【新教材】新人教A版 高中数学必修一 函数模型及其应用 课件
新人教a版高中数学必修一《函数模型的应用实例》课件 最新
人数／ 万人 1950 55196 1951 56300 1952 57482 1953 58796 1954 60266 1955 61456 1956 62828 1957 64563 1958 65994 1959 67207
(1)如果以 各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增 长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在 这一时期具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据 是否相符; （2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？
r1 , r2 ,..., r9.
由
可得1951年的人口增长率r1 ≈ 0.0200 同理可得， r2 ≈ 0.0210 , r3 ≈ 0.0229 , r4 ≈ 0.0250 , r5 ≈ 0.0197, r6 ≈ 0.0223 , r7 ≈ 0.0276 , r8 ≈ 0.0222 , r9 ≈ 0.0184 于是，1951-1959年期间，我国人口的年平均增长率为： r=(r1+ r2 + r3 + r4 + r5 +r6+ r7+ r8 + r9 ) ÷9 ≈0.0221
y0 55196
r≈0.0221
rt
(1)根据马尔萨斯人口增长模型 y y0e ，则我国
在1951-1959年期间的人口增长模型
y 55196 e
0.0221t
，t N
年份
人数／ 万人
1950 55196
1951 56300
1952 57482
1953 58796
1954 60266
0 t 1 1 t 2 2t 3 3t 4 4t 5
0 t 1 50t 2004 80(t 1) 2054 1 t 2 s 90(t 2) 2134 2 t 3 75(t 3) 2224 3 t 4 65(t 4) 2299 4 t 5
函数模型的应用-(新教材)人教A版高中数学必修第一册上课课件
函数模型的应用-【新教材】人教A版 高中数 学必修 第一册 优秀课 件-PPT 函数模型的应用-【新教材】人教A版 高中数 学必修 第一册 优秀课 件-PPT
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人教A版高中数学必修1课件：3-2-1函数模型及其应用
题型二
二次函数模型
例2 将进货单价为8元的商品按10元一个销售时，一天可 卖出100个.若这种商品的销售单价每涨1元，日销售量应减少10 个，为了获得最大利润，此商品的销售单价应定为多少元？
【思路】 这类问题要紧扣一个数学等量关系 利润＝（销售价－成本价）×销售个数 【解析】 设销售单价定为x 元，则日销售量减少(x－ 10)×10个，那么，日销售个数就成了100－(x－10)×10＝200－ 10x个.
【思路】 分析题意，判断利润y(元)和买进报纸的份数x的 关系的类型.(一次函数)用函数模型描述这个实际问题，再利用 函数解决有关问题.
【解析】 设每天从报社买进x份(250≤x≤400) 报纸；每月 所获利润是y元，则每月售出报纸共(20x＋100.40－0.24)×(20x＋10×250)－(0.24－0.08)× 10(x－250). 即y＝0.16(20x＋2 500)－0.16(10x－2 500)， 化简得y＝1.6x＋800，(其中250≤ x≤400).
【解析】 设年平均增长率为x，则255(1＋x)20＝1 020. 得x＝ 10 2－1. 10 2)30＝2 040(美元).
探究1 有关比率、百分率的问题，可依次考查各年、月、 日等的情况，寻找出指数与年数的规律，即可建立y＝a(1＋p)x 型的函数，上式可作为公式(一般称为复利公式)使用，它的应用 非常广泛，可以计算货币本利、工业产值、人口数量等，视为 增长率时，p>0，表示递减或折旧率等时，p<0.
