线段中垂线的性质定理
人教版初二上册第十二章学案设计：角平分线和线段中垂线定理
人教版初二上册第十二章学案设计：角平分线和线段中垂线定理课 题：角平分线和线段中垂线定理【知识点精讲】一、两个重要定理：➢ 线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
几何语言描述：如图：∵MN 垂直平分线段AB ∴ P A =PB逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
几何语言描述：如图：∵P A =PB ∴点P 在线段AB 的垂直平分线上➢角平分线定理：在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
几何语言描述：如图：∵OP 平分∠AOB ， PD ⊥OA ，PE ⊥OB∴PD =PE逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
几何语言描述：如图： ∵PD =PE ， PD ⊥OA ，PE ⊥OB∴OP 平分∠AOB二、证明线段相等的方法：AABO1、线段在同一三角形中，通常证明等角对等边；2、证明三角形全等：全等三角形的对应边相等3、等腰三角形顶角的平分线或底边上的高平分底边；4、线段中垂线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；5、角平分线性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等；三、证明角相等的方法：1、角在同一三角形中，通常证明等边对等角；2、证明三角形全等：全等三角形的对应角相等3、等腰三角形底边上的高或底边中线平分顶角；4、角平分线性质定理逆定理；5、两直线平行（同位角，内错角）6、同角的余角相等；7、等角的余角相等；8、同角的补角相等；9、等角的补角相等； 10、三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和．【典型例题及相似题练习】例题分析例1：尺规作图作角的平分线按照步骤，完成作图：（要求保留作图痕迹） 已知AOB ∠.求作：AOB ∠的平分线 作法：① 以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N ；②分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在AOB ∠的内部相交于C ；② 画射线OC ，射线OC 即为所求，人教版初二上册第十二章学案设计：角平分线和线段中垂线定理BAE DCFBO例2：已知：OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA, PE ⊥ OB ，垂足分别是D ，E. PD=5，求PE 的长度.例3：已知:如图,在△ABC 中,AD 是它的角平分线,且BD=CD,DE ⊥AB,DF ⊥AC,垂足分别是E,F. 求证:EB=FC 证明：例4：在△ABC 中，∠ C=90 ° ，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，BC ＝7，DE ＝3.求BD 的长。
八下第五讲 中垂线 角平分线性质与判定定理书写的规范
其实，有关中垂线，角平分线性质和判定定理的书写并不难，我们只要注意写好必要步骤， 由因得果，会比全等的书写简单许多，不信，来看第一个例题．
例1：
如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点P，求证：点P在∠DAE的平分线
上．
分析：
在《 八上第四讲 全等辅助线（3）见角平 分线作垂直 》中，我们已经介绍了辅助线的 作法，见角平分线作垂直，这里出现了两个外 角，那一共是作三次垂直，这样，我们就可以 用角平分线的性质定理，来证明所作的垂线段 相等，接着，利用角平分线的判定定理，求证 点P的位置．
PE⊥AB，PG⊥BD ∴PE＝PG ∵CPPF平⊥分AC∠，ACPGD⊥BD ∴PF＝PG ∴PE＝PF 又∵PE⊥AB，PF⊥AC ∴AP平分∠EAF 易知∠BAC＝2∠BPC＝ 80°(上学期反复讲过的结 论) ∴∠CAE＝100° ∠CAP＝50°
小结：
对于含多个角平分线的问题，与之前证全等的思路一致，我们应该第一时刻想到作垂直的辅 助线，但是，现在我们也可以多用角平分线的性质和判定定理进行书写了．
小结：
以上2题主要是对中垂线的性质定理和判定定理的灵活运用，这里常用的辅助线就是连接中垂 线上的点和线段的两个端点．运用时，给出中垂线，就用性质定理，要证明某点的位置，就用判 定定理．
例3： 已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，交∠BAC的平分线AM于点
E，EF⊥AB，垂足为F，EG⊥AC，交AC延长线于点G，求证：BF＝CG
