用待定系数法求二次函数表达式的三种形式

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用待定系数法求二次函数解析式的几种方法

用待定系数法求二次函数解析式的几种方法二次函数解析式是高中数学中最基本的概念，其表示的是简单的直线、抛物线或是曲线的方程。

它的复杂性使得学生更易于弄清楚，并且在数学知识的建立上也有较大的作用。

本文将介绍用待定系数法求二次函数解析式的几种方法。

首先，用待定系数法求二次函数解析式也称为求因式分解法，是一种求解二次函数解析式的有效方法。

它所给出的解析式可以使用此解析式求解函数的最大值、最小值以及极值点，有助于研究函数的拓展和深入分析。

求解二次函数解析式的待定系数法通常包括以下几个步骤：首先，将二次函数解析式以下式形式表达：ax + bx + c = 0；其次，求解ax + bx + c的系数a、b、c的解，即a、b、c的值，这样就可以得到完整的二次函数解析式；最后，根据完整的二次函数解析式，可以进行函数曲线的画法，以便对函数特征进行更深入的分析。

这种求解二次函数解析式的待定系数法还可以用来求二次不等式的解。

这些不等式的解也可以用上述的方法求出，只需将其表示成ax + bx + c 不等式的形式，并根据所给的条件来解系数a、b、c，从而得到最终的不等式解。

此外，学生也可以使用特殊的因式分解法，通过将二次函数解析式表示成ax+bx+c=f(x)形式，通过求出形式系数a、b、c来求解因式分解法。

这种方法可以用来求解多项式方程，从而得到多项式函数的解析式。

在求解二次函数时，还有一种简便而又实用的方法，即通过图表的方法，根据函数图象的特点求出函数的解析式，从而更加简单、快捷地求解二次函数。

通过以上介绍，用待定系数法求二次函数解析式的几种方法已经清楚地展示出来。

由此可见，求解二次函数解析式使用待定系数法可以得到准确、完整的解析式，从而有助于学生更好地理解函数的拓展及应用，进而深入认识数学知识，受益匪浅。

待定系数法求二次函数解析式

待定系数法求二次函数解析式一、用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法：1．已知抛物线过三点，设一般式为y＝ax2＋bx＋c．2．已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式y＝a(x－h)2＋k．3．已知抛物线与x轴有两个交点（或已知抛物线与x轴交点的横坐标），设两根式：y＝a(x－x1)(x－x2) ．（其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标）例题分析例1 已知抛物线经过点A（－1，0），B（4，5），C（0，－3），求抛物线的解析式．例2 已知抛物线顶点为（1，－4），且又过点（2，－3）．求抛物线的解析式．例3 已知抛物线与x轴的两交点为（－1，0）和（3，0），且过点（2，－3）．求抛物线的解析式．二、应用迁移巩固提高1.已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式。

2.二次函数，=－2时=－6, =2时=10, =3时=24,求此函数的解析式。

3.已知抛物线的顶点（－1，－2）且图象经过（1，10），求此抛物线解析式。

4.已知抛物线的顶点坐标为（4，－1），与轴交于点（0，3），求这条抛物线的解析式5.二次函数的对称轴为=3，最小值为－2，且过（0，1），求此函数的解析式。

6.抛物线的对称轴是=2，且过（4，－4）、（－1，2），求此抛物线的解析式。

7.已知二次函数的图象与轴的交点为（－5，0），（2，0），且图象经过（3，－4），求解析式8.抛物线的顶点为（－1，－8），它与轴的两个交点间的距离为4，求此抛物线的解析式。

9. 二次函数，当x＜6时随的增大而减小，＞6时随的增大而增大，其最小值为－12，其图象与轴的交点的横坐标是8，求此函数的解析式。

10、已知直线y=x-3与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图象经过A、B两点，且对称轴方程为x=1，求这个二次函数的解析式。

11、已知二次函数y1= ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图象交于两点A（-2，－5）和B（1，4），且二次函数图象与y轴的交点在直线y=2x+3上，求这两个函数的解析式。

九年级数学二次函数第23课时用待定系数法求二次函数的解析式(2)顶点式与交点式

解20:21（/12/110）y= （x－4）2－1. （2）（6,0）和（2,0）.
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典型例题 (diǎnxíng)
知识点2：利用交点(jiāodiǎn)式求抛物线的解析式【例3】已知抛物线经过点A（-4，0），B（-2，6），C（1， 0），求这条抛物线的解析式.
解:y=-x2-3x+4.
11. 已知二次函数的图象经过点（0，-3），顶点坐标为（-1，4）. （1）求这个二次函数的解析式；（2）求图象与x轴的交点(jiāodiǎn)A，B两点的坐标；（3）若图象与y轴的交点为点C，求△ABC的面积.
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拓展提升 (tuò zhǎn)
解:（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）2-4，把点（0， -3）代入,得a-4=-3. 解得a=1. 所以函数解析式y=（x+1）2-4或y=x2+2x-3. （2）当y=0时，x2+2x-3=0，解得x1=1，x2=-3.所以 A（3，0），B（1，0）. （3）∵C（0，-3）， ∴△ABC的面积= ×（1+3）×3=6.
解:（1）A（0，1），B（0，-1），
C（4，-1），D（4，1），E（2，1）.
（2）y= 2021/12/10
（x－2）2+1.
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拓展提升 (tuò zhǎn)
9. 已知抛物线过点A（2，0），B（-1，0），与y轴交于点C，
且OC=2. 则这条抛物线的解析式为（
）
C
A. y=x2-x-2
No （3）若图象与y轴的交点为点C，求△ABC的面积.。（1）求此抛物线的解析式。（2）当PB+PC的值最小

用待定系数法求二次函数表达式的三种形式

出该函数表达式。
例题1 已知抛物线过点（1，0）（3，-2）（5，0），求该抛物线所对应函数的表达式。
例题2 抛物线对称轴为直线x=-1，最高点的纵坐标为4，且与x 轴两交点之间的距离是6，求次二次函x1 数的解析式。
巩固练习
• 1.已知抛物线与x轴的两交点为（－1，0）和（3， 0），且过点（2，－3）．求抛物线的解析式．
待定系数法求二次函数表达式常见的三种形式：
一般式 • 1.
：y=ax²+bx+c （a，b，c为常数，且a≠0）
• 2.顶点式：y=a（x+h）²+k
(a 0)顶点坐标（ h, k)
• 3.交点式： y a(x x1)(x x2 )
一、一般式 y ax2 bx c(a )
已知二次函数 y ax2 bx c 图象过某三
14.已知二次函数y=x²+2（n+3）x+16的顶点在坐标轴上，求该二次函数表达式。
15.已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为P（2,-1），图象与x轴交于A，B两点。若△PAB的x1 面积为6，求该抛物线所对应函数的解析式。
•谢谢
14
பைடு நூலகம்
• 3.二次函数y=ax²+bx+c，x=6时，y=0;x=4时， y有最大值为8，求此函数的解析式。
• 4.若二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的最大值是 2，图象经过点（-2,4）且顶点在直线y=-2x上，试求ab+c的值
三、交点式 y a(x x1)(x x2 )
已知二次函数图象与x轴两交点坐标分别为 (x1,0),(x2,0) 通常选用交点式，再根据其他即可解出a值，从而求

九年级数学上(人教版)课件：22.1 第2课时用待定系数法求二次函数y=ax2+bx+c的解析式

(2)求抛物线的顶点D的坐标和对称轴； (3)求四边形ABDE的面积．
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，自变量x和函数值y的部分对应值如下表：则该二次函数y＝ax2＋bx＋c在x＝3时，y＝___-_4_____．
知识点二：用顶点式求二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式例2 已知对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为(1，－4)，且与直线y ＝x＋1交于点(m，5)．求抛物线的解析式．
(2)若抛物线的顶点为D，对称轴所在直线交x 轴于点E，连接AD，点F为AD的中点，求出线段EF的长．
13．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，它的中心与坐标原点O重合，对角线 BE在x轴上，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0，b＞0)经过正六边形的三个顶点，求该抛物线的解析式．
9．已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点B(－1，0)和点C(2，3)． (1)求此抛物线的解析式；
(2)如果此抛物线上下平移后过点(－2，－1)，试确定平移的方向和平移的距离．
【解】在y＝－x2＋2x＋3中，当x＝－2时，y＝－4－4＋3＝－5，若点(－2，－5)平移后的对应点为(－2，－1)，则需将抛物线向上平移4个单位长度．
则该二次函数的解析式为__y_＝__x_2_＋__x_－__2____________．
知识点三：用交点式求二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式例3 (新乡)已知抛物线过点A(2，0)，B(－1，0)，与y轴交于点C，且 OC＝2.则这条抛物线的解析式是( C ) A．y＝x2－x－2 B．y＝－x2＋x＋2 C．y＝x2－x－2或y＝－x2＋x＋2 D．y＝－x2－x－2或y＝x2＋x＋2
【解】 ∵直线y＝x＋1过点(m，5)， ∴5＝m＋1，即m＝4， ∴抛物线与直线交于点(4，5)．又∵对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为(1，－4)，∴令y＝ a(x－1)2－4.

