机械波点点清专题4 机械波的周期性和多解问题2020.3.6

机械波点点清专题4 波传播的周期性和多解性问题1.波动问题多解的主要因素(1)周期性①时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确.每经过nT，质点完成n次全振动回到原来的状态，在时间上形成多解，多解通式为t ＝nT＋Δt.②空间周期性：波传播的距离Δx与波长λ的关系不明确.在波形图上，相距nλ的质点振动状态完全一致，在空间上形成多解，多解通式为x＝n λ＋Δx.(2)双向性①传播方向双向性：波的传播方向不确定.只告诉波速不指明波的传播方向，应考虑沿两个方向传播的可能，即沿x轴正方向或沿x轴负方向传播。

②振动方向双向性：质点位移、速度方向不确定.质点达到最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能，质点在某一确定位置，振动速度方向有向上、向下(或向左、向右)两种可能；(3)波形的不确定：在波动问题中，往往只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点，波形就有多种情况，形成波动问题的多解性。

2.求解波的多解问题一般思路(1)根据题设条件结合多解的主要因素判断是唯一解还是多解(2)根据周期性、双向性、波形的隐含性，采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件的关系Δt或Δx，确定时间t和距离x的关系通式。

若此关系为时间，则t＝nT ＋Δt (n ＝0,1,2，…)；若此关系为距离，则x ＝n λ＋Δx (n ＝0,1,2，…). (3)根据波速公式v ＝Δx Δt 或v ＝λT＝λf 求波速。

题型1 波形的不确定性形成多解【典例1】（2013年重庆卷）（多选）一列简谐横波沿直线传播，某时刻该列波上正好经过平衡位置的两质点相距6 m ，且这两质点之间的波峰只有一个，则该简谐波可能的波长为（ ）A.4 m 、6 m 和8 mB.6 m 、8 m 和12 mC.4 m 、6 m 和12 mD.4 m 、8 m 和12 m 【解析】 根据题意，有以下三种情况符合要求：ab ＝6 m ，即λ12＝6 m ， λ1＝12m. cd ＝6 m ，即λ2＝6 m.ef ＝6 m ，即32λ3＝6 m ，λ3＝4 m ，故C 正确，A 、B 、D 错误.【答案】 C题型2 双向性形成多解 【典例2】（双向性）一列简谐横波在t ＝0时刻的波形如图中的实线所示，t ＝0.02 s 时刻的波形如图中虚线所示。

若该波的周期T 大于0.02 s ，则该波的传播速度可能是( )A ．2 m/sB ．3 m/sC ．4 m/sD ．5 m/s 解析 这类问题通常要设出波的传播方向：(1)设波向右传播，则在0时刻x ＝4 cm 处的质点向上振动，t ＝0.02 s 时刻该质点运动到波峰的位置，由题意知T >0.02 s ，则t ＝14T ，即T ＝0.08 s ，v ＝λT ＝0.080.08 m/s ＝1 m/s 。

(2)设波向左传播，则在0时刻x ＝4 cm 处的质点向下振动，t ＝0.02 s 时刻该质点运动到波峰的位置，由于T >0.02 s ，则t ＝34T ，即T ＝0.083 s ，v ＝λT ＝0.080.083m/s ＝3 m/s 。

综上所述，只有B 选项正确。

答案 B题型3 波传播的周期性形成的多解 【典例3】（多选）]（空间周期性）一列简谐横波沿x 轴的正向传播，振幅为2 cm ，周期为T 。

已知为t ＝0时刻波上相距50 cm 的两质点a 、b 的位移都是1 cm ，但运动方向相反，其中质点a 沿y 轴负向运动，如图所示，下列说法正确的是( )A ．该列简谐横波波长可能为150 cmB ．该列简谐横波波长可能为12 cmC ．当质点b 的位移为＋2 cm 时，质点a 的位移为负D ．在t ＝5T12时刻质点b 速度最大E ．质点a 、质点b 的速度始终大小相等，方向相反[解析] 根据质点的振动方程：x ＝A sin ωt ，设质点的起振方向向上，且a 、b 中间的距离小于1个波长，则b 点：1＝2sin ωt 1，所以ωt 1＝π6，a 点振动的时间比b 点长，所以由1＝2sin ωt 2，得ωt 2＝5π6，a 、b 两个质点振动的时间差：Δt ＝t 2－t 1＝5π6ω－π6ω＝2π3ω＝T 3，所以a 、b 之间的距离：Δx ＝v Δt ＝v ·T 3＝λ3。

则通式为⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋13λ＝50 cm ，n ＝0,1,2,3，…；则波长可以为λ＝1503n ＋1 cm(n ＝0,1,2,3，…)；当n ＝0时，λ＝150 cm ，由于n 是整数，所以λ不可能为12 cm ，故A 正确，B 错误。

