双曲线专题复习讲义及练习学生

双曲线专题复习讲义
考点1双曲线的定义及标准方程 题型1:运用双曲线的定义
题型1求离心率或离心率的范围 2 2
［例3］已知双曲线X y 每 1,（a 0,b 0）的左，右
焦
a b
点分别为F 1,F 2，点P 在双曲线的右支上，且
端点，若该椭圆的长轴长为 4，则△ AF 1F 2面积的最大值 为 ___ .
4.过点（-6 , 3）且和双曲线x 2
-2y 2
=2有相同的渐近线 的双曲线方程为 _________________ 。

| PF 1 | 4|PF 2 |，则此双曲线的离心率 e 的最大值为_.
【新题导练】
双曲线
x2
64 y2
36
=1上一点P 到双曲线右焦点的距离是4,那么点P 到左准线的距离是 题型2与渐近线有关的问题
在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化 解题过程.同时要熟练掌握以下三方面内容： （1）已知双曲线方
程,
求它的渐近线；（2）求已知渐近线的双曲线的方程； （3）渐近线
的
b 、f c2 — a2 /c2. ----------
斜率与离心率的关系，如
k =a —a2—1= . e2—1. 【新题导练】 2
1. 设P 为双曲线X 2
- 1上的一点F 1、F 2是该双曲 12 线的两个焦点，若|PF 1|： |PF 2|=3 : 2,则厶PF 1F 2的面 积为 （ ） A. 6、3 B. 12 C. 12 .3 D. 24 2 2 2. 如图2所示，F 为双曲线C : — — 1的左焦点， 9 16 双曲线C 上的点P 与P 7 i i 1,2,3关于y 轴对称， ［例4］若双曲
线
2
X ~2
a
2
莒 1（a 0,b 0）的焦点到
渐
b 2 近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为
7
. 【新题导
练】
2
双曲线— 4
2
y_ 9 1的渐近线方程
是
A.
2 x B. 3
C.
D.2
则 RF P 2F P 3F F 4F F ^F P 6F 的值是（） 8.焦点为（0, 6），且与双曲线
1有相同的渐近线
A . 9 B. 16 C. 18 D. 27 题型2求双曲线的标准方程 2 ［例2 ］已知双曲线C 与双曲线— 16 2
—=1有公共焦点, 4
的双曲线方程是
2
A .—
12
2
y 24
2
1B .—
12
2
x
24 )
2
C . 乂
24
2 x
12 2 D .— 24 2
乂 1
12
双曲线专题练习
且过点（3 ...2，2）.求双曲线C 的方程. 【新题导练】
3.已知双曲线的渐近线方程是 y 2，焦点在坐标轴上 且焦距是10，则此双曲线的方程为 __________________ ; 4•以抛物线y 2 8 -. 3x 的焦点F 为右焦点，且两条渐近
线 是x J3y 0的双曲线方程为 _________________________ .
考点2双曲线的几何性质
一、填空题
2
1 .椭圆工
9
k= 。

2
1与双曲线丄 k 仝1的焦点相同，则
3
2
2.双曲线丄 9 2
鼻1的渐近线为
4
3 •已知 戸、F 2为椭圆的两个焦点， A 为它的短轴的一个 5.过原点与双曲线 1交于两点的直线斜
率
2 2
5.已知双曲线—'
m n 1的一条渐近线方程
为
的取值范围是 6、若双曲线8kx 2
ky 2
8的一个焦点是
0, 3),则 k
C .
5 1
或2 D.不存在
2
4
y x，则该双曲线的离心率e为_________________ .
3
2 2
6.已知双曲线x- 1（a 0 b 0）的右顶点为E，双
a b '
曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为A、B 两点，若/ AEB=60。

，则该双曲线的离心率e是（）
的值是_________
7 .点P是双曲线
点，若 F1PF a=120°,则
1上一点，F1、F2是双曲线焦
F1PF2的面积_____________ 8 .若对任意k R,直线y k（x 2） b与双曲线x2 y2 1
总有公共点，则 b范围__________ 。

