华中师范大学 2012-2013学年第一学期概率论期末考试试卷

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2012-2013概率期末试题+答案

2012-2013-1《概率论与数理统计》期末试卷(A)一、填空题（每小题4分，共28分）1．对一批次品率为p (0<p <1)的产品逐一检测, 则第二次或第二次后才检测到次品的概率为________.2．二维离散型随机变量),(Y X 的联合分布律为j i p ， (i , j =1 , 2 ,……)，关于X 及关于Y 的边缘分布律为p i •及p •j (i , j =1,2,……)，则X 与Y 相互独立的充分必要条件是_________. 3．设样本),,,(21n X X X 抽自总体22, ). ,(~σμσμN X 均未知. 要对μ作假设检验，统计假设为,:00μμ=H (0μ已知)， ,:01μμ≠H 则要用检验统计量为_________.4．若总体) ,(~2σμN X ，则~n Z σμ-X =__________其中n 为样本容量.5．设某种零件的寿命),(~2σμN Y ，其中μ未知. 现随机抽取5只，测得寿命(单位小时)为1502 , 1453 ,1367 , 1650，1498，则用矩估计可求得μˆ=________. 6．设某离散型随机变量ξ的分布律是{}⋅⋅⋅===,2,1,0,!k k Ck P kλξ，常数λ>0，则常数=C ________.7．设A ，B 是两个互不相容的随机事件，且知21)(,41)(==B P A P ，则=)(B A P ______. 二、单项选择题（每小题4分，共40分）1．对任意两个互不相容的事件A 与B ，必有_________.(A ) 如果0)(=A P ，则0)(=B P . (B ) 如果0)(=A P ，则1)(=B P .(C ) 如果1)(=A P ，则0)(=B P . (D ) 如果1)(=A P ，则1)(=B P .2．已知随机变量X 在]1,0[上服从均匀分布，记事件}5.00{≤≤=X A ，}75.025.0{≤≤=X B ，则_________.(A ) A 与B 互不相容. (B ) B 包含A . (C ) A 与B 对立. (D ) A 与B 相互独立. 3．6.0 ,1)( ,4)(===ξηρηξD D ，则=-)23(ηξD _________.(A) 40 (B) 34 (C) 25.6 (D) 17.64．任一个连续型的随机变量ξ的概率密度为)(x ϕ，则)(x ϕ必满足_________.(A) 1)(0<<x ϕ (B)()⎰+∞∞-=1dx x ϕ (C) 单调不减 (D)1)(lim =+∞→x x ϕ5．设两个随机变量X 与Y 相互独立且同分布，{1}{1}0.5P X P Y ====，{1}{1}0.5P X P Y =-==-=,则下列各式成立的是_________.(A){}0.5P X Y == (B) {}1P X Y == (C) {0}0.25P X Y +== (D) {1}0.25P XY == 6．若随机变量ξ和η相互独立，且方差21)(σξ=D 和22)(ση=D 2121,),0,0(k k >>σσ 是已知常数，则)(21ηξk k D -等于_________.（A ）222211σσk k - （B ）222211σσk k + （C ）22222121σσk k - （D ）22222121σσk k +7．设( X , Y )为二维随机变量，其概率密度函数为⎩⎨⎧≥≥=+-其他,0,0,),()(y x e y x f y x ，则下列各式正确的是_________.⎰⎰∞-∞-+-=x y y x dxdy e y x F A )(),()( ⎰∞+∞-+-=dy e x f B y x X )()()(dx e dy Y X P C y y x ⎰⎰-+-=≤+240)(2}42{)( ⎰⎰∞+∞-∞+∞-+-=dxdy xe X E D y x )()()(8．对总体的某个参数做检验，取显著性水平α，如果原假设正确，但由于样本的随机性做出拒绝原假设的决策，因而犯了错误，这类错误称第一类错误，也称“弃真错误”，犯这类错误的概率是_________.(A )α-1 (B) 21α-(C) α (D)α19．设n X X ,,1 是来自随机变量X 的样本∑=--=ni i X X n S 122)(11(样本方差),则下列结论正确的是_______. (A))()(2X D S E = (B) )(1)(2X D n nS E -=(C) )(1)(2X D nn S E -= (D) )()1()(22X D n nS E -= 10．采用包装机包装食盐，要求500g 装一袋. 已知标准差g 3=σ，要使食盐每袋平均重量的95%的置信区间长度不超过4.2g ，则样本容量n 至少为_______.（已知u 0.025=1.96）(A ) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10三、不同的两个小麦品种的种子混杂在一起，已知第一个品种的种子发芽率为90%，第二个品种的种子发芽率为96%，并且已知第一个品种的种子比第二个品种的种子多一倍，求：(1)从中任取一粒种子，它能发芽的概率；(2)如果取到的一粒种子能发芽，则它是第一个品种的概率是多少？(8分)四、设随机变量X 和Y 相互独立且)5,3(~N X , )19,3(~-N Y . 试求 Z =3X –2Y –15的概率密度. (8分)五、从一台车床加工的成批轴料中抽取15件，测量其椭圆度(设椭圆度服从正态分布),(2σμN ) ，计算得2s =0.025，问该批轴料的椭圆度的总体方差2σ与规定的方差 04.020=σ 有无显著差别？（最后结果保留3位小数），(α =0.05). (8分) (已知220.9750.025(14) 5.629,(14)26.119χχ==，220.9750.025(15) 6.262,(15)27.488χχ==）六、设某种零件长度X 服从正态分布),(2σμN ，现随机从该批零件中抽取10件，测得其样本均值)(05.10cm X =，样本标准差)(2415.0cm S =，求μ的置信度为95%的置信区间（最后结果保留3位小数）. (8分) (已知2281.2)10(,2622.2)9(025.0025.0==t t ，2281.2)10(,8331.1)9(025.005.0==t t ）答案：一、填空1．1-p ；2．j i j i p p p ••⨯=；3．,/0nS X t μ-= ；4．)1 ,0(N ；5．1494. 6.λ-e ；7. 21二、单项选择题题号 12345678910答案C D C B A D C C A C三、A i (i =1,2)分别表示取到的一粒种子是第一，二品种的事件B =“取到的一粒种子能发芽”则()()%90,3211==A B P A P ，()()%96,3122==A B P A P 由全概率公式 ()()()2121230.90.960.92=3325i i i P B P A P B A ===⨯+⨯=∑由贝叶斯公式 ()()()()⎪⎭⎫⎝⎛≈===65.0231592.060.0111B P A B P A P B A P 四、因为)3,2(~N X , )6,3(~-N Y ，且X 与Y 独立，故X 和Y 的联合分布为正态分布，X 和Y 的任意线性组合是正态分布.即 Z ~N (E (Z ), D (Z ))015)(2)(3)(=--=Y E X E Z E 121)(4)(9)(=+=Y D X D Z D Z ~N (0, 112)则Z的概率密度函数为 2242(),()x f x x -=-∞<<+∞五、显著性水平 α = 0.05，检验假设04.0:;04.0:20212020=≠==σσσσH H22201140.0258.750.04n s χσ-⨯===（）由于()22220.0250.97521(14) 5.6298.7526.119(14)n αχχχχ-==<=<=故接受H 0 即认为该批轴料的圆度的总体方差与定的方差0.04 无显著差别. 六、当2σ未知时，μ的置信度为0.95的置信区间为22(1),(1)X n X n αα⎛⎫-- ⎪⎝⎭10.05 2.2622,10.05 2.2622⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(9.877,10.223)=。

《概率论与数理统计》期末考试试题B卷答案

华中农业大学本科课程考试参考答案与评分标准考试课程：概率论与数理统计学年学期：试卷类型：B 考试日期：一、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其字母代号写在该题【】内。

