2020年山东省实验中学高一(下)期中数学试卷解析版
山东省实验中学数学高一下期中测试题(含答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：12422]已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线0l ：220x y --=的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为（ ）A ．4330x y --=B ．3430x y --=C ．3440x y --=D ．4340x y --= 2．(0分)[ID ：12421]设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 3．(0分)[ID ：12417]已知a ，b 是两条异面直线，且a b ⊥，直线c 与直线a 成30角，则c 与b 所成的角的大小范围是( )A ．[]60,90︒︒B ．[]30,90︒︒C ．[]30,60︒︒D ．[]45,90︒︒ 4．(0分)[ID ：12414]已知正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为3，则该四棱锥的体积的最大值为（ ）A ．643B ．32C ．54D ．645．(0分)[ID ：12409]如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．202π+B ．203π+C ．242π+D ．243π+6．(0分)[ID ：12377]<九章算术>中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面,2,4ABC PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π7．(0分)[ID ：12373]已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β的是( )A ．α⊥β，且m ⊂αB ．m ⊥n ，且n ∥βC ．α⊥β，且m ∥αD ．m ∥n ，且n ⊥β8．(0分)[ID ：12372]已知正四面体ABCD 中，M 为棱AD 的中点，设P 是BCM ∆（含边界）内的点，若点P 到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，则符合条件的点P （ ）A ．仅有一个B ．有有限多个C ．有无限多个D ．不存在9．(0分)[ID ：12354]已知圆M:x 2+y 2−2ay =0(a >0)截直线x +y =0所得线段的长度是2√2，则圆M 与圆N:(x −1)2+(y −1)2=1的位置关系是（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离10．(0分)[ID ：12342]从点(,3)P m 向圆22(2)(2)1x y +++=引切线，则切线长的最小值( )A ．26B ．5C ．26D ．42+11．(0分)[ID ：12330]椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为（ ）A ．312+B ．31-C ．22D ．512- 12．(0分)[ID ：12393]点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB=BC=2，AC=2，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为（ ） A ．1256π B ．8π C ．2516π D ．254π 13．(0分)[ID ：12406]圆心在x +y =0上，且与x 轴交于点A （-3，0）和B （1，0）的圆的方程为（ ）A ．22(1)(1)5x y ++-=B ．22(1)(1)5x y -++=C ．22(1)(1)5x y -++=D ．22(1)(1)5x y ++-=14．(0分)[ID ：12339]某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ）A ．1763B ．1603C ．1283D ．3215．(0分)[ID ：12361]如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF=12．则下列结论中正确的个数为①AC ⊥BE ；②EF ∥平面ABCD ；③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值；④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等，A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题16．(0分)[ID ：12492]已知平面α与正方体的12条棱所成角相等，设所成角为θ，则sin θ=______.17．(0分)[ID ：12473]在学习公理四“平行于同一条直线的两条直线平行”时，有同学进行类比，提出了下列命题：① 平行于同一平面的两个不同平面互相平行；② 平行于同一直线的两个不同平面互相平行；③ 垂直于同一直线的两个不同平面互相平行；④ 垂直于同一平面的两个不同平面互相平行；其中正确的有________18．(0分)[ID ：12519]已知点1232M N （，），（，），点F 是直线l:3y x =-上的一个动点，当MFN ∠最大时，过点M ，N ，F 的圆的方程是__________.19．(0分)[ID ：12514]过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB 、AD 、1AA 所成的角都相等，这样的直线l 可以作_________条.20．(0分)[ID ：12510]若圆的方程为2223()(1)124k x y k +++=-，则当圆的面积最大时，圆心坐标和半径分别为 、 ．21．(0分)[ID ：12508]已知P 是抛物线24y x =上的动点，点Q 是圆22:(3)(3)1C x y ++-=上的动点，点R 是点P 在y 轴上的射影，则PQ PR +的最小值是____________．22．(0分)[ID ：12480]已知α∈R ，()ππ2k k Z α≠+∈，设直线:tan l y x m α=+，其中0m ≠，给出下列结论：①直线l 的方向向量与向量()cos , sin a αα=共线； ②若π04α<<，则直线l 与直线y x =的夹角为π4α-； ③直线l 与直线sin cos 0x y n αα-+=（n m ≠）一定平行； 写出所有真命题的序号________23．(0分)[ID ：12445]正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上.若163P ABCD V ，则球O 的体积是______． 24．(0分)[ID ：12501]若直线()():1210l m x m y m -+--=与曲线()2:422C y x =--+有公共点，则直线l 的斜率的最小值是_________.25．(0分)[ID ：12435]已知直线1:1l y x =-上有两个点11(,)A x y 和22(,)B x y , 且12,x x 为一元二次方程2610x x -+=的两个根, 则过点,A B 且和直线2:1l x =-相切的圆的方程为______________. 三、解答题26．(0分)[ID ：12600]如图所示，四棱锥S ABCD -中，SA ⊥底面ABCD ，090ABC ∠=，23SA AB ==，，1BC =，23AD =，060ACD ∠=，E 为CD 的中点.（1）求证：//BC 平面SAE ；（2）求直线SD 与平面SBC 所成角的正弦值.27．(0分)[ID ：12583]如图，在平面直角坐标系xoy 中，点(0,3)A ，直线:24=-l y x ，设圆C 的半径为1， 圆心在l 上.（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程；（2）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.28．(0分)[ID ：12552]如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ，33DE AF ==.ABF平面DCE；（1）证明：平面//（2）在DE上是否存在一点G，使平面FBG将几何体ABCDEF分成上下两部分的体积比为3:11？若存在，求出点G的位置；若不存在，请说明理由.29．(0分)[ID：12551]已知以点C（1，﹣2）为圆心的圆与直线x+y﹣1=0相切．（1）求圆C的标准方程；（2）求过圆内一点P（2，﹣）的最短弦所在直线的方程．⊥且点O为AB的中点，矩形ABEF所30．(0分)[ID：12548]如图，在ABC中AC BC在的平面与平面ABC互相垂直.OM平面ACF；（1）设EC的中点为M，求证：//（2）求证：AC⊥平面CBE【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．B3．A4．A5．B6．C7．D8．A9．B10．A11．B12．D13．A14．B15．B二、填空题16．【解析】【分析】棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面之一设出棱长即可求出【详解】因为棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的条棱的夹角均为的平面设棱长为：易知故答案17．①③【解析】【分析】对4个命题分别进行判断即可得出结论【详解】解：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行正确；②平行于同一直线的两个不同平面互相平行或相交不正确；③垂直于同一直线的两个不同平面互相平18．