双曲线专题复习讲义及练习学生
双曲线讲义及答案
4．已知点 F1(－4,0)和 F2(4,0)，一曲线上的动点 P 到 F1，F2 距离之差为 6，该曲线方程是 ________ － ＝1 (x≥3)____ _____． 9 7 1 5．双曲线 mx2＋y2＝1 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m＝__－ _________________________． 4 6．已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为 60°， 则 6 双曲线 C 的离心率为___ _____． 2 7．已知双曲线 2－ 2＝1 (a>0，b>0)和椭圆 ＋ ＝1 有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭 a b 16 9 圆离心率的两倍，则双曲线的方程为__ － ＝1______． 4 3 8．若双曲线 2－ 2＝1 (a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心 率为 ( )
n，则 7· 13＝3· 13 a m 2 x y2
x2 y2
变式训练 3 (1)如图，已知 F1、F2 为双曲线 2－ 2＝1 (a>0，b>0) 的焦点，过 F2 作垂直于 x 轴的直线交双曲线于点 P， 且∠PF1F2＝30°，求：(1)双曲线的离心率； (2)双曲线的渐近线方程． (1) 3 (2)y＝± 2x (2) 已 知 点 P 是 双 曲 线
重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多．由于 e＝ 是一个比值，故只需根据条件得到 关于 a、b、c 的一个关系式，利用 b2＝c2－a2 消去 b，然后变形求 e，并且需注意 e>1．
c a
解
(1)由已知：c＝ 13，设椭圆长、短半轴长分别为 a、b，双曲线半实、虚轴长分别为 m、 a－m＝4 ，解得 a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2.
双曲线专题复习讲义自理
双曲线专题复习讲义★知识梳理★1. 双曲线的定义（1）第一定义：当1212||||||2||PF PF a F F -=<时, P 的轨迹为双曲线; 当1212||||||2||PF PF a F F -=>时, P 的轨迹不存在;当21212||F F a PF PF ==-时, P 的轨迹为以21F F 、为端点的两条射线（2）双曲线的第二义平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (1>e )的点的轨迹为双曲线与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程为：)0(2222≠=-λλb y a x与双曲线12222=-b y a x 共轭的双曲线为22221y x b a-=等轴双曲线222a y x ±=-的渐近线方程为x y ±= ，离心率为2=e .；★重难点突破★1.注意定义中“陷阱”问题1：已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为2.注意焦点的位置问题2：双曲线的渐近线为x y 23±=，则离心率为★热点考点题型探析★考点1 双曲线的定义及标准方程 题型1：运用双曲线的定义1.设P 为双曲线11222=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ）A ．36B ．12C ．312D ．242.如图2所示，F 为双曲线1169:22=-y x C 的左 焦点，双曲线C 上的点i P 与()3,2,17=-i P i 关于y 轴对称，则F P F P F P F P F P F P 654321---++的值是（ ） A ．9 B ．16 C ．18 D ．27题型2 求双曲线的标准方程[例2 ] 已知双曲线C 与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C的方程．【新题导练】4.已知双曲线的渐近线方程是2x y ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ；考点2 双曲线的几何性质 题型1 求离心率或离心率的范围7.已知双曲线221x y m n -=的一条渐近线方程为43y x =，则该双曲线的离心率e为 ．c ab AD =，c a a ED 2+=，=+∴c a a 2cab⋅3，2=∴e 题型2 与渐近线有关的问题[例4]若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 （ ） A.2 B.3C.5D.29. 双曲线22149x y -=的渐近线方程是 ( )A. 23y x =±B. 49y x =±C. 32y x =±D. 94y x =±基础巩固训练1. 以椭圆221169144x y +=的右焦点为圆心，且与双曲线221916x y -=的渐近线相切的圆的方程是 （A ）221090x y x +-+= （B ）221090x y x +--= （C ）221090x y x +++= （D ）221090x y x ++-=2.已知双曲线的两个焦点为1(0)F 、20)F ，M 是此双曲线上的一点，且满足120MF MF ⋅= ，12||||2MF MF ⋅=，则该双曲线的方程是 （ ）A ．2219x y -=B ．2219y x -=C ．22137x y -=D ．22173x y -=3.两个正数a 、b 的等差中项是92，一个等比中项是,b a >则双曲线12222=-b y a x 的离心率为( )A ．53B ．4C ．54D ．54..曲线)6(161022<=-+-m m y m x 与曲线)95(19522<<=-+-n ny n x 的 （ ）A ．焦距相等B ．焦点相同C ．离心率相等D ．以上都不对7. 已知椭圆1532222=+ny m x 和双曲线1322222=-n y m x 有公共的焦点，（1）求双曲线的渐近线方程。
新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 42 双曲线
新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习考点知识总结42 双曲线高考 概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中、高等难度考纲 研读1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线) 2．了解双曲线的简单应用 3．理解数形结合的思想一、基础小题1．已知双曲线x 2m 2＋16－y 24m －3＝1的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±54B ．±45 C.±53 D ．±35 答案 D解析 由m 2＋16＝52，解得m ＝3(m ＝－3舍去)．所以a ＝5，b ＝3，从而±b a ＝±35.故选D.2．已知平面内两定点A (－5,0)，B (5,0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝6，则点M 的轨迹方程是( )A.x 216－y 29＝1 B ．x 216－y 29＝1(x ≥4) C.x 29－y 216＝1 D ．x 29－y 216＝1(x ≥3) 答案 D解析 由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线的右支，故排除A ，C ；又c ＝5，a ＝3，∴b 2＝c 2－a 2＝16.∵焦点在x 轴上，∴轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．故选D.3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B ．x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D ．x 220－y 280＝1 答案 A解析 ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10， ∴c ＝5＝a 2＋b 2.①又双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，且P (2,1)在渐近线上，∴2ba ＝1，即a ＝2b .②由①②，解得a ＝25，b ＝5， 则C 的方程为x 220－y 25＝1.故选A.4．设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以OF 为直径的圆交双曲线的一条渐近线于另一点A (O 为坐标原点)，且|OA |＝2|AF |，则双曲线C 的离心率e 为( )A.5 B ．52 C.2 D ．2 答案 B解析 由题意可得tan ∠AOF ＝|AF ||OA |＝|AF |2|AF |＝12，渐近线方程为y ＝±b a x ，∴b a ＝12，e 2＝c 2a 2＝b 2＋a 2a 2＝a 24＋a 2a 2＝54，故e ＝52.故选B.5．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．2B ．4 C.6 D ．8 答案 B解析 由双曲线的方程，得a ＝1，c ＝2，由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|＝22＋|PF 1|·|PF 2|＝(22)2，解得|PF 1|·|PF 2|＝4.故选B.6．(多选)已知曲线C 的方程为x 2k 2－2－y 26－k ＝1，则下列结论正确的是( )A ．当k ＝8时，曲线C 为椭圆，其焦距为4＋15B ．当k ＝2时，曲线C 为双曲线，其离心率为3C ．对任意实数k ，曲线C 都不可能为焦点在y 轴上的双曲线D ．当k ＝3时，曲线C 为双曲线，其渐近线与圆(x －4)2＋y 2＝9相切答案 BC解析 对于A ，当k ＝8时，曲线C 的方程为x 262＋y 22＝1，该曲线为椭圆，焦距2c ＝262－2＝415，A 错误；对于B ，当k ＝2时，曲线C 的方程为x 22－y 24＝1，该曲线为双曲线，则a ＝2，c ＝6，其离心率e ＝ca ＝3，B 正确；对于C ，若曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，则⎩⎨⎧6－k <0，k 2－2<0，不等式组无解，故不存在实数k 使得曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，C 正确；对于D ，当k ＝3时，曲线C 的方程为x 27－y 23＝1，该曲线为双曲线，其渐近线方程为y ＝±217x ，则圆(x －4)2＋y 2＝9的圆心到渐近线的距离d ＝|±421|21＋49＝4310＝2305≠3，所以双曲线C 的渐近线与圆(x －4)2＋y 2＝9不相切，D 错误．故选BC.7．(多选)已知动点P 在双曲线C ：x 2－y 23＝1上，双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，下列结论正确的是( )A ．C 的离心率为2B ．C 的渐近线方程为y ＝±33xC ．动点P 到两条渐近线的距离之积为定值D ．当动点P 在双曲线C 的左支上时，|PF 1||PF 2|2的最大值为14答案 AC解析 对于双曲线C ：x 2－y 23＝1，a ＝1，b ＝3，c ＝2，所以双曲线C 的离心率为e ＝c a ＝2，渐近线方程为y ＝±3x ，A 正确，B 错误；设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x 20－y 203＝1，双曲线C 的两条渐近线方程分别为x －33y ＝0和x ＋33y ＝0，则点P 到两条渐近线的距离之积为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0－33y 01＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－332·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋33y 01＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20－y 20343＝34，C 正确；当动点P 在双曲线C 的左支上时，|PF 1|≥c －a ＝1，|PF 2|＝2a ＋|PF 1|＝|PF 1|＋2，|PF 1||PF 2|2＝|PF 1|(|PF 1|＋2)2＝|PF 1||PF 1|2＋4＋4|PF 1|＝1|PF 1|＋4|PF 1|＋4≤12|PF 1|·4|PF 1|＋4＝18，当且仅当|PF 1|＝2时，等号成立，所以|PF 1||PF 2|2的最大值为18，D 错误．故选AC.8．设F 1，F 2分别为双曲线x 216－y 220＝1的左、右焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点F 1的距离为9，则点P 到焦点F 2的距离为________．答案 17解析 解法一：∵实轴长2a ＝8，半焦距c ＝6，∴||PF 1|－|PF 2||＝8.∵|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或|PF 2|＝17.又|PF 2|的最小值为c －a ＝6－4＝2，∴|PF 2|＝17.解法二：若P 在右支上，则|PF 1|≥a ＋c ＝4＋6＝10>9，∴P 在左支上．∴|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8，∴|PF 2|＝9＋8＝17.9．直线y ＝k (x ＋6)(k >0)与双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)及其渐近线从左至右依次交于点A ，B ，C ，D ，双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，且焦距为4，则△F 2CD 与△F 1AB 的面积之比为________．答案 2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y2b2＝1，y ＝k (x ＋6)，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－k 2b 2x 2－12k 2xb 2－1－36k 2b 2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝0，y ＝k (x ＋6)，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－k 2b 2x 2－12k 2x b 2－36k2b 2＝0，由以上两式可知，x A ＋x D ＝x B ＋x C ，故AD ，BC 具有相同的中点，故|AB |＝|CD |，又直线y ＝k (x ＋6)过定点G (－6,0)，如图，过F 1，F 2作直线y ＝k (x ＋6)的垂线，垂足分别为N ，M ，由焦距为4可得F 1(－2，0)，F 2(2,0)，则|GF 2|＝2|GF 1|.所以S △F 2CD S △F 1AB＝12|CD |·|MF 2|12|AB |·|NF 1|＝|GF 2||GF 1|＝2.二、高考小题10．(2022·北京高考)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过点(2，3)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1 B ．x 23－y 2＝1C ．x 2－3y 23＝1D ．3x23－y 2＝1答案 A解析 ∵e ＝c a ＝2，∴c ＝2a ，b ＝c 2－a 2＝3a ，则双曲线的方程为x 2a 2－y 23a 2＝1，将点(2，3)代入双曲线的方程可得2a 2－33a 2＝1a 2＝1，解得a ＝1，故b ＝3，因此，双曲线的方程为x 2－y 23＝1.故选A.11．(2022·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝3|PF 2|，则C 的离心率为( )A.72 B ．132 C.7 D ．13 答案 A解析 由|PF 1|＝3|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，得|PF 2|＝a ，|PF 1|＝3a ，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos ∠F 1PF 2，即(2c )2＝(3a )2＋a 2－2×3a ×a ×cos60°，得4c 2＝7a 2，所以C 的离心率e ＝c a ＝72.故选A.12．(2022·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C ，D 两点，若|CD |＝2|AB |.则双曲线的离心率为( )A.2 B ． 3 C.2 D ．3 答案 A解析 设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝2px (p >0)的公共焦点为(c,0)，则抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－c ，令x ＝－c ，则c 2a 2－y 2b 2＝1，解得y ＝±b 2a ，所以|AB |＝2b 2a ，又因为双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，所以|CD |＝2bc a ，所以2bc a ＝22b 2a ，即c ＝2b ，所以a 2＝c 2－b 2＝12c 2，所以双曲线的离心率e ＝ca ＝ 2.故选A.13．(2022·浙江高考)已知a ，b ∈R ，ab >0，函数f (x )＝ax 2＋b (x ∈R )．若f (s －t )，f (s )，f (s ＋t )成等比数列，则平面上点(s ，t )的轨迹是()A ．直线和圆B ．直线和椭圆C ．直线和双曲线D ．直线和抛物线 答案 C解析 因为函数f (x )＝ax 2＋b ，所以f (s －t )＝a (s －t )2＋b ，f (s )＝as 2＋b ，f (s ＋t )＝a (s ＋t )2＋b .因为f (s －t )，f (s )，f (s ＋t )成等比数列，所以[f (s )]2＝f (s －t )f (s ＋t )，即(as 2＋b )2＝[a (s －t )2＋b ]·[a (s ＋t )2＋b ]，化简得－2a 2s 2t 2＋a 2t 4＋2abt 2＝0，得t ＝0或2as 2－at 2＝2b ，即t ＝0或as 2b －at 22b ＝1，易知点(s ，t )的轨迹是直线和双曲线．故选C.14．(2022·天津高考)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，过抛物线y 2＝4x 的焦点和点(0，b )的直线为l .若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 24＝1 B ．x 2－y 24＝1C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 2＝1 答案 D解析 由题可知，抛物线的焦点为(1,0)，所以直线l 的斜率为－b ，又双曲线的渐近线的方程为y ＝±b a x ，所以－b ＝－b a ，－b ×ba ＝－1.因为a ＞0，b ＞0，所以a ＝1，b ＝1.故选D.15．(2022·全国Ⅲ卷)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为 5.P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝( )A ．1B ．2 C.4 D ．8 答案 A解析 ∵ca ＝5，∴c ＝5a ，根据双曲线的定义可得||F 1P |－|F 2P ||＝2a ，∵S △PF 1F 2＝12|F 1P |·|F 2P |＝4，∴|F 1P |·|F 2P |＝8.∵F 1P ⊥F 2P ，∴|F 1P |2＋|F 2P |2＝(2c )2，∴(|F 1P |－|F 2P |)2＋2|F 1P |·|F 2P |＝4c 2，即(2a )2＋2×8＝4(5a )2，解得a ＝1.故选A.16．(2022·全国Ⅱ卷)设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点，若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为( )A ．4B ．8 C.16 D ．32 答案 B解析 ∵直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点，双曲线的渐近线方程是y ＝±ba x ，不妨设D 在第一象限，E 在第四象限，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝b ax ，解得⎩⎨⎧x ＝a ，y ＝b .故D (a ，b )．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝－ba x ，解得⎩⎨⎧x ＝a ，y ＝－b .故E (a ，－b )．∴|ED |＝2b .∴△ODE 的面积为S △ODE ＝12a ×2b ＝ab ＝8.∵双曲线的焦距为2c ＝2a 2＋b 2≥22ab ＝216＝8，当且仅当a ＝b ＝22时取等号，∴C 的焦距的最小值为8.故选B.17．(2022·全国Ⅱ卷)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A.2 B ． 3 C.2 D ． 5 答案 A解析 设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的坐标为(c,0)．由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，如图，则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c 2.由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2得⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2，故c a ＝2，即e ＝ 2.故选A.18．(2022·全国Ⅲ卷)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A.324 B ．322 C.22 D ．3 2 答案 A解析 双曲线x 24－y 22＝1的右焦点坐标为(6，0)，一条渐近线的方程为y ＝22x ，不妨设点P 在第一象限，由于|PO |＝|PF |，则点P 的横坐标为62，纵坐标为22×62＝32，即△PFO 的底边长为6，高为32，所以它的面积为12×6×32＝324.