答案错选或未选者，该题不得分。

每小题2分，共10分。

）1. 设随机变量X 的概率密度)1(1)(2x x p +=π，则X Y 2=的分布密度为 . 【 b 】 (a))41(12x +π； (b) )4(22x +π； (c) )1(12x +π； (d) x arctan 1π．2. 设随机变量序列x 1, x 2,…, x n …相互独立,并且都服从参数为1/2的指数分布,则当n 充分大时,随机变量Y n =∑=ni i x n 11的概率分布近似服从 . 【 b 】(a) N(2,4) (b) N(2,4/n) (c) N(1/2,1/4n) (d) N(2n,4n) 3. 设总体X 服从正态分布),(N 2σμ，其中μ已知，2σ未知，321X ,X ,X 是总体X 的一个简单随机样本，则下列表达式中不是统计量的是．【 C 】（a ）321X X X ++；（b ）)X ,X ,X min(321；（c ）∑=σ31i 22i X ；（d ）μ+2X ．4．在假设检验问题中，检验水平α意义是．【 a 】（a ）原假设H 0成立，经检验被拒绝的概率；（b ）原假设H 0成立，经检验不能拒绝的概率；（c ）原假设H 0不成立，经检验被拒绝的概率；（d ）原假设H 0不成立，经检验不能拒绝的概率．5．在线性回归分析中，以下命题中，错误的是 . 【 d 】（a ）SSR 越大，SSE 越小；（b ）SSE 越小，回归效果越好；（c ）r 越大，回归效果越好；（d ）r 越小，SSR 越大．二、填空题（将答案写在该题横线上。

