吉林省长春市2020届高三(四模)数学(理)试题-含答案

长春市2020届高三质量监测(四)

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合2

{|1},{|0},A x x B x x =≤=<则()U C A B =U .{||1}A x x … .{|1}B x x >

.{|101}C x x x <-≤≤或 D.{|101}x x x ≤-<≤或

2．在等比数列{}n a 中36,3,6,a a ==则a 9=

A 19

B ． 112

C ．9

D ．12 3．设复数(),,,R z x yi x y =+∈下列说法正确的是

A ．z 的虚部是yi ；

B ．22||z z =

C ．若x=0，则复数z 为纯虚数;

D ．若z 满足||1z i -=，则z 在复平面内对应点(),x y 的轨迹是圆.

4．树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有4名男生，2名女生，现从中选出4人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有

A ．8种

B ．9种

C ．12种

D ．14种

5．sin ,sin 28341ππθθ⎛⎫⎛⎫+

=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若则 A ．29- B ．29 C ．79- D ．79

6．田径比赛跳高项目中，在横杆高度设定后，运动员有三次试跳机会，只要有一次试跳成功即完成本轮比赛。在某学校运动会跳高决赛中，某跳高运动员成功越过现有高度即可成为本次比赛的冠军，结合平时训练数据，每次试跳他能成功越过这个高度的概率为0.8(每次试跳之间互不影响)，则本次比赛他获得冠军的概率是

A ．0.832

B ．0.920

C ．0.960

D ．0.992

7．已知()50.5log 2,log 0.2,ln ln 2,a b c ===则a ，b ，c 的大小关系是

A ．a b c <<

B . a c b <<

C ．b a c <<

D ．c a b <<

8．已知直线a 和平面α、β有如下关系：,αβ⊥①②α∥β，③α⊥β，④α∥a ，则下列命题为真的是

A ．①③④ B.①④③ C ．③④① D.②③④

9．如图，为测量某公园内湖岸边A ，B 两处的距离，一无人机在空中P 点处测得A ，B 的俯角分别为α，β，此时无人机的高度为h ，则AB 的距离为

()222cos 11.sin sin sin sin A h αβαβαβ

-+- ()22\si 2cos 11.s n n in si sin B h αβαββ

α-++ ()22co 2cos 11c s s os co cos Ch αβαββ

α-+- ()22co 2cos 1o s 1.cos c s cos D h αβαββ

α-++ 10．过抛物线C ：()220x py p =>的焦点F 作直线与该抛物线交于A ，B 两点，若3|AF|=|BF|，O 为坐标

原点，则|||

AF OF = A ．

43 B ．34 C ．4 D ．54

11．函数()()sin f x x ϕω=+的部分图象如图中实线所示，图中的圆C 与()f x 的图象交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是

② 函数()f x 的图象关于点(

43,0)成中心对称： ②函数()f x 在11,26⎛⎫-

- ⎪⎝⎭上单调递增：; ③ 圆C 的面积为3136

π A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③ 12．函数()2)(mx mx f x e

e x mx m -=++-∈R 的图象在点()()(),,(,A x

f x B x f x --处两条切线的交点

00(,)P x y 一定满足

0.0A x =0.B x m = 0.0C y = 0.D y m =

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13

．已知双曲线()22221

0,011x y a b a b

-=>><的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为 ▲ 14．执行如图所示的程序框图，若输入[]1,3,t ∈-则输出s 的取值范围是 ▲

15．已知向量()0,1,||7,1,AB AC AB BC ==⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r 则△ABC 面积为 ▲

16．已知正方体1111A A C B D C B D -的棱长为2，点M ，N 分别是棱BC ，CC 1的中点，则二面角C AM N --的余弦值为 ▲ ,若动点P 在正方形BCC 1B 1(包括边界)内运动，且PA 1∥平面,AMN 则线段1PA 的长度范围是 ▲ .(本小题第一空2分，第二空3分).

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~23题为选考题，考生根据要求作答.

17．(12分)(一)必考题：共60分

已知数列{a n }是等比数列，且公比q 不等于1，数列{b n }满足2n b n a =.

(Ⅰ)求证：数列{b n }是等差数列;

(Ⅱ)若12432,32,a a a a ==+求数列211log n

n b a +⎧⎫⎨

⎬⎩⎭的前n 项和S n .

18．(12分)

如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，AB ∥,90,D A B C D ︒∠=点E 为PB 的中点，且 CD=2AD=2AB=4，点F 在CD 上，且13

DF FC =.

(Ⅰ)求证：EF ∥平面PAD ；

(Ⅱ)若平面PAD ⊥平面,D ABCD PA P P D PA =⊥且//PD ，求直线PA 与平面PBF 所成角的正弦值.

19．(12分)

已知椭圆C:2

212

x y +=与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于B 、C 两点. (Ⅰ)求过A ，B ，C 三点的圆E 的方程

(Ⅱ)若O 为坐标原点，直线l 与椭圆C 和(Ⅰ)中的圆E 分别相切于点P 和点Q(P ，Q 不重合)，求直线OP 与直线EQ 的斜率之积。