尺规作图法简介

一、尺规作图

在中学就知道，几何作图所使用的工具是严格限制的，只准用圆规和直尺，直尺不能有刻度，不能使用量角器及其他任何工具．其实，这种限制自古希腊就有而且沿用至今．为什么要加以这样的限制呢？比如说，要找出一个线段的中点来，就不可以先用（有刻度的）尺去量，看它的长度是多少，然后取这个长的一半，再用这一半去量就找出中点来了．何必一定要用无刻度的直尺和圆规去寻求呢？是自己跟自己过不去吗？

古希腊认为，所有的几何图形是由直线段和圆弧构成的，圆是最完美的，他们确信仅靠直尺和圆规就可绘出图形来．古希腊人十分讲究理性思维，讲究精确、严谨．他们认为依据从少数假定出发的、经由逻辑把握的东西最可靠．例如前面所说的寻求一已知线段AB 的中点问题，作图的步骤是：1．以 A 为圆心，以一适当长度为半径画弧；2．又以 B 为圆心，以

同样的长度为半径画弧；3．这两弧相交于两点，作两点连线，此连线与已知直线之交点即为所求之中点．然后，要根据已知几何命题来证明这个点必是中点．人们认为，这不仅是最可靠地找到了中点，而且体现了一种完美的思路和做法．

正多边形的尺规作图是大家感兴趣的．正三边形很好做；正四边形稍难一点；正六边形也很好做；正五边形就更难一点，但人们也找到了正五边形的直规作图方法．确实，有的困难一些，有的容易一些．正七边形的尺规作图是容易一些，还是困难一些呢？人们很久很久未找到作正七边形的办法，这一事实本身就说明作正七边形不容易；一直未找到这种作法，也使人怀疑：究竟用尺规能否作出正七边形来？数学不容许有这样的判断：至今一直没有人找到正七边形的尺规作图方法来，所以断言它是不能用尺规作出的．

人们迅速地解决了正三、四、五、六边形的尺规作图问题，却在正七边形面前止步了：究竟能作不能作，得不出结论来．这个悬案一直悬而未决两千余年．

17 世纪的费马，就是我们在前面已两次提到了的那个法国业余数学家，他研究了形如

F i = 22i+ 1

的数.费马的一个著名猜想是，当n》3寸，不定方程x n+ y n= z n没有正整数解•现在他

又猜测F i都是素数，对于i = 0, 1, 2, 3, 4时，容易算出来相应的F i:

F o= 3, F! = 5, F2 = 17,

F3=257，F4=65 537

25

验证一下，这五个数的确是素数. F5=225+1 是否素数呢？仅这么一个问题就差不多一百年

之后才有了一个结论，伟大的欧拉发现它竟不是素数，因而，伟大的费马这回可是猜错了！

F5是两素数之积:

F5= 641X6 700 417 .

当然，这一事例多少也说明: 判断一个较大的数是否素数也决不是件简单的事，不然，何

以需要等近百年？何以需要欧拉这样的人来解决问题？

更奇怪的是，不仅F5不是素数，F6, F7也不是素数，F8, F9, F10 , F11等还不是素数，甚至，对于F14也能判断它不是素数，但是它的任何真因数还不知道•至今，人们还只知F o , F1, F2, F3 , F4这样5个数是素数.由于除此而外还未发现其他素数，于是人们产生了一个与费马的猜想大相径庭的猜想，形如22i＋1 的素数只有有限个.但对此也未能加以证明.

当然,形如F i=22i+1 的素数被称为费马素数.由于素数分解的艰难,不仅对形如F i=22i+1

的数的一般结论很难做出,而且具体分解某个F i 也不是一件简单的事.

更加令人惊奇的事情发生在距欧拉发现F5不是素数之后的60多年，一位德国数学家高斯，

在他仅20 岁左右之时发现,当正多边形的边数是费马素数时是可以尺规作图的,他发现了更一般的结论：正n边形可尺规作图的充分且必要的条件是

n=2k或2k>p1 xp2X^xp

其中，P1 , P2,…，P s是费马素数.

