声学基础4.3理想流体媒质中的声波方程
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强P仅仅是密度的函数,即:
一般说, 压强 P 与密度 的函数关系很复杂,但
在小振幅条件下,小体积元体积变化比较小,因而,
密度 相对静态密度 0 的变化也很小, P=P()在 0 附近展开成泰勒级数
线性近似:忽略二级以上的小量,得
微分:
对于一定介质,绝热压缩时,压强和密度都增加,
dp>0, d>0;绝热膨胀时,压强和密度都减小,dp<0, d<0;因此dP/d>0.
合并: 由
欧拉方程
欧拉方程描述了声场中声压和振速之间的关系.
2）连续性方程 根据质量守恒定律,连续介质中,任意一处体积元中 流进和流出的质量不等,必然引起该体积元介质密 度的变化.
仍取小体元分析,某一瞬时,质点振速为 研究x方向流动. Δt时间内介质由ABCD面流入体元ΔV的质量为
为单位时间通过单位面积的质量
上式表明理想流体中小振幅声场是无旋的. 由矢量分析知识可知:如果某一矢量的旋度等于0, 则这一矢量必为某一标量函数的梯度；矢量的分 量则是该标量函数对相应坐标的偏导数. 因此:
ψ称为声速度势函数,不同的坐标中有不同的形式.
直角坐标中 球坐标中 柱坐标中 速度势也具有与声压类似的波动方程:
由
对时间微分,消去 得
同一时间从EFGH面流出的质量:
x方向体元质量的增加为: F1
F
2
同理y方向,z方向使体元的质量增加为
根据质量守恒定律: 即 连续性方程:
小振幅声波:
简化得: 声场介质中的连续性方程
3）状态方程 仍然考察一小体积元.设它在没有声扰动时状态为
一般情况下,当声波传过来时它们会发生变化,三个 量的变化不是独立的,而是相互联系的. 由于在理想流体的假设下,声波过程进行较快,介质还 来不及与旁边的介质进行热量交换,因而声波过程可 以认为是绝热过程,即温度T0不变.这样,就可认为压
令:
得到声扰动的状态方程.
dP c2d
比例系数 c 实际上代表声传播的速度.它在一般情况 下不是常数,仍可能是压强或密度的函数,其值决定
于具体介质情况下压强 P 对密度 的依赖关系.
理想气体中传播的声速
理想气体的绝热状态方程
对一定质量的气体
得到:
dP c2d
对于小振幅声波,压强及密度变化很小,近似得:
声振动满足三个基本物理定律: 牛顿第二定律 运动方程:
质量守恒定律 连续性方程
状态方程
状态方程
1）运动方程
声场中取小体元ABCDEFGH
F1
F2
介质静止时
有声波作用时压强为
对ABCD面: 由于P随坐标变化,在 内变化量为
对EFGH面:
x 方向的合力为:
体元的加速度 体元的质量 由牛顿第二定律得
同理可得:
声速度势与声压之间的关系
声速度势与振速之间的关系 速度势也是一标量,用它描述声场也比较方便,只要 知道势,即可求出声压和振速.
§4-3理想流体媒质中的声波方程
○ 重点: – 1、运动方程； – 2、连续方程; – 3、状态方程; – 4、声传播速度的计算.
○ 难点: – 1、运动方程； – 2、连续方程; – 3、状态方程;
4.3.1三个基本物理定律
思想:目的是推导某一参量(如声压)的波动方程, 但 是声扰动过程中,各参量声压,密度增量及振速等的 变化是相互关联的,首先要找出各参量之间的关系.
理想气体的绝热状态方程:
对一定质量理想气体: 得: 小振幅声场中:
状态方程:
描述声场中声压与微小密度变化
4.3.3 理想流体中小振幅波传播的波动方程
○ 波动方程的导出 ○ 声速度势
波动方程的导出 理想流体介质的三个基本方程 运动方程 连续性方程
状态方程 利用上述三个关系式,消掉任意两个量,就可以得到 任意一个量的时空关系式.
