八年级数学重要知识点：一元二次方程实数根
初中数学一元二次方程知识点汇总,基础全面考前必掌握
初中数学一元二次方程知识点汇总，基础全面考前必掌握一、一元二次方程的定义及一般形式：只含有一个未知数x，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程。
一元二次方程的一般形式：ax^{2}＋bx+c =0 (a≠0)，其中a 为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
因此，一元二次方程必须满足以下3个条件：① 方程两边都是关于未知数的等式② 只含有一个未知数③ 未知数的最高次数为2如： 2x^{2}-4x+3=0 ， 3x^{2}=5 为一元二次方程，而像就不是一元二次方程。
二、一元二次方程的特殊形式（1）当b=0，c=0时，有： ax^{2} =0，∴ x^{2} =0，∴x=0（2）当b=0，0≠0时，有： ax^{2}+c=0 ，∵a≠0，此方程可转化为：①当a与c异号时， -\frac{c}{a}>0 ，根据平方根的定义可知，x=±\sqrt{-\frac{c}{a}} ，即当b=0，c≠0，且a与c 异号时，一元二次方程有两个不相等的实数根，这两个实数根互为相反数。
②当a与c同号时， -\frac{c}{a}<0 ，∵负数没有平方根，∴方程没有实数根。
（3）当b≠0，c＝0时，有 ax^{2}+bx=0 ，此方程左边可以因式分解，使方程转化为x（ax+b）=0，即x=0或ax+b=0，所以x1=0，x2=-b/a。
由此可见，当b≠0，c＝0时，一元二次方程 ax^{2}+bx=0 有两个不相等的实数根，且两实数根中必有一个为0。
三、一元二次方程解法：1.第一步:解一元二次方程时，如果没有给出一元二次方程的通式，先将其化为一元二次方程的通式，再确定求解的方法。
2. 解一元二次方程的常用方法：（1）直接开方法：把一元二次方程化为一般式后，如果方程中缺少一次项，是一个形如ax2+c=0的方程时，可以用此方法求解。
解法步骤：①把常数项移到等号右边， ax^{2}=-c ；②方程中每项都除以二次项系数， x^{2}=-\frac{c}{a} ；③开平方求出未知数的值：x=±\sqrt{-\frac{c}{a}}(2)因式分解法:将一元二次方程化为通式后，如果方程左边的多项式可以因式分解，就可以用这种方法求解。
八年级同步第8讲：一元二次方程求根公式及综合
第8讲 一元二次方程求根公式及解法综合知识框架一元二次方程求根公式是八年级数学上学期第十七章第二节内容，主要对一元二次方程求根公式解法进行讲解，重点是对一元二次方程求根公式的推导和解方程的理解，难点是求根公式在解一元二次方程中的灵活应用．同时，结合之前所学的开平方法、因式分解法及配方法进行解法综合应用，让学生熟练掌握．通过这节课的学习一方面为我们后期学习一元二次方程根的判别式提供依据，另一方面也为后面学习一元二次方程的应用奠定基础．8.1 一元二次方程求根公式1. 公式引入一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），可用配方法进行求解：得：2224()24b b ac x a a -+=．对上面这个方程进行讨论：因为0a ≠，所以240a >①当240b ac -≥时，22404b aca -≥利用开平方法，得：2b x a += 即：x = ②当240b ac -<时，22404b aca -<这时，在实数范围内，x 取任何值都不能使方程2224()24b b acx a a -+=左右两边的值相等，所以原方程没有实数根．2. 求根公式一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），当240b ac -≥时，有两个实数根：1x =2x =这就是一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的求根公式．3. 用公式法解一元二次方程一般步骤①一元二次方程化成一般形式20ax bx c ++=（0a ≠）； ②确定a 、b 、c 的值；③求出24b ac -的值（或代数式）；④若240b ac -≥，则把a 、b 、c 及24b ac -的值代入求根公式，求出1x 、2x ；若240b ac -<，则方程无解．【例1】 用公式法解下列方程：（1）(24)58x x x -=-；（2）2(53)(1)(1)5x x x -+=++．【例2】 用公式法解下列方程：（1）20.2 2.5 1.30.1x x x +-=；（2）22(3)(31)(23)1552x x x x +--+-=．【例3】 当x 为何值时，多项式21122x x +与220x +的值相等？【例4】 用公式法解下列方程：（1）291x +=；（220+-．【例5】 用公式法解方程：21)30x x ++-．【例6】 用公式法解关于x 的方程：20x px q ++=．【例7】 用公式法解关于x 的方程：222240x mx n m --+=．【例8】 观察求根公式x =，求出12x x +的值，并用得到的结果求解：设a 、b 是方程220130x x +-=的两个实数根，求22a a b ++的值．8.2 一元二次方程解法综合一元二次方程解法总结①开平方法：形如20 (0)ax c a +=≠及2()0 (0)a x k c a ++=≠的一元二次方程，移项后直接开平方法解方程．②因式分解法：通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题，即：若0A B ⋅=，则0A =或0B =．③配方法：通过添项或拆项，把方程左边配成完全平方式，剩余的常数项全部移到方程右边，再通过开平方法求出方程的解即：222222440()0()2424b b ac b b acax bx c a x x a a a a--++=⇒+-=⇒+=，再用开平方法求解． ④公式法：用求根公式解一元二次方程一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，当240b ac -≥时，有两个实数根：12 x x ==，【例9】 用因式分解法解下列方程：（1）23)x x =；（2）2(21)(21)0x x x ---=．【例10】 用因式分解法解下列方程：（1）212193x x +=-；（2）2225(21)9(3)0x x +-+=．【例11】 用因式分解法解下列方程：（1）23250x x -+-=；（2）2184033x x ++=；（3）(1)(2)10x x -+=； （4）(31)(1)(41)(1)x x x x +-=--．【例12】 用配方法解下列方程：（1）2252x x -=；（2）211.30.604x x ++=．【例13】 用配方法解下列方程：（1）213402x x ++=；（2）263150x x --=．【例14】 用配方法解下列关于x 的方程： （1）230x x t +-=； （2）220ax x ++=（0a ≠）．【例15】 用公式法解下列方程： （1）2356x x =+；（2）2(3)(28)1025x x x +++=．【例16】 用公式法解下列方程：（120x -=； （2）210.20.3020x x -+=；（3）226(21)2x x x -++=-．【例17】 用公式法解下列关于x 的方程：（1）20x bx c --=；（2）2100.1a x a -=．【例18】 用适当方法解下列方程：（1）2(21)9x -=； （2）212455250x x --=；（3）22(31)(1)0x x --+=；（4）2(2)(2)0x x x -+-=；（5）21102x -+=；（6）20.30.50.3 2.1x x x +=+．【例19】 用因式分解法和公式法2种方法解方程：2222x -+．【例20】 如果对于任意两个实数 a b 、，定义：2a b a b *=+试解方程：2(2)210x x *+*=．【例21】 已知2220x x --=，求代数式2(1)(3)(3)(3)(1)x x x x x -++-+--的值．【例22】 如果x 满足2710x x -+=，求1x x-的值．【例23】 用因式分解法和公式法2种方法解关于x 的方程：2222222()2()()0p q x p q x p q -+++-=，（其中p 、q 为常数，且00p q p q +≠-≠，）．【例24】 已知22()(2)8x y x y -+-=，求2x y -的值．【例25】 阅读材料，回答问题材料：为解方程4260x x --=，可将方程变形为222()60x x --=，然后设2x y =，则222()x y =，原方程化为260y y --=①解得12y =-、23y =当2y =-时，22x =-无意义，舍去；当3y =时，23x =，x =∴原方程的解为1x =2x =问题：（1）在由原方程到方程①的变化过程中，利用 法达到了降次的目的，将关于x 的一元高次方程转化为关于y 的一元二次方程．