线OE 对称点，根据对称性，有'8OA OA ，'EA EA ∴'FAO FAO ，'FAE FAE ∴'EAG EAO 则有：'OPGEAO ∴'AOP 是等腰三角形，则有'8OP OA ， ∴22228882AP AO OP ，设BE x ，则有6AEx ，根据勾股定理，有： 22222BP BE EP AP AE 即：2222688210x x 解之得：425BEx 【点睛】本题考查了三角形的综合问题，涉及的知识点有：解方程，等腰三角形的判定与性质，对称等知识点，能分类讨论，熟练运用各性质定理，是解题的关键．7．如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =12BC ，点D 为BC 的中点，AB =DE ，BE ∥AC ．（1）求证：△ABC ≌△DEB ；（2）连结AD 、AE 、CE ，如图2．①求证：CE 是∠ACB 的角平分线；②请判断△ABE 是什么特殊形状的三角形，并说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②△ABE 是等腰三角形，理由详见解析.【解析】【分析】（1）由AC//BE ，∠ACB=90°可得∠DBE=90°，由AC=12BC ，D 是BC 中点可得AC=BD ，利用HL 即可证明△ABC ≌△DEB ；（2）①由（1）得BE=BC ，由等腰直角三角形的性质可得∠BCE=45°，进而可得∠ACE=45°，即可得答案；②根据SAS 可证明△ACE ≌△DCE ，可得AE=DE ，由AB=DE 可得AE=AB 即可证明△ABE 是等腰三角形.【详解】（1）∵∠ACB=90°，BE∥AC∴∠CBE=90°∴△ABC和△DEB都是直角三角形∵AC=12BC，点D为BC的中点∴AC=BD又∵AB=DE∴△ABC≌△DEB（H.L.）（2）①由（1）得：△ABC≌△DEB∴BC=EB又∵∠CBE=90°∴∠BCE=45°∴∠ACE=90°-45°=45°∴∠BCE=∠ACE∴CE是∠ACB的角平分线②△ABE是等腰三角形，理由如下：在△ACE和△DCE中AC DCACE BCECE CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE≌△DCE（SAS）.∴AE=DE又∵AB=DE∴AE=AB∴△ABE是等腰三角形【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判断与性质，熟练掌握判定定理是解题关键.8．如图，已知ABC ∆()AB AC BC <<，请用无刻度直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）：（1）在边BC 上找一点M ，使得：将ABC ∆沿着过点M 的某一条直线折叠，点B 与点C 能重合，请在图①中作出点M ；（2）在边BC 上找一点N ，使得：将ABC ∆沿着过点N 的某一条直线折叠，点B 能落在边AC 上的点D 处，且ND AC ⊥，请在图②中作出点N .【答案】（1）见详解；（2）见详解．【解析】【分析】（1）作线段BC 的垂直平分线，交BC 于点M ，即可；（2）过点B 作BO ⊥BC ，交CA 的延长线于点O ，作∠BOC 的平分线交BC 于点N ，即可．【详解】（1）作线段BC 的垂直平分线，交BC 于点M ，即为所求．点M 如图①所示：（2）过点B 作BO ⊥BC ，交CA 的延长线于点O ，作∠BOC 的平分线交BC 于点N ，即为所求．点N 如图②所示：【点睛】本题主要考查尺规作图，掌握尺规作线段的中垂线和角平分线，是解题的关键．=. 9．已知ABC为等边三角形，E为射线AC上一点，D为射线CB上一点，AD DE=时，AD是ABC的中线吗？请说明（1）如图1，当点E在AC的延长线上且CD CE理由；AB BD AE之间的数量关系，请说明理（2）如图2，当点E在AC的延长线上时，写出,,由；（3）如图3，当点D在线段CB的延长线上，点E在线段AC上时，请直接写出AB BD AE的数量关系.,,+=，理由详见【答案】（1）AD是ABC的中线，理由详见解析；（2）AB BD AE=+.解析；（3）AB AE BD【解析】【分析】（1）利用△ABC是等边三角形及CD=CE可得∠CDE=∠E=30°，利用AD=DE，证明∠CAD=∠E =30°，即可解决问题．（2）在AB上取BH=BD，连接DH，证明AHD≌△DCE得出DH=CE，得出AE=AB+BD，（3）在AB上取AF=AE，连接DF，利用△AFD≌△EFD得出角的关系，得出△BDF是等腰三角形，根据边的关系得出结论AB=BD+AE．【详解】（1）解：如图1，结论：AD是△ABC的中线．理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°，∵CD=CE，∴∠CDE=∠E，∵∠ACD=∠CDE+∠E=60°，∴∠E=30°，∵DA=DE，∴∠DAC=∠E=30°，∵∠BAC=60°，∴∠DAB=∠CAD，∵AB=AC，∴BD=DC，∴AD是△ABC的中线．（2）结论：AB+BD=AE，理由如下：如图2，在AB上取BH=BD，连接DH，∵BH=BD，∠B=60°，∴△BDH为等边三角形，AB-BH=BC-BD，∴∠BHD=60°，BD=DH，AH=DC，∵AD=DE，∴∠E=∠CAD，∴∠BAC-∠CAD=∠ACB-∠E∴∠BAD=∠CDE，∵∠BHD=60°，∠ACB=60°，∴180°-∠BHD=180°-∠ACB,∴∠AHD=∠DCE，∴在△AHD和△DCE，BAD CDEAHD DCEAD DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AHD≌△DCE（AAS），∴DH=CE，∴BD=CE，∴AE=AC+CE=AB+BD．（3）结论：AB=BD+AE，理由如下：如图3，在AB上取AF=AE，连接DF，∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=60°，∴△AFE 是等边三角形，∴∠FAE=∠FEA=∠AFE=60°，∴EF ∥BC ，∴∠EDB=∠DEF ，∵AD=DE ，∴∠DEA=∠DAE ，∴∠DEF=∠DAF ，∵DF=DF ，AF=EF ，在△AFD 和△EFD 中，AD DE DF DF AF EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩, ∴△AFD ≌△EFD （SSS ）∴∠ADF=∠EDF ，∠DAF=∠DEF ，∴∠FDB=∠EDF+∠EDB ，∠DFB=∠DAF+∠ADF ，∵∠EDB=∠DEF ，∴∠FDB=∠DFB ，∴DB=BF ，∵AB=AF+FB ，∴AB=BD+AE ．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线，运用三角形全等找出对应的线段．10．如图1，△ABD ，△ACE 都是等边三角形，（1）求证：△ABE ≌△ADC ；（2）若∠ACD=15°，求∠AEB 的度数；（3）如图2，当△ABD 与△ACE 的位置发生变化，使C 、E 、D 三点在一条直线上，求证：AC ∥BE ．【答案】(1)见解析(2) ∠AEB=15°(3) 见解析【解析】试题分析：（1）由等边三角形的性质可得AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，即可得∠DAC=∠BAE，利用SAS即可判定△ABE≌△ADC；（2）根据全等三角形的性质即可求解；（3）由（1）的方法可证得△ABE≌△ADC，根据全等三角形的性质和等边三角形的性质可得∠AEB=∠ACD =60°，即可得∠AEB=∠EAC，从而得AC∥BE．试题解析：（1）证明：∵△ABD，△ACE都是等边三角形∴AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAC=∠BAE，在△ABE和△ADC中，∴，∴△ABE≌△ADC；（2）由（1）知△ABE≌△ADC，∴∠AEB=∠ACD，∵∠ACD=15°，∴∠AEB=15°；（3）同上可证：△ABE≌△ADC，∴∠AEB=∠ACD，又∵∠ACD=60°，∴∠AEB=60°，∵∠EAC=60°，∴∠AEB=∠EAC，∴AC∥BE．点睛：本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质，证得△ABE≌△ADC 是解决本题的关键.。

苏科版八年级数学上册第二章轴对称图形压轴题练习

2. 在 △ ��中,
,�� = ��,经过点 C 的直线 l 与 AB 平行,点 D 为直线 l 上
的动点(不与点 C 重合),作射线 DA,过点 D 作射线�� ⊥ ��,交直线 BC 于点 E．
(2) 如图 3,若�� ≠ ��,
,
BN 与 AB 的位置关系,并说明理由．
,点 M 在线段 AB 上运动,请判断
7. 如图在等腰▵��中,�� = �� = 20��,�� = 16��,
5. 在 △ ��中,�� = ��,
交直线 BC 于点 Q．
,P 为直线 AC 上一点,过点 A 作�� ⊥ ��于点 D,
(1)如图 1,当 P 在线段 AC 上时,求证：�� = ��；
��→��→��方向运动,且速度为每秒 2cm,它们同时出发,设出发的时间为 t 秒．
(1)出发 2 秒后,求 △ ��的面积；
(2)当点 Q 在边 BC 上运动时,出发几秒钟后, △ ��能形成等腰三角形？
(3)当点 Q 在边 CA 上运动时,求能使 △ ��成为等腰三角形的运动时间．
且在 CM 的下方(沿 CM 顺时针方向)作等腰直角三角形 CMN,

(完整word版)初二轴对称经典习题附答案.doc

.轴对称经典练习附答案11．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是一、选择题12．如图，已知∠AOB=60°，点P 在边O A上，OP=12，点M，N在边O B上，PM=PN，若MN=2，则OM= ．1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点 A 和B 为圆心，以相同的长（大于12AB）为半径作弧，13．已知，如图，O是△ABC的∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于D，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是（）.OE∥AC交BC于E，若BC=10cm，则△ODE 的周长cm ．A ．AD=BDyB．BD=CD C ．∠AOx14．已知等腰△ABC的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是．A=∠BED D ．∠ECD=∠EDC15．如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥O A于点D，PC=4，则PD= ．16．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，以 B 为圆心，BC为半径作弧，分别交AC、AB于点D、E，2．如图，△ABC中，AB=AC=1，2BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E 为AC的中点，连接 D E，则△连接DE，则∠ADE= °．CDE的周长是（）.A．20 B ．12 C ．16 D ．133．如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点 A 的坐标为（1，3），M为坐标轴上一点，且使得17．如图，己知△AB 作等边△BDE（点E、A在BD的同侧）．在点D从点 A 移动至点C的过程中，点E移动的路线长为．△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（）18．已知一个等腰三角形的两边长分别为2 和4，则该等腰三角形的周长A．4 B ．5 C ．6 D ．8是．4．如图，在△ABC中，O B和O C分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，19．如图，AB=AC，FD⊥BC 于D，DE⊥AB 于E，若∠AFD=145°，则∠EDF=若BD+CE＝5，则线段DE的长为( )A ． 5B ． 6C ．7D ．85．如图，在△ ABC 中，BD 平分∠ ABC ，ED ∥BC ，已知 AB=3，AD=1，则△ AED 的周长为（）A ．2B ．3C ．4D ．5度．三、解答题20．如图，在△ABC 中∠BAD ＝15°， AD ＝AC ，C E ⊥AD 于 E ，且 C E ＝5.二、填空题（1）求 BC 的长；6．在同一平面内，已知点 P 在等边△ ABC 外部，且与等边△ ABC（2）求证： BD ＝CD.三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形，则 ∠ APC 的度数为．24．如图，△ ABC中，AC=BC ，∠ACB=120°，点 D 在 AB 边上运动（ D 不与 A 、B 重合），连结 CD ．作∠CDE=30°，DE 交 AC 于点 E ．（1）当D E ∥BC 时，△ ACD 的形状按角分类是直角三角形； 7．如图，在已知的△ ABC 中，按以下步骤作图∶①分别以 B ，C 为圆心，以大于1 2BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点M ，N ；②作直（2）在点 D 的运动过形吗？若可以，请求出∠ AED 的线 MN 交 AB 于点 D ，连接 C D ．若 C D ＝AC ，∠A ＝50°，则∠ ACB ＝．8．如图，在△ ABC 中，∠ A ＝36°，AB ＝AC ，BD 是△ABC 的角平分线．若在边 AB 上截取 BE ＝BC ，连接 DE ，则图中等腰三角形共有个．9．如图，等腰三角形 ABC 中，已知 AB ＝AC ，∠A ＝32°，AB 的垂直平分线交 AC 于 D ，则∠ CBD 的度数为。

