三角函数典型例题

第9课时 三角函数的最值

典型例题

例1. 求下列函数的最值． ⑴ y ＝

x x x cos 1sin 2sin -⋅；⑵ y ＝2 cos(3π

＋x)＋2cosx ；⑶ x

x y cos 3sin 1++=．

解：(1) y ＝x x x

x x x cos 2cos 2cos 1sin cos sin 22+=-⋅⋅＝2

1)2

1(cos 22-+x ∴ 当cosx ＝2

1-时，y min =2

1-∵ cosx ≠1∴ 函数y 没有最大值。

(2) y ＝2cos(x +3

π

)+2cosx=2cos

x x x cos 2sin 3

sin

2cos 3

+-π

π

=3cosx －3sinx=23cos(6

π

+

x )

∴当cos(6

π+x )＝－1时，y min ＝－3

2

当cos(6

π+

x )＝1时，y max ＝32

(3) 由x

x

y cos 3sin 1++=

得sinx －ycosx ＝3y －1∴)sin(12ϕ++x y ＝3y －1 (tan ϕ＝－y)

∵|sin(x ＋ϕ)|≤1 ∴|3y －1|≤12+y 解得0≤y≤43 故x x y cos 3sin 1++=的值域为[0，4

3

]

注：此题也可用其几何意义在求值域． 变式训练1：求下列函数的值域： （1）y=

x x x cos 1sin 2sin -;（2）y=sinx+cosx+sinxcosx;（3）y=2cos )3

(x +π

+2cosx.

解 （1）y=x x x x cos 1sin cos sin 2-=x

x x cos 1)cos 1(cos 22--=2cos 2x+2cosx=22)21

(cos +x -21.

于是当且仅当cosx=1时取得y max =4,但cosx≠1,∴y ＜4，且y min =-21

,当且仅当cosx=-2

1时取得.

故函数值域为⎪⎭

⎫⎢⎣⎡-4,21.（2）令t=sinx+cosx,则有t 2=1+2sinxcosx,即sinxcosx=212-t .

有y=f(t)=t+2

12-t =1)1(21

2-+t .又t=sinx+cosx=2sin )4(π+x ，∴-2≤t≤2.

故y=f(t)=

1)1(212-+t (-2≤t≤2),从而知：f(-1)≤y≤f(2),即-1≤y≤2+21.即函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣

⎡

+-212,1.

（3）y=2cos )3

(x +π

+2cosx=2cos

3πcosx-2sin 3π

sinx+2cosx=3cosx-3sinx=23⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-x x sin 21cos 23=23cos )6(π+x . ∵)6

cos(π

+x ≤1∴该函数值域为［-23，23］.

例2. 试求函数y ＝sinx ＋cosx ＋2sinxcosx ＋2的最大值与最小值，又若]2

,0[π

∈x 呢？

解： 令t ＝sinx ＋cosx 则t ∈[－2，2]又2sinx ＋cosx ＝(sinx ＋cosx)2－1＝t 2－1 ∴y ＝t 2＋t ＋1＝(t ＋2

1)2＋4

3，显然y max ＝3＋2若x ∈[0，2

π

] 则t ∈[1，2] y ＝(t ＋2

1

)＋4

3在[1，2]单调递增．当t ＝1即x ＝0或x ＝2π时，y 取最小值3．当t ＝2即x ＝4

π

时，y 取最大值3＋2．

变式训练2：求函数3()cos (sin cos )

,44f x x x x x x ππ⎡⎤

=-+∈-⎢⎥⎣⎦

的最大值和最小值．

点拔：三角函数求最值一般利用三角变形求解，此题用常规方法非常困难，而用导数求最值既方便又简单． 解：f(x)＝x －2

1(sin2x ＋cos2x)－2

1∴f´(x)＝1＋2sin(2x －4π)∵x ∈[－4π，43π] ∴2x －4π∈[－43π，π4

5] 令f´(x)＝0 得sin(2x －

4π)＝－2

2

∴x ＝0，－4π，π43∵f(0)＝－1，而f(－4π)＝－4π f(π43)＝43π ∴当x ＝π4

3

时，[f(x)]max ＝

4

3π

当x ＝0时，[f(x)]min ＝－1 例3. 已知sinx ＋siny ＝31

，求siny －cos 2x 的最大值．

解：∵sinx ＋siny ＝3

1 ∴siny ＝x sin 3

1-∴siny －cos 2x ＝x sin 31-－(1－sin 2x)＝x x 2sin sin 3

2+--

＝12

11

)21(sin 2-

-x 又∵－1≤sin y ≤1 ∴1sin 311≤-≤-x 而－1≤sin x ≤1

∴3

2-≤sin x ≤1∴当sinx ＝3

2-时，siny －cos 2x 取得最大值9

4。

变式训练3：在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b 2＝ac ，求y ＝B

B B

cos sin 2sin 1++的取值范围．

解：y ＝

)4

sin(2cos sin cos sin )cos (sin 2π

+=+=++B B B B B B B 又

cosB ＝ac

ac

c a ac b c a

2222222

-+=

-+≥2

1

∴ 0＜B≤

3

π

∴4π＜B ＋4π≤127π∴ 1＜2sin(B ＋4π)≤2即1＜y ≤2

例4．设a≥0，若y ＝cos 2x －asinx ＋b 的最大值为0，最小值为－4，试求a 与b 的值，并求出使y 取得最大、

最小值时的x 值．

解：原函数变形为y ＝－4

1)2

(sin 2

2

a b a x ++++∵－1≤sin x ≤1，a ≥0∴若0≤a ≤2，当sinx ＝－2a 时

y max ＝1＋b ＋

4

2a ＝0 ①当sinx ＝1时，y min ＝－4

1)21(2

2a b a ++++＝－a ＋b ＝－4 ②

联立①②式解得a ＝2，b ＝-2y 取得最大、小值时的x 值分别为：x ＝2kπ－2

π(k ∈Z)，x ＝2kπ＋2

π(k ∈Z)若a

＞2时，2

a ∈(1，＋∞)∴y max ＝－

b a a b a

+=+

++-4

1)2

1(2

2＝0 ③y min ＝－441)21(2

2-=+-=+

+++b a a b a ④ 由③④得a ＝2时，而2

a ＝1 (1，＋∞)舍去. 故只有一组解a ＝2，

b ＝－2.

变式训练4：设函数a x x x x f ++=ϖϖϖcos sin cos 3)(2（其中ω>0，a ∈R ），且f(x)的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6π．（1）求ω的值；（2）如果)(x f 在区间]6

5,3[x

π-的最小值为3，求a 的值． 解：(1) f(x)＝

23cos ωx ＋21sin2ωx ＋23＋a ＝sin(2ωx ＋3π)＋2

3＋a 依题意得2ω·6π＋3π＝2π解得ω＝21

(2) 由(1)知f(x)＝sin(2ωx ＋3π)＋23＋a 又当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-65,3ππ时，x ＋3π∈⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡67,0π故－21≤sin(x ＋3π)≤1 从而f(x)在⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-65,

3

ππ上取得最小值－2

1

＋

23＋a 因此，由题设知－21＋23＋a ＝3故a ＝2

1

3+

1．求三角函数最值的方法有：① 配方法；②化为一个角的三角函数；③ 数形结合；④ 换元法；⑤ 基本不

等式法．2．三角函数的最值都是在给定区间上取得的．因而特别要注意题设所给出的区间．

3．求三角函数的最值时，一般要进行一些三角变换以及代数换元，须注意函数有意义的条件和弦函数的有界性．4．含参数函数的最值，解题要注意参数的作用．