三次样条插值函数
三次样条插值例题解析matlab
三次样条插值例题解析matlab 三次样条插值是一种常用的插值方法，可以通过一定数量的离散数据点，拟合出一个光滑的曲线。
在MATLAB中，插值函数interp1可以实现三次样条插值。
该函数的基本语法为：y_interp = interp1(x, y, x_interp, 'spline');其中，x和y分别是原始数据的横坐标和纵坐标，x_interp是插值点的横坐标，'spline'表示使用三次样条插值方法。
插值函数会根据原始数据拟合出一个插值曲线，在插值点的位置上返回相应的纵坐标值。
下面我们以一个具体的例子来解析三次样条插值的使用。
假设我们有如下一组离散数据点：```matlabx = [0, 1, 2, 3, 4];y = [2, 3, 1, 4, 2];```我们希望通过这些离散数据点拟合出一个光滑的曲线，并在插值点处求取纵坐标值。
首先，我们需要在插值区间内定义一组插值点。
这里我们取0.1为步长，生成插值点：```matlabx_interp = 0:0.1:4;```然后，使用interp1函数进行插值计算：```matlaby_interp = interp1(x, y, x_interp, 'spline');```最后，我们可以通过图表来比较原始数据和插值结果：```matlabplot(x, y, 'o', x_interp, y_interp, '-');legend('原始数据', '插值结果');```在生成的图表中，原始数据以圆点表示，插值结果以实线表示。
通过比较可以看出，插值结果在原始数据之间形成了光滑的曲线。
以上就是使用MATLAB进行三次样条插值的基本步骤和方法。
然而，三次样条插值在某些情况下可能会产生不稳定的结果。
这是因为三次样条插值的结果受到了边界条件的影响。
3.4三次样条插值
3.4.2
三次样条函数插值法
样条(Spline)是早期飞机、造船工作中，绘图员 是早期飞机、造船工作中， 样条 是早期飞机 用来画光滑曲线的细木条或细金属丝。绘图时， 用来画光滑曲线的细木条或细金属丝。绘图时，为 将一些已知点连成光滑的曲线， 将一些已知点连成光滑的曲线，绘图员用压铁把样 条固定在这些点处，因样条有弹性， 条固定在这些点处，因样条有弹性，便形成通过这 些点的光滑曲线，沿着它就可画出所需曲线。数学 些点的光滑曲线，沿着它就可画出所需曲线。 上仿此得出的函数便称为样条函数。 上仿此得出的函数便称为样条函数。 是一种分段函数， 所谓 m 次样条函数 S(x) ，是一种分段函数， 它在节点(a = x0 < x1 <L< xn−1 < xn = b) 分成的每个 xi 小区间i−1, xi ] 上是 次多项式，而在整个区间 ,b] [x [a m 次多项式， 阶导数连续。常用三次样条函数。 上 m−1 阶导数连续。常用三次样条函数。
样条插值的存在惟一问题
1）由于在每个小区间上是三次多项式，有四个 由于在每个小区间上是三次多项式， 待定系数。有个n小区间，共4n个待定系数。 待定系数。有个n小区间， 待定系数。 2）分析三次样条函数满足的条件可得： 分析三次样条函数满足的条件可得： 每个小区间的两个端点上满足插值条件
S j +1 ( x j ) = y j S j +1 ( x j +1 ) = y j +1 ( j = 0,1,2L , n − 1)
( x − x1)( x − x2 ) 1 = 2 ( x − x1 )( x − x2 ) l0(x) = ( x0 − x1)( x0 − x2 ) 2h ( x − x0 )( x − x2 ) 1 其中 l1(x) = = − 2 ( x − x0 )( x − x2 ) ( x1 − x0 )( x1 − x2 ) h (x − x0 )( x − x1) 1 l2(x) = ( x − x )( x − x ) = 2h2 ( x − x0 )( x − x1 ) 2 0 2 1
三次样条插值知识讲解
（1）差商定义
定义
称 f[xi,xj]f(xxi)i xfj(xj), ij 为 f ( x ) 在 x i , x j
两点处的一阶差商.
f[x0,x1,x2]f[x0,xx10 ] xf2[x1,x2]
二阶差商
f[x 0 ,x 1 ,L x n ]f[x 0 ,x 1 L x n x 1 0 ] x fn [x 1 ,x 2 ,L x n ]n 阶差商
n
P n(x)
i0
yi (xxn i)1(n 'x)1(xi)
（2）插值误差估计
定理2 设 f (n) (x) 在[a, b] 上连续，f (n1) (x)在 (a, b) 内存在,
节点 a x 0 x 1 x n b ，Pn ( x) 是拉格朗日插值多项 式，则对任意 x[a,b] , 插值余项
1 (x4)(x6)(x8)(x10) 3(x2)(x6)(x8)(x10)
384
96
5(x2)(x4)(x8)(x10) 4(x2)(x4)(x6)(x10)
64
96
1 (x2)(x4)(x6)(x8) 384
缺点: 当增加或减少插值节点时,基函数需要重新 构造,不便于实际的计算使用
四、 Newton插值法
为 Det(A) (xi xj) ,由定理中条件,插值结点为彼此互异的, 那么行 0jin
列式不为零.故由Cramer法则知线性代数方程组 Aa b 存在唯一解.