思考题3 1980年，我国人均收入255美元，到2000年人 民生活达到小康水平，即人均收入达到1 020美元，则年平均增 长率是多少？若按此增长率递增，则到2010年人均收入至少是 多少美元？
新人教A必修1数学教学课件：函数模型及其应用
—、实例分析投资回报和选择奖励模型两个实例，让学生对直线上升、指数爆炸与对数增长有一个感性的认识，初步发现当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快（底数。
＞0）例1.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前—天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？问仁在例1中，涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？问2：根据例1表格中所提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识? 问3：你能借助计算器做出函数图象，并通过图象描述一下三个方案的特点吗?问4：由以上的分析，你认为应当如何做出选择?分析：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据.解：设第兀天所得回报是y元，则方案一可以用函数尸40（用甘）进行描述；方案二可以用函数y=10x（xeM）进行描述；方案三可以用函数y二0. 4X2-1（兀WN*）进行描述. 三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是递增函数模型•要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析.我们先用计算器或计算机计算一下三种方案所得回报的增长情况（表3-4） o再作出三个函数的图象（图3.2-1） o 140-= 0.4x2x"1 120100 80 60 40 20 ~0y m = 10%•-* •- •- •-/—•- ——•»y = 40 2 4 6 10 12 *由表3-4和图3.2T可知，方案一的函数是常数函数, 方案二、方案三的函数都是增方.可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的变，而方案三是成倍增加的, 从第7天开始，方案三比其得种增长速度是方案一、方案二所无法企及的.从每天所得回报看，在第1〜3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多, 方案三最少；在第5〜8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.下面再看累计的回报数，通过计算器或计算机列表如下:因此，投资1〜6天，应选择方案―；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8〜10天，应选择方案二；投资门天（含门天）以上，则应选择方案三.例2.某公司为了实现WOO万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%•现有三个奖励模型：y=0. 25兀,y= Iog7x+1, y=1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求？问仁例2涉及了哪几类函数模型？本例的本质是什么？问2：你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？问3：通过对三个函数模型增长差异的比较，你能写出例2的解答吗?分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%,由于公司的总的利润目标为1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润•于是，只需在区间[10, 1000]±,检验三个模型是否符合公司要求即可.不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果.解：借助计算器或计算机作出函数y=0.25x, y=log7x+1, y=1.002^的图象（图3. 2-2）观察图象发现，在区间［10, 1000］上，模型y二0. 25兀，yT. 002*的图象都有一部分在直线丁二5的上方，只有模型尸log：计的图象始终在尸5的下方, 这说明只有按模型y二I og7x+1进行奖励时才符合公司的要求.下面通过计算确认上述判断.首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万.对于模型y二0.25兀，它在区间［10, 1000］上递增, 而且当x二20时,y=5,因此，当兀>20时,y>5,所以该模型不符合要求；对于模型yT.002",由函数图象，并利用计算器，可知在区间(805, 806)内有一个点必满足1.002x° = 5,由于它在区间［10, 1000］上递当x>Xo时，y>5，所以该模型也不符合要求;对于模^y=log7x+1,它在区间［10,1000］上递增，而兀=1000时，y=log71000+1^4. 55<5,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.再计算按模型y二I og7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%,即当xe ［10, 1000］时，是否有# =些些0・25成立.vf （x） = I og7x+1 -0. 25x, [10, 1000].