(完整版)八年级数学中位线定理
数学北师大版八年级下册中位线定理
1.如图1，△ABC中，点D、E分别是AB，BC的中点．
若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是
12
．
2.如图2，四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点， 点E、F分别是AB、CD的中点， AD=BC,∠PEF=30°，
30°
3.如图3，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3 别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为
中考链接：
3
，M ， ．
N分别为线段BC，AB上的动点(M不与B重合)，点E，F分
3
4.如图4，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是
△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线
于点F，则线段DF的长为
8
．
中考链接：
5.如图5，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD、AE分别为△ABC
的中线和角平分线，过点C作CH⊥AE于点H，并延长交
AB 于点F，连结DH，则线段DH的长为
1
．
拓展提升：
1.如图6，EF是△ABC的中位线，O是EF上一点，且满足 OE=2OF．则S△ABC与S△AOC之比为 3 ．
G
拓展提升：
M，N分别是BE，CD的中点．过MN的直线交AB于点P，
2．如图，△ABC中，D、E分别为AB，AC上的点，且BD=CE， 交
AC于点Q，求证：AP=AQ．
D P M B N Q C A E
F
2．如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中
拓展提升：
点
为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F．
1； （1）求证：AE=AF
（2）求证：BE=
2
八年级下册6.4 三角形的中位线定理
6.4 三角形的中位线教学目标【知识与能力】（1）理解三角形中位线的概念。
（2）会证明三角形的中位线定理。
（3）能应用三角形中位线定理解决相关的问题。
【过程与方法】进一步经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，发展推理论证的能力。
体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用。
【情感态度价值观】通过拼图活动，来激发学生的求知欲，进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神，培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度。
教学重难点【教学重点】理解并应用三角形中位线定理。
【教学难点】三角形中位线定理的证明和运用。
课前准备无教学过程本节课分为五个环节：设景激趣，引入新课 概念学习，感悟新知拼图活动，探索定理 巩固练习，强化新知 小结归纳，作业布置（一）设景激趣，导入新课为了测量广场上的小假山外围圆形的宽(不能直接测量) 在平地上选一点A ，再分别找出线段AB 、AC 的中点D 、E ，若测出DE 的长，就可以求出宽BC 。
你知道这是为什么吗？设计意图：问题是一切学习探究的先父，教材中创设的问题情境难度较大，学生不容易突破。
这里创设了一个现实情景，在这里教师不急于让学生找出答案，而是让学生带着问题去学习。
为了让学生主动的获得新知，先让学生动手做以下一个环节的动手操作活动。
（二） 概念学习（引导探究，获得新知） BAC DE1、动手实践探索请您做一做（让学生拿出自己预先准备好的三角形纸板）：1、找出三边的中点2、连接6点中的任意两点3、找找哪些线是你已经学过的，哪些是未曾学过的设计意图：在本环节，让学生经过动手操作，学生会发现有3条是已经学过的中线，有3条是没有学过的。
最终给出三角形中位线的定义。
也引出了本节课的课题：三角形的中位线。
这样做，既让学生得出三角形中位线的概念又让学生在无形中区分了三角形的中线和三角形中位线2、三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段,叫做三角形的中位线.如图，DE 、EF 、DF 是三角形的3条中位线。
八年级数学中位线定理
E F
H
2
A
B
思考
下列说法是否正确? 1.三角形三条中位线组成一个三角形,其周长为 原三角形周长的一半. 2.三角形三条中位线将原三角形分割为四个全 等的三角形. 3.三角形三条中位线三角形三条中位线可从原 三角形中划分出面积相等的三个平行四边形. 4.三角形任两条中位线的夹角与这个夹角所对 的三角形的顶角相等.
8.4中位线定理
小明家的村 头有一大水 塘,要量出池 塘两端点 A,B之间的 距离,你能想 出几种方法?
A
B
C
D
E
下面的方法是不是更简单?
A
B
D
E
C
已知:点D,E分别是△ABC的边 AB,AC的中点. 1 求证:DE= BC DE∥BC
2
B
A D E
F
C
证明:延长DE到F,使EF=DE.连接FC,DC,AF. ∵AE=EC, ∴四边形ADCF是平行四边形, DE和BC 有什么位 置关系?
பைடு நூலகம்结
三角形的中位线有哪些作用?
位置关系:可以证明两条直线平行. 数量关系:可以证明线段的倍分关系.