答案错选或未选者，该题不得分。

每小题2分，共10分。

2012,2013,2014年概率论与数理统计期末考试试卷答案

2012年概率论与数理统计期末考试试卷一. 填空题(每题5分, 共30分)1. 设随机变量X 服从正态分布(1,4)N , 已知(1)a Φ=, 其中()x Φ表示标准正态分布的分布函数, 则{13}P X -≤≤=21a -.解: 111311{13}11(1)(1)2222(1)(1(1))2(1)12 1.X X P X P P a -----⎧⎫⎧⎫-≤≤=≤≤=-≤≤=Φ-Φ-=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Φ--Φ=Φ-=- 2. 设概率()0.3,()0.5,()0.6P A P B P A B ==+=, 则()P AB = 0.1 . 解: ()()()()0.2P AB P A P B P A B =+-+=,()()()0.30.20.1P AB P A P AB =-=-=.3. 设随机变量,X Y 的数学期望分布是-2, 1, 方差分别是1, 4, 两者相关系数是—0.5, 则由契比雪夫不等式估计(|2|6)P X Y +≥≤ 13/36 . 解: 由已知条件得, (2)2220E X Y EX EY +=+=-+=,(2)4()2(,2)4()4(,)D X Y DX D Y Cov X Y DX D Y Cov X Y +=++=++4()41164(1/2)213DX D Y ρ=++=++⋅-⋅=, 所以, 13(|2|6)36P X Y +≥≤. 4. 已知,X Y 是具有相同分布的两个独立随机变量, 且1(1)(1)2P X P Y =-==-=, 1(0)(0)2P X P Y ====, 则()P X Y == 1/2 . 解:()(0,0)(1,1)1(0)(0)(1)(1).2P X Y P X Y P X Y P X P Y P X P Y ====+=-=-===+=-=-=5. 设1216,,,X X X 是来自2(0,)N σ的样本, S 是样本均方差, 则1614ii XS=∑服从t (15).解: 由定理3(15)t ,161611(15)4i ii X X X t S ===∑∑.6. 设1281,,,(,9)X X X N μ, 要检验假设0:0H μ=, 则当0H 为真时, 用于检验的统计量3X 服从的分布是(0,1)N . 解: 由定理1(0,1)X N , 3(0,1)X N .二. 解答下列各题:7. (10分)已知男人中色盲人数所占比例是5%, 女人中色盲人数所占比例是0.25%. 现从男女人数各占一半的人群中随机选取一人, 求该人恰是色盲者的概率.解: 设A =“该人是色盲”, 1A =“该人是男人”, 2A =“该人是女人”.由全概率公式知, 2111()()()0.050.0025 2.625%22i i i P A P A P A A ===⨯+⨯=∑.8. (10分) 从只含3红, 4白两种颜色的球袋中逐次取一球, 令1,,0,i X ⎧=⎨⎩第次取出球第次取出白球，i 红i 1,2i =. 实在不放回模式下求12,X X 的联合分布律,4/7 3/7 j P因为1212{0,0}{0}{0}P X X P X P X ==≠==, 所以12,X X 不独立. 9. (10分)设随机向量(,)X Y 的联合概率密度函数为3,01,,(,)20,xx x y x f x y ⎧<<-<<⎪=⎨⎪⎩其他，求,X Y 的边缘概率密度函数. 解: 当01x <<时, 23()(,)32xX x xf x f x y dy dy x +∞-∞-===⎰⎰.所以,23,01,()0,.其他X x x f x ⎧<<=⎨⎩当10y -<<时, 1233()(1)24Y y x f y dx y -==-⎰;当01y ≤<时, 1233()(1)24Y y x f y dx y ==-⎰; 所以,23(1),11,()40,.其他Y y y f y ⎧--<<⎪=⎨⎪⎩10. (10分) 设,X Y 相互独立, 且(1)(1)0P X P Y p ====>, (0)(0)10P X P Y p ====->,令1,0,X Y Z X Y +⎧=⎨+⎩当为偶数,当为奇数,求Z 的分布律.解:{0}{0,1}{1,0}{0}{1}{1}{0}2(1)P Z P X Y P X Y P X P Y P X P Y p p ====+=====+===- 22{1}{0,0}{1,1}{0}{0}{1}{1}(1).P Z P X Y P X Y P X P Y P X P Y p p ====+=====+===+- 所以, Z11. (10分12,,X 是来自具有分布的总体的随机样本,试用中心极限定理计算()5P X >.(已知(2)0.508Φ=.)解: 由题知1()3i E X =,2()1i E X =,故()228()9i i i D X EX EX =-=. 由中心极限定理知,20012001600(,)39ii X N =∑. 所以, 11111()4014052005n i n n i i i i i X P X P P X P X ===⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪>=>=>=-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭∑∑∑1200200403311(2)(2)0.508404033n i i X P =⎛⎫-- ⎪ ⎪=-≤≈-Φ-=Φ= ⎪ ⎪⎝⎭∑. 12. (10分)设总体X 的密度函数为36(),0,(;)0,其他,xx x f x θθθθ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩求θ的矩估计ˆθ并计算ˆD θ.解: 依题意,306()()2xE X xx dx X θθθθ=-==⎰,得参数θ的矩估计量为ˆ2X θ=. 4ˆ4D DX DX n θ==. 而2223063()()10x E X x x dx θθθθ=-=⎰,故22244ˆ()5D DX EX E X n n n θθ==-=.13. (10分) 某电器零件平均电阻一直保持在2.64Ω,使用新工艺后,测得100个零件平均电阻在2.62Ω,如改变工艺前后电阻均方差保持在0.06Ω,问新工艺对零件电阻有无显著影响?(取0.01α=)(1.96)0.975,Φ=(1.64)0.95,Φ=(2.58)0.995Φ=. 解: 设X 为零件的平均电阻, 则2~(,0.06)X N μ. (1)假设0: 2.64H μ=; (2)取统计量~(0,1)X U N=;(3)由0.01α=, 确定临界值22.58u α=, , 使得2{||}0.01P U u α>=;(4)由样本值 2.62x =, 得统计量U 的观察值3.33x u ==≈-.(5)因为 2.58u >,所以拒绝原假设0H ,认为新工艺对零件电阻有显著影响.2013年概率论与数理统计期末考试试卷一. 填空题(每题4分, 共20分)1. 设随机变量,X Y 相互独立, 且同分布, {1}{1}0.5P X P X =-===,{1}{1}0.5P Y P Y =-===, 则{}P X Y == 1/2 .解: 1{}{1,1}{1,1}{1}{1}{1}{1}.2P X Y P X Y P X Y P X P Y P X P Y ===-=-+====-=-+===2.22x edx +∞-=⎰2. 解:因为221x +∞--∞=⎰,所以22xe +∞--∞=⎰即2202x e +∞-=⎰. 3. 设连续型随机变量X的密度函数22()2()x f x μσ--=, x -∞<<+∞, 则EX =μ, DX =2σ. 解:因为22()2()x X f x μσ--=, 所以2(,)X N μσ.4. 设总体(3,10)XN , 12100,,,X X X 为来自总体X 的简单随机样本, 则10011100i i X X ==∑1~(3,)10X N . 解: 由定理1知, 1~(3,)10X N . 5. 设袋中有8个红球, 2个黑球, 每次从袋中摸取一个球并且不放回, 那么第一次与第三次都摸到红球的概率是 28/45 . 解: 记i A =“第i 次摸到红球”, 1,2,3i =.13131223123123()()(())()P A A P A A P A A A A P A A A A A A =Ω=+=+123123121312121312()()()()()()()()P A A A P A A A P A P A A P A A A P A P A A P A A A =+=+876827281098109845=⨯⨯+⨯⨯=. 二. 解答题6. (12分) 某矿内有甲乙两个报警系统, 单独使用时甲的有效性为0.92, 乙为0.93, 且在甲失灵的条件下乙有效的概率为0.85, 求意外发生时, 甲乙至少有一个有效的概率, 以及乙失灵时甲有效的概率. 参考练习册反12第4题. 解: 设A =“甲有效”, B =“乙有效”.题目转为: 已知()0.92,()0.93P A P B ==, {}0.85P B A =, 求()P A B +和{}P A B . 因为()()()(){}0.851()1()()P BA P B A P B P AB P B A P A P A P A --====--, 所以, ()0.862P AB =.所以, ()()()()0.988P A B P A P B P AB +=+-=;()()()()0.920.862{}0.831()1()10.93()P AB P A B P A P AB P A B P B P B P B ---====≈---. 7. (12分)设连续型随机变量X 的分布函数为()arctan ()F x a b x x =+-∞<<+∞, 求常数,a b 以及随机变量X 的密度函数. 解: 根据分布函数的性质得()1,2()0,2b F a b F a ππ⎧+∞=+=⎪⎪⎨⎪-∞=-=⎪⎩ 所以1,21.a b π⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩X 的密度函数为21()(1)f x x π=+.8. (14分) 设某种类型人造卫星的寿命X (单位: 年)的密度函数为21,0,()20,0.xe xf x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩若2颗这样的卫星同时升空投入使用, 试求:(1) 3年后这2颗卫星都正常运行的概率;(2) 3年后至少有1颗卫星正常运行的概率. 参考教材P37例3 解: 1颗卫星3年内正常运行的概率为32231{3}2x P X e dx e +∞--≥==⎰. 记Y 表示2颗卫星在3年内正常运行的颗数, 则32(2,)Y B e -.(1) 3年后这2颗卫星都正常运行的概率2332{2}P Y e e --⎛⎫=== ⎪⎝⎭;(2) 3年后至少有1颗卫星正常运行的概率232{1}1{0}11P Y P Y e -⎛⎫≥=-≥=-- ⎪⎝⎭.9. (14分) 设某高校英语考试成绩近似服从均值为72的正态分布, 96分以上的考生占总数的2.3%(已知满分为100, 合格线为60), 试求: (1) 考生成绩在60-84之间的概率;(2) 该校考生的合格率.((2)0.977,(1)0.8413)Φ=Φ= 解: 设某高校英语考试成绩为X , 则2(72,)XN σ.由题意知{96}0.023P X ≥=, 即7296720.023X P σσ--⎧⎫≥=⎨⎬⎩⎭, 所以241()0.023σ-Φ=, 即24()0.977(2)σΦ==Φ.因此, 12σ=.(1) 考生成绩在60-84之间的概率6072728472{6084}(1)(1)2(1)10.6826;121212X P X P ---⎧⎫≤≤=≤≤=Φ-Φ-=Φ-=⎨⎬⎩⎭(2) 合格率726072{60}1(1)(1)0.8413.1212X P X P --⎧⎫≥=≥=-Φ-=Φ=⎨⎬⎩⎭10. (14分) 一工厂生产的某种电池的寿命服从正态分布(25,100)N , 现在从这种电池中随机抽取16个, 测得平均寿命为23.8小时, 由此能否断定: 在显著性水平为0.05α=时, 该种电池的平均寿命小于25小时. ((1.96)0.975,(1.64)0.95)Φ=Φ= 解: 设X 为电池寿命, 则~(,100)X N μ.(1)假设00:25H μμ≥=; (2)取统计量~(0,1)X U N=;(3) 由0.05α=, 确定临界值 1.64u α-=-, 使得{}0.05P U u α<-=; (4)由样本均值23.8x =, 得统计量U 的观察值00.48u ===-.(5)因为00.48 1.64u =->-,此时没有充分理由说明小概率事件{ 1.64}u <-一定发生. 所以接受原假设0H , 认为这种电池的平均寿命不小于25小时. 注: 原假设不能设为00:25H μμ<=,此时μ取不到0μ,统计量X U =就没有意义了!11. (14分)设总体X 是离散型随机变量, 其所有可能的取值为0, 1, 2, 已知2(1)EX θ=-, 2{2}(1)P X θ==-, θ为参数. 对X 取容量为10的样本如下 1, 1, 0, 2, 2, 1, 1, 1, 0, 2.求参数θ的矩估计和极大似然估计.解:(1) 由2(1)X θ=-, 得θ的矩估计量为12Xθ=-; 结合 1.1x =, θ的矩估计值为10.452x θ=-=.(2) 构造似然函数为11912101210(){1,1,,2}{1}{1}{2}32(1)L P X X X P X P X P X θθθ=========-,取对数ln ()ln3211ln(1)9ln L θθθ=+-+,求导数(ln ())11901d L d θθθθ=-+=-, 得θ的极大似然估计值为920θ=.2014年概率论与数理统计期末考试试卷一. 填空题(共40分, 每空5分)1. 设~(,)X B n p , ~(,)Y B m p , 且X 与Y 独立, 则X Y +~(),(p m n B +)分布;2. 设2~(,)X N μσ, 则X 的密度函数()f x =(222)(21σμσπ--x e);3. 设总体X 的方差为2σ, 12,,,n X X X 为样本, X 为样本均值, 则期望211()n i i E X X n =⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑(21σn n -); 4. 设12,,,n X X X 为样本, 则统计量211n i i X n =∑的名称为(样本2阶原点矩);5. 设总体~(,1)X N μ, 12,,,n X X X 为来自该总体的样本, 则21()ni i X μ=-∑服从()(2n χ)分布;6. 一批产品中有5个正品, 3个次品, 从中任取2个, 恰有1个次品, 1个正品的概率为(2815281315=C C C );7. 样本的特性是(独立、同分布且与总体分布相同);8. 在假设检验中, 可能犯两类错误. 其中第一类错误也称为弃真, 弃真的确切含义为(当原假设是真的时，拒绝了它). 二. 计算题(60分, 每题10分)1. 假设某贪官收受一次贿赂而被曝光的概率为0.05, 到目前为止共收受80次贿赂, 假设案发前每次收受贿赂是否曝光相互独立. 试用概率说明 “多行不义必自毙”. (取20190.3520⎛⎫≈ ⎪⎝⎭)解：记i A 为事件“第i 次收受贿赂而被曝光”（1,2,,80i），---------------------2 于是案发的概率为 )(801∑=i i A P ------------- ------------- -----------------4 )(1)(1801801∏∏==-=-=i i i i A P A P----------------------6985.035.01)2019(195.0148080=-=-=-=。

