平移典型例题练习
一次函数图象平移的三种类型
一次函数图象平移的三种类型
求一次函数图象平移后的解析式是一类重要题型，在各省市中考试题频繁亮相.在一次函数y kx b =+中常数k 决定着直线的倾斜程度：直线111y k x b =+与直线222y k x b =+平行⇔12k k =.
一、一次函数平移的三种方式：
⑴上下平移：在这种平移中，横坐标不变，改变的是纵坐标也就是函数值y .平移规律是上加下减.
⑵左右平移：在这种平移中，纵坐标不变，改变的是横坐标也就是自变量x .平移规律是左加右减.
⑶沿某条直线平移：这类题目稍有难度.“沿”的含义是一次函数图象在平移的过程中与沿着的那条直线的夹角不变.解题时抓住平移前后关键点坐标的变化.
二、典型例题：
（1）点(0,1)向下平移2个单位后的坐标是 ___，直线21y x =+向下平移2个
x。
四年级数学下册典型例题系列之第一单元：平移、旋转和轴对称的综合作图专项练习(解析版)苏教版
2021-2022学年四年级数学下册典型例题系列之第一单元：平移、旋转和轴对称的综合作图专项练习（解析版）1．（1）把下图中的梯形绕A点顺时针旋转90°（2）画出下图中第二个图形的另一半，使它成为一个轴对称图形。
【解析】2．（1）请在图中将平行四边形先向右平移3格，再向上平移4格。
（2）请在图中将长方形绕A点顺时针旋转90°。
【解析】3．按要求作图。
（1）在方格纸中把三角形绕点A顺时针旋转90°得到图形B。
（2）把原图向右平移5格，得到图形C。
【解析】4．按要求画一画。
（1）画出六边形向右平移4格后的图形。
（2）画出箭头的另一半，使它成为轴对称图形。
（3）将梯形绕A点顺时针旋转90°。
【解析】5．（1）将左边的小旗绕点O逆时针旋转90º；（2）将中间的平行四边形先向上平移5格，再向右平移3格；（3）画出右边图形的另一半，使它成为轴对称图形。
【解析】6．（1）把平行四边形向左平移6格，画出平移后的图形。
（2）将三角形围绕点O逆时针旋转90 ，画出旋转后的图形。
（3）画出图形3的另一半，使它成为一个轴对称图形。
【解析】（1）把平行四边形向左平移6格，（如图）；（2）将三角形围绕点O逆时针旋转90°（如图）；（3）画出图形3的另一半，（如图）；7．按要求画图。
（1）图①绕A点顺时针旋转90度。
（2）图②以虚线为对称轴，画出另一半。
（3）图③向上平移4格。
【解析】（1）图①绕A点顺时针旋转90度，如图；（2）图②以虚线为对称轴，画出另一半，如图；（3）图③向上平移4格，如图；8．按要求在方格纸上画一画。
①把三角形先向右平移8格，再向上平移3格。
②把长方形绕点A逆时针旋转90°。
③把最右边的图形补全，使它成为轴对称图形。
【解析】9．操作。
（1）画出中间图形的另一半，使它成为一个轴对称图形。
（2）画出梯形绕点A逆时针旋转90°后的图形。
三角函数的平移变换
函数)sin(A ϕω+=x y 的图像1、函数sin()y A x ωϕ=+的图像与sin y x =图像间的关系：① 函数sin y x =的图像纵坐标不变，横坐标向左（ϕ>0）或向右（ϕ<0）平移||ϕ个单位得()sin y x ϕ=+的图像；② 函数()sin y x ϕ=+图像的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω，得到函数()sin y x ωϕ=+的图像；③ 函数()s i n y x ωϕ=+图像的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到函数sin()y A x ωϕ=+的图像；要特别注意，若由()sin y x ω=得到()sin y x ωϕ=+的图像，则向左或向右平移应平移||ϕω个单位。
2、函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤如下：【典型例题】例1将函数)3sin(2π+=x y 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的21（纵坐标不变）， 所得图象对应的表达式为A ．)321sin(2π+=x y B ．)621sin(2π+=x yC ．)32sin(2π+=x yD ．)322sin(2π+=x y 例2、110610. 将函数)32cos(4π-=x y 的图像向右平移6π个单位，所得图像的解析式是（A ）)62cos(4π-=x y （B ）)322cos(4π-=x y （C ）x y 2cos 4= （D ）x y 2sin 4=例3、080606.为了得到函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 2y x =的图象（ ） A ． 向左平移3π个单位长度B ． 向右平移3π个单位长度C ． 向左平移6π个单位长度D ． 向右平移6π个单位长度试题分析：因为sin 2sin 236y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以只需将函数sin 2y x =的图像向右平移6π各单位即可得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；故D 正确.【会考真题】1、101213.为得到函数)42sin(π+=x y 的图像，只须将函数x y 2sin =上所有点（ ）（A ）向右平移4π个单位 （B ）向左平移4π个单位 （C ）向右平移8π个单位 （D ）向左平移8π个单位2、060615：要得到函数cos(2),3y x x R π=+∈的图像，只需把曲线cos 2y x =上所有的点（ ）（A ）向左平行移动3π个单位长度 （B ）向右平行移动3π个单位长度 （C ）向左平行移动6π个单位长度 （D ）向右平行移动6π个单位长度例4 、将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（A ） （B ）（C ） （D ） 解析：将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为y ＝sin (x －) 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是.【答案】C1、100113：把函数3sin y x =的图像上每个点的横坐标伸长到到原来的两倍（纵坐标保持不变），然后再将整个图像向左平移3π个单位，所得图像的函数解析式是（ ）（A ）3sin(2)6y x π=-（B ）13sin()26y x π=+ （C ）3sin(2)3y x π=- （D ）13sin()23y x π=+2、070614或090113：将函数sin()()3y x x R π=-∈的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到的图像向左平移3π个单位长度，则得到的图像的函数解析式是（ ）（A ）1sin2y x = （B ）1sin()23y x π=- （C ）sin(2)6y x π=- （D ）1sin()26y x π=-sin y x =10πsin(2)10y x π=-sin(2)5y x π=-1sin()210y x π=-1sin()220y x π=-sin y x =10π10π1sin()210y x π=-3、090614：把函数sin(2),4y x x R π=+∈的图像向右平移8π个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标缩短到到原来的12倍（纵坐标不变），则所得图像对应的函数解析式为（ ） （A ）cos(4)8y x π=+（B ）sin(4)8y x π=+ （C ）cos 4y x = （D ）sin 4y x =例5、为得到函数y ＝cos(2x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象( )A ．向左平移5π12个单位长度B ．向右平移5π12个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度解析 y ＝cos(2x ＋π3)＝sin[π2＋(2x ＋π3)]＝sin(2x ＋5π6)．故要得到y ＝sin(2x ＋5π6)＝sin2(x ＋5π12)的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象向左平移5π12个单位长度．。
12平移与旋转--知识讲解及其练习 含答案
