专题02 数的整除性
专题02 数的整除性(含答案)
解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明．
【例3】已知整数 能被198整除，求 ， 的值．
(江苏省竞赛试题)
解题思想：198=2×9×11，整数 能被9，11整除，运用整除的相关特性建立 ， 的等式，求出 ， 的值．
【例4】已知 ， ， 都是整数，当代数式7 ＋2 ＋3 的值能被13整除时，那么代数式5 ＋7 －22 的值是否一定能被13整除，为什么？
⑵若 =13， =2 012，从 经过1 999步到 ．不妨设向右跳了 步，向左跳了 步，则 ，解得 可见，它一直向右跳，没有向左跳．
⑶设 同时满足两个条件：① =0；② ＋ ＋ ＋…＋ =0．由于 =0，故从原点出发，经过( －1)步到达 ，假定这( －1)步中，向右跳了 步，向左跳了 步，于是 = － ， ＋ = －1，则 ＋ ＋ ＋…＋ =0＋( )＋( )＋…( )=2( ＋ ＋…＋ )－[( )＋( )＋…＋( )]=2( ＋ ＋…＋ )－ ．由于 ＋ ＋ ＋…＋ =0，所以 ( －1)=4( ＋ ＋…＋ )．即4| ( －1)．
且a＋b＋c＞14．设＋86＝222n考虑到是三位数，依次取n＝1，2，3，4.分别得出的可能值为136，358，580，802，又因为a＋b＋c＞14．故＝358．
8．设N为所求的三位“拷贝数”，它的各位数字分别为a，b，c(a，b，c不全相等)．将其数码重新排列后，设其中最大数为，则最小数为．故N＝－＝(1a－c)．
①若 | ， | ，则 | ；
②若 | ， | ，则 |( ± )；
③若 | ， | ，则[ ， ]| ；
④若 | ， | ，且 与 互质，则 | ；
⑤若 | ，且 与 互质，则 | ．特别地，若质数 | ，则必有 | 或 | ．
数的整除知识点范文
数的整除知识点范文数的整除是数学中一个重要的概念和知识点，它在数论、代数、几何等领域都有广泛的应用。
本文将详细讨论数的整除的定义、性质、判定方法以及一些常见的相关概念和定理。
一、整除的定义和性质在数学中，如果一个整数a能够被另一个整数b整除（即a能够被b整除），则称a是b的倍数，b是a的约数。
用数学符号表示为：如果a是b的倍数，则记作b，a，读作“b整除a”或“a能被b整除”。
如果a不能被b整除，则记作b∤a，读作“b不整除a”或“a不能被b整除”。
整除具有以下几个基本的性质：1.对于任意整数a，a，a（即一个数能够整除它自身）。
2.如果a，b且b，c，则a，c（即如果a能够整除b，b能够整除c，那么a可以整除c）。
3.对于任意整数a，1，a且a，a（即1能够整除任何数，任何数整除它本身）。
4.如果a，b且b≠0，则，a，≤，b，（即如果一个数能够整除另一个非零数，那么它的绝对值要小于等于另一个数的绝对值）。
二、整除的判定方法和性质1.朴素整除判定法：要判断一个数a是否能够被另一个数b整除，可以用以下方法：（1）求出a的所有约数；（2）判断b是否为a的约数之一这种方法的时间复杂度是O(a)。
2.整除的性质：（1）如果a，b且a，c，则a，(bx+cy)，其中x和y是任意整数。
（2）如果a，b且a，c，则a，(b±c)。
（3）如果a，b且a，(b±c)，则a，c。
三、相关概念和定理1. 最大公约数和最小公倍数：最大公约数是指整数a和b的最大正约数，记作gcd(a, b)；最小公倍数是指整数a和b的最小正倍数，记作lcm(a, b)。
两者满足以下性质：（1）gcd(a, b) = gcd(b, a)；（2）如果a能够整除b，则gcd(a, b) = ，a；（3）gcd(a, b) * lcm(a, b) = ，a * b。
2.质因数分解定理：每个大于1的整数都可以唯一地分解为若干个质数的乘积。
数的整除知识点总结
数的整除知识点总结数的整除是数论中的一个基本概念，也是初等数学中的重要内容。
它与因数、倍数和约数等概念密切相关，对于解题和推理都有着重要的作用。
下面将对数的整除进行详细总结。
一、定义：如果整数a能够被整数b整除，即a/b是整数，那么称a是b的倍数，b是a的因数。
可以用数学表达式a=b*k来表示，其中k是整数。
二、性质：1.任何一个整数都是它自身的倍数，也是它自身的因数，即a是a的倍数，a是a的因数。
2.任何一个正整数都是1的倍数，即对于任何整数a，都有a是1的倍数。
3.任何一个整数都是它自身的因数，即对于任何整数a，都有a是a的因数。
4.如果a是b的倍数，b是c的倍数，那么a也是c的倍数，即若a是b的倍数且b是c的倍数，则a是c的倍数。
5.如果a是b的倍数，b是a的倍数，那么a和b是互为倍数，即a是b的倍数且b是a的倍数，则a和b互为倍数。
6.如果a是b的因数，b是c的因数，那么a也是c的因数，即若a是b的因数且b是c的因数，则a是c的因数。
三、判断一个数能否整除另一个数的方法：1.因式分解法：将被除数和除数都分解成质因数的乘积形式，然后进行比较。
如果被除数的质因数包含除数的质因数，并且对应质因数的指数均大于等于相应的质因数的指数，则被除数能够整除除数。
2.试商法：用除数去除被除数，如果商是整数且余数为0，则被除数能够整除除数，否则不能整除。
四、整除的性质：1.整除关系具有传递性，即如果a能够整除b，b能够整除c，则a 能够整除c。
2.整除关系具有反对称性，即如果a能够整除b，b能够整除a，则a 和b相等或互为相反数。
3.整除关系具有自反性，即任何一个数都能整除它本身。
4.整除关系具有非传递性，即如果a能够整除b，b能够整除c，但a 不能整除c。
例如：2能整除4，4能整除8，但2不能整除8五、整数的混合运算与整除的关系：1.若a整除b，b整除c，则a整除c。
2. 若a整除b，b整除c，则a整除bc。
数的整除性质
数的整除性质整数是我们日常生活中经常会接触到的概念，它们是自然数、负整数和零的总称。
在整数中，我们经常会遇到一种关系，那就是整除。
整除是指一个数能够被另一个数整除，也就是没有余数。
在本文中，我们将探讨数的整除性质，包括整除的定义、性质和应用。
一、整除的定义首先，我们需要明确整除的定义。
设a和b是两个整数，如果存在一个整数c，使得a=b×c，我们说a能被b整除，b能整除a，a是b的倍数，b是a的因数。
简而言之，整除就是没有余数。
例如，6能被3整除，因为6=3×2；而8不能被3整除，因为8÷3=2余2。
因此，8不是3的倍数，3不是8的因数。
二、整除的性质1. 传递性：如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。
证明：假设a=b×m，b=c×n，其中m和n是整数。
将第一个等式代入第二个等式中，得到a=(c×n)×m=c×(n×m)，即a能被c整除。
2. 反对称性：如果a能被b整除，且b能被a整除，则a等于b的相反数或零。
证明：假设a=b×m，b=a×n，其中m和n是整数。
将第一个等式代入第二个等式中，得到a=(a×n)×m=a×(n×m)。
那么，如果n×m等于1，也就是说a=a，那么a等于零；如果n×m等于-1，也就是说a=-a，那么a等于b的相反数。
3. 整除与加减法：如果a能被b整除，那么a加上或减去任意多个b后仍能被b整除。
证明：假设a=b×m，其中m是整数。
我们需要证明a+kb和a-kb都能被b整除，其中k是任意整数。
根据整数的加减法运算性质，a+kb=b×m+kb=b×(m+k)，a-kb=b×m-kb=b×(m-k)。
因此，a+kb和a-kb都能被b整除。
三、整除的应用整除的性质在数论和代数中有着广泛的应用。
小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析
小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析数的整除数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。
它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。
