一元二次方程求根公式95968
一元二次方程及求根公式
一元二次方程及求根公式二次方程是指含有二次项的方程，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。
对于这类方程，我们可以利用求根公式来求解方程的根。
一、求根公式的推导对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以通过完成平方的方法将其转化为(x + p)^2 = q的形式，其中p和q是待求常数。
具体推导过程如下：1. 将二次项系数前的a提出来得到 a(x^2 + (b/a)x) = -c；2. 完成平方的方式是，将(x^2 + (b/a)x)的一半系数（即b/2a）提出来得到 [(x + (b/2a))^2 - (b/2a)^2] = -c；3. 将上式右边展开，变为 (x + (b/2a))^2 - (b^2/4a^2) = -c；4. 通过移项，可以将式子转化为 (x + (b/2a))^2 = (b^2 - 4ac)/4a^2；5. 由此可得(x + (b/2a)) = ±√ [(b^2 - 4ac)/4a^2]；6. 化简后得到 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/2a。
上述推导过程就是一元二次方程求根公式的推导过程，通过这个公式我们可以计算二次方程的根。
二、求解实根和虚根根据一元二次方程的求根公式，我们可以得知方程的根取决于判别式Δ = b^2 - 4ac 的值。
1. 当Δ > 0 时，方程有两个不相等的实根。
即 x1 = (-b + √Δ)/2a 和x2 = (-b - √Δ)/2a。
2. 当Δ = 0 时，方程有两个相等的实根。
即 x1 = x2 = -b/2a。
3. 当Δ < 0 时，方程无实根，但有两个互为共轭的虚根。
此时令Δ = -D，则方程的根为 x1 = (-b + i√D)/2a 和 x2 = (-b - i√D)/2a，其中i为虚数单位。
三、实例演示下面通过一个实际的例子，来演示如何利用求根公式求解一元二次方程。
一元二次方程式的求根公式
一元二次方程是形如ax²+bx+c=0的一元二次方程式，求解这种方程的根一直是数学学习中的重点和难点。
幸运的是，数学家们在几个世纪前就已经找到了一元二次方程的求根公式，这个公式被广泛地应用于解决各种实际问题和数学推导中。
一元二次方程的求根公式，也称为根的判别式，是一种能够根据方程系数直接求出方程根的公式。
它的应用在实际生活中非常广泛，例如在物理学和工程学中，用于计算物体的运动轨迹或者建筑结构的稳定性。
而在数学研究中，一元二次方程的求根公式更是作为代数方程的基石，为高阶方程的求解提供了重要的思路。
为了更好地理解一元二次方程的求根公式，我们首先来简单了解一下一元二次方程。
一元二次方程一般写作ax²+bx+c=0，其中a、b、c 分别为方程的系数。
那么，方程的根就是能够使得方程成立的未知数的值，也就是x的值。
而一元二次方程的求根公式就是用来求出这些根的具体数值。
这个公式可以分为求判别式和求根两个部分。
首先求判别式，通过计算Δ=b²-4ac来判断方程的根的情况。
如果Δ大于0，则方程有两个不相等的实根；如果Δ等于0，则方程有两个相等的实根；如果Δ小于0，则方程没有实根。
判别式不仅是用来判断方程根的情况，更重要的是它为我们之后的计算提供了信息。
接着是求根的部分，根据判别式的结果，我们可以直接套用求根公式来求出方程的根。
如果Δ大于0，方程的两个根分别为x1=(-b+√Δ)/2a和x2=(-b-√Δ)/2a；如果Δ等于0，方程的两个根为x1=x2=-b/2a；如果Δ小于0，方程没有实根，但可以求出两个虚根。
通过这样的求根过程，我们可以直观地得出方程的根，并且可以根据判别式的结果对根的情况有一个清晰的认识。
在日常生活和学习中，一元二次方程的求根公式为我们解决各种问题提供了便利。
无论是物理问题中的抛物线运动，还是工程问题中的结构稳定性，都可以通过一元二次方程的求根公式得到精确的解答。
在数学的学习中，理解和掌握一元二次方程的求根公式，不仅有助于我们进一步学习高阶方程和代数方程的解法，更能够帮助我们提高数学建模和分析问题的能力。
一元二次方程求根公式的推导详解
一元二次方程求根公式的推导详解
一元二次方程是数学中的一个重要知识点，在考试中出现的频率很高。
下面是由编辑为大家整理的“一元二次方程求根公式的推导详解”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。
一元二次方程的求根公式
把方程化成一般形式aX²+bX+c=0，
求出判别式△=b²-4ac的值
当Δ=>0时,x=[-b±(b²-4ac)^(1/2)]/2a，方程有两个不相等的实数根;
当Δ=0时，方程有两个相等的实数根;
当Δ<0时，方程无实数根，但有2个共轭复根。
一元二次方程求根公式的推导过程
(1)ax2+bx+c=0(a≠0,)，等式两边都除以a，得x2+bx/a+c/a=0，
(2)移项得x2+bx/a=-c/a，方程两边都加上一次项系数b/a的一半的平方，即方程两边都加上b2/4a2。
(3)配方得x2+bx/a+b2/4a2=b2/4a2-c/a，即(x+b/2a)2=(b2-4ac)/4a，
(4)开根后得x+b/2a=±[√(b2-4ac)]/2a(√表示根号)，最终可得x=[-b±√(b2-4ac)]/2a。
拓展阅读：一元二次方程定义条件
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母;且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程(是无理方程)。
②只含有一个未知数;
③未知数项的最高次数是2。
一元二次方程求根公式及讲解