（2）解方程：①222()4()120x x x x ----=；②422(1)9x x -+=．【例26】 已知a 是实数，方程230x x a -+=的一个解的相反数是方程230x x a +-=的一个解，求方程230x x a -+=的解．【例27】 对任意实数k ，方程2(1)3()40k x k m x kn +-++=，总有一根为1，求m 、n 的值，并解此方程．【例28】 关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数，求整数m 的值．8.3 课堂检测1. 用配方法解关于x 的方程20x bx c ++=时，方程可变形为（）（A ）22()24b b x +=；（B ）224()24b b cx -+=；（C ）224()24b b cx +-=；（D ）224()24b b cx --=．2. 用适当方法解下列方程：（1）2(1)25x -=；（2）26153x x +=；（3）2(4)5(4)x x +=+； （4）242011x x +=；（5）22(23)(1)04x x +--=；（6）4(210x x +=．3. 当x 为何值时，274x x ++的值与23(32)x x -的值相等？4. 二次方程(1)(2)(2)(3)(3)(1)0a x x b x x c x x ++++++++=有根0与1，求::a b c 的值．5. 已知k 是方程210x x --=的一个根，求代数式3220162k k -+的值．6. 解关于x 的方程：22222()4m n x mnx m n --=-（0mn ≠）．7. 解下列方程：（1）42163290x x --=； （2）(1)(2)(3)(4)120x x x x ++++=．8. 已知关于x 的方程：22112()1x x x x +++=，求11x x++的值．8.4 课后作业1. 按照要求解下列关于x 的一元二次方程：（1）2650x x +-=（用配方法）； （2）26153x x +=（用配方法）；（3）2734y y =+（用公式法）； （4）20-=（用公式法）．2. 已知2514x x =-，求2(1)(21)(1)1x x x ---++的值．3. 用适当方法解下列关于x 的方程：（1）23)12-=；（2）225180x x +-=；（3）(2)(5)2x x --=-；（4）2(25)(1)(25)0x x x x +--+=；（5）221(0.5)0.25(2)039x x ---=； （6）2(21)10x -+=；（7）2(1)1)10x x -+--=；（8）(1)(21)x x a x a -=--．4. 若1x =是一元二次方程22(56)(21)50m m x m x -+++-=的一个根，求m 的值．5. 解关于x 的方程：222()0 (0,0)abx a b x ab a b -++=≠≠．6. 已知202(21)22x x x x ++=--，求x 的值．。
中考数学一元二次方程知识点总结
中考数学一元二次方程知识点总结知识框架知识点、概念总结1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2.一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程。
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。
如果能整理为 ax 2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
（4）将方程化为一般形式：ax 2+bx+c=0时，应满足（a≠0）3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）。
一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
4.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±−=，当b<0时，方程没有实数根。
（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根． （3）公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
初中数学一元二次方程知识点总结(含习题)
初中数学一元二次方程知识点总结(含习题)一元二次方程知识点的总结知识结构梳理：1、概念1) 一元二次方程含有一个未知数。
2) 未知数的最高次数是2.3) 是方程。
4) 一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0.2、解法1) 因式分解法，适用于能化为(x+m)(x+n)=0的一元二次方程。
2) 公式法，即把方程变形为ax²+bx+c=0的形式，一元二次方程的解为x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)。
3) 完全平方式，其中求根公式是(x±a)²=b，当时，方程有两个不相等的实数根。
4) 配方法，其中求根公式是(x±a)(x±b)=0，当时，方程有两个实数根。
5) 二次函数图像法，当时，方程有没有实数根。
3、应用1) 一元二次方程可用于解某些求值题。
2) 一元二次方程可用于解决实际问题的步骤包括：列方程、化简方程、解方程、检验答案。
知识点归类：考点一：一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。
一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是2.考点二：一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
考点三：解一元二次方程的方法一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
解一元二次方程的方法包括因式分解法、公式法、完全平方式、配方法和二次函数图像法。
解一元二次方程有四种常用方法：直接开平方法、配方法、因式分解法和公式法。
选择哪种方法要根据具体情况而定。
直接开平方法是解形如x²=a的方程的方法，解为x=±√a。
配方法是将方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，然后用因式分解法或直接开平方法解方程。
一元二次方程实数根
一元二次方程实数根
一元二次方程实数根是数学中的一个重要概念，它涉及到代数方程解
的求解和实数的性质等知识点。
下面将对此进行详细的介绍。
一、定义
一元二次方程的一般形式为：ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。
当方程存在实数解时，这个方程就叫做一元二次方程实数根。
二、判别式
为了求解一元二次方程实数根，我们需要首先计算出它的判别式，即：Δ=b²-4ac
若Δ>0，则方程有两个不相等的实数根；
若Δ=0，则方程有两个相等的实数根；
若Δ<0，则方程没有实数根，但有复数根。
其中，Δ又被称为二次方程的根号下判别式。
三、求解
如果方程有实数根，那么我们可以使用求根公式来求解：
x1,x2=(-b±√Δ)/2a
其中x1、x2分别是方程的两个实数根，±看判别式的正负号而定。
四、性质
1. 方程的系数a、b、c可以解释为抛物线的形态、位置和大小等性质。
2. 当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
3. 方程有两个实数根的条件是Δ>0；有一个实数根的条件是Δ=0；没有实数根的条件是Δ<0。
4. 当Δ>0时，x1和x2是两个不相等的实数，且它们的和等于-b/a，积等于c/a；当Δ=0时，它们相等，等于-b/2a。
5. 方程的根可以用Vieta公式表示：x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
以上就是对于一元二次方程实数根的介绍，相信大家对此有了更加深入的理解和掌握。
在实际应用中，了解和灵活运用这些知识点可以帮助我们更好地解决实际问题。
初中数学重点梳理：一元二次方程根与系数关系
一元二次方程根与系数关系知识定位设一元二次方程有二实数根，则，。
这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。
其逆命题也成立。
韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。
而且这部分内容题型多样，方法灵活，触及知识面广。
知识梳理知识梳理1：求代数式的值应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。
知识梳理2：构造一元二次方程如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。
知识梳理3：证明等式或不等式根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式知识梳理4：研究方程根的情况将韦达定理和判别式定理相结合，可以研究二次方程根的符号、区间分布、整数性等。
关于方程的实根符号判定有下述定理：⑴方程有二正根，ab<0，ac>0；⑵方程有二负根，ab>0，ac>0；⑶方程有异号二根，ac<0；⑷方程两根均为“0”，b=c=0，；知识梳理4：求参数的值与解方程韦达定理及其逆定理在确定参数取值及解方程（组）中也有着许多巧妙的应用。
例题精讲【试题来源】【题目】已知a 2＋2a=3,b 2＋2b=3, a b ＋ba= . 【答案】83- 【解析】【知识点】一元二次方程根与系数的关系 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】2【试题来源】【题目】已知关于x 的一元二次方程 x 2－2x －a 2－a=0﹙a ＞0﹚. (1) 证明：这个方程的一个跟比2大，另一个根比2小.(2) 若对于a=1,2…,,2011,相应的一元二次方程的两个根分别为α1，β1，α2，β2，,,α2011，β2011，求【答案】（1）见解析 （2）20111006- 【解析】【知识点】一元二次方程根与系数的关系【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】已知关于x的方程x2+2px+1=0的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数p 的取值范围是.p<-【答案】1【解析】【知识点】一元二次方程根与系数的关系【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】设a、b是方程x2＋68x＋1=0两根，c、d是方程x2 86x＋1=0两根，则﹙a＋c﹚﹙b＋c﹚﹙a－d﹚﹙b－d﹚的﹜值为。
一元二次方程实数根公式
一元二次方程实数根公式一元二次方程，这可是咱们数学学习中的一个重要“关卡”。
那今天咱就好好聊聊一元二次方程的实数根公式。
先来说说啥是一元二次方程，就像 ax² + bx + c = 0 这样的式子（其中 a、b、c 是常数，a ≠ 0 ），就是一元二次方程啦。
那一元二次方程的实数根公式到底是啥呢？它就是：x = [-b ± √(b² - 4ac)] / （2a）。
我还记得当年我上中学的时候，我们班有个同学叫小李，数学成绩一直不太好。
每次遇到一元二次方程的题目，他就抓耳挠腮。
有一次考试，正好考到了一元二次方程实数根的计算。
老师在讲台上说：“同学们，认真算啊，这可是重点。
”小李盯着试卷上的题目，那道题是：x² + 5x + 6 = 0 。
他咬着笔头，就是不知道该怎么下手。
后来老师讲卷子的时候，重点讲了这道题，把实数根公式搬了出来，一步步地带着大家算。
小李眼睛瞪得大大的，好像突然开窍了。
从那以后，他一遇到一元二次方程的题，就先把公式写在草稿纸上，慢慢地，他做这类题的正确率越来越高。
咱们再来说说这个公式怎么用。
比如说有个方程 2x² - 3x - 5 = 0 ，这里 a = 2 ，b = -3 ，c = -5 。
把这些值带进公式里，先算Δ = b² - 4ac = (-3)² - 4×2×(-5) = 9 + 40 = 49 。
因为Δ 大于 0 ，所以方程有两个不同的实数根。
再接着算 x = [ -(-3) ± √49 ] / (2×2) ，也就是 x = [ 3 ± 7 ] / 4 ，最后得出 x₁ = 5 / 2 ，x₂ = -1 。
其实啊，一元二次方程实数根公式就像是一把万能钥匙，能帮咱们打开很多难题的大门。
只要咱们把 a、b、c 找对，然后按照公式一步步来，就没啥能难住咱们的。
一元二次方程初中知识点总结
稿子一：嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊一元二次方程那些事儿。
一元二次方程呢，长得就像ax² + bx + c = 0 这样，这里的 a 可不能是 0 哦，不然就不是二次方程啦。
求根公式可得要记住，x = [b ± √(b² 4ac)] / （2a），这个公式超重要，能帮咱们算出方程的根。
判别式Δ = b² 4ac 也有大用处呢！要是Δ 大于 0 ，方程就有两个不相等的实根；等于 0 呢，就有两个相等的实根；要是小于0 ，那就没有实根，只有虚根啦。
配方法也别忽略，通过在方程两边加上一个数，能把方程变成完全平方式，这样也好求解。
还有因式分解法，把方程左边分解成两个式子相乘等于 0 的形式，那这两个式子分别等于 0 ，就能求出根啦。
一元二次方程在实际生活中的应用也不少哟！比如计算面积啦，利润问题啦等等。
一元二次方程虽然有点小复杂，但是只要咱们认真学，多练习，就一定能拿下它！加油哦小伙伴们！稿子二：宝子们，咱们来唠唠一元二次方程的知识点哈。
一元二次方程，就像是一个有点小脾气的家伙，得好好对付。
先看看它的一般形式ax² + bx + c = 0 ，这里面 a、b、c 都有自己的角色。
根的判别式可神奇啦，能告诉咱们根的情况。
大于 0 ，两个不同根；等于 0 ，两个一样的根；小于 0 ，没有实根，是不是很有趣？还有那个求根公式，一定要记牢哦，[b ± √(b² 4ac)] /（2a），有了它，啥样的方程咱都不怕。
配方法就像是给方程做个美容，让它变得更好看，也更好解。
因式分解法呢，就得有一双善于发现的眼睛，把左边分解好，问题就迎刃而解啦。
一元二次方程在解决实际问题的时候可厉害啦！比如算物体的运动轨迹，商品的销售利润，用处多着呢。
所以呀，咱们可别被它吓住，多琢磨琢磨，多做做练习题，相信咱们都能和一元二次方程成为好朋友的！冲呀！。
一元二次方程 两个不相等的实数根 a b
《一元二次方程：深入探讨两个不相等的实数根 a b》一元二次方程是初中阶段数学学习的重要内容，而探讨两个不相等的实数根 a b 是其中的一个重要问题。
在本篇文章中，我们将从浅入深地探讨一元二次方程和两个不相等的实数根 a b，并探讨其深层含义和应用。
## 1. 一元二次方程的基本概念让我们来回顾一下一元二次方程的基本概念。
一元二次方程通常的一般形式为 Ax^2 + Bx + C = 0，其中 A、B、C 分别为常数，而 x 则代表未知数。
而方程的根则是能够使得方程等式成立的 x 的值。
在这里，我们重点强调两个不相等的实数根a 和b。
在解一元二次方程时，我们通常使用求根公式 x = (-B±√(B^2-4AC))/(2A)。
### 1.1 求根公式的含义在一元二次方程中，求根公式的正负号代表着两个不同的解，分别对应着两个不相等的实数根 a 和 b。
而在方程中，判别式Δ = B^2-4AC 则决定了根的性质，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根。
而对于我们的主题——两个不相等的实数根 a 和 b，往往对应着Δ>0的情况，接下来我们将着重对此进行探讨。
## 2. 两个不相等的实数根的意义现在，让我们进一步探讨两个不相等的实数根 a 和 b 的意义。
当一元二次方程有两个不相等的实数根时，实际上反映了方程对应的二次函数与 x 轴相交于两个不同的点。
这一点可以通过函数图像的形状来理解，即函数的图像会与 x 轴在两个不同的点上相交。
### 2.1 几何解析从几何角度来说，两个不相等的实数根 a 和 b 分别代表了函数图像与x 轴相交的两个横坐标。
这也意味着方程所对应的二次函数在这两个横坐标上的函数值分别为零，这些横坐标的数值与实数根 a 和 b 的数值是对应的。
通过一元二次方程的两个不相等的实数根，我们能够对应地找到函数图像在 x 轴上的特殊点，从而更全面地理解函数的性质。
初中数学一元二次方程知识点总结（含方法技巧归纳，易错辨析）
初中数学⼀元⼆次⽅程知识点总结（含⽅法技巧归纳，易错辨析）
考情分析⾼频考点考查频率所占分值
1.元⼆次⽅程的概念★7～12分
2.⼀元⼆次⽅程的解法★★★
3.⼀元⼆次⽅程根的判别式★★
4.⼀元⼆次⽅程根与系数的关系★
5.利⽤⼀元⼆次⽅程解决实际问题★★★
1⼀元⼆次⽅程的定义及⼀般形式
定义：等号两边都是整式，只含有⼀个未知数(⼀元)，并且未知数的最⾼次数是2(⼆次)的⽅程，
叫作⼀元⼆次⽅程.
