二次函数复习课公开课
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二次函数图像与性质复习课件PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课
方程的 方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；
关系 3.当 b2－4ac＜0 时 抛物线与 x 轴___没__有_____交点，
方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根.
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第12课时┃ 二次函数旳图象与性质
考点 5 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与 a、b、 c 之间的关系
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第12课时┃ 二次函数旳图象与性质
解 可设所求二次函数的解析式为 y＝a(x－1)2－1(a≠0)， ∵抛物线过原点(0，0)， ∴a(0－1)2－1＝0，解得 a＝1， ∴该函数解析式为 y＝(x－1)2－1，即 y＝x2－2x.
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第12课时┃ 二次函数旳图象与性质
二次函 待定系数法确定二次函数的解析式分三种情况：
数解析 1.已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般形式；
式的 2.已知抛物线顶点坐标时，选用顶点式；
确定 3.已知抛物线与 x 轴两个交点的坐标时，选用交点式.
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第12课时┃ 二次函数旳图象与性质
考点4 二次函数与一元二次方程
数)的图象与 x 轴的一个交点为(1，0)，则关于 x 的一元二次
方程 x2－3x＋m＝0 的两实数根是
(B )
A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2
C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3
解 析 由于二次函数 y＝x2－3x＋m(m 为常数)的图 象与 x 轴的一个交点为(1，0)，即 x＝1 是一元二次方程 x2 －3x＋m＝0 的根，代入得 12－3＋m＝0，m＝2，原方程 为 x2－3x＋2＝0，解得 x1＝1，x2＝2，故选 B.
二十二-二次函数复习课PPT课件
一般式： 解： 设所求的二次函数为 y=a(x＋1)(x－1）
y=ax2+bx+c
由条件得：
y
两根式： y=a(x-x1)(x-x2)
点M( 0,1 )在抛物线上
所以：a(0+1)(0-1)=1
x o
顶点式： y=a(x-h)2+k
得： a=-1 故所求的抛物线解析式为 y=- (x＋1)(x-1)
.
23
4.求抛物线解析式的三种方法
例题精讲
例1.已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、
（1,4）、（2,7）三点，求这个函数的解析式？
一般式： 解： 设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c
y=ax2+bx+c
两根式： y=a(x-x1)(x-x2)
由条件得： a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7
有两个相等的
解
x1=x2=
b 2a
没有实数根
O
x
19
基础练习:
1.不与x轴相交的抛物线是(D )
A y=2x2 – 3
B y= - 2 x2 + 3
C y= - x2 – 3x D y=-2(x+1)2 - 3
2.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x
轴交点情况是( C )
（1）抛物线经过（2，0）（0，-2）（-1，0）三
点。
yx2 x2