故选A.19．(2022·全国Ⅰ卷)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32 B ．3 C.23 D ．4 答案 B解析 因为双曲线的一条渐近线为y ＝33x ，所以tan ∠FON ＝33，所以∠FON ＝30°，∠MON ＝60°，又因为△OMN 是直角三角形，不妨取∠NMO ＝90°，则∠ONF ＝30°，于是|FN |＝|OF |＝2，|FM |＝12|OF |＝1，所以|MN |＝3.故选B.20．(2022·全国Ⅲ卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A.5 B ．2 C.3 D ． 2 答案 C解析 由题可知|PF 2|＝b ，|OF 2|＝c ，∴|PO |＝a .在Rt △POF 2中，cos ∠PF 2O ＝|PF 2||OF 2|＝bc ，∵在△PF 1F 2中，cos ∠PF 2O ＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|＝b c ，∴b 2＋4c 2－(6a )22b ·2c ＝b c⇒c 2＝3a 2，∴e ＝ 3.故选C.21．(2022·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B ．x 212－y 24＝1C.x 23－y 29＝1 D ．x 29－y 23＝1 答案 C解析 解法一：∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，∴e 2＝1＋b 2a 2＝4，∴b 2a 2＝3，即b 2＝3a 2，∴c 2＝a 2＋b 2＝4a 2，由题意可设A (2a,3a )，B (2a ，－3a )，∵b 2a 2＝3，∴渐近线方程为y ＝±3x ，则点A 与点B 到直线3x －y ＝0的距离分别为d 1＝|23a －3a |2＝23－32a ，d 2＝|23a ＋3a |2＝23＋32a ，又d 1＋d 2＝6，∴23－32a ＋23＋32a ＝6，解得a ＝3，∴b 2＝9.∴双曲线的方程为x 23－y 29＝1.故选C.解法二：如图，设双曲线的右焦点为F (c,0)，一条渐近线为y ＝ba x ，则F 到该渐近线的距离d ＝|bc |a 2＋b2＝b ，又d 1＋d 2＝6，由梯形中位线可知2d ＝d 1＋d 2，即2b ＝6，b ＝3，∵双曲线离心率为2，∴e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝2，∴a 2＝3.∴双曲线的方程为x 23－y 29＝1.故选C.22．(2022·新高考Ⅱ卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________．答案 y ＝±3x解析 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝2，所以b 2a 2＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±3x .23．(2022·全国乙卷)已知双曲线C ：x 2m －y 2＝1(m >0)的一条渐近线为3x ＋my ＝0，则C 的焦距为________．答案 4解析 双曲线x 2m －y 2＝1(m >0)的渐近线为y ＝±1m x ，即x ±my ＝0，又双曲线的一条渐近线为3x ＋my ＝0，即x ＋m3y ＝0，对比两式可得m ＝3.设双曲线的实半轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ，则有a 2＝m ＝3，b 2＝1，所以双曲线的焦距2c ＝2a 2＋b 2＝4.24．(2022·北京高考)已知双曲线C ：x 26－y 23＝1，则C 的右焦点的坐标为________；C 的焦点到其渐近线的距离是________．答案 (3,0)3解析 在双曲线C 中，a ＝6，b ＝3，则c ＝a 2＋b 2＝3，则双曲线C 的右焦点的坐标为(3,0)．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±22x ，即x ±2y ＝0，所以双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为31＋2＝ 3. 25．(2022·全国Ⅰ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________．答案 2解析 解法一：由F 1A →＝AB →，得A 为F 1B 的中点．又O 为F 1F 2的中点， ∴OA ∥BF 2. 又F 1B →·F 2B →＝0， ∴∠F 1BF 2＝90°. ∴|OF 2|＝|OB |， ∴∠OBF 2＝∠OF 2B .又∠F 1OA ＝∠BOF 2，∠F 1OA ＝∠OF 2B ， ∴∠BOF 2＝∠OF 2B ＝∠OBF 2， ∴△OBF 2为等边三角形． 如图1所示，不妨设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，－32c .∵点B 在直线y ＝－b a x 上，∴ba ＝3，∴离心率e ＝ca ＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2. 解法二：∵F 1B →·F 2B →＝0，∴∠F 1BF 2＝90°.在Rt △F 1BF 2中，O 为F 1F 2的中点，∴|OF 2|＝|OB |＝c .如图2，作BH ⊥x 轴于H ，由l 1为双曲线的渐近线，可得|BH ||OH |＝ba ，且|BH |2＋|OH |2＝|OB |2＝c 2，∴|BH |＝b ，|OH |＝a ，∴B (a ，－b )，F 2(c,0)．又F 1A →＝AB →，∴A 为F 1B 的中点．∴OA ∥F 2B ，∴b a ＝b c －a，∴c ＝2a ，∴离心率e ＝c a ＝2.三、模拟小题26．(2022·广东广州荔湾区高三上调研考试)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 23－y 2＝1的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以线段F 1F 2为直径的圆经过点P ，则点P 的横坐标为( )A ．±1B ．±2 C.±3 D ．±2 答案 C解析 由题设，渐近线为y ＝±33x ，不妨令P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，33x 0，而F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴F 1P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋2，33x 0，F 2P →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0－2，33x 0，又F 1P →·F 2P →＝x 20－4＋x 203＝0，∴x 0＝±3.故选C.27．(2022·湖北恩施州高三上第一次教学质量监测)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 的直线交双曲线C 于另一点B ，当BF ⊥AF 时满足|AF |>2|BF |，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A ．1<e <2B ．1<e <32 C.32<e <2 D ．1<e <3＋32 答案 B解析 设双曲线半焦距为c ，因BF ⊥AF ，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c ，x 2a 2－y 2b 2＝1，得|BF |＝|y |＝b 2a ，而|AF |＝a ＋c ，于是得a ＋c >2·b 2a ，即a ＋c >2·c 2－a 2a ，整理得a >23c ，从而有e ＝c a <32，又e >1，所以双曲线离心率e 的取值范围是1<e <32.故选B.28．(2022·湖北黄石高三上调研)P 为双曲线x 2－y 2＝1左支上任意一点，EF 为圆C ：(x －2)2＋y 2＝4的任意一条直径，则PE →·PF→的最小值为() A ．3 B ．4 C.5 D ．9 答案 C解析 如图，圆C 的圆心C 为(2,0)，半径r ＝2，PE →·PF →＝(PC →＋CE →)·(PC →＋CF →)＝(PC →＋CE →)·(PC →－CE →)＝|PC →|2－|CE →|2＝|PC →|2－4，则当点P 位于双曲线左支的顶点时，|PC →|2－4最小，即PE →·PF →最小．此时PE →·PF→的最小值为(1＋2)2－4＝5.故选C.29．(2022·重庆实验外国语学校高三上入学考试)如图，O 是坐标原点，P 是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右支上的一点，F 是E 的右焦点，延长PO ，PF 分别交E 于Q ，R 两点，已知QF ⊥FR ，且|QF |＝2|FR |，则E 的离心率为( )A.174 B ．173 C.214 D ．213 答案 B解析 如图，令双曲线E 的左焦点为F ′，连接PF ′，QF ′，RF ′，由对称性可知，点O 是线段PQ 的中点，则四边形PFQF ′是平行四边形，而QF ⊥FR ，于是有▱PFQF ′是矩形，设|FR |＝m ，则|PF ′|＝|FQ |＝2m ，|PF |＝2m －2a ，|RF ′|＝m ＋2a ，|PR |＝3m －2a ，在Rt △F ′PR 中，(2m )2＋(3m －2a )2＝(m ＋2a )2，解得m ＝4a 3或m ＝0(舍去)，从而有|PF ′|＝8a 3，|PF |＝2a 3，Rt △F ′PF 中，⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 32＝4c 2，整理得c 2a 2＝179，e ＝c a ＝173，所以双曲线E 的离心率为173.故选B.30．(2022·河北沧州第一中学等十五校高三上摸底考试)已知F 1，F 2是双曲线C ：x 23－y 2＝1的两个焦点，点M 在直线x －y ＋3＝0上，则|MF 1|＋|MF 2|的最小值为( )A ．213B ．6 C.26 D ．5 答案 C解析 由双曲线C ：x 23－y 2＝1可得a 2＝3，b 2＝1，所以c 2＝a 2＋b 2＝4，可得c ＝2，所以F 1(－2，0)，F 2(2,0)，设点F 2(2,0)关于x －y ＋3＝0对称的点为P (m ，n )，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋22－n 2＋3＝0，n m －2＝－1，可得⎩⎨⎧m ＝－3，n ＝5，所以P (－3，5)，所以|MF 1|＋|MF 2|＝|MF 1|＋|MP |≥|PF 1|，当且仅当P ，M ，F 1三点共线时等号成立，|PF 1|＝[－3－(－2)]2＋(5－0)2＝26，所以|MF 1|＋|MF 2|的最小值为26，故选C.31．(多选)(2022·辽宁朝阳建平县高三上学期第一次联考)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点在圆O ：x 2＋y 2＝13上，圆O 与双曲线C 的渐近线在第一、二象限分别交于点M ，N ，点E (0，a )满足EO→＋EM →＋EN →＝0(其中O 为坐标原点)，则() A ．双曲线C 的一条渐近线方程为3x －2y ＝0 B ．双曲线C 的离心率为132 C ．|OE→|＝1 D ．△OMN 的面积为6 答案 ABD解析 如图，设双曲线C 的焦距为2c ＝213，MN 与y 轴交于点P ，由题可知|OM |＝c ＝13，则P (0，b )，由EO→＋EM →＋EN →＝0得点E 为△OMN 的重心，可得|OE |＝23|OP |，即a ＝23b ，b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝94，a ＝2，b ＝3，e 2－1＝94，解得e ＝132.双曲线C 的渐近线方程为3x ±2y ＝0，|OE →|＝2，M 的坐标为(2,3)，S△OMN ＝6.故选ABD.32．(多选)(2022·湖北襄阳五中高三开学考试)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，C 的一条渐近线l 的方程为y ＝3x ，且F 1到l 的距离为33，点P 为C 在第一象限上的点，点Q 的坐标为(2,0)，PQ 为∠F 1PF 2的平分线．则下列结论正确的是( )A ．双曲线的方程为x 29－y 227＝1 B.|PF 1||PF 2|＝2C ．|PF 1→＋PF 2→|＝36 D ．点P 到x 轴的距离为3152 答案 ABD解析 ∵F 1(－c,0)到y ＝3x 距离为33，∴3c2＝33，解得c ＝6，又渐近线方程为y ＝3x ，则b a ＝3，结合a 2＋b 2＝c 2可解得a ＝3，b ＝33，则双曲线的方程为x 29－y 227＝1，故A 正确；∵PQ 为∠F 1PF 2的平分线，∴S △F 1PQ S △F 2PQ ＝12×|PF 1|×|PQ |×sin ∠F 1PQ12×|PF 2|×|PQ |×sin ∠F 2PQ ＝|PF 1||PF 2|，又S △F 1PQ S △F 2PQ ＝|QF 1||QF 2|＝84＝2，∴|PF 1||PF 2|＝2，故B 正确；由双曲线定义可得|PF 1|－|PF 2|＝6，则可得|PF 1|＝12，|PF 2|＝6，则在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2＝122＋62－1222×12×6＝14，则|PF 1→＋PF 2→|2＝PF 1→2＋2PF 1→·PF 2→＋PF 2→2＝122＋2×12×6×14＋62＝216，则|PF 1→＋PF 2→|＝66，故C 错误；在△PF 1F 2中，sin ∠F 1PF 2＝1－cos 2∠F 1PF 2＝154，设点P 到x 轴的距离为d ，则S △PF 1F 2＝12×|F 1F 2|×d ＝12|PF 1|×|PF 2|×sin ∠F 1PF 2，即12×12×d ＝12×12×6×154，解得d ＝3152，故D 正确．故选ABD.33．(2022·湖南娄底双峰县第一中学高三上学期入学摸底)双曲线x 2－my 2＝m (m >0)的一条渐近线与y ＝2x 垂直，右焦点为F ，则以原点为圆心，|OF |为半径的圆的面积为________．答案 5π解析 由x 2－my 2＝m (m >0)可得x 2m －y 2＝1，所以a ＝m ，b ＝1，所以渐近线方程为y ＝±b a x ＝±1m x ，因为双曲线x 2－my 2＝m (m >0)的一条渐近线与y ＝2x 垂直，所以－1m ×2＝－1，可得m ＝4，所以c ＝a 2＋b 2＝m ＋1＝5，所以右焦点为F (5，0)，所以|OF |＝5，以|OF |为半径的圆的面积为π×(5)2＝5π.34．(2022·上饶模拟)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积为________．答案 4解析 由题意知a ＝1，由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|＝2a ＝2，|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2，∴|AF 1|＝2＋|AF 2|＝4，|BF 1|＝2＋|BF 2|.由题意知|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|，∴|AB |＝|BF 1|，∴△F 1AB 为等腰三角形， ∵∠F 1AF 2＝45°，∴∠ABF 1＝90°， ∴△F 1AB 为等腰直角三角形．∴|AB |＝|BF 1|＝22|AF 1|＝22×4＝2 2.∴S △F 1AB ＝12|AB |·|BF 1|＝12×22×22＝4.一、高考大题1．(2022·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1(－17，0)，F 2(17，0)，点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝2.记M 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)设点T 在直线x ＝12上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和．解 (1)因为|MF 1|－|MF 2|＝2<|F 1F 2|＝217，所以点M 的轨迹C 是以F 1，F 2分别为左、右焦点的双曲线的右支．设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，半焦距为c ，则2a ＝2，c ＝17，得a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝16，所以点M 的轨迹C 的方程为x 2－y 216＝1(x ≥1)．(2)设T ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，t ，由题意可知直线AB ，PQ 的斜率均存在且不为0，设直线AB 的方程为y －t ＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(k 1≠0)，直线PQ 的方程为y －t ＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(k 2≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －t ＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，x 2－y 216＝1，得(16－k 21)x 2－2k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 122－16＝0. 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，易知16－k 21≠0，则x A x B ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 122－1616－k 21，x A ＋x B ＝2k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 1216－k 21， 所以|TA |＝1＋k 21⎪⎪⎪⎪⎪⎪x A －12＝1＋k 21⎝ ⎛⎭⎪⎫x A －12， |TB |＝1＋k 21⎪⎪⎪⎪⎪⎪x B －12＝1＋k 21⎝ ⎛⎭⎪⎫x B －12， 则|TA |·|TB |＝(1＋k 21)⎝ ⎛⎭⎪⎫x A －12⎝ ⎛⎭⎪⎫x B －12 ＝(1＋k 21)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x A x B －12(x A ＋x B )＋14 ＝(1＋k 21)－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 122－1616－k 21－12·2k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 1216－k 21＋14＝(1＋k 21)(t 2＋12)k 21－16. 同理得|TP |·|TQ |＝(1＋k 22)(t 2＋12)k 22－16. 因为|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |，所以(1＋k 21)(t 2＋12)k 21－16＝(1＋k 22)(t 2＋12)k 22－16， 所以k 22－16＋k 21k 22－16k 21＝k 21－16＋k 21k 22－16k 22，即k 21＝k 22，又k 1≠k 2，所以k 1＝－k 2，即k 1＋k 2＝0. 二、模拟大题2．(2022·湖南岳阳第一次模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为52，点P (4，3)在C 上．(1)求双曲线C 的方程；(2)设过点(1,0)的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，问在x 轴上是否存在定点Q ，使得QM →·QN→为常数？若存在，求出点Q 的坐标及此常数的值；若不存在，说明理由． 解(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧16a 2－3b 2＝1，c a ＝52，a 2＋b 2＝c 2，解得a 2＝4，b 2＝1.∴双曲线C 的方程为x 24－y 2＝1.(2)设直线l 的方程为x ＝my ＋1，设定点Q (t,0)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x24－y 2＝1，x ＝my ＋1，得(m 2－4)y 2＋2my －3＝0.∴m 2－4≠0，且Δ＝4m 2＋12(m 2－4)＞0，解得m 2＞3且m 2≠4.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴y 1＋y 2＝－2m m 2－4，y 1y 2＝－3m 2－4，∴x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝－2m 2m 2－4＋2＝－8m 2－4，x 1x 2＝(my 1＋1)(my 2＋1)＝m 2y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＋1＝－3m 2m 2－4－2m 2m 2－4＋1＝－4m 2＋4m 2－4＝－4－20m 2－4.∴QM →·QN →＝(x 1－t ，y 1)·(x 2－t ，y 2)＝(x 1－t )(x 2－t )＋y 1y 2＝x 1x 2－t (x 1＋x 2)＋t 2＋y 1y 2＝－4－20m 2－4＋t ·8m 2－4－3m 2－4＋t 2＝－4＋t 2＋8t －23m 2－4为常数，与m 无关，∴8t －23＝0，即t ＝238，此时QM →·QN→＝27364.∴在x 轴上存在定点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫238，0，使得QM →·QN →为常数27364.3．(2022·广东珠海高三摸底)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (2，0)，且经过点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，12.