湖南省长沙市第一中学2020届高三上学期第一次月考数学(理科)试题 含答案
湖南省长沙市第一中学2025届高三上学期阶段性检测(一) 数学试题[含答案]
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长沙市一中2024—2025学年度高三阶段性检测（一）数学试卷时量：120分钟总分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合,集合,则（ ）{||1}A x x =<∣{B x y ==∣A B = A ．B ．C ．D ．(1,1)-(0,1)[0,1)(1,)+∞2．已知复数z 满足,则复数在复平面内对应的点位于（ ）i 12i z =-+z A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件A 有6个样本点，事件B 有4个样本点，事件有8个样本点，则（ ）A B +()P AB =A ．B ．C ．D ．231213164．己知等差数列的前5项和,且满足,则等差数列的公差为（ ）{}n a 535S =5113a a ={}n a A ． B ．C ．1D ．33-1-5．已知的展开式中的系数为80，则m 的值为（ ）51(2)my x y x ⎛⎫+-⎪⎝⎭24x y A ．B ．2C ．D ．12-1-6．如图，正方形中，是线段上的动点，且,则ABCD 2,DE EC P = BE (0,0)AP x AB y AD x y =+>>的最小值为（ ）11x y+A ．B ．C D ．47．设,则下列关系正确的是（ ）0.033,ln1.03,e 1103a b c ===-A ．B ．C ．D ．a b c >>b a c >>c b a >>c a b>>8．已知，则1tan 1tan()tan 6,tan tan 3222tan 2αβαβπαβαβαβ⎛⎫⎪--⎡⎤⎛⎫-+-=-=⎪ ⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭ ⎪⎝⎭（ ）cos(44)αβ+=A ． B ． C ． D ．7981-79814981-4981二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为,则下列说法正确的是（ ）lg 4.8 1.5E M =+A ．地震释放的能量为焦耳时，地震里氏震级约为七级15.310B ．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍C ．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍D ．记地震里氏震级为,地震释放的能量为,则数列是等比数列(1,2,,9,10)n n = an {}an 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，点P 在双曲线的右支上，现有四2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>12,F F 个条件：①;②；③平分;④点P 关于原点对称的点为Q ,且120PF PF ⋅=1260F F P ∠=︒PO 12F PF ∠,能使双曲线C 的离心率为）12||PQ F F =1+A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④11．如图，是底面直径为2高为1的圆柱的轴截面，四边形绕逆时针旋转ABCD 1OO 1OO DA 1OO 到,则（ ）(0)θθπ≤≤111OO D A A ．圆柱的侧面积为 B ．当时，1OO 4π0θπ<<11DD A C⊥C ．当时，异面直线与所成的角为D ．3πθ=1A D 1OO 4π1A CD △三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．如图，某景区共有A ,B ,C ,D ,E 五个景点，相邻景点之间仅设置一个检票口供出入，共有7个检票口，工作人员为了检测检票设备是否正常，需要对每个检票口的检票设备进行检测若不重复经过同一个检票口，依次对所有检票口进行检测，则共有___________种不同的检测顺序．13．已知函数在上是增函数，且，则的取()sin ()f x x ωω=∈R 7,212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭3244f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12f π⎛⎫- ⎪⎝⎭值的集合为___________．14．斜率为1的直线与双曲线交于两点A ，B ,点C 是曲线E 上的一点，满足2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>和的重心分别为的外心为R ,记直线的斜率为,,AC BC OAC ⊥△OBC △,,P Q ABC △,,OP OQ OR 123,,k k k 若，则双曲线E 的离心率为___________．1238k k k =-四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（13分）设函数．2()ln ()f x x ax x a =-++∈R （1）若,求函数的单调区间；1a =()f x （2）设函数在上有两个零点，求实数a 的取值范围（其中e 是自然对数的底数）()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．（15分）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，四边形为矩形，平面1111ABCD A B C D -ABCD 11CC D D 平面为线段的中点，且．11CC D D ⊥,ABCD E 1CD BE CE =（1）求证：平面;AD ⊥11BB D D（2）若,直线与平面的余弦4,2AB AD ==1A E 11BB D D 1D AB D --值．17．（15分）软笔书法又称中国书法，是我国的国粹之一，琴棋书画中的“书”指的正是书法．作为我国的独有艺术，软笔书法不仅能够陶冶情操，培养孩子对艺术的审美还能开发孩子的智力，拓展孩子的思维与手的灵活性，对孩子的身心健康发展起着重要的作用．近年来越来越多的家长开始注重孩子的书法教育．某书法培训机构统计了该机构学习软笔书法的学生人数（每人只学习一种书体），得到相关数据统计表如下：书体楷书行书草书隶书篆书人数2416102010（1）该培训机构统计了某周学生软笔书法作业完成情况，得到下表，其中．60a ≤认真完成不认真完成总计男生5aa女生总计60若根据小概率值的独立性检验可以认为该周学生是否认真完成作业与性别有关，求该培训机构学习0.10α=软笔书法的女生的人数．（2）现从学习楷书与行书的学生中用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记4人中学习行书的人数为X ,求X 的分布列及数学期望．参考公式及数据：．22(),()()()()n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++α0.100.050.01x α2.7063.8416.63518．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆C 上一点，且到的距离2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,,(2,3)F F A 12,F F 之和为8．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设B 为A 关于原点O 的对称点，斜率为k 的直线与线段（不含端点）相交于点Q ,与椭圆C 相交于AB 点M ,N ,若为常数，求与面积的比值．2||||||MN AQ BQ ⋅AQM △AQN △19．（17分）设满足以下两个条件的有穷数列为阶“曼德拉数列”：12,,,n a a a (2,3,4,)n n =①；②．1230n a a a a ++++= 1231n a a a a ++++= （1）若某阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项（,用k ,n 表示）；()*2k k ∈N n a 12n k ≤≤（2）若某阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项（,用k ,n 表示）；()*21k k +∈N n a 121n k ≤≤+（3）记n 阶“曼德拉数列”的前k 项和为,若存在,使,试{}n a (1,2,3,,)k S k n = {1,2,3,,}m n ∈ 12m S =问：数列能否为n 阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理{}(1,2,3,,)i S i n = 由．长沙市一中2024—2025学年度高三阶段性检测（一）数学参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．C【解析】，故．故选C ．{11},{0}A xx B x x =-<<=≥∣∣{01}[0,1)A B x x =≤<= ∣2．D【解析】，212i (12i)ii 12i 2i 2i i iz z z -+-+⋅=-+⇒===+⇒=-所以复数在复平面内对应的点位于第四象限，故选D z 3．D【解析】根据概率公式计算可得；由概率的加法公式可614182(),(),()122123123P A P B P A B ====+==知,代入计算可得()()()()P A B P A P B P AB +=+-1()6P AB =故选：D 4．D【解析】,解得,故选D 5151151035;413S a d a a d a =+==+=13,1d a ==5．A 【解析】，55511(2)(2)(2)my x y x y my x y x x ⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭在的展开式中，由,51(2)x y x-155455(2)()(1)2r r r r r r r r x C x y C x y -----=-⋅令，得r 无解，即的展开式没有的项；424r r -=⎧⎨=⎩51(2)x y x -24x y 在的展开式中，由,5(2)my x y -555155(2)()(1)2rr r r r r r r myC x y mC x y ---+-=-⋅令,解得，5214r r -=⎧⎨+=⎩3r =即的展开式中的项的系数为,5(2)my x y -24x y 35335(1)240mC m --⋅=-又的展开式中的系数为80，5(2)()x my x y +-24x y 所以,解得,故选A ．4080m -=2m =-6．C【解析】正方形中，,则,ABCD 2DE EC = 2233AD AE ED AE CD AE AB =+=+=-而,则，AP x AB y AD =+ 2233AP xAB y AE AB x y AB y AE ⎛⎫⎛⎫=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又点B,P ,E 共线，于是,即,而，213x y y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭13yx +=0,0x y >>因此，1111443333y x y x x y x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当，即时取等号，3x y y x=y ==所以当时，．x y ==11x y +故选：C 7．C【解析】记．()e 1,(0)xf x x x =--≥因为,所以当时，,所以在上单调递增函数，()e 1xf x '=-0x >()0f x '>()f x (0,)+∞所以当时，,即,所以．0x >()(0)0f x f >=1xe x ->0.03e 10.03->记．()ln(1),(0)g x x x x =+-≥因为，所以在上单调递增函数，1()1011xg x x x-'=-=<++()g x (0,)+∞所以当时，,即,所以．0x >()(0)0g x g <=ln(1)x x +<ln1.030.03<所以．记．c b >()ln(1),(0)1xh x x x x=+-≥+因为，所以当时，，2211()1(1)(1)x h x x x x '=-=+++0x >()0h x '>所以在上单调递增函数，()h x (0,)+∞所以当时，,即,所以．0x >()(0)0h x h >=ln(1)1x x x +>+0.033ln1.0310.03103>=+所以,综上所述：．b a >c b a >>故选：C 8．A【解析】，1tan 1tan()tan 622tan 2αβαβαβαβ⎛⎫⎪--⎡⎤-+-=⎪⎢⎥-⎣⎦ ⎪⎝⎭．2221tan 2tan 2216tan1tan 22αβαβαβαβ--⎛⎫- ⎪+= ⎪-- ⎪-⎝⎭，2221tan 2tan2cos()226sin()1tan 2αβαβαβαβαβ--⎛⎫-+ ⎪-= ⎪-- ⎪-⎝⎭，221tan2cos()2cos()126,6sin()sin()cos()1tan 2αβαβαβαβαβαβαβ-⎛⎫+ ⎪--=⨯=⎪---- ⎪-⎝⎭，11sin(),sin cos cos sin 33αβαβαβ-=-=又因为，所以，tan tan 32παβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos 3cos sin αβαβ=则,所以11cos sin ,sin cos 62αβαβ==2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=．241cos(22)12sin ()1299αβαβ+=-+=-⨯=．2179cos(44)2cos (22)1218181αβαβ+=+-=⨯-=-故选：A二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．ACD【解析】对于A:当时，由题意得,15.310E =15.3lg104.8 1.5M =+解得,即地震里氏震级约为七级，故A 正确；7M =对于B:八级地震即时，,解得,8M =1lg 4.8 1.5816.8E =+⨯=16.8110E =所以，16.81.5115.3101010 6.310E E ==>≠所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的倍，故B 错误；1.510对于C:六级地震即时，,解得,6M =2lg 4.8 1.5613.8E =+⨯=13.8210E =所以,16.83113.821010100010E E ===即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍，故C 正确；对于D:由题意得,lg 4.8 1.5(1,2,,9,10)n a n n =+= 所以，所以4.8 1.510n n a += 4.8 1.5(1) 6.31.511010n nn a ++++==所以，即数列是等比数列，故D 正确；6.31.5 1.51 4.81.5101010nn n n a a +++=={}an 故选：ACD 10．AD【解析】③平分且为中线，可得,PO 12F PF ∠PO 12PF PF =点P 在双曲线的右支上，所以不成立；若选①②：可得,1212120,60,2PF PF F F P F F c ⋅=∠=︒=21,PF c PF ==，即离心率为，成立；2c a -=1c e a ===+若选②④：，点P 关于原点对称的点为Q ,1260F F P ∠=︒且，可得四边形为矩形，12||PQF F =12F QF P 即可得,1212,2PF PF F F c ⊥=12,PF c PF ==,即离心率为,成立；2c a -=1c e a ===+故选：AD 11．BC【解析】对于A,圆柱的侧面积为，A 错误；1OO 2112ππ⨯⨯=对于B,因为，所以,又,0θπ<<11DD D C ⊥111DD A D ⊥所以平面,所以,B 正确；1DD ⊥11A D C 11DD A C ⊥对于C,因为,所以就是异面直线与所成的角，因为，所以111A D OO ∥11DA D ∠1A D 1OO 113DO D π∠=为正三角形，所以,因为,所以，C 正确；11DO D △1111DD A D ==111A D DD ⊥114DA D π∠=对于D,作,垂足为E ,连接,所以平面,所以．1D E DC ⊥1A E DC ⊥11A D E 1A E DC ⊥在中，11Rt A D E △1A E ==≤=,所以,D 错误．1111222A CD S DC A E =⨯⨯≤⨯=△()1maxA CDS =△故选：BC ．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．32【解析】如图将5个景区抽象为5个点，见7个检票口抽象为7条路线，将问题化归为不重复走完7条路线，即一笔画问题，从B 或E 处出发的线路是奇数条，其余是偶数条，可以判断只能从B 或E 处出发才能不重复走完7条路线，由于对称性，只列出从B 处出发的路线情形即可．①走路线：3126547,3126745,3147526,3147625,3156247,3157426，共6种；BA ②走路线：4137526,4137625,4265137,4267315,4562137,4573126，共6种；BC ③走路线：7513426,7543126,7621345,7624315，共4种；BE 综上，共有种检测顺序．()266432⨯++=故答案为：3213．11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】由可知，，得，3244f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32442T nT πππ+=-=,21T n n π=∈+Z 所以,2||42n Tπω==+又函数在上是增函数，()sin ()f x x ωω=∈R 7,212ππ⎛⎫⎪⎝⎭所以，即，所以，7212212T πππ≥-=6T π≥||12ω≤所以，的可能取值为．ω2,6,10±±±当时，由解得，0ω>2222k x k πππωπ-+≤≤+22,22k k x k ππππωωωω-+≤≤+∈Z 经检验，,6,10时不满足题意；2ω=当时，由解得,0ω<2222k x k πππωπ-+≤≤+22,22k k x k ππππωωωω+≤≤-+∈Z 经检验，时满足题意．2,6ω=--所以，的可能取值为．