（2）抛物线的顶点坐标是（6，-2），且与X轴
的一个交点的横坐标是8。
y1(x6 )221x26x 1 6
二次函数复习-公开课
3
E
-1
2
l
4 12 x , x ，？) Q (x 7 7
过 P作 PQ 与 x轴 垂 直 ， 交 AE于 Q ， 设 P 点 横 坐 标 为 x .P Q 的 长 度 为 l，
求 l关 于 x 的 函 数 关 系 式 ？ 并 写 出
y2
43
7
x
12 7
x的 取 值 范 围 ？ 当 P点 运 动 到 什 么
位 置 时 ， 线 段 PQ的 值 最 大 ， 并 求 此 时 P点 的 坐 标 ；
y1 x 2 x 3
已知y 1
( a 1) x b x c
2
的图像,OA=OB，思考：
（1,4）
y2
(9 在抛物线的对称轴上 （ 8) ） 是 否 存 在 点 M， 使 得 △ ABM 是等腰三角形，若存在， 求 出 点 M的 坐 标 ， 若 不 存 在 ， 请说明理由；
2
1
x 1
3
已知
3
y 1 ( a 1) x b x c 的图像,OA=OB，思考：
(1, 4 )
2
(2)若该抛物线是由函数
y mx
2
n x p 图像向左
平移1个单位，再向下平移2个 单位得到的，则m= -1 ,
-1
3
y1 x 2 x 3
2
n=
4
2
,p=
2
;
化为一般式
2
y x 4x 2
配方
y1 x 1 4
2
y1 x 2 4 2
向右
平移
y1 x 1 1 4
中考二次函数总复习-精品公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
x
巩固一下吧！
下列函数中哪些是一次函数，哪些是二次函数？
(1) y 3 x 4
(3) y 1 2x
(5) y x2 x 1
(2) y x2 (4) y 2x2 1 3
x (6) y (x 1)2 (x 1)2
(7) y (x 2)2 3 (9) y x 2 1
x
(8) y 0.5x2 1 (10)x2 y2 5
y
(2)解:∵抛物线与x轴相交时
x2-2x-8=0
A
Bx
P
解方程得:x1=4, x2=-2
∴AB=4-(-2)=6 迈进
而P点坐标是(1,-9)
∴S△ABC=27
(二)根据函数性质鉴定函数图象之间 旳位置关系
例3:在同一直角坐标系中，一次函数 y=ax+c和二次函数y=ax2+c旳图象大致为
y
y
y
3、解答题：
已知二次函数旳图象旳顶点坐标为（－2，－3），且 图象过点（－3，－2）。 （1）求此二次函数旳解析式； （2）设此二次函数旳图象与x轴交于A，B两点，O为 坐标原点，求线段OA，OB旳长度之和。
能力训练
1、 二次函数旳图象如图所示，则在下列各不等式 中成立旳个数是____________
2.选择
(1) 抛物线y=x2-4x+3旳对称轴是___c__________.
A 直线x=1 B直线x= -1 C 直线x=2 D直线x= -2
(2)抛物线y=3x2-1旳______B__________ A 开口向上,有最高点 B 开口向上,有最低点 C 开口向下,有最高点 D 开口向下,有最低点
(3)顶点坐标是:(-2a ,
4ac-b2 4a
巩固一下吧！
下列函数中哪些是一次函数，哪些是二次函数？
(1) y 3 x 4
(3) y 1 2x
(5) y x2 x 1
(2) y x2 (4) y 2x2 1 3
x (6) y (x 1)2 (x 1)2
(7) y (x 2)2 3 (9) y x 2 1
x
(8) y 0.5x2 1 (10)x2 y2 5
y
(2)解:∵抛物线与x轴相交时
x2-2x-8=0
A
Bx
P
解方程得:x1=4, x2=-2
∴AB=4-(-2)=6 迈进
而P点坐标是(1,-9)
∴S△ABC=27
(二)根据函数性质鉴定函数图象之间 旳位置关系
例3:在同一直角坐标系中，一次函数 y=ax+c和二次函数y=ax2+c旳图象大致为
y
y
y
3、解答题：
已知二次函数旳图象旳顶点坐标为（－2，－3），且 图象过点（－3，－2）。 （1）求此二次函数旳解析式； （2）设此二次函数旳图象与x轴交于A，B两点，O为 坐标原点，求线段OA，OB旳长度之和。
能力训练
1、 二次函数旳图象如图所示，则在下列各不等式 中成立旳个数是____________
2.选择
(1) 抛物线y=x2-4x+3旳对称轴是___c__________.