平移与旋转--知识讲解【学习目标】1.理解平移、旋转的基本概念，掌握平移、旋转的基本特征，并能利用平移与旋转的性质进行证明有关问题；2.知道一个图形进行平移后所得的图形与原图形之间所具有的联系和性质，能用平移变换有关知识说明一些简单问题及进行图形设计；理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；3.能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，并能利用旋转进行简单的图案设计.【要点梳理】要点一、平移1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．要点诠释：（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.2. 性质：图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说：（1）平移后，对应线段平行（或共线）且相等；（2）平移后，对应角相等；（3）平移后，对应点所连线段平行（或共线）且相等；（4）平移后，新图形与原图形的形状与大小不变.要点诠释：（1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离．(2)要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的.3. 作图：平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连．(1)定：确定平移的方向和距离；(2)找：找出表示图形的关键点；(3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；(4)连：按原图形顺次连接对应点．要点二、旋转的概念把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AOA′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.要点三、旋转的性质(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA=OA′）；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前、后的图形的形状与大小不变.要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.要点四、旋转的作图在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的各对应点.【典型例题】类型一、平移1．如图所示，平移△ABC，使点A移动到点A′，画出平移后的△A′B′C′．【思路点拨】平移一个图形，首先要确定它移动的方向和距离，连接AA′后这个问题便获得解决．根据平移后的图形与原来的图形的对应线段平行(或在一条直线上)且相等，容易画出所求的线段．【答案与解析】解：如图所示，（1）连接AA′，过点B作AA′的平行线l，在l上截取BB′＝AA′，则点B′就是点B的对应点．（2）用同样的方法做出点C的对应点C′，连接A′B′、B′C′、C′A′，就得到平移后的三角形A′B′C′．【总结升华】平移一个图形，首先要确定它移动的方向和距离．连接AA′，这个问题就解决了，然后分别把B、C按AA′的方向平移AA′的长度，便可得到其对应点B′、C′，这就是确定了关键点平移后的位置，依次连接A′B′，B′C′，C′A′便得到平移后的三角形A′B′C′．2．（•东台市模拟）如图，将△ABC平移到△A′B′C′的位置（点B′在AC边上），若∠B=55°，∠C=100°，则∠AB′A′的度数为______．【答案】25°【解析】∵∠B=55°，∠C=100°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣55°﹣100°=25°，∵△ABC平移得到△A′B′C′，∴AB∥A′B′，∴∠AB′A′=∠A=25°．【总结升华】图形在平移的过程有“一变两不变”、“一变”是位置的变化，“两不变”是形状和大小不变．本例中由△ABC经过平移得到△A′B′C′．则有AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，∠A＝∠A′，∠C＝∠C，∠B＝∠B′．举一反三：【变式】（•临淄区一模）如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，若△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为．【答案】20；解：∵△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，∴CF=AD=2cm，AC=DF，∵△ABC的周长为16cm，∴AB+BC+A C=16cm，∴四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD=AB+BC+AC+CF+AD=16cm+2cm+2cm=20cm．故答案为：20cm．类型二、旋转的概念及性质3.如图，把四边形AOBC绕点O旋转得到四边形DOEF.在这个旋转过程中：（1）旋转中心是谁?（2）旋转方向如何?（3）经过旋转,点A、B的对应点分别是谁？（4）图中哪个角是旋转角？（5）四边形AOBC与四边形DOEF的形状、大小有何关系？（6）AO与DO的长度有什么关系？ BO与EO呢？（7）∠AOD与∠BOE的大小有什么关系？【答案与解析】（1）旋转中心是点O；（2）旋转方向是顺时针方向；（3）点A的对应点是点D,点B的对应点是点E；(4)∠AOD和∠BOE；(5)四边形AOBC与四边形DOEF的图形全等，即形状一致，大小相等；（6）AO=DO,BO=EO；(7)∠AOD=∠BOE.【总结升华】通过具体实例认识旋转，了解旋转的概念和性质.举一反三【变式】如图所示：O为正三角形ABC的中心．你能用旋转的方法将△ABC分成面积相等的三部分吗？如果能，设计出分割方案，并画出示意图．【答案】下面给出几种解法：解法一：连接OA、OB、OC即可．如图甲所示；解法二：在AB边上任取一点D，将D分别绕点O旋转120°和240°得到D1、D2，连接OD、OD1、 OD2即得，如图乙所示．解法三：在解法二中，用相同的曲线连结OD、OD1、OD2即得如图丙所示4.如图，将图(1)中的正方形图案绕中心旋转180°后，得到的图案是( )【答案】C.【解析】抓住图形特征，观察图中的每个小的图形绕中心点旋转180°后能否与自身重合.【总结升华】在解题的过程中，可看出如果选取的基本图形不同，可得到不同的形成过程，甚至所选取的基本图形相同，也有不同的形成过程，因此分析图案的形成过程旨在了解图形的变化规律，而不必强求分析的一致性．类型三、旋转的作图5. 如图，已知△ABC与△DEF关于某一点对称，作出对称中心.【答案与解析】【总结升华】确定关于某点成中心对称的两个图形的对称中心的方法：⑴利用中心对称的性质：对称点所连线段被对称中心所平分，所以连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点即为对称中心；⑵利用中心对称的性质：对称点所连线段都经过对称中心，所以连接任意两对对称点，则这两条线段的交点即为对称中心.6.（•南宁）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．（1）画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；（2）将△ABC 绕着点B 顺时针旋转90°后得到△A 2BC 2，请在图中画出△A 2BC 2，并求出线段BC 旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．【思路点拨】（1）根据题意画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1即可；（2）根据题意画出△ABC 绕着点B 顺时针旋转90°后得到△A 2BC 2，线段BC 旋转过程中扫过的面积为扇形BCC 2的面积，求出即可． 【答案与解析】解：（1）如图所示，画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；（2）如图所示，画出△ABC 绕着点B 顺时针旋转90°后得到△A 2BC 2，由勾股定理得，BC=222+3=13，线段BC 旋转过程中所扫过得面积S=π21134⨯（）=．【总结升华】此题考查了作图﹣旋转变换，对称轴变换，以及扇形面积，作出正确的图形是解本题的关键． 举一反三【变式】如图，画出ABC ∆绕点O 逆时针旋转100︒所得到的图形．【答案】(∠AOA′=∠BOB′=∠COC′=100°)平移与旋转--巩固练习【巩固练习】一、选择题1．如图所示的图形中的小三角形可以由△ABC平移得到的有 ( )A．3个 B．4个 C．5个 D．6个2.（•株洲）如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到三角形A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC、A′B′交于点O，则∠COA′的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°3.下面生活中的物体的运动情况可以看成平移的是（）．（1）摆动的钟摆；（2）在笔直的公路上行驶的汽车；（3）随风摆动的旗帜；（4）摇动的大绳；（5）汽车玻璃上雨刷的运动；（6）从楼顶自由落下的球（球不旋转）．A．（1）（3） B．（4）（5） C．（3）（5） D．（2）（6）4.如图，4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是( )．