主讲：黄冈中学高级教师一、一周知识概述1、一元二次方程的求根公式将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为．该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法．说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)；(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.2、一元二次方程的根的判别式（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．二、重难点知识总结1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。
(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。
(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。
(3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。
如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。
(4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。
2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：（1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac；（2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c；（3）根的判别式是指b2－4ac，而不是三、典型例题讲解例1、解下列方程：(1)；(2)；(3).分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，解：(1)因为a=1，，c=10所以所以(2)原方程可化为因为a=1，，c=2所以所以.(3)原方程可化为因为a=1，，c=－1所以所以；所以．总结：(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；(2)用求根公式法解方程按步骤进行．例2、用适当方法解下列方程：① ②③ ④⑤ ⑥⑦分析：要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。
一元二次方程实数根公式
一元二次方程实数根公式一元二次方程，这可是咱们数学学习中的一个重要“关卡”。
那今天咱就好好聊聊一元二次方程的实数根公式。
先来说说啥是一元二次方程，就像 ax² + bx + c = 0 这样的式子（其中 a、b、c 是常数，a ≠ 0 ），就是一元二次方程啦。
那一元二次方程的实数根公式到底是啥呢？它就是：x = [-b ± √(b² - 4ac)] / （2a）。
我还记得当年我上中学的时候，我们班有个同学叫小李，数学成绩一直不太好。
每次遇到一元二次方程的题目，他就抓耳挠腮。
有一次考试，正好考到了一元二次方程实数根的计算。
老师在讲台上说：“同学们，认真算啊，这可是重点。
”小李盯着试卷上的题目，那道题是：x² + 5x + 6 = 0 。
他咬着笔头，就是不知道该怎么下手。
后来老师讲卷子的时候，重点讲了这道题，把实数根公式搬了出来，一步步地带着大家算。
小李眼睛瞪得大大的，好像突然开窍了。
从那以后，他一遇到一元二次方程的题，就先把公式写在草稿纸上，慢慢地，他做这类题的正确率越来越高。
咱们再来说说这个公式怎么用。
比如说有个方程 2x² - 3x - 5 = 0 ，这里 a = 2 ，b = -3 ，c = -5 。
把这些值带进公式里，先算Δ = b² - 4ac = (-3)² - 4×2×(-5) = 9 + 40 = 49 。
因为Δ 大于 0 ，所以方程有两个不同的实数根。
再接着算 x = [ -(-3) ± √49 ] / (2×2) ，也就是 x = [ 3 ± 7 ] / 4 ，最后得出 x₁ = 5 / 2 ，x₂ = -1 。
其实啊，一元二次方程实数根公式就像是一把万能钥匙，能帮咱们打开很多难题的大门。
只要咱们把 a、b、c 找对，然后按照公式一步步来，就没啥能难住咱们的。
一元二次方程的概念及求根公式
一元二次方程的概念及求根公式
一元二次方程是关于一个未知数的二次多项式等式。
它的一般形式可以写为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c是实数且a不等于0。
二次方程的求根公式可以帮助我们求解这种类型的方程。
根据求根公式，当一元二次方程的判别式（即b^2 - 4ac）大于0时，方程有两个不同的实数解；当判别式等于0时，方程有两个相等的实数解；当判别式小于0时，方程没有实数解，但可以有复数解。
求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
其中，±表示两个不同的解；√表示平方根。
这个公式使我们能够通过系数a、b和c的值来计算方程的解。
对于一个给定的一元二次方程，我们可以通过将其系数代入求根公式，计算出方程的解。
解的值可以帮助我们得出方程的性质，如顶点、开口方向等。
总之，一元二次方程是一种常见的二次多项式等式，它可以通过求根公式来解决。
求根公式允许我们计算方程的解，并根据解的值得出方程的性质。
这在代数学和实际应用中都具有重要意义。
一元二次方程的求根公式及根的判别式
一元二次方程的求根公式及根的判别式主讲：黄冈中学高级教师余国琴一、一周知识概述1、一元二次方程的求根公式将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为．该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法．说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)；(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.2、一元二次方程的根的判别式（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．二、重难点知识1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。
(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。
(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。
(3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。
如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。
(4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。
2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：（1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac；（2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c；（3）根的判别式是指b2－4ac，而不是三、典型例题讲解例1、解下列方程：(1)；(2)；(3).分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，解：(1)因为a=1，，c=10所以所以(2)原方程可化为因为a=1，，c=2所以所以.(3)原方程可化为因为a=1，，c=－1所以所以；所以．总结：(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；(2)用求根公式法解方程按步骤进行．例2、用适当方法解下列方程：①②③④⑤⑥⑦分析：要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。
一元二次方程求根公式
一元二次方程求根公式人们从古埃及的数学纸草书和古巴比伦的数学泥版书上了解到，大约在距今三千七八百年以前，人类就会解一元一次方程。
以下是店铺整理的关于一元二次方程求根公式，希望大家认真阅读!对于受过九年制义务教育的人来说，一元二次方程是非常熟悉的内容。
我们能解任何一个一元二次方程(包括判定一个一元二次方程没有实数根)，原因是我们掌握了一元二次方程的求根公式。
我们现在所学的一元二次方程求根公式，在一千多年漫长的历史中，曾经随着数的范围的扩大、概念的建立和严密而不断地演变和完善。
一元二次方程的出现，有很久的历史。
最早的记录是在公元前两千年左右的巴比伦泥版书中，其中有相当于解二次方程x2-5x+6=0的问题，并指出方程的两个根都是正整数。
这大概是世界上最古老的完全二次方程的实例之一。
据数学史记载，巴比伦人会求出方程x2+px=q(p、q为正数)的根为x=√[(p/2)+q]-p/2 。
在希腊的著作中也能见到有关二次方程解的记录。
二世纪的著名几何学家海伦已了解了数值处理的方法，海伦还用近似法求解方程。
由于古希腊人不承认负数，那时也没有发现复数，于是海伦所用过的是错误公式子x=√](4ac-b)-b]/2a。
我国古代数学家在一元二次方程和二次方程的解的方面有着突出的成果，作出过不朽的贡献。
公元三世纪数学家赵君卿注《周髀算经》时，不仅提出二次方程，而且在有关二次方程的解中，我们发现有求根公式的雏形。
赵君卿在《周髀算经》的注文中有一篇有名的论文“勾股圆方图注”，论文的内容主要是用几何方法证明勾股定理，但其中有一段是关于二次方程解法的论述：“其倍弦(2c1)为广袤合(x1+x2)，而令勾股见者自乘(x1x2=a12或x1x2=b2)为实，四实以减之(2c1)2-4a12开其余，所得为差√[(2c1)-4a1]=x2-x1，以差减合，半其余为广”，最后得公式x=[2c1-√[(2c1)-4a1]]/2，这是二次方程x2-2c1x+a12=0的一个根。
一元二次方程求根公式及解法
一元二次方程求根公式及解法一元二次方程指的是只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程，这篇文章给大家分享一元二次方程的解法。
一元二次方程只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程经过整理都可化成一般形式aX²+bX+c=0（a≠0）.其中aX²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
一元二次方程的解法（一）开平方法形如(X-m)²=n (n≥0)一元二次方程可以直接开平方法求得解为X=m±√n。
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。
②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。
③方法是根据平方根的意义开平方。
（二）配方法用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为一般形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。
