高等数学多元函数的积分

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多元微积分-多元函数的极值

( x0, y0 ) 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：
fx(x0,y0) 0 ， fy(x0,y 0) 0 .
（称驻点）
注意：极值点
驻点
例如, 点(0,0)是函数z xy的驻点，但不是极值点.
定理2 （充分条件）
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 的某邻域内连续，
小值.
使函数取得极值的点称为极值点. 极大值、极小值统称为极值.
例1 函数 z 3x2 4 y2
在 (0,0) 处有极小值．
(1)
例2 函数 z x2 y2
(2)
在 (0,0) 处有极大值．
例3 函数 z xy
(3)
在 (0,0) 处无极值．
观察二元函数 z
xy ex2 y2
的图形
回忆一元函数的极值及其求法
100 5x2 48x 10 y2 24 y ，
令
Lx 10x 48 0 Ly 20y 24 0
解得惟一驻点
x 4.8, y 1.2，
A f xx 10 , B f xy 0 , C f yy 20 ,
B2 AC 0 , A 0 , 惟一驻点为极大值点，
即为最大值点，
解 fx (x, y) 3x2 3y fy (x, y) 3y2 3x
fxx (x, y) 6x fxy (x, y) 3 f yy (x, y) 6 y
解方程组
f f
x y
(x, (x,
y) y)
3x2 3y2
3y 3x
0 0
在 0, 0点处
得驻点 0, 0，1,1
A fxx (0, 0) 0 B fxy (0, 0) 3 C f yy (0, 0) 0

高等数学第八章多元函数积分学

则 f(x,y)da bf1(x)dxcdf2(y)d.y
D
证:f (x, y)d
y
D
d
f1(x) f2(y)dxdy
c
D
bd
dx ac
f1(x)
f2(y)dy
0a
bx
b
d
d
b
a[f1(x) c f2(y)d]ydxc f2(y)dy af1(x)d.x
.
比如， 1dx3xyed y1xd x 3eyd.y
y
xydxdy
1
dx
1x2
xydy
D
00
11x(1x2)dx1(x2x4)11. 1
02
22 4 0 8
D
本题若先对 x 积分，解法类似 . O x 1
x
.
例4
改变积分
01dx
1
0
x
f
( x,
y )dy 的次序.
解积分区域为 y
0x1, D:
1
0y1x.
0x1y, D:
f (x, y)d
b
d
a dxc f(x,y)dy
D
d
b
c dya f(x,y)dx
（2）如果被积函数 f (x, y) = f1(x)·f2(y),且积分区域是矩
形区域，则
f(x,y)da bf1(x)dxcdf2(y)d.y
D
.
设D：a x b, c y d. f (x, y) = f1(x)·f2(y)可积，
y
4
2
yx
D2 D1
D D 1D 2.
D1 :
2 x4, 2 y x.

高等数学多元函数微积分

高等数学多元函数微积分多元函数微积分是高等数学中的一个重要分支。

它研究在多变量空间中的单变元函数的微分和积分问题。

这对学习曲面、平面的渐变、凹凸和分界、曲面的体积、局部极值等问题具有重要意义。

一、基本概念1. 超曲面：一般讲，超曲面就是在n维空间中的一类曲面，它们由至少n+1个函数组成。

它是由n维变量组成的，因而可以容纳n维量空间中所有的事物，从而形成一个多维结构。

2. 多元函数微分：多元函数微分就是对在多元空间内变量中的一个函数进行微分的一类函数，它可以应用于求解曲面的斜率，曲面的凹凸和分界，比如计算椭圆曲线、抛物曲线等的曲率和斜率等问题。

3. 多元函数积分：多元函数积分是指在多元空间中的一个函数的积分运算，它可以用于计算曲面的体积，曲面的拉伸与缩小等问题，它也可以用于计算曲面的累积，例如计算三维抛物面、回旋曲线等曲率积分的体积等。

二、求解方法1. 黎曼微积分法：黎曼微积分法是指在进行多元函数微积分时，识别出包含所求函数的一组导函数，然后根据黎曼公式将这些导函数求和，不断缩小未知函数的范围，最终确定出未知函数的表达式的一类方法。

2. 光滑函数的变换法：光滑函数的变换法指的是在进行多变量函数积分时，先将所给函数进行光滑变换，然后根据变换法则和对称性，极限性和旋转对称性等等属性，运用变换法，不断将多变量函数转化为单变量函数，最后将单变量函数进行积分。

三、应用1. 力学中的应用：多元函数微积分在力学中有着重要的作用，通过多元函数微积分，可以研究分析物体的运动轨迹，甚至可以预测未来的物体的状态。

2. 热物理学的应用：多元函数微积分可以用来研究热物理学中各种复杂多变量的函数，如热力学量在温度和压力变化时的变化情况，揭示物质性质在热状态时的性质变化，以及热流、热量变化的关系等。