用待定系数法求二次函数解析式(专题复习)

y= -1(x+1)(x-3) = -x2+2x+3
知识回顾 Knowledge Review
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3.交点式 y=a(x-x1)(x-x2) 知道抛物线与x轴的两个交点的坐
标,或一个交点的坐标及对称轴方程或顶点的横坐标时选用两根式比较简便. (1)当△=b2- 4ac≥0 ,抛物线与x轴相交
y=ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) △=b2- 4ac＞0 ，交点有两个，分别是: (x1, 0)和(x2, 0) △=b2- 4ac =0,交点只有一个即顶点[-b/2a,(4ac-b2)/4a] △=b2- 4ac <0 ,无交点
解：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c ∵ 图象过B(0,2) ∴ c=2 ∴ y=ax2+bx+2 ∵ 图象过A(2,-4),C(-1,2)两点 ∴ -4=4a+2b+2
2=a-b+2 解得 a=-1,b=-1 ∴ 函数的解析式为：
y=-x2-x+2
2. 顶点式 y=a(x-h)2+k (a≠0)已知对称轴
y=a(x-1)2+4 ∵抛物线过点(-1, 0) ∴ 0=a(-1-1)2+4 得 a= -1
∴ 函数的解析式为： y= -1(x-1)2+4= -x2+2x+3
解法3:（交点式）由题意可知两根为x1=-1、x2=3 设二次函数解析式为y=a(x-x1)(x-x2) 则有： y=a(x+1)(x-3) ∵ 函数图象过点(1,4) ∴ 4 =a(1+1)(1-3) 得 a= -1 ∴ 函数的解析式为：

九年级上数学专题复习一：待定系数法求二次函数表达式(含答案)

专题复习一待定系数法求二次函数表达式二次函数表达式的三种形式：①一般式y=ax 2+bx+c(a ≠0);②顶点式y=a(x-m)2+k(a ≠0);③交点式(分解式)y=a(x-x 1)(x-x 2),求函数表达式时要根据已知条件合理选择表达式形式.1.一抛物线和抛物线y=-2x 2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(-1，3)，则该抛物线的函数表达式为(B ).A.y=-2(x-1)2+3B.y=-2(x+1)2+3C.y=-(2x+1)2+3D.y=-(2x-1)2+32.如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象顶点为点A(-2，-2)，且过点B(0，2)，则y 关于x 的函数表达式为(D ).A.y=x 2+2B.y=(x-2)2+2C.y=(x-2)2-2D.y=(x+2)2-2(第2题) (第3题) （第4题） (第8题)3.如图所示为抛物线的图象，根据图象可知，抛物线的函数表达式可能为(A ). A.y=-x 2+x+2 B.y=-21x 2-21x+2 C.y=-21x 2-21x+1 D.y=x 2-x-2 4.如图所示，二次函数y=x 2+bx+c 的图象过点B(0，-2).该二次函数的图象与反比例函数y=-x8的图象交于点A(m ，4)，则这个二次函数的表达式为(A ).A.y=x 2-x-2B.y=x 2-x+2C.y=x 2+x-2D.y=x 2+x+2 5.抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)经过(1，2)和(-1，-6)两点，则a+c= -2 ．6.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y 轴交于点C(0，3)，则二次函数的表达式为 y=x 2-4x+3 ．7.老师给出一个函数，四位同学各指出了这个函数的一个性质：①函数的图象不经过第三象限；②函数的图象经过第一象限；③当x ＜2时，y 随x 的增大而减小；④当x ＜2时，y ＞0．已知这四位同学的叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数： y=（x-2）2（不唯一）． 8.如图所示，将Rt △AOB 绕点O 逆时针旋转90°，得到△A1OB1，若点A 的坐标为(2，1)，过点A ，O ，A1的抛物线的函数表达式为 y=65x 2-67x ． 9.根据下列条件求二次函数的表达式.(1)二次函数y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点的横坐标是-21,23,与y 轴交点的纵坐标是-5，求这个二次函数的表达式．(2)二次函数图象的顶点在x 轴上，且图象过点(2，-2)，(-1，-8)，求此函数的表达式．【答案】(1)设抛物线的函数表达式为y=a （x+21）（x-23）.把点（0，-5）代入，得a ×21×（-23）=-5，解得a=320.∴抛物线的函数表达式为y=320（x+21）（x-23）=320x 2-320x-5.(2)设抛物线的函数表达式为y=a （x-k ）2.把点（2，-2）,（-1，-8）代入，得()()⎪⎩⎪⎨⎧-=---=-812222k a k a ,解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=592k a ,或⎩⎨⎧=-=12k a .∴抛物线的函数表达式为y=-92（x-5）2或y=-2（x-1）2.（第10题）10.在平面直角坐标系中，抛物线y=2x 2+mx+n 经过点A(0，-2)，B(3，4). (1)求抛物线的函数表达式及对称轴.(2)设点B 关于原点的对称点为C ，点D 是抛物线对称轴上一动点，且点D 的纵坐标为t ，记抛物线在A ，B 两点之间的部分为图象G(包含A ，B 两点).若直线CD 与图象G 有公共点，结合函数图象，求点D 纵坐标t 的取值范围.【答案】(1)把点A(0，-2)，B(3，4)代入抛物线y=2x 2+mx+n ，得⎩⎨⎧=++-=43182n m n ,解得⎩⎨⎧-=-=24n m .∴抛物线的函数表达式为y=2x 2-4x-2，对称轴为直线x=1.（第10题答图）(2)如答图所示，作出抛物线在A ，B 两点之间的图象G.由题意得C(-3，-4)，二次函数y=2x 2-4x-2的最小值为-4，由函数图象得出点D 纵坐标的最小值为-4.设直线BC 的表达式为y=kx+b ，将点B ，C 的坐标代入得⎩⎨⎧-=+-=+4343b k b k ,解得⎪⎩⎪⎨⎧==034b k .∴直线BC 的表达式y=34x.当x=1时，y=34，∴t 的取值范围是-4≤t ≤34.11.已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象经过点A(1，0)，B(0，-3)，且对称轴为直线x=2，则这条抛物线的顶点坐标为(B ).A.(2，3)B.(2，1)C.(-2，1)D.(2，-1)12.若一次函数y=x+m 2与y=2x+4的图象交于x 轴上同一点，则m 的值为(D ). A.2 B.±2 C.2 D.±213.若所求的二次函数图象与抛物线y=2x 2-4x-1有相同的顶点，且在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧y 随x 的增大而减小，则所求二次函数的表达式为(D ). A.y=-x 2+2x-5 B.y=ax 2-2ax+a-3(a ＞0) C.y=-2x 2-4x-5 D.y=ax 2-2ax+a-3(a ＜0)14.如图所示，已知二次函数y=x 2+bx+c 的图象经过点(-1，0)，(1，-2)，该图象与x 轴的另一个交点为点C ，则AC 长为 3 ．(第14题) (第16题)15.已知二次函数的图象经过原点及点(-2，-2)，且图象与x 轴的另一个交点到原点的距离为4，那么该二次函数的表达式为 y=21x 2+2x 或y=-61x 2+32x ． 16.如图所示，直线y=x+2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，AB ⊥BC ，且点C 在x 轴上.若抛物线y=ax 2+bx+c 以点C 为顶点，且经过点B ，则这条抛物线的函数表达式为 y=21x 2-2x+2 ．（第17题）17.如图所示，Rt △AOB 的直角边OA 在x 轴上，OA=2，AB=1，将Rt △AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到Rt △COD ，抛物线y=-65x 2+bx+c 经过B ，D 两点. (1)求二次函数的表达式.(2)连结BD ，点P 是抛物线上一点，直线OP 把△BOD 的周长分成相等的两部分，求点P 的坐标.【答案】(1)∵Rt △AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到Rt △COD ，∴CD=AB=1，OC=OA=2.则点B(2，1)，D(-1，2)，代入y=-65x 2+bx+c ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=++-26512310c b c b ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==31021c b .∴二次函数的表达式为y=-65x 2+21x+310.（第17题答图） (2)如答图所示，∵OA=2，AB=1，∴B(2，1).∵直线OP 把△BOD 的周长分成相等的两部分，且OB=OD ，∴DQ=BQ ，即点Q 为BD 的中点，D(-1，2).∴点Q 坐标为（21，23）.设直线OP 的表达式为y=kx ，将点Q 坐标代入，得21k=23，解得k=3.∴直线OP 的表达式为y=3x.由⎪⎩⎪⎨⎧++-==310216532x x y xy 得⎩⎨⎧==3111y x ,⎩⎨⎧-=-=12422y x .∴点P 的坐标为(1，3)或(-4，-12).（第18题）18.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+2过B(-2，6)，C(2，2)两点. (1)试求抛物线的函数表达式.(2)记抛物线的顶点为D ，求△BCD 的面积. (3)若直线y=-21x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B ，C)部分有两个交点，求b 的取值范围.【答案】(1)由题意⎩⎨⎧=++=+-22246224b a b a ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-==121b a .∴抛物线的函数表达式为y=21x 2-x+2.(2)如答图所示，∵y=21x 2-x+2=21(x-1)2+23.∴顶点D 的坐标为（1，23），对称轴为直线x=1.设直线BC 的函数表达式为y=kx+b.将B （-2，6），C （2，2）代入，得⎩⎨⎧=+=+-2262b k b k ,解得⎩⎨⎧=-=41b k .∴直线BC 的函数表达式为y=-x+4，∴对称轴与BC 的交点H(1，3).∴S △BDC=S△BDH+S △DHC =21×23×3+21×23×1=3. (3)由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=221212x x y b x y 消去y 得x 2-x+4-2b=0，当Δ=0时，直线与抛物线相切，1-4(4-2b)=0，解得b=815.当直线y=-21x+b 经过点C 时，b=3，当直线y=-21x+b 经过点B 时，b=5.∵直线y=-21x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B ，C)部分有两个交点，∴815＜b ≤3.（第19题）19.【贵港】将如图所示的抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的函数表达式为(A ).A.y=(x-1)2+1B.y=(x+1)2+1C.y=2(x-1)2+1D.y=2(x+1)2+120.【广州】已知抛物线y1=-x 2+mx+n ，直线y 2=kx+b ，y 1的对称轴与y 2交于点A(-1，5)，点A 与y 1的顶点B 的距离是4. (1)求y 1的函数表达式.(2)若y 2随着x 的增大而增大，且y 1与y 2都经过x 轴上的同一点，求y 2的函数表达式. 【答案】(1)∵抛物线y1=-x 2+mx+n ，直线y 2=kx+b ，y 1的对称轴与y 2交于点A(-1，5)，点A与y 1的顶点B 的距离是4.∴B(-1，1)或(-1，9).∴-()12-⨯m=-1，()()14142-⨯--⨯m n =1或9，解得m=-2，n=0或8.∴y1=-x 2-2x 或y1=-x 2-2x+8.(2)①当y1=-x 2-2x 时，抛物线与x 轴的交点是(0，0)和(-2，0).∵y 1的对称轴与y 2交于点A(-1，5)，∴y 1与y 2都经过x 轴上的同一点(-2，0).把(-1，5)，(-2，0)代入得⎩⎨⎧=+-=+-025b k b k ,解得⎩⎨⎧==105b k .∴y 2=5x+10.②当y1=-x 2-2x+8时，令-x 2-2x+8=0，解得x=-4或2.∵y 2随着x 的增大而增大，且过点A(-1，5)，∴y 1与y 2都经过x 轴上的同一点(-4，0).把(-1，5)，(-4，0)代入得⎩⎨⎧=+-=+-045b k b k ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==32035b k .∴y 2=35x+320.综上可得y 2=5x+10或y 2=35x+320.21.如图所示，直线y=-21x+2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点B ，C 和点A(-1，0)． (1)求B ，C 两点的坐标． (2)求该二次函数的表达式．(3)若抛物线的对称轴与x 轴的交点为点D ，则在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由． (4)点E 是线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时点E 的坐标．(第21题) 图1 图2（第21题答图）【答案】(1)令x=0，可得y=2;令y=0，可得x=4，∴B,C 两点的坐标分别为B （4，0），C （0，2）.(2)设二次函数的表达式为y=ax 2+bx+c ，将点A ，B ，C 的坐标代入表达式得⎪⎩⎪⎨⎧==++=+-204160c c b a c b a ,解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=22321c b a .∴该二次函数的表达式为y=-21x 2+23x+2.(3)存在.∵y=-21x 2+23x+2=-21(x-23)2+825，∴抛物线的对称轴是直线x=23.∴OD=23.∵C （0，2），∴OC=2.在Rt △OCD 中，由勾股定理得CD=25.∵△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形，∴CP 1=DP 2=DP 3=CD.如答图1所示，作CH ⊥对称轴直线x=23于点H ，∴HP 1=HD=2，∴DP 1=4.∴P 1(23，4)，P 2(23，25)，P 3(23，-25). (4)如答图2所示，过点C 作CM ⊥EF 于点M ，设E （a ，-21a+2），F （a ，-21a 2+23a+2），∴EF=-21a 2+23a+2-（-21a+2）=-21a 2+2a （0≤a ≤4）.∵S 四边形CDBF =S △BCD +S △CEF +S △BEF =21BD·OC+21EF·CM+21EF·BN=25+21a （-21a 2+2a ）+21（4-a ）（-21a 2+2a ）=-a 2+4a+25=-（a-2）2+213，∴当a=2时，四边形CDBF 的面积最大，最大面积为213，此时点E 坐标为（2，1）.。

