专题 动量守恒定律中的碰撞问题(高三)

专题：碰撞中的动量守恒

碰撞

1．碰撞指的是物体间相互作用持续时间很短，而物体间相互作用力很大的现象．

在碰撞现象中，一般都满足内力远大于外力，故可以用动量守恒定律处理碰撞问题．按碰撞前后物体的动量是否在一条直线上有正碰和斜碰之分，中学物理只研究正碰的情况．

2．一般的碰撞过程中，系统的总动能要有所减少，若总动能的损失很小，可以略去不计，这种碰憧叫做弹性碰撞．其特点是物体在碰撞过程中发生的形变完全恢复，不存在势能的储存，物体系统碰撞前后的总动能相等。若两物体碰后粘合在一起，这种碰撞动能损失最多，叫做完全非弹性碰撞．其特点是发生的形变不恢复，相碰后两物体不分开，且以同一速度运动，机械能损失显著。在碰撞的一般情况下系统动能都不会增加（有其他形式的能转化为机械能的除外，如爆炸过程），这也常是判断一些结论是否成立的依据．

3．弹性碰撞

题目中出现：“碰撞过程中机械能不损失”．这实际就是弹性碰撞． 设两小球质量分别为m 1、m 2，碰撞前后速度为v 1、v 2、v 1/、v 2/，碰撞过程无机械能损失，求碰后二者的速度． 根据动量守恒 m 1 v 1＋m 2 v 2＝m 1 v 1/＋m 2 v 2/ ……①

根据机械能守恒 ½m 1 v 12十½m 2v 22= ½m 1 v 1/2十½m 2 v 2/2 ……②

由①②得v 1/= ()212

21212m m v m v m m ++-，v 2/= ()21112122m m v m v m m ++-

仔细观察v 1/、v 2/结果很容易记忆, 当v 2=0时v 1/= ()

21121m m v m m +-，v 2/= 2

1112m m v m + ①当v 2=0时；m 1=m 2 时v 1/=0，v 2/=v 1 这就是我们经常说的交换速度、动量和能量． ②m 1＞＞m 2，v /1=v 1，v 2/=2v 1．碰后m 1几乎未变，仍按原来速度运动，质量小的物体将以m 1的速度的两倍向前运动。

③m 1《m 2，v /l =一v 1，v 2/=0． 碰后m 1被按原来速率弹回，m 2几乎未动。

【例1】试说明完全非弹性碰撞中机械能损失最多．

解析：前面已经说过，碰后二者一起以共同速度运动的碰撞为完全非弹性碰撞． 设两物体质量分别为m 1、m 2，速度碰前v 1、v 2，碰后v 1/、v 2/

由动量守恒：m 1v 1＋m 2v 2＝m 1v 1/十m 2v 2/……①

损失机械能：Q=½m 1v 12＋½m 2v 22－½ m 1 v 1/2－½ m 2 v 2/2 ……②

由①得 m 1v 1＋m 2v 1－m 2v 1＋m 2v 2＝m 1v 1/十m 2v 1/－m 2v 1/＋m 2v 2/

写成（m 1＋m 2）v 1－m 2（v 1－v 2）＝（m 1十m 2）v 1/－m 2（v 1/－v 2/）

即（m 1＋m 2）（v 1 －v 1/）= m 2[（v 1－v 2）－（v 1/－v 2/）]

于是（v 1 －v 1/）= m 2[（v 1－v 2）－（v 1/－v 2/）]/ （m 1＋m 2）

同理由①得m 1v 1＋m 1v 2－m 1v 2＋m 2v 2＝m 1v 1/十m 1v 2/－m 1v 2/＋m 2v 2/

写成（m 1＋m 2）v 2＋m 1（v 1－v 2）＝（m 1十m 2）v 2/＋m 1（v 1/－v 2/）

（m 1＋m 2）(v 2 －v 2/）= m 1[（v 1/－v 2/）－（v 1－v 2）]