三、Lagrange插值法
（1）Lagrange插值多项式可以表示为
n
Pn (x) yili (x) i0
l i( x ) ( x ( i x x x 0 0 ) ) L L ( ( x x i x x i i 1 1 ) ) ( ( x x i x x i i 1 1 ) ) L L ( ( x x i x n x ) n ) ,i 0 ,1 ,L n
三次样条插值ppt
把以上各式由后向前代入,可得
Nn (x) f (x0) f [x0, x1](x x0) f [x0, x1, xn](x x0) (x xn1)
Rn (x) f (x) Nn (x) f [x, x0, x1, xn ](x x0) (x xn)
yi
n1 ( x) ( x xi )n' 1 ( xi )
（2）插值误差估计
定理2 设 f (n) (x) 在[a,b] 上连续，f (n1) (x)在 (a,b) 内存在, 节点 a x0 x1 xn b，Pn (x) 是拉格朗日插值多项 式，则对任意 x [a,b] , 插值余项
x4 f ( x4 ) f [x3, x4 ] f [x2 , x3 , x4 ] f [x1, x2, x3, x4 ] f [x0, x1, x2, x3, x4 ]
(2) Newton插值公式
由差约定义 x [a,b]
f (x) f (x0 ) f [x, x0 ](x x0 )
f [x, x0 ] f [x0, x1] f [x, x0, x1](x x1)
xn1] f [x1, x2 , x0 xn
xn ] n 阶差商
差商表
xk
f
(xk )
一阶 差商
二阶差商
三阶差商 四阶差商
x0 f (x0 )
x1 f (x1) f [x0, x1]
x2 f (x2 ) f [x1, x2 ] f [x0 , x1, x2 ]
x3 f (x3 ) f [x2, x3] f [x1, x2 , x3 ] f [x0, x1, x2, x3]
三次样条插值第一类边界条件
三次样条插值第一类边界条件
三次样条插值第一类边界条件是指在插值函数在边界处满足一定的条件。
具体来说，对于给定的数据点序列x = [x0, x1, ..., xn]，插值函数f(x)在每个数据点处都有f(xi) = yi (i = 0, 1, ..., n)，并且在x0和xn处满足一阶导数连续。
在实践中，为了满足第一类边界条件，通常需要对插值函数进行约束。
一种常见的方法是使用三次样条插值，并要求插值函数在每个数据点处的一阶导数和二阶导数与相邻数据点对应导数值相等。
具体来说，假设插值函数f(x)在每个数据点处的一阶导数为f'(xi) (i = 0, 1, ..., n)，二阶导数为f''(xi) (i = 1, 2, ..., n-1)，则可以列出以下方程组：
f'(x0) = y0/h0
f'(xn) = yn/hn
f'(xi) = (yi+1 - yi)/(xi+1 - xi) (i = 0, 1, ..., n-1)
f''(xi) = (f'(xi+1) - f'(xi))/(xi+1 - xi) (i = 0, 1, ..., n-2)
其中，h0和hn分别是数据点x0和xn对应的目标高度差，即h0 = y0 - f(x0)，hn = yn - f(xn)。
通过解这个方程组，可以得到满足第一类边界条件的三次样条插值函数。
三次样条插值
三次样条插值分段线性插值的优点：计算简单、稳定性好、收敛性有保证且易在计算机上实现缺点：它只能保证各小段曲线在连接点的连续性，却无法保证整条曲线的光滑性，这就不能满足某些工程技术的要求。
三次Hermit 插值优点：有较好的光滑性，缺点：要求节点的一阶导数已知。
从２０世纪６０年代开始，首先由于航空、造船等工程设计的需要而发展起来所谓样条(Spline)插值方法，既保留了分段低次插值多项式的各种优点，又提高了插值函数的光滑性。
今天，样条插值方法已成为数值逼近的一个极其重要的分支，在许多领域里得到越来越多广泛应用。
我们介绍应用最广的具二阶连续导数的三次样条插值函数。
一、三次样条插值函数的定义：给定区间],[b a 上的个节点b x x x a n =<<<= 10和这些点上的函数值),,1,0()(n i y x f i i == 若)(x S 满足： （1）),,2,1,0()(n i y x S i i ==；（2）在每个小区间],[b a 上至多是一个三次多项式； （3）)(),(),(x S x S x S '''在],[b a 上连续。
则称)(x S 为函数)(x f 关于节点的n x x x ,,,10 三次样条插值函数。
二、边界问题的提出与类型单靠一个函数表是不能完全构造出一个三次样条插值函数。
我们分析一下其条件个数，条件（2）三次样条插值函数)(x S 是一个分段三次多项式，若用)(x S i 表示它在第i 个子区间],[1i i x x -上的表达式，则)(x S i 形如],[,)(1332210i i i i i i i x x x x a x a x a a x S -∈+++=其中有四个待定系数)3,2,1,0(=j a ij ，子区间共有n 个，所以)(x S 共有n 4个待定系数。
由条件（3）)(),(),(x S x S x S '''在],[b a 上连续，即它们在各个子区间上的连接点110,,,-n x x x 上连续即可，共有)1(4-n 个条件，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=+''=-''-=+'=-'-=+=-),2,1,0()()1,,2,1)(0()0()1,,2,1)(0()0()1,,2,1)(0()0(n i y x S n i x S x S n i x S x S n i x S x S i i i i i i i i 共有241)1(3-=++-n n n 个条件，未知量的个数是n 4个。
三次样条插值
三次样条插值C++数值算法（第二版)3.3 三次样条插值给定一个列表显示的函数yi=y(xi),i=0,1,2,...,N-1。
特别注意在xj和xj+1之间的一个特殊的区间。