【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意设圆心坐标为C（2a）当∠MFN最大时过点MNF的圆与直线y=x-3相切∴∴a=1或9a=1时r=∠MCN=90°∠MFN=45°a=9时r=∠MCN＜9019．【解析】【分析】将小正方体扩展成4个小正方体根据直线夹角的定义即可判断出符合条件的条数【详解】解：设ABCD﹣A1B1C1D1边长为1第一条：AC1是满足条件的直线；第二条：延长C1D1到C1且D120．【解析】试题分析：圆的面积最大即半径最大此时所以圆心为半径为1考点：圆的方程21．【解析】根据抛物线的定义可知而的最小值是所以的最小值就是的最小值当三点共线时此时最小最小值是所以的最小值是3【点睛】本题考查了点和圆的位置关系以及抛物线的几何性质和最值问题考查了转化与化归能力圆外的22．①②【解析】【分析】①求出直线l的方向向量判断它与向量共线;②求出直线l和直线y＝x的斜率与倾斜角即可得出两直线的夹角;②根据两直线的斜率与在y轴上的截距得出两直线不一定平行【详解】对于①直线l的方23．【解析】【分析】正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上则棱锥的高等于球的半径由此可由棱锥体积求得球的半径从而得球体积【详解】∵正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上∴球心是正方形对角线交点是棱锥24．【解析】【分析】将直线的方程化为可求出直线所过的定点坐标作出曲线的图象利用数形结合思想可得出当直线与曲线有公共点时直线的斜率的最小值【详解】将直线的方程化为由得则直线过定点将曲线的方程变形为曲线为圆25．或【解析】【分析】由题意可知所以中点坐标为圆心在直线的中垂线上故过圆心满足直线设圆心的坐标为由圆与直线相切故由弦长公式可得圆心到直线的距离为由勾股定理可知解得：当时；当时得解【详解】上有两个点和为一三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．D解析：D【解析】设直线0l 的倾斜角为α，则斜率01tan 2k α==，所以直线l 的倾斜角为2α，斜率22tan 4tan 21tan 3k ααα===-，又经过点（1,0），所以直线方程为4(1)3y x =-，即4340x y --=，选D.2．B解析：B【解析】A 中，,αβ也可能相交；B 中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C 中，,αβ也可能相交；D 中，l 也可能在平面β内.【考点定位】点线面的位置关系3．A解析：A【解析】【分析】将异面直线所成的角转化为平面角，然后由题意，找出与直线a 垂直的直线b 的平行线，与直线c 平行线的夹角.【详解】在直线a 上任取一点O ，过O 做//c c '，则,a c '确定一平面α，过O 点做直线b 的平行线b '，所有平行线b '在过O 与直线a 垂直的平面β内， 若存在平行线1b '不在β内，则1b '与b '相交又确定不同于β的平面， 这与过一点有且仅有一个平面与一条直线垂直矛盾，所以b '都在平面β内， 且,l αβαβ⊥=，在直线c '上任取不同于O 的一点P ，做PP l '⊥于P '，则PP β'⊥，POP '∠为是c '与β所成的角为60︒， 若b l '⊥，则,b b c α'''⊥⊥，若b '不垂直l 且不与l 重合，过P '做P A b ''⊥，垂足为A ，连PA ，则b '⊥平面PP A '，所以b PA '⊥，即1,cos 2OA OP OA PA AOP OP OP '⊥∠=<=， 60AOP ∠>︒，综上b '与c '所成角的范围为[60,90]︒︒，所以直线b 与c 所成角的范围为[]60,90︒︒.故选：A.【点睛】本题考查异面直线所成角，空间角转化为平面角是解题的关键，利用垂直关系比较角的大小，属于中档题.4．A解析：A【解析】【分析】设底面ABCD 的边长为a ，四棱锥的高为h ，可得22122a h h =-，得出四棱锥的体积关于h 的函数()V h ，求出V 的极大值点，即可得到四棱锥的体积的最大值.【详解】正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为3，设底面ABCD 的边长为a ，四棱锥的高为h ，设正四棱锥的底面ABCD 的中心为1O . 则22a OA =,1PO ⊥ 平面ABCD . 则22211OO O A OA +=,即()222233h ⎫+-=⎪⎪⎝⎭，可得22122a h h =-. 则该四棱锥的体积为()221112233V a h h h h =⨯=- 令()()2122f h h h h =-，则()2246f h h h '=-当04h <<时，()0f h '>，f h 单调递增.当4h >时，()0f h '<，f h 单调递减.所以当4h =时，该四棱锥的体积有最大值，最大值为：()216412424433⨯⨯-⨯⨯= . 故选：A【点睛】本题考查了四棱锥与球的组合体，求椎体的体积，关键是利用了导数求体积的最值．属于中档题．5．B解析：B【解析】 该几何体是一个正方体与半圆柱的组合体，表面积为2215221122032S πππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，故选B ． 6．C解析：C【解析】【分析】先作出三棱锥P ABC -的图像，根据P ABC -四个面都为直角三角形和PA ⊥平面ABC ，可知PC 中点即为球心，利用边的关系求出球的半径，再由24S R π=计算即得.【详解】三棱锥P ABC -如图所示，由于P ABC -四个面都为直角三角形，则ABC 是直角三角形，且2ABC π∠=，2223BC AC AB ∴=-=，又PA ⊥平面ABC ，且PAC 是直角三角形，∴球O 的直径2222PC R PA AB BC ==++2025==，5R ∴=，则球O 的表面积2420S R ππ==.故选：C【点睛】本题考查多面体外接球的表面积，是常考题型.7．D解析：D【解析】【分析】根据所给条件，分别进行分析判断，即可得出正确答案.【详解】解：αβ⊥且m α⊂⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故A 不成立；m n ⊥且//n β⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故B 不成立；αβ⊥且//m α⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故C 不成立；//m n 且n β⊥⇒m β⊥，故D 成立；故选：D【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，线面垂直判定，属于基础题.8．A解析：A【解析】【分析】根据正四面体的对称性分析到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等的点的轨迹，与BCM ∆所在平面的公共部分即符合条件的点P .【详解】在正四面体ABCD 中，取正三角形BCD 中心O ，连接AO ，根据正四面体的对称性，线段AO 上任一点到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等的点都在AO 所在直线上，AO 与BCM ∆所在平面相交且交于BCM ∆内部，所以符合题意的点P 只有唯一一个.故选：A【点睛】此题考查正四面体的几何特征，对称性，根据几何特征解决点到平面距离问题，考查空间想象能力.9．B解析：B【解析】化简圆M:x 2+(y −a)2=a 2⇒M(0,a),r 1=a ⇒M 到直线x +y =0的距离d =√2⇒ (√2)2+2=a 2⇒a =2⇒M(0,2),r 1=2， 又N(1,1),r 2=1⇒|MN|=√2⇒|r 1−r 2|<|MN|< |r 1+r 2|⇒两圆相交. 选B10．A解析：A【解析】【分析】设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++再利用二次函数的图像和性质求函数的最小值得解.【详解】设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++, min d ∴=故选:A.【点睛】本题主要考查圆的切线问题,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 11．B解析：B【解析】【分析】根据椭圆的定义可知12||||2PF PF a +=，又1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =且12PF PF ⊥，即可列出方程求椭圆的离心率.【详解】由1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =，且 12PF PF ⊥，又12||||2PF PF a +=，可知1||2PF a c =-，在12Rt PF F ∆中，222(2)4a c c c -+=，即2222a ac c -=所以2220,(0,1)e e e +-=∈，解得212e -==， 故选：B【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，圆的切线的性质，属于中档题. 12．D解析：D【解析】试题分析：根据题意知，ABC 是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC 的中点上，设小圆的圆心为Q ，若四面体ABCD 的体积的最大值，由于底面积ABC S 不变，高最大时体积最大，所以，DQ 与面ABC 垂直时体积最大，最大值为12·33ABC S DQ =，即12133DQ ⨯⨯=，∴2DQ =，设球心为O ，半径为R ，则在直角AQO 中，222OA AQ OQ =+，即()22212R R =+-，∴54R =，则这个球的表面积为：2525444S ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭；故选Ｄ． 考点：球内接多面体，球的表面积． 13．A解析：A【解析】【分析】由题意得：圆心在直线x=-1上，又圆心在直线x+y=0上，故圆心M 的坐标为（-1，1），再由点点距得到半径。