3. 数学建模的应用：多元函数微积分也可以用来进行数学建模，如多元微积分可以用来描述一个普通一般问题的结构特性，如一个多边形的周长、三角形的体积、四棱锥的表面积等。

高等数学中的多元函数与曲线积分

高等数学中的多元函数与曲线积分引言：在高等数学中，多元函数与曲线积分是重要的概念和工具。

多元函数是指依赖于多个自变量的函数，而曲线积分则是对函数沿曲线的积分。

本教案将介绍多元函数的概念、性质以及曲线积分的计算方法和应用。

一、多元函数的概念与性质（2000字左右）1.1 多元函数的定义多元函数是指依赖于多个自变量的函数，通常表示为f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn为自变量，f为因变量。

与一元函数类似，多元函数也可以进行运算，如加减乘除等。

1.2 多元函数的图像与等值曲面多元函数的图像是指函数在多维空间中的表示，常用三维坐标系绘制。

而等值曲面则是多元函数在空间中取得相同函数值的曲面，可以用来观察函数的特性和变化。

1.3 多元函数的导数与偏导数多元函数的导数是指函数在某一点处的变化率，可以用来描述函数的斜率和曲线的切线。

而偏导数则是多元函数对某一个自变量的导数，其他自变量视为常数。

导数和偏导数在求解极值、判断函数增减性等方面起着重要作用。

二、曲线积分的基本概念与计算方法（2000字左右）2.1 曲线积分的定义曲线积分是指将函数沿曲线的路径进行积分，用于描述函数在曲线上的累积效应。

曲线积分分为第一类和第二类曲线积分，分别对应于标量场和向量场。

2.2 第一类曲线积分的计算方法第一类曲线积分是将标量场沿曲线的路径进行积分，可以通过参数化曲线和积分上限下限的代入来计算。

常用的计算方法有参数化曲线积分和直接计算法。

2.3 第二类曲线积分的计算方法第二类曲线积分是将向量场沿曲线的路径进行积分，可以通过参数化曲线和向量场的点乘来计算。

常用的计算方法有参数化曲线积分和直接计算法。

三、曲线积分的应用（2000字左右）3.1 曲线积分在物理学中的应用曲线积分在物理学中有广泛的应用，如计算力场对物体的做功、电场对电荷的做功等。

通过曲线积分，可以描述力场和电场在曲线上的作用效果。

3.2 曲线积分在工程学中的应用曲线积分在工程学中也有重要的应用，如计算液体在管道中的流量、电流在电路中的环路电压等。

自考高等数学(一)第六章多元函数微积分

第六章多元函数微积分6.1 空间解析几何基础知识一、空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系。

即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向。

空间直角坐标系共有八个卦限空间的点有序数组（x,y,z）特殊点的表示：坐标轴上的点P,Q,R；坐标面上的点A，B，C；0（0，0，0）空间两点间距离公式：特殊地：若两点分别为M（x,y,z），0（0，0，0）。

二、空间中常见图形的方程1、球面已知球心M0（x0,y0,z0），半径为R，则对于球面上任意点M（x，y，z），有，称为球面方程。

特别地，以原点为球心，半径为R的球面方程是。

2、平面到两点等距离的点的轨迹就是这两点组成线段的垂直平分面。

例1、已知A（1，2，3），B（2，-1，4），求线段AB的垂直平分面的方程。

【答疑编号11060101】解：设M（x,y,z）是所求平面上任一点，根据题意有|MA|=|MB|，化简得所求方程2x-6y+2z-7=0。

x，y，z的一次方程表示的图形是一个平面。

3、柱面定义平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称为柱面。

这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。

柱面举例4、二次曲面三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面。

（1）椭球面椭球面与三个坐标面的交线：（2）x2+y2=2pz的图形是一个旋转抛物面。

6.2 多元函数的基本概念一、准备知识1、邻域设P0（x0,y0）是xoy平面上的一个点，δ是某一正数，与点P0（x0,y0）距离小于δ的点P（x,y）的全体，称为点p0的δ邻域，记为U（P0, δ）,。

2、区域平面上的点集称为开集，如果对任意一点，都有的一个邻域。

设D是开集。

如果对于D内任何两点，都可用折线连结起来且该折线上的点都属于D，则称开集D是连通的。

连通的开集称为区域或开区域。

开区域连同它的边界一起称为闭区域。

3、n维空间设n为取定的一个自然数，我们称n元数组的全体为n维空间，而每个n元数组称为n维空间中的一个点，数x i称为该点的第i个坐标说明：n维空间的记号为R n；n维空间中两点间距离公式：设两点为特殊地当n=1，2，3时，便为数轴、平面、空间两点间的距离。

