三角函数典型例题

第9课时 三角函数的最值
典型例题
例1. 求下列函数的最值． ⑴ y ＝
x x x cos 1sin 2sin -⋅；⑵ y ＝2 cos(3π
＋x)＋2cosx ；⑶ x
x y cos 3sin 1++=．
解：(1) y ＝x x x
x x x cos 2cos 2cos 1sin cos sin 22+=-⋅⋅＝2
1)2
1(cos 22-+x ∴ 当cosx ＝2
1-时，y min =2
1-∵ cosx ≠1∴ 函数y 没有最大值。

(2) y ＝2cos(x +3
π
)+2cosx=2cos
x x x cos 2sin 3
sin
2cos 3
+-π
π
=3cosx －3sinx=23cos(6
π
+
x )
∴当cos(6
π+x )＝－1时，y min ＝－3
2
当cos(6
π+
x )＝1时，y max ＝32
(3) 由x
x
y cos 3sin 1++=
得sinx －ycosx ＝3y －1∴)sin(12ϕ++x y ＝3y －1 (tan ϕ＝－y)
∵|sin(x ＋ϕ)|≤1 ∴|3y －1|≤12+y 解得0≤y≤43 故x x y cos 3sin 1++=的值域为[0，4
3
]
注：此题也可用其几何意义在求值域． 变式训练1：求下列函数的值域： （1）y=
x x x cos 1sin 2sin -;（2）y=sinx+cosx+sinxcosx;（3）y=2cos )3
(x +π
+2cosx.
解 （1）y=x x x x cos 1sin cos sin 2-=x
x x cos 1)cos 1(cos 22--=2cos 2x+2cosx=22)21
(cos +x -21.
于是当且仅当cosx=1时取得y max =4,但cosx≠1,∴y ＜4，且y min =-21
,当且仅当cosx=-2
1时取得.
故函数值域为⎪⎭
⎫⎢⎣⎡-4,21.（2）令t=sinx+cosx,则有t 2=1+2sinxcosx,即sinxcosx=212-t .
有y=f(t)=t+2
12-t =1)1(21
2-+t .又t=sinx+cosx=2sin )4(π+x ，∴-2≤t≤2.
故y=f(t)=
1)1(212-+t (-2≤t≤2),从而知：f(-1)≤y≤f(2),即-1≤y≤2+21.即函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+-212,1.
（3）y=2cos )3
(x +π
+2cosx=2cos
3πcosx-2sin 3π
sinx+2cosx=3cosx-3sinx=23⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-x x sin 21cos 23=23cos )6(π+x . ∵)6
cos(π
+x ≤1∴该函数值域为［-23，23］.
例2. 试求函数y ＝sinx ＋cosx ＋2sinxcosx ＋2的最大值与最小值，又若]2
,0[π
∈x 呢？
解： 令t ＝sinx ＋cosx 则t ∈[－2，2]又2sinx ＋cosx ＝(sinx ＋cosx)2－1＝t 2－1 ∴y ＝t 2＋t ＋1＝(t ＋2
1)2＋4
3，显然y max ＝3＋2若x ∈[0，2
π
] 则t ∈[1，2] y ＝(t ＋2
1
)＋4
3在[1，2]单调递增．当t ＝1即x ＝0或x ＝2π时，y 取最小值3．当t ＝2即x ＝4
π
时，y 取最大值3＋2．
变式训练2：求函数3()cos (sin cos )
,44f x x x x x x ππ⎡⎤
=-+∈-⎢⎥⎣⎦
的最大值和最小值．
点拔：三角函数求最值一般利用三角变形求解，此题用常规方法非常困难，而用导数求最值既方便又简单． 解：f(x)＝x －2
1(sin2x ＋cos2x)－2
1∴f´(x)＝1＋2sin(2x －4π)∵x ∈[－4π，43π] ∴2x －4π∈[－43π，π4
5] 令f´(x)＝0 得sin(2x －
4π)＝－2
2
∴x ＝0，－4π，π43∵f(0)＝－1，而f(－4π)＝－4π f(π43)＝43π ∴当x ＝π4
3
时，[f(x)]max ＝
4
3π
当x ＝0时，[f(x)]min ＝－1 例3. 已知sinx ＋siny ＝31
，求siny －cos 2x 的最大值．
解：∵sinx ＋siny ＝3
1 ∴siny ＝x sin 3
1-∴siny －cos 2x ＝x sin 31-－(1－sin 2x)＝x x 2sin sin 3
2+--
＝12
11
)21(sin 2-
-x 又∵－1≤sin y ≤1 ∴1sin 311≤-≤-x 而－1≤sin x ≤1
∴3
2-≤sin x ≤1∴当sinx ＝3
2-时，siny －cos 2x 取得最大值9
4。

变式训练3：在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b 2＝ac ，求y ＝B
B B
cos sin 2sin 1++的取值范围．
解：y ＝
)4
sin(2cos sin cos sin )cos (sin 2π
+=+=++B B B B B B B 又
cosB ＝ac
ac
c a ac b c a
2222222
-+=
-+≥2
1
∴ 0＜B≤
3
π
∴4π＜B ＋4π≤127π∴ 1＜2sin(B ＋4π)≤2即1＜y ≤2
例4．设a≥0，若y ＝cos 2x －asinx ＋b 的最大值为0，最小值为－4，试求a 与b 的值，并求出使y 取得最大、
最小值时的x 值．
解：原函数变形为y ＝－4
1)2
(sin 2
2
a b a x ++++∵－1≤sin x ≤1，a ≥0∴若0≤a ≤2，当sinx ＝－2a 时
y max ＝1＋b ＋
4
2a ＝0 ①当sinx ＝1时，y min ＝－4
1)21(2
2a b a ++++＝－a ＋b ＝－4 ②
联立①②式解得a ＝2，b ＝-2y 取得最大、小值时的x 值分别为：x ＝2kπ－2
π(k ∈Z)，x ＝2kπ＋2
π(k ∈Z)若a
＞2时，2
a ∈(1，＋∞)∴y max ＝－
b a a b a
+=+
++-4
1)2
1(2
2＝0 ③y min ＝－441)21(2
2-=+-=+
+++b a a b a ④ 由③④得a ＝2时，而2
a ＝1 (1，＋∞)舍去. 故只有一组解a ＝2，
b ＝－2.
变式训练4：设函数a x x x x f ++=ϖϖϖcos sin cos 3)(2（其中ω>0，a ∈R ），且f(x)的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6π．（1）求ω的值；（2）如果)(x f 在区间]6
5,3[x
π-的最小值为3，求a 的值． 解：(1) f(x)＝
23cos ωx ＋21sin2ωx ＋23＋a ＝sin(2ωx ＋3π)＋2
3＋a 依题意得2ω·6π＋3π＝2π解得ω＝21
(2) 由(1)知f(x)＝sin(2ωx ＋3π)＋23＋a 又当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-65,3ππ时，x ＋3π∈⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡67,0π故－21≤sin(x ＋3π)≤1 从而f(x)在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-65,
3
ππ上取得最小值－2
1
＋
23＋a 因此，由题设知－21＋23＋a ＝3故a ＝2
1
3+
1．求三角函数最值的方法有：① 配方法；②化为一个角的三角函数；③ 数形结合；④ 换元法；⑤ 基本不
等式法．2．三角函数的最值都是在给定区间上取得的．因而特别要注意题设所给出的区间．
3．求三角函数的最值时，一般要进行一些三角变换以及代数换元，须注意函数有意义的条件和弦函数的有界性．4．含参数函数的最值，解题要注意参数的作用．。