点拨
对定义的理解抓住三个条件：“⼀元”“⼆次”“整式⽅程”,缺⼀不可，同时强调⼆次项的系数不为0.
⽤公式法解⼀元⼆次⽅程的记忆⼝诀
要⽤公式解⽅程，⾸先化成⼀般式.
调整系数随其后，使其成为最简⽐.
确定参数
，计算⽅程判别式.
判别式值与零⽐，有⽆实根便得知.
若有实根套公式，若⽆实根要告之.
3因式分解法
通过因式分解，使⼀元⼆次⽅程化为两个⼀次式的乘积等于0的形式，再使这两个⼀次式分别等
于0,从⽽实现降次，这种解⼀元⼆次⽅程的⽅法叫作因式分懈法.
因式分解法体现了将⼀元⼆次⽅程“降次”转化为⼀元⼀次⽅程来解的思想，运⽤这种⽅法的步
骤：
（1）将所有项移到⽅程的左边，将⽅程的右边化为0；
（2）将⽅程左边分解为两个⼀次因式的乘积；
（3）令每个因式分别等于零，得到两个⼀元⼀次⽅程；
（4）解这两个⼀元⼀次⽅程，他们的解就是原⽅程的解.。
一元二次方程 知识点总结
一元二次方程知识点总结一、一元二次方程的概念。
1. 定义。
- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
- 一般形式：ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
2. 判断方程是否为一元二次方程。
- 首先看方程是否为整式方程。
- 然后看是否只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，同时二次项系数不为0。
例如x^2+2x - 1 = 0是一元二次方程；而x^2+(1)/(x)=1不是一元二次方程，因为它是分式方程。
二、一元二次方程的解法。
1. 直接开平方法。
- 对于方程x^2=p(p≥0)，解为x=±√(p)。
- 例如方程(x - 3)^2=4，则x - 3=±2，解得x = 1或x = 5。
2. 配方法。
- 步骤：- 把方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)的常数项移到等号右边，得到ax^2+bx=-c。
- 二次项系数化为1，即x^2+(b)/(a)x =-(c)/(a)。
- 在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即x^2+(b)/(a)x+((b)/(2a))^2=((b)/(2a))^2-(c)/(a)。
- 左边写成完全平方式(x +(b)/(2a))^2=frac{b^2-4ac}{4a^2}，然后用直接开平方法求解。
- 例如解方程x^2+6x - 7 = 0，移项得x^2+6x = 7，配方得x^2+6x + 9 = 7+9，即(x + 3)^2=16，解得x = 1或x=-7。
3. 公式法。
- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}(b^2-4ac≥0)。
- 步骤：- 确定a、b、c的值。
- 计算b^2-4ac的值，判断方程是否有实数根。
- 当b^2-4ac≥0时，代入求根公式求解。
一元二次两个实数根的关系
一元二次两个实数根的关系-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分:一元二次方程是高中数学中的重要概念之一，它在数学和科学领域中的应用十分广泛。
本文将着重探讨一元二次方程中的两个实数根的关系。
一元二次方程的形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a不等于0。
通过研究一元二次方程的解的概念和判别式，我们可以深入了解一元二次方程的性质和特点。
在本文的正文部分，我们将首先介绍一元二次方程的定义和性质，包括二次项、一次项和常数项的含义，以及平方项的系数a的重要作用。
然后我们将详细解释一元二次方程的解的概念，包括实数解、虚数解和重根的区别。
接着我们将引入一元二次方程的判别式，通过计算判别式的值可以得知方程的根的性质。
最后，我们将专注于讨论一元二次方程的两个实数根的关系，探究根之间的数学关系和特点。
在结论部分，我们将总结一元二次方程的两个实数根的关系，并引用实际应用中的例子，展示一元二次方程的重要性和实用价值。
我们还将对一元二次方程的两个实数根的关系进行进一步讨论，深入挖掘其中的数学规律和性质。
通过本文的研究，我们将对一元二次方程的两个实数根的关系有更深入的理解，并能够在实际问题中应用这一数学概念解决相关的计算和推导。
深入研究一元二次方程的两个实数根的关系不仅对提升数学水平有帮助，也对其他科学领域的学习和实践具有重要意义。
（注：以上内容仅为示例，可以根据实际需要进行修改和补充）1.2文章结构文章结构是指文章整体的组织框架和内容安排。
在本篇文章中，主要包括引言、正文和结论三个部分。
引言部分包括概述、文章结构、目的和总结。
首先，介绍一元二次方程和其两个实数根的概念和背景，引起读者的兴趣。
其次，简要介绍本篇文章的结构，即引言、正文和结论三个部分的内容安排。
然后，明确文章的目的，即探讨一元二次方程的两个实数根之间的关系。
最后，总结引言部分，简要概括引言部分的主要内容和文章的整体目的。
正文部分是文章的核心部分，主要是对一元二次方程的定义和性质、解的概念、判别式以及两个实数根的关系进行详细的阐述和分析。
一元二次方程知识点归纳
②销售问题;利润问题,利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%；
③比赛问题：
④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.
解一元二次方程时注意观先特殊后一般即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法不能用这两种方法解时再用公式法
一元二次方程知识点
一、知识清单梳理
知识点一：一元二次方程及其解法
关键点拨及对应举例
1.一元二次方程的相关概念
(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程．
(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．
（2）解题策略：已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与系数的关系求解.
与一元二次方程两根相关代数式的常见变形：x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2,
(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1,
等.
失分点警示
在运用根与系数关系解题时，注意前提条件时△=b2-4ac≥0.a≠0
(4)配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法．
解一元二次方程时，注意观察，先特殊后一般，即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法解时，再用公式法.
例：把方程x2+6x+3=0变形为(x+h)2=k的形式后，h=-3,k=6.