（三）求根公式用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式aX²+bX+c=0，确定a,b,c的值（注意符号）；②求出判别式△=b²-4ac的值，判断根的情况.若△<0原方程无实根;若△>0，X=((-b)±√(△))/(2a)一元二次方程的求根公式把方程化成一般形式aX²+bX+c=0，求出判别式△=b²-4ac的值当Δ=大于0时,x=[-b±(b²-4ac)^(1/2)]/2a，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0 时，方程有两个相等的实数根；当Δ小于0时，方程无实数根，但有2个共轭复根。
一元二次方程求根公式推导过程(完整)
一元二次方程求根公式推导过程（完整）一元二次方程求根公式推导过程一元二次方程的根公式是由配方法推导来的，那么由ax^2+bx+c(一元二次方程的基本形式)推导根公式的详细过程如下，1、ax^2+bx+c=0(a≠0,^2表示平方)，等式两边都除以a，得x^2+bx/a+c/a=0，2、移项得x^2+bx/a=-c/a，方程两边都加上一次项系数b/a的一半的平方，即方程两边都加上b^2/4a^2，3、配方得x^2+bx/a+b^2/4a^2=b^2/4a^2-c/a，即(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a，4、开根后得x+b/2a=±[√(b^2-4ac)]/2a (√表示根号)，最终可得x=[-b ±√(b^2-4ac)]/2a一元二次方程求根公式一元二次方程介绍含义及特点(1)一元二次方程的解(根)的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解。
一般情况下，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根(只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根)。
(2)由代数基本定理，一元二次方程有且仅有两个根(重根按重数计算)，根的情况由判别式(△=b?-4ac)决定。
判别式利用一元二次方程根的判别式(△=b?-4ac)可以判断方程的根的情况。
一元二次方程ax?+bx+c=0(a≠0)的根与根的判别式有如下关系：△=b?-4ac①当△0时，方程有两个不相等的实数根;②当△=0时，方程有两个相等的实数根;③当△0时，方程无实数根，但有2个共轭复根。
上述结论反过来也成立。
如何才能学好数学想要学好数学，认真听课是必须的，课后及时复习也是很重要的。
要知道数学新知识的接受，数学能力的培养主要都要在课堂上进行，所以，要重视课内的学习效率，寻求正确的学习方法。
上课的时候要紧跟着老师的思路，积极思考。
课后要及时复习不要留下疑点。
在课后复习的时候，首先要把各种习题和老师讲过的知识点都回忆一遍，然后正确的掌握各类公式的推理过程，尽量采用回忆的方式，回忆一遍后，再去翻书，看自己是否有遗漏。
一元二次方程求根公式过程
一元二次方程求根公式过程一元二次方程，这可是中学数学里的“常客”，要说其中最重要的部分，那求根公式肯定得算一个。
咱们先来说说啥是一元二次方程。
就像这个样子：ax² + bx + c = 0 （a ≠ 0），这里的 a、b、c 都是常数，x 是未知数。
那求根公式是咋来的呢？咱们一步一步来捣鼓。
先把方程 ax² + bx + c = 0 两边都除以 a，就得到了 x² + (b/a)x + (c/a) = 0 。
接下来咱们要给它凑个完全平方。
先在等式两边加上 (b/2a)²，左边就变成了 (x + b/2a)²。
这时候等式变成了 (x + b/2a)² = (b² - 4ac) / 4a²。
然后开平方，就得到了x + b/2a = ± √(b² - 4ac) / 2a 。
最后把 b/2a 移到右边去，求根公式就出来啦：x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a 。
说到这一元二次方程求根公式，我想起之前给一个学生辅导功课的事儿。
那孩子叫小明，特别聪明，就是有时候有点粗心。
那天我给他讲这个求根公式，他一开始听得云里雾里的。
我就给他举例子，比如说 x² - 5x + 6 = 0 ，这里 a = 1，b = -5，c = 6 ，代入求根公式算一算。
他算的时候，一会儿忘了开根号，一会儿符号又弄错了。
我就耐心地在旁边给他一点点纠正，告诉他每一步该怎么做。
后来他终于算对了，脸上那高兴劲儿啊，就好像解开了一个超级大难题一样。
我也跟着乐，心里想着，这孩子，只要用心，啥都能学会。
咱们再回到这求根公式啊。
有了它，很多一元二次方程的根就能轻松算出来啦。
比如说 2x² + 3x - 5 = 0 ，代入公式，a = 2 ，b = 3 ，c = -5 ，算出来根是 1 和 -5/2 。
一元二次的求根公式
一元二次的求根公式
嘿，朋友们！今天咱们来讲讲一元二次的求根公式呀！一元二次方程的求根公式就是：x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a) 。
比如说方程x² + 3x - 4 = 0，这里 a = 1，b = 3，c = -4，那咱们就可以套用公式算啦！根不就出来了嘛！
咱就说，这求根公式就像一把万能钥匙，能帮我们打开一元二次方程的神秘大门呐！再难的方程，只要套上这公式，嘿，就能找到答案，多神奇呀！你想想，要是没有这个公式，面对那些复杂的一元二次方程，我们得多头疼啊，简直像在迷雾中找不到方向一样。
就像你在黑夜里走路，没有手电筒那多迷茫呀，而这求根公式就是那个亮堂堂的手电筒呀，指引我们找到正确的路！所以说，一定要好好掌握这个公式哦，它可太重要啦！。
一元二次方程求根公式visio
