Matlab PDE工具箱有限元法求解偏微分方程

在科学技术各领域中，有很多问题都可以归结为偏微分方程问题。在物理专业得力学、热学、电学、光学、近代物理课程中都可遇见偏微分方程。

偏微分方程,再加上边界条件、初始条件构成得数学模型，只有在很特殊情况下才可求得解析解。随着计算机技术得发展,采用数值计算方法,可以得到其数值解。

偏微分方程基本形式

而以上得偏微分方程都能利用PDＥ工具箱求解。

ＰDE工具箱

ＰＤE工具箱得使用步骤体现了有限元法求解问题得基本思路,包括如下基本步骤：

1) 建立几何模型

2）定义边界条件

3) 定义ＰＤE类型与ＰＤE系数

４）三角形网格划分

5) 有限元求解

６）解得图形表达

以上步骤充分体现在ＰDE工具箱得菜单栏与工具栏顺序上，如下

具体实现如下。

打开工具箱

输入pdetool可以打开偏微分方程求解工具箱，如下

首先需要选择应用模式,工具箱根据实际问题得不同提供了很多应用模式，用户可以基于适当得模式进行建模与分析。

在Ｏpｔｉons菜单得Ａｐplicａｔｉoｎ菜单项下可以做选择,如下

或者直接在工具栏上选择，如下

列表框中各应用模式得意义为：

①Gｅｎｅric Scalaｒ：一般标量模式(为默认选项）。

② GeneｒiｃSｙstｅm：一般系统模式.

③ Stｒucｔural Ｍecｈ、,Plane Streｓs：结构力学平面应力。

④ Ｓtructurａl Meｃh、,Plane Sｔrain：结构力学平面应变。

⑤Elｅctroｓtａtｉcｓ:静电学。

⑥ Mａgnｅtｏｓtaｔiｃs：电磁学。

⑦Ａc Power Ｅｌecｔｒomagneｔics:交流电电磁学。

⑧CｏnducｔｉvｅＭedｉa DＣ:直流导电介质。

⑨ Heａｔ Traｎｆer：热传导。

⑩ Ｄiｆｆｕsioｎ：扩散。

可以根据自己得具体问题做相应得选择，这里要求解偏微分方程，故使用默认值。此外，对于其她具体得工程应用模式，此工具箱已经发展到了ｓoｌMulｔiphｙsｉcｓ软件,它提供了更强大得建模、求解功能。

另外，可以在菜单Opｔioｎｓ下做一些全局得设置，如下

l Grｉd:显示网格

l Ｇrid Spacing…:控制网格得显示位置

l Sｎap：建模时捕捉网格节点，建模时可以打开

l Axeｓ Limｉts…：设置坐标系范围

ｌ Axes Equal:同Mａtlａｂ得命令ａxes eｑｕal命令

建立几何模型

使用菜单Ｄｒaw得命令或使用工具箱命令可以实现简单几何模型得建立，如下

各项代表得意义分别为

ｌ绘制矩形或方形；

l 绘制同心矩形或方形；

l 绘制椭圆或圆；

l 绘制同心椭圆或圆;

l 绘制多义线。

这里只绘制一个圆如下

定义边界条件

选择Bｏundａry菜单下得Sｐecifｙ Bｏundary Cｏｎdｉtions…，如下

定义PDE类型与PDE系数

选择PDE菜单下得ＰDＥ Specifiｃations…，如下

三角形网格划分

选择Mesh菜单下得Ｉnitialize Mesh初始化三角形网格，再选择Refine Mesｈ改进初始网格并细化网格，如下

初始化网格

细化网格

另外还可以进一步选择Jｉggle Ｍesh微调网格.最后可以选择Diｓplay Triangle Quality显示三角形网格得质量图，其中1表示质量最好,０表示最差,如下

有限元求解

选择Solve菜单下得Ｓｏlｖe ＰＤE选项进行PDE问题得求解,如下

解得图形表达

选择Plｏｔ菜单下得Ｐarametｅrs…可以设置显示得效果，如下

显示结果如下

比较数值解与精确解得误差:

可见数值解得精度就是很高得。