12f π⎛⎫-⎪⎝⎭1sin ,sin 11262122f f ππππ⎛⎫⎛⎫-==-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭14【解析】若直线与双曲线有两个交点G ,H ,设G ,H 的中点为K ，y kx m =+22221x y a b -=联立方程组，整理得,22221y kx m x y ab =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()22222222220b a k x a kmx a m a b ----=可得,则，22222G H a km x x b a k +=-22222G H K x x a kmx b a k+==-又由在直线上，可得，(),K K K x y y kx m =+22222222K a km b my m b a k b a k =+=--所以，所以，22K OKK y b k x ka ==22GH OK b k k a ⋅=即直线l 与双曲线相交线的中点与原点的连线的斜率与直线l 的斜率之积为定值，22b a如图所示，取的中点M ,N ,,AC BC 因为的重心P 在中线上，的重心Q 在中线上，OAC △OM OBC △ON所以,可得，12,OP OM OQ ON k k k k k k ====22$OM AC ON BCb k k k k a⋅=⋅=即，2122AC BCb k k k k a⋅=⋅=又由,可得，可得AC BC ⊥1AC BCk k ⋅=-22122b k k a ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭因为,且的外心为，点R ,则R 为线段的中点，AC BC ⊥ABC △AB 可得，因为，所以，22OR ABb k k a ⋅=1AB k =22OR b k a=所以，所以，3212328b k k k a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ba =所以c e a ===．四、解答题（本题共6小题，共70分）15．解：（1）当时，的定义域为,1a =2()ln ,()f x x x x f x =-++(0,)+∞，2121()21x x f x x x x-++'=-++=令,则,解得,()0f x '>2210x x --<01x <<令,则,解得．()0f x '<2210x x -->1x >∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为．()f x (0,1)(1,)+∞（2）令,则．2()ln 0f x x ax x =-++=ln xa x x=-令，其中，ln ()x g x x x =-1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则．2221ln ln 1()1x xx x x g x x x⋅-+-'=-=令,解得,令,解得．()0g x '>1e x <≤()0g x '<11ex ≤<的单调递减区间为，单调递增区间为,()g x ∴1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭(1,e]．min ()(1)1g x g ∴==又,函数在上有两个零点，111e ,(e)e e ee g g ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的取值范围是．a ∴11,e e ⎛⎤- ⎥⎝⎦16．解：（1）在中，E 为线段的中点，且,所以,1BCD △1CD BE CE =1D E CE BE ==所以为直角三角形，且，所以,111,2BE CD BCD =△190CBD ∠=︒1D B BC ⊥因为底面为平行四边形，,所以,ABCD AD BC ∥1AD D B ⊥又因为四边形为矩形，所以,11CC D D 1D D DC ⊥因为平面平面,平面平面平面,11CC D D ⊥ABCD 11CC D D 1,ABCD DC D D =⊂11CC D D 所以平面,1D D ⊥ABCD 因为平面,所以,AD ⊂ABCD 1AD D D ⊥因为平面,11111,,D D D B D D D D B =⊂ 11BB D D 所以平面．AD ⊥11BB D D （2）因为平面平面,所以,AD ⊥11,BB D D BD ⊂11BB D D AD BD ⊥由（1）知平面,又平面,所以,11,D D AD D D ⊥⊥ABCD BD ⊂ABCD 1D D BD ⊥所以两两垂直，1,,DA DB DD 以D 为坐标原点，所在直线为x 轴，所在直线为y 轴，DA DB所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，1DD 在中，,所以,Rt ADB △4,2AB AD ==DB ==设,则,1(0)DD t t =>1(0,0,0),(2,0,0),(2,0,),,(0,2t D A A t E B ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以,1,(2,2t A E AB ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭易知平面的一个法向量为,11BB D D (2,0,0)DA =设直线与平面所成的角为,1A E 11BB D D θ则,解得111sin cos ,||A E DAA E DA A E DA θ⋅====t =所以,11(0,0,(2,0,D AD =-设平面的法向量为1ABD (,,)m x y z =则，令,12020AB m x AD m x⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ x =m = 易知平面的一个法向量为,ABCD (0,0,1)n =则，cos ,||||m n m n m n ⋅===易知二面角是锐角，故二面角1D AB D --1D AB D --17．解：（1）根据题意，完成列联表如下：认真完成不认真完成总计男生45a 5a a女生4605a -205a -80a-总计602080由题意可得，2244802060555516 2.7066020(80)15(80)a a a a a a a a χ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦==≥⨯⨯⨯--得．57.38a >易知a 为5的倍数，且，所以,60a ≤60a =所以该培训机构学习软笔书法的女生有（人）．806020-=（2）因为学习软笔书法的学生中学习楷书与行书的人数之比为，24:163:2=所以用分层随机抽样的方法抽取的10人中，学习楷书的有（人），学习行书的有310632⨯=+（人），210432⨯=+所以X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，，4312266464444101010C C C C C 151808903(0),(1),(2)C 21014C 21021C 2107P X P X P X ============．134644441010C C C 2441(3),(4)C 21035C 210P X P X =======X 的分布列为：X 01234P114821374351210所以．183418()0123414217352105E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=18．解：（1）由椭圆的定义得,所以．1228AF AF a +==4a =又为椭圆C 上一点，所以，(2,3)A 22491a b+=将代入，得,4a =212b =所以椭圆C 的标准方程为．2211612x y +=（2）因为B 为A 关于原点O 的对称点，所以,直线的方程为．()2,3B --AB 32y x =设,则直线的方程为,()()2,311Q t t t -<<MN ()32y t k x t -=-联立得，可得,22116123(2)x y y t k x t ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩()2222438(32)4(32)480k x kt k x t k ++-+--=由点Q 在椭圆内，易知，0∆>不妨令,则，()()1122,,,M x y N x y 221212228(23)4(32)48,4343kt k t k x x x x k k ---+=⋅=++所以．()()()()()()222222222121212224811612(32)||11443k k t k MN kx x k x x x x k⎡⎤++--⎣⎦⎡⎤=+-=++-=⎣⎦+又,()2||||131AQ BQ t ⋅==-所以为常数，()()()222222224811612(32)||||||13431k k t k MN AQ BQ k t ⎡⎤++--⎣⎦=⋅+-则需满足为常数，22221612(32)1k t k t+---（此式为与t 无关的常数，所以分子与分母对应成比例）即，解得．221612(32)k k +=-12k =-将代入，可得,得，12k =-1228(23)43kt k x x k -+=+124x x t +=1222x x t +=所以Q 为的中点，MN 所以．||1||AQM AQNS MQ S NQ ==△△19．解：（1）设等比数列的公比为q ．1232,,,,(1)k a a a a k ≥ 若，则由①得,得,1q ≠()21122101k k a q a a a q-+++==- 1q =-由②得或．112a k =112a k=-若,由①得，,得,不可能．1q =120a k ⋅=10a =综上所述，．1q =-或．11(1)2n n a k -∴=-11(1)2n n a k-=--（2）设等差数列的公差为d ,12321,,,,(1)k a a a a k +≥ ,123210k a a a a +++++= ,112(21)(21)0,02k k dk a a kd +∴++=+=即,120,k k a a d ++=∴=当时，“曼德拉数列”的条件①②矛盾，0d =当时，据“曼德拉数列”的条件①②得，0d >，()23211212k k k k a a a a a a ++++++==-+++ ，即，(1)122k k kd d -∴+=1(1)d k k =+由得，即，10k a +=110(1)a k k k +⋅=+111a k =-+．()*111(1),211(1)(1)n n a n n n k k k k k k k∴=-+-⋅=-∈≤++++N 当时，同理可得，0d <(1)122k k kd d -+=-即．1(1)d k k =-+由得,即，10k a +=110(1)a k k k -⋅=+111a k =+．()*111(1),211(1)(1)n n a n n n k k k k k k k∴=--⋅=-+∈≤++++N 综上所述，当时，,0d >()*1,21(1)n n a n n k k k k∴=-∈≤++N 当时，．0d <()*1,21(1)n n a n n k k k k=-+∈≤++N （3）记中非负项和为A ,负项和为B ,则,12,,,n a a a 0,1A B A B +=-=得，即．1111,,2222k A B B S A ==--=≤≤=1(1,2,3,,)2k S k n ≤= 若存在，使，由前面的证明过程知：{1,2,3,,}m n ∈ 12m S =，且． 12120,0,,0,0,0,,0m m m n a a a a a a ++≥≥≥≤≤≤ 1212m m n a a a +++++=- 若数列为n 阶“曼德拉数列”，{}(1,2,3,,)i S i n = 记数列的前k 项和为,则．{}(1,2,3,,)i S i n = k T 12k T ≤，1212m m T S S S ∴=+++≤又,1211,02m m S S S S -=∴==== ．12110,2m m a a a a -∴===== 又，1212m m n a a a +++++=- ，12,,,0m m n S S S ++∴≥ ，123123n n S S S S S S S S ∴++++=++++ 又与不能同时成立，1230n S S S S ++++= 1231n S S S S ++++= ∴数列不为n 阶“曼德拉数列{}(1,2,3,,)i S i n =。
2023届湖南省长沙市第一中学高三上学期入学摸底考试数学试卷 word版
B.函数 在区间 上单调递减
C.不等式 的解集为
D.不等式 的解集为
12.已知椭圆C： （ ）的离心率为 ，过点P（1，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足 .动点Q满足 ，则下列结论正确的是（）
A.
B. 动点Q的轨迹方程为
C. 线段OQ（O为坐标原点）长度的最小值为
A.23 B.25 C.27 D.29
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内､中､外三层.内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）.根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率 （0.9372，0.01392）.则下列结论正确的是（）
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】ABD
【10题答案】
【答案】AD
【11题答案】
【答案】ABC
【12题答案】
【答案】ABD
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
【13题答案】
A. B. C. D.
4.已知 是定义在R上的奇函数， 为偶函数，且当 时， ，则 （）
A B.0C. D.1
5.每年的6月6日是全国爱眼日，某位志愿者跟踪调查电子产品对视力的影响，据调查，某高校大约有45%的学生近视，而该校大约有20%的学生每天操作电子产品超过1 ，这些人的近视率约为50%.现从每天操作电子产品不超过1 的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（）
湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高三下学期月考(七)数学试题试卷(七)
长沙市一中2024 届高三月考试卷(七)数学试卷一、单项选择题: 本题共8 小题, 每小题5 分, 共40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1. 样本数据15 、13 、12 、31 、29 、23 、43 、19 、17 、38 的中位数为( )(A) 19 (B) 23 (C) 21 (D) 182. 已知集合A = {x''' e x2 −2x ≤ 1}, B = {−1, 0, 1}, 则集合A ∩ B 的非空子集个数为( )(A) 4 (B) 3 (C) 8 (D) 73. 已知实部为3 的复数z 满足z · (1 −2i) 为纯虚数, 则|z| = ( )(D) √54. 已知数列{a n } 满足a n = 3n −b (n ∈ N* , b ∈ R), 则“b < 3”是“{|a n |} 是递增数列”的( )(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件5. 已知tan θ= 2, 则 sin 2θ= ( )(A) (B) 2 (C) 1 (D)6. 过抛物线E: y2 = 2px (p > 0) 的焦点F 的直线交E 于点A, B , 交E 的准线l 于点C , AD ⊥ l , 点D 为垂足.若F 是AC 的中点, 且|AF | = 3, 则|AB| = ( )(A) 4 (B) 2√3 (C) 3√2 (D) 37. 已知双曲线C: kx2 −y2 = 1 的左焦点为F , P (3m, −4m) (m > 0) 为C 上一点, 且P 与F 关于C 的一条渐近线对称, 则C 的离心率为( )(A) (B) √3 (C) 2 (D)√58. 已知函数f(x) 的定义域为R, 且满足f(x) + f(3 −x) = 4, f(x) 的导函数为g(x), 函数y = g(x −1) 的图象关于点(2, 1) 中心对称, 则f + g(2024) = ( )(A) 3 (B) −3 (C) 1 (D) −1二、多项选择题: 本题共3 小题, 每小题6 分, 共18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得0 分.9. 已知函数cos 2x + sin 2x, 则( )(A) 函数f (x −关于原点对称(B) 曲线y = f(x) 的对称轴为x = + , k ∈ Z2 cos2 θ + 4 sin2 θ(C) f (x) 在区间单调递减(D) 曲线y = f (x) 在点(0, f (0)) 处的切线方程为2x −2y + 1 = 010. 已知二面角A −CD −B 的大小为, AC ⊥ CD , BD ⊥ CD , 且CD = 1, AC + BD = 2, 则( )(A) △ABD 是钝角三角形(B) 异面直线AD 与BC 可能垂直(C) 线段AB 长度的取值范围是[2, √5) (D) 四面体A −BCD 体积的最大值为11. 甲、乙两同学参加普法知识对抗赛, 规则是每人每次从题库中随机抽取一题回答. 若回答正确, 得 1 分, 答题继续; 若回答错误, 得0 分, 同时换成对方进行下一轮答题. 据经验统计, 甲、乙每次答题正确的概率分别是和 , 且第1 题的顺序由抛掷硬币决定. 设第i 次答题者是甲的概率为P i , 第i 次回答问题结束后中甲的得分是K i , 则( )(A) P2 =(C) P i+1= P i+ P i+ K i−1三、填空题: 本题共3 小题, 每小题5 分, 共15 分.12. (x + 3y)(x −y)8 的展开式中x3 y6 的系数为.13. 已知动点P 在圆M : (x −m + 1)2 + (y −m)2 = 1 上, 动点Q 在曲线y = ln x 上. 若对任意的m ∈ R, |PQ| ≥ n恒成立, 则n 的最大值是.14. 已知正六棱锥的高是底面边长的2√3 倍, 侧棱长为√13, 正六棱柱内接于正六棱锥, 即正六棱柱的所有顶点均在正六棱锥的侧棱或底面上, 则该正六棱柱的外接球表面积的最小值为.四、解答题: 本题共5 小题, 共77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 盒中有形状、大小均相同的卡片6 张, 卡片依次标记数字1, 2, 2, 3, 3, 3.(1) 若随机一次取出两张卡片, 求这两张卡片标记数字之差为1 的概率;(2) 若每次随机取出两张卡片后不放回, 直到将所有标记数字为2 的卡片全部取出, 记此时盒中剩余的卡片数量X , 求X 的分布列和E(X).16. 如图三棱锥P −ABC 中, PA = BC , AB = PC , AC ⊥ PB.(1) 证明: AB = BC;(2) 若平面PAC ⊥ 平面ABC , AC = √2AB , 求二面角A −PB −C 的余弦值.PA CB17. 已知定义在 (0, π) 上的函数 f (x) = cos 2 x + sin x.(1) 求 f (x) 的极大值点;(2) 证明: 对任意x 4 − x 2 + 1. 18. 已知椭圆的上、下顶点分别为 A(0, 1), B(0, −1), 其右焦点为 F , 且 F #---A -→ · B #---A -→ = F #---A -→ · F #---B -→ .(1) 求椭圆 C 的方程;(2) 若点 P (2, −1), 在直线 BP 上存在两个不同的点 P 1 , P 2 满足 P #---P ---1→ · P #---P ---2→ = P #---B -→2 . 若直线 AP 1 与直线 AP 2 分别交 C 于点 M , N (异于点 A), 证明: P , M , N 三点共线.19. 定义 △ABC 三边长分别为 a, b, c, 则称三元无序数组 (a,b, c) 为三角形数. 记 D 为三角形数的全集, 即 (a,b, c) ∈D.(1) 证明:“ (a,b, c) ∈ D ”是“(√a, √b, √c) ∈ D ”的充分不必要条件;(2) 若锐角 △ABC 内接于圆 O , 且 x O #---A -→ + y O #---B -→ + z O #---C -→ = 0, 设 I = (x,y, z) (x, y, z > 0).① 若 I = (3, 4, 5), 求 S △AOB : S △AOC ;② 证明: I ∈ D.。
湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考化学试题(含答案)
长沙第一中学2024—2025学年度高一第一学期阶段性检测化学时量：60分钟 满分：100分 得分：______可能用到的相对原子质量：H~1 O~16 Cl~35.5 Mn~55一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列有关说法正确的是（ ）A ．属于纯净物B ．金属氧化物均为碱性氧化物，非金属氧化物均为酸性氧化物C ．由一种元素组成的物质是纯净物D ．酸性氧化物均能溶于水生成相应的酸2．下列水溶液中的各组离子因发生氧化还原反应而不能大量共存的是（ ）A ．、、、B ．、、、C ．、、、D ．、、、3．下列对有关物质的分类不正确的是（ ）选项物质分类不同类物质A 干冰、白酒、加碘盐、食醋混合物干冰B 液氨、纯硫酸、液态氧化钠、生石灰不导电液态氧化钠C 云、烟、雾、淀粉溶液胶体淀粉溶液D铝、铁、锌、氧气还原剂氧气4．下列各组中的反应可以用同一个离子方程式表示的是（ ）A ．氧化钠与稀盐酸混合；氧化铜与稀硫酸B ．氢氧化铜、氢氧化钡分别与盐酸反应C ．Zn 分别与稀盐酸和稀硝酸反应D ．和分别与氢氧化钠溶液反应5．下列几个反应的导电性变化，不符合图像的是（）A ．向饱和石灰水中不断通入B ．向稀硫酸中滴加溶液C ．向稀溶液中滴加溶液D ．向稀盐酸中滴加溶液6．下列离子方程式书写正确的是（）42FeSO 7H O ⋅Na +2Ba+Cl -24SO -2Ca+3HCO -Cl -K+4MnO -K +I -H+H +Cl -Na +23CO -24H SO 4NaHSO 2CO ()2Ba OH ()2Ba OH 4CuSO 3AgNOA ．用醋酸除去水垢中的：B ．铜与稀硫酸反应：C ．和NaOH 溶液混合：D ．与稀盐酸反应：7．某溶液中含有较大量的、、三种阴离子，如果只取一次该溶液就能够分别将3种阴离子依次检验出来。
下列实验操作的操作顺序中，正确的是（）①滴加溶液 ②过滤 ③滴加溶液 ④滴加溶液A ．①②④②③B ．④②③②①C ．①②③②④D ．④②①②③8．利用粗（含有杂质MnO 和）制取纯的流程如图。
湖南省长沙市第一中学2021-2022学年高一上学期第一次月考数学试题
湖南省长沙市第一中学2021-2022学年高一上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}220A x x x =-=，{}20B x x x =+=，则A B ⋃=（ ）A ．{}0B ．1,0,1,2C ．{}1,0,2-D ．{}1,2-2．命题“x R ∀∈，20x ≥”的否定是（ ） A ．x R ∀∈，20x <B ．不存在x ∈R ，20x <C ．0x R ∃∈，200x ≥D ．0x R ∃∈，20x < 3．已知集合{}1,4A =-，{}10B x mx =+=，且B A ⊆，则实数m 的取值集合为（ ） A ．1,14⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．1,0,14⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．{}1,4-D ．{}1,4,0-4．满足{}{}1,21,2,3,4,5X ⊆的集合X 有（ ） A ．4个B ．7个C ．8个D ．16个5．下列各选项中正确的是（ ）A ．当0ab >时，a b +≥B ．当0a >，0b >时，2≥+aba bC ．当a R ∈，b R ∈时，22222a b a b ++⎛⎫≤⎪⎝⎭D ．当a R ∈，b R ∈时，22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭6．已知集合1,4M x x k k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，集合1,24k N x x k Z ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，则MN =（ ）A ．MB ．NC ．∅D ．R7．设全集{|010,}U x x x Z =<<∈，A ，B 是U 的两个真子集，()(){}1,9U UA B =，{}2A B ⋂=，(){}4,6,8U A B ⋂=，则（ ）A ．5A ∈，且5B ∉ B ．5A ∉，且5B ∉C ．5A ∈，且5∈BD ．5A ∉，且5∈B8．设集合{}2110P x x ax =++>，{}2220P x x ax =++>，{}210Q x x x b =++>，{}2220Q x x x b =++>，其中,R a b ∈，下列说法正确的是（ ）A ．对任意a ，1P 是2P 的子集，对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B ．对任意a ，1P 是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集，对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集D ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集二、多选题9．下列命题正确的是（ ） A ．若a b >，c d <，则a c b d ->- B ．若a b >，c d >，则ac bd > C ．若ac bc >，则a b > D ．若0a b >>，0c <，则c c a b> 10．设全集为U ，在下列选项中，是B A ⊆的充要条件的有（ ） A ．A B A = B ．UABC ．UUAB D ．UA BU11．下面命题正确的是（ ） A ．“3x >”是“5x >”的必要不充分条件B ．“0ac <”是“一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负根”的充要条件C ．设,x y R ∈，则“4x y +≥”是“2x ≥且2y ≥”的充分不必要条件D ．“1x ≠”是“2430x x -+≠”的必要不充分条件12．设集合{}22,,M a a x y x y Z ==-∈，则对任意的整数n ，在形如4n 、42n +、21n 、23n +的数中，是集合M 中的元素的有（ ） A ．4n B ．42n + C ．21n D ．23n +三、填空题13．已知28a ≤≤，03b ≤≤，则-a b 的取值范围是__________．14．某班有50名同学，有20名同学既不选修足球课程也不选修蓝球课程，有18名同学选修了足球课程，28名同学选修了篮球课程，则既选修了足球课程也选修了篮球课程的同学有__________名．15．写出一个使得命题“2,230x R ax ax ∀∈-+>恒成立”是假命题的实数a 的值__________．（写出一个a 的值即可）16．已知集合()()()()(){}0,0,0,1,1,0,0,1,1,0A =--，(){},2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈，定义集合()()(){}12121122,,,,A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为__________．四、解答题17．ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，求证：220a b ac bc --+=的充要条件是A B =．18．已知集合{}2680A x x x =-+<，{}22430B x x ax a =-+<．（1）若1a =，求()R B A ；（2）若0a >，设:p x A ∈，:q x B ∈，已知p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19．已知函数()()211f x ax a x =-++，a R ∈． （1）若不等式()0f x <的解集为()m n ，，且32m n +=，求a 的值； （2）当0a >时，求关于x 的不等式()0f x >的解集． 20．（1）已知0a >，0b >，24a b +=，求ab 的最大值； （2）若正数a ，b 满足1a b +=，求911a b++的最小值． 21．销售甲种商品所得利润是P 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式1atP t =+；销售乙种商品所得利润是Q 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式Q bt =．其中a ，b 为常数．现将3万元资金全部投入甲，乙两种商品的销售，若全部投入甲种商品，所得利润为94万元；若全部投入乙种商品．所得利润为1万元．若将3万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售．则所得利润总和为y 万元 （1）求利润总和y 关于x 的表达式：（2）怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值．22．已知二次函数()2f x ax bx c =++．（1）若()0f x <的解集为()1,2，求不等式20bx ax c ++<的解集； （2）若不等式()2f x ax b ≥+对任意x ∈R 恒成立，求222b a c+的最大值．参考答案1．C 【分析】首先求出集合A 、B ，再根据并集的定义计算可得. 【详解】解：因为{}{}2200,2A x x x =-==，{}{}201,0B x x x =+==-，所以{}1,0,2A B ⋃=-故选：C. 2．D 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可得到答案. 【详解】全称命题的否定是特称命题∴命题“x R ∀∈，20x ≥”的否定是：0x R ∃∈，200x <.故选：D. 3．B 【分析】根据题意B A ⊆，分类讨论当B =∅和B ≠∅两种情况，即可得出实数m 的取值. 【详解】解：由题可知B A ⊆，当B =∅时，10+=mx 无解，解得：0m =；当B ≠∅时，若{1}B =-，则1m =，若{4}B =，则14m =-，综上所述，m 的值为14-或0或1，即实数m 的取值集合为1,0,14⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.故选：B. 4．B 【分析】根据题意，可知集合X 中必含有元素1，2，且最多含有4个元素，即可列举出集合X 的所有情况，从而得出答案.【详解】解：由题意{}{}1,21,2,3,4,5X ⊆，可以确定集合X 中必含有元素1，2，且最多含有4个元素，因此集合X 可以是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5}，共7个． 故选：B. 5．C 【分析】A 选项举出反例即可判断；B 选项结合均值不等式即可判断；C 、D 选项利用做差法即可判断. 【详解】A 选项：若1,2a b =-=-，满足0ab >，但是a b +<，故A 错误；B 选项：因为0a >，0b >，所以a b +≥，则2aba b≤+当且仅当a b =时等号成立；故B 错误；C 选项：2222222222*********a b a b a b ab a b a b ab a b +++++--+-⎛⎫⎛⎫-=-==-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立；故C 正确；D 选项：2222220222442a b a b ab a b ab a b ab ab ++++--⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝≥⎭，当且仅当a b =时，等号成立；故D 错误； 故选：C. 6．A 【分析】由已知得41,4k M x x k Z ⎧⎫+==∈⎨⎬⎩⎭，21,4k N x x k Z ⎧⎫-==∈⎨⎬⎩⎭，由此可得选项. 【详解】 因为1,4x k k Z =+∈，所以41,4k x k Z +=∈，所以41,4k M x x k Z ⎧⎫+==∈⎨⎬⎩⎭； 又因为1,24k x k Z =-∈，所以21,4k x k Z -=∈，所以21,4k N x x k Z ⎧⎫-==∈⎨⎬⎩⎭，又因为21,k k Z -∈表示所有的奇数，41,k k Z +∈表示部分奇数，所以M N ； 所以M N M ⋂=， 故选：A. 7．A 【分析】由题意作出韦恩图，由韦恩图即可得解. 【详解】由题意，{}{|010,}1,2,3,4,5,6,7,8,9U x x x Z =<<∈=， 可作出韦恩图，如图，由韦恩图可得，5A ∈，且5B ∉， 故选：A. 【点睛】本题考查了集合的运算及韦恩图的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 8．B 【分析】运用集合的子集的概念，令1m P ∈，推得2m P ∈，可得对任意a ，1P 是2P 的子集；再由1b =，5b =，求得1Q ，2Q ，即可判断B 正确，A ，C ，D 错误．【详解】解：对于集合21{|10}P x x ax =++>，22{|20}P x x ax =++>，可得当1m P ∈，即210m am ++>，可得220m am ++>，即有2m P ∈，可得对任意a ，1P 是2P 的子集；故C 、D 错误 当5b =时，21{|50}Q x x x R =++>=，22{|250}Q x x x R =++>=， 可得1Q 是2Q 的子集；当1b =时，21{|10}Q x x x R =++>=，22{|210}{|1Q x x x x x =++>=≠-且}x R ∈， 可得1Q 不是2Q 的子集，故A 错误．综上可得，对任意a ，1P 是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集． 故选：B. 9．AD 【分析】根据不等式的性质，逐项判断，即可得出结果. 【详解】A 选项，若,a b c d ><，所以>c d --，根据同向可加性，可得a c b d ->-，故A 正确；B 选项，若1,2,2,3a b c d ==-==-，满足,a b c d >>，但此时2,6ac bd ==，不满足ac bd >，故B 错误；C 选项，若0c <，则由ac bc >可得a b <，故C 错误；D 选项，若0a b >>，则110b a >>，又0c <，根据同向同正可乘性，可得c ca b>，故D 正确. 故选：AD. 10．BCD 【分析】结合Venn 图即可得出结论. 【详解】由Venn 图可知，B ，C ，D 都是B A ⊆的充要条件，故选：BCD ． 11．ABD 【分析】根据必要不充分条件的定义，即可判断A 选项；根据一元二次方程中根的个数和根与系数的关系，即可判断B 选项；由“4x y +≥”，则不一定有“2x ≥且2y ≥”，即可判断C 选项；若2430x x -+≠，则1x ≠或3x ≠，结合必要不充分条件的定义，即可判断D 选项. 【详解】解：对于A ，根据必要不充分条件的定义，可知A 正确；对于B ，若0ac <，则212Δ40,0cb ac x x a=->=<， 所以一元二次方程20ax bx c ++=有两个根，且一正一负根， 若一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负根，则120cx x a=<，则0ac <，故B 正确； 对于C ，若“4x y +≥”，则不一定有“2x ≥且2y ≥”， 而若“2x ≥且2y ≥”，则一定有“4x y +≥”，所以“4x y +≥”是“2x ≥且2y ≥”的必要不充分条件，故C 不正确； 对于D ，若2430x x -+≠，则1x ≠或3x ≠，则若“1x ≠”，则不一定有“2430x x -+≠”，而“2430x x -+≠”时，一定有“1x ≠”， 所以“1x ≠”是“2430x x -+≠”的必要不充分条件，故D 正确. 故选：ABD. 12．ACD 【分析】 由224(1)(1)nn n ，2221(1)n n n +=+-，可判断4n 、21n 、23n +是否是集合M 的元素，再假设42n M ，则存在,x y ∈Z 使得2242x y n ，则42()()n x y x y +=+-讨论x y +和x y -同为奇数或同为偶数可判断是否是集合M 的元素得选项.【详解】 解：因为224(1)(1)nn n ，所以4n M ．因为2221(1)n n n +=+-，所以21n M +∈，即所有奇数都是集合M 中的元素，所以23n M +∈． 若42nM ，则存在,x y ∈Z 使得2242x y n ，则42()(),nx y x y xy 和x y-同为奇数或偶数．若x y +和x y -都是奇数，则()()x y x y +-为奇数，而42n +为偶数，不成立；若x y +和x y -都是偶数，则()()x y x y +-能被4整除，而42n +不能被4整除，不成立，∴42nM ．故选：ACD ． 13．[]1,8- 【分析】结合不等式的性质即可求出结果. 【详解】因为03b ≤≤，所以30b -≤-≤，且28a ≤≤，因此18a b -≤-≤， 故答案为：[]1,8-. 14．16 【分析】设既选修了足球课程也选修了篮球课程的同学人数为x ，作出维恩图，列出方程，即可得出结果. 【详解】设既选修了足球课程也选修了篮球课程的同学人数为x ，作出维恩图，如下图所示：则28182050x x x -++-+= 解得16x = 故答案为：16. 15．1- 【分析】根据题意，假设命题“2,230x R ax ax ∀∈-+>恒成立”是真命题，根据不等式恒成立，分类讨论当0a =和0a ≠时两种情况，从而得出实数a 的取值范围，再根据补集得出命题“2,230x R ax ax ∀∈-+>恒成立”为假命题时a 的取值范围，即可得出满足题意的a 的值.【详解】解：若命题“2,230x R ax ax ∀∈-+>恒成立”是真命题，则当0a =时成立，当0a ≠时有20Δ4120a a a >⎧⎨=-<⎩，解得：0<<3a ， 所以当03a ≤<时，命题“2,230x R ax ax ∀∈-+>恒成立”是真命题，所以当(,0)[3,)a ∈-∞+∞时，命题“2,230x R ax ax ∀∈-+>恒成立”为假命题， 故答案为：1-.