第十二章变异数分析
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8
甲 乙丙 商店數 10 10 10 平均數 46 42 50 標準差 5 5 5
9Байду номын сангаас
• (1) 檢定甲、乙兩種包裝設計 平均銷售量是否有顯著差異?
• (2) 檢定甲、丙兩種包裝設計 平均銷售量是否有顯著差異?
• (3) 檢定乙、丙兩種包裝設計 平均銷售量是否有顯著差異?
10
(1) 甲、乙兩組比較
樣本標準差 s1
s2
si
‧‧‧
Ak
‧‧‧
y k1
yk2
‧‧‧
‧
‧
‧
‧
‧
‧
‧ ‧ ‧ yknk
yk
‧‧‧
y
sk
s
‧‧‧
18
一因子模式(Ⅰ)
yij i ij
19
其中
(1) yij 是因子A 在i第 個水準下第 j 個實驗觀察值； (2) i 是因子A 在i第 個水準下的平均數；
iid
(3) ij 是誤差項(不可控因子)，並假設ij ～ N(0, 2 )；
i1
26
第i 組的變異
SSi ( yi1 yi )2 ( yi2 yi )2 ( yini yi )2
ni
( yij yi )2 (ni 1)si2
j 1
27
組內平方和(或殘差平方和)
k ni
W SSE SS1 SS2 ... SSk
( yij yi )2
i1 j1
t 46 42 46 42 5 4 1.7889
sP
11 10 10
5 1 1 10 10
5
11
甲、乙兩種包裝設計 平均銷售量沒有顯著差異
| t | 1.7889 t18,0.025 2.1009
12
(2) 甲、丙兩組比較
t 46 50 46 50 5 4 1.7889
3
一對對做比較
• 也許初學者會想這有什麼困難呢？ 只要一對對做比較，
• 先比較甲、乙兩組有無差異， 再比較甲、丙有無差異，
4
• 如果做兩次的一對對平均數的比較 都沒有差異， 那甲、乙、丙三家廠商輪胎平均壽命 就沒有差異了，
5
• 但問題在於每一次做檢定時， 作決策必有犯錯的風險 (即有犯錯機會，如型I、型II誤差)，
83.325
34
組間平方和
B ( yi y)2 n1( y1 y)2 n2 ( y2 y)2 n3( y3 y)2 n4 ( y4 y)2
=10[(82.6-83.325)2+(84.9-83.325)2+(79.1-83.325)2+(86.783.325)2] =322.475
MSA MSE
30
例12.2 輪胎平均壽命
• 設陽明貨運公司想從甲、乙、丙、丁 四家輪胎廠商中選一家廠商採購輪胎， 各從四家廠商隨機抽樣10個輪胎做測試
• 試問此四家廠商輪胎平均壽命 是否有顯著差異？( = 0.05)
31
表12.3 四種廠牌輪胎壽命
廠牌
壽命
甲 y1 85 83 75 92 83 82 80 78 84 84 乙 y2 76 88 74 79 86 89 95 88 84 90 丙 y3 85 82 77 84 66 81 79 76 78 83 丁 y4 83 91 92 88 85 84 75 89 93 87
28
組間平方和(B) (或因子A的平方和(SSA))
B SSA n1(y1 y)2 n2(y2 y)2 ... nk (yk y)2
k
=
ni
(
yi
y)2
k
ni ˆ
2 i
i1 j1
i1 j1
29
F檢定
F
B /( k1) W /( N k )
SSA /( k1) SSE /( N k )
6
• 例如上述做2次比較， 如每次訂的顯著水準是0.05， 則2次合計後犯型I誤差是多少，
• 就無法真正算出， 可能會高達0.05 + 0.05 = 0.10也不一定。
7
例12.1、
• 有甲、乙、丙三種包裝設計， 比較兩兩組間平均銷售量 是否有顯著差異?