2019-2020学年实验中学高一下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年实验中学高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若关于的不等式内有解，则实数的取值范围是()A. B. C. D.π，|BC|=7，|AC|=5，则|AB|=()2.在△ABC中，已知∠A=23A. 3B. 3√2C. 8D. 8√33.已知函数的定义域为R，当时，，且对任意的实数R，等式成立．若数列满足，且(N∗)，则的值为()A. 4024B. 4023C. 4022D. 40214.在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，cosA=4，b=2，面积S=3，则a为()5A. 3√5B. √17C. √21D. √135.等比数列{a n}中，已知a4=5，则a3a5=()A. 10B. 25C. 50D. 756.在正方体ABCD−A1B1C1D1中AD1与BD所成的角为()A. 45°B. 90°C. 60°D. 120°7.数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列且b n=a n +1−a n(n∈N∗).若b 3=−2，b 10=12，则a 8=()A. 0B. 3C. 8D. 118.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个边长为2的正三角形，俯视图是一正方形，那么该几何体的侧视图的面积为()A. 1B. 2C. √3D. 49.四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD为矩形，AB=1，AD=2，AA1=3，∠A1AB=∠A1AD=60°，则AC1的长为()A. 4√2B. 23C. √23D. 3210.给出下列命题：(1)平行于同一直线的两个平面平行(2)平行于同一平面的两个平面平行(3)垂直于同一直线的两直线平行(4)垂直于同一平面的两直线平行其中正确命题的序号为()A. (1)(2)B. (3)(4)C. (2)(4)D. (1)(3)11.数列{a n}中，已知对于任意正整数n，a1+a2+⋯+a n=2n−1，记b n=nlog2a n，则b n的前n项和S n=()A. n3−n3B. n3−3n2+2n3C. n3+n3D. n3+3n2+2n312.在△ABC中，AB=3，BC=7，A=120°，则AC=()A. 5B. 6C. 8D. √79二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.调试仪器中的可变电阻，可变电容常常采用的优选法为______．14.A−BCD是各条棱长都相等的三棱锥.，那么AB和CD所成的角等于_______。
山东省青岛市胶州市实验中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题(含解析)
山东省青岛市胶州市实验中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）（时间：120分钟满分：150分）一、单选题1.已知复数z 满足()12z i i +=-，则复数z 在复平面内对应的点所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 复数z 满足()12i z i +=-，∴()()()()2121311122i i i z i i i i ---===-++-，则复数z 在复平面内对应的点13,22⎛⎫-⎪⎝⎭在第四象限，故选D. 2.（ ） A. 1- B. 2-C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】先通分,再利用正弦的二倍角公式,进而利用正弦的差角公式化简即可. 【详解】()2sin 60402cos202sin 20︒︒︒︒--==== 故选:D【点睛】本题考查三角函数的化简求值,考查正弦的二倍角公式和差角公式的应用. 3.若函数()sin 22f x x x =-在,3t π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为2]，则t 的最小值为（ ） A.23π B.2π C.712π D.512π 【答案】D【解析】 【分析】把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求解．【详解】()sin 22f x x x =-12(sin 22)2sin(2)223x x x π=-=-，[,]3x t π∈时，2[,2]333x t πππ-∈-，由于()2]f x ∈，∴232t ππ-≥，512t π≥，t 的最小值是512π．故选：D.【点睛】本题考查正弦函数的性质，考查两角差的正弦公式，掌握正弦函数性质是解题关键． 4.已知复数Z 满足()12Z i i +=+（i 为虚数单位），则复数Z 的虚部为（ ）. A. 12-B.12C. 12i -D.12i 【答案】A 【解析】 【分析】首先21iZ i+=+，然后化简求虚部. 【详解】231122i i i Z +=-+=，虚部12-. 故选A.【点睛】本题考查复数的除法运算，以及复数的相关概念，属于简单题型.5.若样本数据1210,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差为8，则数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的标准差为（ ） A. 8 B. 15C. 16D. 32【答案】C 【解析】试题分析：样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为8，所以方差为64，由()()214D X D x -=可得数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的方差为464⨯16= 考点：方差与标准差6.已知042a ππβ<<<<，且sin cos αα-=，4sin 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭则sin()αβ+=（ ）A. 10-B. C.5【答案】D 【解析】 【分析】首先根据sin cos αα-=sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭得cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭3cos 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，之后将角进行配凑，使得()sin sin 44a ππβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，利用正弦的和角公式求得结果.【详解】因为sin cos 5αα-=，所以sin 410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为42a ππ<<，所以cos 410πα⎛⎫-=⎪⎝⎭. 因为04πβ<<，4sin 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以3cos 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()sin sin 44a ππβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 3455=+= 故选D.【点睛】该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，正弦函数的和角公式，在解题的过程中，注意时刻关注角的范围.7.在等腰直角三角形ABC 中，090,2C CA ∠==，点P 为ABC 所在平面上一动点，且满足1BP =,求()BP CA CB ⋅+的取值范围A. ⎡⎤-⎣⎦B. 0,⎡⎣C. []22-,D.22,22-⎡⎣【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，用参数方程表示点P 的坐标，从而求出()·BP CA CB +的取值范围．【详解】根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示则A （0，2），B （2，0），C （0，0），由|BP |=1知，点P 在以B 为圆心，半径为1的圆上， 设P （2+cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）； 则BP =（cosθ，sinθ）， 又CA +CB =（2，2）；∴BP •（CA +CB 2sin （θ+4π）， 当θ+4π=2π，即θ=4π时，BP •（CA +CB ）取得最大值2， 当θ+4π=32π，即θ=54π时，BP •（CA +CB ）取得最小值﹣2，∴BP •（CA +CB ）的取值范围是[﹣2，2． 故选D ．【点睛】本题考查了平面向量的数量积与应用问题，是中档题．向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.8.