专题05 轴对称选填题压轴训练(解析版)-2020-2021学年八年级数学期末复习压轴题训练(人教版

专题05 轴对称选择题压轴练习〔解析版〕选择填空题〔共30小题〕1．如图,A、B是直线CD外两定点,P为直线CD上一动点,当PB﹣P A最大时,∠BPC＝40°．此时∠APC的度数为〔〕A．40°B．80°C．100°D．140°【考点】轴对称﹣最短路线问题．【专题】三角形；平移、旋转与对称；推理水平；应用意识．【解答】解：作A关于直线CD的对称点A′,连接BA′,延长BA′与CD交于点P′,连接AP′,AA′,P A′,那么P A＝P A′,P′A′＝P′A,∵PB﹣P A＝PB﹣P A′≤BA′,∴当P点与P′点重合时,PB﹣P A＝P′B﹣P′A＝P′B﹣P′A′＝A′B的值最大,∵此时,∠BPC＝∠BP′C＝40°．∴此时∠APC＝∠AP′C＝∠A′P′C＝∠BP′C＝40°,应选：A．2．如图是一台球桌面示意图,图中小正方形的边长均相等,黑球放在如下图的位置,经白球撞击后沿箭头方向运动,经桌边反弹最后进入球洞的序号是〔〕A．①B．②C．⑤D．⑥【考点】生活中的轴对称现象．【解答】解：如图,求最后落入①球洞；应选：A．3．如图,等边△ABC,点D为线段BC上一点,以线段DB为边向右侧作△DEB,使DE＝CD,假设∠ADB＝α,∠BDE＝180°﹣2α,那么∠DBE的度数是〔〕A．120°﹣αB．180°﹣2αC．2α﹣90°D．α﹣60°【考点】等边三角形的性质．【专题】三角形；应用意识．【解答】解：连接CE、AE,如图,∵△ABC为等边三角形,∴AC＝BC,∠CAB＝∠ACB＝∠ABC＝60°,∵∠ADB＝α,∠BDE＝180°﹣2α,∴∠ADC＝180°﹣α,∠ADE＝α+180°﹣2α＝180°﹣α,∴∠ADC＝∠ADE,在△ADC和△ADE中,,∴△ADC≌△ADE〔SAS〕,∴AC＝AE,∠CAD＝∠EAD,∵∠ADB＝∠ACD+∠CAD,∴∠CAD＝α﹣60°,∴∠CAE＝2∠CAD＝2α﹣120°,∴∠BAE＝60°﹣〔2α﹣120°〕＝180°﹣2α,∵AB＝AC＝AE,∴∠ABE＝∠AEB＝〔180°﹣∠BAE〕＝[180°﹣〔180°﹣2α〕]＝α,∴∠DBE＝∠ABE﹣∠ABC＝α﹣60°．应选：D．4．如图,在平面直角坐标系中,等边△OBC的边OC在x轴正半轴上,点O为原点,点C坐标为〔12,0〕,D是OB上的动点,过D作DE⊥x轴于点E,过E作EF⊥BC于点F,过F作FG⊥OB于点G．当G与D重合时,点D的坐标为〔〕A．〔1,〕B．〔2,2〕C．〔4,4〕D．〔8,8〕【考点】坐标与图形性质；等边三角形的性质．【专题】三角形．【解答】解：如图,设BG＝x,∵△OBC是等边三角形,∴∠BOC＝∠B＝∠C＝60°,∵DE⊥OC于点E,EF⊥BC于点F,FG⊥OB,∴∠BFG＝∠CEF＝∠ODE＝30°,∴BF＝2x,∴CF＝12﹣2x,∴CE＝2CF＝24﹣4x,∴OE＝12﹣CE＝4x﹣12,∴OD＝2OE＝8x﹣24,当G与D重合时,OD+BG＝OB,∴8x﹣24+x＝12,解得x＝4,∴OD＝8x﹣24＝32﹣24＝8,∴OE＝4,DE＝4,∴D〔4,4〕．应选：C．5．如图,Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝4,BC＝3,点P为AC边上的动点,过点P作PD⊥AB于点D,那么PB+PD的最小值为〔〕A．B．C．5D．【考点】轴对称﹣最短路线问题．【专题】作图题；证实题；数形结合；几何直观；推理水平．【解答】解：作点B关于AC的对称点B’,过点B’作B’D⊥AB于点D,交AC于点P,点P即为所求作的点,此时DP+PB有最小值,连接AB’,根据对称点可知：BP＝B’P,Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝4,BC＝3中,AB＝＝＝5,∵AC＝AC,∠ACB＝∠ACB’＝90°∴△ABC≌△AB’C,∴S△ABB'＝S△ABC+S△AB'C＝2S△ABC,∵S△ABB'＝×AB×B'D,∴×AB×B'D＝2S△ABC,∴×5×B'D＝2××4×3∴B'D＝,DP+PB＝DP+B'P＝,应选：B．6．如图,在四边形ABCD中,DA⊥AB．DA＝6cm,∠B+∠C＝150°．CD与BA的延长线交于E点,A刚好是EB中点,P、Q分别是线段CE、BE上的动点,那么BP+PQ最小值是〔〕A．12B．15C．16D．18【考点】轴对称﹣最短路线问题．【专题】三角形．【解答】解：如图,作点B关于CE的对称点F,连接BF,EF,那么EB＝EF,∵∠B+∠C＝150°,∴∠BEC＝30°,∴∠BEF＝60°,∴△BEF是等边三角形,连接BP,PF,PQ,那么BP＝FP,∴BP+QP＝FP+PQ,∴当F,P,Q在同一直线上且FQ⊥EB时,BP+PQ的最小值为FQ的长,此时,Q为EB的中点,故与A重合,∵DA⊥AB．DA＝6cm,∴AE＝6cm,∴Rt△QEF中,FQ＝AE＝18,∴BP+PQ最小值值为18,应选：D．7．如图,点C、D在线段AB的同侧,CA＝4,AB＝12,BD＝9,M是AB的中点,∠CMD＝120°,那么CD长的最大值是〔〕A．16B．19C．20D．21【考点】线段的性质：两点之间线段最短；轴对称的性质．【专题】三角形；几何直观．【解答】解：如图,作点A关于CM的对称点A′,点B关于DM的对称点B′．∵∠CMD＝120°,∴∠AMC+∠DMB＝60°,∴∠CMA′+∠DMB′＝60°,∴∠A′MB′＝60°,∵MA′＝MB′,∴△A′MB′为等边三角形∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝4+6+9＝19,∴CD的最大值为19,应选：B．8．如图,以平面镜AD和DC为两个侧面的一个黑盒子的另一个侧面BC上开有一个小孔P,一位观察者在盒外沿与BC平行方向走过时,那么通过小孔能几次看到光源S所发出的光线〔〕A．1次B．2次C．3次D．4次【考点】生活中的轴对称现象．【解答】解：有4条：分别是：由S发出的线SP；由S发出,经过AD反射直接通过P的光线；由S发出,经过CD反射直接通过P的光线；由S发出,经过CD反射再经过AD反射通过P的光线．应选：D．9．如图,在等边三角形ABC中,在AC边上取两点M、N,使∠MBN＝30°．假设AM＝m,MN＝x,CN＝n,那么以x,m,n 为边长的三角形的形状为〔〕A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随x,m,n的值而定【考点】等边三角形的性质．【专题】三角形；几何直观；推理水平．【解答】解：将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°,∵∠MBN＝30°,∴∠ABM+∠CBN＝30°,∴∠NBH＝∠CBH+∠CBN＝30°,∴∠NBM＝∠NBH,∵BM＝BH,BN＝BN,∴△NBM≌△NBH,∴MN＝NH＝x,∵∠BCH＝∠A＝60°,CH＝AM＝n,∴∠NCH＝120°,∴x,m,n为边长的三角形△NCH是钝角三角形,应选：C．10．如图,△ABC中,AC＝DC＝3,BD垂直∠BAC的角平分线于D,E为AC的中点,那么图中两个阴影局部面积之差的最大值为〔〕A．1.5B．3C．4.5D．9【考点】等腰三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【解答】解：延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．∵AD⊥BH,∴∠ADB＝∠ADH＝90°,∴∠ABD+∠BAD＝90°,∠H+∠HAD＝90°,∵∠BAD＝∠HAD,∴∠ABD＝∠H,∴AB＝AH,∵AD⊥BH,∴BD＝DH,∵DC＝CA,∴∠CDA＝∠CAD,∵∠CAD+∠H＝90°,∠CDA+∠CDH＝90°,∴∠CDH＝∠H,∴CD＝CH＝AC,∵AE＝EC,∴S△ABE＝S△ABH,S△CDH＝S△ABH,∵S△OBD﹣S△AOE＝S△ADB﹣S△ABE＝S△ADH﹣S△CDH＝S△ACD,∵AC＝CD＝3,∴当DC⊥AC时,△ACD的面积最大,最大面积为×3×3＝．应选：C．11．边长为a的等边三角形,记为第1个等边三角形,取其各边的三等分点,顺次连接得到一个正六边形,记为第1个正六边形,取这个正六边形不相邻的三边中点,顺次连接又得到一个等边三角形,记为第2个等边三角形,取其各边的三等分点,顺次连接又得到一个正六边形,记为第2个正六边形〔如图〕,…,按此方式依次操作,那么第6个正六边形的边长为〔〕A．B．C．D．【考点】等边三角形的判定与性质．【专题】压轴题；规律型．【解答】解：连接AD、DF、DB．∵六边形ABCDEF是正六边形,∴∠ABC＝∠BAF＝∠AFE,AB＝AF,∠E＝∠C＝120°,EF＝DE＝BC＝CD,∴∠EFD＝∠EDF＝∠CBD＝∠BDC＝30°,∵∠AFE＝∠ABC＝120°,∴∠AFD＝∠ABD＝90°,在Rt△ABD和RtAFD中∴Rt△ABD≌Rt△AFD〔HL〕,∴∠BAD＝∠F AD＝×120°＝60°,∴∠F AD+∠AFE＝60°+120°＝180°,∴AD∥EF,∵G、I分别为AF、DE中点,∴GI∥EF∥AD,∴∠FGI＝∠F AD＝60°,∵六边形ABCDEF是正六边形,△QKM是等边三角形,∴∠EDM＝60°＝∠M,∴ED＝EM,同理AF＝QF,即AF＝QF＝EF＝EM,∵等边三角形QKM的边长是a,∴第一个正六边形ABCDEF的边长是a,即等边三角形QKM的边长的,过F作FZ⊥GI于Z,过E作EN⊥GI于N,那么FZ∥EN,∵EF∥GI,∴四边形FZNE是平行四边形,∴EF＝ZN＝a,∵GF＝AF＝×a＝a,∠FGI＝60°〔已证〕,∴∠GFZ＝30°,∴GZ＝GF＝a,同理IN＝a,∴GI＝a+a+a＝a,即第二个等边三角形的边长是a,与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似,可求出第二个正六边形的边长是×a；同理第第三个等边三角形的边长是×a,与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似,可求出第三个正六边形的边长是××a；同理第四个等边三角形的边长是××a,第四个正六边形的边长是×××a；第五个等边三角形的边长是×××a,第五个正六边形的边长是××××a；第六个等边三角形的边长是××××a,第六个正六边形的边长是×××××a,即第六个正六边形的边长是×a,应选：A．12．如图,平面直角坐标系中△AOB是等边三角形,假设A点坐标为〔﹣2,4〕,那么点B的坐标为〔〕A．〔2﹣1,2+〕B．〔,+1〕C．〔,〕D．〔,〕【考点】坐标与图形性质；等边三角形的性质．【专题】三角形．【解答】解：作OC⊥OA交AB的延长线于C,作AE⊥x轴于E,CF⊥x轴于F．∵A〔﹣2,4〕,∴AE＝4,OE＝2,OA＝2,在Rt△AOC中,OC＝OA＝2,∵∠AOE+∠COF＝90°,∠COF+∠OCF＝90°,∴∠AOE＝∠OCF,∵∠AEO＝∠CFO＝90°,∴△AOE∽△OCF,∴＝＝,∴CF＝2,OF＝4,∴C〔4,2〕,∵AC＝2OA,AB＝AO,∴AB＝BC,∴B〔2﹣1,2+〕,应选：A．13．在平面直角坐标系中,长为2的线段CD〔点D在点C右侧〕在x轴上移动,A〔0,2〕,B〔0,4〕,连接AC,BD,那么AC+BD的最小值为〔〕A．2B．2C．6D．3【考点】坐标与图形性质；轴对称﹣最短路线问题．【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；应用意识．【解答】解：设C〔m,0〕,∵CD＝2,∴D〔m+2,0〕,∵A〔0,2〕,B〔0,4〕,∴AC+BD＝+,∴要求AC+BD的最小值,相当于在x轴上找一点P〔n,0〕,使得点P到M〔0,2〕和N〔﹣2,4〕的距离和最小,如图1中,作点M关于x轴的对称点Q,连接NQ交x轴于P′,连接MP′,此时P′M+P′N的值最小,∵N〔﹣2,4〕,Q〔0,﹣2〕P′M+P′N的最小值＝P′N+P′Q＝NQ＝＝2,∴AC+BD的最小值为2．应选：B．14．△ABC中,∠ABC＝97.5°,P、Q两点在AC边上,PB＝2,BQ＝3,PQ＝,假设点M、N分别在边AB、BC上,当四边形PQNM的周长最小时,〔MP+MN+NQ〕2的值为〔〕A．18+8B．24+8C．22+6D．31+【考点】轴对称﹣最短路线问题．【专题】证实题．【解答】解：如图,作点P关于AB的对称点P′,点Q关于BC的对称点Q′,连接P′Q′交AB于M,交BC于N,此时四边形PQNM的周长最小．作PH⊥BQ于H．∴PH2＝PB2﹣BH2＝PQ2﹣HQ2,∴22﹣BH2＝〔〕2﹣〔3﹣BH〕2,解得BH＝,∴PH2＝4﹣2＝2,∴PH＝,∴PH＝BH＝,∴∠PBQ＝45°,∵∠ABP＝∠ABP′,∠CBQ＝∠CBQ′,∴∠P′BQ′＝2〔∠ABC﹣∠PBQ〕+∠PBQ＝2∠ABC﹣∠PBQ＝150°,作Q′K⊥P′B于K．在Rt△BKQ′中,∠KBQ′＝30°,BQ′＝BQ＝3,∴KQ′＝,BK＝,在Rt△P′Q′K中,KP′＝2+,KQ′＝,∴P′Q′2＝〔2+〕2+〔〕2＝22+6,∴〔MP+MN+NQ〕2P′Q′2＝22+6．应选：C．15．如图,∠ABC＝30°,点D、E分别在射线BC、BA上,且BD＝2,BE＝4,点M、N分别是射线BA、BC上的动点,当DM+MN+NE最小时,〔DM+MN+NE〕2的值为〔〕A．20B．26C．32D．36【考点】轴对称﹣最短路线问题．【专题】三角形．【解答】解：如图,作点D关于BA的对称点G,作点E关于BC的对称点H,连接GH交AB有M,交BC有N,连接DM、EN,此时DM+MN+NE的值最小．根据对称的性质可知：BD＝BG＝2,BE＝BH＝4,DM＝GM,EN＝NH,∴DM+MN+NE的最小值为线段GH的长,∵∠ABC＝∠GBM＝∠HBC＝30°,∴∠HBG＝90°,∴GH2＝BG2+BH2＝20,∴当DM+MN+NE最小时,〔DM+MN+NE〕2的值为20,应选：A．16．在△ABC中,∠A＝45°,AC＝8,BD⊥AC,BD＝6,点E为边BC上的一个动点．E1,E2分别为点E关于直线AC,AB 的对称点,连接E1E2,那么线段E1E2长度的最小值是6．【考点】三角形的面积；轴对称的性质．【专题】三角形；平移、旋转与对称；推理水平．【解答】解：如图,连接AE．