利用计算器或计算机作出函数fh）的图象（图3.2-3）由图象可知它是递减的，因此f(x) </(10)^-0. 3167<0即I og7x+1 <0. 25兀.所以当xe [10, 1000]时，叱兀 +1 < 0.25.X说明按模^y=log7x+1奖励，奖金不会超过利润的25%. 综上所述，模SLy= I og7x+1确实能符合公司要求.课堂小结通过师生交流进行小结:确定函数的模型——利用数据表格、函数图象讨论模型——体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.新课1.通过图、表比较尸珂）=2龙两个函数的增长速度.利用计算器或计算机，先列出自变量与函数值的对应值表（表1）•再在同一平面直角坐标系内画出这两个函数的图象（图1）从表1和图1可以看到，y=2*和丁=兀2的图象有两个交点，这表明2*与W在自变量不同的区间内有不同的大小关系,有时2x>x2,有时2x<x2.利用计算器或计算机，先列出自变量与函数值的对应值表（表2）.再在同一平面直角坐标系内从表2和图2可以看出，当自变量兀越来越大时, 尸2啲图象就像与%轴垂直一样，2长，兀2比起0来，几乎有些微不足道.2.探究〉=昭，y二log?/两个函数的增长速度.利用计算器或计算机，先列出自变量与函数值的对应值表（表3）.再在同一平面直角坐标系内画出这两个函数的图象（图3）: /8-/611■\ 4■ /"/J=l OgQ\2w1 1 1■3 -2-10| 2 3 4 x，心,y= | og2X的增长差异在区间（0,+8）上，总Wx2>log2x；当兀>4时，总有2〉W.所以当兀>4时9总有2x>x2> I og2x.4.—般的，在区间(0, +oo) ±,尽管函数y=a x(a>1),)=log,a>1)和)=対(斤>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个'档次'上，随着兀的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于〉=0S>O)的增长速度, 而)=log/(d>1)的增长速度则会越来越慢. 因此，总会存在一个勺，当兀>勺时，就有I og CI x<x n<a x.—= X ,y = log 1 X 这二个具体的 j2丿 2函数的衰减情况，探= ^'(0 <a<l\y = x f \n <0), y = log “ x(0<a< 1)在区间(0,+oo)上的衰减情况•探究:通过研憩=利用计算器或计算机，先列出自变量与函数值的对应值表（表4）.再在同一平面直角坐标系内2从表4和图4可以看到，在区间(0, +8)上，存在一个兀°,当兀＞“时，-1 fiVV = x 2 > —(2丿总有>log x X2最后探尬=a' (0 <a< l),y = x'1(n <Q\y = log f/ x(0 <a< l) 在区间(0,+8)上的衰减情况.在区间(0,+oo) ±,总存在一个勺,当兀>勺时，总有x n>a x> I og t/x (nvO, Ovdvl).复习导入问：对幕函数、指数函数、对数函数, 么不同？你是否注意到函数变化的速度有什。
高中数学 人教A版必修一 3.2 函数的模型及应用 课件新
答案
一般地，设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题 的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立 函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所 谓建立数学模型.
知识点二 三种常见函数模型 比较三种函数模型的性质，填写下表.
函数 性质 在(0，＋∞)上的 增减性
[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)解决某一实际问题的函数模型是唯一的．( ) (2)对于一个实际问题，收集到的数据越多，建立的 函数模型的模拟效果越好．( ) (3)根据收集到的数据作出散点图，结合已知的函数 选择适当的函数模型，这样得到的函数模型的模拟效果较 好．( )
解析：由题意有11＝.5＝0.50a.2＋5ab＋，b，解得ab＝ ＝－2，2， 所以 y＝－2×0.5x＋2. 所以 3 月份产量为 y＝－2×0.53＋2＝1.75 万件． 答案：1.75
类型 1 图表信息迁移题(自主研析) [典例 1] (1)某公司市场营销人员的个人月收入与其 每月的销售量成一次函数关系，其图象如下图所示，由图 中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是 ()
x(h)
0
1
2
3
细菌数
300
600
1 200
2 400
据此表可推测实验开始前2 h的细菌数为( A )
A.75
B.100
C.150
D.200
答案
3．2.2 函数模型的应用实例
[学习目标] 1.会利用已知函数模型解决实际问题 (重点)． 2.通过对数据的合理分析，能自己建立函数模 型解决实际问题(重点、难点)．
解：由题意，知将产量随时间变化的离散量分别抽 象为 A(1，1)，B(2，1.2)，C(3，1.3)，D(4，1.37)这 4 个 数据．
新人教A版必修一函数模型的应用课件(21张)
题型一
题型二
题型三
已知函数模型的应用题
【例1】 灌满开水的热水瓶放在室内,如果瓶内开水原来的温度
是θ1 ℃,室内气温是θ0 ℃,t min后,开水的温度可由公式θ=θ0+(θ1θ0)e-kt求得,这里k是一个与热水瓶类型有关的正的常量.现有一只某
种类型的热水瓶,测得瓶内水温为100 ℃,过1 h后又测得瓶内水温
∴2=
e2 ; ∴k=2ln
2,∴y=e2tln 2=22t.