王明同学随机抽查某市10个小区所得到的绿化率情况如下表所示：则关于这10个小区绿化率情况，下列说法错误的是( ) A. 方差是13% B. 众数是25%C. 中位数是25%D. 平均数是26.2% 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出众数、中位数、平均数、方差，逐项验证. 【详解】根据表格数据，众数为25%，选项B 正确； 中位数为25% ，选项C 正确； 平均数为2022543033226.210⨯+⨯+⨯+=，选项D 正确；方差22221[2(2026.2)4(2526.2)3(3026.2)(3226.2)]15.9610-+-+-+-=； 选项A 错误. 故选:A.【点睛】本题考查方差、众数、中位数、平均数的计算，意在考查数学计算能力，属于基础题. 二、多选题9.已知复数z 满足23z z iz ai ⋅+=+，a R ∈，则实数a 的值可能是（ ） A. 1 B. 4-C. 0D. 5【答案】ABC 【解析】 【分析】设z x yi =+，从而有222()3x y i x yi ai ++-=+，利用消元法得到关于y 的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a 的范围，即可得答案.【详解】设z x yi =+，∴222()3x y i x yi ai ++-=+，∴222223,23042,x y y a y y x a ⎧++=⇒++-=⎨=⎩， ∴244(3)04a ∆=--≥，解得：44a -≤≤，∴实数a 的值可能是1,4,0-. 故选：ABC.【点睛】本题考查复数的四则运算、模的运算，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.10.已知单位向量a 、b ，则下面正确的式子是（ ） A. 1a b ⋅=B. 22a b =C. a b =D.0a b -=【答案】BD 【解析】 【分析】根据单位向量的概念和性质，对四个选项进行判断，从而得到答案. 【详解】因为向量a 、b 为两个单位向量，所以cos ,a b a b a b ⋅=，当a 与b 的夹角不为0时，不能得到1a b ⋅=，a b =，故选项A 、C 错误；因为向量a 、b 为两个单位向量，所以1a b ==，所以22a b =，0a b -=都成立，故选项B 、D 正确. 故选：BD【点睛】本题考查单位向量的概念和性质，向量的数量积运算，属于简单题.11.将函数()213f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列关于函数()g x 的说法正确的是（ ）A. ，图象关于直线12x π=对称B. 图象关于y 轴对称C. 最小正周期为πD. 图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用函数sin(+y A x ωϕ=）的图象变换规律，求得()g x 的解析式，再利用余弦函数的图象和性质，得出结论．【详解】将函数()213f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度，得到()21212133y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++-=+-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象；再向上平移1个单位长度，得到函数()g x x =的图象，对于函数()g x ，它的最大，由于当12x π=时，()32g x =-，不是最值，故()g x 的图象不关于直线12x π=对称，故A 错误；由于该函数为偶函数，故它的图象关于y 轴对称，故B 正确； 它的最小正周期为22ππ=，故C 正确； 当4x π=时，()0g x =，故函数()g x 的图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 正确. 故选：BCD【点睛】本题主要考查函数sin(+y A x ωϕ=）的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，属于中档题．12.下列说法正确的有（ ）A. 在ABC ∆中，::sin :sin :sin a b c A B C =B. 在ABC ∆中，若sin 2sin 2A B =，则a b =C. 在ABC ∆中，若sin sin A B >，则A B >，若A B >，则sin sin A B >都成立D. 在ABC ∆中，sin sin sin +=+a b cA B C【答案】ACD 【解析】 【分析】设ABC ∆的外接圆半径为R ，利用正弦定理可判断A 、D 选项的正误；利用正弦定理与大边对大角定理可判断C 选项的正误；利用正弦定理与余弦定理可判断B 选项的正误.综合可得出结论.【详解】设ABC ∆的外接圆半径为R ，由正弦定理得2sin sin sin a b cR A B C===. 对于A 选项，::2sin :2sin :2sin sin :sin :sin a b c R A R B R C A B C ==，A 选项正确； 对于D 选项，2sin 2sin 2sin sin sin sin sin b c R B R C aR B C B C A++===++，D 选项正确；对于B 选项，由二倍角公式得2sin cos 2sin cos A A B B =，则2222222222b c a a c b a b bc ac+-+-⋅=⋅，即()()22222222a b c a b a c b +-=+-， 整理得4422220a b a c b c --+=，即()()222220a bab c -+-=，则220a b -=或222+=a b c ，所以a b =或2C π∠=，B 选项错误；对于C 选项，sin sin A B a b A B >⇔>⇔>（大边对大角），C 选项正确. 故选：ACD.【点睛】本题考查正弦定理的应用，解题时充分利用边角互化的思想求解较为简单，考查推理能力，属于基础题. 三、填空题 13.设复数1i2i 1iz -+=+，则z =__________． 【答案】3 【解析】 【分析】 将复数1i2i 1iz -+=+化为(,)a bi a b R +∈的形式，利用复数的模的定义即可求出z ． 【详解】因为21i (1i)2i2i i 1i (1i)(1i)2z ---+====-++-，所以3z i =-，所以220(3)3z =+-=．故答案为：3【点睛】本题主要考查复数的四则运算及复数的模，属于基础题．14.已知菱形ABCD 的棱长为3，E 为棱CD 上一点且满足2CE ED =，若6AE EB ⋅=-，则cos C _________.【答案】13【解析】 【分析】利用E 为三等分点结合向量加减法把所给数量积转化为,CD CB 之间的关系即可解决． 【详解】解：如图，2CE ED =，CE 2ED ∴=，由6AE EB ⋅=-得()()6DE DA CB CE -⋅-=-， 得6DE CB DE CE DA CB DA CE ⋅-⋅-⋅+⋅=-， 得296ED CB CB CE -⋅+-+⋅=-，得(1CE ED CB -⋅=），即1ED CB ⋅=，即113CD CB ⋅=133cos 13C ∴⨯⨯=， 1cos 3C ∴=，故答案为13． 【点睛】此题考查了向量数量积的定义，向量加减法法则，难度不大．15.已知向量a ，b 满足||2a =，2b =，且()2a a b ⊥+，则b 在a 方向上的投影为_______. 【答案】-1 【解析】 【分析】利用向量的垂直关系，推出a b ⋅，然后求解b 在a 方向上的投影。
山东省实验中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题
山东省实验中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．(1+i)(2−i)= A ．−3−iB ．−3+iC ．3−iD ．3+i2．已知平面向量a ⃗=(sinθ,1),b ⃗⃗=(cosθ,−2)，若a ⃗//b ⃗⃗，则tanθ=（ ） A ．−12B ．−2C ．2D ．123．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为 A ．163πB ．323πC ．643πD ．2563π4．如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为（ ）．A ．一个球体B ．一个球体中间挖去一个圆柱C ．一个圆柱D ．一个球体中间挖去一个长方体5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =2ccosA ，则△ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰或直角三角形6．已知复数z =cosθ+isinθ(i 是虚数单位，θ∈R)，则|z −1−i |的最小值是（ ） A ．√2B ．√2−1C ．√2+1D ．17．如图，正方形ABCD 的边长为2，圆A 半径为1，点P 在圆A 上运动，则BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的取值范围是（ ）A ．[2,6]B ．[2√2,6√6]C ．[4−2√2,4+2√2]D ．[2,2√2]8．在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知bsinA =√3acosB,∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD =√3，则a +3c 的最小值是（ ） A ．4B ．8C ．3+2√3D ．4+2√3二、多选题9．已知i 是虚数单位，以下说法正确的是（ ） A ．复数2−i 的虚部是1B ．