∵BD⊥AC,∴∠ADB＝90°,∵∠BAC＝45°,∴∠DAB＝∠DBA＝45°,∴AD＝BD＝6,∵E,E2关于AB对称,E,E1关于AC对称,∴∠EAB＝∠E2AB,∠EAC＝∠CAE1,AE＝AE2＝AE2∴∠E2AE1＝90°,∴△AE1E2是等腰直角三角形,∴E2E1＝AE1＝AE,∴AE最小时,E1E2的值最小,根据垂线段最短可知,AE与AD重合时,AE的值最小,最小值＝6,∴E1E2的最小值为6．故答案为：6．17．如图,在△ABC中,∠A＝75°,∠C＝45°,BC＝4,点M是AC边上的动点,点M关于直线AB、BC的对称点分别为P、Q,那么线段PQ长的取值范围是．【考点】轴对称的性质．【专题】平移、旋转与对称．【解答】解：∵∠A＝75°,∠C＝45°,∴∠ABC＝180°﹣75°﹣45°＝60°,连接BP、BQ、BM,过点B作BD⊥PQ于点D,如下图．∵点M关于直线AB、BC的对称点分别为P、Q,∴BP＝BQ＝BM,∠PBA＝∠MBA,∠MBC＝∠QBC,∴∠PBQ＝120°,∵PB＝BQ,∴∠BPQ＝∠BQP＝30°,∴cos30°＝＝,∴PD＝PB,∵BC＝4,∠C＝45°,∴2≤BM≤4,∵BM＝PB,∴2≤PB≤4,∴2≤PD≤4×,即≤PD≤2,∵PQ＝2PD,∴2≤PQ≤4．故答案为：2≤PQ≤4．18．如图,分别以△ABC的边AB,AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE,∠BAC＝150°,线段BD 与CE相交于点O,连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；③OA平分∠BOC；④2EA＝ED；⑤BP＝EQ．其中正确的结论个数为3．【考点】轴对称的性质．【专题】图形的全等；平移、旋转与对称；应用意识．【解答】解：∵△ABD和△ACE是△ABC的轴对称图形,∴∠BAD＝∠CAE＝∠BAC,AB＝AE,AC＝AD,∴∠EAD＝3∠BAC﹣360°＝3×150°﹣360°＝90°,故①正确；∴∠ABE＝∠CAD＝〔360°﹣90°﹣150°〕＝60°,由翻折的性质得,∠AEC＝∠ABD＝∠ABC,又∵∠EPO＝∠BP A,∴∠BOE＝∠BAE＝60°,故②正确；∵△ACE≌△ADB,∴S△ACE＝S△ADB,BD＝CE,∴BD边上的高与CE边上的高相等,即点A到∠BOC两边的距离相等,∴OA平分∠BOC,故③正确；只有当AC＝AB时,∠ADE＝30°,才有EA＝ED,故④错误；在△ABP和△AEQ中,∠ABD＝∠AEC,AB＝AE,∠BAE＝60°,∠EAQ＝90°,∴BP＜EQ,故⑤错误；综上所述,结论正确的选项是①②③．故答案为3．19．：△ABC是三边都不相等的三角形,点P是三个内角平分线的交点,点O是三边垂直平分线的交点,当P、O同时在不等边△ABC的内部时,那么∠BOC和∠BPC的数量关系是：∠BOC＝4∠BPC﹣360°．【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理水平．【解答】解：∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,∴∠PBC＝∠ABC,∠PCB＝∠ACB,∴∠BPC＝180°﹣〔∠PBC+∠PCB〕＝180°﹣〔∠ABC+∠ACB〕＝180°﹣〔∠ABC+∠ACB〕＝180°﹣〔180°﹣∠BAC〕＝90°+∠BAC,即∠BAC＝2∠BPC﹣180°；如图,连接AO．∵点O是这个三角形三边垂直平分线的交点,∴OA＝OB＝OC,∴∠OAB＝∠OBA,∠OAC＝∠OCA,∠OBC＝∠OCB,∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB,∠AOC＝180°﹣2∠OAC,∴∠BOC＝360°﹣〔∠AOB+∠AOC〕＝360°﹣〔180°﹣2∠OAB+180°﹣2∠OAC〕,＝2∠OAB+2∠OAC＝2∠BAC＝2〔2∠BPC﹣180°〕＝4∠BPC﹣360°,故答案为：4∠BPC﹣360°．20．如图,正方形ABCD的边长为5,l是过点A的任意一条直线,点M是点D关于直线l的对称点．连接CM,那么线段CM长度的最大值是5+5．【考点】轴对称的性质．【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；应用意识．【解答】解：如图,连接AC,AM．∵四边形ABCD是正方形,∴∠D＝90°,AD＝CD＝5,∴AC＝5,∵D,M关于直线l对称,∴AM＝AD＝5,∵CM≤AC+AM＝5+5,∴CM的最大值为5+5．21．如图是一个可调节花盆支架,外围是一个圆形框架,如图1,支架AC,BD的长度均为14cm,端点C,D固定在花盆圆形套圈的直径两端,端点A,B可在外围圆形框架上移动,整个花盆支架始终成轴对称,花盆高EF＝15cm,圆形套圈的直径CD＝20cm,且EF被CD平分为上下比为1：2,当端点A,B向上调节至最高时,AC,BD和CD同一直线上〔如图2所示〕,此时,花盆底到圆形框架最低点的距离为FG＝6cm,那么圆形框架的半径为26cm,为了整体美观要求,花盆底到圆形框架最低点的距离FG要最大,那么此时FG为〔16﹣2〕cm．【考点】轴对称的性质．【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；应用意识．【解答】解：如图2中,设圆心为O,连接OG,交花盆的上底于E,交花盆的下底于F,交AB于T．连接OA,设OA＝OG＝r．由题意AB＝AC+CD+BD＝14+20+14＝48〔cm〕,FG＝6cm,TF＝EF＝10〔cm〕,∴TG＝TF+FG＝16〔m〕．在Rt△AOT中,∵OA2＝OT2+AT2,∴r2＝〔r﹣16〕2+242,解得r＝26．如图1中,连接OG交CD于T,连接OC,OB,观察图象可知：当,O,C,A共线,O,D,B共线时,OC＝OD＝26﹣14＝12最小,此时OE的值最小,FG的值最大,在Rt△OCT中,CT＝10,OC＝12,∴OT＝＝＝2〔cm〕,∵TF＝EF＝10〔cm〕,∴FG＝OG﹣OT﹣TF＝26﹣2﹣10＝〔16﹣2〕cm．故答案为26,〔16﹣2〕．22．O点是△ABC的边AB、AC的垂直平分线的交点,P点是∠ABC、∠ACB的平分线的交点,假设3∠BOC＝2∠BPC,那么∠BAC＝36°或〔〕°．【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】分类讨论；三角形．【解答】解：分两种情况：①如下图,当O在△ABC内部时,连接AO,∵O点是△ABC的边AB、AC的垂直平分线的交点,∴AO＝BO＝CO,∴∠ABO＝∠BAO,∠ACO＝∠CAO,∴∠BOC＝∠ABO+∠BAO+∠ACO+∠CAO＝2∠BAC,∵P点是∠ABC、∠ACB的平分线的交点,∴∠PBC＝∠ABC,∠PCB＝∠ACB,∴∠BPC＝180°﹣〔∠PBC+∠PCB〕＝180°﹣〔∠ABC+∠ACB〕＝180°﹣〔180°﹣∠BAC〕＝90°+∠BAC,又∵3∠BOC＝2∠BPC,∴3×2∠BAC＝2〔90°+∠BAC〕,解得∠BAC＝36°；②如下图,当O在△ABC外部时,连接AO,∵O点是△ABC的边AB、AC的垂直平分线的交点,∴AO＝BO＝CO,∴∠ABO＝∠BAO,∠ACO＝∠CAO,∴四边形ABOC中,∠BOC＝360°﹣∠ABO﹣∠BAO﹣∠ACO﹣∠CAO＝360°﹣2∠BAC,∵P点是∠ABC、∠ACB的平分线的交点,∴∠PBC＝∠ABC,∠PCB＝∠ACB,∴∠BPC＝180°﹣〔∠PBC+∠PCB〕＝180°﹣〔∠ABC+∠ACB〕＝180°﹣〔180°﹣∠BAC〕＝90°+∠BAC,又∵3∠BOC＝2∠BPC,∴3×〔360°﹣2∠BAC〕＝2〔90°+∠BAC〕,解得∠BAC＝〔〕°,故答案为：36°或〔〕°．23．如图,在正方形ABCD中,有面积为4的正方形EFGH和面积为2的正方形PQMN,点E、F、P、Q分别在边AB、BC、CD、AD上,点M、N在边HG上,且组成的图形为轴对称图形,那么正方形ABCD的面积为+．【考点】轴对称图形．【专题】矩形菱形正方形．【解答】解：如图,连接BD,交PQ于R,交HG于S,交EF于K,∵正方形ABCD中,有面积为4的正方形EFGH和面积为2的正方形PQMN,∴EH＝EF＝2,MQ＝QP＝,又∵组成的图形为轴对称图形,∴BD为对称轴,∴△BEF、△DPQ为等腰直角三角形,四边形EKSH、四边形MSRQ为矩形,∴EK＝BK＝EF＝1,DR＝QR＝PQ＝,KN＝EH＝2,RS＝MQ＝,∴BD＝1+2++＝3+,∴正方形ABCD的面积＝BD2＝×〔3+〕2＝+,故答案为：+．24．如图,在△ABC中,AB＝AC,AB的中垂线交AB于点D,交BC的延长线于点E,交AC于点F,假设∠A＝50°,AB+BC ＝6,那么△BCF的周长＝6,∠EFC＝40度．【考点】线段垂直平分线的性质．【解答】解：如图：DF垂直且平分AB⇒AF＝BF,AD＝BD,∠A＝∠ABF＝50°,∠ADF＝90°∠EFC＝180°﹣∠A﹣∠ADF＝40°〔对角相等〕由于AB+BC＝6,AB＝AC＝BF+FC故周长△BCF＝FC+BF+BC＝6．故填6；40°．25．四边形ABCD中,∠DAB＝120°,点B在CD垂直平分线上,点F在边AB上,且与点D关于直线AC对称,假设AF ＝3,FB＝2,那么EC＝．【考点】线段垂直平分线的性质；轴对称的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【解答】解：如图,过B作BG⊥AC于点G,BH⊥AD于点H,∵∠DAB＝120°,点F与点D关于直线AC对称,∴∠DAE＝∠F AE＝60°,AC⊥DF,∠BAH＝60°,∠ABH＝30°,又∵AF＝3,FB＝2,∴AH＝AB＝,BH＝,AD＝AF＝3,∴Rt△BDH中,BD＝＝7,又∵点B在CD垂直平分线上,∴BC＝BD＝7,∵Rt△ABG中,∠ABG＝90°﹣60°＝30°,∴AG＝AB＝,BG＝,∴Rt△BCG中,CG＝＝,∴AC＝AG+CG＝8,又∵Rt△AEF中,∠AFE＝90°﹣60°＝30°,∴AE＝AF＝,∴CE＝AC﹣AE＝8﹣＝．故答案为：．26．如图,在Rt△ABC中,∠A＝30°,点D为AB的中点,点E为线段AC上一个动点,连接DE,点F为点B关于DE的对称点,连接BE,EF,DF,假设BC＝2,当△DEF与△DEA的重合局部的面积为△EAB面积的时,AE的长为2．【考点】轴对称的性质．【专题】平移、旋转与对称．【解答】解：设AC与DF交点于G．∵点D为AB的中点,∴S△EDA＝S△EDB＝S△EAB,∵S△EDG＝S△EAB,∴S△EDG＝S△EDA,∴S△EDG＝S△GDA,GE＝GA∵点F为点B关于DE的对称点,∴S△EDF＝S△EDB,∴S△EDF＝S△EDA,∴S△EGF＝S△GDA,又∵S△EDG＝S△GDA,∴S△EDG＝S△EGF,∴GD＝GF,又GE＝GA∴四边形ADEF为平行四边形,∴EF∥AD,EF＝AD,∵点D为AB的中点,即AD＝BD,∴EF＝BD,∴四边形BEFD为平行四边形,又BE＝EF,四边形BEFD为菱形,∴BE＝BD∵∠A＝30°,BC＝2,∴BA＝2BC＝4,BD＝2,∴BE＝BD＝2,∴BE＝BC,即点C、E重合,∴AE＝BC＝2．故答案为2．27．如图,在△ABC中,∠ACB＝45°,点D、A关于直线BC对称,DE⊥AB于点E,CF∥AD,交射线ED于点F,DG⊥CF于点G,假设GF＝AD,S△ABC＝14,那么线段BE的长为．【考点】平行线的性质；轴对称的性质．【专题】三角形．【解答】解：如图,连接CD,由D、A关于直线BC对称,可得AC＝DC,BC⊥AD,∠ACB＝∠DCB＝45°,∵CF∥AD,∴CF⊥BC,即∠BCG＝90°＝∠ACD,∴∠ACB＝∠DCF＝45°,又∵∠E＝90°＝∠BCF,∴∠F+∠CBE＝180°,又∵∠ABC+∠CBE＝180°,∴∠ABC＝∠F,∴△ABC≌△DFC〔AAS〕,∴AB＝DF,设AD＝8x,那么FG＝3x,AC＝DC＝4x,∴Rt△CDG中,DG＝CG＝4x,又∵S△ABC＝S△DFC＝14,∴×7x×4x＝14,∴x＝1,∴DG＝4,GF＝3,AD＝8,∴Rt△DFG中,DF＝5,∴AB＝5,∵∠ADE＝∠F,∠E＝∠DGF,∴△ADE∽△DFG,∴AE＝AD＝,∴BE＝AE﹣AB＝．故答案为：．28．如下图,在△ABC中,∠A＝70°,∠B＝90°,点A关于BC的对称点是A',点B关于AC的对称点是B',点C关于AB 的对称点是C',假设△ABC的面积是,那么△A'B'C'的面积是1．【考点】轴对称的性质．【专题】三角形．【解答】解：如图,连接BB'并延长交A'C'于D交AC于E,连接BA',BC',∵点A关于BC边的对称点为A′,点B关于AC边的对称点为B′,点C关于AB边的对称点为C′,∴AB＝A'B,BC＝BC′,∠ABC＝∠A'BC',AC垂直平分BB',∴△ABC≌△A'BC′〔SAS〕,∴S△ABC＝S△A'BC,∠A＝∠AA'C',∴AC∥A'C',∴BD⊥A'C',∴根据全等三角形对应边上的高相等,可得BD＝BE,∴BD＝BE＝EB',∴S△A'BC′＝S△A'B'C,∴S△ABC＝S△A'B'C,∴△A′B′C′的面积＝3×＝1,故答案为1．29．如图,一束光线从点O射出,照在经过A〔1,0〕、B〔0,1〕的镜面上的点D,经AB反射后,反射光线又照到竖立在y 轴位置的镜面,要使最后y轴再反射的光线恰好通过点A,那么点D的坐标为．【考点】坐标与图形性质；镜面对称．【专题】数形结合．【解答】解：∵点O关于AB的对称点是C〔1,1〕,点A关于y轴的对称点是E〔﹣1,0〕,设AB的解析式为y＝kx+b,∵〔1,0〕,〔0,1〕在直线上,∴,解得k＝﹣1,∴AB的表达式是y＝1﹣x,同理可得CE的表达式是y＝+,两个表达式联立,解得x＝,y＝．故答案为：〔,〕．30．有两面夹角∠AOB＝11°的镜面OA、OB,从一个镜面上P点发射的光线,顺次在点C1,C2,C3…∁n,C反射,当垂直地射到镜面上的C点时,光线就会逆向从原路返回到P点,假设当反射次数n为最大时,那么∠OPC1的大小为2度．【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；镜面对称．【专题】数形结合．【解答】解：光线由O至P在OP上的入射角分别为x,y,z…根据角的转换得到x＝11°,∠C∁n C3＝22°；y＝22°,∠CC n﹣2C3＝44°；z＝44°,∠C3C2C1＝88°；w＝88°,∠C1PB＝176°；∵入射角此时已经不能再大．∴∠OPC1＝〔180°﹣176°〕÷2＝2°,故答案为2．。