高等数学积分公式大全

高等数学积分公式大全高等数学是一门非常重要的学科，在很多领域都有应用。

其中，积分学是高等数学中的一个重要章节。

积分可以理解为求解曲线图形下面的面积，不同类型的积分公式有着不同的概念和应用，下面，就为大家整理了一份高等数学积分公式大全，让大家对这个知识点有一个更全面的认识。

1. 常数积分公式$$\int kdx=kx+C$$2. 幂函数积分公式$$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$3. 指数函数积分公式$$\int e^xdx=e^x+C$$4. 对数函数积分公式$$\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$$5. 三角函数积分公式$$\int \sin xdx=-\cos x+C$$$$\int \cos xdx=\sin x+C$$6. 反三角函数积分公式$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$$$$\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$$$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}dx=\ln|x+\sqrt{x^2-1}|+C$$7. 换元法积分公式$$\int f(u)du=\int f(u(x))\frac{du}{dx}dx$$8. 分部积分公式$$\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)dx$$9. 定积分公式$$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$$10. 积分中值定理$$\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)$$这便是几种高等数学积分公式的介绍，这些公式是数学中不可或缺的知识点，掌握这些公式不仅有助于学生学好数学，还对应用数学的工作有相当多的帮助。

除了这些基本的积分公式之外，高等数学还涉及到一些比较复杂的积分公式，如多重积分、线性代数积分、微积分方程等等。

1. 多重积分公式多重积分是指对多元函数的积分，通常被用于几何问题、概率论问题和物理学问题中。

多元函数

( x, y )
{( x, y, z) | z f ( x, y), ( x, y) D}
这个点集称为二元函数的图形. 注意：二元函数的图形通常是一张曲面.
医用高等数学
z
M ( x, y, z)
y
o
x
p
y
D
x
医用高等数学
三、二元函数的极限与连续
1.二元函数的极限定义4-2 设函数 z f ( x, y)在点P 0 ( x0 , y 0 )的某一邻域内有定义(点 P 0 ( x0 , y 0 ) 可以除外).如果当 P( x, y ) 沿任何路径趋近于 P 0 ( x0 , y 0 )时，函数 f ( x, y )无限趋近于一个常数 A ,则称 f ( x, y )当 P( x, y) P0 ( x0 , y 0 ) 时 ,以 A 为极限，记作
证明当 p( x, y)沿曲线 y kx 趋于(0, 0)时
xy kx 2 k lim 2 lim 2 2 2 2 2 x 0 x 0 x k x x y 1 k y kx 0
当k取不同的值时,所得的值不同
xy 所以 lim 不存在． x 0 x 2 y 2 y 0

P
o
在直角 M 1 NM 2 Q 及直角 M PN 1 N 中，使用勾股定 y 理知
2 2
x
d M 1 P PN NM 2
2
2
医用高等数学
M1 P x2 x1 , PN y2 y1 ,
NM 2 z2 z1 ,
d
M 1 P PN NM 2
医用高等数学
自变量 ( x , y ) 的取值范围称为函数的定义域.

10多元函数积分中的三个公式计算及运用

10多元函数积分中的三个公式计算及运用在高等数学中，多元函数积分是一个重要的概念，它在应用数学、物理学等领域中都有着广泛的应用。

为了更好地理解和应用多元函数积分，李正元考研高数基础讲义中介绍了十个多元函数积分的基本公式，其中有三个是重要且常用的公式，它们分别是重积分的线性性、变量代换公式和极坐标系下的积分公式。

首先是重积分的线性性。

重积分的线性性是指如果f(x,y)和g(x,y)是定义在闭区域D上的可积函数，c1和c2是常数，那么c1f(x,y)+c2g(x,y)也是定义在D上的可积函数，并且有以下成立的公式：∫∫D [c1f(x, y) + c2g(x, y)]dxdy = c1∫∫D f(x, y)dxdy +c2∫∫D g(x, y)dxdy这个公式的运用非常广泛，在对多元函数进行积分时经常会用到。

其次是变量代换公式。

在计算多元函数积分时，有时可以通过进行变量代换来简化计算。

设有从平面区域D到平面区域D'的可导函数变换x=x(u,v),y=y(u,v)，且这个变换是一一对应，那么就有以下变量代换公式：∫∫D' f(x(u, v), y(u, v))，J(u, v)，dudv = ∫∫D f(x,y)dxdy其中J(u,v)是变换的雅可比行列式，即J(u,v)=∂(x,y)/∂(u,v)=∂x/∂u*∂y/∂v-∂x/∂v*∂y/∂u。