求二次函数解析式的三种方法

求二次函数解析式的三种基本方法四川倪先德二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。

熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。

二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0)。

2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。

3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。

求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。

2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。

3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。

探究问题，典例指津：例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式．分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)。

解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0)依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧-===432c b a∴这个二次函数的解析式为y=2x 2+3x －4。

例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。

分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点。

解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x －4)2－1 (a ≠0)又抛物线与y 轴交于点)3,0(。

∴a(0－4)2－1=3 ∴a=41 ∴这个二次函数的解析式为y=41(x －4)2－1，即y=41x 2－2x+3。

待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解(提高)

待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解〔提高〕【学习目标】1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．【要点梳理】要点一、用待定系数法求二次函数解析式 1.二次函数解析式常见有以下几种形式：(1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)； (2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)． 2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+，或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，复原：将求出的待定系数复原到解析式中．要点诠释：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为2y ax bx c =++；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为2()y a x h k =-+；③当已知抛物线与x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)时，可设函数的解析式为12()()y a x x x x =--．【典型例题】类型一、用待定系数法求二次函数解析式1. 已知抛物线y ax bx c =++2经过A ，B ，C 三点，当x ≥0时，其图象如图1所示.求抛物线的解析式，写出顶点坐标.图1【答案与解析】设所求抛物线的解析式为y ax bx c =++2〔a ≠0〕. 由图象可知A ，B ，C 的坐标分别为〔0，2〕，〔4，0〕，〔5，-3〕.∴=++=++=-⎧⎨⎪⎩⎪c a b c a b c 216402553,,，解之，得a b c =-==⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪12322,,∴抛物线的解析式为y x x =-++123222 y x x x =--+=--+1232123225822()()∴该抛物线的顶点坐标为()32258，.【总结升华】这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标，需要从图象中获取信息.已知图象上三个点时，通常应用二次函数的一般式列方程求解析式.要特别注意：如果这道题是求“图象所表示的函数解析式”，那就必须加上自变量的取值范围x ≥0.2. 一条抛物线y x mx n =++142经过点()032，与()432，.求这条抛物线的解析式. 【答案与解析】抛物线y x mx n =++142经过点〔032,〕和(,)432， ∴这条抛物线的对称轴是直线x =2.设所求抛物线的解析式为y x h =-+1422().将点(,)032代入，得1402322()-+=h ，解得h =12. ∴这条抛物线的解析式为y x =-+142122()，即y x x =-+14322. 【总结升华】解析式中的a 值已经知道，只需求出m n ,的值。