A 直线x=1 B直线x= -1 C 直线x=2 D直线x= -2
(2)抛物线y=3x2-1旳______B__________ A 开口向上,有最高点 B 开口向上,有最低点 C 开口向下,有最高点 D 开口向下,有最低点
(3)顶点坐标是:(-2a ,
4ac-b2 4a
二次函数复习课件（公开课）
所以，这个小朋友不会受到伤害。
故铅球的落点与丁丁的距离
是8米。
x
o
x
o
x
(A)
(B)
(C)
(D)
变式2：
2.（09烟台）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如
图所示，则一次函数 y bx b2 4ac与
反比例函数 y a b c
x
y
在同一坐系内的图象大致为（D ）
y
y
y
y
O1
x
x
O
x O
x O
x O
A
B．
C
D
．
．
．
三、抛物线的平移 二次函数y=ax2、y=a（x+m）2、y=a（x+m）2+k 的平移规律
2.（09年鄂2 州)把抛物线 y ax2 bx c
的图象先向2 右平移3个单位，再向下平移2个 单位，所得的图象的解析式是，y x2 3x 5 则a+b+c=__________
四.会用待定系数法求二次函数的解析式
求抛物线解析式的三种方法
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为 __y_=_a_x_2+_b__x_+_c_(a_≠_0_)_
m决定左右平移，k 决定上下平移
口诀：左右平移在括号，上下平移在末梢； 左上“+”，右下“-”
Y=（x-4）2+5是由哪条抛物线经怎样平移得到？ Y=x2-8x+21是由哪条抛物线经怎样平移得到的？
做一做:
1、(09年上海市)将抛物线 y x2 2 向上平移一个单位后，得到新的抛物线， 那么新的抛物线的表达式是 （ ）
2、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常 设抛物线解析式为_y_=__a_(x_-_h_)_2+_k__(a_≠_0_)
二次函数(复习课)课件
详细描述
伸缩变换包括横向伸缩和纵向伸缩。横向伸缩是指将图像在x轴方向上进行放大或缩小，纵向伸缩是指将图像在y轴方向上进行放大或缩小。具体来说，对于函数y=ax^2+bx+c，若图像在x轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(kx)^2+b(kx)+c；若图像在y轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(x)+b(x)/k+ck。通过这两种伸缩变换，我们可以得到原函数的放缩版函数。
02
二次函数的解析式
总结词
二次函数的一般形式是 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
详细描述
一般式是二次函数的基本形式，它包含了二次函数的最高次项、一次项和常数项。通过一般式可以明确地看出函数的开口方向和开口大小，由系数 $a$ 决定。
VS
二次函数的顶点形式是 $y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点坐标。
总结词
实际应用问题
总结词
与其他函数的综合
总结词
与几何图形的结合
01
02
03
04
05
06
总结词
详细描述
总结词与图像关系
这类问题需要探讨二次函数的系数与图像之间的关系，如开口大小、对称轴位置等。
一题多解法
这类问题通常有多种解法，需要灵活运用二次函数的性质和图像，寻找最简便的解法。
详细描述
二次函数具有对称性，其对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$。此外，二次函数的开口方向由系数$a$决定，当$a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。顶点坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$。
伸缩变换包括横向伸缩和纵向伸缩。横向伸缩是指将图像在x轴方向上进行放大或缩小，纵向伸缩是指将图像在y轴方向上进行放大或缩小。具体来说，对于函数y=ax^2+bx+c，若图像在x轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(kx)^2+b(kx)+c；若图像在y轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(x)+b(x)/k+ck。通过这两种伸缩变换，我们可以得到原函数的放缩版函数。
02
二次函数的解析式
总结词
二次函数的一般形式是 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
详细描述
一般式是二次函数的基本形式，它包含了二次函数的最高次项、一次项和常数项。通过一般式可以明确地看出函数的开口方向和开口大小，由系数 $a$ 决定。
VS
二次函数的顶点形式是 $y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点坐标。
总结词
实际应用问题
总结词
与其他函数的综合
总结词
与几何图形的结合
01
02
03
04
05
06
总结词
详细描述
总结词与图像关系
这类问题需要探讨二次函数的系数与图像之间的关系，如开口大小、对称轴位置等。
一题多解法
这类问题通常有多种解法，需要灵活运用二次函数的性质和图像，寻找最简便的解法。
详细描述
二次函数具有对称性，其对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$。此外，二次函数的开口方向由系数$a$决定，当$a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。顶点坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$。
二次函数复习市公开课一等奖省优质课获奖课件
图 26.2.1
第4页
图 26.2.1
图象特点:
(1)是一条抛物线； (2)对称轴是y轴； (3)顶点在原点； (4)开口方向: a>0时,开口向上； a<0时,开口向下.