八年级数学：轴对称图形与轴对称练习（含答案）

八年级数学：轴对称图形与轴对称练习（含答案）八年级数学：轴对称图形与轴对称练习（含答案）一、选择题（共8小题）1．下列各图,不是轴对称图形的是（）A．B．] C．D．2．下列四句话中的文字有三句具有对称规律,其中没有这种规律的一句是（）A．上海自来水来自海上B．有志者事竞成C．清水池里池水清D．蜜蜂酿蜂蜜3．下列说法错误的是（）A．等边三角形有3条对称轴B．正方形有4条对称轴C．角的对称轴有2条D．圆有无数条对称轴4．如图是经过轴对称变换后所得的图形,与原图形相比（）A．形状没有改变,大小没有改变B．形状没有改变,大小有改变C．形状有改变,大小没有改变D．形状有改变,大小有改变5．观察图形…并判断照此规律从左到右第四个图形是( )A ．B ．C．D．6．把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换,再沿着与这条直线平行的方向平移,我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中,大量地存在这种图形变换（如图1）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质,你认为在滑动对称变换过程中,两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是（）A．对应点连线与对称轴垂直B．对应点连线被对称轴平分C．对应点连线被对称轴垂直平分 D．对应点连线互相平行第5题图第6题图第7题图7．如图,两个三角形关于某条直线成轴对称,其中已知某些边的长度和某些角的度数,则x的度数是（）A．55°B．60°C．65°D．70°8．小华在镜中看到身后墙上的钟,你认为实际时间最接近8点的是（）A．B．C．D．二、填空题（共10小题）9．2011年11月2日,即20111102,正好前后对称,因而被称为“完美对称日”,请你写出本世纪的一个“完美对称日”：_________ ．10．写出一个至少具有2条对称轴的图形名称_________ ．11．如图,在3×3的正方形网格中,已有两个小正方形被涂黑,再将图中的一个小正方形涂黑,所得图案是一个轴对称图形,则涂黑的小正方形可以是_________ （填出所有符合要求的小正方形的标号）12．在轴对称图形中,对应点的连线段被_________ 垂直平分．13．下列图形中,一定是轴对称图形的有_________ ；（填序号）（1）线段（2）三角形（3）圆（4）正方形（5）梯形．14．如图是汽车牌照在水中的倒影,则该车牌照上的数字是_________ ．15．请同学们写出两个具有轴对称性的汉字_________ ．16．如图,国际奥委会会旗上的图案由5个圆环组成．每两个圆环相交的部分叫做曲边四边形,如图所示,从左至右共有8个曲边四边形,分别给它们标上序号．观察图形,我们发现标号为2的曲边四边形（下简称“2”）经过平移能与“6”重合,2又与_________ 成轴对称．（请把能成轴对称的曲边四边形标号都填上）第11题图第14题图第16题图17．如图,长方形ABCD中,长BC=a,宽AB=b,（b＜a＜2b）,四边形ABEH和四边形ECGF都是正方形．当a、b满足的等量关系是_________ 时,图形是一个轴对称图形．18．请利用轴对称性,在下面这组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律,然后在横线上的空白处填上恰当的图形：三、解答题（共5小题）19．判断下列图形是否为轴对称图形？如果是,说出它有几条对称轴．20．如图,五边形ABCDE是轴对称图形,线段AF所在直线为对称轴,找出图中所有相等的线段和相等的角．21．如图,l是该轴对称图形的对称轴．（1）试写出图中二组对应相等的线段：；（2）试写出二组对应相等的角：；（3）线段AB、CD都被直线l ．22．如图是由两个等边三角形（不全等）组成的图形．请你移动其中的一个三角形,使它与另一个三角形组成轴对称图形,并且所构成的图形有尽可能多的对称轴．画出你所构成的图形,它有几条对称轴？23．有一些整数你无论从左往右看,还是从右往左看,数字都是完全一样的,例如：22,131,1991,123321,…,像这样的数,我们叫它“回文数”．回文数实际上是由左右排列对称的自然数构成的,有趣的是,当你遇到一个普通的数（两位以上）,经过一定的计算,可以变成“回文数”,办法很简单：只要将这个数加上它的逆序数就可以了,若一次不成功,反复进行下去,一定能得到一个回文数,比如：①132+231=363②7299+9927=17226,17226+62271=79497,成功了！（1）你能用上述方法,将下列各数“变”成回文数吗？①237 ②362（2）请写出一个四位数,并用上述方法将它变成回文数．参考答案一、选择题（共8小题）1．A 2．B 3．C 4．A 5．D 6．B 7．B 8．D二．填空题（共10小题）9．20011002,20100102（答案不唯一）；10．矩形；11．2,3,4,5,712．对称轴；13．（1）（3）（4）；14．21678 ．；15．甲、由、中、田、日等．；16．1,3,7 ；17．；18.三．解答题（共5小题）19．解：根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形．则（1）（3）（5）（6）（9）不是轴对称图形；（2）（4）有1条对称轴；（7）有4条对称轴；（8）有1条对称轴；（10）有2条对称轴．20．解：相等的线段：AB=AE,CB=DE,CF=DF；相等的角：∠B=∠E,∠C=∠D,∠BAF=∠EAF,∠AFD=∠AFC．21．（1）AC=BD,AE=BE,CF=DF,AO=BO ；（2）∠BAC=∠ABD,∠ACD=∠BDC；（3）垂直平分．22．解：如图,小正三角形再大正三角形的内部,该图形有3条对称轴．23．解：（1）①237+732=969,②362+263=625,（2）1151+1511=2662；。

初二轴对称图形压轴题

轴对称图形1．如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是＿＿＿＿．2．如图，有张村A、李村B、王村C，这三个村庄共建一个水泵站D，使得水泵站D到A、B 两村的距离相等，且使C村到水泵站D的管线最短，试确定水泵站D的位置．3．一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（）A．30海里B．40海里C．50海里D．60海里4．如图，△ABC中，AF平分∠BAC交BC于F，FD⊥AB于D，FE⊥AC于E，求证：AF垂直平分DE．5．如图：在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点．（1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C距离之间的关系；（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，移动中保持AN=BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论．6．（2013•东营）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m 上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E 三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．7．（2013秋•广州校级期中）在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．（1）如图1，△ABC是周长为9的等边三角形，则△AMN的周长Q=；（2）如图2，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时=；（3）点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（2）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明．8．（2011•绍兴）数学课上，李老师出示了如下框中的题目．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况•探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AE DB（填“＞”，“＜”或“=”）．（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．9．（2007•牡丹江）已知四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN 绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），易证AE+CF=EF；当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．课后作业1．某小区有三栋豪华住宅楼，如图所示，A、B、C为三栋住宅楼，它们之间有笔直的小路连接，中间是一块绿地，他们计划在这块地上建一座凉亭，且凉亭到三条道路的距离相等，请你用尺规作出这样的凉亭P的位置．（保留作图痕迹，不写作法）2.在ABC ∆中，,450BM AM ABM ⊥=∠，垂足为M ，点C 是BM 延长线上一点，连接AC .（1）如图1，若,523==BC AB ，求AC 的长；（2）如图2，点D 是线段AM 上一点，MD=MC ，点E 是ABC ∆外一点，EC=AC ，连接ED 并延长交BC 于点F ，且点F 是线段BC 的中点.求证：CEF BDF ∠=∠.。

八年级轴对称练习题及答案

一、单选题1、已知直角三角形中30°角所对的直角边为2 cm，则斜边的长为（）A. 2 cmB. 4 cmC. 6 cmD. 8 cm参考答案: B【思路分析】根据直角三角形的性质，结合题意，斜边为所给边的二倍【解题过程】解：∵直角三角形中30°角所对的直角边为2 cm，∴斜边的长为2×2=4 cm。

故选B。

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任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°。

【解题过程】解：①长方形的每个内角是90°，4个能组成镶嵌；②正方形的每个内角是90°，4个能组成镶嵌；③正五边形每个内角是108°，不能整除360°，不能镶嵌；④正六边形的每个内角是120°，能整除360°，3个能组成镶嵌；故若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖有①②④；故选：C。

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【精选】人教版八年级上册数学轴对称解答题(篇)(Word版含解析)