华中师范大学《概率论基础(华师)》期末考试题集汇总

华中师范大学《概率论基础（华师）》奥鹏期末考试题库合集本套合集为考前突击题集汇总，含答案单选题：1.题面见图片：A.选择图中A选项B.选择图中B选项C.选择图中C选项D.选择图中D选项标准答案：A2.题面见图片：A.选择图中A选项B.选择图中B选项C.选择图中C选项D.选择图中D选项标准答案：C3.题面见图片：A.选择图中A选项B.选择图中B选项C.选择图中C选项D.选择图中D选项标准答案：D（4）题面见图片：A.选择图中A选项B.选择图中B选项C.选择图中C选项D.选择图中D选项标准答案：A（5）工厂每天从产品中随机地抽查50件产品，已知这种产品的次品率为0.1%，，则在这一年内平均每天抽查到的次品数为A.0.05B. 5.01C.5D.0.5标准答案：A（6）题面见图片：A.选择图中A选项B.选择图中B选项C.选择图中C选项D.选择图中D选项标准答案：C（7）题面见图片：A.选择图中A选项B.选择图中B选项C.选择图中C选项D.选择图中D选项标准答案：B（8）题面见图片：A.选择图中A选项B.选择图中B选项C.选择图中C选项选择图中D选项标准答案：B（9）题面见图片：A.选择图中A选项B.选择图中B选项C.选择图中C选项D.选择图中D选项标准答案：B（10）设A，B为两个互斥事件，且P（A）0，P(B)0，则下列结论正确的是A.P(B|A)0B.P(A|B)=P(A)C.P(A|B)=0D.P(AB)=P(A)P(B)标准答案：C（11）在[0,1]线段上随机投掷两点，两点间距离大于0.5的概率为A.0.25B.0.5C.0.75D.1标准答案：A（12）题面见图片：A.选择图中A选项B.选择图中B选项C.选择图中C选项D.选择图中D选项标准答案：D（13）题面见图片：A.选择图中A选项B.选择图中B选项C.选择图中C选项D.选择图中D选项标准答案：B（14）题面见图片：A.选择图中A选项B.选择图中B选项C.选择图中C选项D.选择图中D选项标准答案：C（15）题面见图片：A.选择图中A选项B.选择图中B选项C.选择图中C选项D.选择图中D选项标准答案：C（16）题面见图片：A.选择图中A选项B.选择图中B选项C.选择图中C选项D.选择图中D选项标准答案：A（17）题面见图片：C.选择图中C选项D.选择图中D选项标准答案：C（18）题面见图片：A.选择图中A选项B.选择图中B选项C.选择图中C选项D.选择图中D选项标准答案：C（19）题面见图片：A.选择图中A选项B.选择图中B选项C.选择图中C选项D.选择图中D选项标准答案：C（20）题面见图片：A.选择图中A选项B.选择图中B选项C.选择图中C选项D.选择图中D选项标准答案：C（21）题面见图片：A.选择图中A选项B.选择图中B选项标准答案：B（22）假定某工厂甲、乙、丙3个车间生产同一种螺钉，产量依次占全厂的45%、35%、20%。

2012-2013《概率论与数理统计》期末A卷答案

上海应用技术学院2012—2013学年第1学期《概率论与数理统计》期（末）（A ）试卷答案一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）1、B2、C3、C4、A5、B6、B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）1、312、63、F(1,1)4、]1645.11,8355.10[5、0.00136、e A T S S S += 三、计算题（本大题共5小题，共计50分）1、解：设1A 表示索赔事件由质量问题引起，2A 表示索赔事件由数量短缺问题引起，3A 表示索赔事件由包装问题引起，B 索赔事件协商解决，则123()0.5,()0.3,()0.2P A P A P A ===，123(|)0.34,(|)0.6,(|)0.75P B A P B A P B A ===（2分）（1）112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.50.340.30.60.20.750.5=⨯+⨯+⨯= （6分）（2）111112233()(|)(|)()(|)()(|)()(|)P A P B A P A B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.50.340.340.5⨯==11(|)1(|)10.340.66P A B P A B =-=-= （10分）2、解：X 的边际密度函数为()233,012xX x p x xdy x x -==<<⎰（1分）()130334E X x d y ==⎰ （2分）Y 的边际密度函数为()()()1212331,0124331,1024y Y y xdx y y p y xdx y y -⎧=-<<⎪⎪=⎨⎪=--<<⎪⎩⎰⎰ （4分）()()231,114Y p y y y =--<< （5分） ()()1213104E Y y y dy -=-=⎰ （6分）()120302xx E XY x ydydx -==⎰⎰ （7分）所以Cov(X,Y)=0，即X 与Y 不相关（8分）又因为()()(),X Y p x y p x p y ≠所以X 与Y 不独立。

华中师大教育学试卷2012–2013第一学期A卷

华中师范大学2012–2013学年第一学期期末考试试卷（A卷）课程名称教育学基础课程编号81006001成绩题型单项选择题名词解释判断题简答题案例分析题论述题作文题总分评阅人分值10 16 9 18 12 15 20 100得分得分评阅人一、单项选择题（从下列各题备选答案中选出最适合的一个答案，将其代号填在题前的括号内。

每题1分，共10分）（）1.教育学的研究对象是：A.教育规律B.教育价值观念C.教育艺术D.以上都可以（）2.强调卫生学、数学、物理学等实用学科，反对古典文学和语言学等形式学科的教育家是：A.斯宾塞B.杜威C.赫尔巴特D.苏霍姆林斯基（）3.“勤能补拙”说明：A.教育在人的发展中起主导作用B.遗传素质是人发展的前提C.环境是人发展的外部条件D.影响人发展的各种因素是相互影响的（）4.将教育目标分为认知目标、情感目标、动作技能目标三大类的教育家是：A.赞科夫B.布鲁纳C.布鲁姆D.巴班斯基（）5.下列哪种教育没有贯彻“教育与生产劳动相结合”这一理念？A.原始社会的教育B.奴隶社会和封建社会的教育C.现代社会的教育D.未来社会的教育（）6.教育能促进个人在不同社会区域、不同社会层次之间转换，这表明教育具有A.社会变迁功能B.经济功能C.政治功能D.社会流动功能（）7.下列哪句话最能体现教育的内在价值？A.读大学是为了找到好工作B.教育是为社会主义现代化建设培养人才C.读书是为了实现人生抱负D.上学是为了学习知识（）8.能够将大班教学、小组研究、个别教学结合起来的教学组织形式是：A.道尔顿制B.分组教学C.班级授课制D.特朗普制（）9.关于我国的综合实践活动课程，下列说法不正确．．．的是：A.它是一门强调学生经验的课程B.它是选修课C.它具有开放性的特点D.它包括研究性学习、社区服务与社会实践、劳动与技术教育、信息技术教育四个内容（）10.做好班主任工作的最基本前提是A.教学生学好功课B.协调各方要求C.了解和研究学生D.组织好班会得分评阅人二、名词解释（每题4分，共16分）1.狭义的教育狭义的教育是指专门组织的教育，它是根据社会现实和未来发展的需要，遵循年轻一代身心发展的规律，有目的、有计划、有组织地引导受教育者获得知识技能，陶冶思想品德，发展智力和体力，将其培养成为既适应社会需要，又促进社会发展的人的一种社会活动2.学校教育制度学校教育制度简称学制，指的是一个国家各级各类学校的系统及其管理规则，它规定着各级各类学校的性质、任务、入学条件、修业年限以及它们之间的关系。

华中师范大学概率统计期末卷4

华中师范大学概率统计A期末考试样卷四一.填空题（每题3分，共18分）1．袋中有10只球，其中有3只是红球，从中任取2只球，则其中恰有一只红球的概率为___7/152. 设事件A ，B ，C 满足:,41)()()(===C P B P A P,0)()(==CB P AB P 81)(=AC P .则 =)(C B A P __5/8____3．设X 和Y 是两个随机变量，且52)0,0(=≥≥Y X P ， 3)0()0(=≥=≥Y P X P ,则=≥）0),(max(Y X P ___4/5___ 4．设随机变量X 与Y 相互独立,且2,σμ====DY DX EY EX 则()=-2Y X E ( 22σ ).5.设X 是[0,1]上的连续型随机变量,且75.0)29.0(=≤X P ,如果X Y -=1, 常数k ,使得25.0)(=≤k Y P 。