第5页
图 26.2.1
函数性质：
（1） a>0时，y轴左侧，
函数值y随x增大而小 ； y 轴右侧，函数值y随x增大而
增大 。
第15页
练习题:
1.已知二次函数图象顶点坐标为（－2，－3），且图 象过点（－3，－2）。 （1）求此二次函数解析式； （2）设此二次函数图象与x轴交于A，B两点，O为坐 标原点，求线段OA，OB长度之和。
2.已知抛物线与x轴交于B，A两点，其中B在x轴负半轴上， 点A在x轴正半轴上，该抛物线与y轴交于点C. （1）写出抛物线开口方向与点C坐标（用含m式子表示）； （2）若tg∠CBA=3，试求抛物线解析式； （3）设点P（x，y）（其中0＜x＜3＝是（2）中抛物线上 一个动点，试求四边形AOCP面积最大值及此时点P坐标.
(3)顶点坐标是:(-2a ,
4ac-b2 4aBiblioteka )(4)开口方向:
a>0时,开口向上；
a<0时,开口向下.
第8页
图 26.2.4
函数性质：
（函1数）值ay>随0时x增，大对而称减轴小左；侧对(x称<-轴2a右)，
侧(x>大。
2)a，函数值y随x增大而增
a<0时，对称轴左侧(x<-2a)，
函数值y随x增大而增大 ；对称轴右
(1)证实:∵△=22-4*(-8)=36>0 ∴该抛物线与x轴一定有两个交点
y
(2)解:∵抛物线与x轴相交时
第4页
图 26.2.1
图象特点:
(1)是一条抛物线； (2)对称轴是y轴； (3)顶点在原点； (4)开口方向: a>0时,开口向上； a<0时,开口向下.
第5页
图 26.2.1
函数性质：
（1） a>0时，y轴左侧，
函数值y随x增大而小 ； y 轴右侧，函数值y随x增大而
增大 。
第15页
练习题:
1.已知二次函数图象顶点坐标为（－2，－3），且图 象过点（－3，－2）。 （1）求此二次函数解析式； （2）设此二次函数图象与x轴交于A，B两点，O为坐 标原点，求线段OA，OB长度之和。
2.已知抛物线与x轴交于B，A两点，其中B在x轴负半轴上， 点A在x轴正半轴上，该抛物线与y轴交于点C. （1）写出抛物线开口方向与点C坐标（用含m式子表示）； （2）若tg∠CBA=3，试求抛物线解析式； （3）设点P（x，y）（其中0＜x＜3＝是（2）中抛物线上 一个动点，试求四边形AOCP面积最大值及此时点P坐标.
(3)顶点坐标是:(-2a ,
4ac-b2 4aBiblioteka )(4)开口方向:
a>0时,开口向上；
a<0时,开口向下.
第8页
图 26.2.4
函数性质：
（函1数）值ay>随0时x增，大对而称减轴小左；侧对(x称<-轴2a右)，
侧(x>大。
2)a，函数值y随x增大而增
a<0时，对称轴左侧(x<-2a)，
函数值y随x增大而增大 ；对称轴右
(1)证实:∵△=22-4*(-8)=36>0 ∴该抛物线与x轴一定有两个交点
y
(2)解:∵抛物线与x轴相交时
中考数学《二次函数》公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
y=(-7)2+6×(-7)+5=12.
又∵抛物线与y轴交于点B(0，5)，
∴CD边上旳高为12-5=7，
∴S△BCD=
1×8×7=28.
2
【知识拓展】二次函数旳图象是抛物线，是轴对称图形， 图象上纵坐标相等旳两个点有关对称轴对称.
热点考向四 二次函数与方程或不等式
【例3】(2023·牡丹江中考)抛物线
二、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)旳图象与性质
1.当a>0时
(1)开口方向：向上.(2)顶点坐标：(___2b_a_
4ac b2
, 4a ).(3)对称
轴：直线__x____2b_a__.
(4)增减性：当x< b 时，y随x旳增大而_减__小__；当x> b 时，
2a
2a
y随x旳增大而_增__大__.
2a
2a
y随x旳增大而_____减. 小
4ac b2
(5)最值：当x= b 时，y最大值=____4_a____.