1、中垂线的性质定理：线段垂直平分线上的点 到线段两端的距离相等． 书写格式1： ∵OP⊥AB，AP＝PB ∴AO＝BO 书写格式2： ∵点O在线段AB的中垂线上 ∴AO＝BO
直线与直线垂直性质
直线与直线垂直性质直线是几何学中最基本的元素之一，而直线之间的垂直性质更是几何学中广泛研究的一个重要领域。
本文将探讨直线与直线垂直性质的相关概念与定理，并通过具体的例子来加深理解。
一、垂直线的定义和性质在几何学中，两条直线相交于一点且互相垂直被称为垂直线。
垂直线具有以下特征：1. 垂直线之间的夹角是90度。
这是垂直线最基本的特征之一。
无论两条直线是水平与垂直相交，还是斜交，它们之间的夹角都是共同的90度。
2. 垂直线上的任意一条线段都是垂直于另一条线上的任意一条线段。
这意味着两条垂直线上的线段之间的夹角也是90度。
3. 垂直线上的任意一条线段都是垂直于平行于另一条直线上的任意一条线段。
这是垂直线的一个重要性质，也是垂直线在平行线研究中的应用之一。
二、垂直线的证明方法在几何学证明中，我们常常需要证明两条直线是垂直的。
下面介绍几种常见的垂直线证明方法。
1. 垂直线定义：通过证明两条直线相交，并且它们的夹角等于90度，我们可以得出它们是垂直线。
这是垂直线最直接的证明方法。
2. 互补角定理：如果两个角的和等于90度，则它们互为补角，也可以证明两条直线是垂直的。
3. 垂直线定理：如果两条直线分别与一条交线垂直，并且这两条直线不重合，则它们是垂直的。
这是一种基于交叉线的垂直线证明方法。
三、垂直线的应用垂直线性质在几何学中有广泛的应用，下面介绍一些常见的应用场景。
1. 垂直平分线：垂直平分线是指将一条线段垂直平分为两个相等的线段的直线。
垂直平分线在构造垂直线段、正方形等问题中有重要的应用。
2. 垂直交线：垂直交线是指两条垂直线的交点。
垂直交线在平行线证明中起着重要的作用，可以证明两条平行线与垂直交线垂直。
3. 垂直角平分线：垂直角平分线是指将一对垂直角的两条边平分为两条相等线段的直线。
垂直角平分线在角平分线构造、角度计算等问题中有广泛的应用。
通过研究直线与直线之间的垂直性质，我们可以更好地理解和利用几何学中的基本概念和定理。
线段中垂线知识点总结
线段中垂线知识点总结线段垂线是初中数学中的重要概念，它是指一个线段与另外一个线段或平面相交，并且交点与被交线段上某一点的连线垂直。
线段垂线的性质和定理是数学学习中需要深入理解和掌握的内容。
下面将对线段垂线的定义、性质和相关定理进行详细的总结和解释。
一、线段垂线的定义线段垂线的定义比较简单，即一个线段与另一个线段或平面相交，并且交点与被交线段上某一点的连线垂直。
在平面几何中，我们通常说两条线段或线段与平面的相交是指它们有一个交点。
当两条线段相交，并且交点与被交线段上某一点的连线垂直时，我们称这个连线是线段的垂线。
二、线段垂线的性质线段垂线有一些重要的性质：1. 垂线的性质：线段的垂线是垂直于它的。
2. 垂直的判定：如果两条线段的垂线互相垂直，则这两条线段也是垂直的。
3. 角的性质：线段的垂线和被交线段所构成的角是直角。
4. 长度的性质：在线段的垂线上分割线段成为两个互相垂直的线段，这两个线段的长度之积等于原线段的长度之积。
5. 完全性质：一个平面内经过一点的线段的垂线只有一条。
这些性质是线段垂线的基本性质，能够帮助我们更好地理解和应用线段垂线的知识。
三、线段垂线的相关定理线段垂线的知识点主要还包括一些相关的定理，能够帮助我们解决一些具体的问题。
1. 线段垂线定理：在一个直角三角形中，三角形的任意一条边上的高都是这条边的垂线。
2. 垂心定理：在一个三角形中，三条高的交点叫做垂心，它是这个平面三角形的一个特殊点。
3. 垂直平分线定理：在一个平面几何中，如果一个线段的中点到另一个线段的两个端点的连线是这个线段的垂线，那么这个线段被中点垂直平分。
4. 垂直平分线的唯一性：在一个平面几何中，一个线段只有一条通过它中点且与它垂直的直线。
这些定理是线段垂线知识点的有力补充，它们有利于我们深入理解和应用线段垂线的相关知识。
四、线段垂线的应用线段垂线的知识点不仅在学习中有重要的地位，也在实际生活和工作中有着广泛的应用。
《垂线定理及逆定理》课件
为了证明垂线定理，我们需要利用已 知的三角形性质和几何定理来推导。
证明的过程
01 02
第一步
根据三角形面积公式，我们知道三角形ABC的面积等于底边BC乘以高 AD的一半，即S△ABC=12BC⋅AD。S_{triangle ABC} = frac{1}{2} BC cdot AD
通过应用逆定理，可以快速找到证明 两条线垂直的方法，从而简化解题过 程。
04
逆定理的证明
证明的思路
引入已知条件
首先明确题目中给出的已 知条件，包括线段、点、 角度等。
逻辑推理
根据已知条件，通过逻辑 推理和数学公式的应用， 逐步推导出结论。
结论总结
在推导过程中，不断总结 和归纳，最终得出逆定理 的结论。
逆定理的应用实例
逆定理在几何证明中的应用
利用逆定理，可以证明一些与平行线和同位角、内错角有关的几何命题，例如平 行线的性质和判定。
逆定理在日常生活中的应用
逆定理在日常生活中也有广泛的应用，例如道路的平行线检测、建筑物的平行度 测量等。