∴当t=5时,y=22×5=1 024.
答案:2ln 2
1 024
题型一
题型二
题型三
建立函数模型的应用题
【例2】 某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是
M(单位:亿元)和N(单位:亿元),它们与投资额t(单位:亿元)的关系有
1
数问题,即实际问题函数化;
第三步:运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题,得出函
数问题的解;
第四步:将所得函数问题的解还原成实际问题的结论,要注意检
验所得的结论是否符合实际问题的意义.
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.记
鲑鱼的游速为v(单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为Q,研究中发现
− 2 log3 100
= 1.
1
∴ 2 log3 2 = 1, ∴ 2 = 9, 即Q2=9Q1.
1
1
故鲑鱼要想把游速提高1 m/s,其耗氧量单位数应变为原来的9倍.
题型一
题型二
题型三
易混易错题
易错点 求函数最值时忽略了实际情况对函数定义域的限制
高中数学必修第一册人教A版4.5.3函数模型的应用课件
2.分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的
并集.
3.分段函数的值域求法:逐段求函数值的范围,最后比
较再下结论.
[跟踪训练二]
1.甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统
计规律:每生产产品x(单位:百台),其总成本为G(x)(单位:万元),其
由题意知
1
1
1
2
1
v2-v1=1,即2log3100 − 2log3100
=1.
∴2log3 2 =1,∴ 2=9,即 Q2=9Q1.
1
1
故鲑鱼要想把游速提高1 m/s,其耗氧量单位数应变为本来的9倍.
函数关系式;
②求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/
箱)之间的函数关系式;
③当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大
利润是多少?
解:①根据题意,得y=90-3(x-50),
化简,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).
②因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱
销售利润.
所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9 600(50≤x≤55,x∈N).
③因为w=-3x2+360x-9 600=-3(x-60)2+1 200,所以当x<60时,w随x的
增大而增大.
又50≤x≤55,x∈N,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1 125.
所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润
为1 125元.
解题方法（一次、二次函数模型的应用）
1.一次函数模型的应用
函数的应用一【新教材】人教A版高中数学必修第一册优秀课件
[解析] (1)依题意得，利润函数 G(x)＝(5x－21x2)－(0.5＋0.25x)＝－12 x2＋4.75x－0.5(0≤x≤5)．
(2)利润函数 G(x)＝－21x2＋4.75x－0.5(0≤x≤5)，当 x＝4.75 时，G(x) 有最大值．故当年产量为 4.75 百台时，企业所得利润最大．
• [归纳提升] 建立一次函数模型，常设为y＝kx＋b(k≠0)，然后用待定系 数法求出k，b的值，再根据单调性求最值，或利用方程、不等式思想解 题．
3函.4数函的数应的用应一用【(一 新)教-【 材新 】人教教材】 A版人高教中A 数版学（必20 修19第）一高 册中优数秀学 必pp修t课第件一册课 件(共4 6张PPT )
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3.4函数的应用(一)-【新教材】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共4 6张PPT )
•知识点3 幂函数型模型 • (1)解析式：y＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1)． • (2)单调性：其增长情况由xα中的α的取值而定．
题型探究 题型一 一次函数模型 • 的价格例是1每份某0家.5报0元刊，销卖售不点掉从的报报社纸买还进可报以纸以的每价份格0是.08每元份的0价.35格元退，回卖报出
社．在一个月(30天)里有20天每天可以卖出报纸400份，其余10天每天只 能卖出250份．若每天从报社买进报纸的数量相同，则每天应该从报社 买进多少份报纸，才能使每月所获得的利润最大？最大利润为多少元？
人教A版高中数学必修第一册数学建模 建立函数模型解决实际问题【课件】
上述过程可以概括为:
3.数学建模活动的要求
(1)组建合作团队:数学建模活动需要团队协作.首先在班级中
组成3~5人的研究小组,每位同学参加其中一个小组.在小组
内,要确定一个课题负责人,使每位成员都有明确的分工;然后
拟定研究课题、确定研究方案、规划研究步骤、编制研究手
册,最后在班里进行一次开题报告.