2a
【思维诊疗】(打“√”或“×”) 1.y=ax2+2x+3是二次函数. ( × ) 2.二次函数y=3(x+3)2-2旳顶点坐标是(3，-2). ( × ) 3.二次函数y=x2-2旳对称轴是y轴，有最小值-2. ( √ ) 4.二次函数y=x2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得 到旳函数体现式是y=(x+2)2-3. ( × )
(3)∵抛物线对称轴为x=1，∴抛物线在2<x<3这一段与在1<x <0这一段有关对称轴对称，又直线l与直线AB有关对称 轴对称，结合图象能够观察到抛物线在-2<x <-1这一段位于 直线l旳上方，在-1< x<0这一段位于直线l旳下方.∴抛物线与 直线l旳交点横坐标为-1； 当x=-1时，y=-2×(-1)+2=4，则抛物线过点(-1，4).当x=-1 时，m+2m -2=4，m=2. ∴抛物线旳体现式为y=2x2-4x-2.
人教版 九年级上册二次函数复习(一)公开课课件
A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大
（小）值，这个最大（小）值是多少？
（5）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？ （6）求ΔMAB的周长及面积。
16.已知二次函数y=—12 (x+1)2-2 （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，
1.下列函数中，是二次函数的是 A B F .
A、y x2 3x 5
D、y (x 5)2 x2
B、y 3x2 C、y 2 x
E、y ax2 bx c
F、y 6x(x 2)
2.函数y=(m-1)xm2+1是二次函数，则m=_-_1_
二：二次函数的图象及性质
二次函数
开口
顶点
方向 对称 坐标 最值 增减性
轴
y = ax2
a>0,பைடு நூலகம்
开口
向上
y = ax2 + k a<0,
开口
向下
y = a(x – h )2
y轴
y轴
直线
x=h
(0,0) (0,k)
a>0, 有最 小值
a<0, 有最 大值
( h, 0 )
y x
y x
二次函数 y=a(x－h)2+k
y=ax2+bx+c
开口方向 a＞0,开口向上;
B.y1=y2 D.不能确定
12
0
x
y1 A
y2
X=-3
B
12.二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所 示，则在下列结论中成立的是 __②__③__④___⑤___
（小）值，这个最大（小）值是多少？
（5）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？ （6）求ΔMAB的周长及面积。
16.已知二次函数y=—12 (x+1)2-2 （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，
1.下列函数中，是二次函数的是 A B F .
A、y x2 3x 5
D、y (x 5)2 x2
B、y 3x2 C、y 2 x
E、y ax2 bx c
F、y 6x(x 2)
2.函数y=(m-1)xm2+1是二次函数，则m=_-_1_
二：二次函数的图象及性质
二次函数
开口
顶点
方向 对称 坐标 最值 增减性
轴
y = ax2
a>0,பைடு நூலகம்
开口
向上
y = ax2 + k a<0,
开口
向下
y = a(x – h )2
y轴
y轴
直线
x=h
(0,0) (0,k)
a>0, 有最 小值
a<0, 有最 大值
( h, 0 )
y x
y x
二次函数 y=a(x－h)2+k
y=ax2+bx+c
开口方向 a＞0,开口向上;
B.y1=y2 D.不能确定
12
0
x
y1 A
y2
X=-3
B
12.二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所 示，则在下列结论中成立的是 __②__③__④___⑤___
《二次函数复习》公开课教学设计
《二次函数复习》教学设计【教学目标】1、理解二次函数的概念，掌握二次函数y＝ax 的图象与性质；会用描点法画抛物线，能确定抛物线的顶点、对称轴、开口方向，能较熟练地由抛物线y＝ax 经过适当平移得到y＝a(x－h) ＋k的图象。
2、会用待定系数法求二次函数的解析式，能结合二次函数的图象掌握二次函数的性质。