该区间的线性插值公式为(3.3.1)式和(3.3.2)式是拉格朗日插值公式(3.1.1)的特殊情况。
因为它是(分段)线性的，(3.3.1)式在每一区间内的二阶导数为零，在横坐标为xj处的二阶导数不定义或无限。
三次样条插值的目的就是要得到一个内插公式，不论在区间内亦或其边界上，其一阶导数平滑，二阶导数连续。
做一个与事实相反的个假设，除yi的列表值之外，我们还有函数二阶导数y"的列表值，即一系列的yi"值，则在每个区间内，可以在(3.3.1)式的右边加上一个三次多项式，其二阶导数从左边的yj"值线性变化到右边的yj+1"值，这么做便得到了所需的连续二阶导数。
如果还将三次多项式构造在xj和xj+1处为零，则不会破坏在终点xj和xj+1处与列表函数值yj和yj+1的一致性。
进行一些辅助计算便可知，仅有一种办法才能进行这种构造，即用注意,(3.3.3)式和(3.3.4)式对自变量x的依赖，是完全通过A和B对x的线性依赖，以及C和D(通过A和B)对x的三次依赖而实现。
可以很容易地验证，y"事实上是该插值多项式的二阶导数。
使用ABCD的定义对x求(3.3.3)式的导数，计算dA/dx dB/dx dC/dx dD/dx,结果为一阶导数因为x=xj是A=1，x=x(i+1)时A=0，而B正相反，则(3.3.6)式表明y"恰为列表函数的二阶导数。
而且该二阶导数在两个区间(xj-1, xj)和(xj, xj+1)上是连续的。
现在唯一的问题是，假设yj"是已知的。
而实际上并不知道。
然而，仍不要求从(3.3.5)式算出的一阶导数在两个区间的边界处是连续的。
三次样条的关键思想就在于要求这种连续性，并用它求得等式的二阶导数yi"。
数值分析——样条函数及三次样条插值
S k ( x )是[ xk , xk + 1 ]上的(两点)三次样条插值多项式, 满足
Sk ( x j ) = y j
x → xk
k = 0,1,2, ⋯ , n − 1; j = k , k + 1
lim S k ( x ) = lim S k − 1 ( x ) + −
一、三次样条插值函数
定义1. 定义
a ≤ x0 , x1 ,⋯ , xn ≤ b为区间[ a , b ]的一个分割
如果函数S ( x )在区间[ a , b ]上满足条件 :
( 1) S ( x ), S ′( x ), S ′′( x )都在区间[ a , b ]上连续 ,即 S ( x ) ∈ C 2 [ a , b ]
f ( x j ) = y j , j = 0 ,1,⋯ , n 如果S ( x )是f ( x )的三次样条插值函数, 则其必满足
S ( x j ) = y j , j = 0 ,1,⋯ , n lim S ( x ) = S ( x j ) = y j , j = 1,⋯ , n − 1 x→ x xlim S ′( x ) = S ′( x j ) = m j , j = 1,⋯ , n − 1 →x lim S ′′( x ) = S ′′( x j ), j = 1 ,⋯ , n − 1
+ x → xk
Sk ( x j ) = y j
k
k = 0,1, ⋯ , n − 1; j = k , k + 1
− x → xk
k −1
k = 1 , 2 ,⋯ , n − 1 k = 1,2 ,⋯ , n − 1 ------(8) k = 1, 2 ,⋯ , n − 1
计算方法大作业——三次样条插值
计算方法上机报告
此完成所有数据的输入。继续按 Enter 键会出现提示“选择封闭方程组的边界条件: 第 一类边界条件输入 1，第二类边界条件输入 2，第三类边界条件输入 3。 ”根据已知情况 选择相应的边界条件，若为自然三次样条插值，则选 1，并将插值区间两端点的二阶导 数值设置为 0。输入完成之后按 Enter 开始求解，程序运行结束后命令窗口会显示要求 的三次样条插值函数，同时会出现该插值函数以及插值节点的图像，便于直接观察。 2.3 算例及计算结果 (1) 《数值分析》课本第 137 页的例题 4.6.1，已知函数 y=f(x)的数值如下表，求它 的自然三次样条插值函数。 xi yi -3 7 -1 11 0 26 3 56 4 29
2 三次样条插值
2 三次样条插值
2.1 算法原理及程序框图 设在区间[a, b]上给定 n+1 个节点 xi（a ≤ x0 < x1 < … < xn ≤ b）,在节点 xi 处的函数 值为 yi = f(xi) (i = 0,1,…,n)。若函数 S(x)满足以下三个条件： (1) 在每个子区间[xi-1, xi] (i = 0,1,…,n)上，S(x)是三次多项式； (2) S(xi) = yi (i = 0,1,…,n)； (3) 在区间[a, b]上，S(x)的二阶导数 S”(x)连续， 则称 S(x)为函数 yi = f(x) 在区间[a, b]上的三次样条插值函数。 由定义可知 S(x)共有 4n 个待定参数，根据条件(3)可得如下 3n-3 个方程，
S x
x x i
6hi
3
M i 1
x xi 1
6hi
3
x x hi2 M i yi 1 M i 1 i 6 hi
三次样条插值c++代码实现及注释
一、引言在计算机编程和数据处理领域，插值是一种常见的数值分析方法，用于在已知数据点之间估算未知点的数值。
而三次样条插值是插值方法中的一种重要技术，它可以在使用较少插值节点的情况下，实现更为平滑和精确的插值结果。
本文将着重探讨三次样条插值的原理和C++代码实现，并给出详细的注释和解释。
二、三次样条插值的原理三次样条插值是一种分段插值方法，它将整个插值区间分割为若干个小区间，每个小区间内采用三次多项式进行插值。
这样做的好处是可以在每个小区间内实现更为细致和精确的插值，从而提高插值的准确性和平滑性。
而三次样条插值的核心在于确定每个小区间内的三次多项式的系数，一般采用自然边界条件进行求解。
在具体实现中，我们需要先对给定的插值节点进行排序，并求解出每个小区间内的三次多项式系数。
最终将这些系数整合起来，就可以得到整个插值区间的三次样条插值函数。
三、C++代码实现及注释接下来，我们将给出使用C++语言实现三次样条插值的代码，并对每个关键步骤进行详细注释和解释。