综合应用实例
垂线定理与逆定理的综合应用
在解决一些复杂的几何问题时，需要综合运用垂线定理和逆定理，例如证明两个三角形相似的判定定 理。
逆定理的几何解释
在几何图形中，逆定理可以通过实际的图形来解释和证明。
如果一条直线与另外两条相交直线形成的同旁内角互补，那 么这条直线必定与那两条相交直线垂直。
逆定理的应用场景
逆定理在几何证明题中应用广泛，特 别是在解决与垂直线相关的问题时。
在实际生活中，逆定理也有很多应用 ，比如在建筑、机械等领域中，常常 需要用到逆定理来验证结构的稳定性 和安全性。
中垂线定理及其逆定理
中垂线定理及其逆定理1.引言1.1 概述概述部分的内容需要对中垂线定理及其逆定理进行简要介绍。
可以参考如下内容进行撰写：中垂线定理及其逆定理是解析几何中重要且常用的定理之一。
中垂线是三角形中的一条特殊线段，它连接一个边上的中点与对边的垂足，同时垂直于对边。
中垂线定理指出，在一个平面三角形中，如果一条线段既与边相等又与另一边垂直，则该线段一定是该三角形的中垂线。
而中垂线逆定理则是中垂线定理的逆向推论，即如果一条线段是三角形中某一边的中垂线，那么该线段一定既与该边相等又与另一边垂直。
中垂线定理及其逆定理都具有重要的几何性质和广泛的应用。
这两个定理被广泛应用于求解三角形的几何关系和计算三角形的面积等问题。
它们可以帮助我们简化问题，提供几何上的直观理解，并且在相关的证明和推导中起到重要的引导作用。
本文将从中垂线定理与逆定理的定义与性质入手，介绍它们的推导过程和证明方法，并通过一些实际问题的应用来展示它们的实际意义和应用价值。
此外，文章还将对中垂线定理与逆定理进行总结，并给出一些相关的拓展与应用，帮助读者深入理解和运用这两个定理。
总之，中垂线定理及其逆定理是解析几何中的重要定理，通过研究和应用这些定理，我们可以更好地理解和解决与三角形相关的几何问题。
在接下来的章节中，我们将逐步展开对中垂线定理及其逆定理的详细介绍与探讨。
1.2 文章结构：本文主要围绕中垂线定理及其逆定理展开讨论，文章结构分为以下几个部分：第一部分为引言，包括概述、文章结构和目的。
在概述部分，将简要介绍中垂线定理及其逆定理的背景和重要性，为读者提供一个整体的认识。
接着，说明文章的结构，即介绍各个章节的主要内容和关系。
最后，明确文章的目的，即阐述中垂线定理及其逆定理的定义、性质、证明和应用，同时提供一些拓展和应用方面的探讨。
第二部分是中垂线定理。
首先，在定义与性质部分，将详细解释中垂线定理的定义，并介绍其重要性质，如中垂线与三角形边的关系。
然后，在证明与应用部分，将给出中垂线定理的证明过程，帮助读者理解中垂线定理的原理和推导方法。
初一数学《垂线》课件
过一点作已知直线的平行线
总结词
通过给定的一个点，使用直尺和三角板，可以作出与给定直线平行的线段。
详细描述
首先确定给定的点，然后将三角板的一条边放在该点上，另一条边与给定直线 重合，沿着这条边画一条线段，即为所求的平行线。
作平行四边形的垂线
总结词
在平行四边形中，可以通过连接 对角线上的两个端点来作出垂线 。
在地球科学中，垂线被用来测量地壳的倾斜度和地震的震源深度， 对于研究地球的运动和地震预测具有重要意义。
03 垂线的作法
过一点作已知直线的垂线
总结词
通过给定的一个点，使用直角三角板 或量角器，可以作出与给定直线垂直 的线段。
详细描述
首先确定给定的点，然后将直角三角 板的一条直角边放在该点上，另一条 直角边与给定直线重合，沿着这条直 角边画一条线段，即为所求的垂线。
01
如果一条线段与另一条直线相交 形成的角为直角，则该线段垂直 于另一条直线。
02
如果一条线段与另一条直线相交 ，且经过另一条直线上的一点， 则该线段垂直于另一条直线。
垂线定理的推论
垂线的斜率互为相反数
如果一条直线的斜率为k，则其垂线的斜率为-1/k。
垂线与原直线平行
如果一条直线平行于x轴，则其垂线与x轴垂直。
题目2
已知两条直线互相垂直，其中 一条直线的方程为y=2x+1，求 另一条直线的方程。
题目3
在直角坐标系中，点A的坐标为 (1,2)，点B的坐标为(3,4)，求线
段AB的垂直平分线的方程。
答案及解析
01 02
题目1答案及解析
垂线是两条直线相交成直角时，所形成的线段。生活中常见的例子有窗 户的边框、墙角等。解析：此题考察垂线的定义，理解垂线的概念是解 题的关键。
线段中垂线定理
22.5 (2) 线段中垂线定理一、情景引入：1． 指定某排的两位同学，请学生指认班中哪几位同学和这两位同学的距离相等？这几位同学的位置有何特点？AB2． 已知：A(-3,0),B(3,0),在直角坐标平面内找点C ，使AC=BC.这样的点有几个？（引出点的集合）引入别致二、证明定理：1. 到线段AB 两个端点距离相等的点在哪里?——在线段AB 的中垂线上。
已知：CA=CBB求证：C 在AB 的中垂线上。
得到定理：和线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
2． 出这条定理的逆命题：线段垂直平分线上的点和线段两个端点的距离相等。