（v 2 －v 2/）= m 1[（v 1/－v 2/）－（v 1－v 2）]/ （m 1＋m 2）

代入②得Q=½m 1v 12＋½m 2v 22－½ m 1v 1/2－½ m 2v 2/2=½m 1(v 12－v 1/2)＋½m 2(v 22－v 2/2） =½m 1(v 1－v 1/) (v 1＋v 1/)＋½m 2(v 2－v 2/）(v 2＋v 2/）

=½m 1(v 1＋v 1/) m 2[(v 1－v 2)－(v 1/－v 2/)]/(m 1＋m 2）＋½m 2(v 2＋v 2/）m 1[（v 1/－v 2/）－（v 1－v 2）]/(m 1＋m 2）

=[½m 1 m 2/(m 1＋m 2)][ v 12－v 1v 2＋v 1v 1/－v 2v 1/－v 1v 1/＋v 1v 2/－v 1/2＋v 1/v 2/＋v 2v 1/－v 2v 2/－v 1v 2＋v 22＋v 1/v 2/－v 2/2－v 1v 2/＋v 2v 2/]=[½m 1 m 2/(m 1＋m 2)][ v 12－v 1v 2－v 1v 2＋v 22－v 1/2＋v 1/v 2/＋v 1/v 2/－v 2/2]= [½m 1 m 2/(m 1＋m 2)][(v 1－v 2)2－(v 1/－v 2/)2]()()()22//121212122m m v v v v m m ⎡⎤=---⎣

⎦+……③ 由③式可以看出:当v 1/= v 2/时，损失的机械能最多．

【例2】如图所示，一轻质弹簧两端各连接一质量均为m 的滑块A 和B ，两滑

块都置于光滑水平面上．今有质量为m/4的子弹以水平速度V 射入A 中不再

穿出，试分析滑块B 何时具有最大动能．其值为多少？

解析：对子弹和滑决A 根据动量守恒定律 mv/4=5mv //4所以v /=v/5。

当弹簧被压缩后又恢复原长时，B 的速度最大，具有的动能也最大，此过程动能与动量都守恒

/5544A B mv mv mv =- /2221515124242A B mv mv mv ⨯=⨯+⨯

由①②得：v B =2v/9 所以 B 的动能为E kB =2mv 2/81

答案：弹簧被压缩又恢复原长时；E kB =2mv 2/81

【例3】甲物体以动量P 1与静止在光滑水平面上的乙物体对心正碰，碰后乙物体的动量为P 2，则P 2和P 1的关系可能是（ ）

A ．P 2＜P 1；

B 、P 2= P 1

C ． P 2＞P 1；

D ．以上答案都有可能

解析：此题隐含着碰撞的多种过程．若甲击穿乙物体或甲、乙两物体粘在一起匀速前进时有P 2＜P 1；若甲乙速度交换时有P 2= P 1；若甲被弹回时有P 2＞P 1；故四个答案都是可能的．而后三个答案往往漏选

答案：ABCD

【例4】如图所示，在支架的圆孔上放着一个质量为M 的木球，一质量为m 的子弹以速度v 0从下面竖直向上击中子弹并穿出，使木球向上跳起高度为h ，求子弹穿过木球后上升的高度。

【解析】把木球和子弹作为一个系统研究，在子弹和木球相互作用时间内，木球和子弹要受到重力作用，显然不符合动量守恒的条件。但由于子弹和木球间的作用力(内力)远大于它们的重力(外力)，可以忽略重力作用而认为系统动量守恒。

设子弹刚穿过木球时，子弹的速度为v 1，木球的速度为v 2，竖直向上为正方向。 对系统，据动量守恒：mv=mv 1＋Mv 2……①

木球获得速度v 2后，上升的过程机械能守恒：½Mv 22=Mgh……②

两式联立得12mv M gh v m

-= 子弹射穿木球后的上升过程机械能守恒：½mv 12=mgH ，将v 1代入得子弹上升的最大高度：

()20222mv M gh

H gm -=

M m V 0