141.北师大版九年级数学上册4.6 利用相似三角形测高-导学案

4.6 利用相似三角形测高

学习目标：

1.掌握测量旗杆高度的方法；

2.通过设计测量旗杆高度的方案，学会由实物图形抽象成几何的方法，体会实际问题转化成数学模型的转化思想；

3.培养勇于探索、勇于发现、敢于尝试的科学精神。

重点：会利用相似三角形定义和判定定理计算物体实际高度。

难点 :构造相似三角形的模型

【预习案】

1. 相似三角形的性质：相似三角形的对应角_________，对应边_________；

2.相似三角形的判定：①___________________的两个三角形相似；

②________________且___________的两个三角形相似；

③______________________的两个三角形相似；

【探究案】

知识点1：利用阳光下的影子来测量旗杆的高度

操作方法：一名学生在直立于旗杆影子的顶端处测出该同学的_________和此时旗杆的_______． 点拨：把太阳的光线看成是平行的．

∵太阳的光线是_________的，∴________∥_________，∴∠AEB ＝∠CBD ，

∵人与旗杆是________于地面的，∴∠ABE ＝∠CDB=_____°，

∴△_______∽△_______ ∴BD BE CD AB = 即CD=BE BD AB ⋅ 因此，只要测量出人的影长BE ，旗杆的影长DB ，再知道人的身高AB ，就可以求出旗杆CD 的高度了． 知识点2：利用标杆测量旗杆的高度

操作方法：选一名学生为观测者，在他和旗杆之间的地面上直立一根高度已知的标杆，观测者前后调整自己的位置，使旗杆顶部、标杆顶部与眼睛恰好在____________时，分别测出他的脚与旗杆底部，以及

标杆底部的距离即可求出旗杆的高度．

如图，过点A 作AN ⊥DC 于N ，交EF 于M ．

点拨：∵人、标杆和旗杆都_______于地面，∴∠ABF ＝∠EFD ＝∠CDH ＝_______°

∴人、标杆和旗杆是互相_______的．

∵EF ∥CN ，∴∠_____＝∠_____，∵∠3＝∠3，

∴△______∽△______，∴CN EM AN AM = ∵人与标杆的距离、人与旗杆的距离，标杆与人的身高的差EM 都已测量出，

∴能求出CN ，∵∠ABF ＝∠CDF ＝∠AND ＝90°，∴四边形ABND 为________．

∴DN ＝_______，∴能求出旗杆CD 的长度．

知识点3：利用镜子的反射

操作方法：选一名学生作为观测者．在他与旗杆之间的地面上平放一面镜子，固定镜子的位置，观测者看着镜子来回调整自己的位置，使自己能够通过镜子看到旗杆_______．测出此时他的脚与镜子的距离、旗杆底部与镜子的距离就能求出旗杆的高度．

点拨：入射角＝反射角

∵入射角＝反射角 ∴∠________＝∠________

∵人、旗杆都_________于地面 ∴∠B ＝∠D ＝_______°

∴△________∽△________，∴DE

BE CD AB = 因此，测量出人与镜子的距离BE ，旗杆与镜子的距离DE ，再知道人的身高AB ，就可以求出旗杆CD 的高度．

活动的注意事项：

①运用方法1时可以把太阳光近似地看成平行光线，计算时还要用到观测者的身高．

②运用方法2时观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”，标杆与地面要垂直，在计算时还要用到观测者的眼睛离地面的高度．

③运用方法3时应注意向学生解释光线的入射角等于反射角的现象．

【训练案】

1．小明的身高是1.6m ，他的影长是2m ，同一时刻一古塔的影长是18m ，则该古塔的高度是多少？

2．高4m 的旗杆在水平地面上的影子长6m ，此时测得附近一个建筑物的影子长24m ，求该建筑物的高度？

3．旗杆的影子长6m ，同时测得旗杆顶端到其影子顶端的距离是10m ，如果此时附近小树的影子长3m ，那么小树有多高？

4．如图，AB 表示一个窗户的高，AM 和BN 表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离BC=1m ，已知某一时刻BC 在地面的影长CN=1.5m ，AC 在地面的影长CM=4.5m ，求窗户的高度？

5.如图，王华晚上由路灯A 下的B 处走到C 处时，测得影长CD 的长为1米，继续往前走3米到达E 处时，测得影子EF 的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A 的高度AB 为多少米？

A B C

N M

初中数学公式大全

1 过两点有且只有一条直线

2 两点之间线段最短

3 同角或等角的补角相等

4 同角或等角的余角相等

5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

9 同位角相等，两直线平行

10 内错角相等，两直线平行

11 同旁内角互补，两直线平行

12 两直线平行，同位角相等

13 两直线平行，内错角相等

14 两直线平行，同旁内角互补

15 定理三角形两边的和大于第三边

16 推论三角形两边的差小于第三边

17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180 °

18 推论1 直角三角形的两个锐角互余

19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20 平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形

21 平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

22 平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形

23 平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形

24 矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角

25 矩形性质定理 2 矩形的对角线相等

26 矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形