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知点A 是C 上一定点，过点B (0,1)的动直线与双曲线C 交于P ，Q 两点，若k AP ＋k AQ 为定值λ，求点A 的坐标及实数λ的值．解 (1)由题意a 2＋b 2＝c 2＝2.且54a 2－14b 2＝1.联立解得a ＝b ＝1，所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 2＝1. (2)设A (m ，n )，过点B 的动直线为：y ＝tx ＋1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧x 2－y 2＝1，y ＝tx ＋1得(1－t 2)x 2－2tx －2＝0，由1－t 2≠0且Δ>0，解得t 2<2且t 2≠1，所以x 1＋x 2＝2t1－t 2，x 1x 2＝－21－t 2，k AP ＋k AQ ＝λ，即y 1－n x 1－m ＋y 2－n x 2－m ＝λ，即tx 1＋1－n x 1－m ＋tx 2＋1－nx 2－m ＝λ，化简得(2t －λ)x 1x 2＋(－mt ＋1－n ＋λm )(x 1＋x 2)－2m ＋2mn －λm 2＝0， 所以(2t －λ)－21－t 2＋(－mt ＋1－n ＋λm )2t 1－t 2－2m ＋2mn －λm 2＝0， 化简得m (λm －2n )t 2＋2(λm －n －1)t ＋2λ－2m ＋2mn －λm 2＝0， 由于上式对无穷多个不同的实数t 都成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m (λm －2n )＝0，λm －n －1＝0，2λ－2m ＋2mn －λm 2＝0如果m ＝0，那么n ＝－1，此时A (0，－1)不在双曲线C 上，舍去． 因此m ≠0，从而λm ＝2n ＝n ＋1，所以n ＝1，代入2λ－2m ＋2mn －λm 2＝0， 得2λ＝λm 2，解得m ＝±2，此时A (±2，1)在双曲线C 上． 综上，A (2，1)，λ＝2或A (－2，1)，λ＝－ 2.4. (2022·广东普通高中高三阶段性质量检测)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知等轴双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点为A ，过右焦点F 且垂直于x 轴的直线与E 交于B ，C 两点，若△ABC 的面积为2＋1.(1)求双曲线E 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx －1与双曲线E 的左、右两支分别交于M ，N 两点，与双曲E 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，求|MN ||PQ |的取值范围．解 (1)因为双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)为等轴双曲线，可得a ＝b . 设双曲线的焦距为2c ，c >0， 故c 2＝a 2＋b 2＝2a 2，即c ＝2a . 因为BC 过右焦点F ，且垂直于x 轴，将x B ＝c ＝2a 代入双曲线的方程可得|y B |＝a ，故|BC |＝2a . 又△ABC 的面积为1＋2，即12|BC |·|AF |＝12×2a ×(a ＋c )＝1＋2， 解得a ＝1.故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1.(2)由题意可得直线l ：y ＝kx －1与双曲线的左右两支分别交于M ，N 两点， 联立⎩⎨⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1，可得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，所以1－k 2≠0，Δ＝(2k )2－4(1－k 2)(－2)>0，x M x N ＜0，可得－1<k <1， 且x M ＋x N ＝－2k1－k 2，x M x N＝－21－k 2， 所以|MN |＝(x M －x N )2＋(y M －y N )2 ＝1＋k 2|x M －x N |＝1＋k 2·(x M ＋x N )2－4x M x N ＝21＋k 2·2－k 21－k 2，联立⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝kx －1，可得x P ＝1k －1，同理可得x Q ＝1k ＋1， 所以|PQ |＝1＋k 2|x P －x Q |＝1＋k 2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1k －1－1k ＋1＝21＋k 21－k 2，所以|MN ||PQ |＝21＋k 2·2－k 221＋k2＝2－k 2， 其中－1<k <1，所以|MN ||PQ |∈(1，2]．。
高中数学双曲线讲义及练习
双曲线的定义与性质要求层次重难点双曲线的定义及标准方程 A由定义和性质求双曲线的方程；由双曲线的标准方程探求几何性质双曲线的简单几何性质A（一） 知识内容1．双曲线的定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12||F F 且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．两焦点的距离叫做双曲线的焦距． 2．双曲线的标准方程：①22221(00)x y a b a b -=>>，，焦点坐标为(0)c -，，(0)c ，，222c a b =+； ②22221(00)y x a b a b-=>>，，焦点坐标为1(0)F c -，，2(0)F c ，，222c a b =+； 3．双曲线的几何性质（用标准方程22221(00)x y a b a b-=>>，来研究）： ⑴范围：x a ≥或x a -≤；如图．⑵对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，这个对称中心又叫做双曲线的中心．⑶顶点：双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点． ⑷实轴与虚轴：两个顶点间的线段叫做双曲线的实轴．如图中，1A ，2A 为顶点，线段12A A 为双曲线的实轴．在y 轴上作点1(0)B b -，，2(0)B b ，，线段12B B 叫做双曲线的虚轴． ⑸渐近线：直线by x a =±；⑹离心率：ce a=叫做双曲线的离心率，1e >．双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．例题精讲高考要求知识框架双曲线<教师备案>1．渐近线的理解：过双曲线上的一点()M x y ，（考虑对称性，不妨设M是第一象限内的点）作平行于y 轴的直线，设它与直线by x a =相交于点P ，（见上页图）则||b PM x a =(b xa ==当x a >时，x 随着x 的增大而增大，从而||PM 越来越接近于0．这说明，当点M 以双曲线C 的顶点2A 开始在第一象限沿此双曲线移动并越来越远离点2A 时，点M 和直线b y x a =就越来越接近，而且bx a的下方，且与直线越来越接近，不会相交． 其它象限内的情况与此类似． 2．双曲线的开口大小：渐近线的斜率的绝对值b a ==e 越大，ba也越大，双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔．3．画双曲线的草图时，一般都是先画出以2,2a b 为边长的矩形，它的对角线恰为双曲线的渐近线，且双曲线的顶点在此矩形上，故可由此作出双曲线的较好的草图．4．求双曲线的渐近线方程有一个比较容易的办法是直接令右边的常数为零，方程所表示的两条直线就是所求的渐近线方程．对于双曲线22221y x a b-=，它的渐近线方程即为22220y x a b -=，即直线ay x b=±．（二）典例分析【例1】 ⑴动点P 与点1(05)F -，、2(05)F ，满足216PF PF -=，则点P 的轨迹方程为（ ） A ．221916x y -= B ．221169x y -+=C ．221(3)169x y y -+=≥D ．221(3)169x y y -+=-≤⑵P 是双曲线2216436x y -=上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，且117PF =，求2PF 的值．【变式】 在ABC △中，BC 固定，顶点A 移动．设||2BC =，当三个角A B C ，，满足条件1|sin sin |sin 2C B A -=时，求顶点的轨迹方程．【例2】 如图，已知双曲线的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线与左支交于A B ，两点，若5AB =且实轴长为8，则2ABF △的周长为 ．xyOA BF 1F 2【例3】 根据下列条件，求双曲线的标准方程．⑴6c =(52)-，，焦点在x 轴上．⑵与双曲线221164x y -=有相同焦点，且经过点(322)．【例4】 已知下列双曲线方程，求它们的焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程，以及焦距、实轴和虚轴长，并在同一坐标系中分别画出这两个双曲线的图象． ⑴223412x y -= ⑵224312y x -=【例5】 求顶点间的距离为6，渐近线方程为32y x =±的双曲线的标准方程．【例6】 双曲线221916x y -=的两焦点为12F F ，，若双曲线上一点P 满足12PF PF ⊥，则点P 到x 轴的距离为 ．已知双曲线的中心在原点，两个焦点12F F ，分别为0)和(0)，点P 在双曲线上且12PF PF ⊥，且12PF F △的面积为1，则双曲线的方程为_________．【变式】 ⑴椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，则双曲线22221x y a b-=的离心率为_______．⑵设双曲线与椭圆2212736x y +=有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程．【变式】 已知双曲线22221x y a b-=(00)a b >>，的实轴长为8，点P 3)是双曲线上的一点， ⑴求此双曲线的方程；⑵写出双曲线的离心率、渐近线方程；⑶与此双曲线有共同的焦点，且离心率为2的椭圆的标准方程．【变式】 中心在原点，焦点在x 轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点1F 、2F ，且12F F =椭圆的长轴长与双曲线的实轴长之差为8，离心率之比为3:7，求这两条曲线的方程．【例7】 ⑴双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为_______；⑵求与双曲线221169x y -=共渐近线且过点3)A -的双曲线方程．【变式】 设12F F ，为双曲线22221(00)sin 2x y b b θθ-=<>π≤，的两个焦点，过1F 的直线交双曲线的同支于A B ，两点，如果||AB m =，则2AF B ∆的周长的最大值是（ ）． A ．4m - B ．4 C ．4m + D ．42m +【变式】 椭圆22214x y a +=与双曲线2212x y a -=的焦点相同，则a = ．【例8】 双曲线2214x y k+=的离心率(1,2)e ∈，则k 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞B ．(3,0)-C ．(12,0)-D ．(60,12)--【变式】 设1F 、2F 为双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上满足1290F PF ∠=︒，则12F PF △的面积是（ ）Ａ．1 2 Ｃ．2【变式】 （2009海淀一模）已知实数x y ，满足()2222100x y a b a b-=>>，，则下列不等式中恒成立的是（ ）A ．b y x a <B ．2b y x a >-C ．b y x a >-D ．2by x a<【变式】 （2009湖南13）过双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的一个焦点作圆222x y a +=的两条切线，切点分别为A ，B ．若120AOB ∠=︒（O 是坐标原点），则双曲线C 的离心率为 ．【例9】 （2009辽宁16）已知F 是双曲线221412-=x y 的左焦点，()14A ，，P 是双曲线右支上的动点，则+PF PA 的最小值为 ．【例10】 (2002年北京卷文)已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x y m n-=有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是( )A ．x y =B ．y =C ．x y =D ．y x =【变式】 （2007年浙江省宁波二中高二期中联考数学选修2-1测试）P 是双曲线221916x y －＝的右支上一点，M 、N 分别是圆1C ：22(5)4x y ++=和2C ：22(5)1x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为 ．【例11】 已知双曲线C ：22221x y a b-=(00)a b >>，C 的两个焦点为12F F ，，直线l 过2F ，且l 与线段12F F 的垂直平分线交点为P ，线段2PF 与双曲线交点为Q ，12tan F F Q ∠=，2:2:1PQ QF =，求双曲线的方程．【变式】 （2008重庆8）已知双曲线22221x y a b-=（00a b >>，）的一条渐近线为y kx =()>0k ，离心率e =，则双曲线方程为（ ） A ．222214x y a a-=B ．222215x y a a -=C ．222214x y b b -=D ．222215x y b b-=【变式】 （2008四川延7）若点(20)P ，到双曲线22221x y a b-= ）AB C ． D ．【变式】 （2008山东10）设椭圆1C 的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26．若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程为（ ）A ．2222143x y -=B ．22221135x y -=C ．2222134x y -=D ．222211312x y -=【例12】 ⑴（2008四川11）已知双曲线C ：221916x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为C 的右支上一点，且212PF F F =，则12PF F ∆ 的面积等于（ ）A ．24B ．36C ．48D ．96 ⑵（2009东城一模11）如图，已知ABCDEF 为正六边形，若以C ，F 为焦点的双曲线恰好经过A ，B ，D ，E 四点，则该双曲线的离心率为______．F ED CBA【变式】 （2008福建11）双曲线22221x y a b-=()00a b >>，的两个焦点为1F 、2F ，若P 为其上一点，且122PF PF =，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．()13，B ．(]13，C ．()3+∞，D ．[)3+∞，【变式】 如图，OA 是双曲线的实半轴，OB 是虚半轴，F 为焦点，且30BAO ∠=︒，ABF S ∆=1(62-，则设双曲线方程是 ．【例13】 （2009华师大附中高三测试8）已知点1F 、2F 分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若2ABF ∆为锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．(1,)+∞B ．(1,C ．(1,2)D ．(1,1+【变式】 （2009丰台二模12）已知点(2,3)P -是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点，双曲线两个焦点间的距离等于4，则该双曲线方程是 ．【例14】 （2008海南宁夏14）双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F ．过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则AFB ∆的面积为________．【变式】 （2008陕西9）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）AB C D【例15】 ⑴（2009四川理）已知双曲线2221(0)2x y b b -=>的左右焦点分别为1F ，2F ，其一条渐近线方程为y x =，点)0Py 在该双曲线上，则12PF PF ⋅=（ ）A ．12-B ．2-C ．0D ．4⑵P 是双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，左支上的一点，12F F ，为其左、右焦点，且焦距为2c ，则12PF F △的内切圆圆心的横坐标为 ．【变式】 已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左，右焦点分别为12F F ，，点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为 ．【例16】 （2009山东理）设双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）A ．54B ．5C D【变式】 （2009浙江理）过双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C ．若12AB BC =，则双曲线的离心率是（ ）A B C D【变式】 （2009辽宁理）已知F 是双曲线221412-=x y 的左焦点，()14A ，，P 是双曲线右支上的动点，则+PF PA 的最小值为 ．【例17】 （2008重庆理21）如图，()20M -，和()20N ，是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN += ⑴求点P 的轨迹方程；⑵若2·1cos PM PN MPN=-∠，求点P 的坐标．【例18】 （2009重庆20）已知双曲线22214x y a -=(0)a >的离心率e⑴求该双曲线的方程；⑵如图，点A的坐标为()0，B是圆22(1x y +-=上的点，点M 在双曲线右支上，求MA MB +的最小值，并求此时M 点的坐标．【例19】 已知点P 在双曲线222x y a -=（0a >）的右支上（P 与2A 不重合），12A A ，分别为双曲线的左、右顶点，且21122A PA PA A ∠=∠，则12PA A ∠=（ ） A ．30︒ B ．27.5︒ C ．25︒ D ．22.5︒【变式】 已知点A，(B ，点P满足PA PB -=，求点P 满足的轨迹方程．【例20】 （2009上海理）已知双曲线22:12x Cy -=，设过点()0A -的直线l 的方向向量()1e k =， ．⑴当直线l 与双曲线C 的一条渐近线m 平行时，求直线l 的方程及l 与m 的距离； ⑵证明：当k时，在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l．【例21】 （2009陕西理）已知双曲线C 的方程为()2222100y x a b a b-=>>，，离心率e ，． ⑴求双曲线C 的方程；⑵如图，P 是双曲线C 上一点，A ，B 两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP PB λ=，123λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，求AOB ∆面积的取值范围．【例22】 到两定点1(30)F -，．2(30)F ，的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹（ ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线【例23】 （2009安徽6）的是（ ） A ．22124x y -=B ．22142x y -=C ．22146x y -=D ．221410x y -=【例24】 已知方程22111x y k k-=+-表示双曲线，则k 的范围为（ ）A ．11k -<<B ．0k >C ．0k ≥D ．1k >或1k <-【例25】 双曲线22149y x -=的渐近线方程是（ ）A ． 32y x =±B ． 23y x =±C ． 94y x =±D ． 49y x =±【例26】 已知双曲线221y x m-=的离心率2e =，则m = ．【例27】 若双曲线的实轴长为2，焦距为6，则该双曲线的离心率为 ( )A ．13B ． 23C ． 32 D ． 3【例28】 若R k ∈，则“3k >”是“方程22133x y k k -=-+表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件.B ．必要不充分条件.C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例29】 离2244x y -=有公共焦点的椭圆的标准方程为________．【例30】 双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为12F F ，，12120F MF ∠=︒，则双曲线的离心率为_____．【例31】 一个焦点为(130)-，，且离心率为135的双曲线的标准方程为_________，顶点坐标为_________，虚轴长为_________，渐近线方程为__________．【例32】 经过定点(32)，，实轴长为2，且焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为 ，焦点坐标为__________，渐近线方程为_________．【例33】 双曲线的焦点在y 轴上，虚轴长为12，离心率为54，则双曲线的方程为_____________．【例34】 已知双曲线22221x y a b-=的离心率e =，过点(0)(0)A a B b -，，，，那么ab = ．【例35】 讨论221259x y k k+=--表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．【例36】 已知双曲线与椭圆221925x y +=共焦点，它们的离心率之和为145，求双曲线方程．【例37】 若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点是，则双曲线的方程是 ______.【例38】 （2008海南宁夏2）双曲线221102x y -=的焦距为（ ）A ．B ．C ．D ．