i +i 2+i 3+i 4=0C ．若复数z 是纯虚数，则|z|2=z 2D ．若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R10．已知平面向量a ⃗=(1,3),b⃗⃗=(−2,1)，则（ ） A ．|a ⃗|=√10B ．(2a ⃗−b ⃗⃗)⊥b ⃗⃗C ．a ⃗在b ⃗⃗上的投影向量的模为√55D ．a ⃗与b⃗⃗的夹角为钝角 11．某圆锥的底面半径是3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是（ ）A ．圆锥的体积是9√7πB ．圆锥侧面展开图的圆心角是3π2C ．过圆锥的两条母线做截面，面积的最大值是8D ．圆锥侧面积是12π12．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O 是△ABC 内一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，且S A ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+S B ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+S C ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗．设O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 分别是的△ABC 三个内角，以下命题正确的有（ ）A ．若OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗，则S A :S B :S C =1:2:3 B ．若|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2，∠AOB =5π6，2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+3OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+4OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗，则S △ABC =92 C ．若O 为△ABC 的内心，3OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+4OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+5OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗，则∠C =π2 D ．若O 为△ABC 的垂心，3OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗+4OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+5OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗，则cos∠AOB =−√66三、填空题13．复数z =m (m −1)+mi 是纯虚数，则实数m = ． 14．已知向量a ⃗,b ⃗⃗满足|a ⃗|=1,|b ⃗⃗|=2,|a ⃗−3b ⃗⃗|=5，则a ⃗⋅b⃗⃗ ． 15．已知一个三棱柱的高为3，如图是其底面用斜二测画法画出的水平放置的直观图，其中O ′A ′=O ′B ′=O ′C ′=1，则此三棱柱的体积是 ．16．在圆内接四边形ABCD 中，∠DAB =60°，BD =√3AD ，则∠ADB = ，若AC =4√2，则△BCD 面积的最大值为 .四、解答题17．在△ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且b 2+c 2−32bc =a 2. (1)求cosA 的值；(2)若B =2A,b =3，求a 的值.18．已知复数z =1−i ，（i 是虚数单位），(1)设复数z 是关于x 的方程x 2+mx +n =0的一个根，求实数m,n 的值，并写出方程的另一个根； (2)设复数z 1=2023z（z 是z 的共轭复数），若复数z 1在复平面内对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围．19．《九章算术》中对一些特殊的几何体有特殊的称谓，例如，将底面为直角三角形的直三棱柱叫堑堵，将一个堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥，即四棱锥C 1−ABB 1A 1）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体，即三棱锥C 1−ABC ）．在如图所示的堑堵ABC −A 1B 1C 1中，已知AB =3,BC =4,AC =5，若鳖臑C 1−ABC 的体积等于12，求：(1)求堑堵ABC −A 1B 1C 1的侧棱长； (2)求阳马C 1−ABB 1A 1的体积； (3)求阳马C 1−ABB 1A 1的表面积．20．△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知bcos B+C 2=asinB .（1）求角A 的大小；（2）D 是边BC 上一点，且BD =2DC ，AD =2，求△ABC 面积的最大值.21．在△ABC 中，点D,E 分别在边BC 和边AB 上，且DC =2BD ，BE =2AE ，AD 交CE 于点P ，设BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗,BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗．(1)若EP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=tEC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，求实数t ； (2)试用a ⃗，b⃗⃗表示BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗； (3)点F 在边AC 上，且满足B,P,F 三点共线，试确定点F 的位置．22．如图，设△ABC 中角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,AD 为BC 边上的中线，已知c =1，且2csinAcosB =asinA −15csinC,cos∠BAD =√217．(1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积；(3)设点E,F 分别为边AB,AC 上的动点（含端点），线段EF 交AD 于G ，且△AEF 的面积为△ABC面积的16，求AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅EF⃗⃗⃗⃗⃗⃗的取值范围．。
山东省青岛市胶州市实验中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题(含解析)
x2 y2
∴
2
x
a,
2y
3,
y2
2y
a2 4
3
0
，
∴
4
a2 4(
4
3)
0
，解得： 4
a
4，
∴实数 a 的值可能是1, 4,0 .
故选：ABC.
【点睛】本题考查复数的四则运算、模的运算，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和
运算求解能力.
10.已知单位向量 a 、 b ，则下面正确的式子是（ ）
2
3，
x
[ 3
Hale Waihona Puke ,t]时，
2x
3
[ 3
,
2t
3
]
，由于
f
(x)
[
3, 2] ，
2t t 5
5
∴ 3 2 ， 12 ， t 的最小值是 12 ．
故选：D. 【点睛】本题考查正弦函数的性质，考查两角差的正弦公式，掌握正弦函数性质是解题关
键．
4.已知复数 Z 满足 Z 1 i 2 i （ i 为虚数单位），则复数 Z 的虚部为（ ）.
对于 D 选项， sin B sin C
sin B sin C
sin A ，D 选项正确；
对于 B 选项，由二倍角公式得 2sin Acos A 2sin B cos B ，
2a b2
则
c2 a2 2bc
2b a2
c2 b2 2ac
a2
，即
b2 c2 a2
b2
a2 c2 b2
CA
2
，点
P
为
ABC
所在平面上一动点，且满
足
BP
2020年山东省高一(下)期中数学试卷解析版
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 36.0 分）
1. 下列命题正确的是（ ）
A. 若 a＞b，则 a2＞b2
B. 若 a＞b，则 ac＞bc
C. 若 a＞b，则 a3＞b3
D. 若 a＞b，则 ＜
2. 设直线 a，b 是空间中两条不同的直线，平面 α，β 是空间中两个不同的平面，则下
的取值范围是（ ）
A. [-4，+∞）
B. （-4，+∞） C. （-∞，-4]
D. （-∞，-4）
10. 若等差数列{an}单调递减，a2，a4 为函数 f（x）=x2-8x+12 的两个零点，则数列{an}
的前 n 项和 Sn 取得最大值时，正整数 n 的值为（ ）
A. 3
B. 4
C. 4 或 5
B. 钝角三角形 D. 锐角、钝角或直角三角形
7. 等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，且
，则 =（ ）
A.
B.
C.
D.
8. 设 a＞0，b＞0，若 3 是 3a 与 9b 的等比中项，则 的最小值为（ ）
A.
B. 3
C.