```cpp// include necessary libraries#include <iostream>#include <vector>using namespace std;// define the function for cubic spline interpolationvector<double> cubicSplineInterpolation(vector<double> x, vector<double> y) {// initialize necessary variables and containersint n = x.size();vector<double> h(n-1), alpha(n), l(n), mu(n), z(n), c(n), b(n), d(n);vector<double> interpolatedValues;// step 1: calculate the differences between x valuesfor (int i = 0; i < n-1; i++) {h[i] = x[i+1] - x[i];}// step 2: calculate alpha valuesfor (int i = 1; i < n-1; i++) {alpha[i] = (3/h[i]) * (y[i+1] - y[i]) - (3/h[i-1]) * (y[i] - y[i-1]); }// step 3: calculate l, mu, and z valuesl[0] = 1;mu[0] = 0;z[0] = 0;for (int i = 1; i < n-1; i++) {l[i] = 2*(x[i+1] - x[i-1]) - h[i-1]*mu[i-1];mu[i] = h[i]/l[i];z[i] = (alpha[i] - h[i-1]*z[i-1])/l[i];}l[n-1] = 1;z[n-1] = 0;c[n-1] = 0;// step 4: calculate coefficients for the cubic polynomials for (int j = n-2; j >= 0; j--) {c[j] = z[j] - mu[j]*c[j+1];b[j] = (y[j+1] - y[j])/h[j] - h[j]*(c[j+1] + 2*c[j])/3;d[j] = (c[j+1] - c[j])/(3*h[j]);}// step 5: interpolate values using the cubic polynomials for (int i = 0; i < n-1; i++) {double xi = x[i];while (xi < x[i+1]) {double dx = xi - x[i];double interpolatedValue = y[i] + b[i]*dx + c[i]*dx*dx + d[i]*dx*dx*dx;interpolatedValues.push_back(interpolatedValue);xi += 0.1; // adjust the step size for finer interpolation }}return interpolatedValues;}// main function for testing the cubic spline interpolation int main() {vector<double> x = {1, 2, 3, 4, 5};vector<double> y = {3, 6, 8, 10, 15};vector<double> interpolatedValues = cubicSplineInterpolation(x, y);for (int i = 0; i < interpolatedValues.size(); i++) {cout << "Interpolated value " << i << " : " << interpolatedValues[i] << endl;}return 0;}```四、总结与展望通过本文的学习，我们了解了三次样条插值的原理和C++代码实现。
2[1].7三次样条插值
![2[1].7三次样条插值](https://img.taocdn.com/s3/m/af64461fff00bed5b9f31dc1.png)
即
lim S ( x ) = lim S ( x ) lim S ′ ( x) = lim S ′ ( x) = m lim S ′′( x) = lim S ′′ ( x) S ′( x ) = f ′ S ′( x ) = f ′ 或
将(13)式化为矩阵形式
2 λ2
µ1 λ3
2
µ2 λ4
2
µ3
2 O O O
λn − 2
λn − 1
O 2
m1 g 1 − λ1 f 0′ m2 g2 g3 m3 M = M M M µ n − 2 mn − 2 gn−2 2 mn − 1 g n − 1 − µ n − 1 f n′
共4 n − 2个条件
′ ′ lim S k′( x ) = lim S k′− 1 ( x ) + −
S k ( x )是[ xk , xk + 1 ]上的三次样条插值多项式, 应有4个待定的系数 即要确定S ( x )必须确定4n个待定的系数
少两个条件
并且我们不能只对插值函数在中间节点的状态进行限制 也要对插值多项式在两端点的状态加以要求 也就是所谓的边界条件: 第一类(一阶)边界条件: 第二类(二阶)边界条件 第三类(周期)边界条件
f(x) H(x) S(x)
二、三次样条插值多项式
a ≤ x0 , x1 ,L , xn ≤ b为区间[ a , b ]的一个分割 如果函数f ( x )在节点x0 , x1 ,L , xn处的函数值为
f ( x j ) = y j , j = 0 ,1,L , n 如果S ( x )是f ( x )的三次样条插值函数, 则其必满足
第三讲三次样条函数分析
第三讲三次样条函数分析在数学和计算机科学中，样条函数是一种常见的插值方法，用于构建一个平滑而连续的曲线来穿过一系列离散的数据点。
其中，三次样条函数是最常见的一种样条函数类型。