3、使学生掌握二次函数模型的建立，并能运用二次函数的知识解决实际问题。
【教学过程】一、结合例题精析，强化练习，剖析知识点1、二次函数的概念，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象性质。
例：已知函数是关于x的二次函数，求：(1)满足条件的m值；(2)m为何值时，抛物线有最低点?求出这个最低点．这时当x为何值时，y随x的增大而增大?(3)m为何值时，函数有最大值?最大值是什么?这时当x为何值时，y随x的增大而减小?强化练习：已知函数是二次函数，其图象开口方向向下，则m＝_____，顶点为_____，当x_____0时，y随x的增大而增大，当x_____0时，y随x的增大而减小。
2、用配方法求抛物线的顶点，对称轴；抛物线的画法，平移规律。
例：用配方法求出抛物线y＝－3x2－6x＋8的顶点坐标、对称轴，并画出函数图象，说明通过怎样的平移，可得到抛物线y＝－3x2。
强化练习：(1)抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向左平移2个单位。
再向上平移3个单位，得抛物线y＝x2－2x＋1，求：b与c的值。
(2)通过配方，求抛物线y＝x2－4x＋5的开口方向、对称轴及顶点坐标，再画出图象。
3、用待定系数法确定二次函数解析式．例：根据下列条件，求出二次函数的解析式。
(1)抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(0，1)，(1，3)，(－1，1)三点。
(2)抛物线顶点P(－1，－8)，且过点A(0，－6)。
(3)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过(3，0)，(2，－3)两点，并且以x＝1为对称轴。
(4)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过一次函数y＝－ x＋3的图象与x轴、y轴的交点；且过(1，1)，求这个二次函数解析式，并把它化为y ＝a(x－h)2＋k的形式。
人教版九年级数学《二次函数》总复习课件(公开课)
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0
判别式： b2-4ac
b2-4ac＞0
b2-4ac=0
二次函数
y=ax2+bx+ c
与x（轴有a≠两0个）不
同的交点 （x1，0） （x2，0）
与x轴有唯一个
交点 ( b ,0) 2a
b2-4ac＜0
与x轴没有 交点
图象
y
O
x y
O
二次函数复习课
1、二次函数的定义
• 定义： y=ax² ＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0 ）
• 定义要点：①a ≠ 0 ②最高次数为2
•
③代数式一定是整式
• 练习：1、y=-x²，y=2x²-2/x，y=100-5 x²，
• y=3 x²-2x³+5,其中是二次函数的有____个。
解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2
当x b 时, y最小值为 4ac b2
2a
4a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
a<0,开口向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称 轴的右侧, y随着x的增大而减小.
初中数学《二次函数复习》公开课优质课PPT课件
当x= y最大值=
b 2a
4a 时4, ac
4a
b2
当 x=h 时, y最小值=k
当x=h时， y最大值=k
o
x
二. 用图
数形结合
1.如果把抛物线y=(x-1)2-4绕顶点旋转180°,
则该抛物线对应的解析式是 y=-(x-1)2-4 ;
若把新抛物线再向右平移2个单位,再向上平移4 个单位,则得到抛物线对应的解析y 式x 为1y=-(x-3)2 .
(3) 函数解析式： y (x 1)(x 3)
即 y x2 2x 3
或 y (x 1)2 4
-1 o
3x
（4）对称轴：直线x = 1
（5）顶点坐标（1，-4）
-4
（6）当x = 1时， y有最小值 4
（7）当x≥1，y 随 x 增大而增大； （8）当x = -1 或 3 时，y = 0 ；
当x≤1 ，y 随 x 增大而减小.
当-1 ＜x ＜3 时，y ＜ 0 ；
当 x ＜ -1或x ＞3 时，y ＞ 0.