正7 边形可否尺规作图呢？否！因为7 是素数，但不是费马素数．

倒是正17 边形可尺规作图，高斯最初的一项成就就是作出了正17 边形．根据高斯的理论，还有一位德国格丁根大学教授作了正257 边形．

就这样，一个悬而未决两千余年的古老几何问题得到了圆满的解决，而这一问题解决的过

程是如此的蹊跷，它竟与一个没有猜对的猜想相关连．

正17 边形被用最简单的圆规和直尺作出来了，而正多边形可以换个角度被视为是对圆的等分，那么这也相当于仅用圆规和直尺对圆作了17 等分，其图形更觉完美、好看．高斯本人对此也颇为欣赏，由此引导他走上数学道路(他早期曾在语言学与数学之间犹豫过)，而且

在他逝后的墓碑上就镌刻着一个正17 边形图案．

高斯把问题是解决得如此彻底，以致有了高斯的定理，我们对于早已知道如何具体作图的正三边形、正五边形，还进而知道了它们为什么能用尺规作图，就因为 3 和 5 都是费马素数(3=F o, 5 = F i)；对于很久以来未找到办法来作出的正七边形，乃至于正11边形、正13边

形，现在我们能有把握地说，它们不可能由尺规作图，因为7、11、13 都不是费马素数；对

于正257 边形、正65 537 边形，即使我们不知道具体如何作，可是理论上我们已经知道它们是可尺规作图的；此外，为什么正四边形、正六边形可尺规作图呢？因为4= 22,因为6= 2 "3 而3=F0 •从古希腊流传下来的几何作图还有三大难题，一个是化圆为方问题，即求作一正方形，使其面积等于已知圆的面积；二是倍立方体问题，即求作一立方体，使其体积等于已知立方体的体积；三是将一任意角三等分．

某些特殊角的三等分并不困难，例如将90°的角、 1 35 °的角三等分并不难，但是任意角就

不一样了．例如，60°的角，你试试看，能否将它三等分？现在已有了结论，告诉你不要再试了，否则是白费时间了．

可以取单位圆作代表，其面积即为n那么，化圆为方的问题相当

能吗？

古希腊人对化圆为方的问题有极大兴趣，许多人进行研究．这一研究推动了圆面积的近似计算，促进了极限思想的萌生，但是并没有解决化圆为方的问题．另外两大难题虽也没解决，但也促进了对另一些数学问题的研究．

尺规作图的实质在于限制只使用两种工具的条件下通过有限步骤完成作图．长度为任一有理数平方根的线段来．当然还可通过有限步骤作出长度为一有理数平方根的平方根的线段来．我们把凡能用尺规经有限次步骤作出的线段或量叫做“可作几何量”．可以证明，“可作几何量”就是那些有理数经有限次+、-、X羽和开方这类运算得到的量•否则叫不可作几何卓”

量•

化圆为方的问题直至19世纪才得到答案：它是不可能的•因为

可作几何量".这一悬而未决、延宕两千多年的古老问题，最终得以解决.

属“不可作几何量”，所以，倍立方体问题的答案也明确了：不可能！

再以60。角为例来分析任意角的三等分问题. 为把60。三等分，必然要用尺规作出量cos 20

或sin 20 °以下三角恒等式是我们熟知的：

cos 3x= 4cos3x－3cos x，

将x= 20°代入，得

将cos 20换写为y，即是三次代数方程：

这个三次方程的一个正实根当为其所需之解，然而，它必会有有理数的立方根表示. 因而

y= cos 20也是一个不可作几何量”.故三等分问题亦属不可能.

难怪古希腊人对这三个问题久久未找到答案，难怪这是真正的难题．不是古希腊人不智，

确实是当时的数学水平还难以使他们得出三大几何作图难题均以“不可能”为结局的结论来．

二、解析几何与微积分