八年级同步第8讲：一元二次方程求根公式及综合-教师版
一元二次方程求根公式是八年级数学上学期第十七章第二节内容，主要对一元二次方程求根公式解法进行讲解，重点是对一元二次方程求根公式的推导和解方程的理解，难点是求根公式在解一元二次方程中的灵活应用．同时，结合之前所学的开平方法、因式分解法及配方法进行解法综合应用，让学生熟练掌握．通过这节课的学习一方面为我们后期学习一元二次方程根的判别式提供依据，另一方面也为后面学习一元二次方程的应用奠定基础．一元二次方程求根公式及解法综合知识结构内容分析1、公式引入一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），可用配方法进行求解：得：2224()24b b acx a a -+=．对上面这个方程进行讨论：因为0a ≠，所以240a >①当240b ac -≥时，22404b ac a -≥利用开平方法，得：22424b b acx a a -+=±， 即：242b b ac x a-±-= ②当240b ac -<时，22404b aca -<这时，在实数范围内，x 取任何值都不能使方程2224()24b b acx a a -+=左右两边的值相等，所以原方程没有实数根．2、求根公式一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），当240b ac -≥时，有两个实数根：2142b b ac x a -+-=，2242b b acx a---= 这就是一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的求根公式． 3、用公式法解一元二次方程一般步骤①把一元二次方程化成一般形式20ax bx c ++=（0a ≠）； ②确定a 、b 、c 的值；③求出24b ac -的值（或代数式）；④若240b ac -≥，则把a 、b 、c 及24b ac -的值代入求根公式，求出1x 、2x ；若240b ac -<，则方程无解．模块一：一元二次方程求根公式知识精讲【例1】 求下列方程中24b ac -的值：（1）220x x -=；（2）2220x x --+=； （3）224(32)26x x x -+=-；（4）23233x x =+．【难度】★【答案】（1）4；（2）17；（3）236；（4）38． 【解析】（1）0,2,1=-==c b a ，则442=-ac b ；（2）2,1,2=-=-=c b a ，则1742=-ac b ；（3）方程可化为一般形式为：021452=-+x x ，2,14,5-===c b a ，则23642=-ac b ； （4）3323-=-==c b a ，，，则3842=-ac b ． 【总结】本题主要考查根的判别式的概念及其计算．【例2】 用公式法解下列方程：（1）2270x x -+=；（2）211042x x -=．【难度】★【答案】（1）27,021==x x ；（2）2,021==x x ． 【解析】（1）0,7,2==-=c b a ，则4942=-ac b ，则477-±-=x ，∴27,021==x x ； （2）0,21,41=-==c b a ，则4142=-ac b ，则212121±=x ，∴2,021==x x ． 【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式24b b acx -±-=的运用．例题解析（1）2320x x +-=；（2）25610x x -++=．【难度】★ 【答案】（1）12317317x x -+--；（2）12314314x x +-==． 【解析】（1）132a b c ===-，，，则1742=-ac b ，则2173±-=x ， ∴12317317x x -+--=； （2）561a b c =-==，，，则5642=-ac b ，则101426-±-=x ，∴12314314x x +-==． 【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式24b b acx -±-=的运用．【例4】 用公式法解下列方程：（1）220x x ++=；（2）27690x x -+-=．【难度】★【答案】（1）方程无实数解；（2）方程无实数解．【解析】（1）112a b c ===，，，则0742<-=-ac b ，方程无实数解； （2）769a b c =-==-，，，则021642<-=-ac b ，方程无实数解． 【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用．【例5】 用公式法解下列方程：（1）(24)58x x x -=-；（2）2(53)(1)(1)5x x x -+=++．【难度】★★ 【答案】（1）12214214x x -+--=；（2）123322x x ==-，． 【解析】（1）方程可化为：05422=-+x x ，245a b c ===-，，，则5642=-ac b ，则41424±-=x ，∴12214214x x -+--== （2）方程可化为：2490x -=，则123322x x ==-，．【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用，（2）也可以用直接开平方法求解．（1）20.2 2.5 1.30.1x x x +-=；（2）22(3)(31)(23)1552x x x x +--+-=． 【难度】★★ 【答案】（1）121217012170x x -+--=（2）12122x x ==-，． 【解析】（1）方程可化为2224130x x +-=，13,24,2-===c b a ，则68042=-ac b ，则4170224±-=x ，∴121217012170x x -+--==（2）两边同时乘以10，方程可化为02322=--x x ，2,3,2-=-==c b a ，则2542=-ac b ，则453±=x ，∴12122x x ==-，． 【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用，（2）也可以用因式分解法求解．【例7】 当x 为何值时，多项式21122x x +与220x +的值相等？【难度】★★ 【答案】8或-5．【解析】由题意，可得：211=22022x x x ++，整理得：04032=--x x ，因式分解可得：()()058=+-x x ，则5,821-==x x ．∴当x 为8或-5时，多项式21122x x +与220x +的值相等．【总结】本题主要考查一元二次方程在多项式的值相等时求所含字母的取值中的运用．【例8】 用公式法解下列方程：（1）29166x x +=；（22243220x x +-=．【难度】★★ 【答案】（1）126565x x +-=；（2）12622622x x =-=． 【解析】（1）1,66,9=-==c b a ，则18042=-ac b ，则185666±=x ，∴原方程的解为：126565x x +-=；（2）22,34,2-===c b a ，则6442=-ac b ，则22834±-=x ，∴原方程的解为：12622622x x =-+=--，．【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用．【例9】 用公式法解方程：22(21)3220x x +-+-=． 【难度】★★【答案】2121-==x x ．【解析】223,222,1-=-==c b a ，则042=-ac b ，所以2222±-=x ，∴原方程的解为：2121-==x x ．【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用．师生总结1、在用求根公式解一元二次方程时首先应考虑什么问题？2、求根公式中，如果，此时、是什么关系？请用字母表示、．1、一元二次方程解法总结①开平方法：形如20 (0)ax c a +=≠及2()0 (0)a x k c a ++=≠的一元二次方程，移项后直接开平方法解方程．②因式分解法：通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题，即：若0A B ⋅=，则0A =或0B =．③配方法：通过添项或拆项，把方程左边配成完全平方式，剩余的常数项全部移到方程右边，再通过开平方法求出方程的解即：222222440()0()2424b b ac b b ac ax bx c a x x a a a a --++=⇒+-=⇒+=，再用开平方法求解． ④公式法：用求根公式解一元二次方程一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，当240b ac -≥时，有两个实数根： 221244 22b b ac b b acx x a a -+----==，【例10】口答下列方程的根：（1）(2)0x x +=； （2）(1)(3)0x x --=； （3）(32)(4)0x x +-=； （4）()()0x m x n -+=． 【难度】★【答案】（1）1202x x ==-，；（2）1213x x ==，；（3）12243x x ==-，；（4）12x m x n ==-，．