一元二次方程求根公式visio一元二次方程求根公式，这可是数学世界里相当重要的一个工具呢！还记得我读初中那会，数学老师在黑板上写下一元二次方程的时候，全班同学都有点懵。
那时候，大家都觉得这玩意儿太复杂，搞不明白。
一元二次方程的一般形式是 ax² + bx + c = 0 （a ≠ 0）。
而求根公式就是用来找到方程的根的神奇公式。
求根公式是：x = [-b ± √(b² - 4ac)] / （2a）。
这里面的“±”就特别有意思，它表示有两个根，一个是加了根号后的结果，一个是减了根号后的结果。
比如说有个一元二次方程 x² - 5x + 6 = 0 ，这里 a = 1 ，b = -5 ，c =6 。
我们把这些值代入求根公式，先算 b² - 4ac ，也就是（-5）² -4×1×6 = 25 - 24 = 1 。
然后再代入求根公式，x = [5 ± √1] / 2 ，也就是x₁ = 3 ，x₂ = 2 。
这求根公式看着好像挺复杂，其实用起来就跟有了导航一样，能准确找到方程的根。
我曾经在给学生辅导作业的时候，就碰到一个倔强的孩子，怎么都理解不了这个求根公式。
我就一点点给他解释，从最基本的一元二次方程的形式开始，给他画图，打比方。
就说这 a 就像一个大力士，b 像个小助手，c 是个捣乱的家伙，他们三个一起决定了方程的根在哪里。
经过好一番折腾，这孩子终于恍然大悟，那种开心的表情，让我觉得所有的努力都值了。
在实际应用中，一元二次方程求根公式用处可大了。
比如在物理问题中，计算自由落体的时间；在工程问题中，计算一些构件的尺寸；在经济问题中，预测成本和收益等等。
不过，也有些同学会在运用求根公式的时候出错。
比如说，忘记判断 b² - 4ac 的正负，要是它小于 0 ，那方程就没有实数根。
还有就是计算的时候粗心大意，根号算错啦，分式化简出错啦，这些都是容易犯的小毛病。
2次函数求根公式计算式
2次函数求根公式计算式1. 一元二次方程求根公式一元二次方程求根公式表示为ax²+bx+c=0，其中a,b,c是常数，a≠0。
一元二次方程求根公式是通过运用二次型式`ax²+bx+c=0`，来计算`x`方程的根的方法。
其求根公式为：（1）x1 = [-b + (b² - 4ac)²/2a]/2a（2）x2 = [-b - (b² - 4ac)²/2a]/2a2. 三角形的平行线求根公式三角形的平行线求根公式，也就是在三角形两边各创造一个与之平行的线，来得到另外的一条线的求根公式。
三角形的平行线求根公式是：（1）根据两条等高线作为平行线的夹角，计算出新平行线各自的斜率（2）若原直线为 y = kx + b，其中k为斜率，则对应的新平行线为 y = kx + b ± d，其中d表示两条平行线之间的距离（3）另外一条新平行线就是用这个公式d来叠加到原来直线方程后，得出新的方程3. 抛物线根公式抛物线根公式也叫做求解抛物线的极坐标公式，抛物线的根是指抛物线的极点（拐点）所在的位置。
它是对一元二次方程y=ax²+bx+c（a≠0）的一种变形，抛物线的极坐标公式：r²= 2p| y | 。
其求根公式为：（1）将二次型式 y=ax²+bx+c（a≠0）化成极坐标形式 r²=2p| y |（2）把化简后的极坐标公式 r²= 2p| y | 再以 r等于0的情况来求拐点的极坐标，即得到抛物线的极坐标根：r=0，y=±p/a（3）由极坐标根求出拐点坐标有：x=-b/2a，y=±p/a。
一元二次求根方程式
一元二次求根方程式稿子一嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊一元二次求根方程式这个有趣的家伙。
你们知道吗，一元二次求根方程式就像是一个神秘的密码锁，只要我们掌握了钥匙，就能轻松打开它，找到里面隐藏的答案。
先来说说它长啥样，一般就是ax² + bx + c = 0 这样的形式。
a、b、c 就像是它的三个小伙伴，各自有着重要的作用。
那怎么解开这个密码锁呢？这就需要用到一个神奇的公式，叫求根公式，x = [b ± √(b² 4ac)] / （2a）。
是不是看起来有点复杂？别担心，咱们一点点来。
比如说，有个方程x² + 2x 3 = 0 ，这里 a = 1，b = 2，c = 3 。
把它们带进求根公式里，就能算出 x 的值啦。
当我们算出了 x 的值，就好像找到了宝藏一样开心！一元二次求根方程式在生活中也很有用哦，比如计算抛物线的顶点，解决面积问题等等。
怎么样，小伙伴们，是不是觉得一元二次求根方程式也没那么可怕啦？稿子二嗨哟，朋友们！今天咱们一起来扒一扒一元二次求根方程式！一元二次求根方程式呀，就像是个有点调皮的小精灵，藏着不少秘密等咱们去发现。
它通常是长成ax² + bx + c = 0 这样的模样。
这当中的 a 可不能是 0 哦，不然它就不叫一元二次啦。
每次看到这个式子，我就想，这就像个谜题，等着咱们去解开。
而解开它的关键，就是那个厉害的求根公式。
你看啊，x = [b ± √(b² 4ac)] / （2a），虽然看起来有点让人头疼，但只要咱们多练练，其实也不难。
比如说，给咱们一个方程2x² 5x + 3 = 0 ，那咱们就赶紧找出a = 2 ，b = 5 ，c = 3 ，然后把它们放进公式里。
算的时候要仔细哟，可别马虎啦。
而且呀，学会了这个求根方程式，咱们就能解决好多实际问题呢。
像盖房子的时候算面积，做生意的时候算利润，都能派上用场。
一元二次方程求根公式
一元二次方程求解一、一周知识概述1、一元二次方程的求根公式将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为．该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法．说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)；(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.2、一元二次方程的根的判别式（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．二、重难点知识1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。