待定系数法求二次函数

待定系数法求二次函数
待定系数法是一种求解二次函数的有效方法。

在数学中，二次函数是指具有特定形式的函数，它以平方项开头，如 y = ax2 + bx + c，其中a，b和c是常数，x是一个变量。

此形式的函数可以用来表示一个物理或经济系统中的复杂关系，例如物理学中的力与位移之间的关系。

待定系数法是一种求解二次函数的有效方法，它旨在确定函数的参数，以描述物理或经济系统的关系。

使用此方法，用户可以提供两个点，然后使用这些点来解决函数的参数。

要使用此方法，首先需要准备一些基本信息。

如果有两个点（x1，y1）和（x2，y2），可以使用以下方程式：
ax2 + bx + c = y1
ax2 + bx + c = y2
由此可以推导出两个方程：
a(x2 - x1) = y2 - y1
b(x2 - x1) = (y2 - y1)x1 - (y2 - y1)x2
将以上结果代入到原始二次函数中，即可求出函数的参数：
a = (y2 - y1) / (x2 - x1)
b = (y2 - y1)x1 - (y2 - y1)x2 / (x2 - x1)
c = y1 - ax1 - bx2
最后，可以将a，b和c代入到原始函数中，以获得完整的二次函数。

待定系数法是一种有效的求解二次函数的方法，它可以帮助用户解决复杂的物理或经济系统中的关系。

待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解

待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解一般来说，二次函数的一般形式为：y = ax^2 + bx + c （其中a、b、c为常数，且a≠0）。

我们可以使用待定系数法来求解二次函数的解析式，具体步骤如下：1.设定待定系数：我们设定系数a、b、c的值为待定系数。

即假设a、b、c的值为未知数。

2.建立方程：根据二次函数的一般形式y = ax^2 + bx + c，我们可以将二次函数转化为一元二次方程。

在方程中，将x、y的值用待定系数a、b、c表示。

3.解方程：根据设定的待定系数，将二次方程化简为标准形式，并利用解一元二次方程的方法求解出待定系数的值。

4.得出结果：通过求解出的待定系数，我们可以得出二次函数的解析式。

下面我们通过一个具体的例子来说明待定系数法的应用。

例：已知二次函数图像经过点（1，3），（-2，2）和（3，4），求解此二次函数的解析式。

解：根据已知条件，我们可以列出三个方程：（1，3）：a+b+c=3（-2，2）：4a-2b+c=2（3，4）：9a+3b+c=4根据设定的待定系数a、b、c，化简以上方程可以得到：a+b+c=3----（1）4a-2b+c=2----（2）9a+3b+c=4----（3）我们可以使用消元法或代入法来求解此方程组。

首先，将方程（2）的2倍加到方程（1）中，可以得到：6a-2b+2c=6然后，将方程（3）的3倍减去方程（1）中，可以得到：24a+6b-3c=6现在我们得到了两个新的方程：6a-2b+2c=6----（4）24a+6b-3c=6----（5）再将方程（5）的3倍加到方程（4）中，可以得到：6a+4c=24我们可以解得：a=3-2c将上式代入方程（1）中，可以得到：(3-2c)+b+c=3整理可得：b-c=0b=c所以，我们可以令b=c。

现在我们得到了a=3-2c和b=c。

将a、b、c的值代入方程（1）中，可以得到：(3-2c)+c+c=3化简可得：-2c+3=3-2c=0c=0将c=0代入a=3-2c和b=c中，可以得到：a=3b=0所以，二次函数的解析式为：y=3x^2通过以上步骤，我们成功使用待定系数法求解了二次函数的解析式。

待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解(基础)

待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解（基础）【学习目标】1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．【要点梳理】要点一、用待定系数法求二次函数解析式1.二次函数解析式常见有以下几种形式：(1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)；(2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)．2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+，或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．要点诠释：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为2y ax bx c =++；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为2()y a x h k =-+；③当已知抛物线与x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)时，可设函数的解析式为12()()y a x x x x =--．【典型例题】类型一、用待定系数法求二次函数解析式1．（2014秋•岳池县期末）已知二次函数图象过点O （0，0）、A （1，3）、B （﹣2，6），求函数的解析式和对称轴．【答案与解析】解：设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ，把O （0，0）、A （1，3）、B （﹣2，6）各点代入上式得解得，∴抛物线解析式为y=2x 2+x ；∴抛物线的对称轴x=﹣=﹣=﹣．【总结升华】若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0).举一反三：【高清课程名称：待定系数法求二次函数的解析式高清ID 号： 356565 关联的位置名称（播放点名称）：例1】【变式】已知：抛物线2y ax bx c =++经过A （0，5-），B （1，3-），C （1-，11-）三点，求它的顶点坐标及对称轴．【答案】设52-+=bx ax y (a ≠0)，据题意列⎩⎨⎧--=--+=-51153b a b a ，解得⎩⎨⎧=-=42b a ，所得函数为5422-+-=x x y对称轴方程：1=x ，顶点()31-,.2.（2015•巴中模拟）已知抛物线的顶点坐标为M （1，﹣2），且经过点N （2，3），求此二次函数的解析式．【答案与解析】解：已知抛物线的顶点坐标为M （1，﹣2），设此二次函数的解析式为y=a （x ﹣1）2﹣2，把点（2，3）代入解析式，得：a ﹣2=3，即a=5，∴此函数的解析式为y=5（x ﹣1）2﹣2．【总结升华】本题已知顶点，可设顶点式.举一反三：【高清课程名称：待定系数法求二次函数的解析式高清ID 号： 356565 关联的位置名称（播放点名称）：例2】【变式】在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为(14)A -，，且过点(30)B ，. （1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标.【答案】（1）223y x x =--．（2）令0y =，得2230x x --=，解方程，得13x =，21x =-． ∴二次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别为(30)，和(10)-，．∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点．平移后所得图象与x 轴的另一个交点坐标为(40)，.3．已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式．【答案与解析】解法一：设二次函数解析式为2y ax bx c =++(a ≠0)，由图象知函数图象经过点(3，0)，(0，3)．则有930,3,1,2a b c c b a⎧⎪++=⎪=⎨⎪⎪-=⎩ 解得1,2,3.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ 抛物线解析式为223y x x =-++．解法二：设抛物线解析式为12()()y a x x x x =--(a ≠0)．由图象知，抛物线与x 轴两交点为(-1，0)，(3，0)．则有(1)(3)y a x x =+-，即223y ax ax a =--．又33a -=，∴ 1a =-．∴ 抛抛物物解析式为223y x x =-++．解法三：设二次函数解析式为2()y a x h k =-+(a ≠0)．则有2(1)y a x k =-+，将点(3，0)，(0，3)代入得 40,3,a k a k +=⎧⎨+=⎩ 解得1,4.a k =-⎧⎨=⎩ ∴ 二次函数解析式为2(1)4y x =--+，即223y x x =-++．【总结升华】二次函数的解析式有三种不同的形式，它们是相互联系、并可相互转化的，在实际解题时，一定要根据已知条件的特点，灵活选择不同形式的解析式求解．类型二、用待定系数法解题4．已知抛物线经过(3，5)，A(4，0)，B(-2，0)，且与y 轴交于点C ．(1)求二次函数解析式；(2)求△ABC 的面积．【答案与解析】(1)设抛物线解析式为(2)(4)y a x x =+-(a ≠0)，将(3，5)代入得5(32)(34)a =+- ， ∴ 1a =-．∴ (2)(4)y x x =-+-．即228y x x =-++．(2)由(1)知C(0，8)，∴ 1(42)8242ABC S =+⨯=△．【总结升华】此题容易误将(3，5)当成抛物线顶点．将抛物线解析式设成顶点式．。

用待定系数法求二次函数解析式的几种方法

用待定系数法求二次函数解析式的几种方法待定系数法是一种可以用来求二次函数解析式的有效方法。

基本原理是，通过把二次函数拆分为两个一次函数的乘积，然后根据给定的条件将未知的系数代入到两个一次函数之中，从而计算出二次函数的解析式。

首先，我们可以用待定系数法计算二次函数的标准形式的解析式。

一般来说，二次函数的标准形式是ax^2+bx+c=0，根据定理，二次函数的根为： x = [-b (b^2-4ac)] / 2a.二次函数分解为两个一次函数相乘：ax^2 + bx + c = a(x+p)(x+q),p + q = -b, pq = c.结合给定的条件，将未知的系数代入到两个一次函数之中，即可求得p、q的值。

最后，根据互相关联的关系，计算出q p的值，就可以得到二次函数的标准形式的解析式。

其次，我们可以用待定系数法求解二次函数的非标准形式的解析式。

一般来说，非标准形式的二次函数是一般形式ax^2 + bx + c = 0类似于标准形式，我们可以将二次函数分解为两个一次函数相乘：ax^2 + bx + c = a(x + p/a )(x + q/a)。

对于任意给定的一般形式的二次方程，我们可以先将它降幂变为标准形式，然后再计算p、q的值。

最后，根据互相关联的关系，计算出 q p的值，就可以得到二次函数的非标准形式的解析式。

再次，我们还可以用待定系数法解决一些特殊情况下的二次函数。

比如说，二次函数在x=0处有极值点时，ax^2+bx+c= 0.种情况下，我们可以将二次函数分解为两个一次函数:ax^2 + bx + c = a(x + p)(x + q) + ap, q = 0。

根据给定的条件，将未知的系数代入到两个一次函数之中，即可求得p、q的值。

最后，根据互相关联的关系，计算出q p的值，就可以得到二次函数的特殊情况下的解析式。

总之，待定系数法是一种可以用来求二次函数解析式的有效方法。

它可以用来求解二次函数的标准形式和非标准形式，以及一些特殊情况下的二次函数的解析式。

第2课时用待定系数法求二次函数y=ax2+bx+c的解析式

y＝x2＋x－2 则该二次函数的解析式为________________________ ．
知识点三：用交点式求二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式例3 (新乡)已知抛物线过点A(2，0)，B(－1，0)，与y轴交于点C，且 OC＝2.则这条抛物线的解析式是( C A．y＝x2－x－2 B．y＝－x2＋x＋2 C．y＝x2－x－2或y＝－x2＋x＋2 D．y＝－x2－x－2或y＝x2＋x＋2 )
*8.已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为
y＝－3x2＋6x ______________________ ．
9．已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点B(－1，0)和点C(2，3)． (1)求此抛物线的解析式；
(2)如果此抛物线上下平移后过点(－2，－1)，试确定平移的方向和平移的距离．【解】在y＝－x2＋2x＋3中，当x＝－2时，y＝－4－4＋3＝－5，
当x＝4时，m＝－2×16＋16＋1＝－15. 12．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(4，5)两点，解答下列问题： (1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线的顶点为D，对称轴所在直线交x 轴于点E，连接AD，点F为AD的中点，求出线段EF的长．
13．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，它的中心与坐标原点O重合，对角线 BE在x轴上，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0，b＞0)经过正六边形的三个顶点，求该抛物线的解析式．
D )
B．x＝3
C．x＝－5
y＝2x2＋4x＋5 _____________________ ．
D．x＝－1
5．抛物线经过点(0，5)，(－1，3)，(1，11)，则抛物线的解析式为 6．(大同)顶点为(－2，－5)且过点(1，－14)的抛物线的解析式为 y＝－(x＋2)2－5 ______________________ ． 7．请写出一个开口向上，与y轴交点的纵坐标为－1且经过点(1，3)的抛物线的 y＝x2＋3x－1(答案不唯一) 解析式：________________________________ ．

用待定系数法求二次函数的表达式

y
o
x
知识链接
y=kx (k≠0)
y k（k 0系）数k 需待定 x
找一个点确定一个方程
找两个点
y=kx+b (k≠0) 两系数k,b需待定
两个方程
解一元一次方程
解二元一次方程组
y=ax2+bx+c （a≠0）三个系数需待定找三个点三个方程
解三元一次方程组
待定系数法
二次函数解析式有哪几种表达式？
有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的解析式．
解：设抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋c，
根据题意可知抛物线经过(0，0) (20，16)和(40，0)三点
{ 可得方程组
C=0 400a +20b +c=16
1600a +40b +c=0
已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6），求此二次函数的解析式。
解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1。故顶点坐标为（ 1 ， 2）所以可设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 得a=-2 故所求二次函数的解析式为：y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x
解得a=-2—15 b=—58 c=0
评价
通过利用给定的条件列出a、b、c的三元一次方程组，求出a、 b、c的值，从而确定函数的解析式．过程较繁杂。

待定系数法求二次函数解析式

待定系数法求二次函数解析式1.内容提要：二次函数解析式有三种表达形式，1.一般式：y=ax 2+bx+c ；其中 a≠0, a, b, c 为常数2.顶点式：y=a(x －h)2+k ；其中a≠0, a, h, k 为常数，(h,k)为顶点坐标。

3.交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2)；其中a≠0, a, x 1,x 2 为常数，x 1,x 2是抛物线与横轴两交点的横坐标.每种形式都有三个待定的系数，所以用待定系数法求二次函数解析式应注意以下几点：（1）根据题目给定的条件注意选择适当的表达形式，一般已知抛物线的顶点，用y=a(x －h)2+k(a≠0)(简称顶点式)；已知抛物线与x 轴的两个交点(或与x 轴的一个交点及对称轴)，用y=a(x －x 1)(x －x 2)(a≠0)(简称两点式)；（2）解题过程中待定的系数越少，需构造的方程也越少，这样可以大大简化计算过程，故尽量由已知直接确定某些系数；（3）若题目给定二次函数解析式的某种形式(如y=ax 2+ bx+c=0 (a≠0))，那么最后的结果必须写成此种形式。

2.例题分析：(1)一般式法例1、已知二次函数的图象经过A(0，1)，B(1，2)，C(2，－1)三点，那么这个二次函数的解析式是？解：设二次函数是y=ax 2+bx+c ，由已知函数图象过(0，1)，(1，2)，(2，－1)三点。

得：⎪⎩⎪⎨⎧-=++=++=12421c b a c b a c ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧==-=132c b a ∴ 函数解析式为y=－2x 2+3x+1.小结：因为过任意三点，可以用“一般式”，求解列出三元一次方程组，注意消元，求出a 、b 、c 值。

(2)顶点坐标法例2、某抛物线的顶点为(－2，3)，并经过点(－1，5)。

求此抛物线的解析式。

解：(方法一)设二次函解析式为：y=a(x －h)2+k ，其顶点是(h, k).∵顶点是(－2，3)，∴ y=a(x+2)2+3.又∵过(－1，5)点，∴ 5=a(－1+2)2+3.∴ a=2,∴ y=2(x+2)2+3, ∴ y=2x 2+8x+11.∴ 函数解析式为：y=2x 2+8x+11.小结：因为有顶点坐标，又过任意一点，可以用顶点式，分别代入顶点坐标，和任意一点坐标，求出a 值，结果写成一般式。