等等
知识梳理
名称
一般式
顶点式
交式
二次函数解析式 （a≠0）
y=ax2+bx+c
y=a(x-h)2+k
轴对对称轴
直线x= b
2a
直线 x=h
称 顶点坐标 （ b , 4ac b2 ） (h , k)
性
2a 4a
y=a(x-x1)(x-x2)
直线x= x1 x2
2
y
a＞0 在对称轴左侧,y随x的增大而减小，
增减性
在对称轴右侧,y随x的增大而增大。 o
a＜0 在对称轴左侧,y随x的增大而增大，
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二次函数复习课
（第一课时）
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1
如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 的图像, 请尽可能多的说出一些结论。
y 4
-3
-1 O 1
x
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2
知识梳理
名称
二次函数解析式 （a≠0）
4 m y=-(x+1)2+4 1 -3 -1 O 1 y=m
x
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6
问题(3) 若直线y1=kx+m与抛物线y2=ax2+bx+c交于 A(1,0),B(-1,4)两点. 观察图像填空：
(1)方程ax2+bx+c=kx+m 的解为 x1=-1,x2=1 . (2)不等式ax2+bx+c＞kx+m 的解为 -1＜x＜1 . (3)不等式ax2+bx+c＜kx+m 的解为 x＜-1或x＞1 .
-3 转化 方程,不等式(数) 函数(形)
B y 4
A -1 O 1
x
图像解法
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7
巩固反馈
A.3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
1 1. 方程 x 1 实数解的个数为( C) x
2
2.若一元二次方程ax2+bx+c=0的系数满足 a+b+c＜0, a–b+c=2,则该方程( A ) A. 必有两个不相等的实数根； B. 必有两个相等的实数根； C. 必无实数根； D. 无法确定.
最大值 4a -海量教学资源欢迎下载！
x
o
3
x
方法理解
1.如果把抛物线y=-(x+1)2+4绕顶点旋转180°, 则该抛物线对应的解析式是 ; y=(x+1)2+4 2.若把新抛物线再向右平移2个单位,向下平移3 y 个单位,则得到抛物线
对应的解析式
2+1 y=(x-1) 为 .
4
1
-3 -1 O 1 x
一般式
顶点式
交点式
x1 x2 2
y=ax2+bx+c
直线x=
y=a(x+m)2+k y=a(x-x1)(x-x2)
直线 x=-m 直线x= (-m , k)
o
y y
轴 对称轴 对 称 顶点坐标 性 增 a ＞0 减 性 a ＜0
最 值 a ＞0 a ＜0
b 2a b 4ac b 2 （ , ） 2a 4a
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拓展提高---直击中考
（呼和浩特2011中考题）已知抛物线y1=x2+4x+1的图象 向上平移m个单位（m＞0)得到的新抛物线过点（1，8） （1）求m的值，并将平移后的抛物线解析式写成 y2=a(x-h)2+k的形式； （2）将平移后的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到 x轴上方，与平移后的抛物线没有变化的部分构成一个新 的图象，请写出这个图象对应的函数y的解析式，并在所 给的平面直角坐标系中直接画出简图，同时写出该函数 在-3＜x≤-3／2时对应的函数值y的取值范围； （3）设一次函数y3=nx+3(n≠0)，是否存在正整数n使 得（2）中函数的函数值y=y3时，对应的x值为-1＜x＜0, 9 新课标教学网（ ）若存在，请求出n的值 ; 若不存在，请说明理由。 -海量教学资源欢迎下载！
10
分享收获
1、三个思想：
分类思想 由特殊到一般
数形结合思想 掌握旋转、平移、翻折的要领 2、三个掌握： 掌握利用函数图象求方程的根 以及求不等式解的方法 掌握解决分段函数的方法
3、一个注意：求分段函数时自变量取值范围要 写清。做到不重复不遗漏。
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在对称轴左侧,y随x的增大而减小，在 对称轴右侧,y随x的增大而增大。 在对称轴左侧,y随x的增大而增大， 在对称轴右侧,y随x的增大而减小。
b 当x= 时, 当 x=-m 时, 2 a 4ac b 2 y最小值= y最小值=k 4a b 当x= 2 a 时, 当x=-m时， 4ac b 2 y最大值= 新课标教学网（ ） y =k
再见
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4 新课标教学网（）-海量教学资源欢迎下载！
方法理解
2. 问题1. 结合图像思考: 方程-(x+1)2+4=1有几个实数解?
y 4 1 0 y=-(x+1)2+4 1 O x 1 x -1 2 -3 1
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x
5
问题2. 结合图像思考： 当m为何值时, 方程-(x+1)2+4=m ①有两个不相等的实数根; ②有两个相等的实数根; y ③没有实数根?