A．点A B．点B C．点C D．点D5．如图①，在宽为20m、长为30m的矩形地面上修建两条同样宽度的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，可得耕地的面积为 ( )A．600m2 B．551m2 C．550m2 D．500m26.如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连结BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连结EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为( )A.10°B.15°C.20°D.25°二、填空题7.（春•博野县期末）图形在平移时，下列特征中不发生改变的有（把你认为正确的序号都填上），①图形的形状；②图形的位置；③线段的长度；④角的大小；⑤垂直关系；⑥平行关系．8.如图所示，△ABC经过平移得到△A′B′C′，图中△_________与△_________大小形状不变，线段AB与A′B′的位置关系是________，线段CC′与BB′的位置关系是________．9.（•吉林）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为cm．10.（春•新化县期末）钟表的分针匀速旋转一周需要60min，经过20min，分针旋转了_______度.11.如图，在等腰直角△ABC中，B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′,则等于__________度.12.如图，△ABC以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转60°，得△AB′C′，则△ABB′是______三角形.三.解答题13.如图，将四边形ABCD平移到四边形EFGH的位置，根据平移后对应点所连的线段平行且相等，写出图中平行的线段和相等的线段．14.（吉安校级期中）等边△OAB在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），将△OAB绕点O顺时针方向旋转a°（0＜a＜360）得△OA1B1．（1）求出点B的坐标；（2）当A1与B1的纵坐标相同时，求出a的值；（3）在（2）的条件下直接写出点B1的坐标．15.如图所示，在长为50m，宽为22m的长方形地面上修筑宽度都为2 m的道路，余下的部分种植花草，求种植花草部分的面积．【答案与解析】一、选择题1.【答案】C ；【解析】图中小三角形△BDE ，△CEF ，△DGH ，△EHI ，△FIJ 都可以由△ABC 平移得到．2.【答案】B ；【解析】解：∵在三角形ABC 中，∠ACB=90°，∠B=50°，∴∠A=180°﹣∠ACB ﹣∠B=40°．由旋转的性质可知：BC=B′C，∴∠B=∠BB′C=50°．又∵∠BB′C=∠A+∠ACB′=40°+∠ACB′，∴∠ACB′=10°，∴∠COA′=∠AOB′=∠OB′C +∠ACB′=∠B+∠ACB′=60°．故选B ．3．【答案】D ；【解析】（1）摆动的钟摆，方向发生改变，不属于平移；（2）在笔直的公路上行驶的汽车沿直线运动，属于平移；（3）随风摆动的旗帜，形状发生改变，不属于平移；（4）摇动的大绳，方向发生改变，不属于平移；（5）汽车玻璃上雨刷的运动，方向发生改变，不属于平移；（6）从楼顶自由落下的球沿直线运动，属于平移．∴可以看成平移的是（2）（6）．故选D.4．【答案】B ；【解析】连接对应点111,,PP MM NN ,做三条线段的垂直平分线，交点即是旋转中心.5．【答案】B ；6．【答案】B ；【解析】因为△BCE 旋转90°得到△DCF ，所以EC=CF,∠CFD=∠CEB=60°,即∠EFC=45°，所以∠EFD=60°-45°=15°.二、填空题7.【答案】①③④⑤⑥；【解析】解：由图形平移的性质，知图形在平移时，其特征不发生改变的有①③④⑤⑥．8.【答案】ABC ， A ′B ′C ′，平行，平行；【解析】平移的性质．9.【答案】42；【解析】解：∵将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°，得到△BDE，∴△ABC≌△BDE，∠CBD=60°，∴BD=BC=12cm，∴△BCD为等边三角形，∴CD=BC=CD=12cm，在Rt△ACB中，AB==13，△ACF与△BDF的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=42（cm），故答案为：42．10.【答案】120°；【解析】2036012060⨯︒=︒.11.【答案】105°；【解析】∠BAC′=∠BAB′+∠B′AC′=60°+45°=105°.12.【答案】等边三角形；【解析】因为△ABC旋转60°得到△''ABC，则AB= AB′,∠BAB′=60°，所以是等边三角形.三、解答题13.【解析】解：平行的线段：AE∥BG∥DH，相等的线段：AE＝BF＝OG＝DH．14.【解析】解：（1）如图1所示过点B作BC⊥OA，垂足为C．∵△OAB为等边三角形，∴∠BOC=60°，OB=BA．∵OB=AB，BC⊥OA，∴OC=CA=1．在Rt△OBC中，，∴BC=．∴点B的坐标为（1，）．（2）如图2所示：∵点B1与点A1的纵坐标相同，∴A1B1∥OA．①如图2所示：当a=300°时，点A1与点B1纵坐标相同．如图3所示：当a=120°时，点A1与点B1纵坐标相同．∴当a=120°或a=300°时，点A1与点B1纵坐标相同．（3）如图2所示：由旋转的性质可知A1B1=AB=2，点B的坐标为（1，2），∴点B1的坐标为（﹣1，）．如图3所示：由旋转的性质可知：点B1的坐标为（1，﹣）．∴点B1的坐标为（﹣1，）或（1，﹣）．15.【解析】解：如图所示②把几条2米宽的小路分别平移到大长方形的上边缘和左边缘，则种植花草部分汇集成一个长方形，显然，这个长方形的长是50-2＝48(m)，宽是22-2＝20(m)，于是种植花草部分的面积为48×20＝960(m2)．。
椭圆中的平移问题方法总结及典型例题
椭圆中的平移问题方法总结及典型例题概述椭圆是在平面上固定的点到两个固定点的距离之和等于常数的点的集合。
在椭圆中，进行平移操作可以改变图形的位置，但保持形状和大小不变。
本文将总结椭圆中的平移问题的解决方法，并提供一些典型例题。
方法总结方法一：矩阵变换通过矩阵变换可以实现椭圆的平移。
设原椭圆的方程为$(x/a)^2+(y/b)^2=1$，平移后的椭圆的中心为$(h, k)$，则平移后的椭圆的方程为$((x-h)/a)^2+((y-k)/b)^2=1$。
通过这种方法，我们可以将椭圆沿着平移向量$(h, k)$进行平移。
方法二：参数方程变换椭圆的参数方程为$x = a\cos(\theta)$，$y = b\sin(\theta)$。
对于原椭圆，我们可以将参数$\theta$的范围设定为$[0, 2\pi)$。
在进行平移操作时，我们只需要将参数方程中的参数$\theta$替换为$\theta - \phi$，其中$\phi$为平移角度。
典型例题例题一已知椭圆的方程为$(x/2)^2+(y/3)^2=1$，求将该椭圆平移$(4, 2)$后的椭圆方程。
解答：根据方法一的矩阵变换，将原椭圆的中心平移$(4, 2)$后得到新椭圆的方程为$((x-4)/2)^2+((y-2)/3)^2=1$。
例题二已知椭圆的参数方程为$x = 2\cos(\theta)$，$y = 3\sin(\theta)$，求将该椭圆逆时针平移$\pi/4$弧度后的椭圆的参数方程。
解答：根据方法二的参数方程变换，将原椭圆的参数$\theta$替换为$\theta - \pi/4$得到新椭圆的参数方程为$x = 2\cos(\theta - \pi/4)$，$y = 3\sin(\theta - \pi/4)$。
结论通过矩阵变换和参数方程变换，我们可以解决椭圆中的平移问题。
矩阵变换适合处理椭圆的方程形式，而参数方程变换适合处理椭圆的参数形式。
二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题