当质点b 的位移为＋2 cm 时，即b 到达波峰时，结合波形知，质点a 在平衡位置下方，位移为负，故C 正确。

由ωt 1＝π6，得t 1＝π6ω＝T 12，当t ＝T 2－t 1＝5T12时质点b 到达平衡位置处，速度最大，故D 正确。

由题意及以上分析可知，a 、b 两质点间的距离不可能是半波长的整数倍，则两质点的速度不可能始终大小相等、方向相反，故E 错误。

[答案] ACD【典例4】(2018·武汉华中师大附中模拟)（时间周期性）一列简谐横波沿直线传播，在传播方向上有P 、Q 两个质点，它们相距为0.8 m ，当t ＝0时，P 、Q 两点的位移恰好是正最大值，且P 、Q 间只有一个波谷，t ＝0.6 s 末时，P 、Q 两点正好都处在平衡位置，且P 、Q 两点间只有一个波峰和一个波谷，且波峰距Q 点的距离为λ4，试求：(1)若波由P 传至Q ，波的周期； (2)若波由Q 传至P ，波的速度；(3)若波由Q 传至P ，从t ＝0时开始观察，哪些时刻P 、Q 间(P 、Q 除外)只有一个质点的位移大小等于振幅？解析：(1)若波由P 传到Q ，由题结合波形得到，t ＝⎝⎛⎭⎪⎫n ＋34T ，得T ＝4t 4n ＋3＝ 2.44n ＋3s(n ＝0,1,2，…)。

(2)若波由Q 传到P ，由题结合波形得到，t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋14T ， 得T ＝2.44n ＋1s 。

又由题意可得波长λ＝0.8 m ，则波速v ＝λT ＝13(4n ＋1)m/s(n ＝0,1,2，…)。

(3)从t ＝0开始，波形每隔半个周期时，P 、Q 间(P 、Q 除外)只有一个波峰或波谷，即只有一个质点的位移等于振幅，则t ＝m ·T 2＝1.2m4n ＋1s(m ＝1,2,3，…；n ＝0,1,2，…)。

答案：(1)2.44n ＋3 s(n ＝0,1,2，…)(2)13(4n ＋1)m/s(n ＝0,1,2，…) (3)1.2m 4n ＋1s(m ＝1,2,3，…；n ＝0,1,2，…) 【典例5】(2018·河北唐山一模) (多选)（时空周期性）如图10所示为一列向左传播的横波的图象，图中实线表示t 时刻的波形，虚线表示又经Δt ＝0.2 s 时刻的波形，已知波长为2 m ，下列说法正确的是( )图10A.波的周期的最大值为2 sB.波的周期的最大值为29 sC.波的速度的最小值为9 m/sD.这列波不能发生偏振现象E.这列波遇到直径r ＝1 m 的障碍物会发生明显的衍射现象解析 0.2 m ＝110λ，因波向左传播，则由图象可知波向左传播的距离为⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋910λ(n ＝0、1、2…)，所以0.2 s ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋910T (n ＝0、1、2…)，n ＝0时，周期最大，最大值为T m ＝29 s ，波速最小，最小值为v min ＝λT m＝9 m/s ，所以选项A 错误，B 、C 正确；横波可以发生偏振现象，选项D 错误；因为障碍物的直径r ＝1 m<λ＝2 m ，则这列波遇到此障碍物可以发生明显的衍射现象，选项E 正确。