这个公式在计算复杂的多元函数积分时非常有用，通过适当的变量代换可以将积分区域转化成更简单的形式，从而简化计算过程。

最后是极坐标系下的积分公式。

当积分区域是一个闭圆盘或圆环时，可以使用极坐标系来进行积分计算。

假设f(r,θ)是定义在圆盘或圆环内的连续函数，那么有以下公式成立：∫∫D f(r, θ)rdrdθ = ∫(θ=a to b) ∫(r=0 to R) f(r,θ)rdrdθ其中D表示积分区域，a和b是角度的取值范围，R是极坐标下的积分区域的半径。

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多元函数积分学综述：多元函数积分学是对一元函数的不定积分与定积分相关知识的推广，主要涉及重积分和曲线、曲面积分的计算与应用.本章在考研数学数学一的考试中所占的比重非常大，一般来说，每次考试平均会出两道大题、一道小题，所占分值在24分左右.本章的主要知识点有：各种积分（二重积分、三重积分，对弧长的曲线积分，对坐标的曲线积分，对面积的曲面积分，对坐标的曲面积分）的定义与性质，各种积分的基本计算方法，联系各种积分的公式（格林公式，高斯公式，斯托克斯公式），以及场论的一些初级的知识.考生复习的时候要注意：1.定积分是所有积分的基础，计算其它积分本质上也是在计算定积分，而所有积分定义本质上也都是和定积分一致的.2.具体地来说，计算二重积分等价于计算两次定积分，计算三重积分等价于计算三次定积分.对于重积分，考生主要要掌握各种坐标的定限方法和适用范围.3.而对弧长和对坐标的曲线积分的计算本质上也都是定积分的计算.其中，考试对对弧长的曲线积分要求较低，只需掌握计算公式即可.而对对坐标的曲线积分，除了要掌握计算公式，还需要理解它和对弧长的曲线积分之间的关系，更重要的还需要掌握格林公式以及由它所引申出的积分与路径无关的条件以及二元函数的全微分等知识点.这是本章的第一个重点.4.然后，对面积的曲面积分和对坐标的曲面积分的计算本质上是二重积分的计算.其中考试对对面积的曲面积分要求较低，掌握计算公式即可.对坐标的曲面积分这一块考点较多：首先要掌握基本的计算公式和两类曲面积分之间的关系，然后还需要重点掌握高斯公式以及斯托克斯公式的应用.这是本章的另一个重点.本章常考的题型有：1.二重积分的计算，2.三重积分的计算；3.对弧长的曲线积分的计算；4.极对坐标的曲线积分的计算，5.格林公式的应用，6.对积分与路径无关的条件的考查，7.二元函数的全微分，8.对面积的曲面积分的计算，9.对坐标的曲面积分的计算，10.高斯公式的应用，11.斯托克斯公式的应用，12.综合应用，13.场论初步.常考题型一：二重积分的定义与性质常考题型一：二重积分的性质1.【2005—3 4分】设σd y x I D⎰⎰+=221cos ,σd y x I D ⎰⎰+=)cos(222,σd y x I D⎰⎰+=2223)cos(, 其中}1),{(22≤+=y x y x D ，则（）()A 123I I I >>. ()B 321I I I >>. ()C 312I I I >>. ()D 213I I I >>.常考题型二：二重积分的计算1．交换积分次序2.【2004-1 4分】设函数()f u 连续, 区域{}22(,)2D x y x y y =+≤, 则()Df xy dxdy ⎰⎰等于（）()A11()dx f xy dy -⎰⎰()B 22()dy f xy dx ⎰⎰()C 2sin 20(sin cos )d f r dr πθθθθ⎰⎰()D 2sin 20(sin cos )d f r rdr πθθθθ⎰⎰3.【2007-2 4分】设函数(,)f x y 连续，则二重积分1sin 2d (,)d xx f x y y ππ⎰⎰等于（）()A 10arcsin d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰()B 10arcsin d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰()C 1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰()D 1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰4.【2009-1 4分】设函数(),f x y 连续，则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（）()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰()C ()2411,ydy f x y dx-⎰⎰()D ()221,ydy f x y dx ⎰⎰5.【2004-1 4分】设()f x 为连续函数，⎰⎰=ttydx x f dy t F 1)()(，则)2(F '等于（）()A ()22f ()B ()2f ()C ()2f -()D 06.【2001-1 3分】交换二次积分的积分次序：()0112,ydy f x y dx --=⎰⎰.7.【2002—3 4分】交换积分次序：()()111422104,,yydy f x y dx dy f x y dx +=⎰⎰⎰8.【2014—3 4分】二次积分2211()________.x y yedy e dx x-=⎰⎰ 【小结】：交换积分次序的一般步骤：根据现有的积分次序画出积分区域；选择另一种次序确定上下限、写出新的累次积分，如果有必要，可以分类讨论.2.直接利用直角坐标计算二重积分9．【1999-3】设(,)f x y 连续，且(,)(,)Df x y xy f u v dudv =+⎰⎰，其中D 是由20,,1y y x x ===所围成的区域，则(,)f x y 等于 ( )(A)xy (B)2xy (C)18xy +(D)1xy + 10.【2003-4】设0a >，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=.11.【2005-1 9分】计算二重积分σd y x D⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .12.【2008-1 11分】求二重积分max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤13.【2011-1 11分】已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0,(,1)0f y f x ==，(,)Df x y dxdy a=⎰⎰，其中{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤计算二重积分(,)xy DI xyf x y dxdy ''=⎰⎰14.【1998—3 7分】计算二重积分Dydxdy ⎰⎰，其中D 是由直线2,0,2x y y =-==以及曲线x =.15.【2001—3 6分】求二重积分()22121x y Dy xe dxdy +⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰⎰的值，其中D 是由直线,1y x y ==-，1x =围成的平面区域.16.【2006—3 7分】计算二重积分d Dx y ，其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.17.【2012—3 10分】计算二重积分x De xydxdy ⎰⎰，其中D为由曲线y =与y =所围区域。