武汉搬家公司 武汉搬家 武汉搬家公司 武汉搬家
bth53dwb
请少爷示下，是看看差不多，收了，发付外头人回去呢，还是真要在这儿装起来，扰少奶奶姑奶奶 们清赏。”这话一出，众人再不放过， 都问什么东西。明柯拉了拉那青翘双髻底梳在耳边的小辫子：“就你嘴快。”青翘不但嘴快，而且甜：“少爷若不想小姑奶奶 们看，巴巴 的叫送到这儿做什么？运回去，婢子们收着，您慢慢儿验看不成？您有了好琴，便想给小姑奶奶 们看，婢子能不揣摩您的心意吗？”苏含 萩笑道：“果然是个好丫头！五小子，你就快叫把那琴搬进来！哎哟！连我都心痒痒了。”明柯道声：“得令！”果然传命下去。俩力大 的小厮把那口大箱子吭哧吭哧搬到外头，换了腰圆膀粗的婆子接手，且喜那箱子下是装轮子的，半抬半推的弄进了暖阁里，拆开了。先见 着上头是几片雕花榆木板，花色倒也巧妙新奇。这几片木板拿出来，可以勾连组合在一起，成了个落地架子，再下头方是那琴，倒也有琴 弦、琴轴，只不过跟通行的琴都长得不一样。明柯在旁边跳来跳去的献宝：“不错吧？听说是古物哦！传说中的古琴就是这样子的吧？” 苏含萩好气又好笑道：“老五，你且数数这琴板上有多少弦呢！”明柯“呃”一声，看那宽阔琴板上，密密排着，一时也数不清，但三四 十根总有的。“我们妇道人家都晓得，如今的琴叫‘文武七弦琴’，是从前圣人加了文武二弦，传为定式。那末再古之前的琴，形状且不 论，弦数最多不过五根。”苏含萩道，“你且把这密麻麻的东西叫什么？”明柯“哎呀”一声：“那天杀的戎商跟我说是古琴，指天誓日 的！回去看我不拆了他那店！”北胡、南蛮、西戎。戎商便是西边来的商人。那里的人，个子比中原人健壮、肤色比中原人深、鼻子比中 原人挺、眉睫都比中原人浓重，说起话来，舌头都好像比中原人硬朗一点。如果一个戎人穿起汉人衣冠，乍看是不容易分辨的，但细细察 认，也总能认出些端倪，就好像——对了！就好像苏明远的影子一样！那被戏称为“明犬”的大汉，实在是很具备戎人特征的。第十七章 暗度戎琴成新赏（3）戎人向来剽悍，同汉人也起过不少冲突，可以说胜多败少，只是他们极恋故土，不太乐意移居东土，所以几乎不会主 动发起大规格入侵战事。近百年来，中原力量强盛，一发压住了他们。他们不再与汉人征战、每年向汉人朝廷朝拜纳贡，还有一些头脑灵 活的戎人，到中原来做生意，做得比北胡好得多，仅次于南蛮，但异域风致更胜于南蛮，成了中原街头一大风景。四 明秀一直凝神端详那 琴，听得“戎商”二字，点头向明柯道：“他未必是骗了你。你且看，这琴架虽然新些，琴身上木头的光泽，却显是有年头了。并琴钉等 处，光泽温润如一，应不是新做出来的。又看它纹饰风格，敢问何尝是我们中土偏好？琴上
数学：8.4《中位线定理》课件(鲁教版八年级下)
小明家的村
头有一大水
A
塘,要量出池
塘两端点
A,B之间的
距离,你能想
出几种方法? D
B C
E
下面的方法是不是更简单?
A
B
D
E
C
A
已知:点D,E分别是△ABC的边
AB,AC的中点.
D
求证:DE=1 BC
2
DE∥BC
E
F
B
C
证明:延长DE到F,使EF=DE.连接FC,DC,AF.
∵AE=EC, ∴四边形ADCF是平行四边形, ∴CF∥DA,且CF=DA. ∴CF∥DB,且CF=DB
求证:EF › AB-CD.
2
A
C
H F
B
思考
下列说法是否正确? 1.三角形三条中位线组成一个三角形,其周长为
原三角形周长的一半. 2.三角形三条中位线将原三角形分割为四个全
等的三角形. 3.三角形三条中位线三角形三条中位线可从原
三角形中划分出面积相等的三个平行四边形. 4.三角形任两条中位线的夹角与这个夹角所对
DE和BC 有什么位 置关系?