则常数=k （0.71）6．设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧∈=其它],0[)(A x xx f , 则常数A=（ 2 ）二. （10分）假设4.0)(=A P ，7.0)(=B A P 。

（1）若A 与B 互不相容，试求)(B P ；（2）若A 与B 相互独立，试求)(B P 。

解：（1）3.004.07.0)()()()(=+-=+-=AB P A P B A P B P ……4分（2）)()()()()(B P A P A P B A P B P +-= ，5.06.03.0)(1)()()(==--=A P A PB A P B P ……9分三．（10分）设),(Y X 的联合分布律为：确定数A ，B ，使随机变量X 与Y 相互独立。

． 12411218381=+++++B A (1) ……3分若x 与y 独立, 应有:()()()212,1=⋅====y P x P y x P⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⇒A 12124112181121 (2) ……6分综合(1)(2)有:41=A 81=B ……8分经检验知当41=A ，81=B 时有:0≥ij p ,12131=∑∑==i j ijp且{}{}{}j i j i y y p x x p y y x x p =⋅====, 2,1=i 3,2,1=j ……9分四．（10分）进行摩托车竞赛。

概率论期末考试及答案

第1页共4页诚信应考考出水平考出风格ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ《概率统计AZZZZZZZZZZZZZZZ参考数据：①(0) =0.5,①(0.99) =0.8399，①(2.325) =0.99,t °.025(9)= 2.2622,t o.05 (9 )= 1.8331,10.025 (10 )= 2.2281, t °.05 (10 )= 1.8125, u 0.025 = 1.96, U 0.05 = 1.645.一. 选择题(本大题10题，每题2分，共20分)1.某人射击，每次射击相互独立，但每次中靶的概率均为 3/4。

如果射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率为()。

2. 设随机变量X 与Y 均服从正态分布，X 〜N(」,42), Y 〜N(~52),而P 1 二 P X 岂」一4，P 2 二 P Y 一「5，贝9( )。

(A)对任何实数J ，都有P 1 =P 2 (B)对任何实数J ，都有P 1 ：：： P 2(C)对任何实数J，都有P 1 P 2(D)只对)的个别值，才有P 1二P 23.设随机变量X 与丫满足D(X -Y)二D(X Y),，贝U 必有()。

(A) X 与丫相互独立 (B) X 与丫不相关(D) D(X)D(Y)二 04. 设总体X 〜N(0,1)，样本X 1,X 2/ ,X n (n -1)为来自该总体的简单随机样本，X 与S 分别为样本均值和样本标准差，则(B)(C) D(X)=0(D)有( )- n 2X(A) X ~ N(0,1) (B) nX ~ N(0,1) (C) ' X i〜2(n) (D) 〜t(n-1)i# S第2页共4页第2页共4页5•—种零件需两道工序加工完成，两道工序相互独立。

第一道工序的废品率为 p .第二道工序的废品率为 q ,则该零件的成品率为( )。

(A) 1 - p - q(B)1_pq(C)1 - p -q pq(D) (1 — p) (1—q)6•设随机变量X 与丫相互独立且服从相同的分布，若 P(X .1) = e 」，则P(min( X,Y) _1)二(1 2124(A) (1 —e )2(B) 2(1—e )(C) 1 -e(D) 1-e7•已知P(A B) =1,P(A) =0.7，则下列正确的是( )。

华中师范大学2013量子力学A卷标答

得分评阅人
四、计算题：（共 4 题）
1．（12 分）一维谐振子在 t=0 时的归一化波函数为
x,0
1 10
0
x

3 10
2
x

c33
x

，
式中n x 是谐振子的能量本征函数，求（1）c3 的数值；（2）t>0 时系统的波函数;（3）能量的可能值、
相应的概率及平均值。解：(1)由波函数归一化条件可得

Aˆ Bˆ

BˆAˆ

1 0
01
a c
c a

a c
c a

1 0
01

2a 0
0 2a

0
a 0, c ei 0 , 为方便起见，我们取 0
得
BA

0 1
10
1.
假定
Aˆ
不是厄米算符，证明Aˆ1 2Aˆ Aˆ
和Aˆ

1 2i
Aˆ Aˆ
都是厄米算符
证明：

Aˆ

1 2
Aˆ Aˆ
1 2
Aˆ Aˆ
Aˆ
Aˆ

1 2i
Aˆ Aˆ 1 2i
Aˆ Aˆ
15 c3 11 10 3 10 5
（2） x,t
1 10
0

x
eit
2

1302 x e5it 2
533 x e7it 2
（3）因为谐振子的能量为守恒量，所以它的概率分布以及平均值均不随时间改变。

12-13《概率论》试卷A

河北科技大学2012—2013学年第一学期理工学院《概率论》期末考试试卷（A ）学院班级姓名学号一．单选题（每小题3分，共30分）1. 设 A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定不正确的是( )(A) A 与B 不相容； (B) A 与B 相容； (C) ()()P A B P A -=; (D) ()()()P AB P A P B =. 2. 事件A 和B 相互独立，下列条件中肯定正确的是( )(A) ()()()P AB P A P B =； (B) ()()()P AB P A P B ≠； (C) AB =φ; (D) P (A +B )=P (A )+P (B ). 3. 设 A 和B 为随机事件，P (B )>0，P (A |B )=1，则必有( )(A) P (A ∪B )=P (A )；(B) P (A )=P (B )； (C) A ⊃B ; (D) ()0P B A -=. 4. 设X 的分布律为X 0 1 2 3 P 0.2 0.3 0.4 0.1F(x)为其分布函数，则F (1)= .(A) 0.4； (B) 0.9； (C) 0.5； (D) 1.5. 设随机变量X 的分布函数为F (x ), 则随机变量Y =2X -1的分布函数为( )(A) 11()22F y +； (B) )121(+y F ； (C) 1)(2+y F ； (D) 21)(21-y F .6．设)4,1(~-N X ，)3,1(~N Y ，且X 与Y 相互独立，则2~X Y + . (A) (1,10)N ； (B) (1,16)N ； (C) (1,10)N -； (D) (1,16)N -. 7. 下列说法错误的是 . (A) 二维正态分布的边缘分布是正态分布； (B) 二维正态分布的条件分布是正态分布；(C) 221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，且0ρ=⇔X 与Y 不相关； (D) 221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ,若X 与Y 不相关，X 与Y 未必独立. 8. 设X 与Y 为两个随机变量且{}{}3min ,07P X Y ≥=,{}{}4007P X P Y ≥=≥=，则{}{}m ,0P ax X Y ≥= .(A)12； (B) 23； (C) 37； (D) 57. 9. 已知X ,Y 的概率分布分别为1{1}{0}2P X P X ====,3{1}4P Y ==,1{0}4P Y ==,且1{1,1}2P X Y ===, 则{}P X Y ==( ). (A) 14; (B) 24; (C) 34; (D) 1.10. 对于任意两个事件A 与B ，下面结论正确的是( ).（A ）如果()0P A =，则事件A 与B 独立；（B ）如果()0P A =，()0P B ≥，则事件B 包含事件A ；（C ）如果()0P A =，()1P B =，则事件A 与B 对立；（D ）如果()0P A =，则A 是不可能事件.二．填空题（每小题3分，共30分）1. 已知P (A )=0.5, P (B )=0.6, ()0.8P A B =U , 则(|)P A B = 。

2012-2013学年第1学期《概率论与数理统计》期末试题(A卷)

2012－2013学年第1学期《概率论与数理统计》期末试题（A 卷）姓名学号学院专业注意：(1.67)0.9525(2.5)0.9938(2.42)0.9922Φ=Φ=Φ=(3)0.9987 1.250.894 1.3Φ=Φ=Φ=（）（）()0.050.025(10) 1.61257 2.3646t t ==20.025(10)20.5χ= 20.975(10)3.25χ=49.9)4(2025.0=χ 48.0)4(2975.0=χ 831.0)5(2975.0=χ一、填空题（每空3分，共15分）。

1．随机变量2~(,)X N μσ，则(3)P X μσ-<=_______________. 2．甲乙二人独立地同时破译密码，甲破译的概率为21，乙破译的概率为31，则该密码被破译的概率为_______________.3．设在一次试验中，事件A 发生的概率为p ，现进行n 次独立试验，则事件A至少发生一次的概率为。

4．设随机变量ξ的数学期望E ξμ=，方差2D ξσ=，则由车贝雪夫不等式()3P ξμσ-≥≤ 。

5. 设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分布，X 2服()0.0259 2.2622t =()0.02513 2.16t =从正态分布N （0，22），X 3服从参数为3λ=的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D(Y)=二、（12分）2封不同的信随机地投入4个邮筒，试求（1）前两个邮筒中没有信的概率；（2）第一个邮筒内只有一封信的概率。

三、（12分）甲乙丙3个机床加工同一种零件，零件由各机床加工的概率分别为0.5，0.3，0.2，各机床加工的零件为合格品的概率分别等于0.94，0.9，0.95，求（1）全部产品的合格率；（2）若已知某个零件是合格品，求它是丙生产的概率。

四、（12分）甲、乙两人独立地各进行两次射击，甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以X 和Y 分别表示甲和乙的命中次数，试求（X ，Y ）联合分布以及X 和Y 的边缘分布律。

概率论期末考试卷及答案

⑵ 如果抛掷 4 枚硬币，则样本点总数为 24 16 ．
5 14 7 4 1 P A ， P B ， P AB ， 16 16 8 16 4
所以有
1 5 7 P AB P APB ，因此此时随 4 16 8
机事件 A 与 B 不是相互独立的．

1
1
1

1
1

1 x
2
1
dx
1
1
1 x
x
2

1 0
dx
1 x
1 2
1
dx

1
பைடு நூலகம்
1

arctanx

1

ln 1 x

2

1

arctanx
1
1 ln 2 ． 2
四．（本题满分 8 分）
1 设平面区域 D 是由双曲线 y ， x 0 以及直线 x
covU , V cov2 X 3Y , 3 X 2Y 6 var X 6 var X 4 cov X , Y 9 cov X , Y
nr

nr
r 1
n
n!

e 0
nr
n
n!
r r e Cn p 1 p
e
nr
n
n! nr r p 1 p n ! r !n r !
p r e
r!
1 p n r ， n r ! nr
解：
⑴ 如果抛掷 3 枚硬币，则样本点总数为 23 8 ．

华师大期末数学试卷及答案

一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是：A. \( f(x) = x^2 - 2x + 3 \)B. \( f(x) = -x^2 + 2x + 1 \)C. \( f(x) = 2x - 3 \)D. \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1 \)2. 设 \( a > 0 \)，则下列不等式中正确的是：A. \( a^2 + b^2 > 2ab \)B. \( a^2 + b^2 \geq 2ab \)C. \( a^2 - b^2 > 2ab \)D. \( a^2 - b^2 \geq 2ab \)3. 已知 \( \cos \alpha = \frac{1}{2} \)，则 \( \sin 2\alpha \) 的值为：A. \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \)D. \( -\frac{1}{2} \)4. 函数 \( y = \log_2 x \) 的图象上一点 \( P \) 的坐标为 \( (2, 1) \)，则点 \( P \) 关于直线 \( y = x \) 的对称点 \( Q \) 的坐标为：A. \( (1, 2) \)B. \( (2, 1) \)C. \( (4, 2) \)D. \( (2, 4) \)5. 下列复数中，是纯虚数的是：A. \( 3 + 4i \)B. \( 1 - 2i \)C. \( 2i \)D. \( -i \)二、填空题（每题5分，共20分）6. 设 \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \)，则 \( \cos 2\alpha \) 的值为______。

7. 已知 \( \sqrt{3} \sin \alpha + \cos \alpha = 2 \)，则 \( \tan \alpha \) 的值为______。

概率论期末试题(带答案)

草纸：
试卷纸
共4页
第1页
试题要求：1、试题后标注本题得分；2、试卷应附有评卷用标准答案，并有每题每步得分标准；3、试卷必须装订，拆散无效；4、试卷必须
用碳素笔楷书，以便誉印；5、考试前到指定地点领取试卷。
学号：
姓名：
班级：
..........................................................密.......................................................封..........................................................线..........................................................
..
27
解
19
8
设每次试验成功的概率为 p, 由题意知至少成功一次的概率是，那么一次都没有成功的概率是
. 即 (1 − p)3 =
8
,故
p=1.
27
27
27
3
4. 设随机变量 X, Y 的相关系数为 0.5 , E(X ) = E(Y ) = 0, E= (X 2) E= (Y 2) 2 , 则 E[( X + Y )2 ] =(空 4)
8. 设 zα , χα2 (n), tα (n) , Fα (n1, n2 ) 分别是标准正态分布 N(0,1)、χ 2 (n)分布、t 分布和 F 分布的上α 分位点, 在
下列结论中错误的是(
).
(A) zα = −z1−α .
(B)
χ
2 α
(n)=-
χ2 1−α