【解析】形如()()0=--b x a x 的方程的两个解分别为12x a x b ==，．【总结】本题主要考查两个因式的乘积为零时，则每一个因式都为零的应用．例题解析知识精讲模块二：一元二次方程解法综合【例11】 用开平方法解下列方程：（1）21(3)63x +=；（2）224(1)(2)x x +=-．【难度】★【答案】（1）12323323x x ==-，；（2）1240x x =-=，．【解析】（1）21(3)63x +=则()1832=+x ，开平方得：233±=+x ，∴原方程的解为：12323323x x ==-，；（2）224(1)(2)x x +=-，开平方得：()212-=+x x 或()()212--=+x x ，∴原方程的解为：1240x x =-=，．【总结】本题主要考查利用直接开平方法解一元二次方程．【例12】用因式分解法解下列方程：（1）2(23)x x =；（2）2(21)(21)0x x x ---=．【难度】★★【答案】（1）12320x x -=，；（2）12112x x ==，．【解析】（1）2(23)x x =，提取公因式可得：(23)10x x ⎡⎤-=⎣⎦，∴原方程的解为：12320x x -=，； （2）2(21)(21)0x x x ---=，提取公因式可得：()()01212=---x x x ，∴原方程的解为：12112x x ==，．【总结】本题主要考查利用提取公因式法求一元二次方程的解．【例13】用因式分解法解下列方程： （1）212193x x +=-； （2）2225(21)9(3)0x x +-+=．【难度】★★【答案】（1）321-==x x ；（2）12414713x x ==-，．【解析】（1）212193x x +=-，用完全平方公式可得：01312=⎪⎭⎫⎝⎛+x ，∴原方程的解为：321-==x x ；（2）原方程用平方差公式可得：()()[]()()[]03312533125=++++-+x x x x ，整理可得：()()0141347=+-x x ，∴原方程的解为：12414713x x ==-，．【总结】本题主要考查利用公式法求一元二次方程的解．【例14】用因式分解法解下列方程：（1）23250x x -+-=；（2）2184033x x ++=；（3）(1)(2)10x x -+=；（4）(31)(1)(41)(1)x x x x +-=--．【难度】★★【答案】（1）12512x x =-=，；（2）1226x x =-=-，；（3）1243x x =-=，；（4）1212x x ==，．【解析】（1）对原方程十字相乘分解可得：()()0521=-+x x ，∴原方程的解为：12512x x =-=，； （2）对原方程整理得：01282=++x x ，十字相乘分解可得：()()062=++x x ，∴原方程的解为：1226x x =-=-，；（3）(1)(2)10x x -+=，整理得：0122=-+x x ，十字相乘分解可得：()()034=-+x x ，∴原方程的解为：1243x x =-=，；（4）(31)(1)(41)(1)x x x x +-=--，提取公因式可得：()()()[]014131=--+-x x x ，整理得：()()021=+--x x ，∴原方程的解为：1212x x ==，．【总结】本题主要考查利用因式分解法求一元二次方程的解，注意（3）和（4）化成一般形式再分解．【例15】 用配方法解下列方程：（1）2252x x -=；（2）211.30.604x x ++=．【难度】★★【答案】（1）方程无解；（2）方程无解．【解析】（1）2252x x -=，则52522-=-x x ，配方可得：25152512+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ，则0259512<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ，所以原方程无解； （2）211.30.604x x ++=，03.14146.02<⨯⨯-=∆，所以原方程无解． 【总结】本题主要考查利用配方法求一元二次方程的解．【例16】 用配方法解下列方程：（1）213402x x ++=；（2）263150x x --=．【难度】★★【答案】（1）1224x x =-=-，；（2）211=x ，152-=x ．【解析】（1）213402x x ++=，整理得：0862=++x x ，配方得：()132=+x ，∴原方程的解为：1224x x =-=-，；（2）263150x x --=，配方得：()931532+=-x ，∴原方程的解为：211=x ，152-=x ．【总结】本题主要考查利用配方法求一元二次方程的解，注意配方时方程两边同加一次项系数一半的平方．【例17】 用配方法解下列关于x 的方程：（1）230x x t +-=；（2）220ax x ++=（0a ≠）．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）230x x t +-=，则23=x x t +，配方得：49232+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+t x当49-≥t 时，2329423491-+=-+=t t x ，2329423492++=++=t t x；当49-<t 时，方程无实数根；（2）220ax x ++=（0a ≠），则22-=+x ax ，整理得：ax a x 212-=+，配方可得：22248141221a a a a a x -=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+， 当81≤a 时，a a x 21811--=，a a x 21812---=，当81>a 时，方程无实数根．【总结】本题主要考查利用配方法求一元二次方程的解，注意配方时方程两边同加一次项系数一半的平方，另此题系数中含有字母，要注意分类讨论．【例18】 用公式法解下列方程：（1）2356x x =+；（2）2(3)(28)1025x x x +++=． 【难度】★★【答案】（1）方程无解；（2）方程无解．【解析】（1）因为536a b c ==-=，，，则011142<-=-ac b ，所以原方程无解；（2）整理可得：0145142=++x x ，则042<-ac b ，所以原方程无解．【总结】本题主要考查对求根公式的理解及运用．【例19】 用公式法解下列方程：（12220x x -=；（2）210.20.3020x x -+=；（3）226(21)2x x x -++=-．【难度】★★ 【答案】（1）221-=x ，22=x ； （2）4531+=x ，4532-=x ；（3）41751+=x ，41752-=x ．【解析】（1）∵212a b c ==-=，942=-ac b ，∴2231±=x ，∴原方程的解为：221-=x ，22=x ； （2）整理可得：01642=+-x x ，461a b c ==-=，，，则2042=-ac b ，8526±=x ，∴原方程的解为：4531+=x ，4532-=x ； （3）整理可得：01522=+-x x ，251a b c ==-=，，，则1742=-ac b ，4175±=x ，∴原方程的解为：41751+=x ，41752-=x ． 【总结】本题主要考查利用公式法求解一元二次方程的根．【例20】 用公式法解下列关于x 的方程：（1）20x bx c --=；（2）21200.1a x bx a -=． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）∵c b 42+=∆，∴当042≥+c b 时，2421c b b x ++=，2422cb b x +-=；当042<+c b 时，原方程无实数根；（2）原方程可化为：222100x abx a -=，∵2222400a b a ∆=+≥，∴原方程的解为：212240b b x ++=，222240b b x -+．【总结】本题主要考查利用公式法求解一元二次方程的根，注意分类讨论．【例21】 用适当方法解下列方程：（1）2(21)9x -=；（2）212455250x x --=； （3）22(31)(1)0x x --+=；（4）2(2)(2)0x x x -+-=；（5）2152102x x -+=；（6）20.30.50.3 2.1x x x +=+．【难度】★★【答案】（1）21=x ，12-=x ；（2）4351=x ，52-=x ；（3）11=x ，02=x ； （4）11=x ，22=x ；（5）34251+=x ，34252-=x ；（6）371=x ，32-=x ．