答案 BCE题型4 波传播的双向性和周期性形成的多解【典例6】(2018·唐山模拟)(多选)（双向性和时空周期性）一列横波在某时刻的波形图如图中实线所示，经2×10－2s 后的波形图如图中虚线所示，则该波的波速v 和频率f 可能是( )A ．v 为5 m/sB ．v 为35 m/sC ．f 为50 HzD ．f 为37.5 Hz【答案】 ABD【解析】 由波形图可以读出：若波向右传播时波传播的最小距离为0.1 m ；若波向左传播时，波传播的最小距离为0.3 m ，λ＝0.4 m ，考虑到波形图的时间、空间周期性知，这列波向右、向左可能传播的距离分别是：x 右＝(n λ＋0.1)m ＝(0.4n ＋0.1)m ，(n ＝0，1，2，…) x 左＝(n λ＋0.3)m ＝(0.4n ＋0.3)m ，(n ＝0，1，2，…) 向右、向左传播对应的周期分别为T 右、T 左，则： Δt ＝2×10－2s ＝nT 右＋14T 右(n ＝0，1，2，…)或Δt ＝nT 左＋34T 左(n ＝0，1，2，…)由v ＝x t 得，v 右＝x 右Δt ＝(20n ＋5) m/s ，v 左＝x 左Δt ＝(20n ＋15) m/s ，由f ＝1T 得，f 右＝(50n ＋12.5) Hz ，f 左＝(50n ＋37.5) Hz令n 取不同的值可得A 、B 、D 三项正确．【典例7】（双向性和时空周期性）一列横波沿x 轴传播，图中实线表示某时刻的波形，虚线表示从该时刻起0.005 s 后的波形．(1)如果周期大于0.005 s ，则当波向右传播时，波速为多大？波向左传播时，波速又是多大？ (2)如果周期小于0.005 s ，则当波速为6 000 m/s 时，求波的传播方向． 【答案】：(1)400 m/s 1 200 m/s (2)向左传播【解析】：(1)如果周期大于0.005 s ，波在0.005 s 内传播的距离小于一个波长．如果波向右传播，从题图上看出传播的距离为2 m ，由此可得波速为v 右＝ΔxΔt ＝400 m/s ；如果波向左传播，从题图上看出传播的距离为6 m ，由此可得波速v 左＝ΔxΔt ＝1 200 m/s.(2)由题图知波长λ＝8 m ，波的传播距离为Δx ＝v Δt ＝6 000 m/s×0.005 s ＝30 m ＝3.75λ，所以波向左传播．1.（空间周期性）(2018·高考北京卷)如图所示，一列简谐横波向右传播，P 、Q 两质点平衡位置相距0.15 m ．当P 运动到上方最大位移处时，Q 刚好运动到下方最大位移处，则这列波的波长可能是( )A ．0.60 mB ．0.30 mC ．0.20 mD ．0.15 m【答案】 B【解析】 可以画出PQ 之间的最简单的波形，如图所示：由于P 、Q 之间可以含有多个完整的波形，则x PQ ＝(n ＋12)λ(n ＝0,1,2，…)整理可以得到：λ＝2x PQ2n ＋1(n ＝0,1,2，…)当n ＝0时，λ＝0.3 m当n ＝1时，λ＝0.1 m ，故选项B 正确，A 、C 、D 错误．2.（2019·吉林长春模拟)（时间周期性）一列简谐横波沿x 轴正方向传播，t 时刻波形图如图中的实线所示，此时波刚好传到P 点，t ＋0.6 s 时刻的波形如图中的虚线所示，a 、b 、c 、P 、Q 是介质中的质点，则下列说法正确的是( )A ．这列波的波速可能为50 m/sB ．质点a 在这段时间内通过的路程一定小于30 cmC ．质点c 在这段时间内通过的路程可能为60 cmD ．若周期T ＝0.8 s ，则在t ＋0.5 s 时刻，质点b 、P 的位移相同E ．若周期T ＝0.8 s ，从t ＋0.4 s 时刻开始计时，则质点c 的振动方程为x ＝0.1sin πt (m) 【答案】：ACD【解析】：由波形图可知波长λ＝40 m ，且0.6 s ＝nT ＋34T (n ＝0,1,2，…)，解得周期T ＝ 2.44n ＋3s(n ＝0,1,2，…)．当n ＝0时，T ＝0.8 s ，波速v ＝λT ＝50 m/s ，选项A 正确；由传播方向沿x轴正方向可知质点a 在t 时刻向上运动，当n ＝0时，T ＝0.8 s ，则质点a 在这段时间内通过的路程小于30 cm ，当n ＝1时，T ＝2470s ，质点a 在这段时间内通过的路程大于30 cm ，选项B 错误；若n ＝1，则T ＝2470 s ，波传播到c 点所用时间为14T,0.6 s ＝7T4，质点c 振动的时间为74T －14T ＝32T ，故在这段时间内质点c 通过的路程为6A ＝60 cm ，选项C 正确；若T ＝0.8s ，t ＋0.5 s 时刻，质点b 、P 的位移均为负值，大小相等，选项D 正确；若T ＝0.8 s ，在t ＋0.4 s 时刻，c 点处于波峰，从t ＋0.4 s 时刻开始计时，质点c 的振动方程为y ＝0.1·cos 52πt (m)，选项E 错误．3.（多选）（时空周期性）[]A 、B 两列简谐横波均沿x 轴正向传播，在某时刻的波形分别如图中甲、乙所示，经过时间t (t 小于A 波的周期T A )，这两列简谐横波的波形分别变为图中丙、丁所示，则A 、B 两列波的波速v A 、v B 之比可能是( )A ．1∶1B ．2∶1C ．1∶2D ．3∶1E ．1∶3 解析：选ACE 由题图读出，A 波波长为λA ＝24 cm ，甲图到丙图一定相隔半个周期，所以周期T A ＝2t ；B 波波长为λB ＝12 cm ，乙图与丁图的波形图相同，经过的时间一定是整数个周期，所以周期T B ＝tn(n ＝1,2,3，…)，波速v A ＝λA T A ＝0.242t ＝0.12t ，v B ＝λB T B ＝0.12t n＝0.12n t，得到v A ∶v B ＝1∶n ，所以A 、B 两列波的波速v A 、v B 之比可能是A 、C 、E ，不可能是B 、D 。