用待定系数法确定二次函数表达式

用待定系数法确定二次函数表达式知识点一、二次函数解析式的三种形式1.一般式：y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数，且a≠0）；2.顶点式：y＝a（x－h）2＋k（a、h、k为常数，且a≠0）；3.交点式：y＝a（x－x1）（x－x2）（x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0）.例：二次函数化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果正确的是（）A．B．C．D．【解答】A【解析】故选A．知识点二、待定系数法求二次函数表达式在求含有待定系数的二次函数的表达式时，可以通过题中条件得到方程（组），解出这些待定系数，从而得到函数表达式.1.二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中若有一个待定系数，就需要已知一个条件得到一个方程求解；若有两个待定系数，就需要已知两个条件得到两个方程，联立得到二元一次方程组求解；若有三个待定系数，就需要已知三个条件，组成一个三元一次方程组求解.2.当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，通常设函数表达式为y＝a（x－h）2＋k.3.当已知抛物线与x轴交点坐标时，通常设函数表达式为y＝a（x－x1）（x－x2），其中x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标.例：若某二次函数图象的形状与抛物线y＝3x2相同，且顶点坐标为（0，﹣2），则它的表达式为．【解答】y＝3x2﹣2或y＝﹣3x2﹣2．【解析】图象顶点坐标为（0，﹣2），可以设函数解析式是y＝ax2﹣2，又∵形状与抛物线y＝﹣3x2相同，即二次项系数绝对值相同，∴|a|＝3，∴这个函数解析式是：y＝3x2﹣2或y＝﹣3x2﹣2，故答案为y＝3x2﹣2或y＝﹣3x2﹣2．巩固练习一．选择题1．二次函数y＝ax2﹣2ax+b中，当﹣1≤x≤4时，﹣2≤y≤3，则b﹣a的值为（）A．﹣6B．﹣6或7C．3D．3或﹣2【解答】D【解析】∵抛物线y＝ax2﹣2ax+b＝a（x﹣1）2+b﹣a，∴顶点（1，b﹣a）当a＞0时，当﹣1≤x≤4时，﹣2≤y≤3，函数有最小值，∴b﹣a＝﹣2，当a＜0时，当﹣1≤x≤4时，﹣2≤y≤3，函数有最大值，∴b﹣a＝3，故选D．2．设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（）A．若h＝4，则a＜0B．若h＝5，则a＞0C．若h＝6，则a＜0D．若h＝7，则a＞0【解答】C【解析】当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式得：1=a(1―h)2+k 8=a(8―ℎ)2+k，∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝7，整理得：a（9﹣2h）＝1，若h＝4，则a＝1，故A错误；若h＝5，则a＝﹣1，故B错误；，故C正确；若h＝6，则a=―13，故D错误；若h＝7，则a=―15故选C．3．将二次函数y＝x2+4x﹣1用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式，下列所配方的结果中正确的是（）A．y＝（x﹣2）2+5B．y＝（x+2）2﹣5C．y＝（x﹣4）2﹣1D．y＝（x+4）2﹣5【解答】B【解析】y＝x2+4x﹣1＝y＝x2+4x+4﹣4﹣1＝（x+2）2﹣5，故选B．4．用配方法将二次函数y＝x2﹣6x﹣7化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣3）2+2B．y＝（x﹣3）2﹣16C．y＝（x+3）2+2D．y＝（x+3）2﹣16【解答】B【解析】y＝x2﹣6x﹣7＝（x﹣3）2﹣16，故选B．5．将二次函数y＝2x2﹣4x+1的右边进行配方，正确的结果是（）A．y＝2（x﹣1）2+1B．y＝2（x+1）2﹣1C．y＝2（x﹣1）2﹣1D．y＝2（x+1）2+1【解答】C【解析】提出二次项系数得，y＝2（x2﹣2x）+1，配方得，y＝2（x2﹣2x+1）+1﹣2，即y＝2（x﹣1）2﹣1．故选C．6．抛物线的顶点为（1，﹣4），与y轴交于点（0，﹣3），则该抛物线的解析式为（）A．y＝x2﹣2x﹣3B．y＝x2+2x﹣3C．y＝x2﹣2x+3D．y＝2x2﹣3x﹣3【解答】A【解析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）2﹣4，得：﹣3＝a（0﹣1）2﹣4，解得：a＝1，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．故选A．7．将二次函数y＝2x2﹣4x+5的右边进行配方，正确的结果是（）A．y＝2（x﹣1）2﹣3B．y＝2（x﹣2）2﹣3C．y＝2（x﹣1）2+3D．y＝2（x﹣2）2+3【解答】C【解析】提出二次项系数得，y＝2（x2﹣2x）+5，配方得，y＝2（x2﹣2x+1）+5﹣2，即y＝2（x﹣1）2+3．故选C．8．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，EG⊥AF，FH⊥CE，垂足分别为G，H，设AG＝x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）A．y＝2B．y＝2C．y＝8x2D．y＝9x2【解答】C【解析】设正方形的边长为2a，∴BC＝2a，BE＝a，∵E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝CF，∵AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AF∥CE，∵EG⊥AF，FH⊥CE，∴四边形EHFG是矩形，∵∠AEG+∠BEC＝∠BCE+∠BEC＝90°，∴∠AEG＝∠BCE，∴tan∠AEG＝tan∠BCE，∴AGEG =BEBC，∴EG＝2x，∴由勾股定理可知：AE，∴AB＝BC＝，∴CE＝5x，易证：△AEG≌△CFH，∴AG＝CH，∴EH＝EC﹣CH＝4x，∴y＝EG•EH＝8x2，故选C．9．如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC＝2．则这条抛物线的解析式是（）A．y＝x2﹣x﹣2B．y＝﹣x2﹣x﹣2或y＝x2+x+2C．y＝﹣x2+x+2D．y＝x2﹣x﹣2或y＝﹣x2+x+2【解答】D【解析】设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）（x+1），∵OC＝2，∴C点坐标为（0，2）或（0，﹣2），把C（0，2）代入y＝a（x﹣2）（x+1）得a•（﹣2）•1＝2，解得a＝﹣1，此时抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）（x+1），即y＝﹣x2+x+2；把C（0，﹣2）代入y＝a（x﹣2）（x+1）得a•（﹣2）•1＝﹣2，解得a＝1，此时抛物线解析式为y＝（x﹣2）（x+1），即y＝x2﹣x﹣2．即抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2或y＝x2﹣x﹣2．故选D．10．将二次函数y＝2x2﹣4x+1化为顶点式，正确的是（）A．y＝2（x﹣1）2+1B．y＝2（x+1）2﹣1C．y＝2（x﹣1）2﹣1D．y＝2（x+1）2+1【解答】C【解析】y＝2x2﹣4x+1＝2（x2﹣2x）+1＝2（x2﹣2x+1﹣1）+1＝2（x﹣1）2﹣2+1＝2（x﹣1）2﹣1，故选C．11．将二次函数y＝﹣x2+4x﹣5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝﹣（x+2）2﹣1B．y＝﹣（x+2）2+1C．y＝﹣（x﹣2）2+1D．y＝﹣（x﹣2）2﹣1【解答】D【解析】y＝﹣x2+4x﹣5，＝﹣（x2﹣4x+4）﹣1，＝﹣（x﹣2）2﹣1．故选D．12．与抛物线y＝﹣x2+1的顶点相同、形状相同且开口方向相反的抛物线所对应的函数表达式为（）A．y＝﹣x2B．y＝x2﹣1C．y＝﹣x2﹣1D．y＝x2+1【解答】D【解析】与抛物线y＝﹣x2+1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线，即与抛物线y＝﹣x2+1只有二次项系数不同．即y＝x2+1，故选D．二．填空题13．已知二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣3），且过点（2，0），则这个二次函数的解析式．【解答】y＝3x2﹣6x【解析】设此二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3．∵其图象经过点（2，0），∴a（2﹣1）2﹣3＝0，∴a＝3，∴y＝3（x﹣1）2﹣3，即y＝3x2﹣6x，故答案为y＝3x2﹣6x．14．二次函数图象过A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2），则此二次函数的解析式是．【解答】y＝x2﹣x﹣2．【解析】∵二次函数图象经过A（﹣1，0），B（2，0），∴设二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣2），将C（0，﹣2）代入，得：﹣2a＝﹣2，解得a＝1，则抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2，故答案为y＝x2﹣x﹣2．15．若某抛物线的函数解析式为y＝ax2+bx+c，已知a，b为正整数，c为整数，b＞2a，且当﹣1≤x≤1时，有﹣4≤y≤2成立，则抛物线的函数解析式为．【解答】y＝x2+3x﹣2【解析】抛物线y＝ax2+bx+c中，a，b为正整数，c为整数，b＞2a，∴抛物线开口向上，对称轴直线x＜﹣1，∵当﹣1≤x≤1时，有﹣4≤y≤2成立，∴当x＝﹣1时y＝﹣4，x＝1时y＝2，∴a―b+c=―4①a+b+c=2②，②﹣①得2b＝6，∴b＝3，∵a，b为正整数，b＞2a，∴a＝1，∴1+3+c＝2，解得c＝﹣2，∴抛物线的函数解析式为y＝x2+3x﹣2，故答案为y＝x2+3x﹣2．16．若二次函数y＝ax2+bx+c图象的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则此函数的解析式为　．【解答】y＝﹣x2+4x﹣3【解析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+1，将B（1，0）代入y＝a（x﹣2）2+1得，0＝a+1∴a＝﹣1，∴函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1，所以该抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+4x﹣3，故答案为y＝﹣x2+4x﹣3．17．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴、y轴分别相交于A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．则该抛物线的解析式是　．【解答】y＝﹣x2+2x+3【解析】根据题意设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将点C（0，3）代入，得：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，故答案为y＝﹣x2+2x+3．18．把二次函数y＝x2+4x﹣1变形为y＝a（x+h）2+k的形式为．【解答】y＝（x+2）2﹣5【解析】y＝x2+4x﹣1＝（x2+4x+4）﹣4﹣1＝（x+2）2﹣5，即y＝（x+2）2﹣5．故答案是：y＝（x+2）2﹣5．19．二次函数y＝x2+6x﹣3配方后为y＝（x+3）2+ ．【解答】（﹣12）【解析】∵y＝x2+6x﹣3＝（x2+6x）﹣3＝（x2+6x+32﹣32）﹣3＝（x+3）2﹣9﹣3＝（x+3）2﹣12，故答案为（﹣12）．20．已知某二次函数，当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，请写出一个符合条件的二次函数解析式．【解答】答案不唯一【解析】∵当x＜1时y随x增大而减小；当x＞1时y随x增大而增大，∴对称轴为x＝1，开口向上，∴符合条件的二次函数可以为：y＝（x﹣1）2，故答案为y ＝（x ﹣1）2（答案不唯一）．21．在平面直角坐标系中，点O （0，0），点A （1，0）．已知抛物线y ＝x 2+mx ﹣2m （m 是常数），顶点为P ．无论m 取何值，该抛物线都经过定点H ．当∠AHP ＝45°时，求抛物线的解析式是．【解答】y ＝x 2―145x +285或y ＝x 2―223x +443【解析】当x ＝2时，y ＝4+2m ﹣2m ＝4∴无论m 取何值，该抛物线都经过定点H （2，4）过点A 作AB ⊥PH 于点B ，过点B 作DC ⊥x 轴于点C ，过点H 作HD ⊥CD 于点D ，∴∠ABH ＝∠ACB ＝∠BDH ＝90°∴∠ABC +∠DBH ＝∠ABC +∠BAC ＝90°∴∠BAC ＝∠DBH∵∠AHP ＝45°∴△ABH 是等腰直角三角形，AB ＝BH在△ABC 与△BHD 中∠ACB =∠BDH∠BAC =∠HBD AB =BH∴△ABC ≌△BHD （AAS ）∴AC ＝BD ，BC ＝HD设点B 坐标为（a ，b ）①若点P 在AH 左侧，即点B 在AH 左侧，如图1，∴AC ＝1﹣a ，BC ＝b ，BD ＝4﹣b ，DH ＝2﹣a ∴1―a =4―b b =2―a 解得：a =―12b =52∴点B （―12，52）设直线BH 解析式为y ＝kx +h ∴―12k +ℎ=522k +ℎ=4解得：k =35ℎ=145∴直线BH ：y =35x +145，∵y ＝x 2+mx ﹣2m ，∴抛物线顶点P 为（―m 2，―m 24―2m ），∵点P （―m 2，―m 24―2m ）在直线BH 上∴35（―m 2）+145=―m 24―2m 解得：m 1=―145，m 2＝﹣4∵m ＝﹣4时，P （2，4）与点H 重合，要舍去∴抛物线解析式为y ＝x 2―145x +285；②若点P 在AH 右侧，即点B 在AH 右侧，如图2，∴AC ＝a ﹣1，BC ＝b ，BD ＝4﹣b ，DH ＝a ﹣2∴a ―1=4―b b =a ―2 解得：a =72b =32∴点B （72，32）设直线BH 解析式为y ＝kx +h+ℎ=32+ℎ=4解得：k =―53ℎ=223∴直线BH ：y =―53x +223，∵点P （―m 2，―m 24―2m ）在直线BH 上∴―53（―m 2）+223=―m 24―2m 解得：m 1=―223，m 2＝﹣4（舍去）∴抛物线解析式为y ＝x 2―223x +443，综上所述，抛物线解析式为y ＝x 2―145x +285或y ＝x 2―223x +443，故答案为y ＝x 2―145x +285或y ＝x 2―223x +443．