请学生指出此命题中的条件和结论：好得到逆定理：线段垂直平分线上的点和线段两个端点的距离相等。
利用等腰三角形的性质：等腰三角形三线合一。
已知：直线L 垂直平分线段AB ，F 是垂足，点C 是AB 上的任意一点。
求证：CA=CB请学生证明。
比较两条定理：好B三、定理的运用：B C在已知△ABC 所在平面内找出点O ，使OA=OB=OC.B说明点O 的位置。
2．L B（1）∵ ON 是AB 的垂直平分线（已知） ∴ OA=OB (线段垂直平分线上的点和线段两个端点的距离相等)（2）∵ OA=OC (已知)∴ O 在AC 的垂直平分线上（和线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）1．已知：在△ABC 中，ON 是AB 的垂直平分线， OA=OC.求证：点O 在BC 的垂直平分线上。
结合上述（1）（2）进行证明。
（1） 在直线L 上找点P ,使AP=BP .（2） 在直线L 上找点P ,使AP+BP 最短。
垂线的性质
垂线的性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点有与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短；线段垂直平分线定义：过线段的中点并且垂直于线段的直线叫做线段的垂直平分线；线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线；平行线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；平行线的判定：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；平行线的特征：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补；平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线。
(3)三角形三角形的三边关系定理及推论：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于；三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个的和；三角形的外角和定理推理：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；三角形的三条角平分线交于一点（内心）；三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心）；三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半；全等三角形的判定：①边角边公理（SAS）②角边角公理（ASA）③角角边定理（AAS）④边边边公理（SSS）⑤斜边、直角边公理（HL）等腰三角形的性质：①等腰三角形的两个底角相等；②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形；直角三角形的性质：①直角三角形的两个锐角互为余角；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；④直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形的判定：①有两个角互余的三角形是直角三角形；②如果三角形的三边长a、b 、c有下面关系，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。
垂直平分线的定义和性质
经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）（英文：perpendicular bisector）。
垂直平分线，简称“中垂线”，是初中几何学科中占有绝大部分的非常重要的一部分。
垂直平分线的性质1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。
2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。
3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心（circumcenter），并且这一点到三个顶点的距离相等。
垂直平分线的逆定理到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
如图：直线MN即为线段AB的垂直平分线。
注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。
垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
巧计方法：点到线段两端距离相等。
可以通过全等三角形证明。