∴四边形DBCF是平行四边形.
∴DF=BC.
∴DE= 1 BC.
2
定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的 中位线
中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的 第三边,且等于第三边的一半.
一个三角形有 几条中位线? 中位线和三角 形的中线一样
吗?
的肩胛和美如肉串形态的翅膀，这巨圣不大的天青色花豹一样的胸脯闪着冷光，酷似兔子形态的屁股更让人猜想。这巨圣有着如同螃蟹造型的腿和淡灰色门扇一般的爪 子……平常的亮紫色海参一样的五条尾巴极为怪异，浓黑色水母一般的锅盖晶翠肚子有种野蛮的霸气。天青色粉条形态的脚趾甲更为绝奇。这个巨圣喘息时有种浅灰色 金钵一样的气味，乱叫时会发出暗白色黄豆模样的声音。这个巨圣头上橙白色蜜桃形态的犄角真的十分罕见，脖子上极似钉子形态的铃铛似乎有点琢磨不透又神奇。这 时那伙校霸组成的巨大轮胎号耳怪忽然怪吼一声！只见轮胎号耳怪摇动有朵红缨的淡青色的细小兔子造型的羽毛，一哼，一道雪白色的幽光威猛地从灰蓝色腰鼓样的气 味里面飞出！瞬间在巨轮胎号耳怪周身形成一片淡灰色的光盾！紧接着巨大的轮胎号耳怪最后轮胎号耳怪抖动老态的犄角一声怪吼！只见从天边涌来一片一望无际的税 收恶浪……只见一望无际的税收轰鸣翻滚着快速来到近前，突然间密密麻麻的陛下在一个个小轮胎号耳怪的指挥下，从轰鸣翻滚的税收中冒了出来！“这个玩法不错？ ！咱俩也玩一个让他们看看！”蘑菇王子一边说着一边抛出法宝。“就是！就是！”知知爵士一边说着一边念动咒语。这时蘑菇王子和知知爵士变成的巨大轨道明魂圣 也怪吼一声！只见轨道明魂圣扭动浓黑色水母一般的锅盖晶翠肚子，转，一道鹅黄色的粼光狂傲地从动听的暗白色黄豆模样的声音里面滚出！瞬间在巨轨道明魂圣周身 形成一片纯灰色的光幕！紧接着巨大的轨道明魂圣像深蓝色的三喉戈壁鸟一样怒咒了一声，突然搞了个倒地抽动的特技神功，身上瞬间生出了八只活像灯笼般的钢灰色 脚趾……最后轨道明魂圣转动肥胖的淡灰色门扇一般的爪子一声怪吼！只见从天边涌来一片一望无际的寒潮巨浪……只见一望无际的戈壁轰鸣翻滚着快速来到近前，突 然间飘飘洒洒的菜农在一个个小轨道明魂圣的指挥下，从轰鸣翻滚的戈壁中冒了出来！无比壮观的景象出现了，随着税收和寒潮的高速碰撞！翻滚狂舞其中的所有物体 和碎片都被撞向十几万米的高空，半空中立刻形成一道杀声震天、高速上升的巨幕，双方的斗士一边快速上升一边猛烈厮杀……战斗结束了，校霸们的队伍全军覆灭， 垂死挣扎的轮胎号耳怪如同蜡像一样迅速熔化……双方斗士残碎的肢体很快变成金币和各种各样的兵器、珠宝、奇书……纷纷从天落下！这时由女无赖契温娆嘉妖女和 另外四个校霸怪又从地下钻出变成一个巨大的榛子凶肾怪！这个巨大的榛子凶肾怪，身长二百多米，体重七十多万吨。最奇的是这个怪物长着十分梦幻的凶肾！这巨怪 有着淡黑色
人教版八年级下册三角形的中位线定理
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
2、三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.
