初三-上册第五章投影与三视图知识点
投影与视图的知识点
投影与视图知识点知识结构框图1．投影一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.生活中有许多利用投影的例子，如手影表演，皮影戏等。
投影分为平行投影和中心投影.由一点（点光源）发出的光线形成的投影是中心投影，如位似图。
平面为投影面，各射线为投影线，空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线。
中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多、但直观性强、看起来与人的视觉效果一致、最像原来的物体、所以在绘画时、经常使用这种方法，但在立体几何中很少用中心投影原理来画图。
平行线在经过中心投影后有可能变成了相交的直线如果一个平面图形所在的平面与投射面平行、那么中心投影后得到的图形与原图形也是平行的、由平行光线形成的投影（太阳光等）称为平行投影，它是投射线相互平行的投影。
平行投影按照投射方向是否正对着投影面，可以分为斜投影和正投影两种。
当投影线倾斜于投影面时，称斜投影；当投影线垂直于投影面时，称正投影。
光由一点向外散射形成的投影是中心投影，一束平行光线照射下形成的投影是平行投影，那么用灯泡照射物体和用手电筒照射物体形成的投影分别属于哪种投影。
从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。
一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影。
平行投影和中心投影有什么不同平行投影；发出来的光线是平行的（如太阳光），对应点的连线是平行的中心投影：是从一点发出来的光（如灯泡的光）对应点的连线或延长线相交于一点工程图样一般都是采用正投影根据投影方法我们可以看到，当直线段平行于投影面时，直线段与它的投影及过两端点的投影线组成一个矩形，因此，直线的投影反映直线的实长。
当平面图形平行与投影面时，不难得出，平面图形与它的投影为全等图形，即反映平面图形的实形。
由此我们可得出：平行于投影面的直线或平面图形，在该投影面上的投影反映线段的实长或平面图形的实形，这种投影特性称为真实性。
九年级数学投影与三视图
初三数学投影、三视图通用版知识精讲
初三数学投影、三视图通用版【本讲主要内容】投影、三视图包括投影、平行投影、中心投影、正投影、视图、主视图、俯视图、左视图。
【知识掌握】【知识点精析】1. 用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影。
2. 由平行光线形成的投影叫做平行投影。
3. 由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影。
4. 投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。
5. 当我们从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图。
6. 一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图叫做左视图。
7. 画三视图时，使主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等。
【解题方法指导】例1. 说出下面图1、图2中画出的正方体的立体图，各是什么投影。
图1 图2分析：图1是美术中画出的正方体的立体图，它应用了透视原理，与中心投影有密切的关系，体现出近大远小的视觉效果；而图2是斜二侧投影，它与平行投影有密切的关系。
解：图1中与正面垂直的直线相交于一点，图2中与正面垂直的直线互相平行，图1中的面近大远小，图2中相对的面一样大。
例2. （2006年某某）某时刻两根木棒在同一平面内的影子如图所示，此时，第三根木棒的影子表示正确的是（）A B C D体的左视图是（）DA B C正面分析：从立体图给出了正面的方向，于是左视图是从左面看，应是一个圆，又由于有一根细棒，因此应有一个点，故应选B。
解：B评析：B、C的区别就在于中间有无一个点，这微小的差别体现了全面思考问题的情节。
例2. （2006年某某市）下列物体中，主视图为图1的是（）A B C D图1分析：图A的主视图是梯形，应排除；图C的主视图为梯形，应排除；图D的主视图为等腰三角形，应排除，故应选B。
解：B评析：采用排除法是解决这类问题的一种基本方法。
初三-上册第五章投影与三视图知识点
投影与视图；一．投影：1.光源点光源：像手电筒、路灯、台灯都可以看成一个点光源。
平行光源：太阳光可以看成是一个平行光源2.概念定义：一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。
（1）平行投影：由平行光线（太阳的光线是平行光线）形成的投影。
（2）中心投影：由同一点（点光源发出的光线）形成的投影。
（3）两者区别与联系：区别光线物体与投影面平行联系时的投影平行投影平行的投射线全等都是物体在光线的照射下，在某中心投影从一点出发的投射线放大(位似变换)个平面内形成的影子。
(即都是投影)3.投影知识点：测量同一时刻物体的高度和影长时：①若两物体的高度之比等于影长之比时，则这两个物体的影子是平行投影。
②若两物体的高度之比不等于影长之比时，则这两个物体的影子是中心投影4.投影的性质：①将两个等高物体垂直于与地面放置时，离点光源较近的物体的影子较短，反之则越长。
②将两个等高物体平行于与地面放置时，离点光源较近的物体的影子较长，反之则越短。
5．易错题整理：1）直线的平行投影一定是直线（×）原因：2）矩形的投影一定是矩形（×）原因：3）一个圆在平面上的投影一定是圆。
（×）原因：二．视图：1.概念：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图。
2.分类：视图有：主视图、左视图、俯视图3.正方体的主要视图及展开：正方体的展开图有11种：1）1-4-1型：6种 2）2-3-1型：3种3）2-2-2型：1种 4） 3-3 型：1种4.看视图确定物体有多少正方体组成：在俯视图中画圈标注法，取较小数值的和。
北师大版本九年级数学上册第五章投影和视图知识点解析含习题练习
北师大版本九年级数学上册第五章投影和视图知识点解析第01讲_投影与视图知识图谱投影知识精讲投影的定义1.一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影；照射光线叫做投影线；投影所在的平面叫做投影面．2.由平行光线（如太阳光线）形成的投影称为平行投影．3.由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影．4.在物体的平行投影中，投影线垂直于投影面，则该平行投影称为正投影．三点剖析一．考点：投影的定义二．重难点：投影的定义三．易错点：中心投影的光源为点光源，平行投影的光源为阳光；平行投影例题1、平行投影中的光线是（）A.平行的B.聚成一点的C.不平行的D.向四面八方发散的【答案】A 【解析】平行投影中的光线是平行的，如阳光等．例题2、下列说法正确的是（）A.物体在阳光下的投影只与物体的高度有关B.小明的个子比小亮高，我们可以肯定，不论什么情况，小明的影子一定比小亮的影子长C.物体在阳光照射下，不同时刻，影长可能发生变化，方向也可能发生变化D.物体在阳光照射下，影子的长度和方向都是固定不变的【答案】C【解析】平行投影的特点：在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻的同一物体在太阳光下的影子的大小也在变化．例题3、例已知：如图，AB 和DE 是直立在地面上的两根立柱，5AB m =，某一时刻，AB 在阳光下的投影4BC m =．（1）图中画出此时DE 在阳光下的投影；（2）AB 的投影长时，同时测出DE 在阳光下的投影长为6m ，请你计算DE 的长．【答案】（1）如图所示；（2）7.5m 【解析】（1）根据已知连接AC ，过点D 作DF AC ，即可得出EF 就是DE 的投影；（2）利用ABC DEF ∆∆ AB BC DE EF ∴=5AB m = ，4BC m =，6EF m =7.5DE m ∴=随练1、下列说法错误的是（）A.两人在太阳光下行走，同一时刻他们的身高与影长的比相等B.两人在同一灯光下行走，同一时刻他们的身高与其影长不一定相等C.一人在同乙灯光下不同地点的影长不一定相同D.一人在不同时间的阳光下同一地点的影长相等【答案】D【解析】暂无解析随练2、请指出下列小明的影子，平行投影的是__________，中心投影是__________.①一个晴天的上午，小明身后的影子；②一个晴天的中午，小明脚下的影子；③夜晚，小明在路灯下的影子；④小明在幻灯机前经过时投在屏幕上的影子【答案】①②；③④【解析】根据中心投影和平行投影的性质，中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月亮．随练3、某数学兴趣小组，利用树影测量树高，如图（1），已测出树AB 的影长AC 为12m ，并测出此时太阳光线与地面成30 夹角．（1）求出树高AB ；（2）因水土流失，此时树AB 沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发上了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变，求树的最大影长．【答案】（1）；（2）【解析】（1）3tan 3012)3AB AC m ==⨯=（2）如图2，112sin 45)2B N AN AB m ====11tan 60)NC NB m === ，11AC AN NC =+=+当树与地面成60 角时影长最大2AC ，222AC AB ==随练4、如图是两根标杆在地面上的影子，根据这些投影，在灯光下的影子是（）A.①和②B.②和④C.③和④D.②和③【答案】D【解析】根据物体的顶端和影子顶端的连线必经过光源从而可判断出答案.随练5、如图，小明和小燕在院子里玩捉迷藏游戏，院子里有三堵墙，现在小明站在O点，小燕如果不想被小明看到，则不应该站的区域是（）A.（1）B.（2）C.（3）D.（4）【答案】C【解析】∵（1）、（2）、（4）区域均为视力盲区∴站在（1）、（2）、（4）区域均不会被看见，而（3）区在视力范围内∴只要不站在（3）区就不会被看见．中心投影例题1、物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这种现象就是__________现象，投影现象中，由阳光形成的影子是__________投影，由灯光形成的影子是__________投影，海滩上游人的影子是__________投影，晚上路旁栏杆的影子是__________投影．【答案】投影；平行；中心；平行；中心【解析】根据平行投影和中心投影的定义作答即可．例题2、四个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下，在地面上的投影（阴影部分）效果如图．则在字母L、K、C的投影中，与字母N属同一种投影的有（）A.L、KB.CC.KD.L、K、C【答案】A【解析】根据平行投影和中心投影的特点和规律．“L”、“K”与“N”属中心投影．例题3、如图，我们常用“y随x的增大而增大”来表示两个变量之间的变化关系．有这样一个情境：如图，小王从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他与路灯C的距离y随他与点A之间的距离x的变化而变化．下列函数中y与x之间的变化关系，最有可能与上述情境类似的是（）y x=+A.y x=B.3C.3y x = D.()233y x =-+【答案】D【解析】从A 到路灯的正下方前他与路灯的距离逐渐减少，经过路灯后它与路灯的距离逐渐增加.随练1、如图，夜晚小亮从点A 经过路灯C 的正下方沿直线走到点B ，他的影长y 随他与点A 之间的距离x 的变化而变化，那么表示y 与x 之间的函数关系的图像大致是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】设身高GE h =，1CF =，AF a=当x a ≤时，OEG OFC∆∆ OE GE OF CF ∴=，即y h a x l =-h hay x l l∴=-+a 、h l 、均为常数∴这个函数图像是一次函数图像影长将随着离灯光越来越近而越来越短，到灯下的时候，将是一个点，进而随着离灯光的越来越远而影长将变大．正投影例题1、Rt ABC ∆斜边在平面α上，则ABC ∆在平面α的正投影（）A.一定不是钝角三角形B.一定不是直角三角形C.一定不是锐角三角形D.一定是三角形【答案】C【解析】当三角形所在的平面与平面α垂直时，三角形在平面上的正投影是一条线段；当三角形所在的平面与平面不垂直时，投影形成钝角三角形；当三角形在平面上时，形成投影是直角三角形.例题2、一根笔直的小木棒（记为线段AB ），它的正投影为线段CD ，则下列各式中一定成立的是（）A.AB CD =B.AB CD ≤C.AB CD >D.AB CD≥【答案】D【解析】根据正投影的定义，当AB 与投影面平行时，AB CD =；当AB 与投影面不平行时，AB CD >.视图知识精讲一．视图当我们从某一角度观察一个物体时，所看到的图像叫做物体的一个视图．视图也可以看做物体在某一角度的光线下的投影．二．常见立体图的三视图如图，我们用三个互相垂直的平面（例如墙角处的三面墙壁）作为投影面，其中正对着我们的叫做正面，正面下方的叫做水平面，右边的叫做侧面．一个物体在三个投影面内同时进行投影：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图．三．三视图的做法：1.主视图与俯视图表示同一物体的长，主视图与左视图表示同一物体的高，左视图与俯视图表示同一物体的宽；主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等．2.看得见部分的轮廓线画成实线；3.看不见部分的轮廓线画成虚线.一个投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到这个面内的图形叫做俯视图；一个投射面放置在正前方，叫直立投射面，投射到此平面内的图形叫做主视图；和水平投射面、直立投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，通常把这个平面放在直立投射面的右面，投射到这个平面内的图形叫做左视图；三点剖析一．考点：立体图形三视图二．重难点：立体图形三视图及由三视图求解立体图形三．易错点：1.画三视图时看不见的线应该用虚线；2.利用三视图确定小立方体的个数立体图形的三视图例题1、下列几何体的主视图、左视图、俯视图的图形完全相同的是（）A.三棱锥B.长方体C.三棱柱D.球体【答案】D【解析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图．例题2、如图是一个底面为正三角形的直三棱柱，则这个几何体的主视图是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】从正面看是两个矩形，矩形的公共边是虚线，例题3、下面四个立体图形，从正面、左面、上面观察都不可能看到长方形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】A、主视图为长方形，左视图为长方形，俯视图为长方形，故本选项错误；B、主视图为长方形，左视图为长方形，俯视图为圆，故本选项错误；C、主视图为等腰三角形，左视图为等腰三角形，俯视图为圆，从正面、左面、上面观察都不可能看到长方形，故本选项正确；D、主视图为三角形，左视图为三角形，俯视图为有对角线的矩形，故本选项错误．例题4、如图是一个由若干个正方形搭建而成的几何体的主视图与左视图，那么下列图形中可以作为该几何体的俯视图的序号是：________________．【答案】①②③【解析】综合左视图跟主视图：从正面看，第一行第一列有3个正方形，第一行第二列有1个或第二行第2列有一个或都有一个.第二行第1列有2个正方体.随练1、如图①，这是一个正方体毛坯，将其沿一组对面的对角线切去一半，得到一个工件如图②，对于这个工件，左视图、俯视图正确的一组是（）①②a b c dA.a，bB.b，dC.a，cD.a，d【答案】D【解析】左视图、俯视图是分别从物体的侧面和上面看所得到的图形．由三视图求解立体图形例题1、若一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是正方形，则这个几何体是（）A.正方体B.圆锥C.圆柱D.球【答案】A【解析】∵主视图和左视图都是正方形，∴此几何体为柱体，∵俯视图是一个正方形，∴此几何体为正方体．例题2、如图是由一些相同的小正方体构成的立体图形的三种视图．那么构成这个立体图形的正方体有多少个小立方块（）A.4个B.5个C.6个D.7个【答案】【解析】根据图形可得：最底层有4个小立方块，第二层有1个小立方块，所以构成这个立体图形的小立方块有5个．例题3、如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的体积为（）A.60πB.70πC.90πD.160π【答案】B 【解析】观察三视图发现该几何体为空心圆柱，其内圆半径为3，外圆半径为4，高为10，所以其体积为22104370πππ⨯-=（），例题4、由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图．（如图）（1）请你画出这个几何体的一种左视图；（2）若组成这个几何体的小正方体的块数为n ，请你写出n 的所有可能值．【答案】（1）见解析；（2）8n =，9，10，11．【解析】（1）左视图有以下5种情形：（2）8n =，9，10，11．随练1、从一个边长为3cm 的大立方体挖去一个边长为1cm 的小立方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图所示：∵从一个边长为3cm 的大立方体挖去一个边长为1cm 的小立方体，∴该几何体的左视图为：．随练2、如图所示的是某几何体的三视图，则该几何体的形状是（）A.长方形B.三棱柱C.圆柱D.正方体【答案】C 【解析】根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱．随练3、如图是由一些相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成该几何体的小正方体的个数最少为（）A.7个B.8个C.9个D.10个【答案】C 【解析】由俯视图可得底面有一排有6个小正方体；从主视图看，第二层最少有2个正方体，第3层最少有一个小正方体，组成该几何体的小正方体的个数为9个．随练4、如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是（）A.πB.9πC.18πD.27π【答案】C 【解析】根据三视图可得：这个几何体为圆锥，∵直径为6，圆锥母线长为6，∴侧面积66218ππ=⨯⨯÷=；随练5、如右图，是一个由若干个小正方体搭建而成的几何体的主视图与左视图，那么下列图形中可以作为该几何体的俯视图的序号是___________．【答案】①②③【解析】根据几何的主视图和左视图即可判断．拓展1、给下列几种关于投影的说法，正确的是（）A.矩形的平行投影一定是矩形B.平行直线的平行投影仍是平行直线C.垂直于投影面的直线或线段的正投影是点D.中心投影的投影线是互相平行的【答案】C【解析】矩形的平行投影可能是平行四边形，也可能是线段；平行直线的平行投影可能是平行直线，也可能重合；垂直于投影面的直线或线段的正投影是点；中心投影的投影线是相交于一点的．2、李华的弟弟拿着一个菱形木框在阳光下玩，李华发现菱形木框在阳光照射下，在地面上形成了各种图形的阴影，但以下一种图形始终没有出现，没有出现的图形是（）A.B.C. D.【答案】D【解析】根据平行四边形投影的特点，在同一时刻不同物体的物高和影长成比例，所以不可能是梯形．3、如图，一根直立于水平地面上的木杆AB 在灯光下形成影子，当木杆绕点A 按逆时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化．设AB 垂直于地面时的影长为AC （假定AC AB >）的最大值为m ，最小值为n ，那么下列结论：①m AC >；②m AC =；③n AB =；④影子的长度先增大后减小．其中，正确结论的序号是．【答案】①③④【解析】当木杆绕点A 按逆时针方向旋转时，如图所示当AB 与光线BC 垂直时，m 最大，则m AC >，①成立；最小值为AB 与底面重合，故n AB =；由上可知，影子的长度先增大后减小．4、如图，小军、小珠之间的距离为2.7m ，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8m ，1.5m ，已知小军、小珠的身高分别为1.8m ，1.5m ，则路灯的高为_________m ．【答案】3【解析】如图，∵CD ∥AB ∥MN ，∴△ABE ∽△CDE ，△ABF ∽△MNF ，∴CD DE =AB BE ，FN MN =FB AB ，即1.8 1.8=AB 1.8+BD ， 1.5 1.5=AB 1.5+2.7-BD，解得：AB=3m5、如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球，球在地面上的阴影的形状是一个圆，当把白炽灯向上远移时，圆形阴影的大小的变化情况是（）A.越来越小B.越来越大C.大小不变D.不能确定【答案】A【解析】灯光下，涉及中心投影，根据中心投影的特点灯光下影子与物体离灯源距离有关，此距离越大，影子才越小．6、如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从点A处沿AO所在的直线行走14m到点B时，人影长度（）A.变长3.5mB.变长2.5mC.变短3.5mD.变短2.5m【答案】C【解析】设小明在A处时影长为x，AO长为a，B处时影长为y．∵AC∥OP，BD∥OP，∴△ACM∽△OPM，△BDN∽△OPN，∴AC MAOP MO=，BD BNOP ON=，则1.68xx a=+，∴14x a=；1.6148yy a= +-，∴1 3.54y a=-，∴ 3.5x y-=，故变短了3.5米．7、如图所示零件的左视图是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】零件的左视图是两个竖叠的矩形．中间有2条横着的虚线8、如图是由一些相同的小正方体构成的立体图形的三种视图，那么构成这个立体图形的小正方体有（）A.4个B.5个C.6个D.7个【答案】B【解析】由俯视图易得最底层有4个正方体，第二层有1个正方体，那么共有4+1=5个正方体组成．故选B．9、如图所示的几何体是由五个小正方体组合而成的，它的左视图是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，10、与如图所示的三视图对应的几何体是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】根据主视图、左视图、俯视图判断即可得到.11、一张桌子上摆放有若干个大小、形状完全相同的碟子，现从三个方向看，其三种视图如图所示，则这张桌子上碟子的总数为（）A.11B.12C.13D.14【答案】B【解析】由俯视图可得：碟子共有3摞，由几何体的主视图和左视图，可得每摞碟子的个数，如下图所示：故这张桌子上碟子的个数为3+4+5=12个。
沪科版九年级三视图知识点
沪科版九年级三视图知识点在九年级数学课程中，沪科版教材中的三视图知识点是非常重要的，它可以帮助学生从多个视角去理解一个物体的形状和结构。
本文将探讨三视图的定义、作用以及解题方法，帮助学生更好地掌握这一知识点。
一、什么是三视图？三视图，顾名思义，即指一个物体从不同角度观察的三个视图。
通常情况下，我们将物体的正视图、俯视图和侧视图这三个视图用图形的形式来表示。
正视图是指我们从物体正对的位置去观察，俯视图是指我们从物体的上方往下观察，侧视图则是指我们从物体的一侧观察。
通过三视图，我们可以全面了解一个物体的形状、尺寸和结构。
二、三视图的作用三视图作为几何学的重要工具，在现实生活中具有广泛的应用。
比如，在建筑设计中，建筑师需要通过三视图来呈现建筑物的外观和内部结构；在制造业中，生产工人需要根据三视图来组装和加工工件；在机械设计中，工程师需要通过三视图来设计机器零部件等。
通过三视图，可以方便地表达和传达物体的形状和结构，提高工作的效率和准确性。
三、解题方法1.辨认物体形状和位置: 在给出的三视图中，首先要辨认出物体的形状和位置。
可以通过仔细观察不同视图之间的联系，找到相同的图形或相似的特征。
2.根据已知条件推导未知条件：在解题过程中，通常会给出一些已知条件，以及需要求解的未知条件。
通过观察已知条件在三视图中的呈现形式，可以推导出与之对应的未知条件。
3.运用几何关系和计算方法：在进行具体的计算时，可以运用几何关系和计算方法来求解。
比如，通过平行线之间的相似性，可以求解出物体的尺寸；通过计算长方体的体积，可以求解出其边长等。
四、三视图的拓展三视图不仅仅局限于二维图形的呈现，还可以通过透视图来实现三维效果的体现。
透视图是指在三维空间中将一个物体的形状和结构以真实的透视方式表现出来。
相比于平面的三视图，透视图更能够接近物体的真实感，更加鲜活生动。
五、总结通过本文的探讨，我们了解到三视图在几何学中的重要性和应用。
通过三视图，可以帮助我们从多个角度去理解一个物体的形状和结构，从而提高问题的理解和解决能力。
3、正投影与三视图正确地分析和判断空间中的点、线、面的位置解析
北师大版九年级上册第五章投影与视图知识点归纳及例题
北师大版九年级上册第五章投影与视图知识点归纳及例题【学习目标】1.在观察、操作、想象等活动中增强对空间物体的把握和理解能力；2.通过实例了解中心投影与平行投影；3.会画直棱柱、圆柱、圆锥和球的三种视图；4.能根据三种视图描述简单的几何体.【知识点梳理】知识点一、投影1.投影现象物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象.影子所在的平面称为投影面.2. 中心投影手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的，这样的光线照射在物体上所形成的投影，称为中心投影.相应地，我们会得到两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.知识点诠释：光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.3.平行投影1.平行投影的定义太阳光线可看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影.相应地，我们会得到两个结论：①等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.②等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.2. 物高与影长的关系①在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长.②在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.即：.利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.知识点诠释：1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻.2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.4、正投影如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，当平行光线与投影面垂直时，这种投影称为正投影.知识点诠释：正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影.知识点二、中心投影与平行投影的区别与联系1.区别：（1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例.（2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.2.联系：（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线.（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化.知识点诠释：在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进一步解决问题.知识点三、视图1.三视图（1）视图用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图.（2）三视图在实际生活和工程中，人们常常从正面、左面和上面三个不同方向观察一个物体，分别得到这个物体的三个视图.通常我们把从正面得到的视图叫做主视图，从左面得到的视图叫做左视图，从上面得到的视图叫做俯视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.2.三视图之间的关系（1）位置关系一般地，把俯视图画在主视图下面，把左视图画在主视图右面，如图(1)所示.（2）大小关系三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示.知识点诠释：三视图把物体的长、宽、高三个方面反映到各个视图上，具体地说，主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽，抓住这些特征能为画物体的三视图打下坚实的基础.3.画几何体的三视图画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下：(1)确定主视图的位置，画出主视图；(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线要画成虚线.知识点诠释：画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以，首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚线表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图.4.由三视图想象几何体的形状由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形.知识点诠释：由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析：(1)根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高；(2)根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线；(3)熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助；(4)利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法.【典型例题】类型一、投影的作图与计算1．如何才能使如图所示的两棵树在同一时刻的影长分别与它们的原长相等，试画图说明．【答案与解析】(1)如图所示．可在同一方向上画出与原长相等的影长，此时为平行投影．(2)如图所示，可在两树外侧不同方向上画出与原长相等的影子，连结影子的顶点与树的顶点．相交于点P．此时为中心投影，P点即为光源位置．【总结升华】连结物体顶点与其影长的顶点，如果得到的是平行线，即为平行投影；如果得到相交直线，则为中心投影，这是判断平行投影与中心投影的方法，也是确定中心投影光源位置的基本做法．但若中心投影光源在两树同侧时，图中的两棵树的影长不可能同时与原长相等，所以点光源可以选在两树之间．特别提醒：易错认为只有平行投影才能使两棵树在同一时刻的影长分别与它们的原长相等，从而漏掉上图这一情形．举一反三：【变式】与一盏路灯相对，有一玻璃幕墙，幕墙前面的地面上有一盆花CD和一棵树AB．晚上，幕墙反射路灯，灯光形成那盆花的影子DF，树影BE是路灯灯光直接形成的，如图所示，你能确定此时路灯光源的位置吗?【答案】作法如下：①连结FC并延长交玻璃幕墙于O点；②过点O作直线OG垂直于玻璃幕墙面；③在OC另一侧作∠POG＝∠FOG且交EA延长线于点P．P点即此时路灯光源位置，如图所示．2.（2015·盐城校级模拟）如图，小明与同学合作利用太阳光线测量旗杆的高度，身高1.6m的小明落在地面上的影长为BC=2.4m．（1）请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下落在地面上的影子EG；（2）若小明测得此刻旗杆落在地面的影长EG=16m，请求出旗杆DE的高度．【思路点拨】（1）连结AC，过D点作DG∥AC交BC于G点，则GE为所求；（2）先证明Rt∥ABC∥∥RtDGE，然后利用相似比计算DE的长．【答案与解析】解：（1）影子EG如图所示；（2）∥DG∥AC，∥∥G=∥C，∥Rt∥ABC∥∥RtDGE，∥=，即=，解得DE=，∥旗杆的高度为m．【总结升华】本题考查了平行投影，也考查了相似三角形的判定与性质．举一反三：【变式】如图，小亮利用所学的数学知识测量某旗杆AB的高度．（1）请你根据小亮在阳光下的投影，画出旗杆AB在阳光下的投影．（2）已知小亮的身高为1.72m，在同一时刻测得小亮和旗杆AB的投影长分别为0.86m和6m，求旗杆AB 的高．【答案】解：（1）如图所示：（2）如图，因为DE，AB都垂直于地面，且光线DF∥AC，所以Rt△DEF∽Rt△ABC，所以DE EF AB BC=，即1.720.866AB=，所以AB=12（m）．答：旗杆AB的高为12m．类型二、三视图3．如图，分别从正面、左面、上面观察该立体图形，能得到什么平面图形．【答案与解析】从正面看该几何体是三角形，从左面看该几何体是长方形，从上面看该几何体是一长方形中带一条竖线．如图：【总结升华】本题考查了几何体的三视图的判断．举一反三：【变式】如图，画出这些立体图形的三视图．【答案】（1）如图：（2）如图：（3）如图：（4）如图：4．（2015·惠州校级月考）如图是由几个小立方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图．【思路点拨】由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为2，2，3，左视图有3列，每列小正方形数目分别为1，3，2．据此可画出图形．【答案与解析】解：如图所示：【总结升华】本题考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视图的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．类型三、三视图的有关计算5．某工厂要对一机器零件表面进行喷漆，设计者给出了该零件的三视图(如图所示)，请你根据三视图确定其喷漆的面积．【思路点拨】首先要根据立体图形的三视图，想象出物体的实际形状，然后再计算表面积.【答案与解析】解：长方体的表面积为(30×40+40×25+25×30)×2＝5900(cm2)，圆柱体的侧面积为3.14×20×32＝2010(cm2)，其喷漆的面积为5900+2010＝7910(cm2)．【总结升华】由该机械零件的三视图，可想象它是一个组合体，是由一个长方体和一个圆柱体组成．其表面积是一个长方体的六个面与圆柱体的侧面构成．(圆柱体的上表面补在长方体的上表面被圆柱体遮挡的部分).该组合体是由一长方体与一圆柱体组合而成，但不能认为组合体的表面积就是两几何体的表面积之和．举一反三：【变式】某物体的三视图如图：（1）此物体是什么体；（2）求此物体的全面积．【答案】解：（1）根据三视图的知识，主视图以及左视图都为矩形，俯视图是一个圆，故可判断出该几何体为圆柱．（2）根据圆柱的全面积公式可得，20π×40+2×π×102=1000π．。
北师大版九年级数学上册课件：第五章 投影与视图
投影所在的平面叫做 投影面．
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有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯 光的一束光中的光线，由平行光线形成的投影是平行投影．
例如，物体在太阳光的照射下形成的影子（简称日影） 就是平行投影．日影的方向可以反映时间.
我国古代的计时器日晷，就是根据日影来观测时间的．
皮影戏是利用灯光的照射，把影 子的影态反映在银幕（投影面）上的 表演艺术．
如图，把一根直的细铁丝（记为线段AB）放在三个不
同位置； （1）铁丝平行于投影面； （2）铁丝倾斜于投影面； （3）铁丝垂直于投影面（铁丝不一定要与投影面有公 共点）．
三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？
A
B
A
BA
A1
p
B1 A2
B B2
B3
A
B
A
BA
A1
p
B1 A2
B B2
A3(B3)
通过观察，我们可以发现：
投
照射光线叫做投影线
影 面
投影所在的平面叫做 投影面．
由同一点（点光源）发出的光线形 成的投影叫做中心投影．
典例剖析
1.投影线的方向如箭头所示，画出图中圆柱体的 正投影：
2.确定图中路灯灯泡所在的位置.
o
小结：
物体上的点以及
它们影子上的对应点
的连线都过光源.
作法：①过一根木杆的顶端及其影子的顶端作一条直线；
• 又如何？如果平行光从上面投射到正方 体上呢？
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视图的定义：
• 像这样，用正投影的方法绘制的物体在投 影面上的图形，称为物体的视图. • 通常我们把从正面得到的视图叫做主视图， 从左面得到的视图叫做左视图，从上面得到的 视图叫做俯视图.
九年级数学上册(北师大版)课件：第5章投影与视图复习
• 物体的三视图实际上就是该物体在某一平行光线 (垂直于投影面的平行光线)下的平行投影.
• 探照灯,手电筒,路灯,和台灯的光线可以看成是从 一点出发的光线,像这样的光线所形成的投影称为 中心投影
• 皮影和手影都是在灯光照射下形成的影子.它们是 中心投影。
已知两棵小树在同一时刻的影子，你如何确定影子是 在太阳光线下还是在灯光的光线下形成的。
义务教育教科书（北师）九年级数学上册
第五章
内容回顾
平行投影
视
投影
图 与 投
中心投影 灯光与影子，视 点、视线和盲区
影
视图 圆柱、圆锥、球、直三棱柱、直
四棱柱等简单几何体的三视图
回顾 思考 平行投影与中心投影
• 物体在光线的照射下,会在地面或墙壁上留下它的 影子,这就是投影现象.
• 太阳光线可以看成平行光线,像这样的光线所形成 的投影称为平行投影。
两条光线是平行的，因 此它们是太阳光下形成 的.
两光线相交于一点，因 此它们是灯光下形成的 .
平行投影与中心投影的区别与联系
区别
物体与投影面
联系
光线
平行时的投影
平行投影 中心投影
平行的投射线
从一点出发的 投射线
全等 放大(位似变换)
都是物体在光 线的照射下， 在某个平面内 形成的影子。 (即都是投影)
A
C
30º
B
8下面的四组图形中，如图所示的圆柱体的三视图的是【 B 】
A
主视图 左视图
B
主视图 左视图
俯视图
C
主视图 左视图
俯视图
D
主视图 左视图
俯视图
北师版九年级初三上册数学知识点梳理
第一章特殊的平行四边形3、正方形的对称性正方形是中心对称图形，对称中心是对角线交点，正方形又是轴对称图形，对称轴有四条。
知识点三：中点四边形原四边形对角线关系中点四边形四边形既不垂直也不相等平行四边形平行四边形既不垂直也不相等平行四边形菱形相互垂直平分矩形矩形相等且相互平分菱形正方形相等、垂直、平分正方形等腰梯形相等菱形知识点四：特殊平行四边形的判定第二章一元二次方程知识清单梳理知识点一：一元二次方程及其解法关键点拨及对应举例1.一元二次方程的相关概念(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程．(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．例：方程20aax+=是关于x的一元二次方程，则方程的根为－1.2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解.( 2 )因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.( 3 )公式法:一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x=242b b aca-±-（b2-4ac≥0）.(4)配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法．解一元二次方程时，注意观察，先特殊后一般，即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法解时，再用公式法.例：把方程x2+6x+3=0变形为(x+h)2=k的形式后，h=-3,k=6.知识点二：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系第三章概率的进一步认识4.随机事件概率的计算方法(1)一步完成：直接列举法，运用概率公式计算；(2)两步完成：列表法、画树状图法；(3)两步以上：画树状图法树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件.知识点三：几何概率的计算*5.几何概率的计算方法求出阴影区域面积与总面积之比即为该事件发生的概率.几何概率的考查一般结合特殊三边形、四边形或圆的基本性质，不一定把具体的面积求出来，只需要求出比值即可.第四章图形的相似知识清单梳理知识点一：比例线段关键点拨与对应举例1.比例线段在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a cb d=，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱.2.比例的基本性质(1)基本性质：a cb d=⇔ ad＝bc；（b、d≠0）(2)合比性质：a cb d=⇔a bb±＝c dd±；（b、d≠0）(3)等比性质：a cb d=＝…＝mn＝k(b＋d＋…＋n≠0)⇔......a c mb d n++++++＝k.（b、d、···、n≠0）已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b代入求解.例：若35ab=，则a bb+=85.3.平行线分线段成比例定理（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则AB DEBC EF=.利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解.例：如图，已知D，E分别是△ABC的边BC和AC上的点，AE=2，CE=3，要使DE∥AB，那么于53.BC：CD应等（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB∥CD，则OA OBOD OC=.（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.4.黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果ACAB＝=5－12≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．例：把长为10cm的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(5－1)cm．知识点二：相似三角形的性质与判定5.相似(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF.判定三角形相似的思路：①条件中若有平行线，可用平行线找出相等的角而判定；②条FEDCBAl5l4l3l2l1ODCBAEDCBAFEDCBA三角形的判定(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A ＝∠D ，AC ABDF DE=，则△ABC ∽△DEF. 件中若有一对等角，可再找一对等角或再找 夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中 若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件 中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证 明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有 等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等或找底、腰对应成比例.(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若AB AC BCDE DF EF ==，则△ABC ∽△DEF. 6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．例：(1)已知△ABC ∽△DEF ，△ABC 的周长为3，△DEF 的周长为2，则△ABC 与△DEF 的面积之比为9：4.(2) 如图，DE ∥BC ， AF ⊥BC,已知S △ADE:S △ABC=1:4，则AF:AG =1：2.7.相似三角形的基本模型（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍. （2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.第五章 投影与视图知识清单梳理知识点一：三视图 内 容关键点拨1.三视图 主视图：从正面看到的图形. 俯视图：从上面看到的图形. 左视图：从左面看到的图形.例：长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是36 .2.三视图的对应关系(1)长对正：主视图与俯视图的长相等，且相互对正； (2)高平齐：主视图与左视图的高相等，且相互平齐； (3)宽相等：俯视图与左视图的宽相等，且相互平行． 3.常见几何体的三视图常见几何体的三视图正方体：正方体的三视图都是正方形.圆柱：圆柱的三视图有两个是矩形，另一个是圆. 圆锥：圆锥的三视图中有两个是三角形，另一个是圆. 球的三视图都是圆.知识点二 ：投影4.平行投影由平行光线形成的投影．在平行投影中求影长，一般把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出的影长．例：小明和他的同学在太阳下行走，小明身高1.4米，他的影长为1.75米，他同学的身高为1.6米，则此时他的同学的5.中心投影由同一点(点光源)发出的光线形成的投影．FE DC B AFEDC B A影长为2米．第六章反比例函数一、知识清单梳理知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.反比例函数的概念（1）定义：形如y＝kx(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：①y＝kx；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)例：函数y=3x m+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.失分点警示（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.k>0 图象经过第一、三象限（x、y同号）每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.k<0 图象经过第二、四象限（x、y异号）每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.3.反比例函数的图象特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．例：若(a，b)在反比例函数kyx=的图象上，则(－a，－b)在该函数图象上.(填“在"、"不在")4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x.知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义（1）意义：从反比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.（2）常见的面积类型：图见学练优RJ九数上前面四页“方法、易错”的此内容下的图片已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0.例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：3yx=或3yx=-.6.与一次函数的综合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE＞S△BOD.知识点三：反比例函数的实际应用。
2-1 投影法与三视图
2-1 投影法与三视图物体在光线照射下，在地面或墙壁上产生影子。
人们对这种自然现象加以抽象研究，总结其中规律，创造了投影法。
所谓投影法，就是投射线通过物体，向选定的平面（投影面）投影，并在该平面上得到图形（投影图）的方法。
投影法分为两大类：中心投影法和平行投影法。
一、中心投影法投射线交于一点（投射中心）的投影法称为中心投影法。
如图2-1所示：采用中心投影法绘制的图样，立体感较强，在建筑效果图中经常使用。
但是，在用中心投影法绘制的图样中，若改变物体和投射中心的距离，则物体投影图的大小会发生改变，即中心投影不能反映物体的真实形状和大小，因此在机械图样中常常采用另一种投影法。
图2-1 中心投影法二、平行投影法投射线相互平行的投影法称为平行投影法。
按投射线与投影面倾斜或垂直，平行投影法又分为斜投影法和正投影法两种。
图2-2 斜投影法图2-3 正投影法1、斜投影法：投射线与投影面倾斜的平行投影法。
由此得到的图形称为斜投影图（简称斜投影）。
如图2-2所示。
2、正投影法：投射线与投影面垂直的平行投影法。
由此得到的图形称为正投影图（简称正投影）。
如图2-3所示。
正投影图度量性好，作图简单，机械图样常常采用正投影法绘制。
三、正投影的基本特性(单投影面)1、真实性：当物体上的平面（或直线）与投影面平行时，其投影反映实形（或实长）。
如图2-4(a)。
2、积聚性：当物体上的平面（或直线）与投影面垂直时，其投影积聚成直线（或点）。
如图2-4(b)。
3、类似性（亦称收缩性）：当物体上的平面（或直线）与投影面倾斜时，其投影收缩成原来形状的类似形。
如图2-4(c)。
图2-4 正投影的特性四、三视图的形成及投影规律1、三投影面体系一般情况下，物体的一个投影图（二维）不能准确地反映物体（三维）的完整形状，如图2-5所示。
要想准确表达物体的结构形状，就必须增加投影图。
工程上常采用在三投影面体系中得到的三面投影图来表达物体的形状，如图2-6所示。
北师大版九年级上册数学第五章投影与视图
讲授新课
中心投影的概念
合作探究： 准备素材：手电筒、三角形、矩形纸片,若干个长度不等的小棒.
（1）固定手电筒,改变小木棒或纸片的摆放位置和方向,它们的 影子分别发生了什么变化?
(2)固定小木棒或纸片,改变手电筒的摆放位置和方向，它们的影 子分别发生了什么变化?
手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点出发的，像 这样投影面的摆放位置和方向，它们的影 子分别发生了什么变化?
太阳光线可以看成平行光线,像这样的光线所形成的投影称 为平行投影.平行光与投影垂直,称为正投影.
例1：下图中三幅图是在我国北方某地某天上午不同时刻的同 一位置拍摄.
（甲）
（乙）
（丙）
（1）在三个不同时刻，同一棵树的影子长度不同，请将它们
中心投影的作图及规律
例1：确定下图路灯灯泡所在的位置.
O
解：过一根木杆的顶端及其影子的顶端画一条直线，再过另一根木杆的顶端 及其影子的顶端画一条直线，两线相较于点O，点O就是灯泡的位置.
例2：一个广场中央有一站路灯.
（1）高矮相同的两个人在这盏路灯下的影子一定一样长吗?如 果不一定,那么什么情况下他们的影子一样长？ 不一定一样长,只有在距离路灯的距离相等时候影子才会一样长.
BE' BE' 1.5 1
所以，甲木杆的高度为1.86m.
例3：一位同学想利用树影测树高，已知在某一时刻直立于地面 的长1.5m的竹竿的影长为3m，但当他马上测量树影时，发现树 的影子有一部分落在墙上.经测量，留在墙上的影高CD=1.2m， 地面部分影长BD=5.4m，求树高AB.
A
解：过点D作DE∥AC交AB于点E.
D E
A （甲）
D´ B （乙）
投影的基本特性和三视图
2.3.三视图的形成及投影规律
2.投影的基本知识 2.3.三视图的形成及投影规律
2.3.1三面投影体系及三视图的形成
一般只用一个方向的投影来表达形体是不确定的，通常须将
形体向几个方向投影，才能完整清晰地表达出形体的形状和结构。
2.3.1三面投影体系及三视图的形成 2.3.1三面投影体系及三视图的形成
图2-4 投影的定比性
图2-5 投影的平行性
(4) 当线段或者平面平行于投影面时, 其投影反映原线段的实 长或原平面图形的实形。如图2-6所示,因为AB∥H及△CDE∥H, 故AB=ab及△CDE≌△cde。
图2-6 投影的实形性
2. 积聚性
图2-7 线、面投影的积聚性
3. 类似性 当平面与投影面倾斜但不平行投射方向时, 其投影具有类 似性。如平面多边形的投影仍为同边数的多边形，平面上圆的 投影为椭圆。
2.投影的基本知识
2.1投影法介绍
画透视图 画斜轴测图
中心投影法
投影方法 平行投影法 正投影法 斜投影法
画正轴测图 单面投影 多面投影
画工程图样
2.1.1中心投影法 2.1.1中心投影法
投射中心 投射线
投影体
A A B a b
投影面
C
C
投影
B
物体位置改变， 投影大小也改变
c
a b 投影面
c
投影特性
返回
俯视(产生H面投影)
2.3.2三视图的对应影规律 三视图间的位置关系
主视图(V面)
左视图(W面)
俯视图(H面)
左视(产生W面投影) 主视(产生V面投影)
直观图
W位置关系
俯视图(H面)在主视图(V面)的正下方； 左视图(W面)在主视图(V面)的正右方，这
投影与视图(知识点+题型分类练习+答案)
投影与视图知识梳理【知识网络】【考点梳理】一、投影1．投影用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在平面叫做投影面．2．平行投影和中心投影由平行光线形成的投影是平行投影；由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影．（1）平行投影：平行光线照射形成的投影（如太阳光线）。
当平行光线垂直投影面时叫正投影。
投影三视图都是正投影。
（2）中心投影：一点出发的光线形成的投影（如手电筒，路灯，台灯）3．正投影投影线垂直投影面产生的投影叫做正投影．要点诠释：正投影是平行投影的一种．二、物体的三视图1．物体的视图当我们从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的视图．我们用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的叫做正面，正面下方的叫做水平面，右边的叫做侧面．一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图．要点诠释：三视图就是我们从三个方向看物体所得到的3个图象．2．画三视图的要求(1)位置的规定：主视图下方是俯视图，主视图右边是左视图．(2)长度的规定：长对正，高平齐，宽相等．画图时，看得见的轮廓线画成实线，看不见的轮廓线画成虚线。
三个图的位置展示：要点诠释：主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽．（1）主视图：三视图（2）左视图：（3）俯视图：投影与视图专题练习类型一：平行投影1.有两根木棒AB、CD在同一平面上竖着，其中AB这根木棒在太阳光下的影子BE如图（1）所示，则CD这根木棒的影子DF应如何画?2.如图所示，某居民小区内A、B两楼之间的距离MN=30米，两楼的高都是20米，A楼在B楼正南，B 楼窗户朝南.B楼内一楼住户的窗台离小区地面的距离DN=2米，窗户高CD=1.8米.当正午时刻太阳光线与地面成30°角时，A楼的影子是否影响B楼的一楼住户采光？若影响，挡住该住户窗户多高？若不影响，请说明理由.（参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236）3.如图所示，在一天的某一时刻，李明同学站在旗杆附近某一位置，其头部的影子正好落在旗杆脚处，那么你能在图中画出此时的太阳光线及旗杆的影子吗？4.已知，如图所示，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m. （1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影.（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下时投影长为6m.请你计算DE的长.类型二：中心投影1.如图所示，小明在广场上乘凉，图中线段AB表示站在广场上的小明，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯.（1）请你在图中画出小明在照明灯P照射下的影子.（2）如果灯杆高PO=12m，小明身高AB=1.6m，小明与灯杆的距离BO=13m，请求出小明影子的长度.2.确定图中路灯灯泡所在的位置。
九年级数学上册 第五章 投影与视图小结与复习课件
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针对训练
2.如图，路灯(P点)距地面8米，身高1.6米的小明(xiǎo mínɡ)从距路灯的底部(O 点)20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是
变短了？变长或变短了多少米？
解：小明(xiǎo mínɡ)的身影变短了.
∵∠MAC=∠MOP=90°，
B
A．
B．
C．
D．
【解析】圆柱从上边看是一个圆，从正面(zhèngmiàn)看是一个 正方形，既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞， 故选B．
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考点五 由三视图确定立方体的个数
例5 由一些(yīxiē)大小相同的小正方体组成的几何体三视图如 图所示，那么，组成这个几何体的小正方体的个数是( )
(3)在你所画的图中有相似三角形吗？为什么？
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【解析】所要画出的乙木杆的影子与甲木杆形成(xíngchéng)的影子是 同一时刻，根据同一时刻两物体的高度比等于其影长的比，同时，在同 一时刻太阳光线是互相平行的，平行移动乙杆，使乙杆顶端的影长恰好 抵达墙角．
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课堂小结
图 投 影
与 视
(tóuyǐng)
投影
中心(zhōngxīn)投影
平行投影
圆柱、圆锥、球、直三棱柱、直四棱柱等 视图(shìtú) 简单几何体的三视图
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内容 总结 (nèiróng)
小结与复习。课堂小结。（2）先证明Rt△ABC∽Rt△DGE，然后利用(lìyòng)相似比计算DE的长。 ∴∠G=∠C，。∴S圆环形阴影=0.92π﹣0.32π=0.72π（m2）．。∠AMC=∠OMP,。同理，由
北师大版九年级数学上册第五章《投影与视图》三视图教案