垂直平分线的尺规作法方法之一：（用圆规作图）1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。
2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。
得到一个交点(两交点交与线段的同侧)。
3、连接这两个交点。
原理：等腰三角形的高垂直等分底边。
方法之二：1、连接这两个交点。
原理：两点成一线。
等腰三角形的性质：1、三线合一( 等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角平分线相互重合。
)2、等角对等边3、等边对等角练习：（1）根据线段垂直平分线的性质解答即可；（2）依据角平分线的性质解答；（3）连接BD、CD，利用角平分线及线段垂直平分线的性质可求出BD=DH，DG=DC，依据HL 定理可判断出Rt△BDG≌Rt△CDH，根据全等三角形的性质即可得出结论．解答：解：（1）相等．∵D是线段BC垂直平分线上的一点，∴D点到B、C两点的距离相等；（2）相等．∵点D在∠BAC的角平分线上，∴D点到∠BAC两边的距离相等；（3）BG=CH．连接BD、CD，∵D是线段BC垂直平分线上的点，∴BD=DH，。
线段中垂线的性质与判定
巩固练习
练3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，AB的垂直平 分线EF交AB于E，交BC于F，求证：CF=2BF．
课堂小结
这节课你的收获是什么？ 已知∠AOB与线段CD，求作一点P，使点P到CD的两个端点距离相等且∠AOB两边距离也相等． 这节课你的收获是什么？ 已知∠AOB与线段CD，求作一点P，使点P到CD的两个端点距离相等且∠AOB两边距离也相等． 练1．在△ABC中，∠ABC=45°，AD是∠BAC的角平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于F，求∠CAF．
这节课你的收获是什么？ 例．如图 ，OC 为∠AOB 的平分线，P 为 OC 上任意一点，PE垂直 OA 于点 E，PF 垂直 OB 于点 F，求证：OP是EF的中垂线．
这节课你的收获是什么？ 练1．在△ABC中，∠ABC=45°，AD是∠BAC的角平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于F，求∠CAF． 练3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，AB的垂直平分线EF交AB于E，交BC于F，求证：CF=2BF． 例．如图 ，OC 为∠AOB 的平分线，P 为 OC 上任意一点，PE垂直 OA 于点 E，PF 垂直 OB 于点 F，求证：OP是EF的中垂线． 练2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∠A<∠B ，CM是斜边AB的中线， 将△ ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰 好与AB垂直，求∠A的大小． 第十一章 生活中的轴对称 练3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，AB的垂直平分线EF交AB于E，交BC于F，求证：CF=2BF． 这节课你的收获是什么？ 练2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∠A<∠B ，CM是斜边AB的中线， 将△ ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰 好与AB垂直，求∠A的大小． 《优等生数学》八年级P21 T1、T2、T4 ，P23 T4，P25 T1、T3，其它选做在书上 第十一章 生活中的轴对称 《优等生数学》八年级P21 T1、T2、T4 ，P23 T4，P25 T1、T3，其它选做在书上 这节课你的收获是什么？ 《优等生数学》八年级P21 T1、T2、T4 ，P23 T4，P25 T1、T3，其它选做在书上 练1．在△ABC中，∠ABC=45°，AD是∠BAC的角平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于F，求∠CAF． 《优等生数学》八年级P21 T1、T2、T4 ，P23 T4，P25 T1、T3，其它选做在书上 第十一章 生活中的轴对称 已知平面内三条直线两两相交且不交于一点，问平面内存在到三条直线距离相等的点有几个？ 4 线段中垂线的性质与判定 练1．在△ABC中，∠ABC=45°，AD是∠BAC的角平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于F，求∠CAF． 已知平面内三条直线两两相交且不交于一点，问平面内存在到三条直线距离相等的点有几个？ 《优等生数学》八年级P21 T1、T2、T4 ，P23 T4，P25 T1、T3，其它选做在书上 已知∠AOB与线段CD，求作一点P，使点P到CD的两个端点距离相等且∠AOB两边距离也相等． 《优等生数学》八年级P21 T1、T2、T4 ，P23 T4，P25 T1、T3，其它选做在书上