【精选】人教版八年级上册数学轴对称解答题（篇）（Word 版含解析）一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）1．已知：在平面直角坐标系中，A 为x 轴负半轴上的点，B 为y 轴负半轴上的点.(1)如图1，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt ABC ∆，若2OA =，4OB =，试求C 点的坐标；(2)如图2，若点A 的坐标为()23,0-，点B 的坐标为()0,m -，点D 的纵坐标为n ，以B 为顶点，BA 为腰作等腰Rt ABD ∆.试问：当B 点沿y 轴负半轴向下运动且其他条件都不变时，整式2253m n +-的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；(3)如图3，E 为x 轴负半轴上的一点，且OB OE =，OF EB ⊥于点F ，以OB 为边作等边OBM ∆，连接EM 交OF 于点N ，试探索：在线段EF 、EN 和MN 中，哪条线段等于EM 与ON 的差的一半？请你写出这个等量关系，并加以证明.【答案】(1) C(-6,-2);(2)不发生变化，值为3-3）EN=12(EM-ON)，证明见详解. 【解析】【分析】（1）作CQ ⊥OA 于点Q,可以证明AQC BOA ≅，由QC=AD,AQ=BO,再由条件就可以求出点C 的坐标；（2）作DP ⊥OB 于点P ，可以证明AOB BPD ≅，则有BP=OB-PO=m-(-n)=m+n 为定值，从而可以求出结论2253m n +-3-（3）作BH ⊥EB 于点B ，由条件可以得出∠1=30°,∠2=∠3=∠EMO=15°,∠EOF=∠BMG=45°,EO=BM,可以证明ENO BGM ≅，则GM=ON,就有EM-ON=EM-GM=EG ,最后由平行线分线段成比例定理就可得出EN=12(EM-ON).【详解】（1）如图（1）作CQ ⊥OA 于Q,∴∠AQC=90°,△为等腰直角三角形，∵ABC∴AC=AB,∠CAB=90°,∴∠QAC+∠OAB=90°,∵∠QAC+∠ACQ=90°,∴∠ACQ=∠BAO,又∵AC=AB,∠AQC=∠AOB,≅(AAS),∴AQC BOA∴CQ=AO,AQ=BO,∵OA=2,OB=4,∴CQ=2,AQ=4,∴OQ=6,∴C(-6,-2).(2)如图（2）作DP⊥OB于点P,∴∠BPD=90°,△是等腰直角三角形，∵ABD∴AB=BD,∠ABD=∠ABO+∠OBD=90°,∵∠OBD+∠BDP=90°,∴∠ABO=∠BDP,又∵AB=BD,∠AOB=∠BPD=90°,≅∴AOB BPD∴AO=BP,∵BP=OB-PO=m-(-n)=m+n,∵A ()23,0-,∴OA=23,∴m+n=23,∴当点B 沿y 轴负半轴向下运动时，AO=BP=m+n=23,∴整式2253m n +-的值不变为3-.（3）()12EN EM ON =- 证明：如图（3）所示，在ME 上取一点G 使得MG=ON,连接BG 并延长，交x 轴于H.∵OBM 为等边三角形，∴BO=BM=MO,∠OBM=∠OMB=∠BOM=60°,∴EO=MO,∠EBM=105°,∠1=30°,∵OE=OB,∴OE=OM=BM,∴∠3=∠EMO=15°,∴∠BEM=30°,∠BME=45°,∵OF⊥EB,∴∠EOF=∠BME,∴ENO BGM ≅,∴BG=EN,∵ON=MG,∴∠2=∠3,∴∠2=15°,∴∠EBG=90°,∴BG=12EG, ∴EN=12EG, ∵EG=EM-GM,∴EN=12(EM-GM), ∴EN=12(EM-ON).【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角与内角的关系，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理的运用.2．（1）已知△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）（2）已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．【答案】(1)图形见解析(2) ∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC＝135°－34∠C或∠ABC＝3∠C或∠ABC＝180°－3∠C或∠ABC＝90°，∠C是小于45°的任意锐角．【解析】试题分析：（1）已知角度，要分割成两个等腰三角形，可以运用直角三角形、等腰三角形性质结合三角形内角和定理，先计算出可能的角度，或者先从草图中确认可能的情况，及角度，然后画上．（2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方程，可得出角与角之间的关系．试题解析：(1)如图①②(共有2种不同的分割法)．(2)设∠ABC＝y，∠C＝x，过点B的直线交边AC于点D.在△DBC中，①若∠C是顶角，如图，则∠CBD＝∠CDB＝90°－12x，∠A＝180°－x－y.故∠ADB＝180°－∠CDB＝90°＋12x＞90°，此时只能有∠A＝∠ABD，即180°－x－y＝y－1902x⎛⎫-⎪⎝⎭，∴3x＋4y＝540°，∴∠ABC＝135°－34∠C.②若∠C是底角，第一种情况：如图，当DB＝DC时，∠DB C＝x.在△ABD中，∠ADB＝2x，∠ABD＝y－x.若AB＝AD，则2x＝y－x，此时有y＝3x，∴∠ABC＝3∠C.若AB＝BD，则180°－x－y＝2x，此时有3x＋y＝180°，∴∠ABC＝180°－3∠C.若AD＝BD，则180°－x－y＝y－x，此时有y＝90°，即∠ABC＝90°，∠C为小于45°的任意锐角．第二种情况：如图，当BD＝BC时，∠BDC＝x，∠ADB＝180°－x＞90°，此时只能有AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝12∠BDC＝12∠C＜∠C，这与题设∠C是最小角矛盾．∴当∠C是底角时，BD＝BC不成立．综上所述，∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC＝135°－34∠C或∠ABC＝3∠C或∠ABC＝180°－3∠C或∠ABC＝90°，∠C是小于45°的任意锐角．点睛：本题考查了等腰三角形的性质；第（1）问是计算与作图相结合的探索．本问对学生运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、等腰三角形性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求．第（2）问在第（1）问的基础上，由“特殊”到“一般”，“分类讨论”把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形并结合“方程思想”探究角与角之间的关系．本题不仅趣味性强，创造性强，而且渗透了由“特殊”到“一般”、“分类讨论”、“方程思想”、“转化思想”等数学思想，是一道不可多得的好题．3．（1）如图①，D是等边△ABC的边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边，在BC上方作等边△DCF，连接AF，你能发现AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论；（2）如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；（3）Ⅰ.如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方和下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF，BF′，探究AF，BF′与AB有何数量关系？并证明你的探究的结论；Ⅱ．如图④，当动点D在等边△ABC的边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．【答案】（1）AF=BD，理由见解析；（2）AF与BD在（1）中的结论成立，理由见解析；（3）Ⅰ. AF+BF′=AB，理由见解析，Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF=AB+BF′，理由见解析．【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质得BC=AC，∠BCA=60°，DC=CF，∠DCF=60°，从而得∠BCD=∠ACF，根据SAS证明△BCD≌△ACF，进而即可得到结论；（2）根据SAS证明△BCD≌△ACF，进而即可得到结论；（3）Ⅰ．易证△BCD≌△ACF（SAS），△BCF′≌△ACD（SAS），进而即可得到结论；Ⅱ．证明△BCF′≌△ACD，结合AF=BD，即可得到结论．【详解】（1）结论：AF=BD，理由如下：如图1中，∵△ABC 是等边三角形，∴BC =AC ，∠BCA =60°，同理知，DC =CF ，∠DCF =60°，∴∠BCA -∠DCA =∠DCF -∠DCA ，即：∠BCD =∠ACF ，在△BCD 和△ACF 中，∵BC AC BCD ACF DC FC =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴△BCD ≌△ACF （SAS ），∴BD =AF ；（2）AF 与BD 在（1）中的结论成立，理由如下：如图2中，∵△ABC 是等边三角形，∴BC =AC ，∠BCA =60°，同理知，DC =CF ，∠DCF =60°，∴∠BCA +∠DCA =∠DCF +∠DCA ，即∠BCD =∠ACF ，在△BCD 和△ACF 中，∵BC AC BCD ACF DC FC =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴△BCD ≌△ACF （SAS ），∴BD =AF ；（3）Ⅰ．AF +BF ′=AB ，理由如下：由（1）知，△BCD ≌△ACF （SAS ），则BD =AF ；同理：△BCF ′≌△ACD （SAS ），则BF ′=AD ，∴AF +BF ′=BD +AD =AB ；Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF =AB +BF ′，理由如下：同理可得：BCF ACD ∠=∠′，F C DC =′，在△BCF ′和△ACD 中，BC AC BCF ACD F C DC =∠⎧⎪=∠=⎪⎨⎩′′， ∴△BCF ′≌△ACD （SAS ），∴BF ′=AD ，又由（2）知，AF =BD ，∴AF =BD =AB +AD =AB +BF ′，即AF =AB +BF ′．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质定理，三角形全等的判定和性质定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质定理，是解题的关键．4．在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE=DA(如图1)．(1)求证：∠BAD=∠EDC；(2)若点E关于直线BC的对称点为M(如图2)，连接DM，AM．求证：DA=AM．【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出∠BAC=∠ACB=60°，然后根据三角形的内角和和外角性质，进行计算即可.（2）根据轴对称的性质，可得DM=DA，然后结合（1）可得∠MDC=∠BAD，然后根据三角形的内角和，求出∠ADM=60°即可.【详解】解：(1)如图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，∴∠BAD=60°﹣∠DAE，∠EDC=60°﹣∠E，又∵DE=DA，∴∠E=∠DAE，∴∠BAD=∠EDC．(2)由轴对称可得，DM=DE，∠EDC=∠MDC，∵DE=DA，∴DM=DA，由(1)可得，∠BAD=∠EDC，∴∠MDC=∠BAD，∵△ABD中，∠BAD+∠ADB=180°﹣∠B=120°，∴∠MDC+∠ADB=120°，∴∠ADM=60°，∴△ADM是等边三角形，∴AD=AM．【点睛】本题主要考察了轴对称和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质.5．如果一个三角形能被一条线段割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．（1）如图1，ABC ∆是等腰锐角三角形，()AB AC AB BC =>，若ABC ∠的角平分线BD 交AC 于点D ，且BD 是ABC ∆的一条特异线，则BDC ∠= 度．（2）如图2，ABC ∆中，2B C ∠=∠，线段AC 的垂直平分线交AC 于点D ，交BC 于点E ，求证：AE 是ABC ∆的一条特异线；（3）如图3，若ABC ∆是特异三角形，30A ∠=，B 为钝角，不写过程，直接写出所有可能的B 的度数．【答案】（1）72；（2）证明见解析；（3）∠B 度数为：135°、112.5°或140°.【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质得出∠C=∠ABC=∠BDC=2∠A ，据此进一步利用三角形内角和定理列出方程求解即可；（2）通过证明△ABE 与△AEC 为等腰三角形求解即可；（3）根据题意分当BD 为特异线、AD 为特异线以及CD 为特异线三种情况分类讨论即可.【详解】（1）∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC ， ∵BD 是△ABC 的一条特异线，∴△ABD 与△BCD 为等腰三角形，∴AD=BD=BC ，∴∠A=∠ABD ，∠C=∠BDC ，∴∠ABC=∠C=∠BDC ，∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A ，设∠A=x ，则∠C=∠ABC=∠BDC=2x ，在△ABC 中，∠A+∠ABC+∠C=180°，即：x+2x+2x=180°，∴x=36°，∴∠BDC=72°，故答案为：72；（2）∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA=EC，∴△EAC为等腰三角形，∴∠EAC=∠C，∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，∵∠B=2∠C，∴∠AEB=∠B，∴△EAB为等腰三角形，∴AE是△ABC的一条特异线；（3）如图3，当BD是特异线时，如果AB=BD=DC，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=120°+15°=135°；如果AD=AC，DB=DC，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=75°+37.5°=112.5°；如果AD=DB，DC=DB，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+60°=90°，不符合题意，舍去；如图4，当AD是特异线时，AB=BD，AD=DC，则：∠ABC=180°−20°−20°=140°；当CD为特异线时，不符合题意；综上所述，∠B度数为：135°、112.5°或140°.【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.6．如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．（1）求∠CAM的度数；（2）若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC；（3）当动D在直线．．AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由．【答案】（1）30°；（2）答案见解析；（3）∠AOB是定值，∠AOB＝60°．【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，由等式的性质就可以∠BCE＝∠ACD，根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC；（3）分情况讨论：当点D在线段AM上时，如图1，由（2）可知△ACD≌△BCE，就可以求出结论；当点D在线段AM的延长线上时，如图2，可以得出△ACD≌△BCE而有∠CBE＝∠CAD＝30°而得出结论；当点D在线段MA的延长线上时，如图3，通过得出△ACD≌△BCE同样可以得出结论．【详解】（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°．∵线段AM为BC边上的中线，∴∠CAM12=∠BAC，∴∠CAM＝∠BAM＝30°．（2）∵△ABC与△DEC都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE，∴∠ACD ＝∠BCE．在△ADC和△BEC中，∵AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△BCE（SAS）；（3）∠AOB是定值，∠AOB＝60°．理由如下：①当点D在线段AM上时，如图1，由（2）可知△ACD≌△BCE，则∠CBE＝∠CAD＝30°，又∠ABC ＝60°，∴∠CBE +∠ABC ＝60°+30°＝90°．∵△ABC 是等边三角形，线段AM 为BC 边上的中线，∴AM 平分∠BAC ，即11603022BAM BAC ∠∠==⨯︒=︒，∴∠BOA ＝90°﹣30°＝60°．②当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2．∵△ABC 与△DEC 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB +∠DCB ＝∠DCB +∠DCE ，∴∠ACD ＝∠BCE ．在△ACD 和△BCE 中，∵AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴∠CBE ＝∠CAD ＝30°．由（1）得：∠BAM ＝30°，∴∠BOA ＝90°﹣30°＝60°．③当点D 在线段MA 的延长线上时．∵△ABC 与△DEC 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACD +∠ACE ＝∠BCE +∠ACE ＝60°，∴∠ACD ＝∠BCE ．在△ACD 和△BCE 中，∵AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴∠CBE ＝∠CAD ．由（1）得：∠CAM ＝30°，∴∠CBE ＝∠CAD ＝150°，∴∠CBO ＝30°，∠BAM ＝30°，∴∠BOA ＝90°﹣30°＝60°．综上所述：当动点D 在直线AM 上时，∠AOB 是定值，∠AOB ＝60°．【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．7．如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的高，D是AM上的点，以CD为一边，在CD的下方作等边△CDE，连结BE．（1）填空：∠ACB=____；∠CAM=____；（2）求证：△AOC≌△BEC；（3）延长BE交射线AM于点F，请把图形补充完整，并求∠BFM的度数；（4）当动点D在射线AM上，且在BC下方时，设直线BE与直线AM的交点为F．∠BFM 的大小是否发生变化？若不变，请在备用图中面出图形，井直接写出∠BFM的度数；若变化，请写出变化规律．【答案】（1）60°，30°；（2）答案见解析；（3）60°；（4）∠BFM＝60°．【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质即可进行解答；（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由等式的性质就可以∠BCE=∠ACD，根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC；（3）补全图形，由△ADC≌△BEC得∠CAM=∠CBE=30°,由三角形内角和定理即可求得∠BFM的度数；（4）画出相应图形，可知当点D在线段AM的延长线上且在BC下方时，如图，可以得出△ACD≌△BCE，进而得到∠CBE=∠CAD=30°，据此得出结论．【详解】(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°；∴线段AM为BC边上的高，∴∠CAM=12∠BAC=30°，故答案为60，30°；（2）∵△ABC与△DEC都是等边三角形，∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，∴∠ACD=∠BCE.在△ADC和△BEC中，AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△BCE(SAS)；（3）补全图形如下：由（1）（2）得∠CAM=30°，△ADC≌△BEC，∴∠CBE=∠CAM=30°，∵∠BMF=90°，∴∠BFM=60°；（4）当动点D在射线AM上，且在BC下方时，画出图形如下：∵△ABC与△DEC都是等边三角形，∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴∠CBE=∠CAD=30°，又∵∠AMC=∠BMO，∴∠AOB=∠ACB=60°.即动点D在射线AM上时,∠AOB为定值60°.【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键.解题时注意：全等三角形的对应角相等，等边三角形的三个内角都相等，等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.8．如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP=α（0°<α<60°），点A关于射线CP 的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE.（1）求∠DBC的大小（用含α的代数式表示）；（2）在α（0°<α<60°）的变化过程中，∠AEB的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请直接写出∠AEB的大小；（3）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明.【答案】（1）∠DBC60α=︒-；（2）∠AEB的大小不会发生变化，且∠AEB=60°；（3）BD=2AE+CE，证明见解析.【解析】【分析】（1）如图1，连接CD，由轴对称的性质可得AC=DC，∠DCP=∠ACP=α，由△ABC是等边三角形可得AC=BC，∠ACB=60°，进一步即得∠BCD=602α︒+，BC=DC，然后利用三角形的内角和定理即可求出结果；（2）设AC、BD相交于点H，如图2，由轴对称的性质可证明△ACE≌△DCE，可得∠CAE=∠CDE，进而得∠DBC=∠CAE，然后根据三角形的内角和可得∠AEB=∠BCA，即可作出判断；（3）如图3，在BD上取一点M，使得CM=CE，先利用三角形的外角性质得出∠BEC60=︒，进而得△CME是等边三角形，可得∠MCE=60°，ME=CE，然后利用角的和差关系可得∠BCM=∠DCE，再根据SAS证明△BCM≌△DCE，于是BM=DE，进一步即可得出线段AE，BD，CE之间的数量关系.【详解】解：（1）如图1，连接CD，∵点A关于射线CP的对称点为点D，∴AC=DC，∠DCP=∠ACP=α，∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∴∠BCD=602α︒+，BC=DC，∴∠DBC=∠BDC()1806021806022BCDαα︒-︒+︒-∠===︒-；（2）∠AEB 的大小不会发生变化，且∠AEB =60°.理由：设AC 、BD 相交于点H ，如图2，∵点A 关于射线CP 的对称点为点D ，∴AC=DC ，AE=DE ，又∵CE=CE ，∴△ACE ≌△DCE （SSS ），∴∠CAE =∠CDE ，∵∠DBC =∠BDC ，∴∠DBC =∠CAE ，又∵∠BHC =∠AHE ，∴∠AEB =∠BCA =60°，即∠AEB 的大小不会发生变化，且∠AEB =60°；（3）AE ，BD ，CE 之间的数量关系是：BD =2AE +CE .证明：如图3，在BD 上取一点M ，使得CM=CE ，∵∠BEC =∠BDC +∠DCE =6060αα︒-+=︒，∴△CME 是等边三角形，∴∠MCE =60°，ME=CE ，∴60260BCM BCD MCE DCE ααα∠=∠-∠-∠=︒+-︒-=，∴∠BCM =∠DCE ，又∵BC=DC ，CM=CE ，∴△BCM ≌△DCE （SAS ），∴BM=DE ，∵AE=DE ，∴BD=BM+ME+DE =2DE+ME =2AE+CE .【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和轴对称的性质等知识，熟练掌握并运用上述知识解题的关键.9．数学课上，张老师举了下面的例题：例1 等腰三角形ABC 中，110A ∠=，求B 的度数.（答案：35）例2 等腰三角形ABC 中，40A ∠=，求B 的度数.（答案：40或70或100）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下两题：变式1: 等腰三角形ABC 中，∠A=100°，求B 的度数.变式2: 等腰三角形ABC 中，∠A= 45° ，求B 的度数.（1）请你解答以上两道变式题.（2）解（1）后，小敏发现，A ∠的度数不同，得到B 的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形ABC 中，设A x ∠=，当B 只有一个度数时，请你探索x 的取值范围.【答案】（1）变式1: 40°；变式2: 90°或67.5°或45°；（2）90°≤＜180°或x=60°【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，分类讨论，即可得到答案；(2)在等腰三角形ABC 中，当B 只有一个度数时，A ∠只能作为顶角时，或∠A=60°，进而可得到答案.【详解】变式1:∵等腰三角形ABC 中，∠A=100°，∴∠A 为顶角，∠B 为底角，∴∠B =1801002-=40°；变式2: ∵等腰三角形ABC 中，∠A= 45° ，∴当AB=BC 时，∠B =90° ，当AB=AC 时， ∠B =67.5° ，当BC=AC 时 ∠B =45° ；（2）等腰三角形ABC 中，设A x ∠=，当90°≤x ＜180°，∠A 为顶角，此时，B 只有一个度数，当x=60°时，三角形ABC 是等边三角形，此时，B 只有一个度数，综上所述：90°≤x ＜180°或x=60°【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，分类讨论思想的应用，是解题的关键.10．如图1，△ABD ，△ACE 都是等边三角形，（1）求证：△ABE ≌△ADC ；（2）若∠ACD=15°，求∠AEB 的度数；（3）如图2，当△ABD 与△ACE 的位置发生变化，使C 、E 、D 三点在一条直线上，求证：AC∥BE．【答案】(1)见解析(2) ∠AEB=15°(3) 见解析【解析】试题分析：（1）由等边三角形的性质可得AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，即可得∠DAC=∠BAE，利用SAS即可判定△ABE≌△ADC；（2）根据全等三角形的性质即可求解；（3）由（1）的方法可证得△ABE≌△ADC，根据全等三角形的性质和等边三角形的性质可得∠AEB=∠ACD =60°，即可得∠AEB=∠EAC，从而得AC∥BE．试题解析：（1）证明：∵△ABD，△ACE都是等边三角形∴AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAC=∠BAE，在△ABE和△ADC中，∴，∴△ABE≌△ADC；（2）由（1）知△ABE≌△ADC，∴∠AEB=∠ACD，∵∠ACD=15°，∴∠AEB=15°；（3）同上可证：△ABE≌△ADC，∴∠AEB=∠ACD，又∵∠ACD=60°，∴∠AEB=60°，∵∠EAC=60°，∴∠AEB=∠EAC，∴AC∥BE．点睛：本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质，证得△ABE≌△ADC 是解决本题的关键.。