【解析】（1）直接开平方可得：312±=-x ，∴原方程的解为：21=x ，12-=x ； （2）化简得：01751542=--x x ，十字相乘分解可得：()()05354=+-x x ，∴原方程的解为：4351=x ，52-=x ； （3）22(31)(1)0x x --+=，平方差因式分解得：()()[]()()[]0113113=++-+--x x x x ，整理得：()0422=-x x ，∴ 原方程的解为：11=x ，02=x ；（4）2(2)(2)0x x x -+-=，提取公因式可得：()()022=+--x x x ，整理得：()()0222=--x x ，∴原方程的解为：11=x ，22=x ；（5）∵方程2152102x x -+=，48=∆，∴原方程的解为：34251+=x ，34252-=x ；（6）20.30.50.3 2.1x x x +=+，整理可得021232=-+x x ， 十字相乘分解得：()()0373=+-x x ，∴原方程的解为：371=x ，32-=x ． 【总结】本题主要考查利用恰当的方法求解一元二次方程，解题时注意对方法的合理选择．【例22】用因式分解法和公式法2种方法解方程：22223332x x x -+．【难度】★★【答案】3471+=x ，12-=x ．【解析】方程可整理成：()()02332322=+---x x ，十字相乘分解可得：()()[]()012332=++--x x ，∴原方程的解为：3471+=x ，12-=x ；公式法：()()()1632324322=+⨯-⨯+=∆，∴()322432-±=x ，∴原方程的解为：3471+=x ，12-=x ．【总结】本题主要考查利用因式分解和公式法求解一元二次法的解．【例23】 如果对于任意两个实数 a b 、，定义：2a b a b =+o ．试解方程：2(2)210x x +=o o ．【难度】★★【答案】221-==x x ．【解析】由题意可得：02242=+++x x ，利用完全平方公式可得：221-==x x ． 【总结】本题主要考查对新定义的理解和运用．【例24】已知2220x x --=，求代数式2(1)(3)(3)(3)(1)x x x x x -++-+--的值．【难度】★★ 【答案】1．【解析】2(1)(3)(3)(3)(1)x x x x x -++-+-- 222221943365x x x x x x x =-++-+-+=--()2325x x =--，∵2220x x --=，∴222x x -=，∴原式3251=⨯-=．【总结】本题主要考查代数式的化简求值，不要去解方程，而是用整体代入思想求值．【例25】已知22()(2)8x y x y -+-=，求2x y -的值．【难度】★★★ 【答案】-4或2．【解析】∵22()(2)8x y x y -+-=，∴222()+2()80x y x y ---=，十字相乘分解得：()()02422=--+-y x y x ，∴42-=-y x 或22x y -=．【总结】本题主要考查利用整体思想求代数式的值，也可进行换元．【习题1】 已知m 是方程220x x --=的一个根，则代数式2m m -的值是．【难度】★ 【答案】2．【解析】m 是方程220x x --=的一个根，则022=--m m ，∴2m m -= 2． 【总结】本题主要考查方程的解的定义以及整体代入思想的运用．【习题2】 已知31-是关于x 的方程240x mx --=的一个根，则m =． 【难度】★【答案】33--=m ．【解析】∵31-是关于x 的方程240x mx --=的一个根，∴()()0413132=----m ，解得：33--=m ．【总结】本题主要考查方程的解的定义．【习题3】 用配方法解关于x 的方程20x bx c ++=时，方程可变形为（）．A 、22()24b b x +=B 、224()24b b cx -+=C 、224()24b b cx +-=D 、224()24b b cx --=【难度】★★ 【答案】B【解析】注意二次项系数化为1之后，方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 【总结】本题主要考查对配方法的理解及运用．随堂检测【习题4】 用适当方法解下列方程： （1）2(1)25x -=；（2）26153x x +=； （3）2(4)5(4)x x +=+；（4）242011x x +=；（5）22(23)(1)04x x +--=；（6）4(23)10x x +=．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）2(1)25x -=，开平方法可得：51±=-x ，∴61=x ，42-=x ；（2）26153x x +=，整理得：0522=--x x ，求根公式可得：611+=x ，612-=x ； （3）2(4)5(4)x x +=+，提取公因式可得：()()0544=-++x x ，∴11=x ，42-=x ； （4）242011x x +=，整理得：0201142=+-x x ，0<∆，方程无解；（5）22(23)(1)04x x +--=，平方差因式分解可得：()()012321232=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+x x x x ， 整理得：021225=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x ，解得：41-=x ；（6）4(23)10x x -+=，整理得：013482=+-x x ，16=∆，∴16434±=x∴4131+=x ，4132-=x ． 【总结】本题主要考查利用恰当的方法求解一元二次方程，解题时注意对方法的合理选择．【习题5】 当x 为何值时，274x x ++的值与23(32)x x -的值相等？ 【难度】★★ 【答案】4或21-． 【解析】由题意，可得：274x x ++23(32)x x =-，整理得：04722=--x x ， 十字相乘法分解可得：()()0412=-+x x ，∴211-=x ，42=x ． 【总结】本题主要考查解一元二次方程在求多项式的值相等时的运用．【习题6】 二次方程(1)(2)(2)(3)(3)(1)0a x x b x x c x x ++++++++=有根0与1，求::a b c 的值．【难度】★★ 【答案】6:1:6-．【解析】∵二次方程(1)(2)(2)(3)(3)(1)0a x x b x x c x x ++++++++=有根0与1， ∴0362=++c b a ，08126=++c b a ， ∴b a 6=，b c 6-=，∴6:1:66::6::-=-=b b b c b a ．【总结】本题主要考查对一元二次方程的根的理解及运用．【作业1】 关于x 的方程24(1)10x k x +++=的一个根是2，那么另一个根是 ．【难度】★【答案】81．【解析】∵方程24(1)10x k x +++=的一个根是2，∴()011216=+++k ，∴219-=k ． 则原方程为0121742=+-x x ，十字相乘因式分解可得：811=x ，22=x ， 也可以用韦达定理来解决：两根之乘积为41，所以另一个根是81． 【总结】本题主要考查对方程的根的概念的理解及运用．【作业2】 使分式2282x x x --+的值等于零的x 的值是．【难度】★ 【答案】4．【解析】∵分式2282x x x --+的值等于零，课后作业∴0822=--x x 且02≠+x ，∴4=x ．【总结】本题主要考查解一元二次方程在分式值为零的计算中的运用．【作业3】 关于x 的一元二次方程有两个根57和75-，则这个方程可以是（ ）．A 、23524350x x ++=B 、23524350x x -+=C 、23524350x x +-=D 、23524350x x --=【难度】★ 【答案】D【解析】可求得D 的两解符合题意．【作业4】 按照要求解下列关于x 的一元二次方程： （1）2650x x +-=（用配方法）； （2）26153x x +=（用配方法）；（3）2734y y =+（用公式法）； （4）2224320t t =（用公式法）．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）()1432=+x ，∴1431+-=x ，1432--=x ；（2）522=-x x ，配方得：()612=-x ，∴611+=x ，612-=x ；（3）16=∆，243±=x ，∴211-=x ，272=x ； （4）64=∆，22834-±-=x ，∴6221+=x ，2262-=x ．【总结】本题主要考查利用指定方法求一元二次方程的根．【作业5】 已知2514x x =-，求2(1)(21)(1)1x x x ---++的值． 【难度】★★ 【答案】15．【解析】∵2(1)(21)(1)1x x x ---++222231(21)151x x x x x x =-+-+++=-+，又2514x x =-， ∴2514x x -=，∴2(1)(21)(1)1x x x ---++14115=+=．【总结】本题主要考查代数式化简求值以及整体代入思想的运用．【作业6】 用适当方法解下列关于x 的方程： （1）22(23)12x -=；（2）225180x x +-=；（3）(2)(5)2x x --=-；（4）2(25)(1)(25)0x x x x +--+=； （5）221(0.5)0.25(2)039x x ---=；（6）2(21)210x x -++=； （7）2(1)2(1)10x x ---=；（8）(1)(21)x x a x a -=--．