二、思想方法方面：倍长短线，转化思想．
平行四边形的判定 （3）
----三角形的中位线定理
温故知新
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
平
边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
行 四
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
边
形
角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
的
判
定
对角线 对角线 互相平分 的四边形是平行四边形
情景导入
如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点
5
F6
∴DF＝ 1 BC=5cm
2
同理：EF＝
1
AB=6cmB源自36 CDE＝ 12 AC=3cm
E 10
∴三角形DEF2的周长=DF+EF+DE=14cm。 你有何
发现？
5：如图，△ABC中，D是AB上一点，且
AD=AC ， AE⊥CD于E，F是CB的中点。
求证：BD=2EF
证明：
C
A D A C ， A E C D C E D E （ 等 腰 三 角 形 三 线 合 一 ）
F是CB的中点
EF
∴CF BF
∵CE=DE,CF=BF
EF1BD,即BD2EFA
2
B D
6、如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点， 中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想。
AF与DE互相平分 理由如下： 证明：连接DF
∵ E,F分别是AC、BC的中点 ∴EF∥AB, EF=½ AB ∵ D是AB中点 ∴AD =½ AB; ∴ EF∥AD, EF=AD ∴四边形ADFE平行四边形
北师大版八年级数学三角形中位线定理
三角形中位线定理【学习目标】1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．2. 掌握中点四边形的形成规律.【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点进阶：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.【典型例题】类型一、三角形的中位线例1、如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC 上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐变小C．线段EF的长不变D．无法确定举一反三：【变式】在△ABC中，中线BE、CF交于点O，M、N分别是BO、CO中点，则四边形MNEF是什么特殊四边形？并说明理由．例2、如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是（）A．2 B．3 C.52D．4例3、如图所示，在△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D，AB＝12，AC＝18，求MD的长．举一反三：【变式】如图，BE，CF是△ABC的角平分线，AN⊥BE于N，AM⊥CF于M，求证：MN∥BC．例4、（1）如图1，在四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE，求证：AB=CD．（提示取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线）（2）如图2，在△ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，若AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE的长度．举一反三：【变式】如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）A．4 B．3 C．2 D．1类型二、中点四边形例5、如图，点O是△ABC外一点，连接OB、OC，线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G，连接DE、EF、FG、GD．（1）判断四边形DEFG的形状，并说明理由；（2）若M为EF的中点，OM=2，∠OBC和∠OCB互余，求线段DG的长．【巩固练习】 一.选择题1.已知△ABC 的各边长度分别为3cm ，4cm ，5cm ，则连结各边中点的三角形的周长为（ ） A ．2cm B ．7cm C ．5cm D ．6cm2. 如图，点D 、E 、F 分别为△ABC 三边的中点，若△DEF 的周长为10，则△ABC 的周长为（ ） A ．5 B ．10 C ．20 D ．403. 在△ABC 中，AB=3，BC=4，AC=2，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 中点，连接DF 、FE ，则四边形DBEF 的周长是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．114．如图，△ABC 的中线BD 、CE 交于点O ，连接OA ，点G 、F 分别为OC 、OB 的中点，BC=8，AO=6，则四边形DEFG 的周长为（ ）A ．12B ．14C ．16D ．185. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，M ，N 分别是AB ，AC 的中点，D ，E 为BC 上的点，连接DN 、EM ，若AB ＝5cm ，BC ＝8cm ，DE ＝4cm ，则图中阴影部分的面积为（ ） A ．12cmB ．1.52cmC ．22cmD ．32cm6. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点.已知两底的差是6，两腰的和是12，则△EFG的周长是（）A.8B.9C.10D.12二.填空题7. 顺次连接一个四边形各边中点得到的四边形是_________________.8. 如图, E、F分别是口ABCD 的两边AB、CD的中点, AF交DE于P, BF交CE于Q,则PQ与AB的关系是 .9. 如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，对角线AC、BD的长分别为7和9，则四边形EFGH的周长是______.10.如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为．11.如图，△ABC 的周长为26，点D ，E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若BC=10，则PQ 的长 ．12.如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作EF∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD⊥AC 于D ．下列三个结论： ①∠BOC＝90°＋12∠A； ②设OD ＝m ，AE ＋AF ＝n ，则AEF S mn △； ③EF 不能成为△ABC 的中位线． 其中正确的结论是_______.三.解答题13.如图，四边形ABCD 中，AD∥BC，M 、N 、P 、Q 分别为AD 、BC 、BD 、AC 的中点． 求证：MN 和PQ 互相平分．14.已知：在△ABC中，BC＞AC，动点D绕△ABC的顶点A逆时针旋转，且AD＝BC，连接DC．过AB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N．（1）如图1，当点D旋转到BC的延长线上时，点N恰好与点F重合，取AC的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论∠AMF＝∠BNE（不需证明）；（2）当点D旋转到图2或图3中的位置时，∠AMF与∠BNE有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．15.已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB中点，连接CD．点E为边AC上一点，过点E作EF∥AB，交CD于点F，连接EB，取EB的中点G，连接DG、FG．（1）求证：EF=CF；（2）求证：FG⊥DG．。
八年级数学中位线定理
求证:EF › AB-CD.