算得y≈63.98,因为78÷63.98≈1.22>1.2,所以这个男性体型偏胖.
【典例2】 个体经营者把开始六个月试销A,B两种商品的逐
月投资与所获纯利润列成下表:
投资 A 种商品金额/万元
获纯利润/万元
投资 B 种商品金额/万元
获纯利润/万元
1
0.65
1
0.25
2
1.39
2
0.49
3
1.85
3
(2)开展研究活动:根据开题报告所规划的研究步骤,通过背景
分析、收集数据、数据分析、数学建模、获得结论等过程,
完成课题研究.在研究过程中,可以借助信息技术解决问题.
(3)撰写研究报告:以小组为单位,撰写一份研究报告.
(4)交流展示:①对同一个课题,先由3~4个小组进行小组交流,
每个小组都展示自己的研究成果,相互借鉴、取长补短.在小
们选择函数模型.
以身高x为横坐标,体重y为纵坐标,
画出用y=a·bx作为刻画这个地
区未成年男性的体重与身高关系的函数模型.
建立模型 设函数的解析式为 y=a·bx(a>0,b>0,b≠1).
不妨取其中的两组数据(70,7.90),(160,47.25)代入 y=a·bx,
气最少,最少是多少?
分析数据 烧开一壶水所需的燃气量与燃气灶旋钮角度有关,
人教A版高中数学必修第一册第三章函数的应用课件
/人A数学/ 必修 第一册
二次函数模型 二次函数的解析式有三种： 一般式：__f(_x_)＝__a_x_2_＋__b_x_＋__c_(a_≠__0_)_． 顶点式： __f(_x_)_＝__a_(x_－__h_)_2_＋__k(_a_≠__0_) ． 交点式： _f_(x_)_＝__a_(_x_－__x1_)_(x_－__x_2_)_(a_≠__0_)．
(1)分别写出两类产品的收益与投资额x的函数关系式； (2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能 使投资获得最大收益？最大收益是多少万元？ 分析：将已知条件转化为数学语言，建立数学模型，再用待定系数法 求解．
/人A数学/ 必修 第一册
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[解] (1)设稳健型与风险型产品的收益与投资额 x 的函数关系式分别为 f(x)＝k1x(x≥0，k1≠0)， g(x)＝k2 x(x≥0，k2≠0)，结合已知得 f(1)＝18＝k1，g(1)＝12＝k2， 所以 f(x)＝18x(x≥0)，g(x)＝12 x(x≥0).
幂函数模型 幂函数的解析式为 f(x)＝xα ． [例3] 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等 稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与 投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为 0.125万元和0.5万元．
/人A数学/ 必修 第一册
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当 x＝4.75 时，G(x)有最大值，G(x)max≈10.78 万元； 当 x>5 时，G(x)max<12－0.25×5＝10.75(万元). 所以当年产量为 475 台时，企业所得利润最大．
/人A数学/ 必修 第一册
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人教A版数学必修一函数模型及其应用
灿若寒星整理制作
函数模型的应用实例
例3：一辆汽车在某段路程中的行驶速 度与时间的关系如图：
(一)求图中阴影部分的面积， 并说明所求面积的实际含义。
y
90
90
80
80
75
70
65
60 50 50
40
30
20
10
x
123 45
（2）假设这辆汽车的里程表在行驶这段
路程前的读数为2004km，试建立汽车行
(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖, 低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为175cm,体重 为78kg的在校男生的体重是否正常?