【例39】 若双曲线()2222103x y a a -=>的离心率为2，则a 等于（ ）A ．2BC ．32D ．1【例40】 两个正数a 、b 的等差中项是5，等比中项是4．若a b >，则双曲线221x y a b-=的离心率e 等于 ．【例41】 双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，b 等于（ ）A ．1 BC ．2D ．【例42】 双曲线的虚轴长为4，离心率e ，1F 、2F 是它的左、右焦点，若过1F 的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，且AB 是2AF 与2BF 的等差中项，则AB =________【例43】 设12F F ，分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠=°且12||3||AF AF =，则双曲线的离心率等于（ ）A B C D【例44】 椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，则双曲线22221x y a b-=的离心率为 .【例45】 设P 是双曲线22219x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，若1||3PF =，则2||PF =( ) A ．1或5B ． 6C ．7D ．9【例46】 （2009安徽理））A ．22124x y -=B ．22142x y -=C ．22146x y -=D ．221410x y -=【例47】 双曲线C 的左、右焦点12F F ，与椭圆2214924x y +=的焦点相同，且离心率互为倒数，则双曲线C的方程是______________；它的渐近线的方程是__________．【例48】 （2009海南宁夏理）双曲线221412x y -=的焦点到渐近线的距离为（ ）A ．B ．2CD ．1【例49】 （2008全国II9）设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ）A ．)2B ．C ．()25，D ．(2【例50】 （2009四川8）已知双曲线2221(0)2x y b b -=>的左、右焦点分别为1F 、2F ，其一条渐近线方程为y x =，点)0Py 在该双曲线上，则12PF PF ⋅=（ ）A ．12-B ．2-C ．0D ．4【例51】 （2008全国II11）设ABC ∆是等腰三角形，120ABC ∠=︒，则以A ，B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ ）A B C ．1+ D ．1【例52】 （2009湖南卷理）已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60︒，则双曲线C 的离心率为_________．【例53】 已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为且其实轴比椭圆的长轴小8，两曲线的离心率之比为37∶，求此椭圆、双曲线的方程．【例54】 已知圆1M ：22(4)25x y ++=，圆2M ：22(4)1x y -+=，一动圆与这两个圆都外切．求动圆圆心P 的轨迹方程；【例55】 已知(70)(70)(212)A B C --，，，，，，椭圆过A ，B 两点且以C 为其一个焦点，求椭圆另一焦点的轨迹．【例56】 以双曲线两焦点为直径端点的圆与双曲线的四个交点连同双曲线的焦点恰好构成一个正六边形，则该双曲线的离心率为 ．【例57】 已知动点P 与双曲线221x y -=的焦点12F F ，的距离之和为定值，且12cos F PF ∠的最小值为13-．求动点P 的轨迹方程．。
新高考数学复习考点知识讲解与专题训练31---双曲线的方程及几何性质(解析版)
新高考数学复习考点知识讲解与专题训练专题31、 双曲线的方程及几何性质一、 双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于||F 1F 2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M ⎪⎪⎪⎪| ||MF 1－||MF 2＝2a }，||F 1F 2＝2c ，其中a ，c 为常数，且a >0，c >0.(1)当a ＜c 时，点P 的轨迹是双曲线； (2)当a ＝c 时，点P 的轨迹是两条射线； (3)当a ＞c 时，点P 不存在． 二 、双曲线的标准方程和几何性质一、常用结论1、过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a，也叫通径．2、与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b2＝t (t ≠0)．3、双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .4、若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .题型一、双曲线的方程与渐近线的方程例1、【2020年高考天津】设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为A ．22144x y -=B ．2214y x -= C ．2214x y -=D ．221x y -=【答案】D【解析】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1yx b+=，即直线的斜率为b -，又双曲线的渐近线的方程为b y x a=±，所以b b a-=-，1b b a-⨯=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==．故选：D ．变式、【2018年高考天津卷理数】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．22139x y -=D ．22193x y -=【答案】C【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b -=可得：2b y a=±， 不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为：0bx ay -=，据此可得：21bc b d c -==，22bc b d c +==， 则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==，双曲线的离心率：2c e a ====，据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=.本题选择C 选项.例2、【2018年高考全国Ⅱ理数】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率A．y =B．y =C．2y x =±D．2y x =±【答案】A【解析】因为c e a ==，所以2222221312b c a e a a-==-=-=，所以b a =因为渐近线方程为by x a=±，所以渐近线方程为y =，故选A ． 变式、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y =C ．y =D ．y x =±【答案】B【解析】如图所示：由对称性可得：M 为2AF 的中点，且2AF OM ⊥， 所以12F A AF ⊥，因为11F AO AOF ∠=∠，所以11AF FO c ==， 故而由几何性质可得160AFO ∠=，即260MOF ∠=，故渐近线方程为y =， 故选B.题型二、双曲线的离心率例3、【2018年高考全国III 理数】设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1|||PF OP =，则C 的离心率为AB ．2CD 【答案】C【解析】由题可知2PF b =，2OF c =，PO a ∴=，在2Rt POF △中，222cos PF b PF O OF c∠==， 在12Rt PF F △中，22221212212cos 2PF F F PF b PF O PF F F c∠+-==，b c=，即223c a =，e ∴=C ．变式1、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知点P 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>右支上一点，12,F F 分别为C 的左，右焦点，直线1PF 与C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若114PF HF =，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ．53D ．73【答案】C【解析】取1PF 的中点M ，连接2MF ,由条件可知1111142HF PF MF ==， O 是12F F 的中点，2//OH MF ∴又1OH PF ⊥，21MF PF ∴⊥1222F F PF c ∴==,根据双曲线的定义可知122PF a c =+，12a cHF +∴=， 直线1PF 的方程是：()a y x c b=+ ，即0ax by ac -+= ，原点到直线的距离OH a ==，1OHF ∴∆中，2222a c a c +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，整理为：223250c ac a --= ， 即23250e e --= ，解得：53e = ，或1e =-（舍）故选：C变式2、【2020年高考全国I 卷理数】已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为 .【答案】2【解析】联立22222221x cx y a b a b c=⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2bBF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223b c a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =,因此，双曲线C 的离心率为2. 故答案为：2．变式3、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120FB F B ⋅=，则C 的离心率为____________．【答案】2 【解析】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22,2.BF OA BF OA =∥由120FB F B ⋅=，得121,,F B F B OA F A ⊥∴⊥∴1OB OF =，1AOB AOF ∠=∠， 又OA 与OB 都是渐近线，∴21,BOF AOF ∠=∠又21πBOF AOB AOF ∠+∠+∠=，∴2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=又渐近线OB 的斜率为tan 60ba=︒=，∴该双曲线的离心率为2c e a ====． 题型三、双曲线的综合问题例4、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为 A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】B 【解析】2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>， ∴双曲线的渐近线方程是by x a=±， 直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于D ，E两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩，故(,)D a b ，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩，故(,)E a b -，∴||2ED b =，∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，∴其焦距为28c ===，当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8.故选：B ．变式1、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知P 为双曲线C ：2214y x -=右支上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，且线段12A A ，12B B 分别为C 的实轴与虚轴.若12A A ，12B B ，1PF 成等比数列，则2PF =______.【答案】6【解析】2214y x -=1222A A a ∴==，1224B B b ==，12A A ，12B B ，1PF 成等比数列212112A A PFB B ∴⋅=，解得18PF =，2826PF a ∴=-=故答案为：6变式2、【2020年高考全国Ⅲ卷理数】.设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F1，F 2，P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =A ． 1B ． 2C ． 4D ． 8【答案】A【解析】5ca=，c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A ．1、【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A ．2B ．1C D ．2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为0x y ±=，所以a b =，则c =，所以双曲线的离心率ce a==故选C. 2、【2018年高考浙江卷】双曲线2213x y -=的焦点坐标是A ．(0)，0) B ．(−2，0)，(2，0) C ．(0，，(0 D ．(0，−2)，(0，2) 【答案】B【解析】设2213x y -=的焦点坐标为(,0)c ±，因为222314c a b =+=+=，2c =， 所以焦点坐标为(2,0)±，故选B ．3、（2020届山东省烟台市高三上期末）若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的，则其渐近线方程为（ ）A ．230x y ±=B ．320x y ±=C ．20x y ±=D ．230x y ±=【答案】C【解析】由题,离心率c e a ===,解得12b a =,因为焦点在x 轴上,则渐近线方程为12y x =±,即20x y ±=故选：C4、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A ．4B ．2C ．D ．【答案】A【解析】由2,,a b c ====,2P PO PF x =∴=， 又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在by x a=上，则P P b y x a =⋅==1122PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ． 5、【2018年高考全国I 理数】已知双曲线22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则||MN =A ．32B ．3C ．D ．4【答案】B【解析】由题可知双曲线C 的渐近线的斜率为3±，且右焦点为(2,0)F ，从而可得30FON ∠=︒，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN 的方程为2)y x =-，分别与两条渐近线y x =和y x =联立，求得M ，3(,2N ，所以||3MN ==，故选B ．6、（2020届山东省德州市高三上期末）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()1F ，点A 的坐标为()0,1，点P 为双曲线左支上的动点，且1APF ∆周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．2 D ．【答案】D【解析】如下图所示：设该双曲线的左焦点为点F ，由双曲线的定义可得12PF PF a =+，所以，1APF ∆的周长为11123262AP AF PF AF AP PF a AF a a ++=+++≥++=+，当且仅当A 、P 、F 三点共线时，1APF ∆的周长取得最小值，即628a +=，解得1a =.因此，该双曲线的离心率为e == 故选：D.7、【2020年高考北京】已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．【答案】()3,0【解析】在双曲线C 中，a =b =3c ==，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，即0x =，所以，双曲线C=.故答案为：()3,08、【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .【答案】y =【解析】由已知得222431b-=，解得b =b =，因为0b >，所以b =因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.9、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线222105()x y a a -=>的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率是 ▲ ． 【答案】32【解析】双曲线22215x y a -=，故b =由于双曲线的一条渐近线方程为2y x =，即22b a a =⇒=，所以3c ==，所以双曲线的离心率为32c a =.故答案为：3221/ 21。
双曲线专题复习考点技巧归纳+经典例题+变式训练+综合练习
双曲线专题复习讲义题型一 双曲线定义的应用例题1已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在双曲线的右支上，点N 为2F M的中点，O 为坐标原点，2||||2ON NF b -=，则该双曲线的离心率为( )A B ．2 C D 【答案】C【解析】由N 为2F M 的中点，所以1//ON MF ，且11||||2ON MF =，故01260F MF ∠=， 2121||||(||||)2ON NF MF MF a ∴-=-=，故2a b =，设双曲线的焦距为2c ，由224a b =可得222244()a b c a ==-，即c =，故双曲线的离心率为e =，故选C ． 例题2已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>右支上一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，I 为△12PF F 的内心，若121213IPF IPF IF F S S S =+成立，则双曲线的离心率为( )A ．3BCD ．4【答案】A【解析】设△12PF F 的内切圆的半径为r ．I 为△12PF F 的内心，由121213IPF IPF IF F SS S =+成立，可得121111||||22232PF r PF r c r ⋅=⋅+⨯⨯⋅．∴又12||||2PF PF a -=，1223a c ∴=⋅．232ce a∴==．故选A ． 【解题技巧提炼】双曲线上的点P 与其两个焦点F 1，F 2连接而成的三角形PF 1F 2称为焦点三角形.令|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ，因|F 1F 2|＝2c ，所以有(1)定义：|r 1－r 2|＝2a . (2)余弦公式：.(3)面积公式：一般地，在△PF 1F 2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决.题型二 与双曲线有关的轨迹问题例题1（2021•重庆质检）在平面直角坐标系中，一动圆C 与x 轴切于点(4,0)A ，分别过点(5,0)M -、(5,0)N 作圆C 的切线并交于点P （点P 不在x 轴上），则点P 的轨迹方程为( )A ．221(4)169x y x -=>B ．221(4)169x y x -=<-C ．221(4)2516x y x +=>D ．221(4)2516x y x +=<-【答案】A【解析】由题意，在平面直角坐标系中，一动圆C 与x 轴切于点(4,0)A ，圆的圆心在4x =上，分别过点(5,0)M -、(5,0)N 作圆C 的切线并交于点P （点P 不在x 轴上），与圆交于S ，T ，所以||||MA MS =，||||NA NT =，||||PS PT =，所以||||||||54(54)8PM PN AM AN -=-=+--=，P 满足双曲线的定义， 是双曲线的右支，除去A 点，故选A ．【解题技巧提炼】求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，双曲线的定义，得出对应的方程．求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支；(3)求出方程后要注意满足方程的解的坐标的点，是否都在所求曲线上．题型三 由双曲线的标准方程求其简单的几何性质例题1（2021秋•温州期中）已知双曲线222:19x y C b-=的焦距为10，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．916y x =±B ．169y x =±C ．43y x =±D ．34y x =±【答案】C【解析】双曲线222:19x y C b-=的焦距为10，210c ∴=，5c =，3a =，22925916b c ∴=-=-=，4b ∴=，∴双曲线C 的浙近线方程为43b y x x a =±=±． 故选C ．【解题技巧提炼】由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤1把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键. 2由标准方程确定焦点位置，确定a 、b 的值.3由c 2＝a 2＋b 2求出c 值，从而写出双曲线的几何性质.题型四 利用几何性质求双曲线的标准方程例题1（2020•新疆模拟）已知双曲线的一条渐近线方程为2y x =，且经过点(4,43)，则该双曲线的标准方程为( )A ．221416x y -=B ．221164y x -=C ．22128x y -=D ．