初中数学 几何证明题的知识点总结
几何证明题的知识点总结知识点：一、线段垂直平分线（中垂线）性质定理及其逆定理：定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
MPA BN二、角平分线的性质定理及其逆定理：定理：在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等。
逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两边距离相等的点，定在这个角的平分线上。
三、相交线、平行线1、对顶角相等2、平行线的判定（1)同位角相等，两直线平行（2)内错角相等，两直线平行（3)同旁内角互补，两直线平行3、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等（2）两直线平行，内错角相等（3）两直线平行，同旁内角互补（4）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行四、三角形 1、等腰三角形（1）等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线 （2）等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形就是等腰三角形（简称为“等角对等边”） 2、RT 的性质定理：（1）RT 的两个锐角互余。
（2）在RT 中，斜边上的中线等于斜边的一半。
推论：（1）在RT 中，如果一个锐角等于30度，那么这个角所对的边等于斜边的一半。
（2）在RT 中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30度。
2、勾股定理在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方即：c b a222=+3、三角形中位线定理：三角形两边中点连线平行于第三边，且等于第三遍的一半。
4、全等三角形的判定定理（1）三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS) （2）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) （3）有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) （4）有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)（5）直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL) 5、全等三角形的性质（1）全等三角形的对应角相等（2）全等三角形的对应边、对应中线、对应高、对应角平分线相等五、平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 性质定理：（1)平行四边形的对边相等（推论：夹在两条平行线间的平行线段相等、平行线间的距离处处相等） （2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形的两条对角线互相平分（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点 判定定理：(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形． (3)定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． (4)定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形． (5)定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．六、矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 性质：（1）矩形的四个角都是直角（2）矩形的对角线相等判定定理：（1）有三个内角是直角的四边形是矩形（2）对角线相等的平行四边形是矩形七、菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形性质：（1）菱形的四条边都相等（2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角判定定理：(1)四边都相等的四边形是菱形．(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．