一、基本概念和知识1.整除——约数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。
记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作ba。
如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a 的约数。
例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。
2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。
即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。
例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。
性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。
性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c 的积能整除a。
即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。
例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。
性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。
例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。
3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。
②能被5整除的数的特征：个位是0或5。
③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。
④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
数的整除性质技巧
数的整除性质技巧1.数的整除性质：1)若a整除b，b整除c，则a整除c。
（传递性）2)若a整除b且a整除c，则a整除b+c。
3)若a和b是正整数，且a整除b，那么a≤b。
4) 若a整除b，且c是任意整数，则a整除bc。
2.奇偶性质：1)若数a的个位数是偶数，则a整除22)若一个数是奇数，那么它的倍数一定是奇数。
3)若一个数是偶数，那么它的倍数一定是偶数。
3.除法性质：1) 若b整除a，且c是任意整数，则b整除ac。
2)若b整除a且b≠0，那么a除以b的商和余数唯一确定。
4.数位和性质：1)若数a的数位和是n，则a整除n。
2)若数a的数位和是9的倍数，那么a也是9的倍数。
3)若数a的数位和是3的倍数，那么a也是3的倍数。
5.数和运算性质：1)若a整除c且b整除c，则a+b整除c。
2)若a整除c且b整除c，则a-b整除c。
3)若a和b都整除c，则a+b也整除c。
4) 若a整除c且b整除c，则ax + by也整除c，其中x和y是任意整数。
6.乘法性质：1)若数a整除c且数b整除c，则a×b整除c。
2) 若数a整除bc且a和b互质，那么a整除c。
3)若数a整除b且数b整除a，则a和b的最大公约数等于其中的较小数。
7.倍数性质：1)若a整除b，并且b是a的倍数，那么a整除b的任意倍数。
2)一个数是另一个数的倍数时，它们的公倍数一定也是这个数的倍数。
8.整除和余数的关系：1)如果数a是数b的整数倍，那么a和b的余数相同。
2)如果数a和b除以数c的余数相同，那么a-b是c的倍数。
以上是一些常用的数的整除性质技巧，通过灵活运用这些技巧可以在解题过程中减少计算量，提高解题效率。
在实际运用中，我们可以根据题目的要求和条件选择相应的技巧，以求解问题。
同时，深入理解这些性质背后的原理，能够更好地理解数的整除关系，为数的整除性质的使用提供更大的帮助。
五年级奥数专题02：数的整除性
数的整除性训练目标：数的整除是数论中最初步的知识，是学习约分、通分和进行分数四则运算的基础。
我们在这一讲要学习掌握整除的数的特征，并能灵活的运用。
【能被3（或9）整除的数的特征】各位数字之和能被3（或9）整除。
【能被4（或25）整除的数的特征】末尾两位数能被4（或25）整除。
【能被8（或125）整除的数的特征】末尾三位数能被8（或125）整除。
【能被7、11、13整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字所表示的数，与末三位以前的数字所表示的数的差（大减小的差）能被7、11、13整除时，这个数就能被7、11、13整除。
【能被11整除的数的特征】，还可以这样叙述：一个数，当且仅当它的奇数位上数字之和，与偶数位上数字之和的差（大减小）能被11整除时，则这个数便能被11整除。
典型例题：例1：有一个四位数7A2B能被2,3,5整除，这个四位数是多少？例2：在一个五位数25□4□的□内填什么数字，才能使它既能被3整除，又能被5整除？例3：有一个四位数7AA1能被9整除，A代表什么数字？这个四位数是几？例4：在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除。
在符合这些条件的六位数中，最小是多少？例5：能被11整除，首位数字是4，其余各位数字都不相同的最大及最小的六位数分别是多少？基础练习：1、从0,1,2,4,5,7中，选出4个数，排列成能被2,3,5整除的四位数，其中最大的是多少？2.四位数8A1B能被2,3,5整除，这个四位数是多少？3.有一个四位数3AA1，它能被9整除，请问A代表几？4.已知五位数A192B能被18整除，其中A比大3，求出这样的五位数。
5.一个五位数能被72整除，首尾两个数字不知道，千、百、十位上的数字分别是6、7、9，这个五位数是多少提高练习：1.有五筐苹果，质量分别为12kg,15kg,10kg,8kg和13kg,从中选出四张给小红和小张，小红的苹果的质量是小张的2倍，剩下的是哪一筐？2.已知整数5a6b7c8d9e能被11整除，那么a+b+c+d+e=?3.在358后面补上3个数字来组成一个六位数，使它能被4，5,9整除，这个六位数最小是多少？5.从1，2 ，3 ，4，5中选出4个数字组成一个四位数，使其能被3,5,7整除，这个数是多少？6.两个整数，他们的积能被和整除，就称为一对“好数”，例如70和30，那么在1,2,3……16，这16个整数中，有几对“好数”？7.超市里有六箱货物，分别重16,19,20,18,15,31千克，两顾客买走其中5箱货物，其中一个顾客买的货物的重量是另一个顾客的两倍，超市里剩下的那箱货物是多少千克？一、填空题1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____.2. 在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____.3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____.4. 能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____.5. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____.6. 所有能被3整除的两位数的和是______.7. 已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____.8. 如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是_____.9. 42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是_____.10. 