（答案不唯一，只需(,0)[3,)a ∈-∞+∞）16．45【分析】根据题意作出图示表示集合的点，然后结合A B ⊕的定义即可求出结果.【详解】集合A 中有5个元素，即5个点，如图中黑点所示． 集合{(,)2,2,,B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即25个点），即图中正方形ABCD 内部及正方形ABCD 边上的整点．所以123x x +=-或2-或1-或0或1或2或3，共7个值；所以123y y +=-或2-或1-或0或1或2或3，共7个值，所以集合A B ⊕=()()(){}12121122,,,,x x y y x y A x y B ++∈∈中的元素可看作图中正方形1111D C B A 内部及正方形1111D C B A 边上除去四个顶点外的整点，共77445⨯-=（个）．故答案为：45.17．证明见解析.【分析】先利用等腰三角形中等角对等边即可证得，再结合因式分解即可证得必要性.【详解】（1）先证充分性：若A B =，则a b =，∴220a b ac bc --+=成立（2）再证必要性：若220a b ac bc --+=成立，∵22()()()()()a b ac bc a b a b c a b a b a b c --+=+⋅---=-+-，∴()()0a b a b c -+-=，又因为ABC 中，0a b c +->，∴0a b -=，∴a b =，∴A B =．综上可知，220a b ac bc --+=的充要条件是A B =．18．（1）()[3,4)R B A ⋂=；（2）4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）将1a =代入题干，解不含参数的一元二次不等式，进而结合补集和交集的概念即可求出结果；（2）解含参数的一元二次不等式，进而由题意可得2,43a a ≤⎧⎨≤⎩且等号不能同时成立，即可得到结果.【详解】（1）当1a =时，{}2430(1,3)B x x x =-+<=，可得(,1][3,)R B =-∞⋃+∞， 又由{}2680(2,4)A x x x =-+<=，所以()[3,4)R B A ⋂=．（2）当0a >时，可得(,3)B a a =．因为p 是q 的充分不必要条件，则A B ，可得2,43a a ≤⎧⎨≤⎩等号不能同时成立， 解得423a ≤≤，所以实数a 的取值范围为4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 19．（1）2；（2）答案见解析.【分析】（1）将问题转化为：m 和n 是()0f x =的两个根，由韦达定理列式求解即可；（2）将不等式进行变形，然后通过对两个根的大小比较进行分类，并得出a 的分类，进而分别求出解集，即可得到答案.【详解】（1）因为()0f x <的解集为()m n ，，所以m ，n 为方程()0f x =的两个根， 由韦达定理得：132a m n a ++==，解得2a =． （2）由()0f x >得：2(1)10ax a x -++>，所以(1)(1)0ax x -->，当01a <<时，11a>，不等式的解集是{1x x <或1}x a >； 当1a =时，不等式可化为2(1)0x ->，不等式的解集是{}1x x ≠；当1a >时，101a<<，不等式的解集是1{x x a <或1}x >． 综上所述，当01a <<时，不等式的解集是{1x x <或1}x a>； 当1a =时，不等式的解集是{}1x x ≠；当1a >时，不等式的解集是1{x x a<或1}x >． 20．（1）2；（2）8.【分析】（1）由基本不等式可求得答案；（2）由已知得91191[(1)]121a b a b a b ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭，根据基本不等式可求得答案； 【详解】 解：（1）211222222a b ab a b +⎛⎫=⨯≤= ⎪⎝⎭，当且仅当22a b ==即2,1a b ==时取等号． 故ab 的最大值为2．（2）1a b +=，即(1)2a b ++=，∵0,0a b >>， 故91191191[(1)]10812121b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+=+++=++≥ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，当且仅当911b a a b +=+时等号成立，又1a b +=，∴12a b ==时，min 9181a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+． 21．（1）31(3),0313x y x x x =+-≤≤+；（2）对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资1万元，才能使所得利润总和最大，最大值为73万元． 【分析】（1）由题意得(3)1ax y b x x =+-+，代入数值计算即可求出结果； （2）转化成可以利用基本不等式的形式，最后利用基本不等式即可求出结果.【详解】（1）因为对甲种商品投资x 万元，所以对乙种商品投资为3x -万元， 由题意知：(3)1ax y P Q b x x =+=+-+， 当3x =时，9()4f x =，当0x =时，()1f x =， 则39,4431,a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得13,3a b ==， 则31(3),0313x y x x x =+-≤≤+． （2）由（1）可得313(1)31()(3)11313x x f x x x x x +-=+-=+-++1331137(1)31333x x ⎡⎤=-++≤-=⎢⎥+⎣⎦，当且仅当2x =时取等号， 故对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资1万元，才能使所得利润总和最大，最大值为73万元．22．（1）2{3x x <-或1}x >；（2）2. 【分析】（1）结合一元二次不等式的解集得到,,a b c 的关系，进而得到2320x x -->，从而解不等式即可求出结果；（2）由题意可得,,a b c 发关系，进而结合不等式的性质以及均值不等式即可求出结果.【详解】（1）∵()0f x <的解集为(1,2)，∴0a >且12,12b c a a+=-⨯=，∴30,2b a c a =-<=． 2220320320bx ax c ax ax a x x ++<⇔-++<⇔-->，∴该不等式的解集为2{3x x <-或1}x >．（2）若不等式()2≥+f x ax b 即2(2)()0ax b a x c b +-+-≥对任意x ∈R 恒成立，则20,Δ(2)4()0,a b a a c b >⎧⎨=---≤⎩即204(),0,b ac a a ⎧≤-⎨>⎩易知0c a ≥>， 当c a =时，2220,0b b a c ==+； 当c a >时，设10c t a =->，则1c t a=+，则2222222414()4422(1)121c b a c a t a a c a c t c t t a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭≤===≤=++++⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，当且仅当1c t a=-=24()b a c a =-时，等号成立， 所以222b a c+的最大值为2．。
湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高三上学期月考(一)地理试题
大联考长沙市一中2025届高三月考试卷(一)地 理得分 本试题卷分选择题和非选择题两部分，共8页。
时量75分钟，满分100分。
第Ⅰ卷 选择题(共48分)一 选择题：本大题共16小题，每小题3分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
区域人口迁移通常经历单核心向多核心演化的过程。
下图为我国长三角不同时期人口迁移的空间演化过程示意图。
据此完成1~2题。
1.与单核心阶段相比，多核心阶段人口迁移的特点是A.人口迁移的通道较少B.人口迁移的规模更小C.人口仅在小城镇阿流动D.人口迁移的频次更高2.在多核心阶段，若次级城市吸引力增强，可能带来的影响有①疏导核心城市的人口压力 ②加剧核心城市的逆城市化③降低核心城市的行政级别 ④促进区域经济一体化发展A.①②B.②③C.①④D.③④甘肃西接阿尔金山和祁连山，是我国西北地区重要的生态安全屏障。
为规范国土空间开发，实现区域的协调发展，甘肃将全省划分为3个主体功能区：城镇化发展区、农产品主产区、重点生态功能区(图1)。
图2示意2021年县域碳排放网络空间关联关系图(节点的大小表示在网络关系中的重要程度，节点间线的长度和粗细表示联系的频繁程度)。
据此完成3~5题。
3.甲、乙、丙分别表示A.城镇化发展区、农产品主产区、重点生态功能区B.城镇化发展区、重点生态功能区、农产品主产区C.农产品主产区、重点生态功能区、城镇化发展区D 重点生态功能区、城镇化发展区、农产品主产区关于甘肃省碳排放的说法，正确的是①陇中地区的碳排放强度最小②陇东南地区碳中和压力最大③河西地区因受地形的影响县域间碳排放网络空间联系弱④县域碳排放网络空间紧密度由中小县．域向周边县域递减A.①②B.①④C.②③D.③④5.关于城关区的发展方向，下列规划合理的是A.积极推进农创产业及新型农业发展B.积极创新推动低碳试点，发挥低碳引领导向C.积极发展生态经济和文化旅游经济D.积极优化产业结构，停止高耗能产业的发展风和水是干旱地区的两种主要作用力。
湖南省长沙市第一中学2023届高三月考数学试卷 (八)
长沙市一中2023届高三月考试卷(八)数学试卷一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={xx2<2x},集合B={x|log2(x−1)<1},则A∩B=()(A){x|0<x<3}(B){x|1<x<2}(C){x|2⩽x<3}(D){x|0<x<2}2.在复平面内,复数z与21−i对应的点关于虚轴对称,则z等于()(A)1+i(B)−1−i(C)1−i(D)−1+i3.若双曲线C:x29−y2m=1(m>0)的一条渐近线与x轴的夹角是π3,则C的虚轴长是()(A)2√33(B)3√3(C)2(D)6√34.若(1+x)(1−2x)7=a0+a1x+a2x2+···+a8x8,则a1+a3+a5+a7的值是()(A)−1(B)−2(C)2(D)15.在△ABC中,“cos A+sin A=cos B+sin B”是“∠C=90◦”的()(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件6.长沙烈士公园西南小丘上兴建了烈士纪念塔,纪念为人民解放事业牺牲的湖南革命烈士,它是公园的标志.为了测量纪念塔的实际高度,某同学设计了如下测量方案:在烈士纪念塔底座平面的A点位置测得纪念塔顶端仰角的正切值为32,然后直线走了20m,抵达纪念塔底座平面B点位置测得纪念塔顶端的仰角为π3.已知该同学沿直线行进的方向与他第一次望向烈士纪念塔底端的方向所成角为π3,则该烈士纪念塔的高度约为()(A)30m(B)45m(C)60m(D)75m7.已知点P(2,2),直线AB与抛物线C:y2=2x交于A、B两点,且直线P A,P B的倾斜角互补,则直线AB的斜率为()(A)−14(B)−12(C)−1(D)−28.函数g(x)=ln xx+1在区间[t,+∞)(t∈N∗)上存在极值,则t的最大值为()(A)2(B)3(C)4(D)5二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9.已知a,b∈(0,+∞),λ=a+b,µ=√3ab,则()(A)λ−µ<0(B)λ−µ⩾0(C)µλ⩽√32(D)µλ>√3210.数列{a n}首项a1=2,对一切正整数n,都有a n+1=2−1a n,则()(A)数列{1a n−1}是等差数列(B)对一切正整数n都有a n>1(C)存在正整数n,使得a n=2a2n(D)对任意小的正数ε,存在n0∈N,使得|a n+1−a n|<ε(n>n0)11.已知直线l:x−y+2=0与x轴交于点A,点P在直线l上,圆C:(x−2)2+y2=2上有且仅有一个点B满足AB⊥BP,则点P的横坐标的取值可以为()(A)13(B)12(C)3(D)512.将2n(n∈N∗)个有编号的球随机放入2个不同的盒子中,已知每个球放入这2个盒子的可能性相同,且每个盒子容纳球数不限,记2个盒子中最少的球数为X(0⩽X⩽n,X∈N∗),则下列说法中正确的有()(A)当n=1时,方差D(X)=1 4(B)当n=2时,P(X=1)=3 8(C)∀n⩾3,∃k∈[0,n)(k,n∈N∗),使得P(X=k)>P(X=k+1)成立(D)当n确定时,期望E(X)=n(22n−C n2n)22n三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.函数f(x)的图象在区间(1,3)上连续不断,能说明“若f(x)在区间(1,3)上存在零点,则f(1)·f(3)<0”为假命题的一个函数f(x)的解析式可以为f(x)=.14.若随机变量ξ的数学期望和方差分别为E(ξ),D(ξ),则对于任意ε>0,不等式P(|ξ−E(ξ)|⩾ε)⩽D(ξ)ε2成立.在2023年湖南省高三九校联考中,数学科考试满分150分,某校高三共有500名学生参加考试,全体学生的成绩ξ的期望E(ξ)=80,方差D(ξ)=42,则根据上述不等式,可估计分数不低于100分的学生不超过人.15.如图,在平面斜坐标系xOy中,∠xOy=60◦,平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义:若# »OP=x e1+y e2(其中e1,e2分别是x轴,y轴正方向的单位向量),则P点的斜坐标为(x,y),向量# »OP的斜坐标为(x,y),# »OM=(3,1),# »ON=(1,3),则△OMN的面积为.x16.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2,点E∈平面AA1B1B,点F是线段AA1的中点,若D1E⊥CF,则当△EBC的面积取得最小值时,三棱锥E−BCC1外接球的体积为.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数f(x)=2sin x2cosx2+2√3cos2x2−√3,x∈[−π6,π3].(1)已知f(α)=85,α∈(−π6,π3),求sinα;(2)若不等式|f(x)−m|⩽3恒成立,求整数m的最大值.18.设数列{a n}的前n项和为S n.已知a1=1,2na n−2S n=n2−n,n∈N∗.(1)求证:数列{a n}是等差数列;(2)令b n=2−a n2n,求数列{b n}的前n项和T n.19.如图,在长方体ABCD−A1B1C1D1中,点P是长方形A1B1C1D1内一点,∠AP C是二面角A−P D1−C的平面角.(1)证明:点P在A1C1上;(2)若AB=BC,求直线P A与平面P CD所成角的正弦的最大值.B C DA PB1C1D1A120.(1)对于任意两个事件A,B,若P(A)>0,P(B)>0,证明:P(A)P(A)=P(A|B)P(A|B)·P(B|A)P(B|A);(2)贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯发现的,它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为:设A1,A2,···,A n是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪···∪A n=Ω,且P(A i)>0,i=1,2,···,n,则对任意的事件B⊆Ω,P(B)>0,有P(A i|B)=P(A i)P(B|A i)P(B)=P(A i)P(B|A i)n∑k=1P(A k)P(B|A k),i=1,2,···,n.①已知某地区烟民的肺癌发病率为1%,先用低剂量C进行肺癌筛查,医学研究表明,化验结果是存在错误的.已知患有肺癌的人其化验结果99%呈阳性(有病),而没有患肺癌的人其化验结果99%呈阴性(无病),现某烟民的检验结果为阳性,请问他真的患肺癌的概率是多少?②为了确保诊断无误,一般对第一次检查呈阳性的烟民进行复诊.复诊时,此人患肺癌的概率就不再是1%,这是因为第一次检查呈阳性,所以对其患肺癌的概率进行修正,因此将用贝叶斯公式求出来的概率作为修正概率.请问如果该烟民第二次检查还是呈阳性,则他真的患肺癌的概率是多少?21.已知f(x)=e x−tx,x∈R.(1)函数f(x)有且仅有一个零点,求t的取值范围.(2)当t=1时,证明:∃ξ∈(a,b)(其中a>0),使得f(b)−f(a)b−a=eξ−1.22.历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯(公元前375年−公元前325年),大约100年后,阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线,并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质:如图1,从椭圆的一个焦点出发的光线或声波,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,其中法线l ′表示与椭圆C 的切线垂直且过相应切点的直线,已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点为F 1(−c,0),F 2(c,0)(c >0),若由F 1发出的光线经椭圆两次反射后回到F 1经过的路程为8c .对于椭圆C 除顶点外的任意一点P ,椭圆在点P 处的切线为l ,F 1在l 上的射影为H ,其中|OH |=2√2.H F 1F 2法线l ′图1O P切线l•图2(1)求椭圆C 的方程;(2)如图2,过F 2作斜率为k (k >0)的直线m 与椭圆C 相交于A ,B 两点(点A 在x 轴上方).点M ,N 是椭圆上异于A ,B 的两点,MF 2,NF 2分别平分∠AMB 和∠ANB ,若△MF 2N 外接圆的面积为81π8,求直线m 的方程.。
湖南省长沙市第一中学2024届高三上学期月考(二)数学试题