多元积分基本公式

多元积分基本公式多元积分是高等数学中的重要内容，它就像是一个神秘的魔法盒子，里面装满了各种奇妙的数学知识和解题技巧。

咱们先来说说多元积分到底是个啥。

想象一下，你有一块形状不规则的土地，你想知道这块地的面积。

如果是简单的矩形或三角形，那很容易算。

但要是奇形怪状的，那可就麻烦了。

这时候多元积分就派上用场啦！它能帮咱们精确地算出这种不规则区域的大小。

比如说，在一个三维空间里，有一个像奇形怪状的气球一样的物体。

我们要计算它的体积，这就得靠多元积分。

还记得我之前给一个学生讲多元积分的时候，那孩子一脸懵，眼睛瞪得大大的，完全不知所措。

我就给他举了个例子，我说：“你想想啊，咱们去买水果，那种不规则形状的水果，比如榴莲。

水果店老板要给榴莲定价，总不能随便估摸个价格吧？他就得通过计算榴莲的体积来估计成本，这时候多元积分就像是他的秘密武器。

”这孩子一听，好像有点明白了。

多元积分包括二重积分、三重积分等等。

二重积分就像是在一个平面上给不规则的图形测量面积，而三重积分则是在三维空间里给不规则的物体测量体积。

咱们来具体看看二重积分。

假设在一个平面直角坐标系中，有一个区域，这个区域的边界弯弯曲曲的，不好直接计算面积。

那咱们就把这个区域分成很多很多小的矩形，然后计算每个小矩形的面积，再把它们加起来。

这听起来好像挺麻烦，但其实有一套固定的公式和方法。

就像有一次我带着学生们在课堂上做练习，有一道题是计算一个由曲线围成的区域的面积。

大家一开始都抓耳挠腮的，不知道从哪儿下手。

我就引导他们一步一步来，先确定积分区域的边界，再确定被积函数。

慢慢地，同学们开始有了思路，一个个算出了答案，那兴奋劲儿，就像是解开了一个超级难的谜题。

三重积分呢，比二重积分更复杂一点，但原理是类似的。

想象一下一个充满了气体的不规则的气球，咱们要知道这个气球里气体的多少，就得用三重积分来计算它的体积。

在学习多元积分的过程中，一定要搞清楚积分的上下限，这就像是给计算划定了一个范围，不能超出去。

高等数学6_1多元数量值函数积分的概念与性质

k 1
目录上页下页返回结束
n
1 k n
抽象其共性
如果不论
n
怎样划分，点
怎样选取，极限上可积，且
()
目录
lim f ( M k )k 都存在，则称f 在
0
称此极限值为 f (M )在Ω上的积分,记作
k 1
f (M )d.
上页下页返回结束
即：
被积式或积分微元积分域
被积函数
注意：当积分域类型不同时，积分的具体表达式和名称也不相同
0
k 1
n
d称为面积微元，在直角坐标系下常写作d x d y, 引例1中平面薄板的质量:
M ( x, y ) d ( x, y ) d x d y
D D
引例2中曲顶柱体体积:
V f ( x, y ) d f ( x, y ) d x d y
第六章多元函数积分学及其应用
一元函数积分学重积分多元函数积分学曲线积分曲面积分
第一节多元数量值函数积分的概念与性质
一、引例
第六章
二、多元数量值函数积分的概念
三、积分存在的条件和性质
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一、引例
1. 平面薄片的质量有一个平面薄片, 在 xOy 平面上占有区域 D , 其面密度为计算该薄片的质量 M . 设D 的面积为 , 则
0 k 1
曲顶柱体体积:
V lim f ( k , k ) k
0 k 1
目录上页下页返回结束
n
一般说来，设有一质量非均匀分布在某一几何形体
上的物体，（这里几何形体可以是直线段、平面或