由于声压p是标量,又容易测量,因此我们常采用声压 描述声场: 对连续性方程
对t求导 将运动方程带入上式
得到:
由
即 略去二阶小量,得 因此,状态方程可写为:
由
得:
波动方程
在不同坐标系中有不同形式
直角坐标系:
球坐标系: 柱坐标系
拉普拉斯算子
4.3.4 声速度势 运动方程为 可得质点振速:
分量ຫໍສະໝຸດ Baidu式:
一般说, 压强 P 与密度 的函数关系很复杂,但
在小振幅条件下,小体积元体积变化比较小,因而,
密度 相对静态密度 0 的变化也很小, P=P()在 0 附近展开成泰勒级数
线性近似:忽略二级以上的小量,得
微分:
对于一定介质,绝热压缩时,压强和密度都增加,
dp>0, d>0;绝热膨胀时,压强和密度都减小,dp<0, d<0;因此dP/d>0.
合并: 由
欧拉方程
欧拉方程描述了声场中声压和振速之间的关系.
2）连续性方程 根据质量守恒定律,连续介质中,任意一处体积元中 流进和流出的质量不等,必然引起该体积元介质密 度的变化.
仍取小体元分析,某一瞬时,质点振速为 研究x方向流动. Δt时间内介质由ABCD面流入体元ΔV的质量为
为单位时间通过单位面积的质量
上式表明理想流体中小振幅声场是无旋的. 由矢量分析知识可知:如果某一矢量的旋度等于0, 则这一矢量必为某一标量函数的梯度；矢量的分 量则是该标量函数对相应坐标的偏导数. 因此:
ψ称为声速度势函数,不同的坐标中有不同的形式.
直角坐标中 球坐标中 柱坐标中 速度势也具有与声压类似的波动方程:
由
对时间微分,消去 得
同一时间从EFGH面流出的质量:
x方向体元质量的增加为: F1
F
2
同理y方向,z方向使体元的质量增加为
根据质量守恒定律: 即 连续性方程:
小振幅声波:
简化得: 声场介质中的连续性方程
3）状态方程 仍然考察一小体积元.设它在没有声扰动时状态为
一般情况下,当声波传过来时它们会发生变化,三个 量的变化不是独立的,而是相互联系的. 由于在理想流体的假设下,声波过程进行较快,介质还 来不及与旁边的介质进行热量交换,因而声波过程可 以认为是绝热过程,即温度T0不变.这样,就可认为压
令:
得到声扰动的状态方程.
dP c2d
比例系数 c 实际上代表声传播的速度.它在一般情况 下不是常数,仍可能是压强或密度的函数,其值决定
于具体介质情况下压强 P 对密度 的依赖关系.
理想气体中传播的声速
理想气体的绝热状态方程
对一定质量的气体
得到:
dP c2d
对于小振幅声波,压强及密度变化很小,近似得:
声振动满足三个基本物理定律: 牛顿第二定律 运动方程:
质量守恒定律 连续性方程
状态方程
状态方程
1）运动方程
声场中取小体元ABCDEFGH
F1
F2
介质静止时
有声波作用时压强为
对ABCD面: 由于P随坐标变化,在 内变化量为
对EFGH面:
x 方向的合力为:
体元的加速度 体元的质量 由牛顿第二定律得
同理可得:
声速度势与声压之间的关系
声速度势与振速之间的关系 速度势也是一标量,用它描述声场也比较方便,只要 知道势,即可求出声压和振速.
§4-3理想流体媒质中的声波方程
○ 重点: – 1、运动方程； – 2、连续方程; – 3、状态方程; – 4、声传播速度的计算.
○ 难点: – 1、运动方程； – 2、连续方程; – 3、状态方程;
4.3.1三个基本物理定律
思想:目的是推导某一参量(如声压)的波动方程, 但 是声扰动过程中,各参量声压,密度增量及振速等的 变化是相互关联的,首先要找出各参量之间的关系.
理想气体的绝热状态方程:
对一定质量理想气体: 得: 小振幅声场中:
状态方程:
描述声场中声压与微小密度变化
4.3.3 理想流体中小振幅波传播的波动方程
○ 波动方程的导出 ○ 声速度势
波动方程的导出 理想流体介质的三个基本方程 运动方程 连续性方程
状态方程 利用上述三个关系式,消掉任意两个量,就可以得到 任意一个量的时空关系式.
由于声压p是标量,又容易测量,因此我们常采用声压 描述声场: 对连续性方程
对t求导 将运动方程带入上式
得到:
由
即 略去二阶小量,得 因此,状态方程可写为:
由
得:
波动方程
在不同坐标系中有不同形式
直角坐标系:
球坐标系: 柱坐标系
拉普拉斯算子
4.3.4 声速度势 运动方程为 可得质点振速:
分量ຫໍສະໝຸດ Baidu式: