微分方程例题

例. 解微分方程 解:
则有
分离变量
积分得
即
代回原变量得通解
(C 为任意常数)
说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但 求解在过程中丢失了.
例. 求方程
的通解 .
解: 注意 x, y 同号,
故方程可
变形为 由一阶线性方程通解公式 , 得
这是以
为因变量, y为
自变量的一阶线性方程
例5.
的通解.
解: 特征方程为
其根为
对应齐次方程的通解为
为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为
Fra Baidu bibliotek
代入方程:
比较系数, 得 因此特解为 所求通解为
例6. 设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:
解: (1) 特征方程
有二重根
所以设非齐次方程特解为
(2) 特征方程 利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为
求 解: 将所给方程化为:
的通解为 的通解.
利用⑤,⑥建立方程组:
故所求通解为
积分得
例.
的通解.
解: 对应齐次方程为
由观察可知它有特解:
令
代入非齐次方程后化简得
(二阶常系数非齐次方程)
⑦
此题不需再作变换. 特征根:
设⑦的特解为 代入⑦可得:
于是得⑦的通解:
故原方程通解为
例1. 解: 本题
的一个特解. 而特征方程为
解法1 积分因子法. 原方程变形为 取积分因子
故通解为 此外, y = 0 也是方程的解.
解法2 化为齐次方程. 原方程变形为
积分得
将
代入 , 得通解
此外, y = 0 也是方程的解.
解法3 化为线性方程. 原方程变形为 其通解为
即 此外, y = 0 也是方程的解.
例. 解:
例. 求解 解:
例. 解初值问题
解: 分离变量得
自行填充空白处 的颜色
两边积分得
即
( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
例. 求下述微分方程的通解:
解: 令
则
故有 即 解得 所求通解:
( C 为任意常数 )
例: 解法 1 分离变量
即 解法 2 故有 积分
所求通解:
(C<0 ) ( C 为任意常数 )
所求通解为
思考与练习
判别下列方程类型:
提示:
可分离 变量 方程
齐次方程
线性方程
线性方程
伯努利方 程
例. 求解
解:
∴ 这是一个全微分方程 .
用凑微分法求通解. 将方程改写为
即
或
故原方程的通解为
思考: 如何解方程 这不是一个全微分方程 , 但若在方程两边同乘 就化成上例 的方程 .
备用题 解方程
因此原方程通解为
的通解. 特征根:
例. 解: 特征方程:
特征根 :
原方程通解: (不难看出, 原方程有特解
例.
解: 特征方程: 即 其根为 方程通解 :
备用题
为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程, 并求其通解 .
解: 根据给定的特解知特征方程有根 :
因此特征方程为 即 故所求方程为 其通解为
例. 设线性无关函数
① 的通解为
换回原变量, 得原方程通解为
例2. 解: 将方程化为
则方程化为
(欧拉方程)
即 特征根: 设特解:
② 代入 ② 解得 A = 1, 所求通解为
性方程 常数, 则该方程的通解是 (
都是二阶非齐次线
的解,
是任意
).
提示:
(89 考研 )
都是对应齐次方程的解, 二者线性无关 . (反证法可证)
例. 个解
解:
已知微分方程
有三
求此方程满足初始条件
的特解 .
是对应齐次方程的解, 且
常数
因而线性无关, 故原方程通解为
代入初始条件 故所求特解为
例.已知齐次方程
有根
思考与练习
1 . (填空) 设
时可设特解为
提示:
时可设特解为
2. 已知二阶常微分方程 求微分方程的通解 .
解: 将特解代入方程得恒等式
有特解
比较系数得
故原方程为 对应齐次方程通解: 原方程通解为
例1.
解:
则原方程化为
亦即
①
特征方程
其根
则①对应的齐次方程的通解为
设特解: 代入①确定系数, 得
不是特征方程的根 .
设所求特解为
代入方程 :
比较系数, 得
于是所求特解为
例2. 求解定解问题
解: 本题
特征方程为
其根为
故对应齐次方程通解为
设非齐次方程特解为
代入方程得
故
原方程通解为
由初始条件得
解得 于是所求解为
例4 解: 本题
的一个特解 .
特征方程
不是特征方程的根, 故设特解为
代入方程得
比较系数 , 得 于是求得一个特解
积分得 利用
两端再积分得 利用
代入方程得
分离变量
于是有 因此所求特解为
对于
型方程(n≥2)，可以令
得 如果能求出其通解
逐次积分n-1次，就可得到原方程的通解
其中C1,C2...,Cn为任意常数.
例. 解初值问题
解: 令
代入方程得
积分得
利用初始条件,
根据
得
积分得 故所求特解为
例. 解: 特征方程