湖南省长沙市第一中学2024届高三上学期月考（二）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．26336-C ．2366+4．设向量a 与b的夹角为θ，定义则a b ⊕=（）A ．()34，B ．(-5．血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，浓度达到峰值，此后每经过2浓度的40%，当血药浓度为峰值的A ．11小时B ．136．对于一些不太容易比较大小的实数，我们常常用构造函数的方法来进行，如，已知ln 56a =，ln 47b =，ln 38c =，要比较()ln ln(11)f x x x =-来进行比较，通过计算，你认为下列关系正确的一项是（A ．52C ．1968．定义在R 上的不恒为零的偶函数()()5122k f k f k =⎡⎤+-=⎣⎦∑（A ．30B ．60二、多选题9．气象意义上从春季进入夏季的标志为乙、丙三地连续5天的日平均温度（单位①甲地：5个数据的中位数为②乙地：5个数据的中位数为③丙地：5个数据中有一个数据是则肯定进入夏季的地区有（A ．一个都没有C ．乙地10．点P 是直线3y =上的一个动点，过点则（）A ．存在点P ，使得APB ∠A ．AC 与平面BPQ 有可能平行B ．11B D 与平面BPQ 有可能平行C ．三角形BPQ 周长的最小值为D ．三棱锥A BPQ -的体积为定值12．设正整数010199n a a =⋅+⋅+⋅⋅⋅{}(0,1,2,3,4,5,6,7,80,1,2,i a i ∈=⋅⋅⋅A ．()113ω=C ．()()9101n n ωω+=+三、填空题13．()()5211x x ++的展开式中4x 14．写出一个同时具有下列两个性质的函数①()f x 的值域为(),2-∞；②当x 15．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>足1290F MF ∠=︒，12F MF △的内切圆与16．已知正四面体A BCD -的外接球半径为四、解答题(1)证明：平面POB ⊥平面PBC ；(2)若6PB =，试判断线段PB 上是否存在一点Q （不含端点），使得直线所成角的正弦值为155，若存在，求三棱锥P AQE -的体积，若不存在，说明理由19．ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，点O 为ABC OAC ，OAB 的面积分别为1S ，2S ，3S ，已知22213132S S S S S +-=(1)在①cos cos 1a C c A +=；②4sin sin cos21B A A +=；③12cos sin A A -+个作为条件，判断ABC 是否存在，若存在，求出ABC 的周长，若不存在，说明理由（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）(2)若ABC 为锐角三角形，求ABC 面积的取值范围.20．已知函数ln ()e xxf x a=-.上是减函数，求实数a 的最大值；2ln aa+.．新高考数学试卷中有多项选择题，每道多项选择题有A ，B ，个选项中仅有两个或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得已知测试过程中随机地从四个选项中作选择，每个选项是某次多项选择题专项训练中，共有(k k ∈N(1)求椭圆C的方程；(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为线AM，BM分别交椭圆于两点P（i）证明：点B在以PQ为直径的圆内；（ii）求四边形APBQ面积的最大值。
湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高三下学期月考卷(六)数学试题及答案
长沙市一中2023届高三月考试卷（六）数学时量：120分钟 满分：150分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合，，则（ ） {}32,Z M x x n n ==-∈{}2,1,0,1,2N =--M N ⋂=A. B. C.D. {}2,1-{}1,2-{}1,1-{}2,0,2-2. 已知复数满足，为虚数单位，则（ ）z ()1i 1i z -=+i z =A. B. C. D. i 11i 22+1i +3. 已知，，，一束光线从点出发经AC 反射后，再经BC 上点D 反射，()30A -,()3,0B ()0,3C ()1,0F -落到点上．则点D 的坐标为（ ）()1,0E A. B. C. D. 15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,2()2,14. 若，且，则（ ） ππ,24α⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭23π1cos cos 222αα⎛⎫++=- ⎪⎝⎭tan α=A. B. C. D. 2-3--5. 据一组样本数据，求得经验回归方程为，且．现发现()(()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅ 1.20.4y x =+3x =这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后重新求得的经验回归直线的斜率为()1.2,0.5()4.8,7.5l 1.1，则（ ）A. 去除两个误差较大的样本点后，的估计值增加速度变快y B. 去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程对应直线一定过点()3,5C. 去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程为1.10.7y x =+D. 去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点的残差为0.1()2,2.76. 在四面体中，，，，，则该四面体的PABC PA AB ⊥PA AC ⊥120BAC ∠=︒2AB AC AP ===外接球的表面积为（ ）A. B. C. D.12π16π18π20π7. 已知圆O 的半径为1，A 为圆内一点，，B ，C 为圆O 上任意两点，则的最小值是12OA =AC BC ⋅（ ）A. B. C. D. 18-116-116188. 设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数()f x R ()2f x x +()f x x -，若对任意的，恒成立，则实数的最大值为()()[]()(),0,121,1,f x x g x g x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩[]0,x m ∈()3g x ≤m （ ） A. B. C. D. 133********二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9. 已知函数在区间上有且仅有3条对称轴，给出下列四个结论，正确()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭[]0,π的是（ ）A. 的取值范围是 ω913,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 在区间上有且仅有3个不同的零点()f x ()0,πC. 的最小正周期可能是 ()f x 4π5D. 在区间()f x π0,15⎛⎫ ⎪⎝⎭10. 已知抛物线C ：的焦点为F ，准线为，A ，B 是C 上异于点O 的两点，O 为坐标原点，则22x y =l （ ）A. 的方程为 l 12x =-B. 若，则 32AF =AOF AC. 若，则0OA OB ⋅= 9OA OB ⋅≥D. 若，过AB 的中点D 作于点E ，则的最小值为 120AFB ∠=︒DE l ⊥AB DE11. 如图，正方体中，顶点在平面内，其余顶点在的同侧，顶点到1111ABCD A B C D -A αα1,,B C A α的距离分别为，则（ ）1,2,3A. 平面BD A αB. 平面平面1A AC ⊥αC. 直线与所成角比直线与所成角大1AB α1AA αD.12. 已知，为正实数，且，则（ ）a b 26ab a b ++=A. 的最大值为2B. 的最小值为5 ab 2a b +C. 的最小值为D. 1211a b +++98()0,3a b -∈三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13. 设直线是曲线的一条切线，则_________．10x y ++=ln y a x =-=a 14. 楼道里有8盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，则关灯方案有_________种．15. 过双曲线：右焦点作直线，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，C ()222210x y a b a b-=>>F l l C 垂足为A ，直线与另一条渐近线交于点B ．且点A ，B 位于x 轴的异侧，O 为坐标原点，若的内切l OAB A 圆的半径为，则双曲线C 的离心率为__________． 23b 16. 小说《三体》中，一个“水滴”摧毁了人类整个太空舰队，当全世界第一次看到“水滴”的影像时，所有人都陶醉于它那绝美的外形．这东西真的是太美了，像梦之海中跃出的一只镜面海豚，仿佛每时每刻都在宇宙之夜中没有尽头地滴落着．有科幻爱好者为“水滴”的轴截面设计了二维数学图形，已知集合．由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分()()(){}22,cos sin 4,0P x y x y θθθπ=-++=≤≤P所示，中间白色部分就如美丽的“水滴”．则图中“水滴”外部阴影部分的面积为_________．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 记为正项数列的前项和，已知是4与的等比中项．n S {}n a n 1n a +n S （1）求的通项分式；{}n a （2）证明：． 2222123111154n a a a a +++⋅⋅⋅+<18. 已知a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，且．ABCA cos sin a C C b c +=+（1）求A ；（2）已知M 为BC 的中点，且，的平分线交BC 于N ，求线ABC A AM =BAC ∠段AN 的长度．19. 近日，某芯片研发团队表示已自主研发成功多维先进封装技术XDFOI ，可以实现4nm 手机SOC 芯片的封装，这是中国芯片技术的又一个重大突破，对中国芯片的发展具有极为重要的意义．可以说国产4nm 先进封装技术的突破，激发了中国芯片的潜力，证明了知名院士倪光南所说的先进技术是买不来的、求不来的，自主研发才是最终的出路．研发团队准备在国内某著名大学招募人才，准备了3道测试题，答对两道就可以被录用，甲、乙两人报名参加测试，他们通过每道试题的概率均为，且相互独立，若()01p p <<甲选择了全部3道试题，乙随机选择了其中2道试题，试回答下列问题．（所选的题全部答完后再判断是否被录用）（1）求甲和乙各自被录用的概率；（2）设甲和乙中被录用的人数为，请判断是否存在唯一的值，使得？并说明理由． ξp 0p () 1.5E ξ=20. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，． P ABCD -ABCD 2PA PB ==（1）证明：；PAD PBC ∠=∠（2）当直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值最大时，求此时二面角的大小．P AB C --21. 已知，D 是圆C ：上的任意一点，线段DF 的垂直平分线交DC 于点P ． ()1,0F -()22116x y -+=（1）求动点P 的轨迹的方程：Γ（2）过点的直线与曲线相交于A ，B 两点，点B 关于轴的对称点为，直线交轴于(),0M t l Γx B 'AB 'x 点，证明：为定值．N OM ON ⋅ 22. 已知函数，． ()1e ln axf x x x-=+a ∈R （1）当时，求函数的最小值；1a =()f x x -（2）若函数的最小值为，求的最大值．()f x xa a长沙市一中2023届高三月考试卷（六）数学时量：120分钟 满分：150分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合，，则（ ） {}32,Z M x x n n ==-∈{}2,1,0,1,2N =--M N ⋂=A.B. C. D. {}2,1-{}1,2-{}1,1-{}2,0,2-【答案】A【解析】【分析】利用列举法及交集的定义即可求解.【详解】,{}}{32,Z ...,5,2,1,4,7,M x x n n ==-∈=-- 所以.{}2,1M N =- 故选：A.2. 已知复数满足，为虚数单位，则（ ）z ()1i 1i z -=+i z =A.B. C. D. i 11i 22+1i +【答案】B【解析】【分析】根据向量的除法和向量模的求法，变形的，即可求解. 1i 1i z +==-【详解】， 1i 1i z +===+-故选：B3. 已知，，，一束光线从点出发经AC 反射后，再经BC 上点D 反射，()30A -,()3,0B ()0,3C ()1,0F -落到点上．则点D 的坐标为（ ）()1,0E A. B. C. D.15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,2()2,1【答案】C【解析】【分析】根据入射光线与反射光线的性质可知方程，由与的交点可得D ，求坐标即可.GH GH BC【详解】根据入射光线与反射光线关系可知，分别作出关于的对称点,,F E ,AC BC ,G H 连接，交于，则D 点即为所求，如图，GH BCD因为所在直线方程为，，设，AC 3y x =+(1,0)F -()G x y ,则，解得，即， 132211y x y x -⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪+⎩3,2x y =-=(3,2)G -由所在直线方程为，，同理可得，BC 3y x =-+(1,0)E (3,2)H 所以直线方程为，由解得， GH 2y =32y x y =-+⎧⎨=⎩(1,2)D 故选：C4. 若，且，则（ ） ππ,24α⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭23π1cos cos 222αα⎛⎫++=- ⎪⎝⎭tan α=A.B. C. D. 2-3--【答案】C【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式及二倍角的正弦公式，结合三角函数的齐次式法即可求解.【详解】因为，所以， ππ,24α⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭tan 1α<-由，得，即， 23π1cos cos 222αα⎛⎫++=- ⎪⎝⎭21cos sin 22αα+=-222cos 2sin cos 1cos sin 2ααααα+=-+所以，即，解得 212tan 11tan 2αα+=-+2tan 4tan 30αα++=或(舍).tan 3α=-tan 1α=-故选：C.5. 据一组样本数据，求得经验回归方程为，且．现发现()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅ 1.20.4y x =+3x =这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后重新求得的经验回归直线的斜率为()1.2,0.5()4.8,7.5l1.1，则（ ）A. 去除两个误差较大的样本点后，的估计值增加速度变快y B. 去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程对应直线一定过点()3,5C. 去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程为1.10.7y x =+D. 去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点的残差为0.1()2,2.7【答案】C【解析】【分析】根据直线的斜率大小判断A ；求出判断B ；再求出经验回归方程判断C ；计算残差判断D 作l y 答.【详解】对于A ，因为去除两个误差较大的样本点后，经验回归直线的斜率变小，则的估计值增加速l y 度变慢，A 错误；对于B ，由及得：，因为去除的两个样本点和， 1.20.4y x =+3x =4y =()1.2,0.5()4.8,7.5并且，因此去除两个样本点后，样本的中心点仍为， 1.2 4.80.57.53,422++==(3,4)因此重新求得的回归方程对应直线一定过点，B 错误；(3,4)对于C ，设去除后重新求得的经验回归直线的方程为，由选项B 知，，解得l ˆ1.1y x a=+ˆ4 1.13a =⨯+， ˆ0.7a=所以重新求得的回归方程为，C 正确；1.10.7y x =+对于D ，由选项C 知，，当时，，则， 1.10.7y x =+2x = 1.120.72.9y =⨯+= 2.7 2.90.2-=-因此去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点的残差为，D 错误.()2,2.70.2-故选：C6. 在四面体中，，，，，则该四面体的PABC PA AB ⊥PA AC ⊥120BAC ∠=︒2AB AC AP ===外接球的表面积为（ ）A.B. C. D. 12π16π18π20π【答案】D【解析】【分析】由线面垂直的判定定理可得平面，设底面的外心为，外接球的球心为，PA ⊥ABC ABC A G O 为的中点，可得四边形为平行四边形，所以，在中，由余弦定理及正弦定理D PA ODAG 1OG =ABC 可求，故可求外接球的半径，根据球的表面积公式即可求解.AG 【详解】因为，，平面,PA AB ⊥PA AC ⊥,,AB AC A AB AC =⊂ ABC 所以平面.PA ⊥ABC设底面的外心为，外接球的球心为，则平面，所以. ABC A G O OG ⊥ABC //PA OG 设为的中点，DPA因为，所以.OP OA =DO PA ⊥因为平面，平面,PA ⊥ABC AG ⊂ABC 所以，所以.PA ⊥AG //OD AG 因此四边形为平行四边形，所以. ODAG 112OG AD PA ===因为，，120BAC ∠=︒2AB AC ==所以,BC ===由正弦定理，得. 242AG AG ==⇒=所以该外接球的半径满足,R )()2225R OG AG =+=故该外接球的表面积为.24π20πS R ==故选:D.7. 已知圆O 的半径为1，A 为圆内一点，，B ，C 为圆O 上任意两点，则的最小值是12OA =AC BC ⋅ （ ）A.B. C. D. 18-116-11618【答案】A【解析】 【详解】首先设与所成角为，根据题意得到OA BC θ，再根据()1cos cos 2AC BC OC OA BC OC BC OA BC BC BCO BC θ⋅=-⋅=⋅-⋅=∠- 求解即可. 221111cos 2222BC BC BC BC θ-≥-【点睛】如图所示：设与所成角为，OA BCθ因为， ()1cos cos 2AC BC OC OA BC OC BC OA BC BC BCO BC θ⋅=-⋅=⋅-⋅=∠- 因为，112cos 2BC BCO BC OC ∠== 所以 211cos 22AC BC BC BC θ⋅=- 因为，当时，等号成立. 221111cos 2222BC BC BC BC θ-≥- 0θ= 因为，所以当时，取得最小值为， 02BC ≤≤ 12BC = 21122BC BC - 18-所以当时，取得最小值为. 12BC = AC BC ⋅ 18-故选：A8. 