Lyapunov函数的一些构造方法
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* *
dL 并且 1 dt
y v 0 x x* , * * , w w* . y v M
OK
Lyapunov 函数的构造
函数 3、 情形f w w / 1 w. 定义Lyapunov * * x ux y u y p w 1 u u w* x*v* v u v* L du du du du
结论：
Lyapunov 函数的构造
由于
则(IN)变为
Lyapunov 函数的构造
(IN) 定义Lyapunov函数 则有
OK
Lyapunov 函数的构造
补充：
取
条件：
Lyapunov 函数的构造
上面介绍的构造Lyapunov函数方法也可 用于如下模型：
和
A class of Lyapunov functions and the global stability of some epidemic models with nonlinear incidence, Journal of Applied Analysis and Computation , 6(2016)38-46
Lyapunov 函数的构造
二、带有免疫的病毒动力学模型
x 健康细胞； y 被感染细胞； v 游离病毒； w 免疫细胞.
其中f w可分别取w,1, w /1 w.
M有惟一正平衡点 假设系统 E* x* , y* , v* , w* ,
下面通过构造 Lyapunov 函数来证明其GAS.
推广 形式：
u w* w* u du,
w
w w*
u w* u w du, * du, w f u
*
w
w
w*
f (u ) f ( w* ) du, f u
w
w*
f (u ) f ( w* ) du. u
Lyapunov 函数的构造
四、一类SI模型的全局稳定性
在区域内有惟一平衡点 E *， 并且能找到Lyapunov 函数L， 使得dL/dt * 在内关于E *负定或半负定， 同时系统(*)在集 合 dL/dt * 0 上的最大不变集为E * ， 则 E * 在内GAS。
证明的关键在于构造恰当的Lyapunov函数， 并证明其沿系统解的全导数是负定或半负定的。
x*
u
y*
uBiblioteka Baidu
ky*
v*
u
c
w*
?
u
dL 则 1 dt
* p 0 x x * * x 2 w w 0 * c ww* x x M
2
x* xy*v y v* x v 3 x x* yv* y *v 0,
x * y * * * v *
* * *
函数 1、 情形f w w. 定义Lyapunov
Nonlinear Analysis—Real World Applications: 12(2011)2163-2173; 13(2012)2006-2016.
Lyapunov 函数的构造
* y u y p w u w* 2 p u x* x*v* v u v* w w du ,, L* du * du du * * * x y v u u ky u 2 ccw u x
函数 2、 情形f w 1. 定义Lyapunov
*
dL 则 1 dt
* x x p 0 * * x 2 w w * x x M c
2
x* xy*v y v* x v 3 x x* yv* y *v 0,
* *
dL 并且 1 dt
y v 0 x x* , * * , w w* . y v M
OK
Lyapunov 函数的构造
三、Lyapunov函数形式的推广
* y u y u x* x*v* v u v* 其中 F * du * du du. * * x y v u u ky u x
Lyapunov 函数的构造
* w p u w ux u y x v u v du, L du du du w* * x y v c u u u ky u dL1 x x* p0 w w* * 2 * 则 x 2 * c w w dt M x x * * * x xy v y v * * x v 3 x x* yv* y *v 0, v dL1 * y * 并且 0 x x , * * , w w . OK y v dt M
Lyapunov 函数的一些构造方法
李建全
空军工程大学(西安)
E-mail: jianq_li@263.net
Lyapunov 函数的构造
一、引言 二、带有免疫的病毒动力学模型 三、Lyapunov函数形式的推广 四、一类SI模型的全局稳定性
Lyapunov 函数的构造
一、引言
全局渐近稳定性 (GAS)是动力系统研究的重要 问题。 对于高维自治微分系统 ，证明GAS最常用的方法是 Lyapunov - LaSalle定理， 即若自治系统 * x' f x, x Rn
Lyapunov 函数的构造
谢 谢 ！
dL 并且 1 dt
y v 0 x x* , * * , w w* . y v M
OK
Lyapunov 函数的构造
函数 3、 情形f w w / 1 w. 定义Lyapunov * * x ux y u y p w 1 u u w* x*v* v u v* L du du du du
结论：
Lyapunov 函数的构造
由于
则(IN)变为
Lyapunov 函数的构造
(IN) 定义Lyapunov函数 则有
OK
Lyapunov 函数的构造
补充：
取
条件：
Lyapunov 函数的构造
上面介绍的构造Lyapunov函数方法也可 用于如下模型：
和
A class of Lyapunov functions and the global stability of some epidemic models with nonlinear incidence, Journal of Applied Analysis and Computation , 6(2016)38-46
Lyapunov 函数的构造
二、带有免疫的病毒动力学模型
x 健康细胞； y 被感染细胞； v 游离病毒； w 免疫细胞.
其中f w可分别取w,1, w /1 w.
M有惟一正平衡点 假设系统 E* x* , y* , v* , w* ,
下面通过构造 Lyapunov 函数来证明其GAS.
推广 形式：
u w* w* u du,
w
w w*
u w* u w du, * du, w f u
*
w
w
w*
f (u ) f ( w* ) du, f u
w
w*
f (u ) f ( w* ) du. u
Lyapunov 函数的构造
四、一类SI模型的全局稳定性
在区域内有惟一平衡点 E *， 并且能找到Lyapunov 函数L， 使得dL/dt * 在内关于E *负定或半负定， 同时系统(*)在集 合 dL/dt * 0 上的最大不变集为E * ， 则 E * 在内GAS。
证明的关键在于构造恰当的Lyapunov函数， 并证明其沿系统解的全导数是负定或半负定的。
x*
u
y*
uBiblioteka Baidu
ky*
v*
u
c
w*
?
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dL 则 1 dt
* p 0 x x * * x 2 w w 0 * c ww* x x M
2
x* xy*v y v* x v 3 x x* yv* y *v 0,
x * y * * * v *
* * *
函数 1、 情形f w w. 定义Lyapunov
Nonlinear Analysis—Real World Applications: 12(2011)2163-2173; 13(2012)2006-2016.
Lyapunov 函数的构造
* y u y p w u w* 2 p u x* x*v* v u v* w w du ,, L* du * du du * * * x y v u u ky u 2 ccw u x
函数 2、 情形f w 1. 定义Lyapunov
*
dL 则 1 dt
* x x p 0 * * x 2 w w * x x M c
2
x* xy*v y v* x v 3 x x* yv* y *v 0,
* *
dL 并且 1 dt
y v 0 x x* , * * , w w* . y v M
OK
Lyapunov 函数的构造
三、Lyapunov函数形式的推广
* y u y u x* x*v* v u v* 其中 F * du * du du. * * x y v u u ky u x
Lyapunov 函数的构造
* w p u w ux u y x v u v du, L du du du w* * x y v c u u u ky u dL1 x x* p0 w w* * 2 * 则 x 2 * c w w dt M x x * * * x xy v y v * * x v 3 x x* yv* y *v 0, v dL1 * y * 并且 0 x x , * * , w w . OK y v dt M
Lyapunov 函数的一些构造方法
李建全
空军工程大学(西安)
E-mail: jianq_li@263.net
Lyapunov 函数的构造
一、引言 二、带有免疫的病毒动力学模型 三、Lyapunov函数形式的推广 四、一类SI模型的全局稳定性
Lyapunov 函数的构造
一、引言
全局渐近稳定性 (GAS)是动力系统研究的重要 问题。 对于高维自治微分系统 ，证明GAS最常用的方法是 Lyapunov - LaSalle定理， 即若自治系统 * x' f x, x Rn
Lyapunov 函数的构造
谢 谢 ！