2012-2013学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷(A卷)答案

北京交通大学2012~2013学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）参考答案某些标准正态分布的数值其中()x Φ是标准正态分布的分布函数．一．（本题满分5分）口袋中有10个球，分别标有号码1到10，从中任意取出4个球．求最小号码是5的概率．解：设=A “取出4个球，最小号码是5”．10个球取出4个球，有取法410C 种．………….2分若最小号码是5，有取法35C 种，因此()2112101041035===C C A P ．………….3分二．（本题满分5分）一间宿舍住有5位同学，求他们之中至少有两位的生日在同一个月份的概率．解：设=A “5位同学至少有两位的生日在同一月份”．5位同学，每一位在12个月份中任意选择，共有512种可能．………….2分考虑A 的逆事件A ，它表示5位同学中，没有两位的生日是同一月份的．则 ()()6181.012115512=-=-=P A P A P ．………….3分三．（本题满分8分），已知男人中%5的是色盲患者，女人中色盲患者占%25.0，今从男女比例为21:22的人群中随机地挑选一人，发现是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解：设=A “任选一人为男性”，=B “任选一人是色盲患者”．所求概率为()B A P ．由Bayes 公式，得 ()()()()()()()A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=………….3分9544.00025.0432105.0432205.04322=⨯+⨯⨯=．………….5分四．（本题满分8分）在一小时内，甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是9.0，8.0和85.0，而且这三台机床是否需要维修是相互独立的．求在一小时内⑴ 至少有一台机床不需要维修的概率；（4分） ⑵ 至多只有一台机床需要维修的概率．（4分）解：设{}甲机床需要维修=A ，{}乙机床需要维修=B ，{}丙机床需要维修=C ．则 ⑴ {}()()C B A P C B A P P ⋃⋃-=⋃⋃=1维修至少有一台机床不需要…….2分 ()()()388.085.08.09.011=⨯⨯-=-=C P B P A P ．………….2分⑵ {}()C B A C B A C B A C B A P P ⋃⋃⋃=修至多有一台机床需要维………….2分 ()()()()C B A P C B A P C B A P C B A P +++=()()()()()()()()()()()()C P B P A P C P B P A P C P B P A P C P B P A P +++=059.085.02.01.015.08.01.015.02.09.015.02.01.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．…….2分五．（本题满分8分）试确定常数a ，b ，c ，d 的值，使得函数()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤++<=e x d e x d cx x bx x ax F 1ln 1为一连续型随机变量的分布函数．解：因为连续型随机变量的分布函数()x F 是连续函数，因此函数()x F 在分段点1=x 及e x =处连续，所以有()()()10101F F F =+=-，即有d c a +=．………….2分 ()()()e F e F e F =+=-00，即有d d ce be =++．………….2分又分布函数()x F 必须满足：()0lim =-∞→x F x ，()1lim =+∞→x F x ．因而有()0lim ==-∞→x F a x ，()1lim ==+∞→x F d x ．………….2分由此得方程组 ⎩⎨⎧=++=+1101ce be c ，解此方程组，得1,1,1,0=-===d c b a ．………….2分六．（本题满分8分）某地区成年男子的体重X （以kg 计）服从正态分布()2,σμN ．若已知()5.070=≤X P ，()25.060=≤X P ，⑴ 求μ与σ的值；⑵ 如果在该地区随机抽取5名成年男子，求至少有两个人的体重超过kg 65的概率．解：⑴ 由已知()5.0707070=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-=≤σμσμσμX P X P ，()25.0606060=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-=≤σμσμσμX P X P ………….2分得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ75.025.016015.070σμσμ ．即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛--Φ=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ75.0605.070σμσμ ，查正态分布表，得⎪⎩⎪⎨⎧=--=-675.060070σμσμ，解方程组，得70=μ，81.14=σ．………….2分⑵ 设=A “从该地区任意选取一名成年男子，其体重超过kg 65”．则()()⎪⎭⎫⎝⎛-≤--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤--=≤-=>3376.081.1470181.14706581.1470165165X P X P X P X P ()()6631.03376.03376.01=Φ=-Φ-=．………….2分设X ：该地区随机抽取的5名成年男子中体重超过kg 65的人数．则 ()6631.0,5~B X ．设=B “5人中至少有两人的体重超过kg 65．则 ()()()()()101112===-=≤-=≥=X P X P X P X P B P9530.03369.06631.03369.06631.0141155005=⨯⨯-⨯⨯-C C ．（已知()75.0675.0=Φ，()6631.034.0=Φ）………….2分七．（本题满分8分）设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧-<<+=其它01045,22x y y x y x f求：随机变量Y 的边缘密度函数()y f Y ．解：当10<<y 时， ()()()()⎰⎰⎰----+∞∞-+=+==yyyY dx y xdx y x dx y x f y f 1021122545,………….3分()()()6211511312531252123103y y y y y xy x yx +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⋅=⎪⎭⎫⎝⎛+⨯=-=．…….3分所以，随机变量Y 的边缘密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧<<+-=其它01062115y y y y f Y ．………….2分八．（本题满分10分）设n X X X ,,,21 是n 个独立同分布的随机变量，1X 服从参数为λ的指数分布．令{}n X X X T ,,,m in 21 =，求随机变量T 的密度函数．解：对于任意的实数x ，随机变量T 的分布函数为 ()(){}()x X X X P x T P x F n T ≤=≤=,,,m in 21{}()x X X X P n >-=,,,m in 121()x X x X x X P n >>>-=,,,121 …………………….2分()()()x X P x X P x X P n >>>-= 211()()()()()()()()nX n x F x X P x X P x X P --=≤-≤-≤--=11111121 ．………….3分所以，随机变量T 的密度函数为()()()()()x f x F n x F x f X n X T T 11--='=． ………….2分如果1X 服从参数为λ的指数分布，则1X 的密度函数为()⎩⎨⎧≤>=-0x x e x f xX λλ ．分布函数为()()⎩⎨⎧≤>-==-∞-⎰0001x x e dt t f x F xxX X λ ．………….1分因此此时{}n X X X T ,,,m in 21 =的密度函数为()()()()()x n x n xX n X T e n e e n x f x F n x f λλλλλ-----=⋅⋅=-=111，()0>x ．………….2分九．（本题满分8分）设随机向量()321,,X X X 间的相关系数分别为312312,,ρρρ，且，()()()0321===X E X E X E ，()()()02321>===σX D X D X D ．令：211X X Y +=，322X X Y +=,133X X Y +=．证明：321,,Y Y Y 两两不相关的充要条件为1312312-=++ρρρ．证明：充分性：如果1312312-=++ρρρ，则有01312312=+++ρρρ．而 ()()322121,cov ,cov X X X X Y Y ++= ()()()()32223121,cov ,cov ,cov ,cov X X X X X X X X +++=()()()()()()()3223231132112var X D X D X X D X D X D X D ⋅++⋅+⋅=ρρρ ()0121323122232213212=+++=+++=σρρρσρσσρσρ………….3分这说明随机变量1Y 与2Y 不相关．同理可得 ()0,cov 32=Y Y ，()0,cov 13=Y Y ，这就证明了随机变量321,,Y Y Y 两两不相关． ………….1分必要性：如果随机变量321,,Y Y Y 两两不相关，则有()0,cov 21=Y Y ，()0,cov 32=Y Y ，()0,cov 13=Y Y而由上面的计算，得()()01,cov 213231221=+++=σρρρY Y ， ………….3分由于02>σ，所以1132312+++ρρρ，即1132312-=++ρρρ． ………….1分十．（本题满分8分）设总体X 的密度函数为()⎩⎨⎧<<-=其它若011x x x f()5021,,,X X X 是从X 中抽取的一个样本，X 与2S 分别表示样本均值与样本方差．求()X E ，()X D ，()2S E ．解：因为 ()()011=⋅==⎰⎰-+∞∞-dx x x dx x xf X E ，()()2121311222==⋅==⎰⎰⎰-+∞∞-dx x dx x xdx x f x X E ，所以，()()()()2122=-=X E X E X D ．所以，()()0==X E X E ，………….2分()()10015021===n X D X D ，………….3分 ()()212==X D S E ．………….3分十一．（本题满分8分）设总体()4,0~N X ，()921,,,X X X 是取自该总体中的一个样本．求系数a 、b 、c ，使得统计量()()()298762543221X X X X c X X X b X X a T ++++++++=服从2χ分布，并求出自由度．解：因为()921,,,X X X 是取自总体()4,0N 中的简单随机样本，所以()4,0~N X i ，()9,,2,1 =i而且921,,,X X X 相互独立．所以()8,0~21N X X +，()12,0~543N X X X ++，()16,0~9876N X X X X +++．…….2分所以，()1,0~821N X X +，()1,0~12543N X X X ++，()1,0~169876N X X X X +++．…….2分因此，()()()()3~161282298762543221χX X X X X X X X X ++++++++．…….2分因此，当161,121,81===c b a 时，统计量()()()()3~161282298762543221χX X X X X X X X X T ++++++++=，自由度为3．………….2分十二．（本题满分8分）一家有500间客房的旅馆的每间客房装有一台kW 2（千瓦）的空调机，该旅馆的开房率为%80．求需要多少电力，才能有%99的可能性保证有足够的电力使用空调机．解：设X ：该旅馆开房数目，则()8.0,500~B X ．………….2分a ：向该旅馆供应的电力．则若电力足够使用空调机，当且仅当a X ≤2．因此()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯-Φ≈⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=≤2.08.05008.050022.08.05008.050022.08.05008.050022a a X P a X P a X P ．由题设，99.02.08.05008.05002≥⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯-Φa ，………….3分查表，得33.22.08.05008.05002≥⨯⨯⨯-a，………….1分所以有 ()68.8412.08.050033.28.05002=⨯⨯⨯+⨯⨯≥a ．即至少向该旅馆供电842千瓦，才能保证该旅馆的空调机正常使用．………….2分十三．（本题满分8分）设总体X 的密度函数为()()⎩⎨⎧≤>=+-cx cx x c x f 01θθθ．其中0>c 是已知常数，而1>θ是未知参数．()n X X X ,,,21 是从该总体中抽取的一个样本，试求参数θ的最大似然估计量．解：似然函数为()()()()()121111+-=+-====∏∏θθθθθθθn n n ni i ni i x x x c x c x f L ………….2分所以，()()∑=+-+=ni i x c n n L 1ln 1ln ln ln θθθθ．所以，()∑=-+=ni i x c n nL d d 1ln ln ln θθθ．………….2分令：()0ln =θθL d d，即0ln ln 1=-+∑=ni i x c n n θ，………….2分得到似然函数的唯一驻点cn x nni iln ln 1-=∑=θ．所以参数θ的最大似然估计量为cn Xnni iln ln ˆ1-=∑=θ．………….2分。