22．若抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点是A （2，﹣1），且经过点B （1，0），则抛物线的函数关系式为．【解答】y ＝x 2﹣4x +3【解析】设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣2）2﹣1，将B （1，0）代入y ＝a （x ﹣2）2﹣1得，a ＝1，函数解析式为y ＝（x ﹣2）2﹣1，展开得y ＝x 2﹣4x +3．故答案为y ＝x 2﹣4x +3．23．请写出一个开口向下，对称轴为直线x ＝2，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式．【解答】答案不唯一【解析】∵抛物线开口向下，∴a ＜0，令a ＝﹣1，设抛物线的关系式为y ＝﹣（x ﹣h ）2+k ，∵对称轴为直线x ＝2，∴h ＝2，把（0，3）代入得，3＝﹣（0﹣2）2+k ，解得，k ＝7，∴抛物线的关系式为：y＝﹣（x﹣2）2+7，故答案为y＝﹣（x﹣2）2+7（答案不唯一）．24．已知函数y＝﹣x2+2x+c2的部分图象如图所示，则c＝，当x 时，y随x的增大而减小．【解答】c x＞1时，y随x的增大而减小【解析】图象过（3，0），将（3，0）代入y＝﹣x2+2x+c2，得：c2＝3，即c根据图象得：对称轴为x＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而减小．三．解答题25．已知二次函数的图象经过（1，﹣1），（0，1），（﹣1，13）三点，求此二次函数的解析式．【解答】y＝5x2﹣7x+1．【解析】设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，根据题意得a+b+c=―1c=1a―b+c=13，解得a=5b=―7c=1，所以抛物线解析式为y＝5x2﹣7x+1．26．如图，抛物线y＝a（x+1）2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且S△AOB =12．（1）求抛物线的解析式；（2）若点C是该抛物线上A、B两点之间的一点，求△ABC面积的最大值．【解答】（1）抛物线的解析式为y ＝﹣（x +1）2；（2）△ABC 面积的最大值是18．【解析】（1）由题意得：A （﹣1，0），B （0，a ），∴OA ＝1，OB ＝﹣a ，∵S △AOB =12．∴12×1×(―a)=12，解得，a ＝﹣1，∴抛物线的解析式为y ＝﹣（x +1）2；（2）∵A （﹣1，0），B （0，﹣1），∴直线AB 为y ＝﹣x ﹣1，过C 作CD ⊥x 轴，交直线AB 于点D ，设C （x ，﹣（x +1）2），则D （x ，﹣x ﹣1），∴CD ＝﹣（x +1）2+x +1，∵S △ABC ＝S △ACD +S △BCD =12[﹣（x +1）2+x +1]×1，∴S △ABC =―12（x +12）2+18，∵―12＜0，∴△ABC 面积的最大值是18．27．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +6经过点A （﹣2，0），B （4，0）两点，与y 轴交于点C ．点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为m （1＜m ＜4）．连接AC ，BC ，DB ，DC ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时，求m 的值．【解答】（1）y =―34x 2+32x +6；（2）m ＝3．【解析】（1））∵抛物线y ＝ax 2+bx +6经过点A （﹣2，0），B （4，0）两点，∴4a ―2b +6=016a +4b +6=0，解之，得：a =―34b =32，∴故抛物线的表达式为：y =―34x 2+32x +6；（2）设直线BC 解析式为y ＝kx +n ，将点B 、C 的坐标代入得：4k +n =0n =6，解得k =―32n =6，∴直线BC 的表达式为：y =―32x +6，如图所示，过点D 作y 轴的平行线交直线BC 于点H ，设点D （m ，―34m 2+32m +6），则点H （m ，―32m +6）∴S △BDC =12HD ×OB =12（―34m 2+32m +6+32m ﹣6）×4＝2（―34m 2+3m ），∵34S △ACO =34×12×6×2=92，即：2（―34m 2+3m ）=92，解得：m 1＝3，m 2＝1（舍去），故m ＝3．28．已知二次函数y ＝x 2+bx +2b （b 是常数）．（1）若函数图象过（1，4），求函数解析式；（2）设函数图象顶点坐标为（m ，n ），当b 的值变化时，求n 关于m 的函数关系式；（3）若函数图象不经过第三象限时，当﹣5≤x ≤3时，函数的最大值和最小值之差是20，求b 的值．【解答】（1）y ＝x 2+x +2；（2）n =―m 2﹣4m ；（3）b ＝﹣b ＝10﹣【解析】（1）将点（1，4）代入y ＝x 2+bx +2b ，得1+b +2b ＝4，∴b ＝1，∴函数解析式是y ＝x 2+x +2；（2）∵y ＝x 2+bx +2b ＝（x +12b ）2―14b 2+2b ，设函数图象顶点坐标为（m ，n ），∴m =―12b ，n =―14b 2+2b ，∴b ＝﹣2m ，∴n =―14×(―2m )2+2(―2m)=―m 2﹣4m ；（3）∵y ＝（x +12b ）2―14b 2+2b ，∴对称轴x =―12b ，在y ＝x 2+bx +2b 中，当x ＝﹣5时，y ＝25﹣5b +2b ＝25﹣3b ，当x ＝3时，y ＝9+3b +2b ＝9+5b ，分两种情况：①当b ≤0时，2b ＝c ≤0，函数不经过第三象限，则c ＝0；此时y ＝x 2，当﹣5≤x ≤3时，函数最小值是0，最大值是25，∴最大值与最小值之差为25，此种情况不符合题意；②当b＞0时，2b＝c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0，∴b2﹣8b≤0，∴0＜b≤8，∴﹣4≤x=―b＜0，2b2+2b，当﹣5≤x≤3时，函数有最小值―14∵当x＝3和x＝﹣5对称时，对称轴是：x＝﹣1，∴当﹣4≤―b＜―1时，函数有最大值9+5b，2∵函数的最大值与最小值之差为20，b2+2b）＝20，∴9+5b﹣（―14∴b＝﹣6﹣，当﹣1＜―b＜0时，函数有最大值25﹣3b；2∵函数的最大值与最小值之差为20，b2+2b）＝20，∴25﹣3b﹣（―14∴b＝10﹣8（舍），综上所述b＝﹣b＝10﹣29．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B两点，对称轴为x＝1，与y轴交于点C（0，6），点P是抛物线上一个动点，设点P的横坐标为m（1＜m＜4）．连接BC．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△BCP的面积等于9时，求点P的坐标；2【解答】（1）y =―34x 2+32x +6；（2）点P(3，154)【解析】（1）依题意得4a ―2b +c =0―b 2a =1c =6解得a =―34b =32c =6，故抛物线的解析式为：y =―34x 2+32x +6；（2）A （﹣2，0）关于直线x ＝1的对称点B （4，0），如图所示，过点P 做y 轴的平行线交直线BC 于点D ，设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，∴4k +b =0b =6，解得k =―32，∴直线BC 的解析式为y =―32x +6，设点P(m ，―34m 2+32m +6)，则点D(m ，―32m +6)，S △BPC =12PD ×OB =2(―34m 2+32m +6+32m ―6)=2(―34m 2+3m)，∴2(―34m 2+3m)=92，解得：m 1＝1，m 2＝3，又∵1＜m ＜4，∴m ＝3，∴y P =―34×9+32×3+6=154，∴点P(3，154)．30．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A （0，4），B （1，0），C （5，0）（1）求抛物线的解析式和顶点E 坐标；（2）该抛物线有一点D ，使得S △DBC ＝S △EBC ，求点D 的坐标．【解答】（1）y =45(x ―3)2―165，E 坐标为(3，―165)；（2）D (3―，165)或(3+，165)【解析】（1）由题意，设y ＝a （x ﹣1）（x ﹣5），代入A （0，4），得a =45，∴y =45(x ―1)(x ―5)，∴y =45(x ―3)2―165，故顶点E 坐标为(3，―165)；（2）∵S △DBC ＝S △EBC ，∴两个三角形在公共边BC 上的高相等，又点E 到BC 的距离为165，∴点D 到BC 的距离也为165，则45（x ﹣3）2―165=165，解得x ＝则点D (3―，165)或(3+，165)．31．已知二次函数y ＝ax 2﹣4ax +3+b （a ≠0）．（1）求出二次函数图象的对称轴；（2）若该二次函数的图象经过点（1，3），且整数a ，b 满足4＜a +|b |＜9，求二次函数的表达式；（3）对于该二次函数图象上的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设t ≤x 1≤t +1，当x 2≥5时，均有y 1≤y 2，请结合图象，直接写出t 的取值范围．【解答】（1）对称轴是x=―4a2a=2；（2）y＝﹣3x2+12x﹣6或y＝﹣4x2+16x﹣9；（3）当a＞0时，﹣1≤t ≤4【解析】（1）二次函数图象的对称轴是x=―4a2a=2；（2）该二次函数的图象经过点（1，3），∴a﹣4a+3+b＝3，∴b＝3a，把b＝3a代入4＜a+|b|＜9，得4＜a+3|a|＜9．当a＞0时，4＜4a＜9，则1＜a＜94．而a为整数，∴a＝2，则b＝6，∴二次函数的表达式为y＝2x2﹣8x+9；当a＜0时，4＜﹣2a＜9，则―92＜a＜―2．而a为整数，∴a＝﹣3或﹣4，则对应的b＝﹣9或﹣12，∴二次函数的表达式为y＝﹣3x2+12x﹣6或y＝﹣4x2+16x﹣9；（3）∵当x2≥5时，均有y1≤y2，二次函数y＝ax2﹣4ax+3+b（a≠0）的对称轴是x＝2，∵y1≤y2，∴①当a＞0时，有|x1﹣2|≤|x2﹣2|，即|x1﹣2|≤x2﹣2∴2﹣x2≤x1﹣2≤x2﹣2，∴4﹣x2≤x1≤x2，∵x2≥5，∴4﹣x2≤﹣1，∵该二次函数图象上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），设t≤x1≤t+1，当x2≥5时，均有y1≤y2，∴t≥―1 t+1≤5∴﹣1≤t ≤4．②当a ＜0时，|x 1﹣2|≥|x 2﹣2|，即|x 1﹣2|≥x 2﹣2∴x 1﹣2≥x 2﹣2，或x 1﹣2≤2﹣x 2，∴x 1≥x 2，或x 1≤4﹣x 2∵x 2≥5，∴4﹣x 2≤﹣1，∵该二次函数图象上的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设t ≤x 1≤t +1，当x 2≥5时，均有y 1≤y 2，∴t 比x 2的最大值还大，或t +1≤比4﹣x 2的最小值还小，这是不存在的，故a ＜0时，t 的值不存在，综上，当a ＞0时，﹣1≤t ≤4．32．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过A （﹣1，0），C （0，3）两点，它的对称轴与x 轴交于点F ，过点C 作CE ∥x 轴交抛物线于另一点E ，连结EF ，AC ．（1）求该抛物线的表达式及点E 的坐标；（2）在线段EF 上任取点P ，连结OP ，作点F 关于直线OP 的对称点G ，连结EG 和PG ，当点G 恰好落到y 轴上时，求△EGP 的面积．【解答】（1）y ＝﹣（x ﹣1）2+4，E （2，3）；（2）S △EGP =12S △EGF =12×12×1【解析】（1）把A （﹣1，0），C （0，3）两点代入抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 中得：―1―b +c =0c =3，解得：b =2c =3，∴该抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，∴对称轴是：x ＝1，∵CE ∥x 轴，∴点C 与点E 是对称点，∴E （2，3）；（2）连接FG ，过P 作PM ⊥x 轴于M ，过E 作EN ⊥x 轴于N ，则PM ∥EN ，∵F 与G 关于OP 对称，且G 在y 轴上，∴OF ＝OG ＝1，∴FG =OGF ＝45°，∵OC ＝3，∴OG ＝3﹣1＝2＝CE ，∴△ECG 是等腰直角三角形，∴EG ＝CGE ＝45°，∴∠EGF ＝90°，∵E （2，3），F （1，0），易得EF 的解析式为：y ＝3x ﹣3，设P （x ，3x ﹣3），∵∠POM ＝45°，∴△POM 是等腰直角三角形，∴PM ＝OM ，即x ＝3x ﹣3，x =32，∴P （32，32），∴FM ＝MN =12，∵PM ∥EN ，∴FP ＝EP ，∴S △EGP =12S △EGF =12×12× 1.。