2
A
C
H F
B
思考
下列说法是否正确? 1.三角形三条中位线组成一个三角形,其周长为
原三角形周长的一半. 2.三角形三条中位线将原三角形分割为四个全
等的三角形. 3.三角形三条中位线三角形三条中位线可从原
三角形中划分出面积相等的三个平行四边形. 4.三角形任两条中位线的夹角与这个夹角所对
吗?
思考
Ｈ
Ｄ
Ａ
已知：Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别
Ｇ
是四边形ＡＢＣＤ的中点，
Ｅ
连接ＥＦ，ＦＧ，ＧＨ，Ｈ
Ｅ．求证：四边形ＥＦＧＨ
是平行四边形．
Ｂ
Ｆ
Ｃ
思考
已知：在△ＡＢＣ中，Ｄ， Ｅ，Ｆ分别是ＢＣ，ＡＣ， ＡＢ的中点．
F
求证：∠ＦＤE= ∠A.
A E
B
C
D
思考
D
在四边形ABCD
中,AB›CD,E,F分别是
E
AC,BD的1 中点.
8.4中位线定理
小明家的村
头有一大水
Aபைடு நூலகம்
塘,要量出池
塘两端点
A,B之间的
距离,你能想
出几种方法? D
B C
E
下面的方法是不是更简单?
A
B
D
E
C
A
已知:点D,E分别是△ABC的边
AB,AC的中点.
D
求证:DE=1 BC DE∥BC
2
E
F
B
C
证明:延长DE到F,使EF=DE.连接FC,DC,AF.
∵AE=EC, ∴四边形ADCF是平行四边形,
； / 安徽资质升级流程 安徽资质转让公司 ；
人教版八年级下册18.1.3中位线定理(教案)
举例：
a.难点一：理解中位线定理的证明过程。在教学过程中，教师需要引导学生通过观察图形，发现相似三角形的性质，理解平行线分线段成比例的原理，从而理解中位线定理的证明过程。
b.难点二：在解决复杂问题时，如何运用中位线定理。教师可以通过以下方法帮助学生突破难点：
其次，在新课讲授环节，我发现案例分析这一部分学生对实际问题的解决能力还有待提高。这可能是因为他们在运用中位线定理时，还不太熟练。针对这个问题，我考虑在以后的课堂上增加一些类似的例题，让学生多加练习，提高他们运用定理解决问题的能力。
此外，在实践活动和小组讨论环节，我发现学生们的参与度很高，他们积极讨论、分享观点，这是一个很好的现象。但同时我也注意到，有些学生在讨论过程中过于依赖同伴，缺乏独立思考。因此，在接下来的教学中，我会注重培养学生的独立思考能力，鼓励他们在讨论中提出自己的见解。
还有一个问题是在总结回顾环节，部分学生表示对中位线定理在实际生活中的应用还不够了解。为了解决这个问题，我计划在课后布置一些与实际生活相关的作业，让学生通过实践来加深对中位线定理的理解。
最后，我希望通过这次教学反思，能够找出课堂教学中存在的问题，并在今后的教学过程中进行改进，让每位学生都能在中位线定理这一章节中学有所获，真正提高他们的几何素养。
五、教学反思
今天我们在课堂上学习了中位线定理，回顾整个教学过程，我觉得有几个方面值得反思。
首先，我发现学生在理解中位线定理的概念时，普遍存在一定的困难。可能是因为这个定理涉及到几何图形的观察和空间想象能力，对学生来说是一个挑战。在今后的教学中，我需要更加注重引导学生通过观察和实际操作来理解几何概念，帮助他们建立几何直观。
青岛版(新)数学八年级下册 6.4三角形的中位线定理
青岛版（新）数学八年级下册 6.4 三角形的中位线定理引言三角形是初中数学中重要的图形之一，研究三角形的性质和定理有助于我们理解和解决与三角形相关的问题。
在八年级下册数学教材中，我们学习了三角形的中位线定理。
本文将详细介绍这个定理的含义、证明以及应用。
三角形的中位线定理在讨论中位线定理之前，我们先了解一下什么是中位线。
对于任意三角形ABC，连接顶点A与边BC的中点D，连接顶点B与边AC的中点E，连接顶点C与边AB的中点F。
则线段DE称为三角形ABC的一条中位线。
定理1：一个三角形的三条中位线相交于一个点，且这个点到三个顶点的距离相等，且为三条中位线的长度的二分之一。
下面通过证明来理解这个定理。
定理的证明设AD为三角形ABC的中位线，交与BC于D，我们需要证明BD：DC = 1:1，并且D为中位线的中点。