二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题二次函数图像平移、旋转总归纳一、二次函数的图象的平移，先作出二次函数y=2x2+1的图象①向上平移3个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x2+4；②向下平移4个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x2-3；③向左平移5个单位，所得图象的函数表达式是：y=2（x+5）2+1；④向右平移6个单位，所得图象的函数表达式是：y=2（x-6）2+1．由此可以归纳二次函数y=ax2+c向上平移m个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax2+c+m；向下平移m 个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax+c-m；向左平移n个单位，所得图象的函数表达式是:y=a（x+n）2+c；向右平移n个单位，所得图象的函数表达式是:y=a（x-n）2+c，二、二次函数的图象的翻折在一张纸上作出二次函数y=x2-2x-3的图象，⑤沿x轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是:y=x2+2x-3．⑥沿y 轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是：y=x2+2x-3由此可以归纳二次函数y=ax2+bx+c若沿x轴翻折，所得图象的函数表达式是:y=-ax2-bx-c，若沿y轴翻折，所得图象的函数表达式是：y=ax2-bx+c三、二次函数的图象的旋转，将二次函数y=-2x+x-1的图象，绕原点旋转180°，所得图象的函数表达式是y=221221x-x+1；由此可以归纳二次函数y=ax2+bx+c的图象绕原点旋转180°，所得图象的函数表达式是y=-ax2-bx-c．（备用图如下）1、（202*桂林）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A．y=-（x+1）2+2 B．y=-（x－1）2+4C．y=-（x－1）2+2D．y=-（x+1）2+42、（202*浙江宁波中考）把二次函数y＝（x－1）2＋2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为________．3、飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是s=60t-1.5t2，飞机着陆后滑行的最远距离是（）A．600m B．300mC．1200mD．400m4、（202*襄阳）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x-1.5x2，该型号飞机着陆后滑行m才能停下来．5、已知二次函数yax2bxc的图象与x轴交于点（－2，0），(x1，0)且1＜x1＜2，与y轴正半轴的交点在点(0，2）的下方，下列结论：①a＜b＜0；②2a+c＞0；③4a+c<0，④2a－b+l＞0．其中的有正确的结论是（填写序号）__________．6、已知二次函数y＝ax2（a≥1）的图像上两点A、B的横坐标分别是－1、2，点O是坐标原点，如果△AOB是直角三角形，则△OAB的周长为。
初二练习册平移与旋转
第三章图形的平移与旋转§3.1生活中的平移一、学习重难点重点：平移的性质和应用难点：探究平移的条件二、知识点梳理1.平移的概念：2平移的性质三、典型例题典型题一平移的识别【例1】下列运动中属于平移的是（）A.冷水加热过程中小气泡上升为大气泡B.随手抛掷彩球的运动C.风筝在空中飘动D.急刹车时汽车在地面上滑行【例2】下列四组图形中,•有一组中的两个图形经过平移其中一个能得到另一个,这组图形是( )【练习】1. 下列说法正确的是（）A 由平移得到的两个图形的对应点连线长度不一定相等B 我们可以把“火车在一段笔直的铁轨上行驶了一段距离”看作“火车沿着铁轨方向的平移”C 小明第一次乘观光电梯，随着电梯向上升，他高兴地对同伴说：“太棒了，我现在比大楼还高呢，我长高了！”D 在图形平移过程中，图形上可能会有不动点典型题二定义及性质的应用【例3】如图所示,△DEF经过平移可以得到△ABC,那么∠C的对应角和ED的对应边分别是( )A.∠F, ACB.∠BOD,BA;C.∠F, BAD.∠BOD,AC【例4】.关于平移的说法，下列正确的是（）A 经过平移对应线段相等；B 经过平移对应角可能会改变C 经过平移对应点所连的线段不相等；D 经过平移图形会改变、【练习】在平移过程中,对应线段( )A.互相平行且相等;B.互相垂直且相等C.互相平行(或在同一条直线上)且相等D.既不平行，也不相等四、小试牛刀1.将线段AB向右平移3cm得到线段CD,如果AB=5 cm,则CD= cm。
2.如图，△DEF是△ABC向右经过平移得到的，则△DEF △ABC，若∠A＝70°，则∠D＝，又∠B＝40°则∠E＝，∠F＝。
3.如下图，视力表的一行，②③④⑤中的图形可以通过平移图形①得到。
①②③④⑤4.图形中那个三角形可以由三角形AOB平移得到？5.如图：是一块长方形A BC DDFF ECBOA的草地, 长为21米.宽为15米在草地上有一条宽为1米的小道,长方形的草地上除小道外长满青草。
人教版四年级数学下册典型例题系列之第七单元《作轴对称及平移后的图形》》专项练习(原卷版)
人教版四年级数学下册典型例题系列之第七单元作轴对称及平移后的图形专项练习（原卷版）1．画一画。
（1）上图①是轴对称图形的一半。
请以虚线为对称轴，画出它的另一半。
（2）在方格中以线段AB为底边画一个直角三角形。
（3）将画好的三角形向上平移4格。
2．（1）画出图中三角形AB为底的高。
（2）画出图形D的另一半，使它成为轴对称图形。
3．先补全下面这个轴对称图形，再画出向右平移5格后的图形。
4．作出直线AB左边的图形关于直线AB的对称图形，并标出点M，N，S关于直线AB的对称点M’，N’，S’。
5．（1）将图①向右平移5格，画出平移后得到的图形。
（2）根据对称轴，画出图②轴对称图形的另一半。
6．下面是边长为1厘米的格子图，请在图上合适位置画一个高3厘米的等腰直角三角形再将它向右平移5格并用实线画出来。
7．先根据对称轴补全下面这个轴对称图形，再画出这个轴对称图形向右平移7格后得到的图形。
8．画出下面轴对称图形的另一半。
9．在下边方格纸上画出这个图形的另一半，使它成为一个轴对称图形。
10．将图A补画成一个轴对称图形（以虚线为对称轴）。
画出图B向下平移3格后的图形。
11．（1）方格图中的点A是三角形的一个顶点，请你画出这个三角形。
（2）请作出你所画的这个三角形的一条高。
（3）请画出你所画的这个三角形向右平移3格后的图形。
12．先根据对称轴补全下面这个轴对称图形，再画出这个轴对称图形向左平移6格后的图形。
13．按要求画图。
（1）画出图形A的轴对称图形（以虚线m为对称轴）。
（2）画出图形B先向右平移4格，再向下平移1格后的图形。
14．如下图，请你涂5个格子创造三个不同的轴对称图形。
（注意和样例不重复）15．如图所示。
（1）画出三角形AC边上的高。
（2）以直线l为对称轴，画出三角形ABC的对称图形。
（3）画出三角形ABC向下平移3格后的图形。
16．（1）画出图形M向上平移4格后的图形。
（2）图形M以直线L为对称轴，画出轴对称图形的另一半。
【绝对精品】初二 图形的平移与旋转
15．如图1―3―21，△ABC和△A′B′C′都是等腰直角三角形，其中一个等腰直角三角形，经过平移后成为另一个等腰直角三角形，分别指出对应（顶）点，对应线段，对应角．
考点2：图形的旋转
【知识要点】
1．什么是旋转？如何理解“旋转”？
2．旋转的基本性质是什么？
B．旋转和平移都只能改变图形的位置
C．旋转和平移图形的形状和大小都不发生变化
D．旋转和平移的定义是相同的
4．如图1－3－31，如果正方形ABCD旋转后能与正方形CDEF重合，那么图形所在的平面内可作旋转中心的点共有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
5．从10点到10点40分，分针转过的角度为（ ）
A．60°B．30°C．120°D．240°
4．下列说法正确的是（ ）
A．由平移得到的两个图形的对应点连线长度不一定相等
B．我们可以把“火车在一段笔直的铁轨上行驶了一段距离”看作“火车沿着铁轨方向的平移”
C．小明第一次乘观光电梯，随着电梯向上升，他高兴地对同伴说：“太棒了，我现在比大楼还高呢，我长高了！”
D．在图形平移过程中，图形上可能会有不动点
（3）_____________，
相互平行的量是：（1）_____________， （2）_____________.
18、在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离的图形运动叫做_______________.
19、要想把图形在平面内旋转，除了有画好的图形外，还需要两个重要因素，它们是________和_____________.
11、下列说法错误的是（ ）
A．经过旋转，图形上的各点绕旋转中心沿相同方向转动的角度不同
一次函数图像的平移对称旋转问题