从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行,从左向右1至11报数,报数为11的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数,报数为11的留下,其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至11报数,报到11的同学留下,其余同学出列,那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_____号.二、解答题11. 173□是个四位数字.数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字,所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？12．在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？13．在“改革”村的黑市上,人们只要有心,总是可以把两张任意的食品票换成3张其他票券,也可以反过来交换.试问,合作社成员瓦夏能否将100张黄油票换成100张香肠票,并且在整个交换过程中刚好出手了1991张票券？14．试找出这样的最小自然数,它可被11整除,它的各位数字之和等于13.二 数的整除性(B)年级 班 姓名 得分一、填空题1. 一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____或_____. 2. 123456789□□,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最小是_____. 3. 下面一个1983位数99199133 (3)44...4个个中间漏写了一个数字(方框),已知这个多位数被7整除，那么中间方框内的数字是_____.4. 有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数是_____.5. 有这样的两位数,它的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,它的两个数字之和也能被4整除.所有这样的两位数的和是____.6. 一个小于200的自然数,它的每位数字都是奇数,并且它是两个两位数的乘积,那么这个自然数是___.7. 任取一个四位数乘3456,用A 表示其积的各位数字之和,用B 表示A 的各位数字之和,C 表示B 的各位数字之和,那么C 是_____.8. 有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第五个数的末位数字是_____.9. 从0、1、2、4、5、7中，选出四个数，排列成能被2、3、5整除的四位数，其中最大的是_____. 10. 所有数字都是2且能被10066...6个整除的最小自然数是_____位数.二、解答题11. 找出四个互不相同的自然数,使得对于其中任何两个数,它们的和总可以被它们的差整除,如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小,那么这四个数里中间两个数的和是多少？12．只修改21475的某一位数字,就可知使修改后的数能被225整除,怎样修改？13．500名士兵排成一列横队.第一次从左到右1、2、3、4、5（1至5）名报数；第二次反过来从右到左1、2、3、4、5、6（1至6）报数，既报1又报6的士兵有多少名？14．试问,能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上,使得在任何5个相连的数中,都至少有两个数可被3整除？如果回答：“可以”，则只要举出一种排法；如果回答：“不能”，则需给出说明.———————————————答案——————————————————————1. 7已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之.设3+A+A+1=9,则A=2.5,不合题意.再设3+A+A+1=18,则A=7,符合题意.事实上, 3771÷9=419.2. 1这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差是0或是11的倍数,那么这个数能被11整除.偶数位上数字和是5+7=12,因而,奇数位上数字和2+□+9应等于12,□内应填12-2-9=1.3. 990 要同时能被2和5整除,这个三位数的个位一定是0.要能被3整除,又要是最大的三位数,这个数是990.4. 99960解法一:能被2、5整除,个位数应为0,其余数位上尽量取9,用7去除999□0,可知方框内应填6.所以,能同时被2、5、7整除的最大五位数是99960.解法二:或者这样想,2,5,7的最小公倍数是70,而能被70整除的最小六位是100030.它减去70仍然是70的倍数,所以能被2,5,7整除的最大五位数是100030-70=99960.5. 3367 先求出1~100这100个数的和,再求100以内所有能被3整除的数的和,以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和.(1+2+3+...+100)-（3+6+9+12+ (99)=(1+100)÷2⨯100-(3+99)÷2⨯33=5050-1683=33676. 1665 能被3整除的二位数中最小的是12,最大的是99,所有能被3整除的二位数如下:12,15,18,21,…，96，99 这一列数共30个数，其和为12+15+18+…+96+99=(12+99)⨯30÷2=16657. 96910或46915A691能被55整除,即此五位数既能被5整除,又能被11整除.所以B=0或5.当B=0五位数BA能被11整除,所以(A+9+0)-(6+1)=A+2能被11整除,因此A=9；当B=5时,同样可求出时,6910A=4.所以,所求的五位数是96910或46915.8. 90因为105=3⨯5⨯7,根据数的整除性质,可知这个六位数能同时被3、5和7整除。
数的整除性质
数的整除性质数的整除性质是数学中一个非常基础且重要的概念。
整除是指一个数能够被另一个数整除，即能够整除的数叫做除数，能够被整除的数叫做被除数。
在数的整除性质中，有一些基本的定理和规律，我们一起来探讨。
一、整除的定义在数学中，如果存在整数a和b，使得b乘以a得到的结果等于一个整数c，那么我们就说b能够整除c。
这个定义可以用符号表示为：b|c，读作“b整除c”。
例如，4能够整除12，我们可以表示为4|12。
二、整除的性质1. 传递性：如果a能够整除b，b能够整除c，那么a一定能够整除c。
例如，如果2能够整除4，4能够整除8，那么2一定能够整除8。
2. 自身整除：任何一个数都能够整除自身。
例如，5能够整除5。
3. 1整除任何数：1能够整除任何一个数。
例如，1能够整除8。
4. 零的整除性：任何一个数都能够整除0。
例如，任何数都能够整除0。
5. 任何一个数都能够整除1：任何一个数都能够被1整除。
例如，任何数都能够被1整除。
6. 如果a能够整除b，那么a能够整除b的倍数。
例如，如果3能够整除6，那么3一定能够整除6的倍数12。
7. 如果a能够整除b，那么b能够整除a的因数。
例如，如果2能够整除4，那么4一定能够整除2的因数。
三、整除和最大公因数最大公因数是指两个或多个整数中最大的能够整除这些整数的数。
最大公因数可以通过求解数的因数来得到。
例如，求解12和15的最大公因数，我们可以找到12的因数：1、2、3、4、6、12，15的因数：1、3、5、15，他们的公因数有1和3，其中最大的公因数是3。
最大公因数有以下的性质：1. 最大公因数是两个数的公因数中最大的一个。
2. 如果最大公因数为1，那么这两个数互质。
3. 如果最大公因数为a，那么这两个数的倍数中最大的一个为a。
四、整除与质数质数是指大于1的正整数，除了1和本身，没有其他的因数。
质数和整除有着密切的关系。
1. 质数只能被1和自身整除。
2. 任何一个数都可以被质数整除。
数的整除性与最大公约数知识点总结