轴对称图形初二数学练习题

轴对称图形初二数学练习题轴对称图形是初中数学中的重要概念之一，它在几何图形中起到了重要的作用。

本文将为大家提供一些轴对称图形的初二数学练习题，帮助学生们巩固和提高对轴对称图形的理解和运用能力。

1. 问题一下图是一个轴对称图形，请找出它的轴对称线，并将其标出来。

（如下图）解析：在给定的图形中，轴对称线可以通过观察对称性直接找到。

我们可以发现，图形中心的垂直线是一个轴对称线，将图形对折后，两边完全重合。

因此，这个图形的轴对称线是垂直中心线。

2. 问题二下图是一个轴对称图形，请你画出它的轴对称图形，标出轴对称线。

（如下图）解析：对于这个问题，我们可以通过折纸法来确定轴对称图形。

我们首先将图形沿着其中一条对称线对折，然后观察对折后的图形是否和原图完全重合。

如果是，那么对折线就是轴对称线；如果不是，则需要再尝试另一条对称线。

在这个例子中，我们可以发现将图形沿着垂直中心线对折后，对折后的图形和原图完全重合，因此垂直中心线是这个图形的轴对称线。

3. 问题三下图是一个轴对称图形，请找出它的所有轴对称线，并将其标出来。

（如下图）解析：对于这个问题，我们需要仔细观察图形，找出所有的轴对称线。

在这个例子中，我们可以发现图形有两条垂直中心线和两条水平中心线，这四条线都是图形的轴对称线。

因此，这个图形共有四条轴对称线。

通过以上三个练习题，我们可以看到轴对称图形的特点和规律。

在解决问题时，我们需要仔细观察图形的对称性，并利用折纸法等方法找出轴对称线。

掌握了轴对称图形的基本概念和应用，对于初二数学的学习和日常生活都有很大的帮助。

总结：本文为大家提供了几个轴对称图形的初二数学练习题，帮助学生们巩固和提高对轴对称图形的理解和运用能力。

通过练习题，我们可以更好地掌握轴对称图形的特点和规律，提升数学解题能力。

希望本文对大家的学习有所帮助。

初中数学八年级对称轴经典题型练习题(附有答案)

初中数学八年级对称轴专题训练练习题一、单选题1. 如图，在△ABD中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，∠B＝20°，AD＝AC，∠ADC的度数为（）A .35°B .40°C .70°D .95°2. 如图，等腰△ABC中，AB=AC= 8，BC=5，直线MN垂直平分AB交AC于D，连接BD，则△BCD的周长等于（）A .7B .9C .11D .133.如图所示，直角△ABC≌直角△AED，点E是线段BC的中点，∠C = 25°，则∠AED的度数是（ )A .40°B .45°C .65°D .70°4. 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=AC，AD⊥BC于D，BC=10，点F是AB 的中点，点E在AD边上，则BE+EF的最小值是( )A .5B .5√3C .10D .3√65. 如图，菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB的最小值是( )A .2B .4C .2D .2√36. 等腰△ABC中，AB=AC，若∠B=68°，则∠A的度数是（）A .44°B .88°C .102°D .144°7. 等腰三角形的两边长为3和7，则周长是（）A .12B .13C .13或17D .178.如图，四边形 ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，BD是对角线，AD=6，∠ACD=90°DC=3，则四边形ABCD的面积为（）A .4√3B .5√3C .7√3D .9√39.如图，矩形ABCD中，点O是对角线的交点,若OD＝2OE,AE＝3√3，AE⊥BD，垂足为E．则DE的长为（）A .9B .9√3C .10D .10√310.如图，在△ABC中，AB=10，BC=16，AC=14，BF、CF分别平分∠ABC和∠ACB，过点F作EG∥BC分别交于点AB、AC于点E、G．则△AEG的周长为（）A .20B .22C .24D .3011.等腰三角形一腰上的高与底边所夹的角（）A .等于顶角B .等于顶角的一半C .等于顶角的2倍D .等于底角的一半12. 如图，在△ABC中，∠C＝55°，将△ABC绕着点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且点C′在BC上，则∠B′C′B的度数为（）A .40°B .45°C .65°D .70°13. 已知CE⊥AB于E，AB=AD+2BE，AC平分∠DAB，则下列结论：①CD=CB；②2AE=AB+AD；③S△ACE=S△BCE+S△ADC；④∠DAB+∠DCB=180°．其中正确结论的个数是( )A .1个B .2个C .3个D .4个14.如图，在△ABC中，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是15cm，AC＝8cm，则BC的长为（）A .6B .7C .8D .915. 如图，正方形ABCD中，在BA延长线上取一点E，使BE=BD，连接DE，则∠EDA的度数为（）A .8°B .12°C .15°D .22.5°16. 等腰三角形ABC中∠A =22°，则∠B的度数为( )A .22°B .22°或68°C .22°或136°或79°D .22°或68°或136°(x＞0)的图象上，则点B 17. 如图，已知正三角形AOB的顶点A在函数y= √3x的坐标为（）A (2, 0)B (√3, 0)C ( 4, 0)D (2√3, 0)18. 如图，在等腰△ABC 中，AB＝AC，BO、CO 分别平分∠ABC，∠ACB，DE 经过点 O，且 DE∥BC，DE 分别交 AB，AC 于 D，E，则图中等腰三角形的个数为( )A .4B .5C .6D .719. 如图，在三角形ABC中，AB＝11cm，BC＝7cm.DE是AC边的垂直平分线，那△BEC的周长是（）A .19cmB .18cmC .17cmD .16cm20.如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝120°，在BC，CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（）A .90°B .100°C .120°D .110°二、解答题21. 已知：如图，D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC,且DE=DF．求证：△ABC是等腰三角形．22. 如图，AB＝AC＝AD，∠BAC＝24°，且AD∥BC，求∠D的度数.23. 如图，AC=AB，DC=DB，AD与BC相交于O．（1）求证：△ACD≌△ABD；（2）求证：AD垂直平分BC．参考答案1、【答案】B∠ADC=2∠B=40°2、【答案】D△BCD 的周长=(BD+DC)+BC=(AD+DC)+BC=AC+BC=8+5=133、【答案】C4、【答案】BBE+EF 的最小值是是高AD=5【答案】过E 点作AC 的垂线，交AD 于E /，交AC 于F ，连接E /B 交AC 于P ,,E /B 则就是PE+PB 最小值，因为菱形边长为4，∠BAD=60°，所以，对角线AC=4, BD=4EF= OB ÷2=BD ÷4=4÷4=1∵EF ∥OB ，E 为AB 的中点∴OF=AF=AO ÷2=AC ÷4=∵△E /PF ∽△OBO∴FP:PO=1:2即：FP=OF ÷3=/3勾股定理：E /P ²=FP ²+E /F ²E /P ²=（/3）²+1²=4/3E /P=2/3E /B=3E /P=2故：PE+PB 最小值=E /B=26、【答案】A33333337、【答案】D8、【答案】D在RT △ACD 中，AC=3， △ACD 面积=AC ×CD ÷2=9/2 等边三角形ABC 面积=9/2 四边形ABCD 的面积=99、【答案】A10、【答案】C ∵EF ∥AC ，BF 平分∠AB ∴∠FBE=∠EBF∴BE=BF同理：FG=CG△AEG 的周长=AE+EF+FG+EG=AB+AC=10+24=24故选C11、【答案】B12、【答案】D∵C ′是由C 旋转来的， ∴AC ′=AC 3333∵OD ＝2OE∴BO=2OE则，E 为BE 的中点，又AE ⊥BD ∴AB=AO ，∴AB=AC/2,又△ABC 是直角三角形∴∠ACB=30°又∵∠ADB=∠ACB=30°∴在直角三角形AED 中，DE=3AE=9故选A∴∠AC′C＝∠C＝55°又∵B′C′A=∠C＝55°故：∠B′C′B=180°-55°-55°=70°13、【答案】C在AB上取一点F，使得CF=BC，∵CE⊥AB∴CF=CB又∵AC平分∠DAB∴△ADC≌△ACF故：AF=ADDC=CF=CB故①正确AE=AF+FE=AD+BE两边同时乘以2，得：2AE=2AD+2BE-----（1）又∵AB=AD+2BE-------（2）（1）-（2）得：2AE-AB=AD即：2AE=AB+AD故②正确∵△ADC≌△AFC，△FEC≌△BEC∴S△ACE=S△BCE+S△ADC故③正确∵A、B、C、D四点不共圆∴∠DAB+∠DCB≠180°故选C14、【答案】B∵MN垂直平分线AB∴BN=AN△BCN的周长=BN+BC+NC=AN+NC+BC=AC+BC8+BC=15BC=7故选B15、【答案】D取ED 的中点为F ，连接BF∵BE=BD∴BF 是等腰三角形BED 的高即BF ⊥BE又∵AD ⊥AE∴∠EDA=∠ABF=∠ABD/2=45°/2=22.5°故选D16、【答案】C（1）当A 为底角=22°①B 为底角=22°②B 为顶角角=136° （2）当A 为顶角=22° B 为底角=79° 故选C17、【答案】A.(2，0)B .(3，0)C .(23，0)D .(33，0)设B （2a ，0），A 的横坐标=aA 的纵坐标=3aA 在函数y=3 上即：3a解得：a=1故：B （2，0）选A18、【答案】C等腰三角形△ABC 、△BOD,△EOC,△ADE,△BOC,共5个选C19、【答案】∵DE是AC边的垂直平分线∴AE=CE△BEC的周长=BE+EC+BC=AE+BE+BC=AB+BC=11+7=18故选B20、【答案】D21、证明连接AD，DE⊥AB，DF⊥AC,且DE=DF．∴△AED≌AEF∴AD是∠A的平分线又D为DC中点，故△ABC是等腰三角形22、【答案】AB＝AC则三角形ABC为等腰三角形∠BAC＝24°则∠C＝78°∵AD∥BC∴∠CAD=∠C＝78°则∠BAD=∠CAD+∠BAC=78°+24°=102°∵AB＝AD∴∠D=(180°-102°)÷2=39°23、【答案】（1）∵AC=AB，DC=DB又AD=AD∴△ACD≌△ABD（2）∵△ACD≌△ABD∴∠ADC=∠ADB∴AD是∠CDB的平分线又△CDB是等腰三角形∴AD是的CB高故：AD垂直平分BC。

八年级数学上册轴对称解答题(培优篇)(Word版含解析)

八年级数学上册轴对称解答题（培优篇）（Word版含解析）一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）1.如图1, ZiABC 中，AB=AC・ ZBAC = 905, D、E 分别在BC、AC 边上，连接AD、BE 相交于点F,且ZCAD =丄ZABE.2⑵如图2,连接CF,若EF = EC,求ZCFD的度数：(3)如图3,在⑵的条件下,若AE = 3,求BF的长.【答案】(1)答案见详解：(2)45。

，(3)4.【解析】【分析】(1)设ZCAD二x,则ZABE=2x, ZBAF二90° -x, ZAFB=180° -2x-(90° -x)= 90° -x,进而得到ZBAF二ZAFB,即可得到结论：(2)由ZAEB=90°-2x t进而得到ZEFC= (90°-2x) +2=45。

-x,由BF=AB,可得：ZEFD=ZBFA=90° 根据ZCFD=ZEFD-ZEFC> 即可求解；⑶设EF=EC二x,则AOAE+EC二3+x・可得BE二BF+EF=3+x+x=3+2x,根据勾股左理列出方程，即可求解.【详解】(1)设ZCAD二x,1VZCAD=-ZABE, ZBAC=90S2AZABE=2x, ZBAF=90° -x,V ZABE+ZBAF+ZAFB=180° ,A ZAFB=180° -2x-(90° ・x)= 90° %AZBAF=ZAFB t•••BF = AB；VAB=AC,ABF = AC：(2)由(1)可知：ZCAD二x, ZABE二2x, ZBAC=90^,•••ZAEB=90°-2x,VEF = EC,AZEFC=ZECF,•/ Z EFC+ Z ECF= ZAEB=90°-2x,AZEFC= (90°-2x) -2=45° -x,VBF=AB,AZBFA=ZBAF=(180a -ZABE)-s-2=(180° -2x)-s-2=90° -x,AZEFD=ZBFA=90° ・x,A ZCFD=ZEFD-ZEFC=(90° -x) -(45。

第二章轴对称图形(压轴题专练)(解析版)