一次函数图象的平移变换问题的探究求一次函数图象平移后的解析式是一类重要题型，在各省市中考试题频繁亮相.在一次函数y kx b =+中常数k 决定着直线的倾斜程度：直线111y k x b =+与直线222y k x b =+平行⇔12k k =.一、一次函数平移的三种方式：⑴上下平移：在这种平移中，横坐标不变，改变的是纵坐标也就是函数值y .平移规律是上加下减.⑵左右平移：在这种平移中，纵坐标不变，改变的是横坐标也就是自变量x .平移规律是左加右减.⑶沿某条直线平移：这类题目稍有难度.“沿”的含义是一次函数图象在平移的过程中与沿着的那条直线的夹角不变.解题时抓住平移前后关键点坐标的变化. 二、典型例题：（1）点(0,1)向下平移2个单位后的坐标是 ___，直线21y x =+向下平移2个单位后的解析式是所谓平移变换就是在平面内，.经过平移后的图形与原来的图形相比大小、形状不变，只是位置发生了变化.简单的点P （x ，y ）平移规律如下：（1）将点P （x ，y ）向左平移a 个单位，得到P 1（x －a ，y ） （2）将点P （x ，y ）向右平移a 个单位，得到P 2（x+a ，y ） （3）将点P （x ，y ）向下平移a 个单位，得到P 3（x ，y －a ）（4）将点P （x ，y ）向上平移a 个单位，得到P 4（x ，y+a ）反之也成立.下面我们来探索直线的平移问题.【引例1】探究一次函数l ：y=32x 与1l ：y=32x+2，2l ：y=32x －2的关系. .【拓广】：一般地，一次函数y=kx+b 的图象是由正比例函数y=kx 的图象沿y 轴向上（b>0）或向下（b<0）平移b 个单位长度得到的一条直线.【应用】：例1、（08上海市）在图2中，将直线OA 向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是 ．2lx练习1. 直线y=2x+1向上平移4个单位得到直线 2. 直线y=-3x+5向下平移6个单位得到直线 3. 过点（2，-3）且平行于直线y=2x 的直线是____ _____。
北师大版五年级数学上册典型例题系列之第二单元：作轴对称及平移后的图形专项练习(解析版)
五年级数学上册典型例题系列之第二单元：作轴对称及平移后的图形专项练习（解析版）1．在方格纸上按要求画图。
（1）将图形A向右平移5格得到图形C。
（2）画出图形B的对称轴。
【答案】2．以虚线为对称轴，在方格纸上画出图形的另一半。
【答案】3．请在方格纸上画出图形向右平移4格后的图形。
【答案】4．以虚线为对称轴，在方格纸上画出图形的另一半。
【答案】5．画出下面图形先向上平移3格，再向左平移5格后的图形。
【答案】6．下图每个小方格的边长是1cm，请按要求画图。
（1）画出将圆A向上平移5格后的图形，平移后A点的位置用数对表示是（）。
（2）过B点作直线a的垂线。
【答案】7．先画出小船向右平移3格后的图形，再将平移后的小船向下平移4格，画出平移后的图形。
【答案】8．按要求画图。
（1）将小鱼先向上平移3格，再向右平移1格。
（2）在正方形A的方格中继续涂色，使涂色后的图形组成一个轴对称图形。
（涂一种即可）（3）以虚线为对称轴，画出小船的轴对称图形。
【答案】作图如下：9．在方格纸的右边画出图形①的另一半，使它成为一个轴对称图形；画出将图形②先向右平移5格，再向上平移4格后得到的图形。
【答案】10．（1）请在下面的方格图中描出点A（2，1），B（5，2），C（3，4），并把这几个点顺次连接成一个封闭图形。
（2）画出将这个图形向右平移4格后的图形A′B′C′。
【答案】11．按要求画一画。
（1）画出平行四边形向上平移4格，再向左平移10格后的图形；（2）以虚线为对称轴，画出平移后图形的轴对称图形。
【答案】（1）（2）如下图所示：12．（1）以虚线m为对称轴，画出左图图①的轴对称图形。
（2）将图②先向上平移4格，再向右平移2格。
【答案】根据分析画图如下：13．按要求在方格纸上作图。
（1）以虚线为对称轴，画出下面图形的轴对称图形。
（2）将原图形向左平移两格，再向下平移一格。
【答案】14．（1）以虚线M为对称轴，画出图A的对称图形。
平移
平移作者：司友军来源：《初中生世界·九年级》2015年第12期二次函数图像与图形变换关系是初中阶段二次函数学习的重点内容，也是难点内容.学习研究二次函数离不开对其图像的研究，我们采用从特殊到一般的探究方法，用描点法画出二次函数y=ax2的图像，分析得出所具有的性质，再探究y=ax2+k图像、y=a（x+h）2图像，直到y=a（x+h）2+k图像，理解它们的相互关系，最终得到二次函数y=a（x+h）2+k图像和性质.这里我们探求的法宝就是平移.一、解读（一）提出问题：（随机举例）问题1：用描点法画出二次函数y=2x2、y=2x2+1、y=2（x-1）2的图像.解：列表：问题2：当自变量x取同一数值时，相应函数的函数值y1与y，y2与y之间有什么关系？反映在图像上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？解：反映在图像上，函数y=2x2+1的图像上的点可以看成是将函数y=2x2的图像上的对应点向上平移一个单位得到的；函数y=2（x-1）2的图像上的点可以看作是函数y=2x2的图像上的点向右平移1个单位得到的.问题3：二次函数y=2x2、y1=2x2+1、y2=2（x-1）2的图像、开口方向、开口大小是否相同？解：二次函数y1=2x2+1与y2=2（x-1）2的图像都可以看成是y=2x2图像平移得到的，因此它们的开口大小、开口方向完全相同.（二）归纳结论：1. 图像的平移规律2. 二次函数y=a（x+h）2+k图像可以看成是y=ax2图像平移得到的，因此探求函数y=a （x+h）2+k的图像性质就从函数y=ax2图像性质中类比得到.（三）基本解题策略“点动成线”，抛物线是由无数个点构成的，所以抛物线平移过程中，图像上的每一个点同时都在作相应一致的平移，而抛物线上最特殊的点是顶点，因此在问题解答中，我们常常借助转化思想将其转化为顶点的平移，往往起到事半功倍的效果.二、典型例题1. 抛物线的平移例1 抛物线y=-x2+bx+c的图像如图1所示，若将其向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则平移后的解析式为__________________.【解析】由图像可知，对称轴为x=1，经过点（3，0），设y=-（x-1）2+h，把点（3，0）代入关系式，得h=4.所以原图像的解析式为y=-（x-1）2+4.然后向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得y=-（x-1+2）2+4-3，即y=-x2-2x.【点评】抛物线的平移关键是抓住顶点的平移，在确定函数解析式时一般采用顶点式，然后“左加右减，上加下减”.2. 抛物线的逆向平移例2 把二次函数y=ax2+bx+c的图像先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图像的解析式是y=x2-4x+5，则a+b+c=________.【解析】抛物线y=ax2+bx+c先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到y=x2-4x+5，可以转化为抛物线y=x2-4x+5先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到y=ax2+bx+c.由y=x2-4x+5=（x-2）2+1，向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到y=（x-2+3）2+1+2，即y=（x+1）2+3，即y=x2+2x+4，则a+b+c=7.【点评】通常抛物线的逆向平移先转化为正向平移，万万不可直接套用“左加右减，上加下减”.另外，二次函数的一般式经过配方转化为顶点式，顶点式转化为一般式，同学们要能熟练掌握.3. 坐标轴的平移例3 在平面直角坐标系中，如果抛物线y=2x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（）.A. y=2（x-2）2+2B. y=2（x+2）2-2C. y=2（x-2）2-2D. y=2（x+2）2+2【解析】把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，相当于把函数向下、向左平移2个单位，即y=2（x+2）2-2，因此选B.【点评】根据抛物线与坐标轴的相对关系，将坐标轴的平移转化成我们熟悉的抛物线的平移，从而解决问题，这里体现了最基本的转化思想.4. 平移性质的应用例4 如图2，抛物线y=x2与直线y=x交于点A，沿直线y=x平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点恰好为A点，则平移后抛物线的解析式是（）.A. y=（x+1）2-1B. y=（x+1）2+1C. y=（x-1）2+1D. y=（x-1）2-1【解析】由y=x2，y=x，得出A点的坐标是（1，1），所以平移后以A点为顶点的解析式为y=（x-1）2+1.因此选C.【点评】平移不改变抛物线的开口方向和开口大小，所以平移前后二次函数的二次项系数相同.5. 平移的简单应用例5 已知抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0）且过点C（0，-3）.（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x上，并写出平移后抛物线的解析式.【解析】（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），可设抛物线解析式为y=a （x-1）（x-3），把C（0，-3）代入得3a=-3，解得a=-1，故抛物线解析式为y=-（x-1）（x-3），即y=-x2+4x-3，∵y=-x2+4x-3=-（x-2）2+1，∴顶点坐标为（2，1）.（2）根据题意，平移后抛物线的顶点落在直线y=-x上任意一点即可，所以不妨取点（0，0）为其顶点，此时，抛物线的顶点就从点（2，1）平移到点（0，0），因此平移过程是：先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y=-x2.