多元函数求积分

多元函数求积分积分是微积分的重要概念之一，用于求解函数的面积、体积、质量、重心等许多物理和几何问题。

在计算积分时，我们常常会遇到多元函数的积分问题，即在多维空间中对多个变量的函数进行积分。

本文将从基本概念、计算方法和相关参考内容三个方面介绍多元函数的积分。

一、基本概念多元函数的积分是在多维空间中对函数的求和过程，可以用于计算函数在某个区域内的总量。

对于二元函数而言，积分可以表示为∮f(x,y)dA，其中∮表示积分，f(x,y)为要积分的函数，dA表示面积元素。

对于三元函数而言，积分可以表示为∭f(x,y,z)dV，其中∭表示积分，f(x,y,z)为要积分的函数，dV表示体积元素。

多元函数的积分可以从二维空间扩展到任意多维空间。

二、计算方法1.直接计算对于简单的多元函数，可以直接计算积分。

首先需要确定积分的边界，即确定积分的区域。

然后按照积分的定义进行计算，将积分区域划分为许多小的面积元素或体积元素，并对每个元素进行积分。

最后将所有小元素的积分结果相加，即得到整个区域内函数的积分结果。

2.变量替换对于复杂的多元函数，可以通过变量替换的方法简化积分计算。

通过合适的变量替换可以将原函数化简为更简单的形式，从而方便求解积分。

通过变量替换，可以将积分区域变换到更加简单的坐标系中，使得计算变得更加容易。

3.极坐标、球坐标、柱坐标等对于涉及到圆、球、柱等几何形状的函数，可以使用极坐标、球坐标、柱坐标等坐标系进行积分计算。

这些坐标系有助于简化函数表达式和积分区域，从而提高计算效率。

三、相关参考内容1.《高等数学》（同济大学数学系编著）：该教材是国内高等院校普遍采用的教材，对多元函数的积分有详细的介绍，并提供了许多例题和习题供读者练习。

2.《数学分析教程》（李修文编著）：该教材对多元函数的积分理论和计算方法进行了深入的讲解，包括直接计算、变量替换和不同坐标系下的积分计算方法。

3.《多元函数积分学》（孔祥兴编著）：该教材从多元函数积分的基本概念入手，详细介绍了多元函数的积分理论和计算方法，并提供了大量例题和习题供读者练习。

多元函数微积分在高等数学中的应用

高等数学是大多数理工科专业学生必修的一门课程，它是数学的重要分支之一，主要包括微积分和数学分析两部分。

而其中的多元函数微积分作为其重要的组成部分，广泛应用于各个领域，具有重要的实际意义。

多元函数微积分主要研究含有多个变量的函数，它是高等数学的一项重要内容。

在高等数学的学习过程中，多元函数微积分的应用是不可或缺的。

首先，在几何中，多元函数微积分可以用于描述和研究曲线、曲面以及多元函数的图像。

通过对多元函数的导数和微分的研究，可以求得曲线的切线和曲面的切平面，进一步帮助我们理解几何中的诸多概念和性质。

其次，多元函数微积分在物理学中也具有重要的应用价值。

物理学中很多问题都可以归结为求解关于时间、空间和速度等参数的多元函数微积分问题。

比如，物体的运动问题可以用多元函数表达，并通过对其求导和积分，得到物体在不同时间点的速度和位移等信息。

同时，多元函数微积分还能用于解决涉及到多个变量的问题，如流体力学中的动量守恒、质量守恒等问题。

此外，多元函数微积分在经济学中也有着广泛的应用。

经济学中常常涉及到多个变量之间的相互作用关系，而多元函数微积分可以提供工具来研究这些关系。

例如，通过对多元函数求偏导和最值，可以帮助经济学家优化生产成本、最大化利润等问题。

此外，多元函数微积分还可以帮助理解和解决市场经济中的供需关系、定价策略等重要问题。

最后，多元函数微积分还在工程学和计算机科学中有广泛的应用。