22144176y x -=【答案】A【解析】1：根据题意知，2443⨯>(4,3)在渐近线方程2y x =的右下方，所以该双曲线的焦点在x 轴上，设标准方程为22221x y a b-=，且0a >，0b >；又2ba=，所以2b a =； 又2216481a b -=，即2221648414a a a -==，解得24a =，216b =，所以双曲线的标准方程是221416x y -=．解法2：根据渐近线方程设双曲线的标准方程是22(0)4y x k k -=≠，代入点(4，43)，计算得481644k =-=，所以双曲线的标准方程为2244y x -=，即221416x y -=．故选A ． 例题2 （2020秋•胶州市期末）与双曲线22:12x C y -=共渐近线，且经过10)点的双曲线的标准方程是()A ．22142x y -=B ．22124x y -=C ．22142y x -=D ．22124y x -=【答案】A【解析】根据题意，要求双曲线与双曲线22:12x C y -=共渐近线，设要求的双曲线为222x y t -=，(0)t ≠，又由双曲线经过点10，则有91024t -=， 解可得2t =，则要求双曲线的标准方程为22142x y -=；故选A ． 【解题技巧提炼】求双曲线的标准方程的方法与技巧(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．(2)利用渐近线与双曲线的位置关系，设有公共渐近线的双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，这样可避免分类讨论，从而减少运算量，提高解题速度与准确性．拓展延伸：巧设双曲线的六种方法与技巧(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程可设为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ－y 2b 2＋λ＝1(λ≠0，－b 2＜λ＜a 2)．(4)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(5)渐近线为y ＝kx 的双曲线方程可设为k 2x 2－y 2＝λ(λ≠0)． (6)渐近线为ax ±by ＝0的双曲线方程可设为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)．题型五 求双曲线的离心率例题1（2021秋•镇海区校级期中）双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为1e ，22221(0,0)x y a b a b-=->>的离心率为2e ，则221211e e +的值为( )A ．1B ．2C ．12D ．4【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为1e ，22221(0,0)x y a b a b -=->>的离心率为2e =2222222222122211111a b a b a b e e a b a b ++=+==+++．故选A ． 例题2 （2021秋•遵义月考）已知曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>其中一条渐近线与直线:22l x y +=平行，则此双曲线的离心率是( ) ABC ．32D【解析】根据题意，双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，则其渐近线方程为by x a=±，又由其一条渐近线与直线:22l x y +=平行，有12b a =，即12b a =，则c =，则其离心率c e a =B ．【解题技巧提炼】 求离心率的方法与技巧(1)求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出a ，c ，再计算e ＝ca ；二是依据条件建立参数a ，b ，c 的关系式，一种方法是消去b 转化成离心率e 的方程求解，另一种方法是消去c 转化成含b a 的方程，求出ba 后利用e ＝1＋b 2a2求离心率． (2)求离心率的范围一般是根据条件建立a ，b ，c 的不等式，通过解不等式得c a 或ba 的范围，再求得离心率的范围．题型六 与渐进线有关的问题例题1（2021秋•洛阳期中）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，若点(,0)A a -，(,0)B a ，C ，)b 是等腰三角形的三个顶点，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3y x =±B ．y =C ．13y x =±D ．y = 【答案】B【解析】依题意，要使点(,0)A a -，(,0)B a ，C ，)b 是等腰三角形的三个顶点，则必有2AB BC a ==，2a ，整理可得2220c ac a --=，解得2c a =，即可得2224a a b =+，ba=所以双曲线的渐近线方程为by x a=±=，故选B ．例题2 （2021秋•南湖区月考）已知双曲线221169x y -=的右支上一点P 到其渐近线的距离为d ，F 为双曲线的左焦点，则||PF d +的最小值为( ) A ．9B ．10C ．11D ．12【解析】由双曲线的方程可得216a =，29b =，所以22225c a b =+=，可得5c =， 设双曲线的右焦点(5,0)F '，渐近线的方程为：043x y±=，即340x y ±=， 所以右焦点F '到渐近线的距离||3DF '==，由双曲线的性质可得右支上的点P 到右焦点的距离||||2PF PF a '=-，||||2||2PF d PF a d DF a ''+=+++，当且仅当F '，P ，垂足三点共线，其值最小，所以||PF d +的最小值为：2324311a +=⨯+=，故选C ．【解题技巧提炼】1．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为y ＝±b a x ，双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线为y ＝±ab x ，两者容易记混，可将双曲线方程中的“1”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程．2．若已知渐近线方程为mx ±ny ＝0，求双曲线方程，双曲线的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，可用下面的方法来解决．方法一：分两种情况设出方程进行讨论．方法二：依据渐近线方程，设出双曲线方程m 2x 2－n 2y 2＝λ(λ≠0)，求出λ即可． 显然方法二较好，避免了讨论． 3．有共同渐近线的双曲线的方程．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．若λ＞0，则实轴在x 轴上；若λ＜0，则实轴在y 轴上，再依据题设条件可确定λ．题型一 双曲线定义的应用1．已知1F 、2F 分别是双曲线22124y x -=的左、右焦点，若P 是双曲线左支上的点，且12||||48PF PF ⋅=．则△12F PF 的面积为( )A ．8B ．16C ．24 D．【答案】C 【解析】P 是双曲线左支上的点，21||||2PF PF ∴-=，12||10F F =，在△12PF F 中，由余弦定理得222221212211212121212||||||(||||)2||||||4248100cos 02||||2||||248PF PF F F PF PF PF PF F F F PF PF PF PF PF +--+-+⨯-∠====⨯，1290F PF ∴∠=︒，即12PF PF ⊥，∴△12F PF 的面积为1211||||482422PF PF ⋅=⨯=，故选C ． 2．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作倾斜角为θ的直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若1||||AB AF =，且双曲线C 的离心率为2．则cos (θ=) A ．14B ．13C ．23D ．12【答案】A【解析】由双曲线的定义知，12||||2AF AF a -=，1||||AB AF =，221||||||AF BF AF ∴+=，即122||||||2AF AF BF a -==，12||||24BF BF a a ∴=+=，在△12BF F 中，由余弦定理知，2222121212||||||cos 2||||BF F F BF BF F F θ+-=⋅，∴2222244163cos 2222a c a c a a c ac θ+--==⋅⋅，2c e a ==，∴431cos 44θ-==，故选A ．题型二 与双曲线有关的轨迹问题1．（2021秋•海曙区校级期中）与圆22(2)2x y ++=外切，且与圆2240x y x +-=内切的圆的圆心在( ) A ．抛物线上 B ．圆上C ．双曲线的一支上D ．椭圆上【答案】C【解析】由题设，22(2)2x y ++=的圆心为(2,0)A -2240x y x +-=的圆心为(2,0)B ，半径为2，∴若所求圆的圆心为C ，半径为r ，由图及已知条件易得2r >，∴|||2AC r BC r =+=-，则||||2AC BC -=，由双曲线定义知：圆心C 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上． 故选C ．题型三 由双曲线的标准方程求其简单的几何性质1．（2021秋•福建期中）双曲线2214y x -=的右顶点到渐近线的距离为( )ABC ．1D ．2【答案】B【解析】由双曲线2214y x -=，得1a =，2b =，可得右顶点为(1,0)，一条渐近线方程为2y x =，即为20x y -=，可得右顶点到该双曲线一条渐近线的距离为d =．故选B ．2．（2021秋•沙坪坝区校级期中）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 为双曲线C 中第一象限上的一点，12F PF ∠的平分线与x 轴交于Q ，若214OQ OF =，则双曲线的离心率取值范围为( ) A ．(1,2) B ．(1,4) C． D．【答案】B【解析】由214OQ OF =，知Q 在线段2OF 上，且234QF c =，又12F PF ∠的平分线与x 轴交于Q ，所以1122554334c PF QF PF QF c ===， 所以1253PF PF =，又122PF PF a -=， 所以2223PF a =，又点P 为双曲线C 中第一象限上的一点，所以2PF c a >-， 所以226c a a -<，所以4ce a=<，又1e >，故14e <<．故选B ．题型四 利用几何性质求双曲线的标准方程1．（2019秋•荔湾区期末）已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为8，离心率为2，则该双曲线的方程为( )A ．221204x y -= B ．221412x y -= C ．2211648x y -=D ．2216416x y -=【答案】B【解析】由题意可设双曲线的标准方程为22221x y a b-=，因为双曲线的焦距为8，则28c =，所以4c =， 又双曲线的离心率为2ca=，所以2a =，则22216412b c a =-=-=， 所以双曲线的标准方程为221412x y -=，故选B ．2．（2020•梅州二模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为34y x =±，且其一个焦点为(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．22134x y -=D ．22143x y -=【答案】B【解析】由双曲线的方程及渐近线的方程可得：34b a =，即34a b =，又由题意可得5c =，且222c a b =+， 所以解得216a =，29b =，所以双曲线的方程为：221169x y -=，故选B ．题型五 求双曲线的离心率1．（2021秋•河北期中）已知双曲线22:14x y C m -=(m = )A ．2B ．4C ．8D ．12【答案】B【解析】双曲线22:14x y C m -=，∴c a ==4m =．故选B ．题型六 与渐进线有关的问题1．（2021秋•温州期中）已知双曲线222:19x y C b-=的焦距为10，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．916y x =±B ．169y x =±C ．43y x =±D ．34y x =±【答案】C【解析】双曲线222:19x y C b-=的焦距为10，210c ∴=，5c =，3a =，22925916b c ∴=-=-=，4b ∴=，∴双曲线C 的浙近线方程为43b y x x a =±=±．故选C ．2．（2021秋•福州期中）已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的渐近线方程为( )A ．y =B ．y x =C ．2y x =±D ．12y x =±【答案】A【解析】F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x轴．若AB 的斜率为3，可得23b a c a =-，可得223()c a c a a-=-，解得2c a =，即2224a b a +=，所以ba=C 的渐近线方程为：y =．故选A ．1．（2021秋•福州期中）已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的渐近线方程为( )A ．y =B ．y x =C ．2y x =±D ．12y x =±【答案】A【解析】F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x轴．若AB 的斜率为3，可得23b a c a =-，可得223()c a c a a-=-，解得2c a =，即2224a b a +=，所以ba=C 的渐近线方程为：y =．故选A ．2．（2021秋•沙坪坝区校级期中）若双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>率的取值范围是( )A ．)+∞B ．C ．)+∞D ． 【答案】D【解析】依题意双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>经过一、三象限的渐近线斜率为k ，当k >时，可知a b >，则离心率c e a ==．故选D ．3．（2021秋•北海月考）已知双曲线22:1412x y C -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 在C 的一条渐近线上，若2||||OP PF =，则△12PF F 的面积为( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知1(4,0)F -，2(4,0)F，渐近线的方程为y =， 因为2||||OP PF =，故点P 在线段2OF 的中垂线2x =上，故0||y = 所以△12PF F的面积为1201||||2F F y ⋅=．故选D ．4．（2021秋•河南期中）如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点．若1||||AB AF =，且△1~F AB △21F F B ，则双曲线C 的离心率为()A ．2 BC ．32D ．4【答案】A【解析】由过点2F 作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点．所以12||||2AF AF a -=，1||||AB AF =， 所以，2||||2AB AF a -=，所以2||2BF a =，又12||||2BF BF a -=，所以1||4BF a =， 因为△1~F AB △21F F B ，所以1121AF F F ABF B=，又1||||AB AF =，所以112||||BF F F =，所以42a c =，所以离心率2ce a==，故选A ． 5．（2021秋•福建期中）双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，直线y kx =与曲线C交于A ，B 两点，11||3||AF BF =，且1260F AF ∠=︒，则双曲线C 的离心率是 ．【解析】设1||BF t =，因为11||3||AF BF =，则1||3AF t =，2||AF t =，所以212||||32a BF BF t t t =-=-=，2||AF a =，1||3AF a =，在三角形12AF F 中，由余弦定理可得：22212941cos 232a a c AF F a a +-∠==⨯⨯，整理可得：2c =，所以离心率e =．6．（2021秋•沙坪坝区校级期中）已知点P 在双曲线22:1169x y C -=左支上，1F ，2F 是其左、右焦点，若1260F PF ∠=︒，1211||||PF PF -= ． 【答案】29【解析】设1||PF m =，2||PF n =，由双曲线的定义可知8n m -=，在△12PF F 中，由余弦定理可得22100cos602m n mn+-︒=，22100m n mn ∴+-=，2()2100n m mn mn ∴-+-=，即36mn =， ∴211212||||1182||||||||369PF PF n m PF PF PF PF mn ---====，故答案为：29．。
高中双曲线基础练习题及讲解
高中双曲线基础练习题及讲解### 高中双曲线基础练习题及讲解#### 双曲线的定义与性质双曲线是圆锥曲线的一种，其定义为平面上所有点到两个固定点（焦点）距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹。
双曲线有以下基本性质：1. 焦点距离：双曲线的两个焦点之间的距离是常数。
2. 实轴与虚轴：双曲线有两条对称轴，分别称为实轴和虚轴。
3. 离心率：双曲线的离心率大于1。
#### 练习题一：双曲线的标准方程给定一个双曲线，其焦点在x轴上，中心点为(0, 0)，且a=3，b=2，求双曲线的方程。
解答步骤：1. 根据双曲线的标准方程 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)。
2. 代入给定的a和b的值，得到 \(\frac{x^2}{3^2} -\frac{y^2}{2^2} = 1\)。
3. 简化得到 \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1\)。
#### 练习题二：双曲线的焦点坐标已知双曲线的中心点为(0, 0)，a=4，b=3，求双曲线的焦点坐标。
解答步骤：1. 计算离心率 \(e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}\)。
2. 计算焦点到中心的距离 \(c = ae\)。
3. 由于焦点在x轴上，焦点坐标为 \((\pm c, 0)\)。
4. 代入数值计算，得到焦点坐标为 \((\pm 5, 0)\)。
#### 练习题三：双曲线的渐近线方程已知双曲线的方程为 \(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\)，求其渐近线方程。
解答步骤：1. 渐近线方程形式为 \(y = \pm \frac{b}{a}x\)。
2. 代入a和b的值，得到 \(y = \pm \frac{3}{4}x\)。
#### 练习题四：双曲线的参数方程已知双曲线的方程为 \(\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{16} = 1\)，求其参数方程。
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双曲线专题辅导双曲线知识点总结1、双曲线的定义：a MF MF 221=-（122a F F <） ①当2a ﹤2c 时，轨迹是双曲线； ②当2a =2c 时，轨迹是两条射线； ③当2a ﹥2c 时，轨迹不存在；2、双曲线标准方程焦点在x 轴上时：12222=-b y a x ；焦点在y 轴上时：12222=-bx a y ；★焦点坐在轴判断方法：看系数的正负；3、字母a b c 、、的关系：222b ac +=4、双曲线12222=-by a x 基本性质：①顶点：()0,),0,(21a A a A - ()b B b B -,0),,0(21 ②实轴：21A A 长为2a , a 叫做半实轴长； ③虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长； ④焦距：12F F 长为2c ，c 叫做半焦距长；5、离心率：c e a === 6、 双曲线渐近线：（分焦点在x 轴与焦点在y 轴）①若双曲线方程为12222=-b y a x 则有：⇒渐近线方程⇒=-02222b y a x x aby ±=；②若双曲线方程为22221y x a b -=则有：⇒渐近线方程22220y x a b -=⇒ay x b=±；③若渐近线方程为x aby ±=⇒0=±b y a x① 222b AF BF a==②22bAB a=题型一：双曲线的标准方程的有关问题1、求双曲线14491622-=-y x 的实轴长、虚轴长、离心率以及渐近线方程；2、讨论192522=-+-ky k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征；3、根据条件求双曲线的标准方程； （1）过点⎪⎭⎫ ⎝⎛4153，P ，⎪⎭⎫⎝⎛-5316，Q 且焦点在坐标轴上； 提示：设122=+n y m x ；参考答案：116922=-x y（2）6=c ，经过点（－5，2），焦点在x 轴上；提示：设1622=--λλy x ；参考答案：1522=-y x（3）与双曲线141622=-y x 有相同的焦点，并且经过点()223，；提示：设141622=+--λλy x ；（4）双曲线为等轴双曲线，并且经过点)1,3(-M ； 提示：设m y x =-22；题型二、双曲线定义的运用（轨迹方程）1、P 是双曲线1366422=-y x 上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，且171=PF ，求2PF 的值；（参考：33）变式：已知1F 、2FP 在双曲线上，若点P 到焦点P 到焦点F 2的距离；2、在ABC ∆中，2=BC ，且A B C sin 21sin sin =-，求点A 的轨迹；3、求与圆A ：9)5(22=++y x 以及圆B ：1)5(22=+-y x 都外切的圆的圆心P 的轨迹方程；变式题：求下列动圆圆心M 的轨迹方程：（1）与⊙()2222=++y x C ：内切，且过点()02，A ；（2）已知一个圆与⊙()11221=-+y x C ：和⊙()41222=++y x C ：都外切；（3）已知一个圆与⊙()93221=++y x C ：外切，且与⊙()13222=+-y x C ：内切；（4）双曲线4222=-y x C ：的两焦点分别为21F F ，A 为双曲线上任一点。
双曲线专题复习(精心整理).
