专题02 数的整除性

专题02 数的整除性

阅读与思考

设a，b是整数，b≠0，如果一个整数q使得等式a=bq成立，那么称a能被b整除，或称

b整除a，记作b|a，又称b为a的约数，而a称为b的倍数．解与整数的整除相关问题常用到以下知识：

1．数的整除性常见特征：

①若整数a的个位数是偶数，则2|a；

②若整数a的个位数是0或5，则5|a；

③若整数a的各位数字之和是3(或9)的倍数，则3|a(或9|a)；

④若整数a的末二位数是4(或25)的倍数，则4|a(或25|a)；

⑤若整数a的末三位数是8(或125)的倍数，则8|a(或125|a)；

⑥若整数a的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则11|a．

2．整除的基本性质

设a，b，c都是整数，有：

①若a|b，b|c，则a|c；

②若c|a，c|b，则c|(a±b)；

③若b|a，c|a，则[b，c]|a；

④若b|a，c|a，且b与c互质，则bc|a；

⑤若a|bc，且a与c互质，则a|b．特别地，若质数p|bc，则必有p|b或p|c．

例题与求解

【例1】在1，2，3，…，2 000这2 000个自然数中，有_______个自然数能同时被2和3整除，而且不能被5整除．

(“五羊杯”竞赛试题) 解题思想：自然数n能同时被2和3整除，则n能被6整除，从中剔除能被5整除的数，即为所求．

【例2】已知a，b是正整数(a＞b)，对于以下两个结论：

①在a＋b，ab，a－b这三个数中必有2的倍数；

②在a＋b，ab，a－b这三个数中必有3的倍数．其中( )

A．只有①正确B．只有②正确

C．①，②都正确D．①，②都不正确

(江苏省竞赛试题) 解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明．

【例3】已知整数13456ab 能被198整除，求a ，b 的值．

(江苏省竞赛试题)

解题思想：198=2×9×11，整数13456ab 能被9，11整除，运用整除的相关特性建立a ，b 的等式，求出a ，b 的值．

【例4】已知a ，b ，c 都是整数，当代数式7a ＋2b ＋3c 的值能被13整除时，那么代数式5a ＋7b －22c 的值是否一定能被13整除，为什么？

(“华罗庚金杯”邀请赛试题) 解题思想：先把5a ＋7b －22c 构造成均能被13整除的两个代数式的和，再进行判断．

【例5】如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”(例如：把86放在415左侧，得到86 415能被7整除，所以称86为415的魔术数)，求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数1a ，2a ，…，n a ，满足对任意一个正整数m ，在1a ，2a ，…，n a 中都至少有一个为m 的“魔术数”．

(2013年全国初中数学竞赛试题) 解题思想：不妨设7i i a k t =+(i =1，2，3，…，n ；t =0，1，2，3，4，5，6)至少有一个为m

的“魔术数”．根据题中条件，利用10k i a m +(k 是m 的位数)被7除所得余数，分析i 的取值．

【例6】一只青蛙，位于数轴上的点k a ，跳动一次后到达1k a +，已知k a ，1k a +满足|1k a +－k a |=1，我们把青蛙从1a 开始，经n －1次跳动的位置依次记作n A ：1a ，2a ，3a ，…，n a ．

⑴ 写出一个5A ，使其150a a ==，且1a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a >0；

⑵ 若1a =13，2000a =2 012，求1000a 的值；

⑶ 对于整数n (n ≥2)，如果存在一个n A 能同时满足如下两个条件：①1a =0；②1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0．求整数n (n ≥2)被4除的余数，并说理理由．

(2013年“创新杯”邀请赛试题) 解题思想：⑴150a a ==．即从原点出发，经过4次跳动后回到原点，这就只能两次向右，两次向左．为保证1a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a >0．只需将“向右”安排在前即可．

⑵若1a =13，2000a =2 012，从1a 经过1 999步到2000a ．不妨设向右跳了x 步，向左跳了y 步，则1999132012x y x y +=⎧⎨+-=⎩

，解得19990x y =⎧⎨=⎩可见，它一直向右跳，没有向左跳． ⑶设n A 同时满足两个条件：①1a =0；②1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0．由于1a =0，故从原点出发，经过(k －1)步到达k a ，假定这(k －1)步中，向右跳了k x 步，向左跳了k y 步，于是k a =k x －k y ，k x ＋k y =k －1，则1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0＋(22x y -)＋(33x y -)＋…(n n x y -)=2(1x ＋2x ＋…＋

n x )－[(22x y +)＋(33x y +)＋…＋(n n x y +)]=2(2x ＋3x ＋…＋n x )－()12

n n -．由于1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0，所以n (n －1)=4(2x ＋3x ＋…＋n x )．即4|n (n －1)．

能力训练

A级

1．某班学生不到50人，在一次测验中，有1

7

的学生得优，

1

3

的学生得良，

1

2

的学生得及格，

则有________人不及格．

2．从1到10 000这1万个自然数中，有_______个数能被5或能被7整除．

(上海市竞赛试题) 3．一个五位数398

ab能被11与9整除，这个五位数是________．

4．在小于1 997的自然数中，是3的倍数而不是5的倍数的数的个数是( ) A．532 B．665 C．133 D．798

5．能整除任意三个连续整数之和的最大整数是( )

A．1 B．2 C．3 D．6

(江苏省竞赛试题) 6．用数字1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的三位数中，是9的倍数的数有( ) A．12个B．18个C．20个D．30个

(“希望杯”邀请赛试题) 7．五位数abcde是9的倍数，其中abcd是4的倍数，那么abcde的最小值为多少？

(黄冈市竞赛试题)

8．1，2，3，4，5，6每个使用一次组成一个六位数字abcdef，使得三位数abc，bcd，cde，def能依次被4，5，3，11整除，求这个六位数．

(上海市竞赛试题)

9．173□是个四位数字，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9，11，6整除．”问：数学老师先后填入的这3个数字的和是多少？

(“华罗庚金杯”邀请赛试题)