设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数()f x R ()2f x x +()f x x -，若对任意的，恒成立，则实数的最大值为()()[]()(),0,121,1,f x xg x g x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩[]0,x m ∈()3g x ≤m （ ）A. B. C. D. 133********【答案】B【解析】【分析】由是奇函数，是偶函数，求出，再根据()2f x x +()f x x -()2f x x x =-，作出函数的图象即可求解. ()()[]()(),0,121,1,f x xg x g x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩()g x【详解】因为是奇函数，是偶函数， ()2f x x +()f x x -所以，解得，()()()()()22f x x f x x f x x f x x⎧-+-=--⎪⎨-+=-⎪⎩()2f x x x =-由， ()()[]()(),0,121,1,f x x g x g x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩当时，则，所以， ()1,2x ∈()10,1x -∈()()()2121gx g x f x =-=-同理：当时，，()2,3x ∈()()()()214242g x g x g x f x =-=-=-以此类推，可以得到的图象如下：()gx由此可得，当时，，()4,5x ∈()()164g x f x =-由，得，解得或， ()3g x ≤()()16453x x --≤174x ≤194x ≥又因为对任意的，恒成立，[]0,x m ∈(3g x ≤所以，所以实数的最大值为. 1704m <≤m 174故选：B.【点睛】本题考查了奇函数与偶函数的性质，抽象函数的周期性，通过递推关系分析出每一个区间的解析式是本题的关键，数形结合是解题中必须熟练掌握一种数学思想，将抽象转化为形象，有助于分析解决抽象函数的相关问题. 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9. 已知函数在区间上有且仅有3条对称轴，给出下列四个结论，正确()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭[]0,π的是（ ）A. 的取值范围是 ω913,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 在区间上有且仅有3个不同的零点()f x ()0,πC. 的最小正周期可能是 ()f x 4π5D. 在区间上单调递增 ()f x π0,15⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】ACD【解析】【分析】由，得，再根据函数在区间上有且仅有条对称轴，[]0,πx ∈πππ,π444x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦()f x []0,π3可得，可求出的取值范围判断A ，再利用三角函数的性质可依次判断BCD ． 5ππ7ππ242ω≤+<ω【详解】由，得， []0,πx ∈πππ,π444x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦因为函数在区间上有且仅有条对称轴，()f x []0,π3所以，解得，故A 正确； 5ππ7ππ242ω≤+<91344ω≤<对于B ，，， (0,π)x ∈ ∴πππ,π444x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭， ∴π5π7ππ,422ω⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭当时，在区间上有且仅有个不同的零点； π5π,3π42x ω⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦()f x (0,π)2当时，在区间上有且仅有个不同的零点，故B 错误； π7π3π,42x ω⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()f x (0,π)3对于C ，周期，由，则， 2πT ω=91344ω≤<414139ω<≤， ∴8π8π139T <≤又，所以的最小正周期可能是，故C 正确； 84ππ58π,139⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()f x 4π5对于D ，，， π0,15x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴ππππ,44154x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭又，， 91344ω≤<∴ππ2π7ππ,0,1545152ω⎡⎫⎛⎫+∈⊆⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭所以在区间上一定单调递增，故D 正确． ()f x π0,15⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：ACD.10. 已知抛物线C ：的焦点为F ，准线为，A ，B 是C 上异于点O 的两点，O 为坐标原点，则22x y =l （ ）A. 的方程为 l 12x =-B. 若，则 32AF =AOF AC. 若，则0OA OB ⋅= 9OA OB ⋅≥D. 若，过AB 的中点D 作于点E ，则的最小值为 120AFB ∠=︒DE l ⊥AB DE【答案】BD【解析】【分析】A 选项，由抛物线方程得到准线方程，A 错误；由焦半径公式得到，进而求出1A y =A x =从而得到的面积，B 正确；由得到，，表达出AOF A 0OA OB ⋅=4A B x x =-4A B y y =，结合基本不等式求出最值，C 错误；作出辅助线，设()2222232A B A B OA OB x y y x ⋅=++，由焦半径公式得到，结合余弦定理，基本不等式得到的最小值. ,AF a BF b ==2a b DE +=AB DE【详解】的焦点为，准线方程为，故A 错误； 22x y =F ⎛ ⎝12y =-由焦半径公式可知：，解得， 1322A AF y =+=1A y =故，故 222A A x y ==A x =所以的面积为，B 正确； AOF A 111222A OF x ⋅=⨯=若，则，即，解得：， 0OA OB ⋅= 0A B A B x x y y +=22104A B A B x x x x +=4A B x x =-则，4A B y y =故 ()()()2222222223232A A B B AB A B OA OB x y x y x y y x ⋅=++=++≥+，32264A B A B x x y y =+⋅=故，当且仅当时，等号成立，C 错误；8OA OB ⋅≥A B A B x y y x =过点作⊥l 于点，过点B 作⊥l 于点，A 1AA 1A 1BB 1B设，所以， ,AF a BF b ==2a b DE +=因为()2222222cos AB a b ab AFB a b ab a b ab =+-∠=++=+-， ()()22223342a b a b a b DE ++⎛⎫≥+-== ⎪⎝⎭所以. AB ≥故选：BD【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．11. 如图，正方体中，顶点在平面内，其余顶点在的同侧，顶点到1111ABCD A B C D -A αα1,,B C A α的距离分别为，则（ ）1,2,3A. 平面BD A αB. 平面平面1A AC ⊥αC. 直线与所成角比直线与所成角大1AB α1AA αD.【答案】ABD【解析】【分析】根据点到面的距离的性质，结合线面垂直的判定定理、线面角的定义、面面相交的性质进行求解判断即可.【详解】解：设的交点为，显然是、的中点，,AC BD O O AC BD 因为平面，到平面的距离为，所以到平面的距离为，ABCD A α= C α2O α1又到平面的距离为，B α1所以平面，即平面，即A 正确；//BO α//BD α设平面，ABCD l α= 所以，//BD l 因为是正方形，所以，ABCD AC BD ⊥又因为平面，平面，1AA ⊥ABCD BD ⊂ABCD 所以，因为平面，1AA BD ⊥11,,AA AC A AA AC ⋂=⊂1A AC 所以平面，因此有平面，而，BD ⊥1A AC l ⊥1A AC l ⊂α所以平面平面，因此选项B 正确；1A AC ⊥α设到平面的距离为，1B αd 因为平面，是正方形，点，B 到的距离分别为，1，11AA B B A α= 11AA B B 1A α3所以有， 31422d d +=⇒=设正方体的棱长为，1111ABCD A B CD -a设直线与所成角为，所以， 1AB αβ14sin AB β===设直线与所成角为，所以， 1AA αγ133sin AA aγ==因为，因此选项C 不正确；3>sin sin βγβγ<⇒<因为平面平面，平面平面，1A AC ⊥α1A AC ⋂A α=所以在平面的射影与共线，1,C A α,E F A显然，如图所示：1112,3,,,CE A F AC AA a AA AC ====⊥由，11ECA CAE CAE A AF ECA A AF ∠+∠=∠+∠⇒∠=∠， 111cos ,sin A F CE ECA A AF AC AA ∠=∠=由， 2212249cos sin 112ECA A AF a a a ∠+∠=⇒+=⇒=因此选项D 正确，故选：ABD 12. 已知，为正实数，且，则（ ）a b 26ab a b ++=A. 的最大值为2B. 的最小值为5 ab 2a b +C. 的最小值为D. 1211a b +++98()0,3a b -∈【答案】AC【解析】【分析】由已知条件结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可求解.【详解】依题意，对于A ：因为，26ab a b ++=所以，62ab a b ab =++≥+当且仅当时取等号，2a b =令，则有，0t =>260t +-≤解得，又因为， t -≤≤0t =>所以，即0t <≤0<≤的最大值为2，故A 选项正确；ab 对于B ：因为，26ab a b ++=所以， ()221162222224a b ab a b ab a b a b +=++=⨯++≤⨯++当且仅当时取等号，2a b =令，则有，20t a b =+>28480t t +-≥解得或（舍去），4t ≥t 12≤-即，所以的最小值为4，24a b +≥2a b +故B 选项错误；对于C ：因为，26ab a b ++=所以， 12111888b b a ++==++所以，81221119888111a b b b +++≥=+++=++当且仅当，即时等式成立， 2118b b +=+3b =所以的最小值为，故C 选项正确； 1211a b +++98对于D ：当，时，， 14a =225b =()4.150,3a b -=∉所以D 选项错误；故选：AC.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13. 设直线是曲线的一条切线，则_________．10x y ++=ln y a x =-=a 【答案】2-【解析】【分析】设切点为，根据导数的几何意义求出切点的横坐标，再根据切点即在曲线上又在切线上()00,x y 即可得解.【详解】设切点为，()00,x y ， 1y x '=-则，所以， 0011x x y x ==-=-'01x =所以切点为，()1,a 又切线为，10x y ++=所以，解得.110a ++=2a =-故答案为：.2-14. 楼道里有8盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，则关灯方案有_________种．【答案】20【解析】【分析】根据题意，原问题等价于在5盏亮灯的6个空隙中插入3盏不亮的灯，由组合公式计算即可求解.【详解】依题意，原问题等价于在5盏亮灯的6个空隙中插入3盏不亮的灯，则有种方案.36C 20=故答案为：20. 15. 过双曲线：右焦点作直线，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，C ()222210,0x y a b a b-=>>F l l C 垂足为A ，直线与另一条渐近线交于点B ．且点A ，B 位于x 轴的异侧，O 为坐标原点，若的内切l OAB A 圆的半径为，则双曲线C 的离心率为__________． 23b【解析】 【分析】作出图象，设的内切圆的圆心为，易知在的平分线上，过分别作OAB A M M AOB ∠Ox M 于，于，则有四边形为正方形，则，MN OA ⊥N MT AB ⊥T MTAN 2||||3b NA MN ==2||3b ON a =-，由，可得，由斜率公式即可得答案. tan MNb AOF ON a∠==2a b =【详解】解：如图所示：设A 在第一象限，由题意可知，其中为点到渐近线的距离，， AF d b ===d (c,0)F b y x a =||OF c =所以， ||OA a ===设的内切圆的圆心为，OAB A M 则在的平分线上，M AOB ∠Ox 过分别作于，于，M MN OA ⊥N MT AB ⊥T 又因为于，FA OA ⊥A 所以四边形为正方形，MTAN所以， 2||||3b NA MN ==所以， 2||||||3b ON OA NA a =-=-又因为， 2||3tan 2||3bMN b AOF b ON aa ∠===-所以， 2233a b a =-，2a b =所以，22225c a b b =+=所以， c =所以. c e a ===. 16. 小说《三体》中，一个“水滴”摧毁了人类整个太空舰队，当全世界第一次看到“水滴”的影像时，所有人都陶醉于它那绝美的外形．这东西真的是太美了，像梦之海中跃出的一只镜面海豚，仿佛每时每刻都在宇宙之夜中没有尽头地滴落着．有科幻爱好者为“水滴”的轴截面设计了二维数学图形，已知集合．由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分()()(){}22,cos sin 4,0P x y x y θθθπ=-++=≤≤P 所示，中间白色部分就如美丽的“水滴”．则图中“水滴”外部阴影部分的面积为_________．【答案】 16π3+【解析】【分析】根据图形与，建立直角坐标系，画出图形，()()(){}22,cos sin 4,0πP x y x y θθθ=-+-=≤≤求出相应的坐标，先求第一、二象限的阴影面积，再求第三象限的阴影面积，再求和即可求解.【详解】根据题意，建立直角坐标系，如图所示：在方程，中， ()()22cos sin 4x y θθ-+-=0πθ≤≤令，则有， 0x =222cos 2sin sin 4y y θθθ+-+=所以，其中， 12sin y yθ=-0πθ≤≤所以，所以， []sin 0,1θ∈[]12sin 0,2y y θ=-∈解得，1y ⎡⎤⎤∈-⎣⎦⎦所以，，，， (A ()0,3E ()0,1G -(0,D 令，则有，0θ=()2214x y -+=所以，，()1,0C ()3,0N 令，则有πθ=()2214x y ++=所以，. ()1,0B -()3,0M -由，，易得与线段()3,0M -()3,0N ()0,3E A MEN MN 组成的图形为的上半圆，229x y +=由此可知，在第一、第二象限中的阴影面积是由 的上半圆减去上半圆 229x y +=()2214x y -+=与上半圆相交的部分形成， ()2214x y ++=即与线段组成的面积，设为. A BACBC S 水滴上部由，，三点易得 (A ()1,0B -()1,0C 为边长为2的等边三角形，ABC A所以 212ππ263ABC AnC S S =⨯⨯-=-A 弓形所以，4π23ABC AnC S S S =+=A 弓形水滴上部设第一、二象限的阴影面积为， 1S 则. 19π9π4π19π2236S S =-=-+=+水滴上部由，，易得与线段 ()1,0B -()1,0C ()0,1G -A BGCBC 组成的图形为的下半圆， 221x y +=设在第三象限中的阴影面积为， 2S 则有， 2π4MOD MpD S S S =+-A 弓形由图知11322MOD S MO OD =⨯⨯=⨯=A ，，11222MBD S MB OD =⨯⨯=⨯=A 2π3MBD ∠=所以，214ππ233MBD MpD S S =⨯⨯-=A 弓形所以，2π4ππ13π43412MOD MpD S S S =+-=+-=A 弓形所以图中“水滴”外部阴影部分的面积为：. 1219π13π16π226123S S S ⎛=+=⨯=+ ⎝故答案为：. 16π3+【点睛】本题考查了圆与三角函数综合的知识点，可以根据图形的对称性建立直角坐标系，将图形转化为实际的数据，割补法是求阴影面积常用的方法，需要考生有一定的分析转化能力.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 记为正项数列的前项和，已知是4与的等比中项． n S {}n a n 1n a +n S （1）求的通项分式；{}n a （2）证明：． 2222123111154n a a a a +++⋅⋅⋅+<【答案】（1）21n a n =-（2）证明见解析 【解析】【分析】(1)由等比中项得，进而由递推式计算出，并得到，得数列()214n n a S +=11a =12n n a a --=是等差数列，进而可求解；{}n a (2)由，从第二项开始放缩即可证明. ()22111114121n a n n n ⎛⎫=<- ⎪-⎝⎭-【小问1详解】∵是4与的等比中项，∴①． 1n a +n S ()214n n a S +=当时，，∴． 1n =()2111144a S a +==11a =当时，②，2n ≥()21114n n a S --+=由①-②得，， ()()()22111144n n n n n a a S S a --+-+=-=∴， ()()1120n n n n a a a a ----+=∵，∴，0n a >12n n a a --=∴数列是首项为l ，公差为2的等差数列， {}n a ∴的通项公式． {}n a 21n a n =-【小问2详解】由（1）得，2111a =当时，，2n ≥()222111111444121n a n n n n n ⎛⎫==<=- ⎪--⎝⎭-∴ 22222221232311111111n na a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+1111111115151114122314444n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-+⋅⋅⋅+-=+-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦18. 已知a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，且．