求二次函数解析式几种常用方法

求二次函数的解析式的几种方法山东省沂水县高桥镇初级中学王瑞辉二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容。

现在举例，说明求二次函数解析式的常用方法，希望对同学们学习有所帮助。

一、二次函数常见的三种表达式：（1）一般式：y ax bx c a =++≠20()；（2）交点式：y a x x x x =--()()12，其中点(,)()x x 1200，，为该二次函数与x 轴的交点；（3）顶点式：()2()0y a x h k a =-+≠，其中点(),h k 为该二次函数的顶点。

二、利用待定系数法求二次函数关系式(1)、已知二次函数图象上任意三个点的坐标，可设一般式求二次函数的关系式。

例1、已知抛物线2y ax bx c =++，经过点（2，1）、（-1，-8）、（0，-3）．求这个抛物线的解析式．解：根据题意得421,8,3,a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=-⎩解之得1,4,3,a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以抛物线为243;y x x =-+-说明：用待定系数法求系数a b c 、、需要有三个独立条件，若给出的条件是任意三个点，可设解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，然后将三个点的坐标分别代入，组成一次方程组用加减消元法来求解．(2)、已知抛物线与x 轴的两个交点坐标和图象上另一个点坐标，可设交点式求二次函数的关系式。

若知道二次函数与x 轴有两个交点()()1200x x ，，，，则相当于方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根12x x ，，从而212()()ax bx c a x x x x ++=--，故二次函数可以表示为12()()(0)y a x x x x a =--≠．例2、已知一个二次函数的图象经过点A （－1，0），B （3，0），C （0，－3）三点．求此二次函数的解析式．解：根据题设，设此二次函数的解析式为(1)(3)y a x x =+-．又∵该二次函数又过点（0，－3），∴(01)(03)3a +-=-．解得1a =．因此，所求的二次函数解析式为(1)(3)y x x =+-，即223y x x =--．说明：在把函数与x 轴的两个交点坐标代入12()()(0)y a x x x x a =--≠求值时，要注意正确处理两个括号内的符号．(3)、已知抛物线顶点和另外一个点坐标时，设顶点式y =a (x -h )2+k (a ≠0)例3、对称轴与y 轴平行的抛物线顶点是(-2，-1)，抛物线又过(1，0)，求此抛物线的函数解析式。

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