• 各隨機找10家商店銷售， 結果甲、乙、丙的 樣本平均銷售量與標準差分別如下
乙、丙兩種包裝設計 平均銷售量有顯著差異 | t | 3.5776 t18,0.025 2.1009
16
12.2 一因子模式
17
一因子的配置
A1 y11 y12
‧ ‧ ‧
y1n1
樣本平均數 y1
A2 y 21 y 22
‧ ‧ ‧
y 2n2 y2
Ai y i1 yi2
‧
y ij
‧
y ini yi
sP
11 10 10
5 1 1 10 10
5
13
甲、丙兩種包裝設計 平均銷售量沒有顯著差異
| t | 1.7889 t18,0.025 2.1009
14
(3) 乙、丙兩組比較
t 42 50 42 50 5 8 3.5776
sP
11 10 10
5 1 1 10 10
5
15
(4) ni 是因子A 在i第 個水準下的樣本數。
20
變異數分析(ANOVA)
• 用來檢定 k 組母體平均數是否相等問題， 寫成數學式子是檢定
HH10
: :
1 2 k 不是所有i都相等
21
對誤差項我們有3個基本假設：
(1) 常態性(各個誤差取自常態分配) (2) 均質性(各個誤差變異數相等) (3) 獨立性(各個誤差間無相關)
32
變異數分析
H0 : 1 2 k
H1
:
不是所有i都相等
33
y1 82.6 y2 84.9 y3 79.1 y4 86.7
S1=4.5265 S2=6.6575 S3=5.5066 S4=5.3135
y n1y1 n2 y2 n3 y3 n4 y4 n1 n2 n3 n4
y1 y2 y3 y4 4
22
一因子模式(Ⅱ)：
yij i ij
23
平均數是否有顯著差異？ 即檢定
H0 : 1 2 ... k
H0 :1 2 ... k 0
24
如果虛無假設H0 是對的話，那麼各組樣本平均數yi 應都很"接近"
y1 y2 yk y
25
式很大時，就應棄卻H0
k
ˆi2 ( y1 y)2 ( y2 y)2 ( yk y)2
第十二章 變異數分析
陳順宇 教授 成功大學統計系
1
• 變異數分析是用來 檢定多組平均數是否相等的問題，
• 不是在檢定變異數相等的問題
2
12.1 變異數分析簡介
• 在第九章例9.6我們檢定甲、乙 兩家公司輪胎平均壽命是否有顯著差異？
• 如果要問的是甲、乙、丙、丁 四家公司輪胎平均壽命有無顯著差異， 那要如何進行呢？
甲 乙丙 商店數 10 10 10 平均數 46 42 50 標準差 5 5 5
9Байду номын сангаас
• (1) 檢定甲、乙兩種包裝設計 平均銷售量是否有顯著差異?
• (2) 檢定甲、丙兩種包裝設計 平均銷售量是否有顯著差異?
• (3) 檢定乙、丙兩種包裝設計 平均銷售量是否有顯著差異?
10
(1) 甲、乙兩組比較
樣本標準差 s1
s2
si
‧‧‧
Ak
‧‧‧
y k1
yk2
‧‧‧
‧
‧
‧
‧
‧
‧
‧ ‧ ‧ yknk
yk
‧‧‧
y
sk
s
‧‧‧
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一因子模式(Ⅰ)
yij i ij
19
其中
(1) yij 是因子A 在i第 個水準下第 j 個實驗觀察值； (2) i 是因子A 在i第 個水準下的平均數；
iid
(3) ij 是誤差項(不可控因子)，並假設ij ～ N(0, 2 )；
i1
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第i 組的變異
SSi ( yi1 yi )2 ( yi2 yi )2 ( yini yi )2
ni
( yij yi )2 (ni 1)si2
j 1
27
組內平方和(或殘差平方和)
k ni
W SSE SS1 SS2 ... SSk
( yij yi )2
i1 j1
t 46 42 46 42 5 4 1.7889
sP
11 10 10
5 1 1 10 10
5
11
甲、乙兩種包裝設計 平均銷售量沒有顯著差異
| t | 1.7889 t18,0.025 2.1009
12
(2) 甲、丙兩組比較
t 46 50 46 50 5 4 1.7889
3
一對對做比較
• 也許初學者會想這有什麼困難呢？ 只要一對對做比較，
• 先比較甲、乙兩組有無差異， 再比較甲、丙有無差異，
4
• 如果做兩次的一對對平均數的比較 都沒有差異， 那甲、乙、丙三家廠商輪胎平均壽命 就沒有差異了，
5
• 但問題在於每一次做檢定時， 作決策必有犯錯的風險 (即有犯錯機會，如型I、型II誤差)，