(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。
(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。
(3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。
如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。
(4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。
2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：（1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac；（2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c；（3）根的判别式是指b2－4ac，而不是三、典型例题讲解例1、解下列方程：(1)；(2)；(3).分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，解：(1)因为a=1，，c=10所以所以(2)原方程可化为因为a=1，，c=2所以所以.(3)原方程可化为因为a=1，，c=－1所以所以；所以．总结：(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；(2)用求根公式法解方程按步骤进行．例2、用适当方法解下列方程：① ②③ ④⑤ ⑥⑦分析：要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。
初中资料一元二次方程求根公式及解法
一元二次方程求根公式及解法一元二次方程指的是假如含有一个未知数，并且未知数项的极为高次数是2的整式方程，这篇文章给大家分享一元二次方程的解法。
只成分一个未知数（一元），并且未知数项的比较高量是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程经过整理都可化成一般形式aX²+bX+c=0（a≠0）.其中aX²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
（一）开平方法形如(X-m)²=n (n≥0)一元二次方程可以直接开平代数方程方法求得解为X=m±√n。
①等号左边是数的平方的形式而等号右边是一个常数。
②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。
③方法是根据平方根的意义开平方。
（二）配方法用配方法解一元二次方程的方法：①把原方程化为一般为形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把自旋项移到方程右边；③方程两边同时加上六次一次项系数四分之一的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤进一步通过直接开平方法求出的解，如果右边是非负数，则定理有两个实根；如果右边是一个负数，则定理有一对共轭虚根。
（三）求根公式用求根法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式aX²+bX+c=0，确定a,b,c的值（注意符号）；②求出判别式△=b²-4ac的值，判断根的情况.若△;0原方程无实根;若△;0，X=((-b)±√(△))/(2a)把方程化成一般为形式aX²+bX+c=0，求出判别式△=b²-4ac的值当Δ=大于0时,x=[-b±(b²-4ac)^(1/2)]/2a，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0 时，方程有两个相等的算子根；当Δ小于0时，方程无实数根，但有2个共轭复根。
一元二次方程虚根的求根公式
一元二次方程虚根的求根公式
一元二次方程虚根的求根公式：Ax 2+bx+c=0，δ=b 2-4ac。
只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）。
其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。
②只含有一个未知数；
③未知数项的最高次数是2。
用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为一般形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。
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主讲：黄冈中学高级教师
一、一周知识概述
1、一元二次方程的求根公式
将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为．
该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法．
说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)；
(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；
(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.