5.2视图教案第1课时简单图形的三视图1.理解视图及三视图的概念；2.会辨别简单几何体的三种视图，能熟练画出简单几何体的三种视图；（重点）3.能根据三视图描述基本几何体或实物原型.（难点）一、情景导入一个物体从不同的角度观察，看到的形状可能是不相同的.观察一个毛绒玩具，我们从三个不同的角度看，得到三个图形，如图所示.你能说出它们是从哪个方向观察得到的吗？二、合作探究探究点一：三视图的识别【类型一】判断简单几何体的三种视图图中的四个几何体中，主视图、左视图和俯视图都相同的几何体共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个解析：圆柱的主视图、左视图都是长方形，而俯视图是圆；圆锥的主视图、左视图都是等腰三角形，而俯视图是带圆心的圆；球的三种视图都是圆；正方体的三种视图都是正方形，故选B.方法总结：常见的几何体有圆柱、圆锥、球以及直棱柱，竖直放置的圆柱、圆锥的主视图、左视图相同，一般的直棱柱的三种视图是不同的，而球和正方体的三种视图都是相同的，它们分别是圆和正方形.【类型二】根据实物确定视图如图，从不同方向看一只茶壶，你认为是俯视效果图的是（）解析：俯视图就是从物体的正上方向下看到的视图，因而能够看到茶壶的顶部、壶把、壶嘴，从而选择A；D选项是茶壶的主视图.故选A.方法总结：根据实物确定视图的方法：首先要弄清楚物体的主视图、左视图、俯视图的含义，而后根据实际物体思考三种视图的大体轮廓.探究点二：画简单几何体的三种视图画出如图甲所示的几何体的三种视图.解析：该几何体是由圆锥和圆柱组合而成的几何体，只要把圆锥和圆柱的三种视图分别画出再组合即可.解：三种视图如图乙所示.方法总结：画组合体的三种视图时，先将几何体分解成若干个简单几何体，再进行各种视图组合.画圆锥的俯视图时一定要注意它是一个带圆心的圆，不要漏画了圆心.探究点三：根据三视图还原几何体【类型一】根据三视图判断几何体的形状已知一个几何体的三种视图如图所示，则该几何体是（）解析：A图的主视图、左视图均为等腰三角形，B图的左视图、俯视图均为矩形，C图的俯视图的外轮廓线为四边形，由此可排除A，B，C选项，抓住某个特征采用排除法是解决这类问题的常用方法.故选D.方法总结：主视图能体现物体的左右长度、上下高度；俯视图能体现物体的左右长度、前后宽度；左视图能体现物体的上下高度、前后宽度.通过观察三种视图可以想象出几何体的立体图形.【类型二】根据两种视图讨论构成几何体的小正方体的个数用小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方形中的字母表示在该位置小正方体的个数，请解答下列问题：（1）a，b，c各表示多少？（2）这个几何体最少由几个小立方体组成，最多又是多少？（3）当d＝e＝1，f＝2时，画出这个几何体的左视图.解：（1）由俯视图知道这个几何体共有三排三列，第三列只有一排，第二列有两排；而从主视图知道第三列的层数为3层，第二列的层数为1层，所以a为3，b，c应为1；（2）d ，e ，f 既可以为1，也可以为2，但至少有一个为2，另外两个为1时，共有9个小立方体；另外两个都为2时，共有11个小正方体；故最少由9个小立方体搭成，最多由11个小立方体搭成；（3）左视图如右图所示.方法点拨：这类问题一般是给出一个由相同的小正方体搭成的立体图形的两种视图，要求想象出这个几何体可能的形状.解答时可以先由三种视图描述出对应的该物体，再由此得出组成该物体的部分个体的个数.三、板书设计视图⎩⎪⎨⎪⎧概念：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形三视图的组成⎩⎪⎨⎪⎧主视图：从正面得到的视图左视图：从左面得到的视图俯视图：从上面得到的视图三视图的画法：长对正，高平齐，宽相等由三视图推断原几何体的形状通过观察、操作、猜想、讨论、合作等活动，使学生体会到三视图中位置及各部分之间大小的对应关系.通过具体活动，积累学生的观察、想象物体投影的经验，发展学生的动手实践能力、数学思考能力和空间观念. 第2课时 复杂图形的三视图1.会辨别复杂的几何体的三视图；（重点）2.会画复杂的几何体的三视图，会根据复杂的三视图判断实物原型；（重点）3.明确三视图中实线和虚线的区别.（难点）一、情景导入张师傅是铸造厂的工人，小王有事情拜托他，想让他制作一个如图所示的小零件，小王应该如何准确地告诉张师傅小零件的形状和规格呢？二、合作探究探究点一：判断复杂的几何体的视图如图，空心圆柱体的主视图的画法正确的是（）解析：本题中空心的小圆柱看不到应画成虚线，圆柱的底面圆看得见，应画出实线，只有C符合，故选C.方法总结：画几何体的三种视图时，一定要按照“看得见的轮廓线画成实线，看不见的轮廓线画成虚线”的原则进行.探究点二：画复杂的几何体的三视图画出下图中三个几何体对应的三种视图.解析：根据三种视图的画法画出即可，画第二个和第三个几何体的左视图时应该注意将凹进去的部分用虚线表示出来.解：三个几何体的三种视图分别如下图所示：方法总结：画三种视图时，一定要注意：主与俯“长对正”，主与左“高平齐”，左与俯“宽相等”.画较复杂的实物图（几何体）的三种视图时，可以根据几何体的特征将其分成几个部分，先画出最主要（最大）的部分的三种视图，再逐步画出其他部分的三种视图，最后再对照原图几何体的形状检查一下三种视图的轮廓是否正确.探究点三：根据视图确定几何体一个几何体的三种视图如图所示，则这个几何体是（）解析：熟记常见几何体的三种视图后首先可排除选项A，因为长方体的三视图都是矩形；因为所给的主视图中间是两条虚线，故可排除选项B；选项D的几何体中的俯视图应为一个梯形，与所给俯视图形状不符.只有C选项的几何体与已知的三视图相符.故选C.方法总结：由几何体的三种视图想象其立体形状可以从如下途径进行分析：（1）根据主视图想象物体的正面形状及上下、左右位置，根据俯视图想象物体的上面形状及左右、前后位置，再结合左视图验证该物体的左侧面形状，并验证上下和前后位置；（2）从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线.在得出原立体图形的形状后，也可以反过来想象一下这个立体图形的三种视图，看与已知的三种视图是否一致.探究点四：三视图中的计算如图所示是一个工件的三种视图，图中标有尺寸，则这个工件的体积是（ ）A.13πcm 3B.17πcm 3C.66πcm 3D.68πcm 3解析：由三种视图可以看出，该工件是上下两个圆柱的组合，其中下面的圆柱高为4cm ，底面直径为4cm ；上面的圆柱高为1cm ，底面直径为2cm ，则V ＝4×π×22＋1×π×12＝17π（cm 3）.故选B.方法点拨：解决此类问题的关键是想象几何体的形状，根据物体对应的相关数据找准其对应关系，再正确地进行计算.三、板书设计 复杂图形的三视图⎩⎪⎨⎪⎧判断复杂的几何体的视图画复杂的几何体的三视图：看得见的轮廓线画成实线，看不见的轮廓线画成虚线根据视图确定几何体经历由直棱柱到其三种视图的转化过程，进一步发展空间观念，培养学生自主学习与合作学习相结合的学习方式.在应用数学解决生活中问题的过程中，品尝成功的喜悦，激发学生应用数学的热情.。
北师大版九年级数学上册第五章(单元)教材分析
北师大版九年级数学上册第五章（单元）教材分析
第五章投影与视图
本章主要内容包括投影与视图。
本章从投影的角度对如何用三视图这样的平面图形来表示三维立体图形进行进一步讨论，有助于将学生对于图形已有的认识加以提高，增强将平面图形与立体图形相互转化的能力，从而进一步培养空间想象能力。
【本章重点】
几何体的三视图。
【本章难点】
三视图和实物图形的相互转化．。
【本章思想方法】
1．体会分类讨论思想．如：辨别物体的投影时分平行投影和中心投影两种情况。
2．体会方程思想．如：在解决同一时刻物体的高度与影长成比例时，需要利用方程思想来解答。
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名师精编优秀资料
投影与视图；
一．投影：
1.光源
点光源：像手电筒、路灯、台灯都可以看成一个点光源。
平行光源：太阳光可以看成是一个平行光源
2.概念
定义：一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。
（1）平行投影：
由平行光线（太阳的光线是平行光线）形成的投影。
（2）中心投影：
由同一点（点光源发出的光线）形成的投影。
（3）两者区别与联系：
区别
光线物体与投影面平行
联系
时的投影
平行投影平行的投射线全等都是物体在光
线的照射下，在某中心投影从一点出发的投射线放大(位似变换)
个平面内形成的影
子。
(即都是投影)
3.投影知识点：
测量同一时刻物体的高度和影长时：
①若两物体的高度之比等于影长之比时，则这两个物体的影子是平行投影。
②若两物体的高度之比不等于影长之比时，则这两个物体的影子是中心投影
4.投影的性质：
①将两个等高物体垂直于与地面放置时，离点光源较近的物体的影子较短，反之则越长。
②将两个等高物体平行于与地面放置时，离点光源较近的物体的影子较长，反之则越短。
5．易错题整理：
1）直线的平行投影一定是直线（×）原因：
2）矩形的投影一定是矩形（×）原因：
3）一个圆在平面上的投影一定是圆。
（×）原因：
二．视图：
1.概念：
用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图。
2.分类：
视图有：主视图、左视图、俯视图
3.正方体的主要视图及展开：
正方体的展开图有11种：
1）1-4-1型：6种 2）2-3-1型：3种
3）2-2-2型：1种 4） 3-3 型：1种
4.看视图确定物体有多少正方体组成：在俯视图中画圈标注法，取较小数值的和。