83.325
34
組間平方和
B ( yi y)2 n1( y1 y)2 n2 ( y2 y)2 n3( y3 y)2 n4 ( y4 y)2
=10[(82.6-83.325)2+(84.9-83.325)2+(79.1-83.325)2+(86.783.325)2] =322.475
MSA MSE
30
例12.2 輪胎平均壽命
• 設陽明貨運公司想從甲、乙、丙、丁 四家輪胎廠商中選一家廠商採購輪胎， 各從四家廠商隨機抽樣10個輪胎做測試
• 試問此四家廠商輪胎平均壽命 是否有顯著差異？( = 0.05)
31
表12.3 四種廠牌輪胎壽命
廠牌
壽命
甲 y1 85 83 75 92 83 82 80 78 84 84 乙 y2 76 88 74 79 86 89 95 88 84 90 丙 y3 85 82 77 84 66 81 79 76 78 83 丁 y4 83 91 92 88 85 84 75 89 93 87
28
組間平方和(B) (或因子A的平方和(SSA))
B SSA n1(y1 y)2 n2(y2 y)2 ... nk (yk y)2
k
=
ni
(
yi
y)2
k
ni ˆ
2 i
i1 j1
i1 j1
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F檢定
F
B /( k1) W /( N k )
SSA /( k1) SSE /( N k )
6
• 例如上述做2次比較， 如每次訂的顯著水準是0.05， 則2次合計後犯型I誤差是多少，
• 就無法真正算出， 可能會高達0.05 + 0.05 = 0.10也不一定。
7
例12.1、
• 有甲、乙、丙三種包裝設計， 比較兩兩組間平均銷售量 是否有顯著差異?
• 各隨機找10家商店銷售， 結果甲、乙、丙的 樣本平均銷售量與標準差分別如下
乙、丙兩種包裝設計 平均銷售量有顯著差異 | t | 3.5776 t18,0.025 2.1009
16
12.2 一因子模式
17
一因子的配置
A1 y11 y12
‧ ‧ ‧
y1n1
樣本平均數 y1
A2 y 21 y 22
‧ ‧ ‧
y 2n2 y2
Ai y i1 yi2
‧
y ij
‧
y ini yi
sP
11 10 10
5 1 1 10 10
5
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甲、丙兩種包裝設計 平均銷售量沒有顯著差異
| t | 1.7889 t18,0.025 2.1009
14
(3) 乙、丙兩組比較
t 42 50 42 50 5 8 3.5776
sP
11 10 10
5 1 1 10 10
5
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(4) ni 是因子A 在i第 個水準下的樣本數。
20
變異數分析(ANOVA)
• 用來檢定 k 組母體平均數是否相等問題， 寫成數學式子是檢定
HH10
: :
1 2 k 不是所有i都相等
21
對誤差項我們有3個基本假設：
(1) 常態性(各個誤差取自常態分配) (2) 均質性(各個誤差變異數相等) (3) 獨立性(各個誤差間無相關)
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變異數分析
H0 : 1 2 k
H1
:
不是所有i都相等
33
y1 82.6 y2 84.9 y3 79.1 y4 86.7
S1=4.5265 S2=6.6575 S3=5.5066 S4=5.3135
y n1y1 n2 y2 n3 y3 n4 y4 n1 n2 n3 n4
y1 y2 y3 y4 4
22
一因子模式(Ⅱ)：
yij i ij
23
平均數是否有顯著差異？ 即檢定
H0 : 1 2 ... k
H0 :1 2 ... k 0
24
如果虛無假設H0 是對的話，那麼各組樣本平均數yi 應都很"接近"
y1 y2 yk y
25
式很大時，就應棄卻H0
k
ˆi2 ( y1 y)2 ( y2 y)2 ( yk y)2
第十二章 變異數分析
陳順宇 教授 成功大學統計系
1
• 變異數分析是用來 檢定多組平均數是否相等的問題，
• 不是在檢定變異數相等的問題
2
12.1 變異數分析簡介
• 在第九章例9.6我們檢定甲、乙 兩家公司輪胎平均壽命是否有顯著差異？
• 如果要問的是甲、乙、丙、丁 四家公司輪胎平均壽命有無顯著差異， 那要如何進行呢？