华中师范大学期末数学试卷

一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列各数中，无理数是（）A. √2B. 3.14C. 0.333...D. -√42. 函数f(x) = 2x - 3在区间[-1, 4]上的最大值是（）A. -5B. -1C. 5D. 73. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，那么第10项a10是（）A. 27B. 29C. 31D. 334. 下列方程中，解集是实数集的是（）A. x^2 + 1 = 0B. x^2 - 4 = 0C. x^2 + 2x + 1 = 0D. x^2 - 2x + 1 = 05. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，求f'(1)的值（）A. -1B. 0C. 1D. 3二、填空题（每题5分，共25分）6. 设a、b、c是等差数列，且a + b + c = 9，a^2 + b^2 + c^2 = 27，则b的值为______。

7. 函数y = x^2 - 4x + 3的顶点坐标为______。

8. 已知等比数列{an}的首项a1=3，公比q=2，那么第4项a4的值为______。

9. 函数f(x) = log2(x + 1)的定义域为______。

10. 已知直线l的方程为2x + 3y - 6 = 0，则直线l与x轴的交点坐标为______。

三、解答题（每题20分，共60分）11. （10分）已知数列{an}的通项公式为an = 2n + 1，求该数列的前n项和Sn。

12. （10分）设函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求f'(x)和f''(x)。

13. （10分）已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，求该数列的第10项a10和前10项和S10。

四、证明题（20分）14. （20分）证明：对于任意的正整数n，都有1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n(n + 1)(2n + 1)/6。

《概率论与数理统计》期末考试试题及答案

《概率论与数理统计》期末考试试题及答案)B 从中任取3),(8a k k ==则Y X =产品中有12件是次品四、(本题12分)设⼆维随机向量(,)X Y 的联合分布律为\01210.10.20.12Y X a 试求: (1) a 的值; (2)X 与Y 的边缘分布律; (3)X 与Y 是否独⽴为什么五、(本题12分) 设随机变量X 的概率密度为(),01,2,12,0,.x x f x x x ≤=-≤≤其他求()(),E X D X⼀、填空题(每⼩题3分,共30分) 1、ABC 或AB C 2、 3、2156311C C C 或411或 4、1 5、13 6、2014131555kX p 7、1 8、(2,1)N - ⼆、解设12,A A 分别表⽰取出的产品为甲企业和⼄企业⽣产,B 表⽰取出的零件为次品,则由已知有 1212606505121101(),(),(|),(|)1101111011605505P A P A P B A P B A ========..... 2分 (1)由全概率公式得112261511()()(|)()(|)1151155P B P A P B A P A P B A =+=?+?=................ 7分 (2)由贝叶斯公式得22251()()5115()1()115P A P B A P A B P B ?=== ............................... 12分三、(本题12分)解 (1)由概率密度的性质知34=+-=+=故16k =. .......................................................... 3分 (2)当0x ≤时,()()0x F x f t dt -∞==?; 当03x <<时, 2011()()612xxF x f t dt tdt x -∞===??; 当34x ≤<时, 320311()()223624x x t F x f t dt tdt dt x x -∞==+-=-+-;当4x ≥时, 34031()()2162x t F x f t dt tdt dt -∞?==+-=;故X 的分布函数为220,01,0312()123,3441,4x x x F x x x x x ≤< .................................. 9分(3) 77151411(1)22161248P X F F<≤=-=-=?? ????? .......................... 12分四、解 (1)由分布律的性质知01.0.20.10.10.21a +++++=故0.3a = ........................................................... 4分0.40.30.3Xp ............................................... 6分120.40.6Y p ................................................... 8分(3)由于{}0,10.1P X Y ===,{}{}010.40.40.16P X P Y ===?=,故{}{}{}0,101P X Y P X P Y ==≠==所以X 与Y 不相互独⽴. .............................................. 12分五、(本题12分) 设随机变量X 的概率密度为(),01,2,12,0,.x x f x x x ≤=-≤≤其他求()(),E X D X .解 2131223201011()()d d (2)d 1.33x E X xf x x x x x x x x x +∞-∞??==+-=+-=?........... 6分122232017()()d d (2)d 6E X x f x x x x x x x +∞-∞==+-=.......................... 9分 221()()[()].6D XE X E X =-= ......................................... 12分⼀、填空题（每空3分，共45分）1、已知P(A) = , P(B) = , P(B|A ) = , 则P(A|B ) = P( A ∪B)=2、设事件A 与B 独⽴，A 与B 都不发⽣的概率为19，A 发⽣且B 不发⽣的概率与B 发⽣且A 不发⽣的概率相等，则A 发⽣的概率为：；3、⼀间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个⼈的⽣⽇在同⼀个⽉份的概率：没有任何⼈的⽣⽇在同⼀个⽉份的概率4、已知随机变量X 的密度函数为：,0()1/4,020,2x Ae x x x x ??, 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<= ；5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若{1}5/9P X ≥=，则p = ，若X 与Y 独⽴，则Z=max(X,Y)的分布律：；6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互独⽴，则D(2X-3Y)= ,1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为：1,02()20,x x x ??≤≤?=其它求：1）{|21|2}P X -<；2）2Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -；2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为1）1/4,||,02,(,)0,y x x x y ?<<其他求边缘密度函数(),()X Y x y ??；2）问X 与Y 是否独⽴是否相关计算Z = X + Y 的密度函数()Z1、（10分）设某⼈从外地赶来参加紧急会议，他乘⽕车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是3/10，1/5，1/10和2/5。

2012-2013公共基础《概率论》期末考试试卷参考答案

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2012-2013学年第 1 学期考试科目：概率论考试类型：（闭卷）考试考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 1、设A 与B 互斥(互不相容)，则下列结论肯定正确的是( D )。

(A) A 与B 不相容 (B) A 与B 必相容 (C) ()()()P AB P A P B = (D) ()()P A B P A -=2、设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布如下，则有( C )成立。

010.20.8X P 010.20.8Y P(A) ()0P X Y == (B) ()0.4P X Y ==(C) ()0.68P X Y == (D) ()1P X Y ==3、设随机变量ξ的概率密度为()x ϕ，η=12ξ，则η的分布密度为( A )。

(A)1122y ϕ-⎛⎫ ⎪⎝⎭； (B) 112y ϕ-⎛⎫- ⎪⎝⎭； (C) 12y ϕ-⎛⎫- ⎪⎝⎭； (D)2(12)y ϕ- 4、设随机变量ξ服从2λ=的泊松分布,则随机变量2ηξ=的方差为( A )。

(A) 8； (B) 4； (C) 2； (D) 16.5、设2~(0,1),~(,)N N a ξησ,则η与ξ之间的关系是( B )。

(A) a ξησ-=; (B) a ησξ=+; (C)2a ξησ-= ; (D)2a ησξ=+.二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）1、设样本空间Ω={1，2，10}，事件A={2，3，4}，B={3，4，5}，C={5，6，7}，则事件()A B C =__{1,2,5,6,7,8,9,10} ________。

2、抛一枚硬币三次，ξ和η分别表示出现正面的次数和出现反面的次数，则{}P ξη>=__12_______。

3、3、设随机变量X 的分布函数0,0.2,()0.9,1,F x ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩ 111122x x x x <--≤<≤<≥，则{03}P X ≤≤=_0.8_。