D. 4
9. 已知函数 f（x）=x2+mx+4，若 f（x）＞0 对任意实数x∈（0，4）恒成立，则实数 m
15. 在△ABC 中， ，A 的角平分线 AD 交 BC 于点 D，若
，
AD=______． 16. 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 M 是棱 CD 的
中点，动点 N 在体对角线 A1C 上（点 N 与点 A1，C 不重合 ），则平面 AMN 可能经过该正方体的顶点是______．（写 出满足条件的所有顶点）
山东省实验中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题(原卷版)
山东省实验中学2023~2024学年第二学期期中高一数学试题2024.4说明：本试卷满分150分，分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷为第1页至第3页，第II 卷为第3页至第4页.试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.第I 卷（共58分）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数满足，其中为虚数为单位，则=A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ）A. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱B. 过空间内不同的三点，有且只有一个平面C. 棱锥的所有侧面都是三角形D. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台3. 已知向量，满足，，，则（ ）A. －1B. 0C. 1D. 24. 用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中梯形的上底长是下底长的，若原平面图形的面积为的长为（ ）A.B.C. 1D.5. 在中，若，则这个三角形是（ ）z 1z i i =-i z 1i-1i+1i--1i-+a b()20,3a b -= ()23,0a b -=- ()1,1a b λμ+=- λμ+=OABC O A B C ''''12OABC O A ''12ABC ()()cos sin cos sin a a B B b c C A -=-A. 等腰三角形或直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形6. 在等腰直角中，斜边为的中点，为的中点.将线段绕着点旋转得到线段，则（ ）A. -2B. C. D. -17. 如图，在正方体中，分别是的中点，有四个结论：①与是异面直线；②相交于一点；③；④平面.其中错误个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 48. 设是的垂心，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若复数满足，则（ ）A. 为纯虚数 B. C D. 10. 已知直三棱柱中，点分别的.ABC AC M =AB D AC AC D EF ME MF ⋅=32-12-1111ABCD A B C D -,,M N P 1111,,C D BC A D AP CM 1,,AP MN DD 1//MN BD //MN 11BB D D H ABC 3450HA HB HC ++=cos AHB ∠z 11z z -=+z 11z z -=+0z z +=2z z z ⋅=111ABC A B C -190,ACB AA ∠=︒===,,M N ,Q G为棱中点，是线段上（包含端点）的动点，则下列说法正确的是（ ）A. 直三棱柱外接球的半径为2B. 三棱锥体积与的位置无关C. 若为的中点，则过三点的平面截三棱柱所得截面为等腰梯形D. 一只虫子由表面从点爬到11. 已知点是三角形的边上的点，且，以下结论正确的有（ ）A. 若点是的中点，，则B. 若平分，则C. 三角形外接圆面积最大值为D. 若，且是的中点，则一定是直角第II 卷（共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知正三棱柱的高与底面边长均为3，则该正三棱柱外接球的体积为__________.13. 在中，角的对边分别为，且，则的面积为__________.14. 已知菱形的边长为1，设，若恒成立，则向量在方向上投影向量的模的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的证明过程及验算步骤.15. 已知是复数，求（1）（2）若均为实数，且复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数的取值范围.的的1111,,,A B A C AC AB P 11B C 111ABC A B C -P MNA -P P 11B C ,,A M P Q 1B D ABC BC π6,8,2AB AC BAC ∠==≥D BC 2π3BAC ∠=AD =AD π,2BAC BAC ∠∠=:3:4BD CD =ABD 9ππ2BAD ACD ∠∠+=D BC BAC ∠ABC ,,A B C ,,a b c π2sin 0,0,,1,2c b C B b a ⎛⎫-=∈== ⎪⎝⎭ABC ABCD ()2AM AB t AD t =+∈R 1AM ≥ AB ADz 2202453i (12i)i 1i+++++2i,2izz +-2(i)z a +a16. 如图，在中，点满足是线段的中点，过点的直线与边分别交于点.（1）若，求和的值；（2）若，求的最小值.17. 在中，对应的边分别为，已知向量,且为边上一点，,且.（1）求；（2）求面积最大值.18. 已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为（1）求该圆锥的侧面积；（2）求圆锥的内切球的表面积；（3）求该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值.19. 在中，对应的边分别为.（1）求；（2）奥古斯丁•路易斯･柯西，法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都的ABC P 2,PC BP O =AP O ,AB AC ,E F AO x AB y AC =+x y (0),(0)EB AE FC AF λλμμ=>=> 12λμ+ABC ,,A B C ∠∠∠,,a b c ()2cos ,2cos 1,,42B m C n b c a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 0,m n D ⋅=AC BD =2CD AD =cos ABC ∠ABC P ,PA PB 14PAC 90 PAB ABC ,,A B C ∠∠∠,,,sin tan cos 2sin a b c b A a A B a C +=A以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.①用向量证明二维柯西不等式：；②已知三维分式型柯西不等式：，当且仅当时等号成立.若是内一点，过作的垂线，垂足分别为，求的最小值.()()()2222212121122x x y y x y xy +≤++()2222123312123123123*,,R ,x x x x x x y y y y y y y y y ++∈++≥++312123x x x y y y ==3,a P =ABC P ,,AB BC AC ,,D E F 9AB BC AC T PDPEPF=++。
山东省2020版高一下学期期中数学试卷(I)卷(精编)
山东省 2020 版高一下学期期中数学试卷（I）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 填空题 (共 14 题；共 15 分)1. （1 分） (2018 高三上·扬州期中) 设实数 ， 满足则的最大值为________．2. （2 分） (2019 高二上·宝坻月考) 不等式 ________．的解集为________，不等式的解集为3. （1 分） (2016 高三上·闽侯期中) 已知 sinα﹣cosα=﹣ ，则 sin2α=________．4. （1 分） (2016 高一下·南平期末) △ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，a2+b2﹣c2=6 ﹣ 2ab，且 C=60°，则△ABC 的面积为________．5. （1 分） (2016 高三上·金华期中) 已知 a＞0，b＞0，且 a+2b=1，则的最小值为________6. （1 分） (2020 高一下·忻州月考) 若，则的取值范围是________.7. （1 分） (2019 高一下·上杭期中) 已知 a，b，c 分别是△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边，若，三内角 A，B，C 成等差数列，则该三角形的外接圆半径等于________；8. （1 分） (2020·汨罗模拟) 已知中，a ， b ， c 分别是角 A ， B ， C 的对边，若，，则的值为________.9. （ 1 分 ） 在 等 比 数 列 {an} 中 ， an ＞ 0 ， （ n∈N+ ） 且 a3a6a9=8 ， 则 log2a2+log2a4+log2a6+log2a8+log2a10=________．10. （1 分） (2016 高一下·溧水期中) 设等比数列{an}的首项 a1=1，且 4a1 ， 2a2 ， a3 成等差数列，则 数列{an}的前 10 项和 S10=________．11. （1 分） (2016·诸暨模拟) 设 x，y 满足约束条件，目标函数 z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值 M，若 M 的取值范围是[1，2]，则点 M（a，b）所经过的区域面积=________．第1页共7页12. （1 分） (2020 高一下·上海期末) 数列 的前 n 项和为 ，若数列 的各项按如下规律排列：，， ，， ，，，， ，， ， ，…，，…有如下运算和结论：①；②数列 ，，，，…是等比数列；③数列 ，，，，…的前 项和为；④若存在正整数 ，使，，则.其中正确的结论是________.（将你认为正确的结论序号都填上）13. （1 分） 已知 cosx= ，且 tanx＞0，则 cos（ ﹣2x）=________．14. （1 分） 已知数列{an}的前 n 项和，则其通项公式为________．二、 解答题 (共 6 题；共 60 分)15. （10 分） (2016 高一上·台州期中) 已知集合 A={x|x2﹣3x＜0}，B={x|（x+2）（4﹣x）≥0}，C={x|a＜ x≤a+1}．（1） 求 A∩B；（2） 若 B∪C=B，求实数 a 的取值范围．16. （10 分） (2018 高三上·广东月考) 已知在中，三边长 ， ， 依次成等差数列．