在工程学中，多元函数微积分可以帮助进行结构分析、材料力学、电路设计等问题的求解。

而在计算机科学中，多元函数微积分常常用于图像处理、机器学习、模式识别等方面，这些都涉及到对多元函数的处理和分析。

总的来说，多元函数微积分是高等数学中的重要内容，它在几何学、物理学、经济学、工程学和计算机科学等领域都有着广泛的应用。

通过学习和理解多元函数微积分的概念和原理，我们可以用数学的方法分析和解决实际问题，进一步提高我们的分析能力和解决问题的能力。

高等数学中的多元函数的积分

高等数学中的多元函数的积分高等数学中的多元函数积分高等数学是一门抽象的学科，它以符号理论和逻辑推理为基础，利用数学结构和算法解决复杂的问题。

在高等数学中，多元函数积分是一个非常重要的概念。

多元函数积分是现代数学的基石之一，它与实际问题密切相关，具有广泛的应用范围。

1. 多元函数积分的概念多元函数积分是一种数学工具，它用于计算多元函数在闭合区域上的积分值。

多元函数是指有多个自变量的函数，积分是对多元函数在一个闭合区域上的求和操作。

多元函数积分的概念最早是由黎曼在19世纪中期提出的，现在已经成为现代数学的一部分。

2. 多元函数积分的性质多元函数积分具有以下性质：（1）线性性：若f和g是定义在闭合区域U上的两个多元函数，a和b是常数，则有∫[af(x,y)+bg(x,y)]dxdy＝a∫f(x,y)dxdy+b∫g(x,y)dxdy。

（2）可加性：若f是定义在闭合区域U上的多元函数，在它的范围内用一个曲面D把闭合区域分成两个部分U1和U2，则有∫f(x,y)dxdy＝∫f(x,y)dxdy＋∫f(x,y)dxdy。

3. 多元函数积分的计算方法多元函数积分的计算方法有以下几种：（1）直接计算：即按照定义式进行积分。

这种方法适合于计算简单的多元函数积分。

（2）使用改变变量法：改变变量法是通过变量代换的方式，将多元函数转化为标准形式，并重新计算积分。

这种方法适合于计算复杂的多元函数积分。

（3）使用重积分法：重积分法是把多元函数积分表示为两个一元函数积分的积分形式，再进行计算。

这种方法适合于计算连续多元函数积分。

4. 多元函数积分的应用多元函数积分是解决实际问题的有力工具，它在物理、工程、金融等领域都有广泛的应用。

（1）物理领域：例如，通过多元函数积分可以计算物体的体积、质心、转动惯量等参数。

（2）工程领域：例如，通过多元函数积分可以计算电场、磁场、热量传递等参数。

（3）金融领域：例如，通过多元函数积分可以计算期权和利率等金融指标。

高等数学中的多元函数

高等数学中的多元函数在高等数学中，多元函数是指拥有多个自变量的函数。

与一元函数不同，多元函数的自变量可以是两个或更多个。

1. 多元函数的定义多元函数可以理解为一个函数，它的输入可以是多个变量，输出为一个变量。

如f(x, y) = x² + y²，其中x和y都是自变量，而f(x, y)则是因变量。

多元函数的定义域是自变量的取值范围，其值域是函数的所有可能输出。

2. 多元函数的图像和一元函数一样，多元函数也可以通过绘制图像来直观地展示。

对于二元函数f(x, y)，可以在三维坐标系中绘制出其图像。

图像上的每一个点(x, y, z)代表了函数在对应自变量取值下的输出值。

通过观察图像的形状和特征，我们可以对多元函数的性质有更深入的理解。

3. 多元函数的极限多元函数也存在极限的概念。

对于二元函数f(x, y)，当自变量(x, y)趋近于某一点(x₀, y₀)时，函数值f(x, y)可能趋近于一个有限的值L，我们称L为函数f(x, y)当(x, y)趋近于(x₀, y₀)时的极限。