【点评】①根据已知点坐标的特点，利用待定系数法设交点式求函数关系式较为简便.②这是一个开放性问题，顶点落在直线y=-x上即可，所以在解答时，尽可能选择相对简单的点来计算.6. 抛物线与几何变换例6 在同一坐标平面内，下列4个函数：①y=2（x+1）2-1，②y=2x2+3，③y=-2x2-1，④y= x2-1，其图像不可能由函数y=2x2+1的图像通过平移变换、轴对称变换得到的函数是________.（填序号）【解析】只有当二次函数的二次项系数的绝对值相等时抛物线的形状、大小才完全相同.在④中，y= x2-1二次项系数的绝对值不等于2，所以它的图像不可能由函数y=2x2+1的图像通过平移变换、轴对称变换得到.因此填④.【点评】二次函数的二次项系数的绝对值相等，则抛物线的形状、大小相同，所对应的抛物线一定可以通过平移变换或轴对称变换或旋转变换得到.7. 平移的综合应用例7 如图4，点A，B的坐标分别为（1， 4）和（4， 4），抛物线y=a（x-m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为-3，则点D的横坐标最大值为（）.A. -3B. 1C. 5D. 8【解析】因为点C的最小值（-3，0）是抛物线在点A处获得的，此时抛物线的对称轴为直线x=1，所以点D的坐标为（5，0），当抛物线顶点由A点向右移动到B点时，共移动了3个单位，此时D点的坐标就是（8，0）.因此点D的横坐标最大值为8，选D.【点评】抛物线平移，则抛物线上所有的点都在作相同的平移.例8 （2015年·湖南岳阳）如图5，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为-2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论：①b>0，②a-b+c【解析】①∵抛物线开口向上，∴a>0，又∵对称轴为x=- >0，∴b∴结论①不正确；②依据抛物线y=ax2+bx+c的图像，可得x=-1时，y>0，即a-b+c>0，∴结论②不正确；③阴影部分是一个平行四边形，∵抛物线向右平移了2个单位，∴平行四边形的底是2，又∵函数y=ax2+bx+c的最小值是y=-2，∴平行四边形的高是2，∴阴影部分的面积是：2×2=4，∴结论③正确；④∵函数的最小值是 =-2，又∵c=-1，∴b2=4a，∴结论④正确.综上，结论正确的是：③④.【点评】此题主要考查了二次函数的图像与系数的关系，考查了二次函数的图像与几何变换综合应用，要熟练掌握.小试身手1. （2015·山东济南）如图6，抛物线y=-2x2+8x-6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D.若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）.A. -2C. -32. （2013·广东佛山）如图7（1），已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3） .（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图7（2）中阴影部分）.答案：1. D2. （1） y=x2-4x+3；（2）（2，-1），直线x=2；（3）S=2.（作者单位：江苏省泗阳县实验初级中学）。
人教版七年级初一数学 平移 同步作业(含答案)
5.4 平移（一）◆典型例题【例1】如图5-123，△ABC沿射线XY的方向平移一定距离后成为△DEF，找出图中存在的平行且相等的线段和相等的角.图5-123【解析】根据平移的概念找出对应点，再由平移的性质找出对应的线段和角.【答案】点A、B、C的对应点分别为点D、E、F.所以AD∥CF∥BE，AD=CF=BE.∠CAB=∠FDE，∠ACB=∠DFE，∠CBA=∠FED.【例2】用平移的方法说明怎样得出平行四边形的面积公式计算S=ah.【解析】过A、D作平行四边形的高，由图可知将△DEF向右平移到△CDN处，即可将平行四边形转化为矩形.根据图形平移的性质：平移前后图形的形状和大小都不会改变，因而图形的而积不变.本例是平移方法在几何中的典型应用.【答案】如图5-124，过A作AM⊥BC于M，过D作DN⊥BC于N，将△ABM沿BC 方向向右平移a个单位到△CDN的位置，因△CDN和△ABM的形状和大小相同，因而图形的面积不变.所以S平行四边形=S矩形=ah，图5-124【例3】如图5-125，把正方形ABCD的对角线分成n段，以每一段为对角线作正方形.设正方形ABCD的周长为a，求这n个小正方形的周长之和.图5-125【解析】因为小正方形的个数和边长不确定，不能直接求出每个小正方形的周长，注意到小正方形的边与大正方形的边对应平行，因此可运用平移的知识，将每个小正方形的边平移到大正方形ABCD的边上，运用整体思想不难求出所有小正方形周长之和.【答案】如图5-125，将每个小正方形的边按箭头所示的方向平移到大正方形的边上，正好将大正方形的边没有缝隙的覆盖.因此，所有小正方形周长之和为a.◆课前热身1.在平面内，将一个图形沿某个方向___________一定的距离，这样的图形运动称为________平移，平移不改变图形的___________和___________.2.图形的平移是由___________和___________决定的.◆课上作业3.经过平移，___________、___________分别相等，对应点所连的线段___________.4.如图5-126，△ABC平移到△DEF，图中相等的线段有___________，相等的角有___________，平行的线段有___________图5-126 图5-1275.把一个三角形沿东南方向平移了 3 cm，则AB边上的中点P沿______方向平移了_______cm.6.如图5-127，△ABC是由四个形状大小一样的三角形拼成的，则可以看成是△ADF平移得到的小三角形是___________.◆课下作业一、填空题7.如图5-128，△EFG是由△ABC平移得到的，如果∠ABC=90°，AB=4 cm，BC=2 cm，则FG=___________，∠EFG=___________.图5-128.列现象:①火车在笔直的轨道上匀速行驶；②商场电梯上上下下地运动；③滑雪运动员在平坦的雪地上滑行；④健身时做呼啦圈运动；⑤急刹车时车在地面上的运动，其中不属于平移的是___________.9.如图5-129，将字母“V”向右平移___________格会得到字母“W”.图5-129 图5-13010.如图5-130，直角三角形AOB的周长为100，在其内部有五个小直角三角形，则这五个小直角三角形的周长之和为___________.二、选择题11.下列各组图形(图5-131)，可以经过平移变换由一个图形得到另一个图形的是( )图5-13112.如图5-132，直角三角形ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中错误的是( )图5-132A.三角形AB C与三角形DEF重合B.∠DEF=90°C.AC=DFD.EC=CF三、解答题13.观察下面网格小的图形，解答下列问题:图5-132(1)将网格中左图沿水平方向向右平移，使点A移至点A′处，作出平移后的图形参考答案◆课前热身1.在平面内，将一个图形沿某个方向___________一定的距离，这样的图形运动称为________平移，平移不改变图形的___________和___________.答案：平移；形状；大小2.图形的平移是由___________和___________决定的.答案：方向；距离◆课上作业3.经过平移，___________、___________分别相等，对应点所连的线段___________.答案：对应线段；对应角；平行(或在一条直线上)4.如图5-126，△ABC平移到△DEF，图中相等的线段有___________，相等的角有___________，平行的线段有___________图5-126答案：BA=ED，BC=EF，AC=DF；∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F；BA∥ED，BC∥EF，AC∥DF5.把一个三角形沿东南方向平移了 3 cm，则AB边上的中点P沿______方向平移了_______cm.答案：东南；36.如图5-127，△ABC是由四个形状大小一样的三角形拼成的，则可以看成是△ADF平移得到的小三角形是___________.图5-127答案：△DBE、△FEC◆课下作业一、填空题7.如图5-128，△EFG是由△ABC平移得到的，如果∠ABC=90°，AB=4 cm，BC=2 cm，则FG=___________，∠EFG=___________.图5-12答案：2cm;90°8.列现象:①火车在笔直的轨道上匀速行驶；②商场电梯上上下下地运动；③滑雪运动员在平坦的雪地上滑行；④健身时做呼啦圈运动；⑤急刹车时车在地面上的运动，其中不属于平移的是___________.答案：④9.如图5-129，将字母“V”向右平移___________格会得到字母“W”.图5-129答案：210.如图5-130，直角三角形AOB的周长为100，在其内部有五个小直角三角形，则这五个小直角三角形的周长之和为___________.图5-130答案：100二、选择题11.下列各组图形(图5-131)，可以经过平移变换由一个图形得到另一个图形的是( )图5-131答案：A12.如图5-132，直角三角形ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中错误的是( )图5-132A.三角形AB C与三角形DEF重合B.∠DEF=90°C.AC=DFD.EC=CF答案：D三、解答题13.观察下面网格小的图形，解答下列问题:图5-132(1)将网格中左图沿水平方向向右平移，使点A移至点A′处，作出平移后的图形答案：第13题图。