在本文中，我们将详细介绍三次样条函数的原理、方法和应用。
一、三次样条函数的原理及定义三次样条函数是由一系列小区间的三次多项式组成的函数。
这些小区间之间有一个平滑的连接条件，使得整个函数在连续、平滑的同时能够穿过给定的数据点。
具体地说，我们设想有n个数据点(xi, yi)，这些点按照自变量x的顺序排列。
则三次样条函数S(x)可以表示为：S(x) = S_i(x), (xi <= x < xi+1)其中，S_i(x)是第i个小区间上的三次多项式，其形式为：S_i(x) = a_i + b_i(x - xi) + c_i(x - xi)^2 + d_i(x - xi)^3需要注意的是，在每个小区间上，三次样条函数满足以下条件：1. S_i(xi) = yi ，即样条函数必须通过给定的数据点；2. S_i(x)在(xi, xi+1)区间内是三次多项式，二阶导数连续，即S_i''(x)是一个连续的函数；3. S_i(x)在(xi, xi+1)区间内的一阶导数也是连续的。
这些条件将确保样条函数在整个区间上是连续、平滑的，并且能够穿过给定的数据点。
二、三次样条函数的构造方法为了构造三次样条函数，我们可以使用不同的方法。
其中，最常用的方法是自然边界条件和固定边界条件。
1. 自然边界条件：这种方法将要求样条函数在边界处的二阶导数为0，即S''(x0) = S''(xn) = 0。
这意味着在数据点的首尾之外，样条函数在边界处是一条平直线。
使用这种方法可以得到唯一解。
2. 固定边界条件：这种方法将要求样条函数在边界处的一阶导数等于给定值。
例如，如果我们希望样条函数在首尾两点处的斜率分别为m0和mn，则我们可以得到以下等式：S'(x0) = m0 和 S'(xn) = mn。
三次样条插值
三次样条插值1. 算法原理由于在许多实际问题中，要求函数的二阶导数连续，人们便提出了三次样条插值函数，三次样条插值函数是由分段三次函数拼接而成的，在连接点处二阶导数连续。
设S(x)在节点i x 处的二阶导数),1,0()(''n i M x S i i ，⋯⋯==，其中i M 为待定参数。
由S （x ）是分段三次多项式可知，)(''x S 是分段线性函数，)(''x S 在子区间[]i i x x ,1-上可以表示为ii i ii i i i i i i i i i i i x x x M h x x M h x x M x x x x M x x x x x S ≤≤-+-=--+--=-------1111111,)(''其中1--=i i i x x h ，对S （x ）两端积分两次得()ii i i i i i i i i i i x x x x x c x x b M h x x M h x x x S ≤≤-+-+-+-=-----111113),(6)(6)()(其中i b 和i c 为积分常数。
由插值条件()i i i i y x S y x S ==--)(,11得i i i i i i i i i i y h c M h y h b M h =+=+--6,62112由此解得i i i i i i i i i i h M h y c h M h y b /6,/62121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--代入得：()()()ii ii i i i i i i i i i ii i i i x x x h x x M h y h x x M h y Mh x x Mh x x x S ≤≤-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-=------1121213113,6666 求导得：()()()i i i i i i i i i ii i ii x x x h M M h y y Mh x x Mh x x x S ≤≤---+-+--=-----1112112,622' 令i x x =得()x S 在i x 处的左导数 ()ii i i i i i i i i i i i i i h y y M h M h h M M h y y M h x S 11113662'------++=---+=又令1-=i x x 得()x S 在1-i x 处右导数 ()ii i i i i i i i i i i i i i i h y y M h M h h M M h y y M h x S 1111116362'------+-+--=---+-=， 从而有1111163)('++++++-+--=i ii i i i i h y y M h M h x S ，由()x S 在节点i x 处一阶导数的连续性知1,2,1),(')('-⋯⋯==+-n i x S x S i i ，，即1,2,16361111111-⋯⋯=---=+++-+++++-n i h y y h y y M h M h h M h ii i i i i i i i i i i i ，， 两端同乘16++i i h h 得)(62111111111ii i i i i i i i i i i i i i i i h y y h y y h h M h h h M M h h h -++++++-+---+=++++，记ii i i i i i i i h h h h h h μλμ-=+=+=+++1,111，1,,2,1],,,[66111111-⋯⋯==⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+=+--+++n i x x x f h y y h y y h h d i i i i i i i i i i i i ，则关于i M 的方程组写成1,2,1,211-⋯⋯==+++-n i d M M M i i i i i ，λμ。
三次样条插值
一、问题提出
为给定的节点， 设 x0 , x1 xn 为给定的节点，yi = f ( xi ) ，i = 0,1, n 为相应的函数值， 为相应的函数值，求一个次数不超过 n 的多项式 Pn (x)， 使其满足
Pn ( xi ) = yi，
i = 0,1, n .