（1） 若，求三个内角中最大角的度数；（2） 若且，求的面积．17. （10 分） (2020 高二上·安徽月考) 已知都是锐角，且，.（1） 求 （2） 求的值； 的值.18. （10 分） (2017·宝清模拟) 在锐角△ABC 中，=（1） 求角 A；（2） 若 a= ，求 bc 的取值范围．第2页共7页19. （10 分） (2020 高一上·汕头月考) 根据交通法规，某路段限制车辆最高时速不得超过 100 千米/小时， 现有一辆运货卡车在该路段上以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米.假设汽油的价格是每升 2 元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时 14 元.（1） 求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式；（2） 当 x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.20. （10 分） (2019 高一下·邢台月考) 已知等差数列 的前 项和为 ，且，．（1） 求数列 的通项公式和前 项和 ;（2） 设是等比数列，且，求数列 的前 n 项和 ．第3页共7页一、 填空题 (共 14 题；共 15 分)1-1、参考答案2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、 13-1、 14-1、二、 解答题 (共 6 题；共 60 分)第4页共7页15-1、 15-2、 16-1、 16-2、 17-1、第5页共7页17-2、 18-1、18-2、 19-1、 19-2、20-1、第6页共7页20-2、第7页共7页。
山东省2020版高一下学期期中数学试卷(II)卷(精编)
山东省2020版高一下学期期中数学试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共14题；共28分)1. （2分） (2016高一下·安徽期末) 已知△ABC的三个内角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cosBsinAsinC=sin2B，则（）A . a，b，c成等差数列B . ，，成等比数列C . a2 ， b2 ， c2成等差数列D . a2 ， b2 ， c2成等比数列2. （2分） (2016高二上·杨浦期中) 在等比数列{an}中，若a4 ， a8是方程x2﹣3x+2=0的两根，则a6的值是（）A .B .C .D . ±23. （2分）设等差数列的前n项和是Sn ，若(,且)，则必定有（）A . Sm>0，且Sm+1<0B . Sm<0，且Sm+1>0C . Sm>0，且Sm+1>0D . Sm<0，且Sm+1<04. （2分） (2019高一下·广东期中) 设x＝，y＝，z＝－，则x，y，z的大小关系是（）A . x＞y＞zB . z＞x＞yC . y＞z＞xD . x＞z＞y5. （2分） (2019高一下·柳江期末) 设，，若是与的等比中项，则的最小值为（）A . 2B .C . 3D .6. （2分）等差数列｛an}的前n项和为Sn ，且S3=6,a3=0，则公差d等于（）A . -1B . 1C . -2D . 27. （2分） (2019高一下·吉林期末) 在中, , 是的内心,若,其中 ,动点p的轨迹所覆盖的面积为（）A .B .C .D .8. （2分） (2020·龙岩模拟) 设是等比数列的前n项和，且a3= ，S3= ，则（）A .B . 6C . 或6D . 或9. （2分） (2018高一上·寻乌期末) 已知在斜二测画法下的平面直观图是边长为的正三角形，那么在原的面积为（）A .B .C .D .10. （2分）右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高二上·嘉兴月考) 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .12. （2分） (2015高一下·广安期中) 已知数列2008，2009，1，﹣2008，﹣2009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2016项之和S2016等于（）A . 1B . 2 010C . 4 018D . 013. （2分） (2017高一下·长春期末) 以下列函数中，最小值为的是（）A .B .C .D .14. （2分） (2017高一下·温州期末) 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且（2b﹣ c）cosA= acosC，则角A的大小为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)15. （1分）(2020高二上·舒城开学考) 若数列是正项数列，且，则 ________．16. （1分）(2018高二上·江苏月考) 已知椭圆左右焦点分别是，点是直线上的动点，若点在椭圆上，则椭圆的离心率的最大值为________.17. （1分）(2019·贵州模拟) 已知为等差数列的前项和，已知， .若，，成等比数列，则 ________．18. （1分） (2017高三上·赣州期末) 已知数列{an}的前n项和Sn ，若an+1+（﹣1）nan=n，则S40=________．三、解答题 (共5题；共40分)19. （10分）(2019高一上·丹东月考) ，非空集合，集合．（1）时，求；（2）若是的必要条件，求实数的取值范围．20. （10分）(2020·江西模拟) 在中，角，，的对边分别为，，，且.（1）求的取值范围；（2）若，求的值.21. （5分）如图是一个奖杯三视图，试根据奖杯三视图计算它的表面积与体积．（尺寸单位：cm，取，结果精确到整数）22. （5分）(2017·临汾模拟) 已知数列{an}和{bn}满足a1=2，b1=1，an+1=2an（n∈N*），b1+ b2+ b3+…+ bn=bn+1﹣1（n∈N*）（Ⅰ）求an与bn；（Ⅱ）记数列{anbn}的前n项和为Tn ，求Tn ．23. （10分） (2016高一下·广州期中) 已知等差数列{an}的公差不为零，a1=25，且a1 ， a11 ， a13成等比数列．（1）求{an}的通项公式；（2）求a1+a4+a7+…+a3n﹣2 ．参考答案一、选择题 (共14题；共28分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、填空题 (共4题；共4分)15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共5题；共40分) 19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、23-1、23-2、第11 页共11 页。
山东省2020年高一下学期期中数学试卷 (II)卷
山东省2020年高一下学期期中数学试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·茂名模拟) 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为（）A . 6 斤B . 9 斤C . 9.5斤D . 12 斤2. （2分） (2020高一下·红桥期中) 已知向量，，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高一下·广东期中) 在中，，，，则（）A . 5B . 8C .D .4. （2分） (2016高二上·郴州期中) 在等比数列{an}中，a2 ， a6是方程x2﹣34x+64=0的两根，则a4等于（）A . 8B . ﹣8C . ±8D . 以上都不对5. （2分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象上相邻两个最高点的距离为π．若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称．则函数P的解析式为（）A . f（x）=2sin（x+）B . f（x）=2sin（x+）C . f（x）=2sin（2x+）D . f（x）=2sin（2x+）6. （2分）在△ABC中，如果a＝18，b＝24，A＝，则此三角形解的情况为（）.A . 一解B . 两解C . 无解D . 不确定7. （2分） (2019高一上·南通月考) 已知正方形ABCD的边长为1，，则（）.A . 0B . 3C .D .8. （2分）(2017·安徽模拟) 数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn ，已知 =1，且a1= ，则tanSn的取值集合是（）A . {0， }B . {0，， }C . {0，，﹣ }D . {0，，﹣ }9. （2分）若3cos（﹣θ）+cos（π+θ）=0，则cos2θ的值为（）A .B . ﹣C .D . ﹣10. （2分）(2017·泉州模拟) 函数的图象大致是（）A .B .C .D .11. （2分）(2018·永州模拟) 若曲线和上分别存在点和点，使得是以原点为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在轴上，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分）数列的通项公式，则数列的前10项和为（）A .B .C .D .二、填空题： (共4题；共5分)13. （1分） (2018高三上·昭通期末) ，若，则x=________14. （2分） (2020高一上·金华期末) 已知函数，则 ________;若，则 ________.15. （1分）在等差数列中，若a1=5，a3=4，则a4=________．16. （1分）如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥AB，|BC|= |BD|，|AD|=1，则|AC|=________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）(2018高二下·鸡西期末) 设的内角的对边分别为且.（1）求角的大小;（2）若 ,求的值.18. （10分） (2017高三上·南充期末) 已知，其中A，B，C是△ABC 的内角．（1）当时，求的值；（2）若，当取最大值是，求B的大小及BC边的长．19. （10分） (2016高二下·松原开学考) 在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，．（1）若△ABC的面积等于，求a，b；（2）若sinB=2sinA，求△ABC的面积．20. （10分） (2019高二上·济南月考) 等差数列的各项均为正数， ,前n项和为．等比数列中，，且 , ．（1）求数列与的通项公式；（2）求．21. （10分） (2020高三上·如皋月考) 某沿海特区为了缓解建设用地不足的矛盾，决定进行围海造陆以增加陆地面积.如图，两海岸线，所成角为，现欲在海岸线，上分别取点，修建海堤，以便围成三角形陆地，已知海堤长为6千米.（1）如何选择，的位置，使得的面积最大；（2）若需要进一步扩大围海造陆工程，在海堤的另一侧选取点，修建海堤，围成四边形陆地.当海堤与的长度之和为10千米时，求四边形面积的最大值.22. （10分）在数列中，（1）若，，求数列的通向公式；（2）若，，证明：。