2、一元二次方程的根的判别式
（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．
二、重难点知识
1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。
(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式
法”就显得多余的了。
(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。
(3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。
如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。
(4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方
程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。
2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：
（1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac；
（2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c；
（3）根的判别式是指b2－4ac，而不是
三、典型例题讲解
例1、解下列方程：
(1)；
(2)；
(3).
分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，
解：(1)因为a=1，，c=10
所以
所以
(2)原方程可化为
因为a=1，，c=2
所以
所以.
(3)原方程可化为
因为a=1，，c=－1
所以
所以；
所以．
总结：
(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；
(2)用求根公式法解方程按步骤进行．
例2、用适当方法解下列方程：
① ②
③ ④
⑤ ⑥
⑦
分析：
要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。
就直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法这四种方法而言，配方法、公式法是一般方法，而开平方法、因式分解法是特殊方法。
⑴ 公式法是最一般的方法，只要明确了二次项系数、一次项系数和常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入一元二次方程的求根公式
求值，所以对某些方程，解法又显得复杂了。
如①，可以直接开平方，就能马上得出解；若此时还用求根公式就显得繁琐了。
⑵ 配方法是一种非常重要的方法，在解一元二次方程时，一般不使用，但并不是一定不用，若能合理地使用，也能起到简便的作用。
若方程中的一次项系数有因数是偶数，则可使用，计算量也不大。
如②，因为224比较大，分解时较繁，此题中一次项系数是-2。
可以利用用配方法来解，经过配方之后得到
，显得很简单。
⑶ 直接开平方法一般解符合型的方程，如第①小题。
⑷ 因式分解法是一种常用的方法，它的特点是解法简单，故它是解题中首先考虑的方法，若一元二次方程的一般式的左边不能分解为整数系数因式或系数较大难以分解时，应考虑变换方法。
解：①
两边开平方，得
所以
②
配方，得
所以
所以
③
配方，得
所以
所以
④
因为
所以 =4＋20=24 所以
所以
⑤
配方：
所以
所以
⑥
整理，得
所以
⑦
移项，提公因式，得
所以
小结：
以上各题请同学们用其他方法做一做，再比较各种方法的优缺点，体会如何选用合适的方法，下面给出常规思考方法，仅作参考。
例3、已知关于x的方程ax2－3x＋1=0有实根，求a的取值范围.
解：当a=0时，原方程有实根为
若a≠0时，当原方程有两个实根.
故，综上所述a的取值范围是.
小结：
此题要分方程ax2－3x＋1=0为一元一次方程和一元二次方程时讨论，即分当a=0与a≠0两种情况．
例4、已知一元二次方程x2－4x＋k=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围；
(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2－4x＋k=0与x2＋mx－1=0有一个相同的根，求此时m的值.
解：(1)因为方程x2－4x＋k=0有两个不相等的实数根，
所以b2－4ac=16－4k>0，得k<4.
(2)满足k<4的最大整数，即k=3.
此时方程为x2－4x＋3=0，解得x1=1，x2=3.
①当相同的根为x=1时，则1＋m－1=0，得m=0；
②当相同的根为x=3时，则9＋3m－1=0，得
所以m的值为0或
例5、设m为自然数，且3<m<40，方程有两个整数根求m的值及方程的根。
解：，
∵方程有整数根，
∴4（2m＋1）是完全平方数。
∵3<m<40∴7<2m＋1<81
∴2m＋1值可以为9，25，49
∴m的值可以为4，12，24。
当m=4时方程为解得x=2或x=8
当m=12时方程为解得x=26或x=16
当m=24时方程为解得x=52或x=38
总结：
本题先由整数根确定2m＋1是完全平方数，再由3<m<40中m为整数确定m的值，再分别试验求x，是本题特点。