第二章轴对称图形（压轴题专练）一、三角形综合应用（选择压轴）H Q 为等腰直角BCD △斜边BC 的中点，DH BC \^，即90GHB Ð=°，又BE Q 平分ABC Ð，GM BD ^，GM GH \=，又BD BH >Q ，BDG BGH S S \>V V ，又ABE CBE≌QV V ABE CBE S S \=V V ，ABE BDG ADGE S S S \=-V V 四边形，CBE BGH GHCE S S S =-V V 四边形，ADGE GHCE S S \<四边形四边形，故④错误；⑤18090HBG BGH GHB Ð+Ð=°-Ð=°，18090DBF DFG BDF Ð+Ð=°-Ð=°，HBG DBF Ð=Ð，BGH DFG \Ð=Ð，又BGH DGF Ð=ÐQ ，DGF DFG \Ð=Ð，DGF \V 为等腰三角形，故⑤正确．\正确的为①②③⑤，共计4个，故选：C ．2．如图，已知ABC V 中高AD 恰好平分边BC ，30B Ð=°，点P 是BA 延长线上一动点，点O 是线段AD 上一动点，且OP OC =，下面的结论：AB AC=Q，AD BC^，BD CD \=，12 BADÐ=ÐOB OC\=，90ABCÐ=18060PAE BAC Ð=°-Ð=°Q ，AE PA =，APE \V 是等边三角形，60PEA APE \Ð=Ð=°，PE PA =，60APO OPE \Ð+Ð=°，60OPE CPE CPO Ð+Ð=Ð=°Q ，APO CPE \Ð=Ð，在OPA D 和CPE D 中，PA PE APO CPE OP CP =ìïÐ=Ðíï=î，(SAS)OPA CPE \V V ≌，AO CE \=，AB AC AE CE AO AP \==+=+；故①正确；OPC Q △是等边三角形，OP OC PC \==，∴2OP OC PC +=，∴当CP AB ^时，OP OC +的值最小，此时CP AB ≠；故②错误；OPC Q △是等边三角形，60OCP \Ð=°，30APO DCO Ð+Ð=°Q ，\90APO PCB Ð+Ð=°，故③正确；过点C 作CH AB ^于H ，60PAC DAC Ð=Ð=°Q ，AD BC ^，CH CD \=，∴BD CE =，AEF ADF Ð=Ð，故①②符合题意；设BD 与AC 交于点G ，∵BAD CAE ≌△△，∴ABF ACF Ð=Ð，∵90ABF BGA Ð+Ð=°，BGA CGF Ð=Ð，∴90ACF CGF Ð+Ð=°，∴90CFG Ð=°，即BD CE ^，故③符合题意；分别过A 作AM BD ^，AN CE ^垂足分别为M 、N ，∵BAD CAE ≌△△，∴AM AN =，∴FA 平分BFE Ð，∴BFA EFA Ð=Ð，若AF 平分CAD Ð，∴CAF DAF Ð=Ð，∴BAF EAF Ð=Ð，而FA FA =，∴BAF EAF V V ≌，∴AB AE =，与题干条件互相矛盾，故④不符合题意；∵FA 平分BFE Ð，BF CF ^，∴45AFE Ð=°，故⑤符合题意．综上，正确的是①②③⑤，故选：D ．4．如图，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，120BAC Ð=°，AD BC ^于点D ，点P 是CA 的延长线上一点，点O 在AD 的延长线上，OP OB =，下面的结论：①30APO OBD Ð-Ð=°；②BPO △是正三角形；③AB AP AO -=；④2BOC AOBP S S =四边形△其中正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【答案】A 【分析】如图，设AB 交OP 于点J ．由OB OP OC ==，推出APO ABO Ð=Ð，推出60PAB POB Ð=Ð=°，可证①②正确，延长AO 到T ，使得AT AB =，证明(SAS)PBA OBT △≌△，推出PA OT =，可得③正确，推出四边形AOBP 的面积是定值，可得④错误．【详解】解：设AB 交OP 于点J ，如图所示：AB AC =Q ，AD BC ^，BD DC \=，OB OC \=，OP OB =Q ，OP OB OC \==，OPC OCP ACB OCB \Ð=Ð=Ð+Ð，OCB OBC Ð=Ð，AB AC =Q ，120BAC Ð=°，30ABC ACB \Ð=Ð=°，3030OPC OCB OBC ABO \Ð=°+Ð=°+Ð=Ð，30APO OBD \Ð-Ð=°，故①正确；AJP BJO Ð=ÐQ ，60POB PAJ \Ð=Ð=°，OP OB =Q ，BPO \△是正三角形，故②正确；延长AO 到T ，使得AT AB =，连接BT ，如图所示：60BAT Ð=°Q ，AT AB =，ABT \V 是等边三角形，60ABT PBO Ð=Ð=°Q ，PBA OBT \Ð=Ð，在PBA △和OBT △中，BP BO PBA OBT BA BT =ìïÐ=Ðíï=î，(SAS)PBA OBT \△≌△，PA OT \=，AB AT AO OT AO PA \==+=+，AB AP AO \-=，故③正确；PBA OBT Q △≌△，PBA OBT S S \=△△，ABT AOBP S S \=△四边形，且ABT S △为定值，BOC QV 是变化的，2BOC AOBP S S \=V 四边形是错误（与上面定值矛盾），故④错误；综上所述：正确的是①②③，故选：A ．二、探究线段之间的数量关系【答案】2BM NC=【分析】作60HAN MAN Ð=Ð=°，使得AH AM =，连接HN ，HC ，先证MAN HAN V V ≌，推导得NH MC ^；再证BAM CAH V V ≌，推导得30NHC AHC AHN Ð=Ð-Ð=°，最后得到2BM NC =．【详解】解：如图，作60HAN MAN Ð=Ð=°，使得AH AM =，连接HN ，HC ，在MAN △中，∵7560AMN MAN Ð=°Ð=°，，∴180180756045ANM AMN MAN Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°．在MAN △与HAN △中，∵AM AH MAN HAN AN AN =ìïÐ=Ðíï=î，∴()MAN HAN SAS V V ≌，∴ANM ANH Ð=Ð，AMN AHN Ð=Ð，∵45ANM Ð=°，75AMN Ð=°，∴45ANH Ð=°，75AHN Ð=°，∵45ANM Ð=°，45ANH Ð=°，∴90ANM ANH Ð+Ð=°，即NH MC ^．∵75AMN Ð=°，30B Ð=°，∴=753045BAM AMN B ÐÐ-Ð=°-°=°，∵ABC V 中，30AB AC B =Ð=°，，∴30C B Ð=Ð=°，∴180120BAC C B Ð=°-Ð-Ð=°，∵45BAM Ð=°，60MAN Ð=°，120BAC Ð=°∴120456015NAC BAC BAM MAN Ð=Ð-Ð-Ð=°-°-°=°，∵60HAN Ð=°，15NAC Ð=°，故答案为：2BM NC=6．（1）已知，如图1，若ABC V 是直角三角形，（2）由（1）可得出定理：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半【答案】（1）见解析；（2）①QE QF =；②QE QF=【分析】（1）延长CD 至E ，使DE CD =，连接AE ，证明(SAS ADE BDC ≌△△()Rt Rt SAS CAE ACB ≌△△，可得CE AB =，从而可得结论；（2）①Q 是AB 的中点，过Q 分别过点A 、B 向直线CP 作垂线垂足分别为E∵在ADE V 和BDC V 中AD BD ADE BDCCD ED =ìïÐ=Ðíï=î∴(SAS ADE BDC ≌△△②延长EQ 交BF 于G∵AE CP ^，BF CP ^，∴90AEP BFP Ð=Ð=°，∴AE BF ∥，∴QAE QBG Ð=Ð，BC=，则CE=；(1)如图1，连接EC，若4(2)如图2，点M是线段CA延长线上的一点(不与点A重合)，以BM为一边，在BM的下方作MG交DE延长线于点G．在DG边上取一点H，使DH DM=．①求证：DMB HMG△≌△；②请你写出MD，DG与DE之间的数量关系，并证明你的结论；(3)如图3，当点M运动到线段AC延长线上的某个位置时，以BM为一边．在BM的左侧作，与DE之间的数量关系．交DE于点G．请直接写出MD DG求解；（2）①证明DMH △是等边三角形，进而得出DMB HMG Ð=Ð，证明DMB HMG △≌△()ASA ；②由①可知DMB HMG △≌△，得出HG DB =，DMH △是等边三角形．则DH MD =，即可得证．（3）在ED 的延长线上截取DN DM =，连接MN ，先证DMN V 是等边三角形，可得60MN DM DN N NMD ==Ð=Ð=°，，由“ASA ”可证MNG MDB V V ≌，可得NG BD =，即可求解．【详解】（1）解：∵DE AB ^，90ACB Ð=°，∴90BCD BED Ð=Ð=°，∵BD 是ABC V 的角平分线，∴CBD EBD Ð=Ð，又∵BD BD =，∴()AAS CBD EBD V V ≌，∴CB EB =，∵90ACB Ð=°，30A Ð=°，∴60ABD Ð=°，∴ECB V 是等边三角形，∴4==CE BC ；故答案为：4；（2）①证明：∵30CBD DBA CAB Ð=Ð=Ð=°，DE AB ^，∴60ADE BDE Ð=Ð=°，2DB DE=又∵DH DM =，∴DMH △是等边三角形．∴DM DH MH ==，60DMH DHM Ð=Ð=°∴DMH BMG Ð=Ð，120MHG ADB Ð=Ð=°．∴DMB HMG Ð=Ð．在DMB V 和HMG △中，DMB HMG DM MH MDB MHG Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴DMB HMG △≌△()ASA ；②2DG MD DE =+，由①可知DMB HMG △≌△，则HG DB =．∴2HG DE =，∵DMH △是等边三角形．则DH MD =，∴2DG DH HG MD DE =+=+；（3）解：结论：2DM DG DE+=，理由：如图，在ED 的延长线上截取DN DM =，连接MN ，∵60ADE NDM DN DM Ð=Ð=°=，，∴DMN V 是等边三角形，∴60MN DM DN N NMD ==Ð=Ð=°，，∴60NMD GMB Ð=Ð=°，∴NMG DMB Ð=Ð，在MNG V 和MDB △中，60N BDM MN DM NMG DMB Ð=Ð=°ìï=íïÐ=Ðî，∴()ASA MNG MDB V V ≌，∴NG BD =，∴2NG DE =，∴2DG DN DM DG DE +=+=．三、探究角之间的数量关系【答案】120°+α【分析】延长CB 到E ，使CE ＝＝∠EDC ，再证明△EDA 为等边三角形，得到的计算即可求解．【详解】解：如图，延长CB 到∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠BCD 12ACB a =Ð=，在△ADC 与△EDC 中，AC EC ACD ECD =ìïÐ=Ðí，。

苏科版八年级数学上册第二章轴对称图形压轴题练习可修改全文

苏科版八年级数学上册第二章轴对称图形压轴题练习一、解答题1.我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方,称这个三角形为勾股高三角形,两边交点为勾股顶点．特例感知●①()等腰直角三角形_________勾股高三角形请填写“是”或者“不是”；②△ABC.如图1,已知为勾股高三角形,其中C为勾股顶点,CD是AB边上的高若BD=2AD=2,试求线段CD的长度．深入探究●△ABC CA>CB 如图2,已知为勾股高三角形,其中C为勾股顶点且,CD是AB边上的高试探究线段AD与CB的数量关系,并给予证明；.推广应用●△ABC AB=AC﹥BC如图3,等腰为勾股高三角形,其中,CD为AB边上的高,过点D 向BC边引平行线与AC边交于点若,试求线段DE的长度．E.CE=a△ABC AC=BC2.在中,,,经过点C的直线l与AB平行,点D为直线l上的动点不与点C重合,作射线DA,过点D作射线,交直线BC于点E．()DE⊥DA如图1,点E在BC的延长线上时,线段DA、DE之间的数量关系是(1)___________；如图2,中的结论是否成立,请说明理由；(2)(1)若,,请直接写出线段CE的长．(3)AB=4CD=3△ABC AB=AC3.已知在中,,D是BC边上任意一点,过点D分别向AB,AC引垂线,垂足分别为E,F．DE=DF(1)如图1,当点D在边BC的什么位置时,？并给出证明；如图2,过点C作AB边上的高CG,垂足为G,试猜想线段DE,DF,CG的长度之间(2)存在怎样的数量关系？并给出证明．24.如图,正方形ABCD的边长为,点P为对角线BD上一动点,点E在射线BC上．填空：__________________；(1)BD=若,连结PE、PC,求的最小值用含t的代数式表示．(2)BE=t PE+PC()若点E是直线AP与射线BC的交点,当为等腰三角形时,求的度(3)△PCE∠PEC数．△ABC BC=AC AD⊥BP5.在中,,,P为直线AC上一点,过点A作于点D,交直线BC于点Q．如图1,当P在线段AC上时,求证：；(1)BP=AQ如图2,当P在线段CA的延长线上时,中的结论是否成立？____填“成立”或(2)(1)(“不成立”)在的条件下,当____度时,存在,说明理由．(3)(2)∠DBA=AQ=2BD△ABC∠ABC6.如图,在中,为锐角,点M为射线BA上一点,连接CM,以CM为直角边且在CM的下方沿CM顺时针方向作等腰直角三角形CMN,,连接()BN．若,．(1)AC=BC如图1,当点M在线段AB上与点A不重合时,则BN与AM的数量关系为①()________,位置关系为________；当点M在线段BA的延长线上时,的结论是否仍然成立,请在图2中画出相应②①图形并说明理由．AC≠BC(2)如图3,若,,,点M在线段AB上运动,请判断BN与AB的位置关系,并说明理由．▵ABC AB=AC=20cm BC=16cm7.如图在等腰中,,,．AD=BD点M在底边BC上且以的速度由B点向(1)6cm/sC点运动,同时,点N在腰AC上且由C点向A点运动．①如果点M与点N的运动速度相等,求经过多少秒后≌；▵BMD▵CNM②▵如果点M与点N的运动速度不相等,当点N的运动速度为多少时,能够使与全等？BMD▵CNM△ABC() 8.如图,边长为4cm的等边中,点P、Q分别是边AB、BC上的动点端点除外1cm/s,点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发,且它们的速度都为,连接AQ,CP交于点M,在点P,Q运动的过程中．求证：≌；(1)△ABQ△CAP的大小是否发生变化？若无变化,求的度数；若有变化,请说明理(2)∠QMC∠QMC由；连接PQ,当点P,Q运动多少秒时,是直角三角形？(3)△PBQ△ABC AB=16cm BC=12cm△ABC9.如图,已知中,,,,P、Q是边上的两个动点,其中点P从点A开始沿方向运动,且速度为每秒1cm,点Q从点B开始沿A→B方向运动,且速度为每秒2cm,它们同时出发,设出发的时间为t秒．B→C→A出发2秒后,求的面积；(1)△PBQ当点Q在边BC上运动时,出发几秒钟后,能形成等腰三角形？(2)△PQB当点Q在边CA上运动时,求能使成为等腰三角形的运动时间．(3)△BCQ(1)10.问题背景：如图1：在四边形ABCD中,,,,E、F分别AB=AD是BC,CD上的点且,探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是,延长FD到点使连结AG,先证明G.DG=BE.△ABE≌,再证明≌,可得出结论,他的结论应是______ ；△ADG △AEF △AGF探索延伸：如图2,若在四边形ABCD 中,,、F 分别是(2)AB =AD BC 、CD 上的点,且,上述结论是否仍然成立,并说明理由；∠EAF =12∠BAD 实际应用：如图3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心处北偏西的A (3)(O )处,舰艇乙在指挥中心南偏东的B 处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以45海里小时的速度前进,同时舰艇乙沿北偏东/的方向以60海里小时的速度前进,2小时后,指挥中心观测到甲、乙两地分别到达/E、F 处,且两舰艇之间的夹角为,试求此时两舰艇之间的距离．△ABC△ADE 11.如图,是等边三角形,点D是边BC上的一点,以AD为边作等边,过点CF∥DEC作交AB于点F．若点D是BC边的中点如图,求证：；(1)(①)EF=CD在的条件下直接写出和的面积比；(2)(1)△AEF△ABC若点D是BC边上的任意一点除B、C外如图,那么中的结论是否仍然(3)(②)(1)成立？若成立,请给出证明；若不成立,请说明理由．。

