实变函数试题库(5)及参考答案

实变函数试题库及参考答案（5） 本科
一、填空题
1．设,A B 为集合，则___(\)A B B A A
2．设n E R ⊂，如果E 满足0E E =（其中0E 表示E 的内部），则E 是
3．设G 为直线上的开集，若开区间(,)a b 满足(,)a b G ⊆且,a G b G ∉∉，则(,)a b 必为G 的
4．设{|2,}A x x n n ==为自然数，则A 的基数 a (其中a 表示自然数集N 的基数)
5．设,A B 为可测集，B A ⊆且mB <+∞，则__(\)mA mB m A B -
6．设()f x 是可测集E 上的可测函数，则对任意实数,()a b a b <，都有[()]E x a f x b <<是
7．若()E R ⊆是可数集，则__0mE
8．设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列，()f x 为E 上的可测函数，如果.()()
()a e n f x f x x E →∈，则()()n f x f x ⇒ x E ∈ （是否成立）
二、选择题 1、设E 是1R 中的可测集，()x ϕ是E 上的简单函数，则 （ ）
（A ）()x ϕ是E 上的连续函数 （B ）()x ϕ是E 上的单调函数
（C ）()x ϕ在E 上一定不L 可积 （D ）()x ϕ是E 上的可测函数
2．下列集合关系成立的是（ ）
（A ）()()()A B C A B A C = （B ）(\)A B A =∅
（C ）(\)
B A A =∅ （D ）A B A B ⊆ 3. 若()n E R
⊆是闭集，则 （ ） （A ）0E E = （B ）E E = （C ）E E '⊆ （D ）E E '=
三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）
1．设{[0,1]}E =中的有理点，则（ ）
（A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集
（C ）0mE = （D ）E 中的每一点均为E 的内点
2．若()E R ⊆的外测度为0，则（ ）
（A ）E 是可测集 （B ）0mE =
（C ）E 一定是可数集 （D ）E 一定不是可数集
3．设mE <+∞，{}()n f x 为E 上几乎处处有限的可测函数列，()f x 为E 上几乎处处有限的可测函数，如果()(),()n f x f x x E ⇒∈，则下列哪些结果不一定成立（ ）
（A ）()E f x dx ⎰存在 （B ）()f x 在E 上L -可积
（C ）.()()()a e
n f x f x x E →∈ （D ）lim ()()n E E
n f x dx f x dx →∞=⎰⎰ 4．若可测集E 上的可测函数()f x 在E 上有L 积分值，则（ ）
（A ）()()f x L E +∈与()()f x L E -∈至少有一个成立
（B ）()()f x L E +∈且()()f x L E -∈
（C ）|()|f x 在E 上也有L -积分值
（D ）|()|()f x L E ∈
四、判断题
1. 可列个开集的交集仍为开集 （ ）
2. 任何无限集均是可列集 （ ）
3. 设E 为可测集，则一定存在F σ集F ，使F E ⊆，且()\0m E F =. （ ）
4. 设E 为零测集，则()f x 为E 上的可测函数的充要条件是：∀实数a 都有()E x f x a ⎡≥⎤⎣⎦是可测集 （ ）
五、定义题
1. 可测函数列几乎处处收敛、依测度收敛和近一致收敛的关系？
2. 可测集E 上的可测函数与连续函数有什么关系？
3. [],a b 上的绝对连续函数与有界变差函数有什么关系？
六、计算题
1. 设()[][]101001x D x x ⎧⎪=⎨
⎪⎩为，上的有理点为，上的无理点，求()[]01D x dx ⎰，.
2. 求()0ln lim cos x n x n e xdx n
+∞-→∞+⎰.
七、证明题
1．设n E R ⊂是有界集，则*m E <+∞
2．1R 上的实值连续函数()f x 是可测函数
3．设mE <+∞，函数()f x 在E 上有界可测，则()f x 在E 上L -可积，从而[,]a b 上的连续函数是L -可积的
4．设()n f x （1,2,n =）是E 上的L -可积函数，如果lim |()|0n n E n f x dx →∞=⎰，则()0n f x ⇒
实变函数试题库及参考答案（2） 本科
一、填空题
1.=
2.开集
3.构成区间
4.=
5.=
6.可测集
7.=
8.不一定成立
二、单选题
1.D
2.A
3.B
三、多选题
1.AC
2.AB
3.ABCD
4.AD
四、判断题
××√√
五、定义题
1.答：设()(),n f x f x 是可测集E 上的一列可测函数，那
当mE <+∞时，()(),.n f x f x a e →于E ，必有()()n f x f x ⇒.
反之不成立，但不论mE <+∞还是mE =+∞，(){}n f x 存在子列(){}k n f x ，使()(),.k n f x f x a e →于E .
当mE <+∞时，()(),.n f x f x a e →于E ，由Egoroff 定理可得()n f x 近一致收敛于()f x ，反之，无需条件mE <+∞，结论也成立.
2.答：E 上连续函数必为可测函数但E 上的可测函数不一定时连续函数，E 上可测函数在E 上是“基本上”连续的函数
3.答：绝对连续函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为绝对连续函数
六、解答题
1.证明 记1E 是[]0,1中有理数集，2E 是[]0,1中无理数集，则
[]1
2120,1,E E E E ==∅，120,1mE mE ==，且()1210E E D x χχ=+， 所以
()[]120,1100D x dx mE mE =+=⎰.
2.解 易知()ln lim cos 0x n x n e x n
-→∞+= 对任意0,1x n ≥≥，()()ln ln cos x x n x n e x n n
-++≤ 设()ln ()x y f y y +=，0y >，则()2
ln ()y x y x y f y y -++'=，
当3y ≥时，()1ln y x y x y
<<++，()0f y '<. 则()ln ()x n f n n
+=是单调减函数且非负（3n ≥）； 又()ln 1lim lim 0n n x n n x n
→∞→∞+==+，由Levi 单调收敛定理得 ()()0
00ln ln lim lim 00n n x n x n dx dx dx n n +∞+∞+∞→∞→∞++===⎰⎰⎰，即()ln ()x n L E n +∈， 再由Lebsgue 控制收敛定理得
()()0
00ln ln lim cos lim cos 00x x n n x n x n e xdx e xdx dx n n +∞+∞+∞--→∞→∞++===⎰⎰⎰
七、证明题
1..证明 因为E 是有界集，所以存在开区间I ，使E I ⊂
由外测度的单调性，**m E m I ≤，而*||m I I =<+∞（其中||I 表示区间I 的体积），
所以 *m E <+∞
2.证明 因为()f x 连续，所以对任何实数a ，{|()}x f x a >是开集，而开集为可测集，因此()f x 是可测函数
3.证明 因为()f x 在E 上有界可测，所以存在0M >，使|()|f x M <，x E ∈，|()|f x 是非负可测函数，由非负可测函数的积分单调性，
|()|E E f x dx Mdx M mE <=⋅<+∞⎰⎰
故|()|f x 在E 上L -可积，从而()f x 在E 上L -可积
因为[,]a b 上的连续函数是有界可测函数，所以L -可积的
4.证明 对任何常数0σ>，[|()|][|()|]|()|n n n E x f x mE x f x f x dx σσσ≥⋅≥≤
⎰ 所以 [|()|]1
[|()|]|()|n n n E x f x mE x f x f x dx σσσ≥≥≤⎰
1|()|0()n E f x dx n σ≤→→∞⎰ 因此 ()0n f x ⇒。