这类问题称为插值问题。 称为被插值函数 P 被插值函数， 这类问题称为插值问题。 f ( x) 称为被插值函数， n ( x) 称 插值问题 插值函数， 称为插值节点 为插值函数， x0 , x1 xn 称为插值节点
六、 分段插值
所谓分段插值，就是将被插值函数逐段多项式化。 所谓分段插值，就是将被插值函数逐段多项式化。在每 个 [ xi , xi +1 ] 子段上构造插值多项式，然后把它们装配在一， 子段上构造插值多项式，然后把它们装配在一， 作为整个区间 [ a, b ] 上的插值函数，即称为分段多项式。如果 上的插值函数，即称为分段多项式。 次式， 函数 Sk ( x ) 在每个子段上都是 k 次式，则称为 一般（低次： 一般（低次：k=1,2,3） ） 次式。 k 次式。
f [ x0 , x1 ] = 5, f [ x0 , x1, x2 , x3 ] = 1,
N n ( x) = 0 5( x 1) + 2( x 1)( x 2)
+ ( x 1)( x 2)( x 3)
= x3 4 x + 3
五、 Hermite插值多项式 插值多项式
给定的是节点上的函数值和导数值 问题： 问题：已知
∑
i=0
y i li ( x )
( x x0 ) ( x xi 1 )( x xi +1 ) ( x xn ) , i = 0,1, n ( xi x0 ) ( xi xi 1 )( xi xi +1 ) ( xi xn )
三次样条插值函数
二．程序框图
开始
输入未知数 X及 (xi,yi),i=0,1,…,n
计算步长 H[i]
计算λ、 µ 、 d
根据边界条件，求 解相应的方程得到 M1,…, Mn
将 M代入原方程， 得到分段函数
结束
三．源码
syms h n=9;%插入节点数，可以根据题目更改 h=2/(n+1); u=0.5; v=0.5; f=inline('1/(1+25*x.^2)');%输入函数，这个也可以根据题目更改 g=inline('3/h*((c-b)/h-(b-a)/h)','a','b','c','h'); for i=1:n+2 x(1)=-1; x(i+1)=x(i)+2/(n+1); y(i)=f(x(i)); end for i=1:n d(i)=g(y(i),y(i+1),y(i+2),h); end A=zeros(n,n); for i=1:n A(i,i)=2; end for i=1:n-1 A(i,i+1)=u; A(i+1,i)=v; end B=zeros(n,1); for i=1:n B(i,1)=d(i) end C=inv(A)*B for i=1:n M(i)=C(i,1); end x=(-1:h/50:1); k=1./(1+25*x.^2); cs=spline(x,k); plot(x,k,'r.'); hold on; ezplot('1/(1+25*x^2)',[-1 1]); title('三次样条插值曲线和 f(x)曲线') 四． 结果
三次样条插值函数
相邻区间的长度比
插值数据在 处的二阶中心 差商的3倍
从而得
边界条件
方程组都为n+1个未 知数、n-1个方程的 线性方程组
无法保 证唯一 解
按具体问题的要求在区 间端点给出约束条件， 称为边界条件
加两个 条件
边界条件的分类
讨论M连续方程的各类边界条件
三次样条插值函数的性质
4.5.1 三次样条差值函数的力学背景
在工程和数学应用中常有这么一类数据处理问题：在平面 上给定了一组有序的离散点列，要求用一条光滑的曲线把这些 点按次序连接起来。在过去很长一段时间内，工程技术人员为 了得到这条光滑的曲线，常常使用一条富有弹性的均匀细木条 （或是有机玻璃条），一次经过这些点，并用亚铁在若干点处 压住，然后沿这条细木条画出一条光滑的曲线，并形象地称之 为“样条曲线”。
三次样条插值算法详解
三次样条插值算法详解下面详细介绍三次样条插值方法的具体步骤：1.数据准备：首先，需要获得一组数据点，这些数据点包含了所需插值曲线的关键信息。
通常情况下，数据点是从实际观测中获得的。
2.区间划分：将插值区间划分为若干个小区间，每个小区间对应一个三次函数。
3. 函数构建：对于每个小区间，在该区间内构建一个三次函数。
这里使用三次多项式进行构建，形如 f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d。
每个小区间内的函数有四个待定系数：a、b、c、d。
4.条件设置：为了确定每个小区间内的函数，需要设置相应的条件。
一般来说，需要满足以下两个条件：(a) 函数值条件：保证每条小区间内的函数值通过对应的数据点。
即，对于每个小区间，函数值满足 f(xi) = yi，其中(xi, yi)表示第i个数据点的横纵坐标。
(b)导数条件：保证每个小区间内函数的导数连续。
这可以通过限制每个小区间内的函数的一阶导数（即斜率）相等来实现。
5.矩阵方程求解：根据上述条件设置，可以得到一个线性方程组，其中待求的系数为未知数。
将上述条件代入方程组中，然后求解该方程组以获得每个小区间内的函数系数。
6.曲线绘制：通过得到的函数系数，可以计算每个小区间内的函数值，并连接这些函数值，最终得到整个插值曲线。
三次样条插值方法是一种非常强大和灵活的插值方法，适用于各种类型的数据点，包括均匀和非均匀间距的数据。
通过调整划分区间的个数，可以控制插值曲线的光滑程度。
一般来说，插值区间越多，插值曲线越平滑，但对输入数据的噪声更敏感。
总结起来，三次样条插值是一种高级的插值方法，通过构建三次函数来逼近数据点，可以产生平滑的插值曲线。
它的基本思想是将插值区间划分为若干个小区间，并在每个小区间内构建一个三次函数。
通过设置函数值条件和导数条件，可以得到一个线性方程组，从而求解出每个小区间内的函数系数。
最终连接每个小区间内的函数值，得到整个插值曲线。
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沈阳航空航天大学数学软件课程设计（设计程序）题目三次样条插值函数班级 / 学号学生姓名指导教师沈阳航空航天大学课程设计任务书课程名称数学软件课程设计院（系）理学院专业信息与计算科学班级学号姓名课程设计题目三次样条插值函数课程设计时间: 2010 年12月20日至2010 年12月31日课程设计的内容及要求：1.三次样条插值函数给出函数在互异点处的值分别为。