二、选择题
2
9.经过双曲线x2—1的右焦点F2作直线I交双曲
2
线与A、B两点，若|AB|=4,则这样的直线存在的条数
为( )
(A)4; ( B) 3; (C) 2; (D)1
10.双曲线与其共轭双曲线有( )
A.相同的焦点
B. 相同的渐近线
C.相等的实轴长
D.相等的虚轴长
2 2
11.过点 P(3,4) 与双曲线c: x —1只有一个交点
9 16
的直线的条数为( )
A. 4
B. 3
C.2
D.
1
三、解答题
12 .已知动圆与圆 C i：(x+5) 2+y2=49 和圆◎ (x-5) 2+y2=1 都外切，
(1)求动圆圆心P的轨迹方程。

(2)若动圆P与圆C2内切, 与圆C外切，则动圆圆心P的轨迹是_______________ 。

若动圆P 与圆C内切，与圆G外切，则动圆圆心P的轨迹是________ 。

若把圆C的半径改为1,那么动圆P的轨迹是_____________ 。

(只需写出图形形状)
2 2
13.已知双曲线方程为2x y 2与点P(1,2),
(1)求过点P (1, 2)的直线I的斜率k的取值范围，使直线与双曲线有一个交点，两个交点，没有交点。

⑵过点P (1 , 2)的直线交双曲线于 A、B两点，若P 为弦AB 的中点，求直线 AB的方程；
(3)是否存在直线l，使Q ( 1, 1 )为|被双曲线所截弦的中点？若存在，求出直线I的方程；若不存在，请说明理由。

14、已知中心在原点，顶点 A1、A2在x轴上，离心率e= —21的双曲线过点P(6, 6) (1)求双曲线方程
3
(2)动直线l经过△ A1PA2的重心G,与双曲线交于不同的两点M、N,问
是否存在直线I,使G平分线段MN，证明你的结论
一、填空题
2 y
2
1 . k= _
2 ____ 。

2.3x-2y=0
3 .2.
4 .令9 1
5(,孑)(手，).6、zU . 3。

8 . [ -3, 3]
二、选择题
9 ( B ) 10. ( B ) 11.C
三、解答题12. (1)从已知条件可以确定圆C、C2的圆心与半径。

两圆外切可得：两圆半径和=圆心距动圆半径r,依题意
有 7 + r = |PC1|,1 + r = |PC2|，两式相减得：|PG| —
|PC2| = 6 v |C1G|。

由双曲线定义得：点P的轨迹是以
2 2
G、C2为焦点的双曲线的右支。

二L 1 ( x> 3)
9 16
(2)若动圆P与圆G内切，与圆C外切，则动圆圆心P的轨迹是 __________ (双曲线右支)若动圆P与圆G内切，与圆C2
外切，则动圆圆心P的轨迹是____________ (双曲线左支)
若把圆C的半径改为1,那么动圆P的轨迹是______________ 。

(两定圆连心线的垂直平分线)
13 .当k= ± .. 2 ,或k= 3，或k不存在时，I与C只有一
2
个交点；当2 v k v 3 ,或一2 v k v 2 ,或k v—2
2
3
时，I与C有两个交点；当k> 时，I与C没有交点.
2
(2)以P为中点的弦为：y x 1.
⑶假设以Q为中点的弦存在，设为AB,且
2 2 2 2 、
A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则 2x1 —屮=2,2x 2 — y2 =2 两式相减得: 2(x 1— X2)(x 1+X2)=(y 1 — y2)(y 1+y2)
又T X1+X2=2,y 1+y2=2 /• 2(x 1 — x2)=y 1 —屮即kAE= y1 y2 =2但渐近线斜率为土•、2 ,结合图形知直线x1x2
AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不
存在.
14.解.
2 2
■
\
y
所求双曲线方程为—乞=1 H N..
9 12 i
j
G. l
(2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、( A 1f
JT f J T
o A2 X 3, 0)、( — 3, 0),.・.其重心G的M,
坐标为(2, 2)
假设存在直线1，使G(2, 2)平分线
段 MN，设 M(X1,y1), N(X2,y2) 则有
2 2
x-i x2 4 12x1 9y1 108 y1 y2 12 4 Y1 y2 4 12x2 9y2108 X1 X2 9 3 4
,.•• k=- /• I的方程为
3
y=3
2 2
12x29y2108
(x— 2)+2,由4，消去 y,整理得 x2—
4x+28=0
y -(x 2)
•/ ^=16 — 4X28v 0,「.所求直线I不存在。