（第一课时）
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1
如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 的图像, 请尽可能多的说出一些结论。
y 4
-3
-1 O 1
x
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2
知识梳理
名称
二次函数解析式 （a≠0）
4 m y=-(x+1)2+4 1 -3 -1 O 1 y=m
x
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6
问题(3) 若直线y1=kx+m与抛物线y2=ax2+bx+c交于 A(1,0),B(-1,4)两点. 观察图像填空：
(1)方程ax2+bx+c=kx+m 的解为 x1=-1,x2=1 . (2)不等式ax2+bx+c＞kx+m 的解为 -1＜x＜1 . (3)不等式ax2+bx+c＜kx+m 的解为 x＜-1或x＞1 .
-3 转化 方程,不等式(数) 函数(形)
B y 4
A -1 O 1
x
图像解法
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巩固反馈
A.3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
1 1. 方程 x 1 实数解的个数为( C) x
2
2.若一元二次方程ax2+bx+c=0的系数满足 a+b+c＜0, a–b+c=2,则该方程( A ) A. 必有两个不相等的实数根； B. 必有两个相等的实数根； C. 必无实数根； D. 无法确定.
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x
o
3
x
方法理解
1.如果把抛物线y=-(x+1)2+4绕顶点旋转180°, 则该抛物线对应的解析式是 ; y=(x+1)2+4 2.若把新抛物线再向右平移2个单位,向下平移3 y 个单位,则得到抛物线
对应的解析式
2+1 y=(x-1) 为 .
4
1
-3 -1 O 1 x
一般式
顶点式
交点式
x1 x2 2
y=ax2+bx+c
直线x=
y=a(x+m)2+k y=a(x-x1)(x-x2)
直线 x=-m 直线x= (-m , k)
o
y y
轴 对称轴 对 称 顶点坐标 性 增 a ＞0 减 性 a ＜0
最 值 a ＞0 a ＜0
b 2a b 4ac b 2 （ , ） 2a 4a
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拓展提高---直击中考
（呼和浩特2011中考题）已知抛物线y1=x2+4x+1的图象 向上平移m个单位（m＞0)得到的新抛物线过点（1，8） （1）求m的值，并将平移后的抛物线解析式写成 y2=a(x-h)2+k的形式； （2）将平移后的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到 x轴上方，与平移后的抛物线没有变化的部分构成一个新 的图象，请写出这个图象对应的函数y的解析式，并在所 给的平面直角坐标系中直接画出简图，同时写出该函数 在-3＜x≤-3／2时对应的函数值y的取值范围； （3）设一次函数y3=nx+3(n≠0)，是否存在正整数n使 得（2）中函数的函数值y=y3时，对应的x值为-1＜x＜0, 9 新课标教学网（ ）若存在，请求出n的值 ; 若不存在，请说明理由。 -海量教学资源欢迎下载！
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1、三个思想：
分类思想 由特殊到一般
数形结合思想 掌握旋转、平移、翻折的要领 2、三个掌握： 掌握利用函数图象求方程的根 以及求不等式解的方法 掌握解决分段函数的方法
3、一个注意：求分段函数时自变量取值范围要 写清。做到不重复不遗漏。
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在对称轴左侧,y随x的增大而减小，在 对称轴右侧,y随x的增大而增大。 在对称轴左侧,y随x的增大而增大， 在对称轴右侧,y随x的增大而减小。
b 当x= 时, 当 x=-m 时, 2 a 4ac b 2 y最小值= y最小值=k 4a b 当x= 2 a 时, 当x=-m时， 4ac b 2 y最大值= 新课标教学网（ ） y =k
再见
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方法理解
2. 问题1. 结合图像思考: 方程-(x+1)2+4=1有几个实数解?
y 4 1 0 y=-(x+1)2+4 1 O x 1 x -1 2 -3 1
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问题2. 结合图像思考： 当m为何值时, 方程-(x+1)2+4=m ①有两个不相等的实数根; ②有两个相等的实数根; y ③没有实数根?