26.1二次函数(第5课时2)

2
− 5;
(x + 1)2 ; （4.）y = −0.5 (6 ). y = 2(x − 2 )
2
3 2 (5). y = − x − 1; 4
+ 5;
(7 ). y = 0.5(x + 4 )2 + 2;
3 (8). y = − (x − 3)2 . 4
3．巳知函数y＝－ 2、y＝－ 2－1和y＝－ ＋1)2－1； ．巳知函数 ＝－ ＝－x ＝－x ＝－(x＋ ＝－ 和 ＝－ ； (1)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点 分别说出这三个函数图象的开口方向、 分别说出这三个函数图象的开口方向 坐标； 坐标； (2)试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线 ＝－ 试说明： 试说明 分别通过怎样的平移，可以由抛物线y＝－ x2得到抛物线 ＝－ 2－1和抛物线 ＝(x＋1)2－1； 得到抛物线y＝－ ＝－x 和抛物线y＝ ＋ 和抛物线 ； 3)试讨论函数 ＝－ ＋1)2－1的性质。 试讨论函数y＝－ 的性质。 试讨论函数 ＝－(x＋ 的性质 4.不画图象，求出函数y＝2x2－8x＋12的图象的开口 不画图象，求出函数 ＝ 不画图象 ＋ 的图象的开口 方向、对称轴和顶点坐标。 方向、对称轴和顶点坐标。
y = a ( x - h) + k
2
配方可得
是直线 x = 6
1 2 由此可知， 的顶点是（ ， ） 由此可知，抛物线 y = x − 6 x + 21 的顶点是（6，3），对称轴 2
接下来，利用图象的对称性列表（请填表） 接下来，利用图象的对称性列表（请填表） x ··· 3 4 5 6 7 8 9 ··· ···
练习 1.说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点： 说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点： 说出下列抛物线的开口方向 （1）y =2( x+3)2+5;（2）y = －3(x－1)2－2; ） （ ） － （3）y = 4(x－3)2+7; （4）y = －5(x+2)2－6. ） － ） 开口向上， （－3， ） 解：（1）a=2>0开口向上，对称轴为 －3，顶点坐标为（－ ，5） ：（ ） 开口向上 对称轴为x=－ ，顶点坐标为（－ 开口向下， （2）a=－3<0开口向下，对称轴为 ） － 开口向下 对称轴为x=1，顶点坐标为（1,－2）; ，顶点坐标为（ － ） 开口向上， （3）a=4>0开口向上，对称轴为 ） 开口向上 对称轴为x=3，顶点坐标为（3,7）; ，顶点坐标为（ ） 开口向下， （4）a=－5<0开口向下，对称轴为 －2，顶点坐标为 ） － 开口向下 对称轴为x=－ ， （－2, （－ －6）. ）
O
5
10 x
练习1 课本 练习1
要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管， 例 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶 端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？ 处达到最高，高度为 ，水柱落地处离池中心 ，水管应多长？ 解：如图建立直角坐标系，点（1，3）是图中这段抛物线的顶点， 如图建立直角坐标系， ， ）是图中这段抛物线的顶点， 因此可设这段抛物线对应的函数是 y = a( x －1 )2 ＋3 (0≤x≤3). 由这段抛物线经过点（3，0）可得 由这段抛物线经过点（ ， ） 0＝a(3－1)2＋3. ＝ － 解得 3 2 1 1 2 3
y=a(x-h)2+k呢？ 呢
你能说出函数y=－(x－1)2＋2的图象 与函数y=－x2的图象的关系，由此进 一步说出这个函数图象的开口方向、 对称轴和顶点坐标吗?
2 平移 ， _______，可以得到抛物线 y = a(x − h) + k h，的值来决定 ，的值来决定． k 距离要根据_________的值来决定． 距离要根据
y = x2
y = 2x2
8 6 4 2 －4 －2 2
1 y = x2 2
4
函数y= y=3 的图象与y= y=3 (1) 函数 y=3x2-6 的图象与 y=3x2 的图象有 什么关系? 什么关系 ? 它的对称轴和顶点坐标分别 是什么? 是什么? 函数y= (x- 的图象与y= y=3 y=3 (2) 函数 y=3(x-1)2 的图象与 y=3x2 的图象 有什么关系? 有什么关系 ? 它的对称轴和顶点坐标分 别是什么? 别是什么?