数的整除性与最大公约数知识点总结在数学中，数的整除性与最大公约数是一个重要的概念。
了解和掌握这些知识点对于学习和解决数学问题至关重要。
本文将对数的整除性和最大公约数进行总结和讲解。
一、数的整除性数的整除性是指一个数能够被另一个数整除。
在数学中，我们常用符号“|”来表示整除。
例如，如果一个整数 a 能够被一个整数 b 整除，我们可以写作 a | b。
下面是数的整除性的一些基本性质：1. 如果 a | b 且 b | c，则 a | c。
这意味着如果一个数能整除另外两个数，那么它也能整除这两个数的和、差、积和商。
2. 如果 a | b 且 a | c，则 a | (xb + yc)。
这意味着如果一个数能整除另外两个数，那么它也能整除这两个数的任意整数线性组合。
3. 如果 a | b，则 -a | b。
这意味着如果一个数能整除另一个数，那么它的负数也能整除同样的数。
4. 0 | a，其中 a 是任意整数。
这意味着 0 能整除任意整数。
但要注意，0 不能被任何数整除，因为除以 0 是没有意义的。
二、最大公约数最大公约数，简称为最大公因数，是指两个或者多个数中最大的能够同时整除这些数的正整数。
最大公约数有多种求解方法，下面简单介绍两种常用的方法：1. 穷举法：列举出两个数的所有因数，然后找出它们的公共因数中的最大值。
这种方法适用于较小的数。
例如，求解 24 和 36 的最大公约数，列举它们的因数如下：24 的因数为 1、2、3、4、6、8、12、24；36 的因数为 1、2、3、4、6、9、12、18、36。
我们发现它们的公共因数有 1、2、3、4、6 和 12，其中最大的是12，因此最大公约数是 12。
2. 辗转相除法：辗转相除法是一种快速求解最大公约数的方法。
它的基本思想是利用两个数的除法运算，将较大数除以较小数，然后再将余数除以除数，一直重复这个过程，直到余数为 0。
最后一个非零余数即为最大公约数。
数的整除性质与应用
数的整除性质与应用数的整除性质是数学中的重要概念之一，它描述了一个数能够整除另一个数的性质。
在日常生活和数学应用中，我们经常用到数的整除性质来解决问题。
本文将对数的整除性质进行详细介绍，并探讨它在实际应用中的作用。
一、整数的除法定义与整除性质在数学中，我们将一个整数a除以另一个非零的整数b，如果能够得到一个整数q，使得a = bq，我们就称a能够被b整除，或者说b能够整除a，记作b|a。
整除性质主要包括以下几个方面：1. 传递性: 如果a能够被b整除，b能够被c整除，那么a也能够被c整除。
2. 常数倍数性质: 如果a能够被b整除，那么对于任意非零常数k，ka也能够被kb整除。
3. 相等性: 一个数能够被自身整除，即对于任意非零整数a，a能够被a整除。
4. 整除的基本性质: 如果a能够被b整除，那么a的所有倍数也能够被b整除。
二、整除的应用数的整除性质在实际应用中起着重要的作用，以下是一些常见的应用场景：1. 分数化简在分数的运算中，我们经常需要对分数进行化简。
利用整除性质可以帮助我们快速找到最大公约数，从而将分数化简为最简形式。
例如，对于分数12/18，我们可以通过求12和18的最大公约数来进行化简。
由于18能够整除12，所以12/18可化简为2/3。
2. 整数的因数与倍数在数的因数和倍数问题中，整除性质是一个重要的工具。
我们可以利用整除性质判断一个数是否是另一个数的因数，或者判断两个数是否互为倍数。
例如，判断一个数是否是另一个数的因数时，我们只需要通过整除性质将这两个数相除，如果余数为0，则该数是另一个数的因数。
3. 素数与合数素数是指只有1和自身两个因数的数，而合数是指除了1和自身之外还有其他因数的数。
利用整除性质，我们可以判断一个数是否为素数。
例如，判断一个数n是否为素数时，我们只需要将n与2到√n之间的所有整数相除，如果都无法整除，则n为素数。
因为如果n能够被大于√n的数整除，那么一定能够被小于√n的数整除。
数字的整除性
数字的整除性数字的整除性是数学中一个非常基础而重要的概念。
整除性是指一个数能够被另一个数整除，即没有余数。
在这篇文章中，我们将探讨数字的整除性及其相关性质。
了解整除性的概念和性质对于数学学习和解决实际问题都具有重要意义。
1. 整除性的定义整除性是数学中的基本概念之一。
对于两个整数a和b，如果存在一个整数c使得a = b * c，我们就称a能够被b整除，也可以表达为b是a的因数，而a是b的倍数。
例如，4能够被2整除，因为4 = 2 * 2。
2. 整除性的性质整除性具有一些重要的性质，这些性质为我们解决实际问题提供了方便。
2.1 传递性：如果a能够被b整除，而b能够被c整除，则a能够被c整除。
例如，如果4能够被2整除，2能够被1整除，那么4也能够被1整除。
2.2 唯一性：如果a能够被b整除，而a也能够被c整除，且b和c互质（最大公约数为1），则b能够被c整除。
例如，如果4能够被2整除，4也能够被3整除，而2和3互质，那么2能够被3整除。
2.3 整除与因数的关系：如果a能够被b整除，则b一定是a的因数。
例如，如果6能够被2整除，那么2是6的因数。
3. 整除的运用整除性在数学中广泛运用，并可以帮助我们解决实际问题。
3.1 判断整除性：通过判断一个数是否能够被另一个数整除，我们可以得出一些结论。
例如，如果一个数字的个位数为0、2、4、6、8中的任意一个，那么这个数一定能够被2整除。
3.2 最大公约数：整除性可以用来求解两个或多个数的最大公约数。
最大公约数是指两个或多个数中同时整除这些数的最大正整数。
例如，求解12和18的最大公约数，可以通过12能够被6整除，18能够被6整除，所以6是它们的最大公约数。
3.3 最小公倍数：整除性也可以用来求解两个或多个数的最小公倍数。
最小公倍数是指能够同时整除这些数的最小正整数。
例如，求解4和6的最小公倍数，可以通过4能够被2整除，6能够被2整除，所以2是它们的最小公倍数。
数学运算之数的整除性专题
数学运算之数的整除性专题1、数的整除性质：(1)对称性：若甲数能被乙数整除，乙数也能被甲数整除，那么甲、乙两数相等。
(2)传递性：若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
(2) 若两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能该自然数整除。
(3) 几个数相乘，若其中有一个因子能被某一个数整除，那么它们的积也能被该数整除。
(4) 若一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能分别被这两个互质数的积整除。
(5) 若一个数能被两个互质数的积整除，那么，这个数也能分别被这两个互质数整除。
(6) 若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
2、数的整除特征：一个数要想被另一个数整除，该数需含有对方所具有的质数因子。
(1)1与0的特性：1是任何整数的约数，0是任何非零整数的倍数。
(2)若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
(3)若一个整数的数字和能被3（9）整除，则这个整数能被3（9）整除。
(4) 若一个整数的末尾两位数能被4（25）整除，则这个数能被4（25）整除。
(5)若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
(6)若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
(7)若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
(8)若一个整数的末尾三位数能被8（125）整除，则这个数能被8（125）整除。
(9)若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。
(10)若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
