26.1二次函数(第5课时2)
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2
− 5;
(x + 1)2 ; (4.)y = −0.5 (6 ). y = 2(x − 2 )
2
3 2 (5). y = − x − 1; 4
+ 5;
(7 ). y = 0.5(x + 4 )2 + 2;
3 (8). y = − (x − 3)2 . 4
3.巳知函数y=- 2、y=- 2-1和y=- +1)2-1; .巳知函数 =- =-x =-x =-(x+ =- 和 =- ; (1)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点 分别说出这三个函数图象的开口方向、 分别说出这三个函数图象的开口方向 坐标; 坐标; (2)试说明:分别通过怎样的平移,可以由抛物线 =- 试说明: 试说明 分别通过怎样的平移,可以由抛物线y=- x2得到抛物线 =- 2-1和抛物线 =(x+1)2-1; 得到抛物线y=- =-x 和抛物线y= + 和抛物线 ; 3)试讨论函数 =- +1)2-1的性质。 试讨论函数y=- 的性质。 试讨论函数 =-(x+ 的性质 4.不画图象,求出函数y=2x2-8x+12的图象的开口 不画图象,求出函数 = 不画图象 + 的图象的开口 方向、对称轴和顶点坐标。 方向、对称轴和顶点坐标。
1
经过
1 2 的开口方向向下、对称轴是x=- , 抛物线 y = − ( x +1) −1 的开口方向向下、对称轴是 -1,顶点是 2 (-1,- ,-1). (- ,- ).
1 2 向下平移1个单位 再身左平移1个单位 个单位, 个单位, 把抛物线 y = − x 向下平移 个单位,再身左平移 个单位, 2 就得到抛物线 y = − 1 ( x + 1) 2 − 1 2
2
1 2 的图象: 解:作函数 y = − ( x + 1) − 1 的图象: 2
x
y =− 1 2 ( x +1) −1 2
···
-4
-3
-2
-1
0
1
2
··· ···
··· -5.5 -3
-1.5 -1 -1.5 -3
-5.5
-4
-2 -2 -4 -6
2
4
指出它的开口方向、 例3:(2)指出它的开口方向、对称轴及顶点.(3)抛物线 y = − x 2 指出它的开口方向 对称轴及顶点. 抛物线 2 1 2 怎样的变换可以得到抛物线 y = − ( x + 1) − 1 2 -4 -2 -2 -4 -6 2 4
2的图像是 9.二次函数 二次函数y=a(x-h) 二次函数
为对称轴的, 以 X=h 为对称轴的,顶点坐 标为 (h, 0) .
1 1 2 2 函数y = − ( x + 1) − 1与函数y = − x 的图象有什么关系呢? 2 2
的图象, 例3 (1)画出函数 y = − 1 ( x + 1)2 − 1的图象, 画出函数
y=2(x+2)2
4 .对于任何实数 ,抛物线 对于任何实数h, 对于任何实数 y=(x-h)2与抛物线y=x2 与抛物线 方向, 的方向,大小相同 2向左平移一 5 .将抛物线 -2x 将抛物线y= 将抛物线 个单位,再向右平移3个单位 个单位,再向右平移 个单位 2 y= - 2(x – 2). 得抛物线解析式为 2最小值为 0 . 6.抛物线 抛物线y=3(x-8) 抛物线
7.抛物线 抛物线y= 抛物线 的交点坐标分别为( - 2, 0)
2与x轴y轴 -3(x+2) 轴 轴
(0, - 12) .
8.已知二次函数 已知二次函数y=8(x -2)2 已知二次函数 的增大而增大, 当 x≥2 时,y随x的增大而增大 随 的增大而增大 当 x≤2 时,y随x的增大而减 随 的增大而减 小.
2.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标及最值: 2.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标及最值: 指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标及最值
1 (1) .y = 2 ( x + 3 ) - , 2
2
1 2 ( 2 ) .y = - ( x + 1) - 5. 3
(3). y = 2(x − 3)
1 2 1 y = x − 6 x + 21 = (x − 6)2 + 3 2 2
1 y = x2 − 6x + 21 ··· 2
7.5
5 3.5
3
3.5
5 7.5
y 10
1 y = x2 − 6x + 21 2
怎样平移抛物线
5
1 2 y= 2 x 得到抛 =
1 物线 y= 2 x2-6x+21 =
抛物线y= 抛物线 -3(x+2)2开口向 , X= - 2 下 . 对称轴为 顶点坐标为 ( -2, 0) 2 抛物线 抛物线y=3(x+0.5)2可以看成由 抛物线 向 平移 个单位 y=3x2 0.5 左 得到的 3写出一个开口向上,对称轴为 写出一个开口向上, 写出一个开口向上 x=-2,平且与 轴交于点(0,8) 轴交于点( , ) ,平且与y轴交于点 . 的抛物线解析式为 1
y=a(x-h)2+k呢? 呢
你能说出函数y=-(x-1)2+2的图象 与函数y=-x2的图象的关系,由此进 一步说出这个函数图象的开口方向、 对称轴和顶点坐标吗?