(1)掌握求三次样条插值函数的基本原理；(2)编写程序求在第一边界条件下函数的三次样条插值函数；(3)在区间上取n=10，20，分别用等距节点对函数作三次样条插值函数，利用(1)的结果画出插值函数的图形，并在该图形界面中同时画出的图形。
[要求]1.学习态度要认真，要积极参与课程设计，锻炼独立思考能力；2.严格遵守上机时间安排；3.按照MATLAB编程训练的任务要求来编写程序；4.根据任务书来完成课程设计论文；5.报告书写格式要求按照沈阳航空航天大学“课程设计报告撰写规范”；6.报告上交时间：课程设计结束时上交报告；7.严谨抄袭行为。
指导教师年月日负责教师年月日学生签字年月日沈阳航空航天大学课程设计成绩评定单课程名称数学软件课程设计院（系）理学院专业信息与计算科学课程设计题目三次样条插值函数学号姓名指导教师评语：课程设计成绩指导教师签字年月日目录一正文 (1)1问题分析 (1)1.1 题目 (1)1.2 分析 (1)2 研究方法原理 (1)2.1 求三次样条插值多项式，算法组织 (1)3 算例结果 (3)二总结 (7)参考文献 (8)附录 (9)源程序: (9)程序1 (9)程序2 (10)程序3 (12)程序 4 (12)一 正文1问题分析 1.1 题目三次样条插值函数给出函数在互异点处的值分别为。
（1）掌握求三次样条插值函数的基本原理；（2）编写程序求在第一边界条件下函数的三次样条插值函数； （3）在区间上取n=10，20，分别用等距节点对函数作三次样条插值函数，利用(1)的结果画出插值函数图形，并在该图形界面中同时画出的图形。
1.2 分析一般认为插值次数n 越高，)(x f 的精度就越高，但实际并非如此，20世纪初龙格(Runge)就发现了这一现象，因此就提出了分段低次插值分段线性插值有一致收敛性，但光滑性差，而三次样条插值具有二介光滑度，三次样条插值首先要给定n 个点和对应的函数值，还要给出边界条件如第一边界条件)(')('),0(')0('xn f xn s x f x s ==，第二边界条件)('')(''),0('')0(''xn f xn s x f x s ==，而题目要求是在给定第一边界条件下的三次样条插值。
2 研究方法原理2.1 求三次样条插值多项式，算法组织所谓三次样条插值多项式)(x S n 是一种分段函数，它在节点i x 011()n n a x x x x b -=<<⋅⋅⋅<<=分成的每个小区间1[,]i i x x -上是3次多项式，其在此区间上的表达式如下：22331111111()[()()]()()666[,]1,2,,.i i i i i i i i i i i i i i ii i h x x h x x S x x x M x x M y M y M h h h x x x i n --------=-+-+-+-∈=⋅⋅⋅，， 因此，只要确定了i M 的值，就确定了整个表达式，i M 的计算方法如下： 令：11111111116()6(,,)i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i h h h h h h y y y y d f x x x h h h h μλμ++++--+++⎧===-⎪++⎪⎨--⎪=-=⎪+⎩， 则i M 满足如下n-1个方程：1121,2,,1i i i i i i M M M d i n μλ-+++==⋅⋅⋅-，对于第一种边界条件下有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+---000110111)'],([62]),['(62h f x x M M h x x f f M M n n n n n n如果令,]),['(6,1,)'],[(6,111000100---==-==n n n n n n h x x f f d h f x x f d μλ那么解就可以为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----n n n n nn n d d d d M M M M 110110111102222μλμλμλ3 算例结果s(x)可以表示为：其中p 为4⨯n 的矩阵。
当把区间5等分时，输入如下：图 1矩阵p 输出如下图 2图形如下：图 3 5等分图像1);-n 0,1(k , 1)]x(k [x(k),t x(k)),-(t *p(k,4)t)-1)(x(k *p(k,3)x(k))^3-(t *p(k,2)t)^3-1)(x(k *p(k,1)sx(k) =+∈+++++=其在不同的区间的函数可以表示如下：当n=10即区间10等分时，输入如下：图 4 得到的矩阵p 如下：图 5图形如下：图 6 10等分图像⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈∈∈--∈=[0.6,1]x 0.6),-(x *0.2087+1)-(x *0.0549+0.6)^3-(x *0.7032-x)^3-(1*1.9057[0.2,0.6]x 0.2),-(x *0.0549-x)-(0.6*1.511+0.2)^3-(x *1.9057+0.6)^3-(x *1.6311[-0.2,0.2]x 0.2),+(x *1.511+x)-(0.2*1.511+0.2)^3+(x *1.6311-0.2)^3-(x *1.6311][-0.6,-0.2x 0.6),+(x *1.511+0.2)+(x *0.0549+0.6)^3+(x *1.6311-0.2)^3+(x *1.9057-]6.0,1[x 1),+(x *0.0549-0.6)+(x *0.2087-1)^3+(x *1.9057+0.6)^3+(x *0.7032)(xs当把区间20等分时，输入如下：图7得到的矩阵p如下：图8得出的图像如下：图9 20等分图像运行gtu.m，输入如下：图10运行结果为图像，图形如下：图11 13、20等分和原图的图像二总结拿到题目时，我首先先弄清三次样条插值函数的基本原理，因为只有这样，在以后的编程中才会更懂的如何编写程序，才会更不会混淆题目的目的。