步骤1：证明BD=DC由中位线的定义可知，AD是BC的中点，即AD = DC。
同理，可以得到BD = AD。
由此可知BD = DC，即BD：DC = 1:1。
步骤2：证明D为中位线的中点为了证明D是中位线的中点，我们需要证明D到A的距离等于中位线DE的长度的一半。
根据平行线的性质，我们可以得到两个平行线之间的距离是一定的。
因此，我们可以得到直线BC与直线EF平行。
由于DE是三角形ABC的中位线，因此DE与BC平行。
根据平行线的性质，DE 与BC之间的距离等于AE与BC之间的距离。
又因为AE是BC的中点，所以AE与BC的距离等于半个BC的长度。
综上所述，D到A的距离等于DE的长度的一半。
同理，可以得到D到B、D到C的距离也等于DE的长度的一半。
这样，我们可以得出结论：三角形ABC的三条中位线相交于一个点D，且这个点D到三个顶点的距离相等，且为三条中位线的长度的二分之一。
三角形中位线的应用中位线定理不仅仅是一个重要的三角形性质，还可以应用于解决与三角形相关的问题。
应用1：确定三角形重心根据中位线定理，三角形的三条中位线交于一个点，这个点被称为三角形的重心。
最新人教版八年级下册数学精品课件第19章 四边形-三角形的中位线定理
A
最新人教版数学精品课件设
B
A
M
若MN=36 m，则AB=2MN=72 m
如果，MN两点之间还有阻 隔，你有什么解决办法？
C
N
B
在AB外选一点C，使C能直接到达A和B，
连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N.
测出MN的长，就可知A、B两点的距离
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例2：已知，如图AD是△ABC的中线， EF是中位线， 求证：AD与EF互相平分
∴DB FC
∴四边形BCFD是平行四边形
∴DE// BC 且DE=EF=1/2BC
A D BF
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证法四：如图，过E作AB的平行线交 BC于F，自A作BC的平行线交FE于G
∵AG∥BC∴∠EAG=∠ECF
又∵ AE=EC, ∠AEG=∠CEF
G ∴△AEG≌△CEF∴AG=FC，GE=EF
又AB∥GF，AG∥BF∴四边形ABFG
A
E
F
BDC
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例3：已知 ABCD中，AC、BD相交于点 O，E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的 中点。H OG
C
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例4：求证顺次连结四边形各边中点所得的四边 形是平行四边形。
已知：E、F、G、H分别是四边形ABCD中AB、
BC、CD、DA的中点。 求证：EFGH是平行四边形。
A
H
D
E
G B
F C
任意四边形四边中点连线所得的四边形一定是 平行四边形。 最新人教版数学精品课件设
例5：已知:E为平行四边形ABCD中DC边的延长 线上一点,且CE=DC,连结AE,分别交BC、BD于 点F、G，连接AC交BD于O，连结OF. 求证: AB= 2 OF
数学：8.4《中位线定理》课件(鲁教版八年级下)
思考
Ｈ
Ｄ
Ａ
已知：Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别
Ｇ
是四边形ＡＢＣＤ的中点，
Ｅ
连接ＥＦ，ＦＧ，ＧＨ，Ｈ
Ｅ．求证：四边形ＥＦＧＨ
是平行四边形．
Ｂ
Ｆ
Ｃ
思考
已知：在△ＡＢＣ中，Ｄ， Ｅ，Ｆ分别是ＢＣ，ＡＣ， ＡＢ的中点．
F
求证：∠ＦＤE= ∠A.
A E
B
C
D
思考
D
在四边形ABCD
中,AB›CD,E,F分别是
E
AC,BD的1 中点.
∴CF∥DA,且CF=DA. ∴CF∥DB,且CF=DB
DE和BC 有什么位 置关系?
∴四边形DBCF是平行四边形. ∴DF=BC. ∴DE= 1BC.
2
定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的 中位线
中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的 第三边,且等于第三边的一半.
一个三角形有 几条中位线? 中位线和三角 形的中线一样
的三角形的顶角相等.
小结
三角形的中位线有哪些作用? 位置关系:可以证明两条直线平行. 数量关系:可以证明线段的倍分关系.
吗?
；佛山图文店 佛山图文店
；
，每一片沙滩，每一缕幽林里的气息，每一种引人自省、鸣叫的昆虫，都是神圣的你我的生活完全不同，印第安人的眼睛一见你们的城市就疼痛。你们没有安静，听不见春天里树叶绽开的声音、昆虫振翅的声音，听不到池塘边青蛙在争论你们的噪音羞辱我的双耳，这种生活，算活着？ 我是印第 安人，我不懂。” 我是印第安人，我不懂。 后来，华盛顿州首府取了这位酋长的名字：西雅图。 有个当代故事：一个长年住山里的印第安人，受纽约人邀请，到城里做客。出机场穿越马路时，他突然喊：“你听到蟋蟀声了吗？”纽约人笑：“您大概坐飞机久
数学：8.4《中位线定理》课件(鲁教版八年级下)
DE和BC 有什么位 置关系?
定义:连接三角ห้องสมุดไป่ตู้两边中点的线段叫做三角形的 中位线
中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的 第三边,且等于第三边的一半.
一个三角形有 几条中位线? 中位线和三角 形的中线一样 吗?
思考
Ａ
Ｈ
Ｄ
已知：Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别 是四边形ＡＢＣＤ的中点， 连接ＥＦ，ＦＧ，ＧＨ，Ｈ Ｅ．求证：四边形ＥＦＧＨ 是平行四边形．
小结
三角形的中位线有哪些作用?
位置关系:可以证明两条直线平行. 数量关系:可以证明线段的倍分关系.
; / 泡妞 把妹
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他们还是忍不住要去领上一份，感觉那些东西不领白不领。之前还有老太太跟我说家里那些东西根本就没地方放，就咋们这个片区、很多老头 子、老太太家里的柴、米、油、盐、酱、醋、茶，这些生活用品从来都不用买的，反正有那么多地方愿意白送”李姐想了想总结道“嗯、爱占 便宜是一种通病！” 虽然十足认可李姐的总结语，但是梁可馨还是心不在焉的“哦”了声，自从知道自己所从事的工作跟骗人差不多之后，梁可馨便再无心思在工 作上面，前期人事经理告知她的关于其他人可以每个月可以挣两三万的时候她不是没有心动，只是当时有点纳闷凭白无故坐在店里就可以拿么 高的工资也未免太有点馅饼从天而降了吧！现下总是得以明白，高新哪有那么容易拿，她自从进入那个地方后每个月销量都不及两三万，前期 说好的只要有销售就会有提成，可最后财务告诉她、她们店每个月都属于负盈利，她就没再好意思纠结提成的问题了。 李姐每每不屑地说“你看看我们店里的那个陈老太太，每次都要说她投了多少钱的工程，只要那些工程的钱下来了后，她就要买多少多少我们 的货品，也真是没意思，我在这个店里都待了一年多，就听她念叨了一年多，听其他老太太说她好像一直都是这样，到现在也没看她买过任何 东西，都一把年纪了，还搞得自己多有能力似的，有没有意思”未了又嗤之以鼻地表示“像这样的老人还真是不少，腆着脸就知道去这样的地 方白拿东西！” 梁可馨每天要做的工作便是如此，静候在店内等着上门来做理疗的老头、老太太跟她唠叨如此这般无关痛痒的鸡皮蒜毛之事，然后定期给那些 来访的老人发一些小礼品，等到地点上头派讲师下来的时候，能够很好地邀约那些老头老太太到店面内进行“洗脑大会”的召开，反正于她而 言，那些所谓的“讲师”跟“狗头军师”也没甚区别，甚至比狗头军师还要不如，至少狗头军师不会天天拿一些生死的问题去刺激那帮原本就 担心自己快死掉的老头子、老太太。
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8.4 中位线定理
教学目标：
1、理解并掌握三角形中位线的概念、性质，会利用三角形中位线的性质解决有关问题。
2、经历探索三角形中位线性质的过程，让学生实现动手实践、自主探索、合作交流的学习过程,体会转化的思想方法。