《圆锥曲线》---------双曲线 考点一：双曲线的定义例1 已知动圆M 与圆C 1：(x +4)2+y 2=2外切，与圆C 2：(x -4)2+y 2=2内切，求动圆圆心M 的轨迹方程.变式训练：由双曲线4922y x -=1上的一点P 与左、右两焦点F 1、F 2构成△PF 1F 2，求△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点坐标.巩固训练：(1). F 1、F 2是双曲线162x －202y =1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离.(2).过双曲线x 2-y 2=8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |=7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是 .(3).一动圆与两定圆122=+y x 和012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心轨迹为A.椭圆B. 双曲线C.双曲线的一支D.抛物线 考点二：双曲线的方程例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程.（1）与双曲线16922y x -=1有共同的渐近线，且过点（-3，23）； （2）与双曲线41622y x -=1有公共焦点，且过点（32，2）. 变式训练：已知双曲线的渐近线的方程为2x ±3y =0,（1）若双曲线经过P （6，2），求双曲线方程；（2）若双曲线的焦距是213，求双曲线方程；（3）若双曲线顶点间的距离是6，求双曲线方程.巩固训练：(1)求与椭圆221255x y +=共焦点且过点(32,2)的双曲线的方程； (2)中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4，求双曲线的标准方程；(3)已知双曲线的离心率2e =，经过点(5,3)M - ，求双曲线的方程；(4)与双曲线1422=-y x 有共同渐近线，且过点)2,2(的双曲线方程; (5)已知双曲线12222=-by a x (a >0,b >0)的两条渐近线方程为x y 33±=，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为_________________.(6).已知方程22121x y m m -=++表示双曲线，则m 的取值范围是__________________. (7).经过两点)3,72(),26,7(B A --的双曲线的标准方程为___________.考点三：双曲线的几何性质例3 双曲线C ：2222b y a x -=1 (a ＞0,b ＞0)的右顶点为A ，x 轴上有一点Q （2a ，0），若C 上存在一点P ，使AP ·PQ =0，求此双曲线离心率的取值范围变式训练：已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2,且过点P （4，-10）.（1）求双曲线方程；（2）若点M （3，m ）在双曲线上，求证：1MF ·2MF =0；（3）求△F 1MF 2的面积.巩固训练：（1）已知双曲线12222=-by a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的一条渐近线平行，则此双曲线的离心率是：A.1B. 2C.3D.4(2)已知双曲线2221(2)2x y a a -=>的两条渐近线的夹角为3π，则双曲线的离心率为: A.2 B. 3 C.263 D.233(3)设双曲线的—个焦点为F ；虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为_________.(4)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为F (4，0)，过双曲线的右顶点作垂直于x 轴的垂线交双曲线的渐近线于A ，B 两点，O 为为坐标原点，则△AOB 面积的最大值为:A. 8B. 16C. 20D. 24考点四：双曲线的离心率例1、已知F 1、F 2分别是双曲线 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过F 1作垂直于X轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△AF 2B 是直角三角形，求双曲线的离心率。
第18讲 双曲线的简单几何性质 2024年新高二暑假数学专题化复习与重点化预习(解析版)
知识点详释
双曲线的简单几何性质
典题精讲
双曲线的简单几何性质 利用双曲线的几何性质求双曲线方程 求双曲线的离心率
双曲线的几何性质综合问题
考点巩固练习 课后分层练习
ｚｈｇ 学习目标
１．掌握双曲线的简单几何性质； ２．会利用双曲线的几何性质求解相关的问题
了解要点，作到心中有数
ｙ＝±ｘ， 对于Ｂ：ａ＝１，ｂ＝√３，ｃ＝２，ｅ＝２，渐近线
故Ｂ错误；
对于Ｃ：ａ＝３，ｂ＝√３．ｃ＝２√３，ｅ＝２ 渐近线ｙ＝±５ｘ． 故Ｃ正确；
对于Ｄ： ａ＝３，ｂ＝√３，ｃ＝２√３，ｅ＝２３５ 渐近线ｙ＝±√３ｘ，故Ｄ错误．
故选：Ｃ．
－２４＝１ ３．下列选项中的曲线与
共焦点的双曲线是（ ）
Ａ．４－Ｙ＝２
离心率为５，
６－＝１， 对于双曲线
顶点坐标为（０，±４），渐近线方程为ｙ＝±ｇｘ，焦点坐标为（０，±５），
离心率为
因此，这两个双曲线有相同的渐近线， 故选：Ｂ．
４．如图，Ｆ？Ｆ？是双曲线Ｃ：ｘ２－弩＝１与椭圆Ｃ？的公共焦点，点Ａ是Ｃ？，Ｃ？在第一象限的公共点，若ＩＦ？Ｆ？Ｉ＝
ＩＦ？Ａ｜，则Ｃ？的短轴长为（ ） ｙＡ
ｌ：√３ｘ－ｙ＋１＝０平行，则双曲线Ｃ的标准方程为（ ）
Ａ． ｘ２－等＝１ Ｂ．琴－ｙ２＝１ ｃ．－路＝１
Ｄ．－２＝１
【答案】Ａ
【分析】利用已知条件求出ａ、ｂ、ｃ的值代入方程即可
【详解】由题意知
＝解得 ，故双曲线Ｃ的标准方程为ｘ２－＝１．
故选：Ａ．
２．与双曲线－ｙ２＝１有相同离心率和相同渐近线的双曲线方程是（ ）
Ａ
Ｆ？ Ｏ Ｆ？ ｘ
Ａ． １
Ｂ． ２
考点43 双曲线——2021年高考数学专题复习讲义附解析
考点43 双曲线(讲解) 【思维导图】【常见考法】 考点一 双曲线的定义及运用 1．已知()()3,0,3,0,6M N PM PN --=，则动点P 的轨迹是 。
2．已知双曲线22:125144y x C -=的上、下焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线C 上，若214PF =，则1PF = 。
3．双曲线221169y x -=上一点P 到一个焦点的距离是10，那么点P 到另一个焦点的距离是__________.考点二 焦点三角形1．已知双曲线的左.右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足，则的面积为 。
2．已知有相同焦点1F 、2F 的椭圆()2211x y m m +=>和双曲线()2210x y n n-=>，点P 是它们的一个交点，则12F PF ∆面积的大小是 。
3．12F F ，分别是双曲线222(0)4x y b b->的左右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于B A ，两点．若2ABF ∆为等边三角形，则12BF F ∆的面积为 。
4．已知P 是双曲线()222210169x y a a a-=>上的点1F 、2F 是其左、右焦点，且120PF PF ⋅=，若12PF F ∆的面积为9，则a 等于 。
5．已知双曲线221916x y -=的左、右集点分别为12F F 、，若双曲线上点P 使1290F PF ∠=︒，则12F PF △的面积是 。
6．设1F ，2F 为双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足1290F PF ∠=︒，则12F PF △的面积为 。
考点三 离心率1．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，的C 的离心率为 。
2．已知1F 、2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线的一个交点是M ，且12F MF △的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是 。
双曲线高二数学专题复习培优讲义
第02讲双曲线必备方法巧设双曲线方程：（1）与双曲线22221x y a b-=(a >0，b >0)有共同渐近线(离心率)的方程可表示为：2222(0)x y t t a b -=≠.有共同焦距的双曲线方程可表示为：22221x y a b λλ-=+-.（2）过已知两个点的双曲线方程可设为()2210mx ny mn +=<．易误提醒（1）双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a >0，b >0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a >b >0，则双曲线的离心率e ∈(；若a ＝b >0，则双曲线的离心率e ；若0<a <b ，则双曲线的离心率e >.当焦点在x 轴上，渐近线斜率为ba±，当焦点在y 轴上，渐近线斜率为a b±.（2）注意区分双曲线与椭圆中的a ，b ，c 的大小关系：在椭圆中222a b c =+，而在双曲线中222c a b =+.（3）易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x 轴上，渐近线斜率为b a ±，当焦点在y 轴上，渐近线斜率为a b±.（4）在双曲线的焦点三角形12PF F 中，12F PF α∠=，点P 的坐标为00()x y ，，12PF F ∆的面积122=tan2PF F b S α△.考点一双曲线的定义及标准方程命题点1利用双曲线定义求轨迹方程例题1.1已知圆221:(3)1C x y ++=和圆222:(3)9C x y -+=，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（）A ．2218y x -=B ．221(1)8y x x -=≤-C ．2218x y +=D ．221(1)8y x x -=≥命题点2双曲线定义的应用例题1.2过双曲线2213y x -=的右支上一点P 分别向圆1C ：22(2)4x y ++=和圆2C ：22(2)1x y -+=作切线，切点分别为,M N ，则22||||PM PN -的最小值为（）A ．5B ．4C ．3D ．2例题1.3（2021·湖南长沙市·长沙一中高三月考）已知椭圆1C 与双曲线2C 的焦点相同，离心率分别为1e ，2e，且满足21e =，1F ，2 F 是它们的公共焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若12120F PF ∠=︒，则双曲线2C 的离心率为（）ABC ．2D规律方法求解双曲线定义及标准方程问题的两个注意点（1）在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．（2）求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a ，b ，c 的关系易错易混．变式训练1.1如图，圆E ：(x ＋2)2＋y 2＝4，点F (2,0)，动圆P 过点F ，且与圆E 内切于点M ，求动圆P 的圆心P 的轨迹方程．1变式训练1.2（2018·湖南长沙市·雅礼中学高三月考（文））已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，()1,4A ，P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为________．变式训练1.3若12,F F 是双曲线221916x y -=的两个焦点.（1）若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离；（2）若P 是双曲线左支上的点，且122||3||F PF P =⋅，试求12F PF ∆的面积.考点二渐近线与离心率问题命题点1渐近线例题2.1已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为双曲线C 上的一点，若线段1PF 与y 轴的交点M 恰好是线段1PF 的中点，21MF MO b ⋅=，其中，O 为坐标原点，则双曲线C 的渐近线的方程是（）A ．3y x =±B ．2y x =±C ．y x=±D ．12y x =±命题点2离心率例题2.2（1）（2021·湖南长沙市·雅礼中学高三月考）设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，过1F 直线的l 分别与双曲线左､右两支交于M ，N 两点，且22F M F N ⊥，22F M F N =，则双曲线C 的离心率为___________.（2）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左,右焦点分别为()1,0F c -、()2,0F c ，A ,B 是圆()2224x c y c -+=与C 位于x 轴上方的两个交点(A在左支，B 在右支)，且12//F A F B ，则双曲线C 的离心率为（）A ．23B ．43C ．34+D ．54+命题点3渐近线和离心率的综合应用例题2.3已知0a b >>，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 方程为22221x y a b -=，1C 与2C 的离心率之积为32，则2C 的渐近线方程为________.规律方法解决有关渐近线与离心率关系问题的方法（1）已知渐近线方程y ＝mx ，若焦点位置不明确要分|m |＝a b 或|m |＝ba 讨论．（2）注意数形结合思想在处理渐近线夹角、离心率范围求法中的应用．变式训练2.1已知双曲线C ：22219x y a -=(0a >)的左、右焦点分别为1F 、2F ，一条渐近线与直线430x y +=垂直，点M 在C 上，且26MF =，则1MF =（）A ．2或14B ．2C ．14D ．2或10变式训练2.2已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的两条渐近线均与圆()2224b x a y -+=相切，则双曲线C 的离心率为（）A B ．2C ．3D ．4变式训练2.3已知F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过F 作与x 轴垂直的直线交双曲线于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆过坐标原点，则该双曲线的离心率为____________．考点三直线与双曲线的综合应用命题点1直线与双曲线的位置关系例题3.1设离心率为e 的双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是（）A ．221k e ->B ．221e k ->C ．221k e -<D ．221e k -<（2）已知直线y =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是________.命题点2中点弦问题例题3.2（1）（2017·湖南长沙市·长郡中学高二月考（理））双曲线2221x y -=与直线10x y +-=交于P ，Q 两点，M 为PQ 中点，则OMk 为（）A ．12-B ．2-C ．12D ．2（2）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，斜率为12的直线l 交双曲线于M 、N ，O 为坐标原点，P 为MN 的中点，若OP 的斜率为2，则双曲线的离心率为（）A B C ．D ．4命题点3定点问题例题3.3已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率2e =，虚轴长为2．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与双曲线C 相交于,A B 两点（,A B 均异于左、右顶点），且以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D ，求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．规律方法解决直线与双曲线位置关系的两种方法（1）法一：解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程．利用根与系数的关系，整体代入．法二：根据直线的斜率k 与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系．（2）与中点有关的问题常用点差法．直线l 与双曲线22221x y a b-=相交于,A B ,M 为AB 的中点，则22AB OMb k k a⋅=.变式训练3.1已知双曲线2212x y m -=(12)m ≤≤的离心率为e ，直线:2l y x =-，则（）A ．存在m ，使得2e =B ．存在m ，使得直线l 与双曲线右支有一个公共点C ．存在m ，使得e =D ．存在m ，使得直线l 与双曲线右支有两个公共点变式训练3.2已知直线l :20x y -+=与双曲线C :22221x ya b-=(0a >，0b >)交于A ,B 两点，点()1,4P 是弦AB 的中点，则双曲线C 的离心率为（）A ．43B ．2C D。
专题复习——双曲线(含答案)
专题复习——双曲线一、考点、热点回顾1.第一定义：双曲线要求动点到两定点距离之差为常数（小于两定点间的距离），而椭圆则要求动点到两定点距离之和为常数（大于两定点间的距离）；2.第二定义：双曲线要求动点到一个定点和一条定直线的距离之比为常数e （e ＞1），而椭圆则要求动点到一个定点和一条定直线的距离之比为常数e （0＜e ＜1）；3.主要参数a 、b 、c 之间的关系，双曲线要求c 2=a 2+b 2.a b c 其中，，依次表示双曲线的实，虚半轴和半焦距.而椭圆则要求 a 2=b 2+c 2a b c 其中，，分别表示椭圆的长，短半轴和半焦距4.共渐近线的双曲线系方程k b y a x =-2222或)0(2222≠=-k k bx a y焦半径P 在右支上，aex PF r a ex PF r -==+==2211P 在左支上，)()(2211a ex PF r a ex PF r --==+-==P 在上支上，aey PF r a ey PF r -==+==2211P 在下支上，)()(2211a ey PF r a ey PF r --==+-==二、典型例题【例1】若椭圆()0122 n m ny m x =+与双曲线221x y a b -=)0( b a 有相同的焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是 （ ）A. a m -B.()a m -21C. 22a m -D. a m - 【解析】椭圆的长半轴为()1221m PF PF m ∴+=，双曲线的实半轴为()1222a PF PF a ∴-=±，()()()2212121244PF PF m a PF PF m a -⋅=-⇒⋅=-：，故选A.【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键.【例2】已知双曲线127922=-y x 与点M （5，3），F 为右焦点，若双曲线上有一点P ，使PM PF 21+最小，则P 点的坐标为【分析】待求式中的12是什么？是双曲线离心率的倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义.【解析】双曲线的右焦点F （6，0），离心率2e =，右准线为32l x =：.作MN l ⊥于N ，交双曲线右支于P ，连FP ，则122PF e PN PN PN PF ==⇒=.此时PM 1375225PF PM PN MN +=+==-=为最小.在127922=-y x 中，令3y =，得2122 3.x x x =⇒=±∴ 0，取23x =.所求P 点的坐标为233（，）.（2）渐近线——双曲线与直线相约天涯对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有. 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开. 双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.【例3】过点（1，3）且渐近线为x y 21±=的双曲线方程是 【解析】设所求双曲线为()2214x y k -=点（1，3）代入：135944k =-=-.代入（1）： 22223541443535x y x y -=-⇒-=即为所求. 【评注】在双曲线22221x y a b -=中，令222200x y x ya b a b -=⇒±=即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为2222x y k a b-=，而无须考虑其实、虚轴的位置.（3）共轭双曲线—— 虚、实易位的孪生弟兄将双曲线22221x y a b -=的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：22221x y b a-=.这两个双曲线就是互相共轭的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.XY O F(6,0)M(5,3)P N P ′N ′X=32【例4】如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点，A 和B 是以O为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双 曲线的离心率为（ ） （A ）3 （B ）5 （C ）25（D ）31+ 【解析1】设AB 交x 轴于M ，并设双曲线半焦距为c ，∵△AB F 2是等边三角形，∴3,.22c OM MA c ==点3,22c A c ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭代入双曲线方程： ()()2222222222222233444c b a c a b c c a a c a c a ⋅-⋅=⇒--=-.化简得：422442284084042331c a c a e e e e -+=⇒-+=⇒=+⇒=+.（∵e ＞1，∴2423e =-及31e =-舍去）故选D.【解析2】连AF 1，则△AF 1F 2为直角三角形，且斜边F 1F 2之长为2c.令1122,.AF r AF r ==由直角三角形性质知：211221221222r r ar c r a c r c r r -=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=+⋅=⎩⎪⎩.∵()222222222124,24220220r r c a c c c a ac c e e +=∴++=⇒+-=⇒--=.∵e ﹥1，∴取31e =+.选D.【评注】即使是解析法解题，也须不失时机地引入几何手段.（2）转换法——为解题化归立意【例5】直线l 过双曲线12222=-by a x 的右焦点，斜率k =2.若l 与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e 的范围是 （）A .e >2 B.1<e <3 C.1<e <5 D.e >5 【分析】就题论题的去解这道题，确实难以下手，那就考虑转换吧.其一，直线和双曲线的两支都有交点不好掌握，XYO Fl但是和两条渐近线都有交点却很好掌握.其二，因为已知直线 的斜率为2，所以双曲线的两条渐近线中，倾斜角为钝角的 渐近线肯定与之相交，只须考虑倾斜角为锐角的渐近线也与 之相交.故有如下妙解.【解析】如图设直线l 的倾斜角为α，双曲线渐近线 m 的倾斜角为β.显然。
高三理数一轮讲义：9.6-双曲线(练习版)
第6节双曲线最新考纲了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P ＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)若a<c，则集合P为双曲线；(2)若a＝c，则集合P为两条射线；(3)若a>c，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2[微点提醒]1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2 a.2.离心率e＝ca＝a2＋b2a＝1＋b2a2.3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()(2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.()(3)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.()(4)双曲线x2m2－y2n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是xm±yn＝0.()(5)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)与x2b2－y2a2＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则1e21＋1e22＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).()2.(选修2－1P62A6改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________________.3.(选修2－1P61A1改编)已知双曲线x2－y216＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________.4.(2018·浙江卷)双曲线x23－y2＝1的焦点坐标是()A.(－2，0)，(2，0)B.(－2，0)，(2，0)C.(0，－2)，(0，2)D.(0，－2)，(0，2)5.(2017·全国Ⅲ卷)双曲线x2a2－y29＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝35x，则a＝________.6.(2018·北京卷)若双曲线x2a2－y24＝1(a>0)的离心率为52，则a＝________.考点一 双曲线的定义及应用【例1】 (1)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( ) A.14B.35C.34D.45(2)(2019·西安调研)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________.规律方法 1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|，|PF 2|的联系.【训练1】 (1)(2018·赣南五校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上，若△AF 1F 2的周长为10a ，则△AF 1F 2的面积为( ) A.215a 2 B.15a 2 C.30a 2D.15a 2(2)(2019·长春质检)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±233x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△P AF 周长的最小值为( ) A.8 B.10C.4＋37D.3＋317考点二 双曲线的标准方程【例2】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1D.x 24－y 23＝1(2)(2018·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点.设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1D.x 29－y 23＝1规律方法 1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值.2.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0).【训练2】 (1)(2018·海南二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是( ) A.x 212－y 2＝1B.x 29－y 23＝1 C.x 2－y 23＝1D.x 223－y 232＝1 (2)已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且双曲线经过点P (6，2)，则双曲线的方程为________________. 考点三 双曲线的性质 多维探究角度1 求双曲线的渐近线【例3－1】 (一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±3x C.y ＝±22xD.y ＝±32x角度2 求双曲线的离心率【例3－2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点.过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A. 5B.2C. 3D. 2(2)(2019·泰安联考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0，若双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞C.(1，2)D.(2，＋∞)角度3 与双曲线有关的范围(最值)问题【例3－3】 已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 规律方法 1.求双曲线离心率或其取值范围的方法(1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解.2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决. 【训练3】 (1)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与圆(x －2)2＋(y －1)2＝1相切，则C 的离心率为( ) A.43B.54C.169D.2516(2)(2019·安阳二模)已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________.[思维升华]已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的两条渐近线方程. [易错防范]1.双曲线方程中c 2＝a 2＋b 2，说明双曲线方程中c 最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆.2.求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，＋∞)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错.3.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y＝±a b x . 4.直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A.y ＝±12xB.y ＝±22xC.y ＝±2xD.y ＝±2x2.双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F ，过点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，且交y 轴于B ，若A 为BF 的中点，则双曲线的离心率为( ) A. 2B. 3C.2D.623.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4，0)到C 的渐近线的距离为( )A. 2B.2C.322 D.2 24.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为32，过右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为M .若△FOM 的面积为5，其中O 为坐标原点，则双曲线的方程为( )A.x 2－4y 25＝1B.x 22－2y 25＝1C.x 24－y 25＝1D.x 216－y 220＝1 5.已知F 2，F 1是双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的上、下两个焦点，过F 1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B ，A ，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±22x C.y ＝±6x D.y ＝±66x二、填空题6.直线l ：y ＝2x ＋10过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)一个焦点且与其一条渐近线平行，则双曲线方程为________________.7.设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________.8.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点.P 是双曲线在第一象限上的点，直线PO ，PF 2分别交双曲线C 左、右支于M ，N .若|PF 1|＝2|PF 2|，且∠MF 2N ＝60°，则双曲线C 的离心率为________. 三、解答题9已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10). (1)求双曲线的方程；(2)(一题多解)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0.10.设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3. (1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为π6，则双曲线的渐近线方程为( )A.y ＝±2xB.y ＝±12x C.y ＝±22xD.y ＝±2x12已知点F 为双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，直线y ＝kx (k >0)与E 交于不同象限内的M ，N 两点，若MF ⊥NF ，设∠MNF ＝β，且β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π6，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.[2，2＋6]B.[2，3＋1]C.[2，2＋6]D.[2，3＋1]13.已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________.14.已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. (1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →＞2(其中O 为原点)，求k 的取值范围.。
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第八章 §8.6 双曲线
(2)已知 F1，F2 为双曲线 C：x42－y22＝1 的左、右焦点，P 是 C 的右支上
一点，则||PPFF12||2的最小值为
√A.16
C.8＋4 2
B.18 D.9＋152 2
因为 F1，F2 为双曲线 C：x42－y22＝1 的左、右焦点，P 是 C 的右支上 的一点，
所以|PF1|＝|PF2|＋4， 所以||PPFF12||2＝|PF|P2F|＋2|42＝|PF2|2＋|P8F|P2F| 2|＋16 ＝|PF2|＋|P1F62|＋8≥2 16＋8＝16，
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2 ＝60°，则△F1PF2的面积为____2__3_.