苏科版八年级数学上册《轴对称图形》压轴题训练(含答案)

苏科版八年级数学上册《轴对称图形》压轴题训练(1)1.在ABC ∆中，,10,AB AC BC AB AC ==，的垂直平分线分别交BC 于点,,4D E DE =，连接,AD AE ，则AD AE +的值为( )A. 6B.10C. 6或14D. 6或10 2.如图，BD 为ABC ∆的角平分线，且,BD BC E =为BD 延长线上的一点，BE BA =,过点E 作EF AB ⊥，垂足为F .下列结论:①ABD EBC ∆≅∆;②180BCE BCD ∠+∠=︒;③AD AE EC ==;④2BA BC BF +=.其中正确的是( )A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④3.在ABC ∆中，,AD CE 为高，这两条高所在的直线相交于点H ，若CH A B =，则A C B ∠ 的度数为 .4.如图，在四边形ABCD 中，110,90BAD B D ∠=︒∠=∠=︒，在,BC CD 上分别找一点,M N ，使AMN ∆的周长最小，此时AMN ANM ∠+∠的度数为 .5. P 是Rt ABC ∆斜边AB 上一动点(不与点,A B 重合)，分别过点,A B 向直线CP 作垂线，垂足分别为,,E F Q 为斜边AB 的中点.(1)如图①，当点P 与点Q 重合时，AE 与BF 的位置关系是 , QE 与QF 的数量关系是 .(2)如图②，当点P 在线段AB 上不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予证明.(3)如图③，当点P 在线段BA (或AB )的延长线上时，此时(2)中的结论是否成立?请画出图形并给予证明.6.如图，在等腰三角形ABC 中，,AB AC D =是AC 上一动点，点E 在BD 的延长线上,且,AB AE AF =平分CAE ∠，交DE 于点F .(1)如图①，连接CF ，求证: ABE ACF ∠=∠;(2)如图②，当60ABC ∠=︒时，求证: AF EF FB +=;(3)如图③，当45ABC ∠=︒时，若BD 平分ABC ∠，求证: 2BD EF =.(2)1.如图，在PAB ∆中，,,,P A P B M N K =分别是,,PA PB AB 上的点，且,A M B K B N A K==.若44MKN ∠=︒，则P ∠的度数为( ) A. 44° B. 66° C. 88° D. 92°2.如图，1111222233334,,AB A B A B A A A B A A A B A A ====，,…，若70A ∠=︒，则11n n n B A A --∠的度数为( )A.702n ︒ B. 1702n +︒ C. 12n - D. 2702n +︒3.如图，,MP NQ 分别垂直平分ABC ∆边,AB AC ，若30PAQ ∠=︒，则BAC ∠的度数为 .4.从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的底角为 .5.如图，O 是等边三角形ABC 内一点，110AOB ∠=︒，,BOC D α∠=是ABC ∆外一点，且ADC BOC ∆≅∆，连接OD . (1)求证: COD ∆是等边三角形;(2)当150α=︒时，试判断AOD ∆的形状，并说明理由; (3)探究:当α为多少度时，AOD ∆是等腰三角形?6.如图，BAD ∆和BCE ∆均为等腰直角三角形，90BAD BCE ∠=∠=︒,M 为DE 的中点.过点E 作与AD 平行的直线，交射线AM 于点N .(1)当,,A B C 三点在同一条直线上时(如图①)，求证: M 为AN 中点.(2)将图①中的BCE ∆绕点B 旋转，当,,A B E 三点在同一条直线上时(如图②)，求证:CAN ∆为等腰直角三角形.(3)将图①中的BCE ∆绕点B 旋转到图③的位置时，(2)中的结论是否仍然成立?若成立，请证明;若不成立，请说明理由.参考答案(1)1.C2. D3. 45°或135°4. 140°5. (1)//AE BF Q E Q F =(2) QE QF =如图①，延长FQ 交AE 于点D ∵Q 为AB 的中点 ∴BQ AQ =∵,BF CP AE CP ⊥⊥ ∴//BF AE∴FBQ DAQ ∠=∠ 在FBQ ∆和DAQ ∆中，FBQ DAQ BQ AQBQF AQD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴FBQ DAQ ∆≅∆ ∴QF QD =，即12QF FD = 又∵AE CP ⊥∴EQ 是Rt DEF ∆斜边上的中线 ∴12QE FD =∴QE QF =(3)结论QE QF =仍然成立，当点P 在线段BA 的延长线上时，如图②，延长EQ 、FB 交于点D ∵Q 为AB 的中点 ∴AQ BQ =∵,BF CP AE CP ⊥⊥ ∴//BF AE ∴1D ∠=∠在AQE ∆和BQD ∆中，123D AQ BQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AQE BQD ∆≅∆ ∴QE QD =，即12QE DE = 又∵BF CP ⊥∴FQ 是Rt DFE ∆斜边DE 上的中线∴12QF DE =∴QE QF =当点P 在线段AB 的延长线上时，图形类似，结论成立，证明类似，因此略.6.(1)∵AF 平分CAE ∠ ∴EAF CAF ∠=∠ ∵,AB AC AB AE == ∴AE AC =在ACF ∆和AEF ∆中AC AE CAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACF AEF ∆≅∆ ∴ACF E ∠=∠ ∵AB AE = ∴E ABE ∠=∠ ∴ABE ACF ∠=∠(2)连接CF ，由(1)，知ACF AEF ∆≅∆ ∴CF EF =，ACF E ABE ∠=∠=∠在BF 上截取BM CF =，连接AM .在ABM ∆和ACF ∆中AB AC ABM ACF BM CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABM ACF ∆≅∆∴AM AF =，BAM CAF ∠=∠ ∵AB AC =，60ABC ∠=︒ ∴ABC ∆是等边三角形 ∴60BAC ∠=︒∴60MAF MAC CAF MAC BAM BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒ ∵AMF ∆为等边三角形∴AF AM MF == 又∵BM CF EF ==∴AF EF MF BM FB +=+=，即AF EF FB += (3)连接CF ，延长BA 、CF ，交于点N ∵AB AC =，45ABC ∠=︒∴45ACB ABC ∠=∠=︒，180454590BAC ∠=︒-︒-︒=︒ ∵BD 平分ABC ∠∴22.5ABF CBF ∠=∠=︒由(1)，得22.5ACF ABF ∠=∠=︒∴18022.54522.590BFC ∠=︒-︒-︒-︒=︒ ∴90BFN BFC ∠=∠=︒ 在BFN ∆和BFC ∆中NBF CBF BF BFBFN BFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BFN BFC ∆≅∆∴NF CF =，即2CN CF = ∵90BAC ∠=︒ ∴90NAC ∠=︒在BAD ∆和CAN ∆中ABD ACN AB ACBAD CAN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BAD CAN ∆≅∆∴BD CN =.由(2)得，CF EF = ∴22BD CN CF EF ===第2章压轴题特训(2)1.D2.C3. 105°4. 72°或540()7° 5. (1)∵ADC BOC ∆≅∆∴DC OC =，DCA OCB ∠=∠ ∴COD ∆等腰三角形 ∵ABC ∆是等边三角形∴60OCB ACO ACB ∠+∠=∠=︒ ∴COD ∆等边三角形(2) 当150α=︒时，AOD ∆是直角三角形理由：∵ADC BOC ∆≅∆ ∴150ADC BOC ∠=∠=︒ 又∵COD ∆等边三角形 ∴60ODC ∠=︒∴90ADO ∠=︒，即AOD ∆是直角三角形(3)分三种清况讨论:①要使AO AD =，需要AOD ADO ∠=∠∵360190AOD AOB DOC BOC α∠=︒-∠-∠-∠=︒-， 60ADO ADC ODC α∠=∠-∠=-︒ ∴19060αα︒-=-︒ ∴125α=︒②要使OA OD =，需要ADO OAD ∠=∠∵180()180(19060)50OAD AOD ADO αα∠=︒-∠+∠=︒-︒-+-︒=︒ ∴6050α-︒=︒ ∴110α=︒③要使OD AD =，需要AOD OAD ∠=∠ ∴19050α︒-=︒ ∴140α=︒综上所述，当α为125°或110°或140°时，AOD ∆是等腰三角形. 6. (1)∵//EN AD∴,MAD N ADM NEM ∠=∠∠=∠ ∵M 为DE 的中点 ∴DM EM =在ADM ∆和NEM ∆中MAD MNE ADM NEM DM EM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADM NEM ∆≅∆ ∴AM NM = ∴M 为AN 中点(2)∵BAD ∆和BCE ∆均为等腰直角三角形∴,AB AD CB CE ==,45CBE CEB ∠=∠=︒ ∵//AD NE∴180DAE NEA ∠+∠=︒ ∵90DAE ∠=︒ ∴90NEA ∠=︒ ∴135NEC ∠=︒∵A 、B 、E 三点在同一条直线上 ∴180135ABC CBE ∠=︒-∠=︒ ∴ABC NEC ∠=∠由(1)，知ADM NEM ∆≅∆ ∴AD NE = ∵AD AB = ∴AB NE =在ABC ∆和NEC ∆中AB NE ABC NEC BC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC NEC ∆≅∆∴AC NC =，ACB NCE ∠=∠∴ACB BCN NCE BCN ∠+∠=∠+∠，即90ACN BCE ∠=∠=︒ ∴CAN ∆为等腰直角三角形. (3) CAN ∆仍为等腰直角三角形证明:延长AB 交NE 于点F ，由〔1)，得ADM NEM ∆≅∆ ∴AD NE = ∵AD AB = ∴AB NE =∵90BAD ∠=︒，//AD NE ∴90BFE ∠=︒在四边形BCEF 中，∵90BCE BFE ∠=∠=︒ ∴3609090180FBC FEC ∠+∠=︒-︒-︒=︒ ∵180FBC ABC ∠+∠=︒ ∴ABC FEC ∠=∠ 在ABC ∆和NEC ∆中AB NE ABC FEC BC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC NEC ∆≅∆∴AC NC =，ACB NCE ∠=∠∴ACB BCN NCE BCN ∠+∠=∠+∠，即90ACN BCE ∠=∠=︒ ∴CAN ∆为等腰直角三角形.。

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垂足分别为 E , F ,Q 为斜边 AB 的中点 .
(1) 如图①，当点 P 与点 Q 重合时， AE 与 BF 的位置关系是
, QE 与 QF 的数
量关系是
.
(2) 如图②，当点 P 在线段 AB 上不与点 Q 重合时，试判断 QE 与 QF 的数量关系，并给
予证明 .
(3) 如图③，当点 P 在线段 BA (或 AB )的延长线上时，此时 (2) 中的结论是否成立 ?请画出
6.如图， BAD 和 BCE 均为等腰直角三角形， BAD
E AD AM N 过点作与
平行的直线，交射线
于点
. [来源:Z。 xx。]
BCE 90 , M 为 DE 的中点 .
(1) 当 A, B, C 三点在同一条直线上时 (如图① )，求证 : M 为 AN 中点 .
(2) 将图①中的 BCE 绕点 B 旋转，当 A, B , E 三点在同一条直线上时 ( 如图② ) ，求证 :
第二章《轴对称图形》压轴题训练
(1)
1.在 ABC 中， AB AC , BC 10， AB, AC 的垂直平分线分别交 BC 于点 D , E , DE 4 ，
连接 AD , AE ，则 AD AE 的值为 ( )
A. 6
B.10
C. 6 或 14
D. 6 或 10
2.如图， BD 为 ABC 的角平分线，且 BD BC , E 为 BD 延长线上的一点， BE BA ,过
Bn 1 An An 1 的度数为 ( )
70 A. 2n
70 B. 2n 1
C. 2n 1
70 D. 2n 2
3.如图， MP , NQ 分别垂直平分 ABC 边 AB , AC ，若 PAQ 30 ，则 BAC 的
度数为
.
4.从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角
点 E 作 EF AB ，垂足为 F .下列结论 : ① ABD EBC ;② ③ AD AE EC ;④ BA BC 2BF .其中正确的是 ( )
A. ①②③
B.①③④
C.①②④
BCE BCD 180 ;
D.①②③④
பைடு நூலகம்
3.在 ABC 中， AD , CE 为高，这两条高所在的直线相交于点 H ，若 CH AB ，则 ACB
CAN 为等腰直角三角形 . (3) 将图①中的 BCE 绕点 B 旋转到图③的位置时，
请证明 ;若不成立，请说明理由 .
(2) 中的结论是否仍然成立
?若成立，
1.C 3. 45°或 135°
5. (1) AE // BF Q E
2. D 4. 140°
QF
参考答案
(1)
(2) QE QF 如图①，延长 FQ 交 AE 于点 D
形纸片的底角为
.
5.如图， O 是等边三角形 ABC 内一点， AOB 110 ， BOC , D 是 ABC 外一点，
且 ADC BOC ，连接 OD . (1) 求证 : COD 是等边三角形 ; (2) 当 150 时，试判断 AOD 的形状，并说明理由 ; (3) 探究 :当为多少度时， AOD 是等腰三角形 ?
的度数为
.
4.如图，在四边形 ABCD 中， BAD 110 , B D 90 ，在 BC, CD 上分别找一点
M , N ，使 AMN 的周长最小，此时 AMN ANM 的度数为
.
5. P 是 Rt ABC 斜边 AB 上一动点 (不与点 A, B 重合 )，分别过点 A, B 向直线 CP 作垂线，
∵ Q 为 AB 的中点
∴ BQ AQ
∵ BF CP , AE CP ∴ BF // AE
图形并给予证明 .
6.如图，在等腰三角形 ABC 中， AB AC , D 是 AC 上一动点，点 E 在 BD 的延长线上 ,且
AB AE, AF 平分 CAE ，交 DE 于点 F .
(1) 如图①，连接 CF ，求证 : ABE ACF ; (2) 如图②，当 ABC 60 时，求证 : AF EF FB ; (3) 如图③，当 ABC 45 时，若 BD 平分 ABC ，求证 : BD
2EF .
1. 如图，在 PAB 中， P A
(2)
P, B ,M ,N分 K别是 PA, PB, AB 上的点，且
AM BK , BN AK .若 MKN 44 ，则 P 的度数为 (
A. 44 °
B. 66 °
C. 88°
) D. 92°
2. 如图， AB A1B, A 1B 1 A A1 ，2A B 2 A2 A , A2 B3 3A A3 , … ，若 A 70 ，则