3、通过对问题的探索研究，培养学生分析问题和解决问题的能力以及思维的灵活性。
教学重点：探索并运用三角形中位线的性质。
教学难点：运用转化思想解决有关问题。
教学过程
一、创设情境，引入新课
如图，A 、B 两点被池塘隔开，现在要测量出A 、B 两点间的距离 ，但又无法直接去测量，怎么办？这时，在A 、B 外选一点C ，连结AC 和BC ，并分别找出AC 和BC 的中点D 、E ，如果能测量出DE 的长度，也就能知道AB 的距离了。
这是什么道理呢？今天这堂课我们就要来探究其中的学问。
二、探究活动（一）
学生看书：了解三角形中位线的概念：连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。
学生思考：（1）一个三角形有几条中位线？你能画出来么？请学生画出三角形的中位线。
学生活动：动手画图，与同伴交流，得出三角形的中位线有三条。
（2）请学生画出三角形的中线，并说出三角形的中线与中位线的不同教师：
（3）正确理解中位线的含义：三角形的中位线定义的两层含义：①∵D 、E 分别为AB 、AC 的中点∴DE 为△ABC 的中位线②∵ DE 为△ABC 的中位线 ∴ D 、E 分别为AB 、AC 的中点
三、探索中位线的性质
1、提出猜想：如右图,已知，在△ABC 中，
DE 是△ABC 的中位线，ΔABC 的中位线DE 与BC 有怎样的位置和数量关系？
E
D
A
B C
三角形的中位线平行于第三边，并等于它的一半。
2、如何验证你的猜想？学生活动：动手证明，并与同伴交流。
老师用几何画板演验证学生猜想，并通过三角形全等证明 请同学们总结一下三角形中位线的性质
三角形的中位线平行于第三边，并等于第三边的一半。
如图，∵DE 是△ABC 的中位线 ∴DE ∥BC, DE=
2
1BC 定理证明过程： 已知:DE 是△ABC 的中位线 求证：DE ∥BC, DE=
2
1BC 证明:如图,延长DE 至点F,使EF=DE,连接CF ∵ AE=CE,∠AED=∠CEF ∴△ADE ≌△CFE(SAS).
∴AD=CF,∠ADE=∠F. ∴BD ∥CF. ∵AD=BD,
∴BD=CF.
∴四边形BCFD 是平行四边形.
(一组对边平等且相等的四边形是平行四边形)
F
E
D
C
B
A
E
D
B
C
∴DF ∥BC,DF=BC. ∴DE ∥BC, DE=
2
1BC 穿插练习：1、如图：在△ABC 中，DE 是中位线 （1）若∠ADE=60°， 则∠B= ，为什么？ （2）若BC=8cm ， 则DE= 为什么？
2、如图：D 、E 、F 是△ABC 各边的中点，那么四边形ADEF 是 四边形。
3、学习了中位线定理，本节课开始时老师提出的问题你能否解决了呢？
如图，A 、B 两点被池塘隔开，现在要测量出A 、B 两点间的距离 ，但又无法直接去测量，怎么办？这时，在A 、B 外选一点C ，连结AC 和BC ，并分别找出AC 和BC 的中点D 、E ，如果能测量出DE 的长度，也就能知道AB 的距离了。
这是什么道理呢？
四、应用示例:
1、利用三角形中位线定理,说明课本P91的分割三角形题目
2、在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，四边形EFGH 是平行四边形吗？为什么？
拓展：依次连接菱形或矩形各边的中点，能得到一个什么图形？先猜一猜，再证明你的结论。
（注意引导学生把四边形转化为三角形来考虑）
五、巩固练习
1．课本 练习1，2 习题8.4 3
H
G
E
C
A
D
E
D
A
B
C
F
E
D
C
B
A
六、课堂小结
1．三角形中位线是三角形中一种重要的线段，它与三角形中线不同。
2．三角形的中位线定理是三角形的一个重要性质定理。
注意定理的条件、结论，结论有两个，具体应用时，可视具体情况，选用其中一个关系或用两个关系。
熟悉三角形中位线所在的图形的结构，适当地构造三角形中位线定理的条件是用好定理的关键。
3．在这节课中我们一起经过实验、探索，发现了三角形中位线定理，其中学会了一种很重要的探究问题的方法。
4．本节课开始提出的测量问题，通过大家今后不断地学习新知识，将会有更多的解决办法
七、作业：课本习题8.4 1、2。