不妨设点P在双曲线的右支上， 则|PF1|－|PF2|＝2a＝2 2， 在△F1PF2 中，由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|P|PFF1|·2||P2－F2|F| 1F2|2＝12， ∴|PF1|·|PF2|＝8， ∴ S△F1PF2 ＝12|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2 3.
知识梳理
标准方程 范围
ax22－by22＝1(a>0，b>0) x≤－a 或 x≥a ，y∈R
ay22－bx22＝1(a>0，b>0) y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 性质 顶点
对称轴： 坐标轴 ；对称中心：_原__点__
_A_1_(_－__a_，__0_)，__A__2(_a_，__0_)_
_A_1_(_0_，__－__a_)，__A__2(_0_，__a_)_
当且仅当|PF2|＝|P1F62|，即|PF2|＝4 时，等号成立. 因为 c＝ a2＋b2＝ 6， 所以 c－a＝ 6－2<4， 所以|PF2|＝4 成立，||PPFF12||2的最小值为 16.
新高考数学复习考点知识专题讲解与练习58---双曲线
新高考数学复习考点知识专题讲解与练习专题58 双曲线一、单项选择题1．双曲线x236－m2－y2m2＝1(0<m<3)的焦距为( ) A ．6 B ．12 C ．36 D ．236－2m22．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点是(0，3)，则k 的值是( )A ．1B ．－1 C.653 D ．－633．已知双曲线x2a2－y23＝1(a>0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2 B.62 C.52 D ．14．(2021·浙江省山水联盟模拟)已知双曲线x 2－y2b2＝1(b>0)，其虚轴长为2，则双曲线的离心率是( )A. 2B. 5 C ．3 D.525．如图是一座等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面5 m ，水面宽度AB ＝30m ．若水面下降5 m ，则水面宽度是(结果精确到0.1 m)(参考数值：2≈1.41，5≈2.24，7≈2.65)( )A ．43.8 mB ．44.8 mC ．52.3 mD ．53.0 m6．(2021·深圳市高三年级第二次调研考试)已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的焦点分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 为C 上一点，PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 1F 2＝34，则C 的方程为( ) A ．x 2－y224＝1 B.x224－y 2＝1 C.x29－y216＝1 D.x216－y29＝1 7．已知F 1，F 2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P 是双曲线上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为π6，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±12xC ．y ＝±22xD ．y ＝±2x8．已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则点(4，0)到C 的渐近线的距离为( )A. 2 B ．2 C.322 D ．2 29．(2021·哈尔滨第一中学高三6月模拟)已知点P 为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)右支上一点，点F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，点I 是△PF 1F 2的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒有S △IPF 1－S △IPF 2≤22S △IF 1F 2成立，则双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1，2)B ．[2，＋∞)C ．(1，2]D ．(2，＋∞)10.(2021·福建福州联考)如图，双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作直线与C 的渐近线交于P点，若等腰△PF 1F 2的底边PF 2的长等于C 的半焦距，则C 的离心率为( )A.233B.23C.263D.32二、多项选择题11．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：y 2－x 2＝1的上、下焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以线段F 1F 2为直径的圆经过点P ，则( )A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±xB ．以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1C ．点P 的横坐标为±1D ．△PF 1F 2的面积为 2 12．已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝1都相切，则双曲线C 的离心率可能是( )A ．2 B. 3 C.62 D.23313．(2021·山东淄博部分学校二模)已知点P 在双曲线C ：x216－y29＝1上，F 1，F 2是双曲线C 的左、右焦点．若△PF 1F 2的面积为20，则下列说法正确的有( )A ．点P 到x 轴的距离为203B ．|PF 1|＋|PF 2|＝503C ．△PF 1F 2为钝角三角形D ．∠F 1PF 2＝π3三、填空题与解答题14．(2021·河北衡水二模)已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C 的焦距为________．15．已知双曲线C 的焦点为F 1(0，2)，F 2(0，－2)，实轴长为2，则双曲线C 的离心率是________；若点Q 是双曲线C 的渐近线上一点，且F 1Q ⊥F 2Q ，则△QF 1F 2的面积为________．16．(2021·山西太原五中模拟)已知F 1，F 2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若|AF 1|＝2a ，∠F 1AF 2＝2π3，则S △AF1F2S △ABF2＝( )A ．1 B.12 C.13 D.2317．已知点F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y2b2＝1(b ＞0)的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，∠MF 1F 2＝30°.(1)求双曲线C 的方程；(2)过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P 1，P 2，求PP1→·PP2→的值．18．(2021·八省联考)双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左顶点为A ，右焦点为F ，动点B 在双曲线C 上．当BF ⊥AF 时，|AF|＝|B F|.(1)求双曲线C 的离心率；(2)若点B 在第一象限，证明：∠BFA ＝2∠BAF.参考答案1．答案 B 解析 ∵c 2＝36－m 2＋m 2＝36，∴c ＝6.双曲线的焦距为12.2．答案 B 解析 根据题意可知，双曲线8kx 2－ky 2＝8的焦点在y 轴上，则把双曲线8kx 2－ky 2＝8的方程化为标准方程为y2－8k －x2－1k ＝1，∴9＝8－k ＋1－k ，∴k ＝－1.故选B. 3．答案 D 解析 因为双曲线的方程为x2a2－y23＝1，所以e 2＝1＋3a2＝4，因此a 2＝1，所以a ＝1.选D.4．答案 A 解析 由题可知，a ＝1，因为虚轴长为2，所以b ＝1，所以c 2＝a 2＋b 2＝1＋1＝2，得c ＝2，所以离心率e ＝c a ＝ 2.故选A.5．答案 B 解析 如图建系．∵拱桥为等轴双曲线形，∴设其方程为y 2－x 2＝a 2，∴C(0，－a)．∵|AB|＝30，|CD|＝5，∴B(15，－a －5)．将B(15，－a －5)代入 方程y 2－x 2＝a 2得(－a －5)2－152＝a 2，解得a ＝20.∴曲线方程为y 2－x 2＝400.当 水面下降5 m 时，y N ＝－a －5－5＝－30，代入方程y 2－x 2＝400，得x N ＝10 5.∴|MN|＝2x N ＝205≈44.8.故水面宽度约为44.8 m ．故选B.6．答案 A 解析 因为PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 1F 2＝34，|F 1F 2|＝10，所以可得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，根据双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，即a ＝1，所以b 2＝c 2－a 2＝25－1＝24，所以C 的方程为x 2－y224＝1.故选A.7．答案 D解析 不妨设P 为双曲线右支上一点，则|PF 1|>|PF 2|，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a.又因为⎩⎨⎧2c>2a ，4a>2a ，所以∠PF 1F 2为最小内角，故∠PF 1F 2＝π6.由余弦定理，可得（4a ）2＋（2c ）2－（2a ）22·4a·2c ＝32，化简得c 2＝3a 2，所以b 2＝c 2－a 2＝2a 2，则b a ＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x.8．答案 D解析 方法一：由离心率e ＝c a ＝2，得c ＝2a ，又b 2＝c 2－a 2，得b ＝a ，所以双曲线C的渐近线方程为y ＝±x.由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.故选D.方法二：离心率为e ＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y ＝±x ，由点到直线的距离公式得，点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.故选D. 9．答案 B 解析 设△PF 1F 2的内切圆半径为r ，则S △IPF 1＝12|PF 1|·r ，S △IPF 2＝12|PF 2|·r ，S △IF 1F 2＝12|F 1F 2|·r ，因为S △IPF 1－S △IPF 2≤22S △IF 1F 2，所以|PF 1|－|PF 2|≤22|F 1F 2|，由双曲线的定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，所以2a ≤2c ，即c a ≥ 2.故选B.10.答案 C 解析 依题意，得k OP ＝b a ＝c2－a2a2＝e2－1，在等腰△PF 1F 2中，cos ∠PF 2F 1＝|PF2|2|F1F2|＝c 22c ＝14，所以|OP|2＝c 2＋c 2－2c 2cos ∠PF 2F 1＝32c 2，所以|OP|＝62c ，所以cos ∠F 2OP＝|OP|2|OF2|＝64，所以tan ∠F 2OP ＝153，所以e2－1＝153，解得e ＝263，故选C.11．答案 ACD解析 本题考查双曲线的几何性质．等轴双曲线C ：y 2－x 2＝1的渐近线方程为y ＝±x ，故A 正确．由双曲线的方程可知|F 1F 2|＝22，所以以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝2，故B 错误．点P(x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝2上，不妨设点P(x 0，y 0)在直线y ＝x 上，所以⎩⎨⎧x02＋y02＝2，y0＝x0，解得|x 0|＝1，则点P 的横坐标为±1，故C 正确．由上述分析可得△PF 1F 2的面积为12×22×1＝2，故D 正确．故选ACD.12．答案 AD解析 本题主要考查直线与圆的位置关系、双曲线的性质．设双曲线C 的渐近线方程为y ＝kx ，∵该双曲线的渐近线是圆的切线，∴|2k|k2＋1＝1，解得k ＝±33，则双曲线的一条渐近线的方程为y ＝33x.①当双曲线的焦点在x 轴上时，有b a ＝33，离心率e ＝c a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝233； ②当双曲线的焦点在y 轴上时，有a b ＝33，离心率e ＝c a ＝1＋（3）2＝2.∴双曲线C 的离心率为2或233.故选AD. 13．答案 BC解析 因为双曲线C ：x216－y29＝1，所以c ＝16＋9＝5.又因为S △PF 1F 2＝12×2c|y P |＝12×10|y P |＝20，所以|y P |＝4，故A 错误；将|y P |＝4代入C ：x216－y29＝1得|x P |＝203.由双曲线的对称性，不妨设P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫203，4，可知|PF 2|＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫203－52＋42＝133.由双曲线定义可知|PF 1|＝|PF 2|＋2a ＝133＋8＝373，所以|PF 1|＋|PF 2|＝373＋133＝503，故B 正确；由双曲线的对称性，取P ⎝ ⎛⎭⎪⎫203，4，在△PF 1F 2中，|PF 1|＝373>2c ＝10>|PF 2|＝133，且cos ∠PF 2F 1＝|PF2|2＋|F1F2|2－|PF1|22|PF2|·|F1F2|＝－513<0，则∠PF 2F 1为钝角，所以△PF 1F 2为钝角三角形，故C 正确；由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝319481≠12，所以∠F 1PF 2≠π3，故D 错误．故选BC.14．答案 4思路 利用双曲线的性质及条件列a ，b ，c 的方程组，求出c 可得． 解析 因为双曲线的离心率为2，焦点(c ，0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为3，所以⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝2，|bc|a2＋b2＝3，c2＝a2＋b2，解得b ＝3，a ＝1，c ＝2，所以双曲线的焦距为4.15．答案 2 23解析 易知c ＝2，2a ＝2，所以a ＝1，所以b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，b＝3，e ＝c a ＝2，所以双曲线的方程为：y 2－x23＝1，其中经过一、三象限的渐近线方程为y ＝33x ，故可设点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，33x ，所以F1Q →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，33x －2，F2Q →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，33x ＋2，因为F 1Q ⊥F 2Q ，所以F1Q →·F2Q →＝0，即x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫33x ＋2＝0，解得：x ＝±3，所以点Q 到y 轴的距离为3，又|F 1F 2|＝4，所以S △QF 1F 2＝12×3×|F 1F 2|＝12×3×4＝2 3.16．答案 B 解析 方法一：如图所示，由双曲线定义可知|AF 2|－|AF 1|＝2a.又|AF 1|＝2a ，所以|AF 2|＝4a ，因为∠F 1AF 2＝23π，所以S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2＝12×2a ×4a ×32＝23a 2.设|BF 2|＝m ，由双曲线定义可知|BF 1|－|BF 2|＝2a ，所以|BF 1|＝2a ＋|BF 2|，又知|BF 1|＝2a ＋|BA|，所以|BA|＝|BF 2|.又知∠BAF 2＝π3，所以△BAF 2为等边三角形，边长为4a ，所以S△ABF 2＝34|AB|2＝34×(4a)2＝43a 2，所以S △AF1F2S △ABF2＝23a243a2＝12，故选B. 方法二：由⎩⎨⎧|AF2|－|AF1|＝2a ，|AF1|＝2a ⇒|AF 2|＝4a.由⎩⎨⎧|BF1|－|BF2|＝2a ，|BF1|－|BA|＝|AF1|＝2a⇒|BF 2|＝|BA|. 又∵∠F 1AF 2＝23π，∴∠BAF 2＝π3.∴△ABF 2为等边三角形，∴|AB|＝|AF 2|＝4a ，∴S △AF1F2S △ABF2＝|AF1||AB|＝12.17．答案 (1)x 2－y22＝1 (2)29解析 (1)设F 2，M 的坐标分别为(1＋b2，0)，(1＋b2，y 0)(y 0>0)，因为点M 在双曲线C 上，所以1＋b 2－y02b2＝1，则y 0＝b 2，所以|MF 2|＝b 2.在Rt △MF 2F 1中，∠MF 1F 2＝30°，|MF 2|＝b 2，所以|MF 1|＝2b 2.由双曲线的定义可知，|MF 1|－|MF 2|＝b 2＝2，故双曲线C 的方程为x 2－y22＝1. (2)由(1)可知，两条渐近线分别为l 1：2x －y ＝0，l 2：2x ＋y ＝0.设双曲线C 上的点P(x 0，y 0)，两条渐近线的夹角为θ，由题意知cos θ＝13.则点P 到两条渐近线的距离分别为|PP 1|＝|2x0－y0|3，|PP 2|＝|2x0＋y0|3. 因为P(x 0，y 0)在双曲线C ：x 2－y22＝1上，所以2x 02－y 02＝2. 所以PP1→·PP2→＝|2x0－y0|3·|2x0＋y0|3cos θ＝|2x02－y02|3·13＝29. 18．答案 (1)2 (2)证明略解析 (1)由题意知，当BF ⊥AF 时，|BF|为双曲线的半通径b2a ，|AF|＝a ＋c ，又|AF|＝|BF|，所以b2a ＝a ＋c ⇔c 2－a 2＝a 2＋ac ⇔e 2－e －2＝0，其中c 为双曲线的半焦距，e 为双曲线的离心率，解得e ＝2(e ＝－1舍去)．（2）证明：如图，作双曲线的右准线l ：x ＝a 2，交x 轴于点H ，交BA 于点P ，连接PF ，则H ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0. 由于PH ⊥AF ，且HA ＝HF ，于是△PAF 是等腰三角形，于是∠BAF ＝∠PFA ，因此欲证∠BFA ＝2∠BAF 即证∠PFA ＝∠PFB ，根据角平分线定理的逆定理，只需要证明|PA||PB|＝|FA||FB|⇔d （A ，l ）d （B ，l ）＝|FA||FB|.根据双曲线焦准定义，|FB|d （B ，l ）＝e ＝2，又|FA|d （A ，l ）＝|FA||AH|＝2，所以|FA|d （A ，l ）＝|FB|d （B ，l ），即d （A ，l ）d （B ，l ）＝|FA||FB|，命题得证．。
专题23 双曲线(解答题压轴题)(学生版)-2024年高考数学压轴专题复习
专题23 双曲线（解答题压轴题）
目录
①双曲线的弦长问题 (1)
②双曲线的中点弦问题 (2)
③双曲线中的参数及范围问题 (4)
④双曲线中的最值问题 (6)
⑤双曲线中面积问题 (8)
⑥双曲线中定点、定值、定直线问题 (10)
⑦双曲线中向量问题 (12)
⑧双曲线综合问题 (13)
①双曲线的弦长问题
②双曲线的中点弦问题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知()()2,0,2,0A B -，直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是3.(1)求点M 的轨迹C 的方程；
(2)过点()2,3N 能否作一条直线m 与轨迹C 交于两点P ，Q ，且点N 是线段PQ 的中点？若能，求出直线m 的方程；若不能，说明理由．
(1)求点N的轨迹方程；
(2)记点N的轨迹为曲线Γ，过点
31
,
22
P⎛⎫
⎪
⎝⎭
是否存在一条直线l，
线段CD中点．
③双曲线中的参数及范围问题
（1）求双曲线E 的方程；
（2）若直线:1l y kx =-与双曲线P ，Q 两点，求
MN
PQ
的取值范围．
④双曲线中的最值问题
⑤双曲线中面积问题
⑥双曲线中定点、定值、定直线问题
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设直线AP，AQ的斜率分别为
(3)证明：直线MN过定点.