2 平移 , _______,可以得到抛物线 y = a(x − h) + k h,的值来决定 ,的值来决定. k 距离要根据_________的值来决定. 距离要根据
y = x2
y = 2x2
8 6 4 2 -4 -2 2
1 y = x2 2
4
函数y= y=3 的图象与y= y=3 (1) 函数 y=3x2-6 的图象与 y=3x2 的图象有 什么关系? 什么关系 ? 它的对称轴和顶点坐标分别 是什么? 是什么? 函数y= (x- 的图象与y= y=3 y=3 (2) 函数 y=3(x-1)2 的图象与 y=3x2 的图象 有什么关系? 有什么关系 ? 它的对称轴和顶点坐标分 别是什么? 别是什么?
一般地, 一般地,抛物线y = a x − h + k与 y = ax 2 形状 相同 ,位置不同,把抛物线y=ax2向上(下)向左(右) ______,位置不同,把抛物线 向上( 向左(
2
(
)
平移的方向、 平移的方向、
抛物线
y =a( x−h) +k
2
有如下特点: 有如下特点:
(1)当a>0时,开口 向上 ;当a<0时,开口 向下 ; ) 时 开口______; 时 开口_______; (2)对称轴是直线 x=h ; )对称轴是直线______ (3)顶点坐标是 (h,k) )顶点坐标是_________
6 4 2 -4 -2 2 4
怎样画
1 2 y = x − 6 x + 21 2
的图象? 的图象?
我们知道, 我们知道,像
这样的函数, 这样的函数,容易确定相 应抛物线的顶点为( 应抛物线的顶点为(h,k),二次函数 y = 1 x 2 - 6 x + 2 1 , 2 也能化成这样的形式吗? 也能化成这样的形式吗?
O
5
源自文库10 x
练习1 课本 练习1
要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管, 例 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶 端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长? 处达到最高,高度为 ,水柱落地处离池中心 ,水管应多长? 解:如图建立直角坐标系,点(1,3)是图中这段抛物线的顶点, 如图建立直角坐标系, , )是图中这段抛物线的顶点, 因此可设这段抛物线对应的函数是 y = a( x -1 )2 +3 (0≤x≤3). 由这段抛物线经过点(3,0)可得 由这段抛物线经过点( , ) 0=a(3-1)2+3. = - 解得 3 2 1 1 2 3
练习 1.说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点: 说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点: 说出下列抛物线的开口方向 (1)y =2( x+3)2+5;(2)y = -3(x-1)2-2; ) ( ) - (3)y = 4(x-3)2+7; (4)y = -5(x+2)2-6. ) - ) 开口向上, (-3, ) 解:(1)a=2>0开口向上,对称轴为 -3,顶点坐标为(- ,5) :( ) 开口向上 对称轴为x=- ,顶点坐标为(- 开口向下, (2)a=-3<0开口向下,对称轴为 ) - 开口向下 对称轴为x=1,顶点坐标为(1,-2); ,顶点坐标为( - ) 开口向上, (3)a=4>0开口向上,对称轴为 ) 开口向上 对称轴为x=3,顶点坐标为(3,7); ,顶点坐标为( ) 开口向下, (4)a=-5<0开口向下,对称轴为 -2,顶点坐标为 ) - 开口向下 对称轴为x=- , (-2, (- -6). )
3 a=− 4
3 2 因此 y = − ( x −1) + 3 4
(0 ≤ x ≤ 3)
当x = 0时,y = 2.25,也就是说,水管应长 时 ,也就是说,水管应长2.25m.
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 二次函数
配方
顶点式
因此,任何一个二次函数都可以通过将 进行平移得到。 因此,任何一个二次函数都可以通过将y=ax2进行平移得到。
8
例如, 例如,y=2x2-8x+12,通过配方 + 通过配方 得y=2(x-2)2+4就可以通过平移 - 就可以通过平移 y=2x2得到,如演示所示 得到,
y = a ( x - h) + k
2
配方可得
是直线 x = 6
1 2 由此可知, 的顶点是( , ) 由此可知,抛物线 y = x − 6 x + 21 的顶点是(6,3),对称轴 2
接下来,利用图象的对称性列表(请填表) 接下来,利用图象的对称性列表(请填表) x ··· 3 4 5 6 7 8 9 ··· ···