ABC A cos sin a C C b c +=+（1）求A ；（2）已知M 为BC 的中点，且，的平分线交BC 于N ，求线ABC A AM =BAC ∠段AN 的长度． 【答案】（1） π3A =（2） AN =【解析】【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化将原式化简，再结合三角恒等变换即可求得结果； （2）根据题意，可得，再结合三角形()22222242AMAB ACAB AB AC AC c b bc =+=+⋅+=++的面积公式，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】由题意知中，， ABC A cos sin a C C b c +=+由正弦定理边角关系得：则sin cos sin A C A C，()sin sin sin sin sin cos cos sin sin B C A C C A C A C C =+=++=++， sin cos sin sin A C A C C =+∵，()0,πC ∈∴， sin 0C ≠cos 1A A -=∴，∴， π2sin 16A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭又，， ()0,πA ∈ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以，即． ππ=66A -π3A =【小问2详解】如下图所示，在中，为中线，ABC A AM∴， 2AM AB AC =+∴，()22222242AMAB ACAB AB AC AC c b bc =+=+⋅+=++ ∴． 2212b c bc ++=∵， ABC S =△1sin 2bc A ==3bc =∴，b c +==∵， ABC ABN ACN S S S =+△△△，∴． ()1πsin 26b c AN AN =+=AN =19. 近日，某芯片研发团队表示已自主研发成功多维先进封装技术XDFOI ，可以实现4nm 手机SOC 芯片的封装，这是中国芯片技术的又一个重大突破，对中国芯片的发展具有极为重要的意义．可以说国产4nm 先进封装技术的突破，激发了中国芯片的潜力，证明了知名院士倪光南所说的先进技术是买不来的、求不来的，自主研发才是最终的出路．研发团队准备在国内某著名大学招募人才，准备了3道测试题，答对两道就可以被录用，甲、乙两人报名参加测试，他们通过每道试题的概率均为，且相互独立，若()01p p <<甲选择了全部3道试题，乙随机选择了其中2道试题，试回答下列问题．（所选的题全部答完后再判断是否被录用）（1）求甲和乙各自被录用的概率；（2）设甲和乙中被录用的人数为，请判断是否存在唯一的值，使得？并说明理由． ξp 0p () 1.5E ξ=【答案】（1）甲被录用的概率为，乙被录用的概率为2332p p -2333p p -（2）不存在；理由见解析 【解析】【分析】(1)分析已知，甲被录用符合二项分布，乙被录用符合组合排列，分别利用对应求概率公式计算即可.(2)先分析的可能取值，然后分别求解对应概率，再利用离散型数学期望的公式表示出数学期望，然后构ξ造函数，利用求导分析函数单调性，进而判断即可. 【小问1详解】由题意，设甲答对题目的个数为，得， X ()~3,X B p 则甲被录用的概率为，()2232313C 132P pp p p p =-+=-乙被录用的概率为． ()222332C 133P p p p p =-=-【小问2详解】的可能取值为0，1，2，ξ则，()()()12011P P P ξ==--， ()()()1212111P P P P P ξ==-+-，()122P PP ξ==∴ ()()()()()121212*********E P P P P P P PPξ=⨯--+⨯-+-+⨯⎡⎤⎣⎦，23232312323365 1.5P P p p p p p p =+=-+-=-=，32101230p p ∴-+=设，()()321101230f p p p p +=<<-则．()23024f p p p '=-∴当时，单调递减，405p <<()f p 当时，单调递增，415p <<()f p 又，，，()03f =()11f =4110525f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭所以不存在的值，使得.p 0p ()00f p =20. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，．P ABCD -ABCD 2PA PB ==（1）证明：；PAD PBC ∠=∠（2）当直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值最大时，求此时二面角的大小． P AB C --【答案】（1）证明见解析（2）6π【解析】【分析】(1) 分别取，的中点，，连接，，，证明出，可得AB CD E F PE EF PF PC PD =，由此可证得结论成立；PAD PBC ≌△△(2)先根据条件推出为二面角的平面角，设，建立空间直角坐标系，利用PEF ∠P AB C --PEF α∠=空间向量法结合基本不等式求出直线与平面所成角的正弦值的最大值，求出对应的角的值，即PA PCD 可求解. 【小问1详解】分别取，的中点，，连接，，， AB CD E F PE EF PF ∵，为的中点，∴．PA PB =E AB PE AB ⊥∵四边形为正方形，则且，∴． ABCD AB CD ∥AB CD =CD PE ⊥∵，分别为，的中点，∴，∴，E F AB CD EF AD ∥EF CD ⊥∵，∴平面．EF PE E ⋂=CD ⊥PEF∵平面，∴． PF ⊂PEF CD PF ⊥在中，PCD A ∵为的中点，，∴． F CD CD PF ⊥PC PD =又∵，，∴， PA PB =AD BC =PAD PBC ≌△△从而可得． PAD PBC ∠=∠【小问2详解】由（1）可知，，PE AB ⊥EF AB ⊥∴为二面角的平面角，且，PEF ∠P AB C --PE ==以点为坐标原点，，所在直线分别为x ，轴建立如下图所示的空间直角坐标系，E EB EFy设，其中，PEF α∠=0απ<<则，，，，，，()1,0,0A -()1,0,0B ()1,2,0C ()1,2,0D -()0,2,0F ()P αα，，．()AP αα= ()2,0,0DC =u u ur()FP αα=- 设平面的法向量为，PCD (),n x y z =由，即，取， 00n DC n FP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩202)0x y z αα=⎧⎪⎨-⋅=⎪⎩y α=则，，∴，2z α=-0x=(),2n αα=-cos ,n AP n AP n AP⋅<>==⋅==令，(77t α-=∈-+则， cos α=则，cos ,n AP <>==≤=当且仅当时，即当时，等号成立．1t =cos α=6πα=所以当直线与平面所成角的正弦值最大时，二面角为．PA PCD P AB C --6π21. 已知，D 是圆C ：上的任意一点，线段DF 的垂直平分线交DC 于点P ． ()1,0F -()22116x y -+=（1）求动点P 的轨迹的方程：Γ（2）过点的直线与曲线相交于A ，B 两点，点B 关于轴的对称点为，直线交轴于(),0M t l Γx B 'AB 'x 点，证明：为定值． N OM ON ⋅【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）由中垂线性质，可知，得动点P 的轨迹以，F 42PC PF PC PD DC FC +=+==>=C 为焦点的椭圆；（2）将直线与曲线方程联立，利用韦达定理及题目条件表示出点N 坐标，后可得答案. l Γ【小问1详解】圆：，圆心为，半径为4，C ()22116x y -+=)1,0因为线段DF 的垂直平分线交DC 于P 点，所以， PD PF =所以， 42PC PF PC PD DC FC +=+==>=所以由椭圆定义知，P 的轨迹是以，F 为焦点的椭圆， C 则，，.242a a =⇒=221c c =⇒=2223b a c =-=故轨迹方程为：．22143x y +=【小问2详解】依题意，直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为，将其与方程联立：l l ()0x my t m =+≠Γ，消去x 得. 22143x my tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2223463120m y mty t +++-=方程判别式，设，，则，()2248430m t+->()11,A x y ()22,B x y ()22,B x y '-由韦达定理有，，122634mt y y m -+=+212231234t y y m -=+则直线的方程为，AB '()121112y y y y x x x x +-=--令()1212211212N 121212202my y t y y x y x y y yy x m t y y y y y y +++=⇒===⋅++++，则，得.2312426t m t mt t -=⋅+=-40,N t ⎛⎫ ⎪⎝⎭()400,，,OM t ON t ⎛⎫== ⎪⎝⎭∴．即为定值4．44OM ON t t ⋅=⋅= OM ON ⋅ 22. 已知函数，．()1e ln axf x x x-=+a ∈R （1）当时，求函数的最小值； 1a =()f x x -（2）若函数的最小值为，求的最大值． ()f x xa a 【答案】（1）0（2）1【分析】（1）当时，令，求得，根据在不同区间1a =()()F x f x x =-()()()121e x x x x F x --=-'()F x '的符号判断的单调性，由单调性即可求出的最小值；()F x ()()F x f x x =-（2）将等价变换为，借助第（1）问中判断的符号时()≥f x a x ()0f x ax -≥()()()121e x x xx F x --=-'构造的在时取最小值，取，将问题转化为有解问题即可.()1ex g x x -=-1x =()ln g ax x -ln 1ax x -=【小问1详解】当时，令，，1a =()()1e ln x x x F xf x x x-+=--=()0,x ∈∞则，()()()()()11112221e e 11e e 11x x x x x x x x x x x x F xx x ------+-'==-⋅-+-=令，，则，()1ex g x x -=-x ∈R ()1e 1x g x -'=-易知在上单调递增，且，()g x 'R ()10g '=∴当时，，在区间上单调递减，且，()0,1x ∈()0g x '<()g x ()0,1()()110e x g x x g -=->=当时，，在区间上单调递增，且，()1,x ∈+∞()0g x '>()g x ()1,+∞()()110e x g x x g -=->=∴当时，，在区间上单调递减， ()0,1x ∈()()()121e 0x x x F x x --'=-<()F x ()0,1当时，，在区间上单调递增，()1,x ∈+∞()()()121e 0x x x F xx --'=->()F x ()1,+∞当时，取得极小值，也是最小值，，1x =()F x ()()11mine 1ln1101F x F -==+-=∴当时，函数的最小值为. 1a =()f x x -0【小问2详解】由已知，的定义域为， ()f x ()0,∞+若函数的最小值为，则有，∴，， ()f x x a ()≥f x a x()f x ax ≥()0f x ax -≥令，即的最小值为，()()h x f x ax =-()()1e ln ax x ax h x x ax xf -+=--=0由第（1）问知，当且仅当时，取最小值，1x =()1ex g x x -=-()10g =∴当且仅当时，取得最小值， ln 1ax x -=()ln g ax x -0又∵，()()()l 1l 1n 1n n e e ln ln ln ee ax ax ax x x g ax x ax x x ax x ax h x x-----=--=+-=+-=∴只需令有解，即有解， ln 1ax x -=ln 1x a x+=令，，则， ()ln 1x H x x+=()0,x ∈+∞()()221ln 1ln x x x x H x x x ⋅-+'==-当时，，在区间上单调递增， ()0,1x ∈()2ln 0xH x x '=->()H x ()0,1当时，，在区间上单调递减， ()1,x ∈+∞()2ln 0xH x x'=-<()H x ()1,+∞∴， ()()ln 111x a H x H x+==≤=综上所述，若函数的最小值为，则的最大值为. ()f x xa a 1【点睛】在导数压轴题中，常常会使用前问的结论或某一步构造的函数，解决后面的问题.本题第（2）问中直接求导分析的单调性较为困难，这里使用了换元思想，借助第()()1e ln ax x ax h x x ax xf -+=--=（1）问构造的，使，以达到简化运算的目的.()1ex g x x -=-()()ln g ax x h x -=。
湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高三上学期月考(一)数学试题(原卷版)
（2）求 .
18.设各项均不为零的数列 的前 项和为 ，且对于任意 ，满足 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前99项和.
19.如图，在三棱锥 中，侧棱 底面 ，且 ，过棱 的中点 ，作 交 于点 ，连接 .
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，三棱锥 的体积是 ，求直线 与平面 所成角的大小.
11.如图，直线 与半径为1的圆 相切于点 ，射线 从 出发绕点 逆时针方向旋转到 ，在旋转过程中， 交 于点 ，设 为 （其中 ），射线 扫过的圆 内部的区域（阴影部分）的面积为 ，则下列说法正确的有（）
A.
B.函数 的单调递增区间为
C.函数 图象 对称中心为
D.函数 在 处的瞬时变化率最大
12.已知数列 满足 ，且对任意的正整数 ，都有 ，则下列说法正确的有（）
（1）在一次训练中，使用B型号炮弹，求q满足什么条件时，才能使得至少有一发炮弹命中目标飞行物的概率不低于 ；
（2）若 ，试判断在一次训练中选用A型号炮弹还是B型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大？并说明理由．
21.已知椭圆 左焦点为 ，点 到椭圆 上的点的距离最小值是1，离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
A. B.数列 是等差数列
C. D.当 为奇数时，
三､填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13.已知两圆 ，若圆 与圆 有且仅有两条公切线，则 的取值范围为__________.
14.在等差数列 中，若 ，且数列 的前 项和 有最大值，则使 成立的正整数 的最大值是__________.
（2）设点 是椭圆上关于 轴对称的两点， 交椭圆 于另一点 ，求 的内切圆半径的范围.
湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高三上学期月考(二)数学试题(解析版)
故答案为：
15.用符号 表示不超过 的最大整数（称为 的整数部分），如 ，已知函数 有两个不同的零点 ，若 ，则实数 的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】函数 有两个不同的零点即函数 与函数 的图象有两个不同交点，分类讨论数形结合可得结果.
【详解】函数 有两个不同的零点 ，
即函数 与函数 的图象有两个不同交点，
故选：ABD
10.已知函数 ，则（）
A.函数 的最小正周期为 B. 为函数 的一条对称轴
C.函数 的最小值为1，最大值为2D.函数 在 上单调递减
【答案】BC
【解析】
【分析】根据给定条件利用周期定义、对称性性质判断选项A，B；换元借助二次函数最值判断选项C；利用复合函数单调性判断选项D作答.
【详解】因为 ，所以 ，A错误；
且 ，
由 知 且 ，故 的充要条件是 为纯虚数，
故选：D．
4.如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为 ，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点 到容器底部的距离分别是10和16，则容器内液体的体积是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用补体法可求液体的体积.
同理可得其余各点坐标， ， ， ， ， ，
对于A中， ，故A正确；
对于B中， ，故B正确；
对于C中， ， ， ，
所以 ，故C错误；
对于D中， ， ，所以 在 方向上的投影为 ，
又因为 ，所以 在 方向上的投影，向量为 ，故D正确.
故选：C.
6.已知函数 的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为 ，将 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象.若函 的图象在区间 上是增函数，则 的取值范围为（）
2022-2023学年湖南省长沙市第一中学高三上学期月考(一)数学试题(解析版)
【解析】
【详解】当E,F排在前三位时， =24,当E,F排后三位时， =72，当E,F排3，4位时， =24，N=120种，选D.
6.函数 （ 且 ）在一个周期内的图象如图所示，将函数 图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，则 （）
A. B.1C.－1D.
（1）若点 与点 重合，求 的值；
（2）求五边形 面积 的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理求出 ，再利用正弦定理即可得出答案；
（2）根据题意可得 ，则 ，设 ，则 ，根据三角形的面积公式结合三角函数的性质即可得出答案.
【小问1详解】
若点P与点C重合，连接 ，
，
在 中， ，
7.在三棱锥 中， 平面ABC， ， 与 的外接圆圆心分别为 ， ，若三棱锥 的外接球的表面积为 ，设 ， ，则 的最大值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题可得 ，然后利用球的性质可得 ，进而可得 ，再利用基本不等式即求.
【详解】∵ 平面ABC，
∴ ，
则 为直角三角形，其外心 为PB的中点， 的外心 ，
5.《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务 必须排在前三位，且任务 、 必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有
A.240种B.188种C.156种D.120种
（1）记 ，写出 ，并求出数列 的通项公式；
（2）求数列 的前2022项和 .
