传递函数

例： 试求 RLC无源网络的传递函数
R
L
解: 该网络微分方程已求出,如式
ui(t)
i(t)
C uo(t) Ld C 2d uo2(tt)RdC d o(ut)tuo(t)ui(t)
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在零初始条件下,对上式进行拉氏变换,令 U0(s)=L[U0(t)], U i(s)=L[Ui(t)] 得: (L2 C Rs C 1 )U o ( s s) U i(s)
d t
C s I(s)
电感 u (t)Ld i(t) U (s)L sI(s) L sU (s)
d t
I(s)
R (s) RC (s) C 1 s L (s) L s
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例2 对无源网络，求传递函数Uo(s)/Ui(s)。
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解：把图中各量用复阻抗表示
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根据分压定理写出Uo(s)表达式
(2)两边进行拉氏变换，可得
R C sU o(s) U o(s) U i(s)
(3) 取输出与输入的拉氏变换之比
G(s)Uo(s) 1 Ui(s) RCs1
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※电气网络的运算阻抗与传递函数 (重要)
运算(复)阻抗
电阻
u(t)i(t)R U (s)RI(s) RU (s) I(s)
电容 i(t) C d u (t) I(s) C sU (s) 1 U (s)
二是指输入量加于系统之前,系统处于稳定的工作状态, 即输出量及其各阶导数在t=0-时的值也为零.现实的工程控 制系统多属此类情况.
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(4) 传递函数的建立
方法1：一般元件和系统传递函数的求取方法： （1）列写元件或系统的微分方程； （2）在零初始条件下对方程进行拉氏变换； （3）取输出与输入的拉氏变换之比。
自动控制原理
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第二章 控制系统的数学模型
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第2章 控制系统的数学模型 -----传递函数
1.传递函数的定义和性质 2.传递函数的零点和极点 3.典型环节的传递函数 4.典型元部件的传递函数
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问题的提出：
微分方程式的阶次一高，求解就有难度，且计算的工作量也 大。
对于控制系统的分析，不仅要了解它在给定信号作用下的 输出响应，而且更重视系统的结构、参数与其性能间的关系。 对于后者的要求，显然用微分方程式去描述是难于实现的。
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传递函数-系统的复数域数学模型
拉氏变换法求解系统微分方程时，可得到 控制系统在复数域中的数学模型—传递函数。
传递函数不仅可表征系统的动态性能，且 可用来研究系统的结构或参数变化对系统性 能的影响。
经典控制论中广泛应用的频率法和根轨 迹法，就是以传递函数为基础的，传递函数 是经典控制理论中最基本和最重要的概念。
R(s)
C(s)
G(s)
传递函数的图示
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说明：
传递函数是物理系统的数学模型,但不能 反应系统的物理性质，不同的物理系统可 以有相同的传递函数； 传递函数只适用于线性定常系统;
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⑶ 物理意义
传递函数是在零初始条件下定义的,控制系统的零初始 条件有两方面的含义:
一是指输入量是在t≥0时才作用于系统,因此在t=0-时 输入量及其各阶导数均为零;
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1. 传递函数的定义和性质
⑴ 定义
线性定常系统的传递函数,定义为初始条件为零时, 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比,记为 G(S),即:
G(s) C(s) R(s)
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设线性定常系统的n阶线性常微分方程为
a0d dn ntc(t)a1d dn n t 1 1c(t) an1d dc t(t)anc(t) b0d dm m tr(t)b1d dm m t 1 1r(t) bm1d drt(t)bmr(t)
在控制工程中，一般并不需要精确地求出系统微分方程式的 解，作出它的输出响应曲线，而是希望用简单的方法了解系统 是否稳定及其在动态过程中的主要特征，能判别某些参数的改 变或校正装置的加入对系统性能的影响。
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因为控制理论着重分析系统的结构、参数与系统的动 态性能之间的关系，所以为简化分析，设系统的初始条 件为零。
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例1 对RC无源网络，求传递函数Uo(s)/Ui(s)。
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解： (1)由KVL，得
又因为
ui(t)Ri(t)uo(t)
i(t) C duo (t) dt
消去中间变量 i(t)
标准化
ui(t)RCdudot(t)uo(t) RCdudot(t)uo(t)ui(t)
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RCdudot(t)uo(t)ui(t)
由传递函数定义得网络传递函数为
G(s)U Uo i((ss))LC 21 sRC 1s
⑵ 性质
① 传递函数是复变量 s 的有理真分式函数,具有复变函数的所有 性质. 有m≤n且所有系数均为实数.
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②
传递函数是一种用系统参数表示输出量与输入量之间关 系的表达式,它只取决于系统或元件的结构和参数,而与输入 量的形式无关,也不反映系统内部的任何信息.因此,可以用下 图的方块图表示一个具有传递函数G(s)的线性系统.
设 r(t) 和 c(t) 及其各阶导数在 t=0 时的值均为零,即零初始条件, 对上式中各项分别求拉氏变换,令C(s)=L[c(t)], R(s)=L[r(t)]，可 得 s 的代数方程为
(a0sna 1sn 1 an 1san)C (s) (b0smb 1sm 1 bm 1sbm )R (s)
( R2
1 C2s
)
1 C1s
U o (s)
1
C2s
R2
1 C2s
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R2
1 C2s
1 C1s
( R2 R2
1 ) 1 C2 s C1s 11 C2 s C1s
R1
U i (s)
化简得传函表达式
复阻抗+分压定理
G (s ) U U o i( ( s s ) ) R 1 C 1 R 2 C 2 s 2 (R 1 C 1 1 R 2 C 2 R 1 C 2 )s 1
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于是,由定义得系统的传递函数为
G ( s ) C R ( ( s s ) ) b a 0 0 s s m n b a 1 1 s s m n 1 1 b a m n 1 1 s s b a m n M N ( ( s s ) )
式中
M ( s ) b 0 s m b 1 s m 1 b m 1 s b m N ( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n