2
1 2 的图象： 解：作函数 y = − ( x + 1) − 1 的图象： 2
x
y =− 1 2 ( x +1) −1 2
···
－4
－3
－2
－1
0
1
2
··· ···
··· －5.5 －3
－1.5 －1 －1.5 －3
－5.5
－4
－2 －2 －4 －6
2
4
指出它的开口方向、 例3:(2)指出它的开口方向、对称轴及顶点．(3)抛物线 y = − x 2 指出它的开口方向 对称轴及顶点． 抛物线 2 1 2 怎样的变换可以得到抛物线 y = − ( x + 1) − 1 2 －4 －2 －2 －4 －6 2 4
2的图像是 9.二次函数 二次函数y=a(x-h) 二次函数
为对称轴的， 以 X=h 为对称轴的，顶点坐 标为 （h, 0) .
1 1 2 2 函数y = − ( x + 1) − 1与函数y = − x 的图象有什么关系呢？ 2 2
的图象， 例3 (1)画出函数 y = − 1 ( x + 1)2 − 1的图象， 画出函数
1 2 1 y = x − 6 x + 21 = (x − 6)2 + 3 2 2
1 y = x2 − 6x + 21 ··· 2
7.5
5 3.5
3
3.5
5 7.5
y 10
1 y = x2 − 6x + 21 2
怎样平移抛物线
5
1 2 y＝ 2 x 得到抛 ＝
1 物线 y＝ 2 x2－6x+21 ＝
一般地， 一般地，抛物线y = a x − h + k与 y = ax 2 形状 相同 ，位置不同，把抛物线y=ax2向上（下）向左（右） ______，位置不同，把抛物线 向上（ 向左（
2
(
)
平移的方向、 平移的方向、
抛物线
y =a( x−h) +k
2
有如下特点： 有如下特点：
（1）当a>0时，开口 向上 ；当a<0时，开口 向下 ； ） 时 开口______； 时 开口_______； （2）对称轴是直线 x=h ； ）对称轴是直线______ （3）顶点坐标是 （h,k) ）顶点坐标是_________
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 二次函数
配方
顶点式
因此，任何一个二次函数都可以通过将 进行平移得到。 因此，任何一个二次函数都可以通过将y=ax2进行平移得到。
8
例如， 例如，y=2x2－8x＋12,通过配方 ＋ 通过配方 得y=2(x－2)2＋4就可以通过平移 － 就可以通过平移 y=2x2得到，如演示所示 得到，
7.抛物线 抛物线y= 抛物线 的交点坐标分别为( - 2, 0)
2与x轴y轴 -3(x+2) 轴 轴
(0, - 12) .
8.已知二次函数 已知二次函数y=8(x -2)2 已知二次函数 的增大而增大, 当 x≥2 时,y随x的增大而增大 随 的增大而增大 当 x≤2 时，y随x的增大而减 随 的增大而减 小.
6 4 2 －4 － − 6 x + 21 2
的图象？ 的图象？
我们知道， 我们知道，像
这样的函数， 这样的函数，容易确定相 应抛物线的顶点为（ 应抛物线的顶点为（h,k)，二次函数 y = 1 x 2 - 6 x + 2 1 ， 2 也能化成这样的形式吗？ 也能化成这样的形式吗？
抛物线y= 抛物线 -3(x+2)2开口向 ， X= - 2 下 . 对称轴为 顶点坐标为 ( -2, 0) 2 抛物线 抛物线y=3(x+0.5)2可以看成由 抛物线 向 平移 个单位 y=3x2 0.5 左 得到的 3写出一个开口向上，对称轴为 写出一个开口向上， 写出一个开口向上 x=-2，平且与 轴交于点（0，8） 轴交于点（ ， ） ，平且与y轴交于点 . 的抛物线解析式为 1
y=2(x+2)2
4 .对于任何实数 ，抛物线 对于任何实数h， 对于任何实数 y=(x-h)2与抛物线y=x2 与抛物线 方向， 的方向，大小相同 2向左平移一 5 .将抛物线 -2x 将抛物线y= 将抛物线 个单位，再向右平移3个单位 个单位，再向右平移 个单位 2 y= - 2(x – 2). 得抛物线解析式为 2最小值为 0 . 6.抛物线 抛物线y=3(x-8) 抛物线
2.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标及最值: 2.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标及最值: 指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标及最值
1 (1) .y = 2 ( x + 3 ) - , 2
2
1 2 ( 2 ) .y = - ( x + 1) - 5. 3
(3). y = 2(x − 3)
1
经过
1 2 的开口方向向下、对称轴是x=－ ， 抛物线 y = − ( x +1) −1 的开口方向向下、对称轴是 －1，顶点是 2 （－1，－ ，－1）． （－ ，－ ）．
1 2 向下平移1个单位 再身左平移1个单位 个单位， 个单位， 把抛物线 y = − x 向下平移 个单位，再身左平移 个单位， 2 就得到抛物线 y = − 1 ( x + 1) 2 − 1 2