⑦双曲线中向量问题
⑧双曲线综合问题
(1)求双曲线E的离心率；
(2)如图，O为坐标原点，动直线
积恒为8，试探究：是否存在总与直线若不存在，说明理由.。
双曲线专题复习(附答案).doc
双曲线专题考点1双曲线的定义及标准方程题型L运用双曲线的定义21.设P为双曲线X2-^— = }上的一点F|、F?是该双曲线的两个焦点，若|PF,|： |PF2|=3： 2,贝O A PF,F2的面积为12（）A. 6A/3B. 12C. 12-\/3D. 24解析：a = l,b =厄c = g由|Pg|:|Pg|=3:2 ①又\PF}\-\PF2 1= 2。
= 2,②由①、②解得|P鸟|=6,哗 |= 4.・."再\2+\PF2『=5ZI昭St. . PF】F?为直角三角形，•.•S AP时，=-|PF, |-|PF2 |= L X 6X4=12.故选B。
2 2X2 v22.P是双曲线土—土 = 1（。
〉0,人>0）左支上的一点，F|、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c,则AP4凡的内/ /?-切圆的圆心的横坐标为（）（A）—a（B）-h（C）—c（D）a + h-c［解析］设△Pg%的内切圆的圆心的横坐标为工°，由圆的切线性质知，PF^ — PR =| c — x（）| — | 天）—（―c） |= 2a => 天）=~a 题型2求双曲线的标准方程X2 y2f—3.己知双曲线C与双曲线\—二二1有公共焦点，且过点（3扼，2）.求双曲线C的方程.16 42 2［解析］解法一：设双曲线方程为二一仁二1.由题意易求c=2V5.ci~ b~又双曲线过点（3扼，2）,一兰二1. a2 b2又・.•/+序=（2妁2,・・.表12,度=8.X2 V2故所求双曲线的方程为壬一：二1.12 o2 2解法二：设双曲线方程为= 1, 16-k 4 + k2 2将点（3石，2）代入得妇4,所以双曲线方程为壬一：=1.12 84.己知双曲线的渐近线方程是），=±号，焦点在坐标轴上且焦距是10,则此双曲线的方程为［解析］设双曲线方程为/ 一4、2 =人,当人>0时，化为—-^ = 1, /.2J —=10.-./1 = 20,九4 V 4 4 当人<0时，化为土 —二=1人-A4..•2苧=10.・.人=—20,22综上，双曲线方程为土-匕=1或--—=120 5 5 205.以抛物线尸=8& 的焦点F 为右焦点，且两条渐近线是x ±^y = 0的双曲线方程为.［解析］抛物线y 2 = 8A /3X 的焦点F 为时,0）,设双曲线方程为J —3；/=人，.・.牛二（2占尸.・.人=9 ,双曲22线方程为—-^- = 19 36 .己知点M （—3,0）, N （3,0）, B （l,0）,动圆C 与直线枷切于点B,过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P,则P 点的轨迹方程为A. x~ —= 1(X < — 1)822B. x~ —-- — 1 (x > 1)C. x~ + -— — 1 (x> 0)8 8D. x~ —-— = 1 (x >1)［解析1PM —PN = BM —BN =2, F 点的轨迹是以M 、N 为焦点、,实轴长为2的双曲线的右支，选B考点2双曲线的几何性质 题型1求离心率或离心率的范围7.已知双曲线十一± = 1,（。
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双曲线专题复习讲义
考点1双曲线的定义及标准方程 题型1:运用双曲线的定义
题型1求离心率或离心率的范围 2 2
［例3］已知双曲线X y 每 1,（a 0,b 0）的左，右
焦
a b
点分别为F 1,F 2，点P 在双曲线的右支上，且
端点，若该椭圆的长轴长为 4，则△ AF 1F 2面积的最大值 为 ___ .
4.过点（-6 , 3）且和双曲线x 2
-2y 2
=2有相同的渐近线 的双曲线方程为 _________________ 。
| PF 1 | 4|PF 2 |，则此双曲线的离心率 e 的最大值为_.
【新题导练】
双曲线
x2
64 y2
36
=1上一点P 到双曲线右焦点的距离是4,那么点P 到左准线的距离是 题型2与渐近线有关的问题
在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化 解题过程.同时要熟练掌握以下三方面内容： （1）已知双曲线方
程,
求它的渐近线；（2）求已知渐近线的双曲线的方程； （3）渐近线
的
b 、f c2 — a2 /c2. ----------
斜率与离心率的关系，如
k =a —a2—1= . e2—1. 【新题导练】 2
1. 设P 为双曲线X 2
- 1上的一点F 1、F 2是该双曲 12 线的两个焦点，若|PF 1|： |PF 2|=3 : 2,则厶PF 1F 2的面 积为 （ ） A. 6、3 B. 12 C. 12 .3 D. 24 2 2 2. 如图2所示，F 为双曲线C : — — 1的左焦点， 9 16 双曲线C 上的点P 与P 7 i i 1,2,3关于y 轴对称， ［例4］若双曲
线
2
X ~2
a
2
莒 1（a 0,b 0）的焦点到
渐
b 2 近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为
7
. 【新题导
练】
2
双曲线— 4
2
y_ 9 1的渐近线方程
是
A.
2 x B. 3
C.
D.2
则 RF P 2F P 3F F 4F F ^F P 6F 的值是（） 8.焦点为（0, 6），且与双曲线
1有相同的渐近线
A . 9 B. 16 C. 18 D. 27 题型2求双曲线的标准方程 2 ［例2 ］已知双曲线C 与双曲线— 16 2
—=1有公共焦点, 4
的双曲线方程是
2
A .—
12
2
y 24
2
1B .—
12
2
x
24 )
2
C . 乂
24
2 x
12 2 D .— 24 2
乂 1
12
双曲线专题练习
且过点（3 ...2，2）.求双曲线C 的方程. 【新题导练】
3.已知双曲线的渐近线方程是 y 2，焦点在坐标轴上 且焦距是10，则此双曲线的方程为 __________________ ; 4•以抛物线y 2 8 -. 3x 的焦点F 为右焦点，且两条渐近
线 是x J3y 0的双曲线方程为 _________________________ .
考点2双曲线的几何性质
一、填空题
2
1 .椭圆工
9
k= 。
2
1与双曲线丄 k 仝1的焦点相同，则
3
2
2.双曲线丄 9 2
鼻1的渐近线为
4
3 •已知 戸、F 2为椭圆的两个焦点， A 为它的短轴的一个 5.过原点与双曲线 1交于两点的直线斜
率
2 2
5.已知双曲线—'
m n 1的一条渐近线方程
为
的取值范围是 6、若双曲线8kx 2
ky 2
8的一个焦点是
0, 3),则 k
C .
5 1
或2 D.不存在
2
4
y x，则该双曲线的离心率e为_________________ .
3
2 2
6.已知双曲线x- 1（a 0 b 0）的右顶点为E，双
a b '
曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为A、B 两点，若/ AEB=60。
，则该双曲线的离心率e是（）
的值是_________
7 .点P是双曲线
点，若 F1PF a=120°,则
1上一点，F1、F2是双曲线焦
F1PF2的面积_____________ 8 .若对任意k R,直线y k（x 2） b与双曲线x2 y2 1
总有公共点，则 b范围__________ 。
二、选择题
2
9.经过双曲线x2—1的右焦点F2作直线I交双曲
2
线与A、B两点，若|AB|=4,则这样的直线存在的条数
为( )
(A)4; ( B) 3; (C) 2; (D)1
10.双曲线与其共轭双曲线有( )
A.相同的焦点
B. 相同的渐近线
C.相等的实轴长
D.相等的虚轴长
2 2
11.过点 P(3,4) 与双曲线c: x —1只有一个交点
9 16
的直线的条数为( )
A. 4
B. 3
C.2
D.
1
三、解答题
12 .已知动圆与圆 C i：(x+5) 2+y2=49 和圆◎ (x-5) 2+y2=1 都外切，
(1)求动圆圆心P的轨迹方程。
(2)若动圆P与圆C2内切, 与圆C外切，则动圆圆心P的轨迹是_______________ 。
若动圆P 与圆C内切，与圆G外切，则动圆圆心P的轨迹是________ 。
若把圆C的半径改为1,那么动圆P的轨迹是_____________ 。
(只需写出图形形状)
2 2
13.已知双曲线方程为2x y 2与点P(1,2),
(1)求过点P (1, 2)的直线I的斜率k的取值范围，使直线与双曲线有一个交点，两个交点，没有交点。
⑵过点P (1 , 2)的直线交双曲线于 A、B两点，若P 为弦AB 的中点，求直线 AB的方程；
(3)是否存在直线l，使Q ( 1, 1 )为|被双曲线所截弦的中点？若存在，求出直线I的方程；若不存在，请说明理由。
14、已知中心在原点，顶点 A1、A2在x轴上，离心率e= —21的双曲线过点P(6, 6) (1)求双曲线方程
3
(2)动直线l经过△ A1PA2的重心G,与双曲线交于不同的两点M、N,问
是否存在直线I,使G平分线段MN，证明你的结论
一、填空题
2 y
2
1 . k= _
2 ____ 。
2.3x-2y=0
3 .2.
4 .令9 1
5(,孑)(手，).6、zU . 3。
8 . [ -3, 3]
二、选择题
9 ( B ) 10. ( B ) 11.C
三、解答题12. (1)从已知条件可以确定圆C、C2的圆心与半径。
两圆外切可得：两圆半径和=圆心距动圆半径r,依题意
有 7 + r = |PC1|,1 + r = |PC2|，两式相减得：|PG| —
|PC2| = 6 v |C1G|。
由双曲线定义得：点P的轨迹是以
2 2
G、C2为焦点的双曲线的右支。
二L 1 ( x> 3)
9 16
(2)若动圆P与圆G内切，与圆C外切，则动圆圆心P的轨迹是 __________ (双曲线右支)若动圆P与圆G内切，与圆C2
外切，则动圆圆心P的轨迹是____________ (双曲线左支)
若把圆C的半径改为1,那么动圆P的轨迹是______________ 。
(两定圆连心线的垂直平分线)
13 .当k= ± .. 2 ,或k= 3，或k不存在时，I与C只有一
2
个交点；当2 v k v 3 ,或一2 v k v 2 ,或k v—2
2
3
时，I与C有两个交点；当k> 时，I与C没有交点.
2
(2)以P为中点的弦为：y x 1.
⑶假设以Q为中点的弦存在，设为AB,且
2 2 2 2 、
A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则 2x1 —屮=2,2x 2 — y2 =2 两式相减得: 2(x 1— X2)(x 1+X2)=(y 1 — y2)(y 1+y2)
又T X1+X2=2,y 1+y2=2 /• 2(x 1 — x2)=y 1 —屮即kAE= y1 y2 =2但渐近线斜率为土•、2 ,结合图形知直线x1x2
AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不
存在.
14.解.
2 2
■
\
y
所求双曲线方程为—乞=1 H N..
9 12 i
j
G. l
(2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、( A 1f
JT f J T
o A2 X 3, 0)、( — 3, 0),.・.其重心G的M,
坐标为(2, 2)
假设存在直线1，使G(2, 2)平分线
段 MN，设 M(X1,y1), N(X2,y2) 则有
2 2
x-i x2 4 12x1 9y1 108 y1 y2 12 4 Y1 y2 4 12x2 9y2108 X1 X2 9 3 4
,.•• k=- /• I的方程为
3
y=3
2 2
12x29y2108
(x— 2)+2,由4，消去 y,整理得 x2—
4x+28=0
y -(x 2)
•/ ^=16 — 4X28v 0,「.所求直线I不存在。