关于“平移和旋转”的典型例题十一
典型例题
例．下图中哪些现象是平移？哪些现象是旋转？你还能说出生活中你见过的平移和旋转现象吗？
分析：图一是体操运动员在单杠上的旋转动作，图二是汽车在公路上的平行移动．
解：图一：旋转
图二：平移
生活中的旋转现象有：汽车行驶时，车轮的旋转．
跳水运动员落入水中前在空中的旋转．
电风扇通电后叶片的旋转．
儿童乐园里过山车的翻滚旋转．
风车的旋转．
……
生活中的平移现象有：行驶火车的、轮船、自行车．
钟表上转动的时针、秒针．
电梯上下的移动．
……。
初中数学图形的变化平移典型例题
(每日一练)初中数学图形的变化平移典型例题单选题1、下列图形中，能将其中一个三角形平移得到另一个三角形的是（）A．B．C．D．答案：A解析：利用平移的性质，结合轴对称、旋转变换和位似图形的定义判断得出即可．A、可以通过平移得到，故此选项正确；B、可以通过旋转得到，故此选项错误；C、是位似图形，故此选项错误；D、可以通过轴对称得到，故此选项错误；故选A．小提示：本题考查了平移的性质以及轴对称、旋转变换和位似图形，正确把握定义是解题的关键．2、如图所示的车标，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（）A．B．C．D．答案：B题型解法：此类题型的关键是找到所给图形中的基本图形，利用平移，旋转和轴对称进行判断，即可得出结论．解析：在平面内，把一个图形整体沿某一方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．3、经过平移，ΔABC移到ΔDEF的位置，如图，下列结论：①AD=BE=CF，且AD//BE//CF；②AB//DE，BC//EF，BC=EF；③AB=DE，BC=EF，AC=DF．正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个答案：D解析：新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等，据此即可判断．①根据平移的性质可知，平移后对应点所连的线段平行且相等：AD=BE=CF，且AD//BE//CF，正确；②根据平移的性质可知，平移前后对应线段平行且相等：AB//DE，BC//EF，BC=EF，正确；③根据平移的性质可知，平移前后对应线段且相等：AB=DE，BC=EF，AC=DF，正确；故正确有个数有3个．故选：D．本题结合图形考查了平移的有关知识．平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．4、如图，三角形ABC沿着由点B到点C的方向平移得到三角形DEF，已知BC=5，EC=3，那么平移的距离为 ( )A．2B．3C．5D．8答案：A解析：根据平移的规律计算即可．∵三角形ABC沿着由点B到点C的方向平移得到三角形DEF，∴平移的距离为BE=BC-EC=5-3=2，故选A．小提示：本题考查了平移，熟练掌握平移距离的计算是解题的关键．5、下列四个图形中，可以由图1通过平移得到的是（）A．B．C．D．答案：D平移不改变图形的形状和大小.根据原图形可知平移后的图形飞机头向上，即可解题. 考查图像的平移，平移前后的图像的大小、形状、方向是不变的，故选D.小提示：本题考查了图形的平移，牢固掌握平移的性质即可解题.。
平行四边形中的平移问题方法总结及典型例题
平行四边形中的平移问题方法总结及典型
例题
平行四边形的平移是指将一个平行四边形沿着一个矢量方向进行移动，保持各边相对平行且长度不变。
在解决平移问题时，我们可以采用以下方法和策略。
方法总结：
1.保持平行关系：在进行平移时，需要保持平行四边形的各边相对平行关系。
可以通过在原平行四边形的每个顶点上加一个相同的矢量，将平行四边形整体平移。
2.使用向量表示：平行四边形的平移可以用向量来表示。
在平移中，假设矢量v表示移动的方向和距离，那么平行四边形中各顶点的新坐标可以用原坐标加上矢量v来表示。
3.利用向量法则：平移问题可以利用向量法则来求解。
根据向量的加法和数乘法则，可以得到平行四边形中各个顶点的新坐标。
典型例题：
1.问题描述：已知平行四边形ABCD，坐标分别为A(1.2)，
B(4.2)，C(6.5)，D(3.5)，求将该平行四边形向右平移3个单位后的新坐标。
解法：将平行四边形的各个顶点坐标分别加上矢量(3.0)，得到新坐标A'(4.2)，B'(7.2)，C'(9.5)，D'(6.5)。
2.问题描述：已知平行四边形EFGH，坐标分别为E(2.3)，
F(5.3)，G(7.6)，H(4.6)，求将该平行四边形向上平移4个单位后的新坐标。
解法：将平行四边形的各个顶点坐标分别加上矢量(0.4)，得到新坐标E'(2.7)，F'(5.7)，G'(7.10)，H'(4.10)。
通过以上总结的方法和例题，我们可以更好地理解和解决平行四边形的平移问题。
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平移一、知识点复习知识点1：平移的定义：在平面内，一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形的变换叫做平移。
知识点2：平移的要素1.平移的方向：原图上的点指向它的对应点的射线方向；2.平移的距离：连接原图与平移后图形上的一对对应点的线段的长度。
知识点3：平移的性质1.性质（1）平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。
（2）平移后的图形与原图形上对应点连成的线段，①数量关系是相等 .②位置关系是平行或在同一条直线上。
2.判断一组图形能不能通过平移得到的方法（1）看对应点连线是否平行或在同一条直线上；（2）看它的形状、大小是否发生变化，位置的变化是否由平移产生。
★★★特别注意：平移是由平移的方向和距离决定的，平移必须指明平移的方向和距离；平移是在平面内，整个图形沿着某一直线平行移动的过程，原图上的每个点都沿同一方向移动相同的距离；平移的距离不能为0；平移的方向是任意的，但就一次平移而言，只能有一个方向，一次平移完成后可以改变方向进行下一次平移。
二、典型例题题型1：生活中平移现象【例题1】下列运动属于平移的是（）A．荡秋千 B．推开教室的门 C．风筝在空中随风飘动 D．急刹车时，汽车在地面上的滑动【例题2】：下列现象：①电梯的升降运动，②飞机在地面上沿直线滑行，③风车的转动，④冷水加热过程中气泡的上升．其中属于平移的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．③④题型2：平移的性质【例题4】：在下列说法中：①△ABC在平移过程中，对应线段一定相等；②△ABC在平移过程中，对应线段一定平行；③△ABC在平移过程中，周长保持不变；④△ABC在平移过程中，对应边中点所连线段的长等于平移的距离；⑤△ABC在平移过程中，面积不变，其中正确的有（）A．①②③④ B．①②③④⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤题型3：与平移有关的计算【例题5】：如图，将△ABC沿射线BC方向移动，使点B移动到点C，得到△DCE，连接AE，若△ABC的面积为2，则△ACE的面积为（）A ．2B ．4C ．8D ．16【例题6】：（2017秋•兴化市期末）如图，将△ABE 向右平移2cm 得到△DCF ，AE 、DC 交于点G ．如果△ABE 的周长是16cm ，那么△ADG 与△CEG 的周长之和是 cm 。