八、正方形定义：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形性质：（1)正方形的四个角都是直角，四条边都相等．(2)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．判定定理：(1)判定一个四边形为正方形主要根据定义，途径有两种：①先证它是矩形，再证它有一组邻边相等．②先证它是菱形，再证它有一个角为直角．(2)判定正方形的一般顺序：①先证明它是平行四边形；②再证明它是菱形(或矩形)；③最后证明它是矩形(或菱形)九、（等腰)梯形梯形定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形等腰梯形性质：(1)等腰梯形两腰相等、两底平行．(2)等腰梯形在同一底上的两个角相等．(3)等腰梯形的对角线相等．等腰梯形判定定理：(1)两腰相等的梯形是等腰梯形．(2)在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．(3)对角线相等的梯形是等腰梯形．梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
平行线和垂直线的性质
平行线和垂直线的性质平行线和垂直线是几何学中常见的线段关系。
它们具有一些特殊的性质和定理。
本文将详细介绍这些性质，包括平行线之间的性质、平行线与垂直线之间的性质，以及垂直线之间的性质。
一、平行线之间的性质1. 平行线定义：在平面上，如果两条直线不存在交点，且在同一个平面内，那么称这两条直线为平行线。
用符号“||”表示。
2. 平行线的性质之一：平行线具有传递性。
如果直线a平行于直线b，直线b平行于直线c，那么直线a也平行于直线c。
换句话说，如果a || b，b || c，则有a || c。
3. 平行线的性质之二：平行线具有对应角相等。
对应角是指两条平行线被一条穿过它们的直线所切割而形成的角。
如果直线a与直线b平行，直线c与直线d平行，且直线c与直线d分别与平行线a、b相交，那么对应角α和对应角β相等。
4. 平行线的性质之三：平行线具有内错角相等。
内错角是指两条平行线被一条穿过它们的直线所切割而形成的两对内角。
如果直线a与直线b平行，直线c与直线d平行，且直线c与直线d分别与平行线a、b相交，那么内错角α和内错角β相等。
二、平行线与垂直线之间的性质1. 垂直线定义：在平面上，如果两条直线相交，且形成的四个角中，有两个角互为垂直角，那么称这两条直线为垂直线。
2. 平行线与垂直线性质之一：平行线与一条直线的交线上的对应角互为等角。
如果直线a与直线b平行，直线c与直线a相交，那么对应角α和直线c所与直线b的交线上的角度β相等。
3. 平行线与垂直线性质之二：平行线与一条直线的交线上的内错角互为等角。
如果直线a与直线b平行，直线c与直线a相交，那么内错角α和直线c所与直线b的交线上的角度β相等。
三、垂直线之间的性质1. 垂直线的性质之一：垂直线具有传递性。
如果直线a垂直于直线b，直线b垂直于直线c，那么直线a也垂直于直线c。
换句话说，如果a ⊥ b，b ⊥ c，则有a ⊥ c。
2. 垂直线的性质之二：垂直线与平行线的关系。
中垂线定理
∴AC=BC
由垂直平分线定义有：
PM
MN⊥AB
∴∠ACM= ∠BCM 又∵PC=PC
AC
B
∴△ACP≌ △BCP
N
∴PA=PB
结论：中垂线定理——线段垂直平分线上的 点和这条线段的两个端点的距离相等。
例：如图，已知在△ABC中，∠ACB=90， ∠B=15，DE垂直平分AB，BD=8，求AC的长？
中垂线定理
如图，在一条公路的两旁有甲乙两个工厂， 现要在公路旁建一个公共电话亭，使两个工 厂到电话亭的距离相等，如何确定电话亭的 位置？
乙厂
公路
甲厂
中垂线定理
如图：直线MN是 线段AB的垂直平 分线，C点为交点， 当我们在MN上任 取一点P时，可以 得到怎样的结论？
PM
AC
B
N
∵直线MN是线段AB的垂直平分线
解： ∵DE垂直平分AB
由中垂线定理 BD=AD
A E
∵ ∠B=15 ∴ ∠A4
解决前面的思考问题
如图，电话亭应建在甲乙两厂连线的垂直平 分线与公路的交点处
乙工厂
公路 甲工厂
电话亭
P58
2,3
中垂线定理及其逆定理
中垂线定理及其逆定理
教学目标：
1.掌握关于线段垂直平分线的定理及其逆定理
2.应用线段垂直平分线定理及其逆定理进行有关论证及作图
教学重难点：
重点：线段的垂直平分线的定理及其逆定理。
难点：线段的垂直平分线定理与逆定理的应用。
定理
线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
（如何证明）
性质
如果一个点在一条线段的垂直平分线上，那么这个点到这条线段两个端点的距离相等。
探讨：已知线段AB，有一点P，且PA=PB，那么，在AB的垂直平分线外是否存在一点P使得PA=PB。
（即p一定在AB的垂直平分线上）
逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