（不够减时依次加11直至够减为止）。
11的倍数检验法也可用上述检查7的(割尾法)处理，过程唯一不同的是：倍数不是2而是1。
(11)若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
(12)若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
数的整除性质
数的整除性质数学中，整除是一个非常常见且重要的概念。
它指的是当一个数能够被另一个数整除时，我们就说前者是后者的倍数，后者是前者的约数。
在数的整除性质中，有一些基本的规律和性质。
本文将通过讨论这些性质来帮助读者更好地理解整除的概念和运用。
1. 整除的定义首先，我们需要明确整除的定义。
当一个数a能够被另一个数b整除，即a÷b的结果是整数时，我们说a能被b整除，记作b|a。
例如，4能被2整除，我们可以表示为2|4。
2. 余数和整除的关系在讨论整除性质之前，我们需要先了解余数和整除的关系。
如果一个数a能够被另一个数b整除，那么a与b的余数一定是0。
换句话说，如果a÷b的余数不等于0，那么a一定不能被b整除。
3. 奇偶性和整除接下来，我们来讨论奇偶性和整除的关系。
我们知道，如果一个数能够被2整除，那么它一定是偶数。
换句话说，能被2整除的数都是偶数。
而不能被2整除的数都是奇数。
这是因为如果一个数能被2整除，那么它一定能被2整除的倍数所整除。
4. 整除性质之间的关系在整除的性质中，有一些性质之间存在着一定的关系。
例如，如果一个数能够被另一个数整除，那么它一定能被后者的倍数所整除。
也就是说，如果b|a且c是b的倍数，那么c也能整除a。
这是因为如果b 能整除a，那么b的倍数也能整除a。
5. 相邻相邻数的整除性质是指在数轴上相邻的两个数之间可能存在的整除关系。
我们可以发现，如果一个数能够被邻近的两个整数整除，那么它一定能被它们的最大公约数所整除。
例如，如果一个数能够被3和5整除，那么它一定能被它们的最大公约数15所整除。
这个性质可以用来简化我们对数的整除性质的判断。
总结起来，整除是数学中一个重要的概念，它在很多数学问题中都扮演着重要的角色。
通过了解整除的定义，以及与余数、奇偶性、倍数和相邻数的关系，我们可以更好地理解整除性质，并运用它们解决各种数学问题。
数的整除性质对我们的日常生活也有一定的影响。
数的整除性
&&&教育1对1辅导讲义数的整除性个性化学习问题解决数的整除性的特点教学内容【基础知识】 数的整除性(一)数的整除性质主要有:(1) 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
(2) 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整 除。
(3) 如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互 质的自然数的乘积整除。
(4) 如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数 中的一个。
(5) 几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。
灵活运用以上整除性质，能解决许多有关整除的问题。
例1在□里填上适当的数字，使得七位数□ 7358口□能分别被9, 25和8整除。
分析与解：分别由能被9, 25和8整除的数的特征，很难推断出这个七位数。
因为 9, 25，8两两互质，由整除的性质(3)知，七位数能被9 X 25X 8=1800整除，所以七位数的个 位，十位都是0;再由能被9整除的数的特征，推知首位数应填 4。
这个七位数是4735800。
例2由2000个1组成的数111 11能否被41和271这两个质数整除?分析与解：因为41 X 271=11111所以由每5个1组成的数11111能被41和271整除。
按“ 1111T 把2000个1每五位分成一节，2000- 5=400，就有400节,1111,1111,-■-1111.■V. __________________________________ ____________________________________ >400<11111因为2000个1组成的数11, 11能被11111整除，而11111能被41和271整除，所以根 据整除的性质(1)可知，由2000个1组成的数111, 11能被41和271整除。
数的整除性及性质
数的整除性及性质数的整除性是指一个整数能够被另一个整数整除，即没有余数的除法运算。
整除性是数学中的一个重要概念，它有一些基本的性质。
性质1：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它也能够被这个整数的因子整除。
性质2：如果一个整数能够被两个整数整除，那么它也能够被这两个整数的公倍数整除。
性质3：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的倍数也能够被这个整数整除。
性质4：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数也能够被这个整数整除。
性质5：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数倍也能够被这个整数整除。
性质6：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数加减这个整数也能够被这个整数整除。
性质7：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数乘以这个整数也能够被这个整数整除。
性质8：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数除以这个整数也能够被这个整数整除。
性质9：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数次方也能够被这个整数整除。
性质10：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的倒数也能够被这个整数整除。
性质11：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数的倒数也能够被这个整数整除。
性质12：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数倍数的倒数也能够被这个整数整除。
性质13：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数加减这个整数的倒数也能够被这个整数整除。
性质14：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数乘以这个整数的倒数也能够被这个整数整除。
性质15：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数除以这个整数的倒数也能够被这个整数整除。
性质16：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数次方的倒数也能够被这个整数整除。
性质17：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数的次方也能够被这个整数整除。
数的整除性了解整除的概念和判断方法
数的整除性了解整除的概念和判断方法整除是数学中常见的概念，它用来描述一个数能够被另一个数整除的性质。
在本文中，我们将深入探讨整除的概念和判断方法。
一、什么是整除？整除是指一个数能够被另一个数整除，也就是说，当一个数除以另一个数时，得到的商是整数。
例如，当我们说「6可以被2整除」时，意思是6除以2的商是整数3。
在整除的概念中，有两个重要的要素，分别是被除数和除数。
被除数是需要被整除的数，而除数则是用来除以被除数的数。
在上面的例子中，6是被除数，2是除数。