【答案】（1） ， ，
湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高三上学期月考卷(二)-数学答案
长沙市一中2023届高三月考试卷(二)数学参考答案一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D B C B A B 二、选择题: 本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得 0 分.题号 9 10 11 12 答案 ABD BC BCD AC 三、填空题 13. 54414. ()()22112x y -+-=15.ln 3e ln 2e126m <≤ 16. 2 四、解答题17.【解析】(1) 由正弦定理得a c a bb a c--=+, 整理得222a b c ab +-=, 由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==, 又(0,)C π∈, 则3C π=;(2) 由面积公式得113sin 322ab C ab ==解得4ab =, 又CD 是ACB ∠的角平分线, 则 11sin sin 2626ACD BCDABCSSCA CD CB CD S ππ+=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=, 故121()3,63232a b a b ⋅⋅+⋅=+=2222()31081296c a b ab a b ab ∴=+-=+-=-=, 则46c =.18.【解析】 (1) 由已知得2122n n n a a a ++-+=, 即()()2112n n n n a a a a +++---=,{}2114,n n a a a a +-=∴-是以 4 为首项, 2 为公差的等差数列.14(1)222n n a a n n +∴-=+-⨯=+,当2n ≥时，1112221()()...()22(1)...222n n n n n a n a a a a a a n n a n ---=++++-+=+-++=-+⨯+ 当1n =时，12a =也满足上式，所以2n a n n =+ (2) ()2cos (1)(1)(1)n n n n b a n n n n n π==-+=-+. 当n 为偶数时,(2)12233445(1)(1)2(24)2n n n T n n n n n +=-⨯+⨯-⨯+⨯---++=+++=当n 为奇数时,12233445(1)(1)n T n n n n =-⨯+⨯-⨯+⨯-+--+21(1)(1)(1)(1)(1)22n n n n T n n n n --++=-+=-+=-所以2(2), , 2(1),. 2n n n n T n n +⎧⎪⎪=⎨+⎪-⎪⎩为偶数为奇数 19.【解析】(1)三棱柱111ABC A B C -为直棱柱,1BB ∴⊥平面1,ABC BB BC ∴⊥. 又1111,,BC BA BB BA B BB ⊥⋂=⊂平面111,ABB A BA ⊂平面11ABB A ,BC ∴⊥平面11ABB A , 所以BC AB ⊥.(2) 1,BC BA BB ⊥⊥平面BAC ,1,,BC BA BB ∴两两垂直,以B 为坐标原点,1,,BB BC BA 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴, 建立如图所示空间直角坐标系, 设 BC a =.1111111111222232323A CEA A ABC ABC V V SAA a --⎛⎫==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭, 所以1a =.易知平面ABE 的一个法向量为 (0,1,0)BC =, 设平面ABP 的一个法向量为(,,)x y z =m ,(0,0,2),(0,0,0),(0,1,0),(1,0,1)A B C E , 所以(0,0,2)BA =, 设EPECλ=, (1,,1)BP BE EC λλλλ=+=--,则20,(1)(1)0,BA z BP x y z λλλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩m m 令x λ=, 得1,0y z λ=-=, 所以(,1,0)λλ=-m , 二面角P AB E --的大小为30︒,则||cos30||||BC BC ︒⋅==m m ,所以12λ=(负值舍去),所以存在点P ,当EP EC =时, 二面角P AB E --的大小为30︒. 20【【解析】(1)①批次M 芯片的次品率为()()()12359585711111160595820M P P P P =----=-⨯⨯=⎡⎤⎣⎦ ②设批次M 的芯片智能自功检测合格为事件A , 人工抽检合格为事件B ,由已知得98119(),()111002020M P A P AB P ==-=-=, 则工人在流水线进行人工抽检时, 抽检一个芯片恰为合格品为事件BA ∣, ()1910095()()209898P AB P B A P A ==⨯=∣. (2) 零假设为0H : 芯片批次与用户对开机速度满意度无关联.根据列联表得222()100(1058230)10.677.879.()()()()40601288n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯因此，依据0.005α=的独立性检验，我们推断此推断0H 不成立，即认为芯片批次与用户对开机速度满意度有关联.此推断犯错误的概率不大于0.005.21.【解析】 (1) 由题意可知直线AM 的方程为:1)26y x -=-,即20x +=,当0y =时, 解得2x =-, 所以2a =,椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点1,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭, 可得213142b +=, 解得22b =, 所以C 的方程: 22142x y +=. (2) 证明: 设()()1122,,,P x y Q x y ,由题意得直线PQ 斜率不为零, 设:PQ l x my t =+, 代入到椭圆,由22142x my tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22()240my t y ++-=，即222(2)240m y mty t +++-=所以12221222,24,2mt y y m t y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩由16AP AQ k k =-, 得12121226y y x x ⋅=-++, 即()()12126220y y x x +++=,所以()()12126220y y my t my t +++++=, 所以()()2212126(2)(2)0m y y m t y y t ++++++=,所以()22222426(2)(2)022t mt m m t t m m --+++++=++, 化简得220t t +-=, 所以1t =或2t =-(舍去), 所以:1PQ l x my =+过定点()1,0S ,,MD PQ D ⊥为垂足,D ∴在以MS 为直径的圆上,MS的中点为T ⎛ ⎝⎭,又(2,0)A -,所以|||AT AD ==. 即||AD的最大值为2. 22.【解析】 (1)()f x 的定义域为1(,),()e x a f x a x a'-+∞=-+, 当0a 时,()0,()f x f x '<无极值. 故0a >.设()f x 的极值点为1x , 则111e 0x a x a-=+, 易知1x 为极小值点, 且()()111e ln 10x f x a x a =-+-=. 则()111ln 1x a x a-+=+, 令1t x a =+, 设1()ln 1t t tϕ=--, 则()t ϕ单调递减, 且(1)0ϕ=, 故111,e 1x x a a +==, 解得10,1x a ==. 经检验,1a =时满足题意, 即实数a 的值为1 . (2) ()f x 的定义域为1(,),()e x a f x a x a'-+∞=-+, 当1a =时,由(1)知00x =, 则()0020f x x +=, 当01a <<时，'()f x 单调递增，且''11(0)0,(ln )1ln f a f a a a a=-<-=--，设()ln h x x x =-，则'1()1h x x =-, 故()h x 在()0,1x ∈单调递减, 即()(1)1h x h ≥=, 所以1(ln )10ln f a a a '-=->-,根据零点存在性定理, 知()f x '存在唯一的0(0,ln )x a ∈-. 此时()()0000012ln 21f x x x a x x a+=-++-+, ()()000000011,2ln 1211x a x f x x x x x +<+∴+>-++-+, 设2111()ln(1)21(0),()20,()1(1)1g x x x x g x g x x x x'=-++->=--+>+++单调递增,()(0)0g x g >=, 则 ()0020f x x +> 当1a >时,()f x '单调递增, 且I 1(0)0,(1)e 10a f a f a a a''-=->-=-<, 根据零点存在性定理, 存在唯一的0(1,0)x a ∈-, 此时有()()000002e ln 21x f x x a x a x +=-+--,由()0001e 0xf x a x a'=-=+, 可得:()00ln ln x a a x +=--, 所以1a >时, ()00000002e ln 21e 10x x f x x a x x x +>++-->-->, 综上, 当0a >时,()f x 存在唯一极值点0x , 为极小值点, 且 ()0020f x x +.。
湖南省长沙市第一中学2023届高三一模数学试题(3)
一、单选题二、多选题1.若曲线在点处的切线与直线平行，且对任意的，不等式恒成立，则实数m 的最大值为（ ）A．B．C．D．2. 2023年“中华情·中国梦”中秋展演系列活动在厦门举办，包含美术、书法、摄影民间文艺作品展览，书画笔会，中秋文艺晚会等内容．假如在美术、书法、摄影民间文艺作品展览中，某区域有2幅不同的美术作品、3幅不同的书法作品、2幅不同的摄影作品，将这7幅作品排成一排挂在同一面墙上，则美术作品不能挂两端且摄影作品不能相邻的概率为（ ）A．B．C．D．3. 已知函数，若方程有四个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A．B．C．D．4. 已知，，，则A．B．C．D．5. 已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．6.若，则函数有（ ）A ．最小值1B ．最大值1C．最小值D．最大值7. 已知某圆锥的高为，其侧面展开图为半圆，则该圆锥底面圆的半径为（ ）A．B．C．D．8. 已知一个圆锥的底面圆面积为，侧面展开图是半圆，则其外接球的表面积等于（ ）A．B．C．D．9. 下列命题中，真命题有（ ）A ．若随机变量，则B ．数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的分位数是8.5C ．若随机变量，，则D．若事件，满足且，则与独立10.已知函数满足，其图象向右平移个单位后得到函数的图象，且在上单调递减，则（ ）A．B．函数的图象关于对称C ．可以等于5D ．的最小值为211. 已知向量，，则下列命题正确的是（ ）A ．若，则B．存在，使得湖南省长沙市第一中学2023届高三一模数学试题(3)湖南省长沙市第一中学2023届高三一模数学试题(3)三、填空题四、解答题C ．与共线的单位向量只有一个为D ．向量与夹角的余弦值范围是12. 已知正数a ，b 满足，则下列说法一定正确的是（ ）A．B．C．D．13. 当时，函数的最小值为1，则________．14.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P 在C 上，直线PF 2与y 轴交于点Q ，点P 在线段上，的内切圆的圆心为，若为正三角形，则=___________，C 的离心率的取值范围是___________．15. 若复数z 满足，则z 对应的点位于第_________象限.16. 已知椭圆：的右焦点为，过的直线交于，两点.(1)若直线垂直于轴，求线段的长；(2)若直线与轴不重合，为坐标原点，求面积的最大值；(3)若椭圆上存在点使得，且的重心在轴上，求此时直线的方程.17. 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：.18.已知函数．(1)判断函数的单调性；(2)已知，若存在时使不等式成立，求的取值范围．19.已知抛物线的焦点为F ，点F 关于直线的对称点恰好在y 轴上．(1)求抛物线E 的标准方程；(2)直线与抛物线E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，若，求的最大值．20. 如图，已知A 、B 为椭圆和双曲线的公共顶点，P 、Q 分别为双曲线和椭圆上不同于A 、B 的动点，且．设AP 、BP 、AQ 、BQ 的斜率分别为k 1、k 2、k 3、k 4．（1）求证：；（2）求k 1+k 2+k 3+k 4的值；（3）设F 1、F 2分别为双曲线和椭圆的右焦点，若PF 1∥QF 2，求k 12+k 22+k 32+k 42的值．21. 已知抛物线上一点，抛物线的焦点在以为直径的圆上（为坐标原点）.(1)求抛物线的方程；(2)过点引圆的两条切线、，切线、与抛物线的另一交点分别为、，线段中点的横坐标记为，求实数的取值范围.。
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长沙市一中2020届高三月考试卷(一）
数学（理科）
时量：120分钟 满分:150分
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={3
|),(x y y x =}，A={x y y x =|),(}，则B A 的元素个数是A. 4 B. 3
C. 2
D. 1
2.已知i 为虚数单位，R a ∈，若复数i a a z )1(-+=的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，且
5=⋅z z ,则=z
A. 2-i
B.-l + 2i
C.-1-2i
D.-2+3i
3.设R x ∈，则“1<2
x ”是“1<lg x ”的 （B) A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知向量a=(l ，0)，b=(-3,4)的夹角为θ,则θ2sin 等于 A. 257-
B. 257
C. 2524-
D. 25
24
5.设4
3
432,24log ,18log ===c b a ，则c b a ,,的大小关系是
A. a<b<c
B. a<c<b
C. b<c<a
D. c<b<a
6.函数||lg )33()(x x f x
x
-+=的图象大致为 （D)
7.运行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为101，则判断框中可以填 A. i>200? B. i>201? C. i>202? D. i>203?
8.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动
物 (鼠、牛、
虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位
同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有 A. 50 种 B. 60 种 C. 70 种
D. 90 种
9.将函数)62sin(2)(π
-
=x x f 的图象向左平移
6
π
个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是(C) A.函数)(x g 的最小正周期是2
π
B.函数)(x g 的图象关于直线12
π
-=x 对称
C.函数)(x g 在)2
,6(π
π上单调递减 函数)(x g 在)6
,
0(π
上的最大值是1
10.若函数x x f ln )(=与a x x x g ++=3)(2
两个函数的图象有一条与直线x y =平行的公共切线，则=a
A.-1
B. 0
C. 1
D. 3 11.设函数⎩⎨
⎧=为无理数
为有理数x x x f ,0,1)(，则关于函数)(x f 有以下五个命题：
①1))((,=∈∀x f f R x ;
②)()()(,,y f x f y x f R y x +=+∈∃; ③函数)(x f 是偶函数； ④函数)(x f 是周期函数；
⑤函数)(x f 的图象是两条平行直线.
12.已知三棱锥D —ABC 的四个顶点在球0的球面上，若AB=AC=BC=DS = DC=1，当三棱锥
D-ABC 的体积取到最大值时，球0的表面积为 A.
35π B. π2 C. π5 D. 3
20π
二、填空题:本大题共4小题.每小题5分，共20分。
把各题答案的最简形式写在题中的横线上。
13.已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()3(x f x f =+，且当)2
3
,0[∈x 时，2
)(x x f -=，则=)2
11(f 14.已知△ABC 是等腰直角三角形，|AC|=|BC| =1，)(2CB CA CP +=，则=⋅)BP AP .
15.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有己知三边求兰角形面积的方法以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积。
”如果把
以上这段文字写成公式就是)]2
([412
2222b c a c a S -+-=，其中a,b,c 是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若
sin C=2sin AcosB ，且b 2
,2,c 2
成等差数列，则△ABC 面积S 的最大值为
5
5
2. 16.若),0(,),,0(21e x x e m ∈∃∈∀，且21x x ≠，使得22112
ln ln 2)2(x ax x ax m -=-=+-，则实数a 的取值
范围是 （e 为自然对数的底数）.
三、解答题:本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.(本小题满分12分)
已知△ABC 是的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,满足b
c
b a B A 2cos cos =
+且4=b . (1)求角B ；
(2)求△ABC 周长的最小值. 18.(本小题满分12分）
已知四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是等腰梯形，AB//CD ，AC∩BC=0， P B⊥AC，PA= PB=AB=2CD=22，AC=3. (1)证明：平面PBD 丄平面ABCD ；
(2)点E 是棱PC 上一点，且OE//平面PAD,求二面角E —0B —A 的正弦值. 19.(本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C: )0>,0>(122
22b a b
y a x =+左、右焦点分别为F1,F2 ,P 为椭圆C
上一点，且PR 垂直于x 轴， 连结并延长交椭圆于另一点Q ，设F 1λ=.
(1)若点P 的坐标为(1，
2
3
)，求椭圆C 的方程； (2)若43≤≤λ,求椭圆C 的离心率的取值范围.
20.(本小题满分12分）
某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了 100天，这五家“农家乐”的收费榇准互不相同，得到的统计数据如下表，x 为收费标准(单位:元/日）为人住天数(单位:天），以频率作为各自的“人住率”，收费标准x 与y 人
住率、的散点图如图.
(1)若从以上五家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记ξ为“入住率”超过0.6的农家乐的个数，求ξ的概率分布列;
(2)令x z ln =，由散点图判断a x b y
ˆˆˆ+=与a z b y ˆˆˆ+=哪个更合适于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程;( b a
ˆ,ˆ的结果精确到0.1) (3)根据第(2)问所求的冋归方程，试估计收费标准为多少时，100天销售额L 最大? (100天销售额L= 100×入住率×收费标准x ） 21.(本小题满分12分）
已知函数)0<(1)ln()(a a x x x f ++=.
(1)若函数)(x f 在定义域上为增函数，求a 的取值范围； (2)证明：cosx e <)(x
+x f .
(二)选考题:共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程θρcos 6=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标
系，直线l 的参数方程为t t y t x (sin 1,
cos 2⎩
⎨⎧+-=+=αα为参数）.
(1)若2
π
α=
，求曲线C 的直角坐标方程以及直线/的极坐标方程；
(2)设点P(2,-1)，曲线C 与直线l 交于A ，B 两点，求2
2
||||PB PA +的最小值. 23. (本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知|1||22|)(-++=x x x f 的最小值为t . (1)求t 的值；
(2)若实数b a ,满足t b a =+2
222，求2
24
1b
a +的最小值，
数学（理科）
一、选择题：
1.B
2.A
3.B
4.C
5.D
6.D
7.C
8.C
9.C 10.B 11.B 12.A 二、填空题： 13.
4
1 14.4 15.
5
5
2 16.
)<a e
5
e ≤ 17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.。