山东省2020学年高一下学期期中考试数学试题
高一下学期阶段质量检测二高一数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数数列{}n a 的通项公式n a n 23-=，则它的公差为（ ）.A -2 .B 3 C 2 D 3- 2．若0tan >α，则A ．0sin >α B. 0cos >α C. 02sin >α D. 02cos >α 3．数列{}n a 满足111,3()n n a a a n N ++==-∈，则5a 等于 A ．27B ．-81C ．81 D-27．4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，486=S ，则{}n a 的公差为 A ．1B ．2C ．4D ．85．设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） （A ）21n n S a =- （B ）32n n S a =- （C ）43n n S a =- （D ）32n n S a =- 6．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知，，，则b=（A ）3（B ）（C ）2（D ）7．将函数y =2sin (2x +6π)的图像向右平移41个周期后，所得图像对应的函数为（A ）y =2sin(2x +4π)（B ）y =2sin(2x +3π)（C ）y =2sin(2x –3π)（D ）y =2sin(2x –4π)8．已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ） ()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -79．设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=10．已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是（ ）()A 15[,]24 ()B 13[,]24 ()C 1(0,]2()D (0,2]11．数列{a n }满足a n+2a n =2a n+1(n ∈N *),且a 1=1,a 2=2,则数列{a n }的前2018项的乘积为()(A)22016 (B)22017 (C)22014 (D)2201512．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积数列”．若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2019积数列”，且a 1＞1，则当其前n 项的乘积取最大值时n 的值为（） A ．1010B ．1009C ．1009或1010D ．1008或1009第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在数列{a n }中， a 1=2,a n+1=2a n , S n 为{a n }的前n 项和。
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15. 一扇形的圆心角为 60°，半径为 R，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为______ 16. 已知函数 f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ
＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，
△EFG（点 G 是图象的最高点）是边长为 2 的等边
三角形，则 ω=______，f（ ）=______．
期中数学试卷
题号 得分
一
二
三
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. sin（- 已知
，则 cos2α=（ ）
A.
B. 1
C.
D.
3. 若
A. 7
，且 α 为第二象限角，则
B.
C. -7
D.
4. 函数 f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，|φ|＜ ）的部分图象如 图所示，则函数 f（x）的解析式为（ ）
平移 个单位长度．
（1）求函数 f（x）的解析式，并求其图象的对称轴方程 （2）已知关于 x 的方程 f（x）+g（x）=m 在[0，π）内有两个不同的解 α，β． ①求实数 m 的取值范围；
②证明：
．
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1.【答案】D
答案和解析
【解析】解：sin（- ）=-sin（4π- ）=sin = ．
总分 =（ ）
A. f（x）=sin（2x- ）
B. f（x）=sin（2x+ ）
C. f（x）=sin（4x+ ）
D. f（x）=sin（4x- ）
5. 已知函数 f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π），若将函数 y=f（x）的图象向左平移 个
单位后所得图象对应的函数为偶函数，则实数 φ=（ ）
命题正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. |sinα|-|cosα|＞0
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 定义运算： β=______
．若
，则
14. 已知函数 f(x)＝3sin(ωx－ )(ω>0)和 g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，
若 x∈[0， ]，则 f(x)的取值范围是________．
10. 已知函数
，如果存在实数 x0，使得对任意
的实数 x，都有 f（x0）≤f（x）≤f（x0+2019π）成立，则 ω 的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
11. 已知 sinα+ cosα= ，则 tanα=（ ）
A.
B.
C. -
D. -
12. 已知 α∈（0，π）且 sinα，cosα 是关于 x 的方程 x2-ax+a=0（a∈R）的两实根，下列
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分） 17. 已知角 α 的顶点在原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 P
（1）求
的值；
（2）求 tan2α 及 sin4α
18. 已知函数 （1）求函数 f（x）的最小正周期和最大值，并求出 f（x）取得最大值时的 x 的集 合；
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A.
B.
C.
D.
6. 设
，b＝sin 15°+cos 15°，
，则 a，b，c
的大小关系为（ ）
A. c＜b＜a
B. b＜c＜a
C. a＜b＜c
D. b＜a＜c
7. 已知 f（x）=2sin2x+2sinxcosx，则 f（x）的最小正周期和一个单调减区间分别为（
）
A. 2π，[ ， ]
B. π，[ ， ]
4.【答案】B
【解析】解：由图象得 = = ，即 T=π，
即 T=
，即 ω=2，
则函数 y=sin（2x+φ），
由五点对应法得 2× +φ= ，
∴φ= - = ，
则 f（x）=sin（2x+ ），
故选：B 根据函数的周期求出 ω，结合五点对应法求出 φ 即可． 本题主要考查三角函数解析式的求解，结合条件求出 ω 和 φ 的值是解决本题的关键．
C. 2π，[- ， ]
D. π，[- ， ]
8. 若锐角 α，β 满足（1+ tanα）（1+ tanβ）=4，则 α+β=（ ）
A.
B.
C.
D.
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9. 若函数
满足 f（α）=-2，f（β）=0，且|α-β|的最小值
为 ，则函数 f（x）的解析式为（ ）
A.
B.
C.
D.
（2）写出函数 f（x）的对称中心，并求出函数 f（x）在[-2π，2π]上的单调增区间．
19. 如图，摩天轮上一点 P 在 t 时刻距离地面高度满足 y=Asin（ωt+φ）+b，φ∈[-π，π]， 已知某摩天轮的半径为 50 米，点 O 距地面的高度为 60 米，摩天轮做匀速转动， 每 3 分钟转一圈，点 P 的起始位置在摩天轮的最低点处． （1）根据条件写出 y（米）关于 t（分钟）的解析式； （2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点 P 距离地面超过 85 米？
3.【答案】B
【解析】解：∵cos（α-β）cosβ-sin（α-β）sinβ=cos（α-β+β）=cosα=- ，
因为 α 为第二象限角，所以 sinα= ，则 tan=- ，
则
=
=
=，
故选：B． 把已知的等式利用两角差的余弦函数公式化简，求出 cosα 的值，由 α 的范围，利用同 角三角函数间的基本关系求出 sinβ 的值，进而求出 tanα 的值，然后把所求的式子利用 二倍角的正切函数公式化简后，把 tanα 的值代入即可求出值． 此题考查了两角和与差的余弦函数公式，二倍角的正切函数公式以及同角三角函数间的 基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．
故选：D． 由已知利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可求解． 本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了 转化思想，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：已知
，则 cos2α=1-2sin2α=1-2× =- ，
故选：A． 由题意利用二倍角的余弦公式，求得结果． 本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．
20. 已知函数
x）的图象的一条对称轴． （1）求 ω 的值及函数 f（x）的单调递增区间； （2）画出函数 f（x）在[0，π]的图象．
，直线 x= 是函数 f（
21. 已知
，且 cosα，cosβ 是方程
（1）求 α，β 的值； （2）求
的值
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的两实根．
22. 已知函数 f（x）的图象是由函数 g（x）=cos2x 的图象经如下变换得到：先将 g（x） 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右