二、整除的判断方法那么，如何判断一个数能否被另一个数整除呢？下面我们将介绍几种常见的判断方法。
1. 除法运算法则最常用的判断方法是使用除法运算法则。
当被除数除以除数能够得到一个整数的商时，那么被除数就能被除数整除。
例如，当我们计算12除以3时，得到的商是4，而4是一个整数，因此我们可以说12可以被3整除。
2. 余数判断法则除法运算法则是最常见和直观的判断方法，但有时我们也可以使用余数判断法则来判断整除性。
当被除数除以除数得到的余数为0时，我们可以判断被除数能够被除数整除。
例如，当我们计算15除以5时，得到的余数是0，因此我们可以说15可以被5整除。
三、整除的性质除了了解整除的概念和判断方法，我们还应该了解整除的一些重要性质。
1. 传递性整除关系具有传递性，也就是说，如果一个数能够被另一个数整除，而这个另一个数又能够被第三个数整除，那么第一个数也能被第三个数整除。
例如，如果6能够被2整除，而2又能够被1整除，那么我们可以得出结论：6能够被1整除。
2. 1的整除性每个数都能被1整除。
这是因为对于任意一个数n，我们都可以将n除以1得到n本身，而n本身是一个整数。
3. 0的整除性0不能被除数整除，因为对于任意一个数n（n≠0），当我们将n除以0时，无法得到一个确定的商，所以没有意义。
四、小结在本文中，我们深入了解了整除的概念和判断方法。
整除是指一个数能够被另一个数整除，也就是两个数之间存在整除关系。
深入理解数的整除性
深入理解数的整除性数的整除性是数学中一个重要的概念，它涉及到数的除法运算和整数的性质。
了解和理解数的整除性对于解决许多数学问题以及应用于实际生活中的计算和推理都至关重要。
本文将深入探讨数的整除性的概念、性质以及应用。
一、数的整除性的概念数的整除性指的是一个数能够被另一个数整除，即余数为零。
具体而言，如果有整数a和b，且b不等于零，那么a能够被b整除，记作a能够整除b，可以表示为b|a。
例如，6能够被3整除，可以表示为3|6。
二、数的整除性的性质1. 任何数都能被1整除：对于任何整数a，有1|a。
2. 任何数都能被自身整除：对于任何整数a，有a|a。
3. 如果a能够整除b，而b能够整除c，则a能够整除c：如果a|b 且b|c，那么a|c。
这是因为如果a能够整除b，意味着a是b的约数，而b能够整除c，意味着b是c的约数，那么a也是c的约数，即a能够整除c。
4. 如果a能够整除b且b能够整除a，则a与b的绝对值相等：如果a|b且b|a，那么|a|=|b|。
这是因为整除的定义要求余数为零，而如果a能够整除b且b能够整除a，意味着a和b的余数都为零，所以它们的绝对值相等。
5. 如果a能够整除b且b不等于0，则|a|小于等于|b|：如果a|b且b≠0，那么|a|≤|b|。
这是因为整除的定义要求余数为零，而b不等于0意味着b无限制地向左或向右扩大，所以|a|≤|b|。
6. 两个数的公约数的绝对值一定是它们的最大公约数的绝对值：如果d是a和b的公约数，那么|d|是a和b的最大公约数。
这是因为公约数是能够整除a和b的数，而最大公约数是所有公约数中绝对值最大的那个数。
三、数的整除性的应用1. 素数判定：利用整除性的性质，可以很容易地判断一个数是否为素数。
如果一个数只能被1和自身整除，即它的约数只有两个，那么它就是素数。
例如，判断17是否为素数，我们可以依次尝试用2、3、4、5、6、7、8、9、10等数去整除17，发现除了1和17本身之外，没有其他数能够整除17，所以17是素数。
专题02 数的整除性
专题02 数的整除性阅读与思考设a，b是整数，b≠0，如果一个整数q使得等式a=bq成立，那么称a能被b整除，或称b整除a，记作b|a，又称b为a的约数，而a称为b的倍数．解与整数的整除相关问题常用到以下知识：1．数的整除性常见特征：①若整数a的个位数是偶数，则2|a；②若整数a的个位数是0或5，则5|a；③若整数a的各位数字之和是3(或9)的倍数，则3|a(或9|a)；④若整数a的末二位数是4(或25)的倍数，则4|a(或25|a)；⑤若整数a的末三位数是8(或125)的倍数，则8|a(或125|a)；⑥若整数a的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则11|a．2．整除的基本性质设a，b，c都是整数，有：①若a|b，b|c，则a|c；②若c|a，c|b，则c|(a±b)；③若b|a，c|a，则[b，c]|a；④若b|a，c|a，且b与c互质，则bc|a；⑤若a|bc，且a与c互质，则a|b．特别地，若质数p|bc，则必有p|b或p|c．例题与求解【例1】在1，2，3，…，2 000这2 000个自然数中，有_______个自然数能同时被2和3整除，而且不能被5整除．(“五羊杯”竞赛试题) 解题思想：自然数n能同时被2和3整除，则n能被6整除，从中剔除能被5整除的数，即为所求．【例2】已知a，b是正整数(a＞b)，对于以下两个结论：①在a＋b，ab，a－b这三个数中必有2的倍数；②在a＋b，ab，a－b这三个数中必有3的倍数．其中( )A．只有①正确B．只有②正确C．①，②都正确D．①，②都不正确(江苏省竞赛试题) 解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明．【例3】已知整数13456ab 能被198整除，求a ，b 的值．(江苏省竞赛试题)解题思想：198=2×9×11，整数13456ab 能被9，11整除，运用整除的相关特性建立a ，b 的等式，求出a ，b 的值．【例4】已知a ，b ，c 都是整数，当代数式7a ＋2b ＋3c 的值能被13整除时，那么代数式5a ＋7b －22c 的值是否一定能被13整除，为什么？(“华罗庚金杯”邀请赛试题) 解题思想：先把5a ＋7b －22c 构造成均能被13整除的两个代数式的和，再进行判断．【例5】如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”(例如：把86放在415左侧，得到86 415能被7整除，所以称86为415的魔术数)，求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数1a ，2a ，…，n a ，满足对任意一个正整数m ，在1a ，2a ，…，n a 中都至少有一个为m 的“魔术数”．(2013年全国初中数学竞赛试题) 解题思想：不妨设7i i a k t =+(i =1，2，3，…，n ；t =0，1，2，3，4，5，6)至少有一个为m的“魔术数”．根据题中条件，利用10k i a m +(k 是m 的位数)被7除所得余数，分析i 的取值．【例6】一只青蛙，位于数轴上的点k a ，跳动一次后到达1k a +，已知k a ，1k a +满足|1k a +－k a |=1，我们把青蛙从1a 开始，经n －1次跳动的位置依次记作n A ：1a ，2a ，3a ，…，n a ．⑴ 写出一个5A ，使其150a a ==，且1a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a >0；⑵ 若1a =13，2000a =2 012，求1000a 的值；⑶ 对于整数n (n ≥2)，如果存在一个n A 能同时满足如下两个条件：①1a =0；②1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0．求整数n (n ≥2)被4除的余数，并说理理由．(2013年“创新杯”邀请赛试题) 解题思想：⑴150a a ==．即从原点出发，经过4次跳动后回到原点，这就只能两次向右，两次向左．为保证1a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a >0．只需将“向右”安排在前即可．⑵若1a =13，2000a =2 012，从1a 经过1 999步到2000a ．不妨设向右跳了x 步，向左跳了y 步，则1999132012x y x y +=⎧⎨+-=⎩，解得19990x y =⎧⎨=⎩可见，它一直向右跳，没有向左跳． ⑶设n A 同时满足两个条件：①1a =0；②1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0．