函数应用的基本过程
1、收集数据； 2、作出散点图； 3、通过观察图象判断问题所适用的函数 模型； 4、用计算器或计算机的数据拟合功能得 出具体的函数解析式； 5、用得到的函数模型解决相应的问题。
驶这段路程时汽车里程表读数skm与时
间th的函数y解析式，并作出相应的图像。
90 80 70 60 50
40 30 20
10
x
t1t 2 3 4 5
y
2400
.
2300 220000 .
x
123 45
例4：人口问题是当今世界各国普遍关注 的问题。认识人口数量的变化规律，可以 为有效控制人口增长提供依据。早在1798 年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然 状态下的人口增长模型：
y y0ert
其中t表示经过的时间，y表0 示t=0时的人
口数，r表示人口的年平均增长率。
下面是1950~1959年我国的人口数据资料：
19501951 19521953195419551956195719581959
新人教A版高中数学必修一课件：3.4函数的应用(一)
巩固训练2 某市为创建全国卫生城市，引入某公司的智能垃圾处理
设备．已知每台设备每月固定维护成本5万元，每处理一万吨垃圾需
增加1万元维护费用，每月处理垃圾带来的总收益g(x)万元与每月垃圾
2 + 33x − 100，0 ≤ x ≤ 10
−2x
处理量x(万吨)满足关系：g(x)＝ቊ
(注：
35，x＞10
最大、用料最省等最值问题．
批注❷ 建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界，即明确自
变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析
式．
基 础 自 测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)一个好的函数模型，既能与现有数据高度符合，又能很好地推演
和预测．( √ )
(2)解决某一实际问题的函数模型是唯一的．( × )
)
A. 45.606万元
B．45.6万元
C. 45.56万元
D．45.51万元
答案：B
解析：依题意可设甲销售x辆，则乙销售(15－x)辆，总利润S＝L1＋L2，则总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－
x)＝−0.15x 2 ＋3.06x＋30＝－0.15(x－10.2)2 ＋0.15×10.22 ＋30(0≤x≤15且x∈N)，所以当x＝10时，Smax ＝
(1)写出函数解析式(可带参数)；
(2)假设气体在半径为3 cm的管道中的流量为400 cm3/s，求该气体通
过半径为r cm的管道时，其流量R的表达式．
(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量(结
果保留整数)．
方法归纳
解幂函数模型应用题的步骤
巩固训练3 某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入
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单调_递__增_
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大 逐渐表现为 与_y__轴__平行
随x的增大 逐渐表现为 与_x__轴__平行
随n值变化 而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax
3．解函数应用问题的4步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系， 初步选择函数模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化 为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型； (3)解模：求解函数模型，得出数学结论； (4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题． 以上过程用框图)一根蜡烛长 20 cm，点燃后每小时燃烧 5 cm，燃
烧时剩下的高度 h(cm)与燃烧时间 t(h)的函数关系用图象表示为
图中的
()
答案：B 2．已知某种动物繁殖量 y(只)与时间 x(年)的关系为 y＝alog3(x
＋1)，设这种动物第 2 年有 100 只，到第 8 年它们发展到 ________只．
如图所示抛物线的一段．已知跳水板AB长为2 m，跳水板距水面CD的高BC为3 m．为安全 和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳
点A处水平距h m(h≥1)时达到距水面最大高度 4 m，规定：以CD为横轴，BC为纵轴建立直 角坐标系． (1)当h＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程； (2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效 果，求此时h的取值范围． 解：由题意，最高点为(2＋h,4)，(h≥1)．设抛物线方程为y＝ a[x－(2＋h)]2＋4．
1．几类函数模型
函数模型 一次函数模型
反比例函 数模型
函数解析式 f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0) f(x)＝kx＋b(k，b 为常数且 k≠0)
2.三种函数模型的性质
函数 性质
y＝ax (a>1)
y＝logax (a>1)
y＝xn (n>0)
在(0，＋∞) 上的增减性
单调_递__增_
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答案：200
1．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以要正确理解 题意，选择适当的函数模型．
2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数 的定义域．
3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结 果对实际问题的合理性．
考点一 二次函数模型 [典例引领]
某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为