【难度】★★ 【答案】见解析【解析】（1）2(23)6x -=，开平方得：632±=-x ，∴原方程的解为：22331+=x ，22332+-=x ； （2）225180x x +-=，十字相乘因式分解可得：()()0292=-+x x ，∴原方程的解为：291-=x ，22=x ； （3）(2)(5)2x x --=-，整理得：01272=+-x x ，十字相乘因式分解可得：原方程的解为：31=x ，42=x ；（4）2(25)(1)(25)0x x x x +--+=，提取公因式可得：()()[]01252=--+x x x ，∴原方程的解为：251-=x ，12-=x ；（5）221(0.5)0.25(2)039x x ---=，平方差公式因式分解可得：035.03122135.031221=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x ，整理得：0313432=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x∴原方程的解为：01=x ，412=x ；（6）2(21)210x x -++=，整理得：0222=+x x ，提取公因式可得：()022=+x x ，∴原方程的解为：01=x ，222-=x ； （7）设y x =-1，则原方程可化为0122=-+y y ， 公式法求得：2621+-=y ，2622--=y ， 当262+-=y 时，2621+-=-x ，则2262++-=x ； 当262--=y 时，2621--=-x ，则2262+--=x ，∴原方程的解为22621++-=x ，22622+--=x ；（8）(1)(21)x x a x a -=--，整理得：()01222=+++-a a x a x ， 十字相乘因式分解为()[]()01=-+-a x a x ，∴原方程的解为：11+=a x ，a x =2．【总结】本题主要考查利用恰当的方法求解一元二次方程，解题时注意对方法的合理选择．【作业7】 若1x =是一元二次方程22(56)(21)50m m x m x -+++-=的一个根，求m 的值． 【难度】★★ 【答案】1．【解析】∵1x =是一元二次方程22(56)(21)50m m x m x -+++-=的一个根， ∴0512652=-+++-m m m ，整理得：0232=+-m m ，∴11=m ，22=m ，∵0652≠+-m m ，∴1=m ．【总结】本题主要考查对方程的根的概念的理解，注意本题中二次项系数不能为零．。
一元二次方程实数根的公式
一元二次方程实数根的公式好吧，今天我们聊聊一元二次方程的实数根公式。
听起来有点复杂，其实没那么吓人。
想象一下，你走在街上，突然发现路边有一个小摊，老板在卖水果，琳琅满目，真是让人眼花缭乱。
可你心里明白，要选一个好吃的，得先看看价钱和品质。
这就像一元二次方程，咱们得找出它的实数根，才能决定它的“水果”好不好。
一元二次方程，简单来说，就是形如 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 的方程。
你看，这里的( a )、( b )、( c ) 就像你挑的水果，有好有坏，有的甚至长得奇形怪状。
不过，别担心，只要用到一个神奇的公式，就能轻松搞定。
这个公式就是著名的“求根公式”——“x 等于负 b 加减根号下 b 平方减去四乘以 a 乘以 c 除以二乘以a”。
哎呀，这说起来绕口，不过意思其实就是，用这公式去找根，就像在水果摊里找自己想要的苹果，果然简单明了。
让我们细致一点。
得搞明白这个公式里的每个部分。
那个 ( b ) 是个什么角色呢？它就像摊主推荐的水果，可能会让你心动，也可能让你犹豫。
( b^2 4ac ) 这个东西，有点像那根神秘的“果汁”，它能决定你到底能不能吃到美味的水果。
若果汁充足，根就会生得肥美；若果汁稀少，根可能就会萎缩，甚至干脆没有。
你可能会问，这个 ( b^2 4ac ) 怎么算？简单！就像在家里做菜，先准备好食材，清洗干净，量好分量，煮的时候得掌握火候。
这里的 ( b^2 ) 就是你做菜时的主料，( 4ac ) 则是辅料。
两者结合，就得到了“果汁”。
如果这果汁为正，恭喜你，水果丰富多汁，根也是美滋滋的实数；如果为零，那就是一口咬下去，咔嚓一声，原来这水果只剩下了一个，真是有些可惜；若果汁为负，那果子就没戏了，连个影子都见不着，真的让人伤心。
算完公式后，得注意那些根的表现。
它们像个小调皮，总是藏在某个角落，等待你去发现。
比如说，你得好好检查负号和正号，搞清楚根的真面目。
两个根就像那对双胞胎，长得一模一样；却是两条不同的路，指向不同的未来。
方程实数根公式
方程实数根公式方程实数根公式是解决一元二次方程的根的一种方法。
一元二次方程的一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。
根据方程实数根公式，一元二次方程的根可以通过以下公式计算得出：x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}其中，±表示两个不同的根，即x_1和x_2。
这个公式的推导过程可以通过求解一元二次方程的方法得到。
我们先根据方程的形式ax^2+bx+c=0，将方程两边同时乘以4a，得到4a^2x^2+4abx+4ac=0。
然后，我们将方程的两边同时加上b^2，得到4a^2x^2+4abx+b^2+4ac=b^2。
接着，我们可以将方程左边的前三项进行因式分解，得到(2ax+b)^2=b^2-4ac。
然后，我们对方程两边同时开平方根，得到2ax+b=\sqrt{b^2-4ac}或2ax+b=-\sqrt{b^2-4ac}。
我们将方程两边同时减去b，再除以2a，得到x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}。
这就是方程实数根公式的推导过程。
通过这个公式，我们可以求解任意一元二次方程的根。
需要注意的是，方程实数根公式只适用于一元二次方程，并且方程的系数必须为实数。
当方程的判别式b^2-4ac大于等于0时，方程存在实数根；当判别式小于0时，方程没有实数根。
例如，我们来求解方程x^2-4x+3=0的根。
根据方程实数根公式，将a=1，b=-4，c=3代入公式中，可以得到：x=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^2-4\times1\times3}}{2\times1}计算得到判别式b^2-4ac为4，大于0，因此方程存在实数根。
继续计算可以得到：x_1=\frac{4+\sqrt{4}}{2}=3x_2=\frac{4-\sqrt{4}}{2}=1所以，方程x^2-4x+3=0的实数根为x_1=3和x_2=1。
方程实数根公式是解决一元二次方程的根的一种常用方法。
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八年级数学重要知识点：一元二次方程
实数根
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例1下列方程中两实数根之和为2的方程是x2+2x+3=0x2-2x+3=0x2-2x-3=0x2+2x+3=0
错答：B
正解：c
错因剖析：由根与系数的关系得x1+x2=2，极易误选B，又考虑到方程有实数根，故由△可知，方程B无实数根，方程c合适。
例2若关于x的方程x2+2x+k2=0两个实数根之和大于-4，则k的取值范围是
k>-1k<0-1<k<0-1≤k<0
错解：B
正解：D
错因剖析：漏掉了方程有实数根的前提是△≥0
例3已知关于x的一元二次方程x2-2x-1=0有两个不相等的实根，求k的取值范围。
错解:由△=2-4=-4k+8>0得k<2又∵k+1≥0∴k ≥-1。
即k的取值范围是-1≤k<2
错因剖析：漏掉了二次项系数1-2k≠0这个前提。
事实上，当1-2k=0即k=时，原方程变为一次方程，不可能有两
个实根。
正解：-1≤k<2且k≠
例4已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+x+m2+1=0的两个实数根，当x12+x22=15时，求m的值。
错解：由根与系数的关系得
x1+x2=-,x1x2=m2+1,
∵x12+x22=2-2x1x2
=[-]2-2
=2m2+4m-1
又∵x12+x22=15
∴2m2+4m-1=15
∴m1=-4m2=2
错因剖析：漏掉了一元二次方程有两个实根的前提条件是判别式△≥0。
因为当m=-4时，方程为x2-7x+17=0，此时△=2-4×17×1=-19<0，方程无实数根，不符合题意。
正解：m=2
例5已知二次方程x2+3x+a=0有整数根，a是非负数，求方程的整数根。
错解：∵方程有整数根，
∴△=9-4a>0，则a<2.25
又∵a是非负数，∴a=1或a=2
令a=1，则x=-3±，舍去;令a=2，则x1=-1、x2=-2
∴方程的整数根是x1=-1，x2=-2
错因剖析：概念模糊。
非负整数应包括零和正整数。
上面答案仅是一部分，当a=0时，还可以求出方程的另两个整数根，x3=0，x4=-3
正解：方程的整数根是x1=-1，x2=-2，x3=0，x4=-3 www.5y。