由于1a =0，故从原点出发，经过(k －1)步到达k a ，假定这(k －1)步中，向右跳了k x 步，向左跳了k y 步，于是k a =k x －k y ，k x ＋k y =k －1，则1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0＋(22x y -)＋(33x y -)＋…(n n x y -)=2(1x ＋2x ＋…＋n x )－[(22x y +)＋(33x y +)＋…＋(n n x y +)]=2(2x ＋3x ＋…＋n x )－()12n n -．由于1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0，所以n (n －1)=4(2x ＋3x ＋…＋n x )．即4|n (n －1)．能力训练A级1．某班学生不到50人，在一次测验中，有17的学生得优，13的学生得良，12的学生得及格，则有________人不及格．2．从1到10 000这1万个自然数中，有_______个数能被5或能被7整除．(上海市竞赛试题) 3．一个五位数398ab能被11与9整除，这个五位数是________．4．在小于1 997的自然数中，是3的倍数而不是5的倍数的数的个数是( ) A．532 B．665 C．133 D．7985．能整除任意三个连续整数之和的最大整数是( )A．1 B．2 C．3 D．6(江苏省竞赛试题) 6．用数字1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的三位数中，是9的倍数的数有( ) A．12个B．18个C．20个D．30个(“希望杯”邀请赛试题) 7．五位数abcde是9的倍数，其中abcd是4的倍数，那么abcde的最小值为多少？(黄冈市竞赛试题)8．1，2，3，4，5，6每个使用一次组成一个六位数字abcdef，使得三位数abc，bcd，cde，def能依次被4，5，3，11整除，求这个六位数．(上海市竞赛试题)9．173□是个四位数字，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9，11，6整除．”问：数学老师先后填入的这3个数字的和是多少？(“华罗庚金杯”邀请赛试题)B级1．若一个正整数a被2，3，…，9这八个自然数除，所得的余数都为1，则a的最小值为_________，a的一般表达式为____________．(“希望杯”邀请赛试题) 2．已知m，n都是正整数，若1≤m≤n≤30，且mn能被21整除，则满足条件的数对(m，n)共有___________个．(天津市竞赛试题) 3．一个六位数1989x y能被33整除，这样的六位数中最大是__________．4．有以下两个数串1,3,5,7,,1991,1993,1995,1997,19991,4,7,10,,1987,1990,1993,1996,1999⎧⎨⎩同时出现在这两个数串中的数的个数共有( )个．A．333 B．334 C．335 D．3365．一个六位数1991a b能被12整除，这样的六位数共有( )个．A．4 B．6 C．8 D．126．若1 059，1 417，2 312分别被自然数n除时，所得的余数都是m，则n－m的值为( )．A．15 B．1 C．164 D．1747．有一种室内游戏，魔术师要求某参赛者相好一个三位数abc，然后，魔术师再要求他记下五个数：acb，bac，bca，cab，cba，并把这五个数加起来求出和N．只要讲出N的大小，魔术师就能说出原数abc是什么．如果N=3 194，请你确定abc．(美国数学邀请赛试题)8．一个正整数N的各位数字不全相等，如果将N的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N，则称N为“拷贝数”，试求所有的三位“拷贝数”．(武汉市竞赛试题)9．一个六位数，如将它的前三位数字与后三位数字整体互换位置，则所得的新六位数恰为原数的6倍，求这个三位数．(“五羊杯”竞赛试题)10．一个四位数，这个四位数与它的各位数字之和为1 999，求这个四位数，并说明理由．(重庆市竞赛试题) 11．从1，2，…，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数(至少一个，也可以是全部)，它们的和能被10整除，求n的最小值．(2013年全国初中数学竞赛试题)。
浅谈数的整除性在小学数学中的应用
浅谈数的整除性在小学数学中的应用王佳佳一、“数的整除性”的重要性二、整除的概念（一）含义如果一个整数a除以一个自然数b，商是整数而且没有余数（或者说余数为零），就叫做a能被b整除，或者b整除a，记作a/b。
这时a叫做b的倍数，b叫做a的约数。
由整数概念可知，整除必须同时满足三个条件：（1）被除数是整数，除数是整数;（2）商是整数;（3）没有余数。
这三个条件只要有一个不满足，就不能叫整除。
整除和除尽是两个既有区别又有聯系的概念，也是两个易于混淆的概念。
“除尽”是指在除法中只要除到某一位时没有余数，不管被除数，除数和商是整数还是小数，都可以说是“除尽”。
“整除”是指在除法中只有被除数、除数和商都是整数的情况下，才可以说是“整除”。
三、“数的整除性”性质及其应用1.如果两个整数a、b都能被c整除，那么a与b的和也能被c整除。
反之，如果整数a、b中，有一个数能被c整除，而其中一个数不能被c整除，那么a与b和就一定不能被c整除。
2.如果两个整数a、b都能被c整除，那么a与b的差也能被c整除。
反之，如果整数a、b中，有一个数能被c整除，另一个数不能被c整除，那么a与b的差就一定不能被c整除。
3.如果整数a能被自然数c整除，那么a的倍数（整数倍）也能被c整除。
4.如果a同时被b与c整除，并且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反过来也成立。
5.如果a、b、c这三个数中，a能被b整除，b又能被c整除，那么a一定能被c整除（这是整除的传递性）。
反之，如果a、b、c这三个数中，a与b或b与c之间只要出现一个不能整除的情况，a就一定不能被c整除。
四、“数的整除性”特征及其应用1.个位数字是0、2、4、6、8的数都能被2整除;反过来，个位数字是1、3、5、7、9的数都不能被2整除。
2.个位数字是0或5的数都能被5整除;反过来，个位数字既不是0也不是5的数都不能被5整除。
3.末两位数能被4或25整除的，这个数必能被4或25整除;反过来，末两位数不能被4或25整除的，这个数必不能被4或25整除。
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专题02 数的整除性
阅读与思考
设a，b是整数，b≠0，如果一个整数q使得等式a=bq成立，那么称a能被b整除，或称
b整除a，记作b|a，又称b为a的约数，而a称为b的倍数．解与整数的整除相关问题常用到以下知识：
1．数的整除性常见特征：
①若整数a的个位数是偶数，则2|a；
②若整数a的个位数是0或5，则5|a；
③若整数a的各位数字之和是3(或9)的倍数，则3|a(或9|a)；
④若整数a的末二位数是4(或25)的倍数，则4|a(或25|a)；
⑤若整数a的末三位数是8(或125)的倍数，则8|a(或125|a)；
⑥若整数a的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则11|a．
2．整除的基本性质
设a，b，c都是整数，有：
①若a|b，b|c，则a|c；
②若c|a，c|b，则c|(a±b)；
③若b|a，c|a，则[b，c]|a；
④若b|a，c|a，且b与c互质，则bc|a；
⑤若a|bc，且a与c互质，则a|b．特别地，若质数p|bc，则必有p|b或p|c．
例题与求解
【例1】在1，2，3，…，2 000这2 000个自然数中，有_______个自然数能同时被2和3整除，而且不能被5整除．