多元函数的极限性质和一元函数类似，我们可以通过定义和极限的性质来推导多元函数的极限。

4. 多元函数的偏导数多元函数的偏导数是指函数在某一点处对某个自变量的导数。

对于二元函数f(x, y)，其偏导数可以分别求关于x和y的导数。

偏导数可以帮助我们研究多元函数在某一点的变化率和方向。

通过求解偏导数为零的点，我们可以找到多元函数的极值点。

5. 多元函数的泰勒展开多元函数的泰勒展开公式是将一个多元函数在某一点附近用多项式来逼近的方法。

泰勒展开可以帮助我们更好地理解多元函数的性质和行为。

通过泰勒展开，我们可以将复杂的多元函数近似为简单的多项式，从而简化问题的求解过程。

6. 多元函数的积分多元函数的积分是对多元函数在某个区域上的求和操作。

与一元函数积分类似，多元函数的积分可以分为定积分和不定积分。

通过对多元函数的积分，我们可以求解多元函数在某个区域上的总量、平均值等问题。

《高等数学》第八章(下)多元函数微积分简介

x2
y2
xdy x2
ydx
x2
y
y2
dx
x2
x

2．全微分在近似计算中的应用
设函数 z f (x ，y) 在点 P0(x0 ，y0 ) 可微，则函数在点 P0(x0 ，y0 ) 的全增量为 z f (x0 x ，y0 y) f (x0 ，y0 ) fx(x0 ，y0 )x f y(x0 ，y0 )y () ，
1
y x2
y2
，
所以全微分为
z 1 ，z 1 ． x (1，1) 3 y (1，1) 3 dz z x z y 1 x 1 y ．
x y 3 3
第二节多元函数微分学
例 16 求 z arctan y 的全微分． x
解
dz
d arctan
y x
1
1 y x
2
d
y x
x2
x y dz z x z y ．
x y 在一元函数里，可微和可导是等价的，定理 1 告诉我们，二元函数可微一定存在偏导数，反过来，是否成立呢？也就是就，若二元函数 z f (x ，y) 在点 P(x ，y) 处存在偏导数，那么二元函数 z f (x ，y) 在点 P(x ，y) 是否可微呢？回答是否定的．
第二节多元函数微分学
定理 4 （充分性）若函数 z f (x ，y) 在点 P(x ，y) 邻域内存在关于 x ， y 的两个偏导数 z ，z ，且它们在该点连续，则函数 z f (x ，y) 在点 P(x ，y) 处可微．
x y 此定理说明，只有当二元函数的两个偏导数在该点连续，才能保证其可微．习惯上，把自变量的改变量 x ， y 分别记作 dx ，dy ，并称为自变量的微分，所以二元函数的全微分可以表示为 dz fxdx f ydy ．类似地，二元函数的微分及性质可以推广到三元以及三元以上的函数．

高数重要公式

高数重要公式高数（高等数学）中涉及的公式众多，以下是一些基本且重要的公式：1. 极限部分- 极限存在准则：若f(x)当x趋于a时，无论从左边还是右边趋近，其值都为L，则称函数f(x)在x=a处的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。

- 洛必达法则（L'Hôpital's Rule）：如果f(x)/g(x)在x=a处的分子分母分别趋向于0或无穷大，且满足一定的条件，可以通过求导计算它们的极限。

2. 微积分基础- 导数定义：若函数f(x)在点x=a处可导，则f'(a) = lim(Δx->0) [f(a+Δx)-f(a)]/Δx。

- 常用导数公式：如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的基本导数公式。

- 微积分基本定理：若函数f在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导，那么对于任意一点c ∈(a, b)，有∫_a^b f'(x) dx = f(b) - f(a)。

3. 积分部分- 不定积分与定积分的关系：不定积分是求原函数的过程，记作∫f(x) dx=F(x)+C；而定积分则是求面积、体积等问题，记作∫_a^b f(x) dx。

- 积分性质和运算法则：线性性质、积分上限函数的导数等于被积函数、换元积分法、分部积分法等。

4. 多元函数微积分- 偏导数：如果z=f(x,y)，则∂z/∂x就是在y保持不变的情况下，z关于x的局部变化率，类似的还有∂z/∂y。

- 链式法则、梯度、方向导数和多元函数的极值问题等。

5. 级数理论- 级数的收敛判别法：比值判别法、根值判别法、积分判别法、狄利克雷判别法等。

- 幂级数展开：如泰勒级数、麦克劳林公式等。

以上仅列举了部分重要公式，具体使用时需根据实际问题灵活运用。

多元积分定理及其推导

多元积分定理及其推导多元积分是高等数学中的一个重要概念，它将单个变量的积分推广到多个变量的情况下。

对于一个 $n$ 维空间上的函数，它的积分可以表示为对这个空间上的各个子集的积分的和，这就是多元积分的基本思想。

而多元积分定理则是描述了空间边界和空间内部的积分之间的关系，是多元积分的重要工具。

1. 多元积分定理的表述多元积分定理是一个比较抽象的概念，需要通过公式来进行描述。

其中最基本的表述形式是格林公式（Green's theorem）、斯托克斯定理（Stokes' theorem）和高斯公式（Gauss's theorem）。

这里我们以斯托克斯定理为例，来说明多元积分定理的表述形式。

假设 $S$ 是一个光滑的边界为 $\partial S$ 的区域，$F$ 是三维空间上的一个向量场，$\partial S$ 的方向取为右手定则方向，则斯托克斯定理可以写为：$$\int_S\nabla \times F \cdot dS = \oint_{\partial S}F\cdot dr$$其中 $\nabla \times F$ 表示该向量场的旋度（curl），$dS$ 表示区域 $S$ 上的面积元素（vector area element），$\partial S$ 表示区域 $S$ 的边界，$F\cdot dr$ 表示环路 $\partial S$ 上积分的沿环路的向量积。

这个定理的意思是，该向量场的旋度对区域 $S$ 上的积分等于该向量场对 $\partial S$ 上的积分，其中 $\partial S$ 的方向是右手定则方向（散度定理中与之对应的是左手定则方向）。

2. 多元积分定理的推导虽然多元积分定理在数学技术上是非常有用的，但本身并不是很直观，因此需要对其进行一些推导，来更好地理解该定理。

以斯托克斯定理为例，我们可以将其分为两部分，分别为旋度与面积积分、向量积与环路积分。