初中数学方程与不等式之一元二次方程知识点

初中数学方程与不等式之一元二次方程知识点

一、选择题

1．关于x 的一元二次方程ax 2+2x+1=0有两个不相等的实数根，那么a 的取值范围是( ) A ．a ＞1

B ．a=1

C ．a ＜1

D ．a<1且a≠0

【答案】D

【解析】

【分析】

由于原方程是一元二次方程，首先应该确定的是a≠0；然后再根据原方程根的情况，利用根的判别式建立关于a 的不等式，求出a 的取值范围．

【详解】

解：由于原方程是二次方程，所以a≠0；

∵原方程有两个不相等的实数根，

∴△=b 2-4ac=4-4a ＞0，解得a ＜1；

综上，可得a≠0，且a ＜1；

故选D ．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

(1)△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；

(3)△＜0⇔方程没有实数根．

2．对于一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），下列说法：

①若b ＝ax 2+bx +c ＝0一定有两个相等的实数根；

②若方程ax 2+bx +c ＝0有两个不等的实数根，则方程x 2﹣bx +ac ＝0也一定有两个不等的实数根；

③若c 是方程ax 2+bx +c ＝0的一个根，则一定有ac +b +1＝0成立；

④若x 0是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的根，则b 2﹣4ac ＝（2ax 0+b ）2，其中正确的（ ）

A ．只有①②③

B ．只有①②④

C ．①②③④

D ．只有③④

【答案】B

【解析】

【分析】

判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=-24b ac 的值的符号就可以了．④难度较大，用到了求根公式表示0x ．

【详解】

解：①若b =，方程两边平方得b 2＝4ac ，即b 2﹣4ac ＝0，所以方程ax 2+bx +c ＝0一定有两个相等的实数根；

②若方程ax 2+bx +c ＝0有两个不等的实数根，则b 2﹣4ac ＞0

方程x 2﹣bx +ac ＝0中根的判别式也是b 2﹣4ac ＞0，所以也一定有两个不等的实数根； ③若c 是方程ax 2+bx +c ＝0的一个根，则一定有ac 2+bc +c ＝0成立，

当c ≠0时ac +b +1＝0成立；当c ＝0时ac +b +1＝0不成立；

④若x 0是一元二次方程ax 2

+bx +c ＝0的根，可得0x ， 把x 0的值代入（2ax 0+b ）2，可得b 2﹣4ac ＝（2ax 0+b ）2，

综上所述其中正确的①②④．

故选：B ．

【点睛】

此题主要考查了根的判别式及其应用．尤其是④难度较大，用到了求根公式表示0x ，整体代入求2204(2)b ac ax b -=+．

总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△0>⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△0=⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△0<⇔方程没有实数根．

3．某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%，设平均每次增长的百分数为x ，那么x 应满足的方程是（ ）

A ．40%10%2x +=

B ．100(140%)(110%)(1)x ++=+

C ．2(140%)(110%)(1)x ++=+

D ．2(10040%)(10010%)100(1)x ++=+ 【答案】C

【解析】

【分析】

设平均每次增长的百分数为x ，根据“某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%”，得到商品现在的价格，根据“某商品原价为100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为x ”，得到商品现在关于x 的价格，整理后即可得到答案．

【详解】

解：设平均每次增长的百分数为x ，

∵某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%， ∴商品现在的价格为：100(140%)(110%)++，

∵某商品原价为100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为x ，

∴商品现在的价格为：2

(1)x +，

∴2100(140%)(110%)100(1)++=+x ，

整理得：2(140%)(110%)(1)x ++=+，

故选：C ．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．

4．已知x=1是一元二次方程

的解，则b 的值为（ ） A ．0

B ．1

C ．

D ．2

【答案】C

【解析】

【分析】

根据一元二次方程解的定义，把x=1代入x 2+bx+1=0得关于b 的一次方程，然后解一次方程即可．

【详解】

解：把x=1代入x 2+bx+1=0

得1+b+1=0，解得b=-2．

故选：C ．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

5．若关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）

A ．k ≠0

B ．k ＞4

C ．k ＜4

D ．k ＜4且k ≠0

【答案】C

【解析】

【分析】

根据判别式的意义得到△=（-4）2-4k ＞0，然后解不等式即可．

【详解】

∵关于x 的一元二次方程2x 4x k 0-+=有两个不相等的实数根，

∴2=(-4)40k ∆-＞

解得：k ＜4．

故答案为：C ．

【点睛】

本题考查的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系，解题关键是熟记一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0方程有两个不相等的实数根；（2）△=0方程有两个相等的实数根；（3）△＜0方程没有实数根．

6．李师傅去年开了一家商店，将每个月的盈亏情况都作了记录．今年1月份开始盈利，2