例1：已知A、B、C三个村庄不在同一条直线上，现在要在三个村庄中间建一所学校，问，把学校建在哪个位置能够使该学校到三个村庄的距离相等？
例2：在一条公路的两旁有甲、乙两个工厂，现在要在公路旁建一个公共电话亭，使两个工厂到电话亭的距离相等，如何确定电话亭的位置？。
中垂线定理、逆定理
§22.5(2)中垂线定理、逆定理华锐中学陈飞教学目标：1．掌握关于线段垂直平分线的两条互逆定理2．应用线段垂直平分线互逆定理进行有关论证及作图教学重点和难点、重点：线段的垂直平分线的定理及逆定理难点：线段的垂直平分线定理与逆定理的应用教学过程：一、引入：思考：如图，在一条公路的两旁有甲乙两个工厂，现要在公路旁建一个公共电话亭，使两个工厂到电话亭的距离相等，如何确定电话亭的位置？（要解决这个问题，首先要考虑和两个点距离相等的点在什么位置？今天我们所要学习的知识就可以帮助我们解决这一问题。
）二、线段垂直平分线定理如图：直线MN是线段AB的垂直平分线，C点为交点，当我们在MN上任取一点P时，可以得到怎样的结论？答：（1）AC=BC (2)ABMN⊥（垂直平分线定义）（3）PA=PB (利用全等三角形对应边相等来证明)总结：文字语言：线段垂直平分线定理——线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等。
符号语言：PBPAABMNBCAC=⇒⎭⎬⎫⊥=例1：如图，已知在△ABC中，∠ACB=900，∠B=150，DE垂直平分AB，BD=8，求AC的长（用线段垂直平分线定理可证）三、线段垂直平分线逆定理线段垂直平分线定理的逆命题是：和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上如果已知QA=QB，那么能否说明Q点在AB的垂直平分线上？过Q点作AB的垂线，可利用等腰三角形的三线合一来证文字语言：线段垂直平分线逆定理——和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上符号语言：的垂直平分线上在ABPPBPA⇒=例2：已知如图，D是BC延长线上的一点，BD=BC+AC，A B公路乙厂DB求证：点C 在AD 的垂直平分线上（用线段垂直平分线逆定理可证）例3：已知如图，在△ABC 中，ON 是AB 的垂直平分线，OA=OC 求证：点C 在BC 的垂直平分线上 （先用中垂线定理，再用中垂线逆定理）四、小结： 1．回答课题引入时的思考题：如图，电话亭应建在甲乙两厂连线的垂直平分线与公路的交点处，依据是中垂线逆定理 2． 中垂线定理和中垂线逆定理的内容3． 怎样运用这两条互逆定理4． （注：这节课我在教学过程中用了两课时，定理一课时、逆定理一课时，我感觉这一节内容学生易掌握、也易混淆，分成两课时对学生掌握怎样运用这两条互逆定理有益）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
线段中垂线的性质定理
教学目的：1、掌握线段中垂线的性质定理；
2、学会线段中垂线的性质定理在几何证明及计算中的应用。
教学重点：线段中垂线的性质定理
教学难点：例2教学
教学过程：
一、复习引入：
1、 什么叫轴对称图形？
2、 已知线段AB ，如何作出其对称轴？（学生口述，
教师作图如图1）
这条对称轴就是线段AB 的中垂线。
3、 提出问题：MN 是线段AB 的中垂线，则C 为垂足，
C 也是中点，故CA=CB 。
现在，在MN 上任取一点P ，是否也有PA=PB 呢？本
节课我们要进一步研究线段的中垂线。
（揭示课题：线段中垂线的性质定理）
二、新课讲授：
1、 线段中垂线的性质定理：
在线段的中垂线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
证明方法：⑴全等证法；（学生口述简证）⑵利用轴对称证法。
（学生了解）
2、 线段中垂线的性质定理的应用
Ⅰ图形认识强化： ⑴如图2，已知DF ，EH 分别为AB ，AB 的中垂
线，所能得到的结论是：
⑵如图3，已知AE 是BC 的中垂线，所能得到
的结论是：
⑶如图4，已知DE 是AB 的中垂线，所能得到的结论是：
A B C D E
图3B A
C E D
图4
Ⅱ例题教学
例1分析：
A M N C
B P 图1B A
E C
D 图2
⑴从已知出发考虑问题，AE垂直平分CF能推出什么?AC=AF，从而能更进一步推出
什么？∠AFC=∠ACF.
⑵再从已知考虑问题，由CD⊥AB，能推出∠1与∠AFC有什么关系？由∠ACB=90，
能推出∠2和哪个角互余？
⑶由∠AFC=∠ACF能推出∠1=∠2吗？根据什么？
写出规范证明过程.
例2分析：
4
三、练习巩固：
1、P66练习1；
2、P66练习2；
四、课堂小结：
1、线段中垂线的性质定理;
2、要避免在已知线段中垂线条件下不用性质避免而用全等繁证一些结论，例如：上
图3中若要证∠DEC=∠DCE，有同学通过证明△DEC≌△DCE来证，虽能证得，但方法很繁。
3、在已知中垂线的条件下，注意适当添线可创造中垂线性质定理的使用条件，如例2。
五、作业布置：
Ⅱ
六、课后记录：。