例题6 例题7 【例题7】如图，大矩形长是10厘米，宽是8厘米，阴影部分宽为2厘米，则空白部分面积是（ ）A ．36平方厘米B ．40平方厘米C ．32平方厘米D ．48平方厘米【例题8】如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条”之”字路，余下部分绿化，道路的宽为2米，则绿化的面积为 2m ．例题8 例题9 【例题9】如图所示,平移△ABC 可得到△DEF,如果∠A=50°,∠C=60°2 AB ,那么∠E=•____度, ∠EDF=_____度,∠F=______度,∠DOB=_______度,DE= .题型4：平移作图【例题10】按要求作图：将三角形ABC向右平移8格；题型5：综合题型【例题11】：已知：BC∥OA，∠B=∠A=100°，试回答下列问题：（1）如图①，OB与AC平行吗？为什么？（2）如图②，若点E、F在BC上，且满足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF．求∠EOC的度数；（3）在（2）的条件下，若平行移动AC，如图③，那么∠OCB与∠OFB之间的关系并说明理由．三、课堂检测一、选择题1.（2018春•潮州期中）如图所示，四幅汽车标志设计中，能通过平移得到的是（）A. B. C. D.2.如图所示，由△ABC平移得到的三角形的个数是（）A．5 B．15 C．8 D．63．（2018春•天心区校级期末）平移后的图形与原来的图形的对应点连线（）A．相交 B．平行 C．平行或在同一条直线上且相等 D．相等4.如图所示,△DEF经过平移可以得到△ABC,那么∠C的对应角和ED的对应边分别是( )A.∠F, ACB.∠BOD, BAC.∠F, BAD.∠BOD, AC5. 如图10-4-8所示，A、B、C、D四幅图案中，能通过平移图案（1）得到的是（）6.下列运动属于平移的是（）A.风车的转动B.冷水加热过程中小气泡上升成为大气泡。
C.急刹车是汽车在地面上滑行。
D.随手抛出的小石子的运动。
7.（2018春•宜兴市期中）如图，将△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，若△ABC的周长为20cm，则四边形ABFD的周长为（）A．20cm B．22cm C．24cm D．26cm二、填空题8.在平移过程中,平移后的图形与原来的图形________和_________都相同,•因此对应线段和对应角都________.9.如图10-4-5所示,已知线段DE由线段AB平移而得, AB=DC=4cm,EC=5cm,则△DCE的周长是____ cm.10.（2017秋•绍兴期末）某小区有一块长方形的草地（如图），长18米，宽10米，空白部分为两条宽度m．均为2米的小路，则草地的实际面积2三、解答题11.如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF 的位置，AB=10，DH=4，平移距离为6，求阴影部分的面积。
四、课后作业一、选择题1.下面生活中的物体的运动情况可以看成平移的是（）（1）摆动的钟摆．（2）在笔直的公路上行驶的汽车．（3）随风摆动的旗帜．（4）摇动的大绳．（5）汽车玻璃上雨刷的运动．（6）从楼顶自由落下的球（球不旋转）．A．（1）（2） B．（1）（3）（4） C．（3）（4）（5） D．（2）（6）2.如图图形中，把△ABC平移后能得到△DEF的是（）A. B. C. D.3.如图所示,△FDE经过怎样的平移可得到△ABC.( )A.沿射线EC的方向移动DB长;B.沿射线EC的方向移动CD长C.沿射线BD的方向移动AD长;D.沿射线BD的方向移动DC长4.（2017秋•鸡西期末）如图，在10×6的网格中，每个小正方形的边长都是1个单位，将三角形ABC平移到三角形DEF的位置，下面正确的平移步骤是（）A．先向左平移5个单位，再向下平移2个单位 B．先向右平移5个单位，再向下平移2个单位C．先向左平移5个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移5个单位，再向上平移2个单位5.下列说法错误的是（）A．一个三角形沿某一个方向平移后，所得的三角形与原来的三角形形状，大小都一样。
B.一个图形平移后对应点的连线平行且相等。
C．一个圆平移后得到一个椭圆D．若两个三角形的形状和大小完全一样，则这两个三角形不一定是平移得到的。
6.如图，△ABC平移到△EFG，则图中共有平行线（）A.3对B.5对C.6对D.7对7.如图，面积为6cm2的△ABC纸片沿BC方向平移至△DEF的位置，平移的距离是BC长的2倍，则△ABC纸片扫过的面积为（）A．18cm2 B．21cm2 C．27cm2 D．30cm2二、填空题8.图形的平移是由_________和_________决定的，图形平移后它的__________和_________没有发生变化。
9.观察图10-4-1中的正六边形A BCDEF，线段AB平移后能得到的线段是，EF是线段平移得到的。
10.如果△ABC沿着北偏东50°的方向移动了4cm，那么△ABC的一条高AD上的中点M向__________方向移动了______________.11.如图10-4-3，在长方形ABCD中，AB=10cm，BC=6cm，将长方形ABCD沿着BC方向平移____________才能使平移后的长方形与原来的长方形ABCD重叠的部分面积为20cm2.12．如图10-4-4所示，△A′B′C′是由△ABC沿BC方向平移3个单位得到的，则点A与点A′的距离等于个单位.13.如图，在一块长方形ABCD草地上，AB=10，BC=15，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是2个单位），空白部分表示的草地面积是。
三、解答题14.（2017秋•灵石县期末）如图，已知直线AB∥CD，∠A=∠C=100°，E，F在CD上，且满足∠DBF=∠ABD，BE平分∠CBF．（1）求证：AD∥BC；（2）求∠DBE的度数；（3）若平行移动AD，在平行移动AD的过程中，是否存在某种情况，使∠BEC=∠ADB？若存在，求出其度数；若不存在，请说明理由．平移参考答案：二．典型例题题型1：生活中平移现象【例题1】下列运动属于平移的是（）A．荡秋千 B．推开教室的门 C．风筝在空中随风飘动 D．急刹车时，汽车在地面上的滑动参考答案：D【例题2】：下列现象：①电梯的升降运动，②飞机在地面上沿直线滑行，③风车的转动，④冷水加热过程中气泡的上升．其中属于平移的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．③④参考答案：A题型2：平移的性质【例题4】：在下列说法中：①△ABC在平移过程中，对应线段一定相等；②△ABC在平移过程中，对应线段一定平行；③△ABC在平移过程中，周长保持不变；④△ABC在平移过程中，对应边中点所连线段的长等于平移的距离；⑤△ABC在平移过程中，面积不变，其中正确的有（）A．①②③④ B．①②③④⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤参考答案：D题型3：与平移有关的计算【例题5】：如图，将△ABC沿射线BC方向移动，使点B移动到点C，得到△DCE，连接AE，若△ABC的面积为2，则△ACE的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．16参考答案：A【例题6】：（2017秋•兴化市期末）如图，将△ABE向右平移2cm得到△DCF，AE、DC交于点G．如果△ABE 的周长是16cm，那么△ADG与△CEG的周长之和是 cm。
【例题7】如图，大矩形长是10厘米，宽是8厘米，阴影部分宽为2厘米，则空白部分面积是（）A．36平方厘米 B．40平方厘米 C．32平方厘米 D．48平方厘米参考答案：D【例题8】如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条”之”字路，余m．下部分绿化，道路的宽为2米，则绿化的面积为2参考答案：540【例题9】如图所示,平移△ABC 可得到△DEF,如果∠A=50°,∠C=60°2 AB ,那么∠E=•____度, ∠EDF=_____度,∠F=______度,∠DOB=_______度,DE= .题型4：平移作图按要求作图：将三角形ABC 向右平移8格；题型5：综合题型已知：BC ∥OA ，∠B=∠A=100°，试回答下列问题：（1）如图①，OB 与AC 平行吗？为什么？（2）如图②，若点E 、F 在BC 上，且满足∠FOC=∠AOC ，并且OE 平分∠BOF ．求∠EOC 的度数；（3）在（2）的条件下，若平行移动AC ，如图③，那么∠OCB 与∠OFB 之间的关系并说明理由．【解答】（1）证明：∵BC ∥OA ， ∴∠B+∠O=180°， ∴∠O=180°-∠B=80°，而∠A=100°， ∴∠A+∠O=180°， ∴OB ∥AC ；（2）解：∵OE 平分∠BOF ， ∴∠BOE=∠FOE ，而∠FOC=∠AOC ， ∴∠EOF+∠COF=21∠AOB=21×80°=40°； （3）结论为：∠OFB=2∠OCB ； ∵BC ∥OA ， ∴∠OCB=∠AOC ，∠OFB=∠AOF ，∵∠FOC=∠AOC ， ∴∠AOF=2∠AOC ， ∴∠OFB=2∠OCB ．三、课堂检测一、选择题1.（2018春•潮州期中）如图所示，四幅汽车标志设计中，能通过平移得到的是（ ）A.B. C. D.参考答案：A 2.如图所示，由△ABC 平移得到的三角形的个数是（ ）A ．5B ．15C ．8D ．6参考答案：A3．（2018春•天心区校级期末）平移后的图形与原来的图形的对应点连线（ ）A ．相交B ．平行C ．平行或在同一条直线上且相等D ．相等参考答案：C4.如图所示,△DEF 经过平移可以得到△ABC,那么∠C 的对应角和ED 的对应边分别是( )A.∠F, ACB.∠BOD, BAC.∠F, BAD.∠BOD, AC参考答案：C5. 如图10-4-8所示，A、B、C、D四幅图案中，能通过平移图案（1）得到的是（）参考答案：B6.下列运动属于平移的是（）A.风车的转动B.冷水加热过程中小气泡上升成为大气泡。