(“五羊杯”竞赛试题) 解题思想：自然数n能同时被2和3整除，则n能被6整除，从中剔除能被5整除的数，即为所求．
【例2】已知a，b是正整数(a＞b)，对于以下两个结论：
①在a＋b，ab，a－b这三个数中必有2的倍数；
②在a＋b，ab，a－b这三个数中必有3的倍数．其中( )
A．只有①正确B．只有②正确
C．①，②都正确D．①，②都不正确
(江苏省竞赛试题) 解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明．
【例3】已知整数13456ab 能被198整除，求a ，b 的值．
(江苏省竞赛试题)
解题思想：198=2×9×11，整数13456ab 能被9，11整除，运用整除的相关特性建立a ，b 的等式，求出a ，b 的值．
【例4】已知a ，b ，c 都是整数，当代数式7a ＋2b ＋3c 的值能被13整除时，那么代数式5a ＋7b －22c 的值是否一定能被13整除，为什么？
(“华罗庚金杯”邀请赛试题) 解题思想：先把5a ＋7b －22c 构造成均能被13整除的两个代数式的和，再进行判断．
【例5】如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”(例如：把86放在415左侧，得到86 415能被7整除，所以称86为415的魔术数)，求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数1a ，2a ，…，n a ，满足对任意一个正整数m ，在1a ，2a ，…，n a 中都至少有一个为m 的“魔术数”．
(2013年全国初中数学竞赛试题) 解题思想：不妨设7i i a k t =+(i =1，2，3，…，n ；t =0，1，2，3，4，5，6)至少有一个为m
的“魔术数”．根据题中条件，利用10k i a m +(k 是m 的位数)被7除所得余数，分析i 的取值．
【例6】一只青蛙，位于数轴上的点k a ，跳动一次后到达1k a +，已知k a ，1k a +满足|1k a +－k a |=1，我们把青蛙从1a 开始，经n －1次跳动的位置依次记作n A ：1a ，2a ，3a ，…，n a ．
⑴ 写出一个5A ，使其150a a ==，且1a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a >0；
⑵ 若1a =13，2000a =2 012，求1000a 的值；
⑶ 对于整数n (n ≥2)，如果存在一个n A 能同时满足如下两个条件：①1a =0；②1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0．求整数n (n ≥2)被4除的余数，并说理理由．
(2013年“创新杯”邀请赛试题) 解题思想：⑴150a a ==．即从原点出发，经过4次跳动后回到原点，这就只能两次向右，两次向左．为保证1a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a >0．只需将“向右”安排在前即可．
⑵若1a =13，2000a =2 012，从1a 经过1 999步到2000a ．不妨设向右跳了x 步，向左跳了y 步，则1999132012x y x y +=⎧⎨+-=⎩
，解得19990x y =⎧⎨=⎩可见，它一直向右跳，没有向左跳． ⑶设n A 同时满足两个条件：①1a =0；②1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0．由于1a =0，故从原点出发，经过(k －1)步到达k a ，假定这(k －1)步中，向右跳了k x 步，向左跳了k y 步，于是k a =k x －k y ，k x ＋k y =k －1，则1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0＋(22x y -)＋(33x y -)＋…(n n x y -)=2(1x ＋2x ＋…＋
n x )－[(22x y +)＋(33x y +)＋…＋(n n x y +)]=2(2x ＋3x ＋…＋n x )－()12
n n -．由于1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0，所以n (n －1)=4(2x ＋3x ＋…＋n x )．即4|n (n －1)．
能力训练
A级
1．某班学生不到50人，在一次测验中，有1
7
的学生得优，
1
3
的学生得良，
1
2
的学生得及格，
则有________人不及格．
2．从1到10 000这1万个自然数中，有_______个数能被5或能被7整除．
(上海市竞赛试题) 3．一个五位数398
ab能被11与9整除，这个五位数是________．
4．在小于1 997的自然数中，是3的倍数而不是5的倍数的数的个数是( ) A．532 B．665 C．133 D．798
5．能整除任意三个连续整数之和的最大整数是( )
A．1 B．2 C．3 D．6
(江苏省竞赛试题) 6．用数字1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的三位数中，是9的倍数的数有( ) A．12个B．18个C．20个D．30个
(“希望杯”邀请赛试题) 7．五位数abcde是9的倍数，其中abcd是4的倍数，那么abcde的最小值为多少？
(黄冈市竞赛试题)
8．1，2，3，4，5，6每个使用一次组成一个六位数字abcdef，使得三位数abc，bcd，cde，def能依次被4，5，3，11整除，求这个六位数．
(上海市竞赛试题)
9．173□是个四位数字，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9，11，6整除．”问：数学老师先后填入的这3个数字的和是多少？
(“华罗庚金杯”邀请赛试题)
B级
1．若一个正整数a被2，3，…，9这八个自然数除，所得的余数都为1，则a的最小值为_________，a的一般表达式为____________．
(“希望杯”邀请赛试题) 2．已知m，n都是正整数，若1≤m≤n≤30，且mn能被21整除，则满足条件的数对(m，n)共有___________个．
(天津市竞赛试题) 3．一个六位数1989
x y能被33整除，这样的六位数中最大是__________．
4．有以下两个数串
1,3,5,7,,1991,1993,1995,1997,1999
1,4,7,10,,1987,1990,1993,1996,1999
⎧
⎨
⎩同时出现在这两个数串中的数
的个数共有( )个．
A．333 B．334 C．335 D．336
5．一个六位数1991
a b能被12整除，这样的六位数共有( )个．
A．4 B．6 C．8 D．12
6．若1 059，1 417，2 312分别被自然数n除时，所得的余数都是m，则n－m的值为( )．
A．15 B．1 C．164 D．174
7．有一种室内游戏，魔术师要求某参赛者相好一个三位数abc，然后，魔术师再要求他记下五个数：acb，bac，bca，cab，cba，并把这五个数加起来求出和N．只要讲出N的大小，魔术师就能说出原数abc是什么．如果N=3 194，请你确定abc．
(美国数学邀请赛试题)
8．一个正整数N的各位数字不全相等，如果将N的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N，则称N为“拷贝数”，试求所有的三位“拷贝数”．
(武汉市竞赛试题)
9．一个六位数，如将它的前三位数字与后三位数字整体互换位置，则所得的新六位数恰为原数的6倍，求这个三位数．
(“五羊杯”竞赛试题)
10．一个四位数，这个四位数与它的各位数字之和为1 999，求这个四位数，并说明理由．
(重庆市竞赛试题) 11．从1，2，…，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数(至少一个，也可以是全部)，
它们的和能被10整除，求n的最小值．
(2013年全国初中数学竞赛试题)。