而且，不能为了做题而做题，在做题时还要应用到其它知识。
三次样条插值在不懂的边界条件出来的结果也不一样，表达形式也不一样，特别是计算过程，条件不一样，编写的程序也自然不同，题目给出的是第一边界条件，在第一边界条件中，首先要给出始末两点的导数值，而且要给出n个点的x值和y的对应的值，题目要求，所以有在程序输入x,y和始末两点的导数值。
这课设过程中，我学到了很多，知道了自己的很多不足，如对于某些函数不能巧妙的应用，编写的程序很粗糙，这次课设，我们通过自己的思考与实践，终于完成了。
刚开始我对于三次样条插值很不了解，现在，我已经对于三次样条插值有了一定的了解，特别是其中的原理，但公式还是没背下来，不过，原理最重要，这次课设，更好的让我们掌握了Matlab和数值分析，我了解到理论与实践是分不开的，为了更好的掌握一个知识，我们必须通过不断的实践。
要学好一门计算机语言，既要掌握其最基本的语言结构，而且要特别的熟悉，在这基础上，还要特别是上机操作，要把理论应用于实际完稿日期: 2010 年 12 月 31 日参考文献1. 程丽华，周玲丽. 数学软件教程. 广东：中山大学出版社，2008.72. 王能超，易大义，李庆扬. 数值分析. 北京：清华大学出版社，2008.12附 录源程序:程序1功能：求出矩阵p ，其中p 为用于：function [m,p]=scyt1(x,y,df0,dfn)n=length(x);r=ones(n-1,1);u=ones(n-1,1);d=ones(n,1);r(1)=1;d(1)=6*((y(2)-y(1))/(x(2)-x(1))-df0)/(x(2)-x(1));u(n-1)=1;d(n)=6*(dfn-(y(n)-y(n-1))/(x(n)-x(n-1)))/(x(n)-x(n-1));for k=2:n-1u(k-1)=(x(k)-x(k-1))/(x(k+1)-x(k-1)); r(k)=(x(k+1)-x(k))/(x(k+1)-x(k-1));d(k)=6*((y(k+1)-y(k))/(x(k+1)-x(k))-(y(k)-y(k-1))/(x(k)-x(k-1)))/(x(k+1)-x(k-1)); endA=eye(n,n)*2;for k=1:n-1A(k,k+1)=r(k);A(k+1,k)=u(k);endm=A\d;ft=d(1);1);-n 0,1(k , 1)]x(k [x(k),t x(k)),-(t *p(k,4)t)-1)(x(k *p(k,3)x(k))^3-(t *p(k,2)t)^3-1)(x(k *p(k,1) =+∈+++++syms tfor k=1:n-1 %求s(x)即插值多项式p(k,1)=m(k)/(6*(x(k+1)-x(k)));p(k,2)=m(k+1)/(6*(x(k+1)-x(k)));p(k,3)=(y(k)-m(k)*(x(k+1)-x(k))^2/6)/(x(k+1)-x(k));p(k,4)=(y(k+1)-m(k+1)*(x(k+1)-x(k))^2/6)/(x(k+1)-x(k));sx(k)=p(k,1)*(x(k+1)-t)^3+p(k,2)*(t-x(k))^3+p(k,3)*(x(k+1)-t)+p(k,4)*(t-x(k)); endkmax=1000;xt=linspace(x(1),x(n),kmax);for i=1:n-1 %出点xt对应的y值for k=1:kmaxif x(i)<=xt(k)&xt(k)<=x(i+1)fx(k)=subs(sx(i),xt(k));endendendplot(xt,fx,'r'); xlabel('x');ylabel('y'); title('f');text(x(fix(n/2)),y(fix(n/2)),'f')hold onplot(x,y,'*')hold off程序2功能：得出插值函数的kmax等分点xt和对应的插值函数值fx：function [xt,fx]=scyt2(x,y,df0,dfn)n=length(x);r=ones(n-1,1);u=ones(n-1,1);d=ones(n,1);r(1)=1;d(1)=6*((y(2)-y(1))/(x(2)-x(1))-df0)/(x(2)-x(1));u(n-1)=1;d(n)=6*(dfn-(y(n)-y(n-1))/(x(n)-x(n-1)))/(x(n)-x(n-1));for k=2:n-1u(k-1)=(x(k)-x(k-1))/(x(k+1)-x(k-1));r(k)=(x(k+1)-x(k))/(x(k+1)-x(k-1));d(k)=6*((y(k+1)-y(k))/(x(k+1)-x(k))-(y(k)-y(k-1))/(x(k)-x(k-1)))/(x(k+1)-x(k-1)); endA=eye(n,n)*2;for k=1:n-1A(k,k+1)=r(k);A(k+1,k)=u(k);endm=A\d;ft=d(1);syms tfor k=1:n-1 %求s(x)即插值多项式p(k,1)=m(k)/(6*(x(k+1)-x(k)));p(k,2)=m(k+1)/(6*(x(k+1)-x(k)));p(k,3)=(y(k)-m(k)*(x(k+1)-x(k))^2/6)/(x(k+1)-x(k));p(k,4)=(y(k+1)-m(k+1)*(x(k+1)-x(k))^2/6)/(x(k+1)-x(k));sx(k)=p(k,1)*(x(k+1)-t)^3+p(k,2)*(t-x(k))^3+p(k,3)*(x(k+1)-t)+p(k,4)*(t-x(k)); endkmax=100;xt=linspace(x(1),x(n),kmax);for i=1:n-1 %出点xt对应的y值for k=1:kmaxif x(i)<=xt(k)&xt(k)<=x(i+1)fx(k)=subs(sx(i),xt(k));endendend程序3功能：定义函数fxfunction fx=myfx(x)fx=1./(1+25*x.^2);程序 4功能：画出13等分、20等分和原图。