一元二次方程概念讲义
一元二次方程全章复习讲义
一元二次方程 内容简介：1. 了解一元二次方程的定义及一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠.2. 掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活运用.3. 掌握一元二次方程根的判别式，并能运用它解相应问题.4. 掌握一元二次方程根与系数的关系，会用它们解决有关问题.5. 会解一元二次方程应用题. 知识点一：一元二次方程的定义及一般形式【知识要点】一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx xm m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
针对练习：1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。
2、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。
知识点二：一元二次方程的解【知识要点】1、 当已知一元二次方程的一个根时，要熟练地将这个根代入原方程，并灵活运用得到的等式。
2、 在20(0)ax bx c a ++=≠中，x 取特殊值时，a 、b 、c 之间满足的关系式。
例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
例3、一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。
例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m x x 的两个根，则m 的值为 。
针对练习：1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。
初中一元二次方程的概念
初中一元二次方程的概念
一、初中一元二次方程的概念
1、什么是一元二次方程
一元二次方程（quadratic equation）是指只有一个未知数的二次多项式方程。
一元二次方程的一般形式：
ax2+bx+c=0 (a≠0)
比如：2x2+3x-1=0
2、初中一元二次方程求解方法
（1）因式分解法
把一元二次方程ax2+bx+c=0化为(ax+p)(ax+q)=0的形式，然后将其分解，得出x1和x2，即可求得一元二次方程的根。
（2）因式移项法
把一元二次方程ax2+bx+c=0化为ax2+bx-c=0的形式，根据因式移项法，将bx和-c都移到一边，则有ax2+bx-c=0->a(x2+b/a
x)-c/a=0，再进行分解，得出x1和x2，即可求得一元二次方程的根。
（3）求根公式法
利用求根公式，可以轻松求出一元二次方程的根，即x1=(-b+√(b2-4ac))/2a，x2=(-b-√(b2-4ac))/2a。
3、初中一元二次方程的意义
一元二次方程具有重要的实际意义，它可以模拟实际生活中出现的问题。
比如：投掷小球问题，可以把投掷小球的问题转化为一元二次方程，通过联立两条一元二次方程求解，就可以得到小球到达的高
度。
此外，一元二次方程还可以用来模拟电子设备参数的研究，可以把某一特定设备的参数研究也可以转化为一元二次方程，通过求解一元二次方程，可以得出电子设备参数的最优解。
一元二次方程讲义全
一元二次方程讲义全一元二次方程讲义考点一、概念1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。
2)一般表达式：ax^2+bx+c=(a≠0)注：当b=0时可化为ax^2+c=0，这是一元二次方程的配方式。
3)四个特点：只含有一个未知数；且未知数次数最高次数是2；是整式方程。
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。
如果能整理为ax^2+bx+c=(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
4)将方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0时，应满足(a≠0)。
4)难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为0；②未知数指数为2；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A。
(x+1)^3=2(x+1)B。
2√x+1-11=0C。
ax^2+bx+c=0D。
x^2+2x=x^2+1变式：当k≠0时，关于x的方程kx^2+2x=x^2+3是一元二次方程。
例2、方程(m+2)x^m+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为。
考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知2y^2+y-3的值为2，则4y^2+2y+1的值为。
例2、关于x的一元二次方程(a-2)x^2+x+(a^2-4)=0的一个根为-2，则a的值为。
说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制。
例3、已知关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的系数满足a+c=b，则此方程必有一根为-1.说明：本题的关键点在于对“代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。
例4、已知a,b是方程x^2-4x+m=0的两个根，b,c是方程y^2-8y+5m=0的两个根，则m的值为。
一元二次方程讲义
一元二次方程讲义1.解方程2(2)9x -=. 2（3x ﹣1）2=8．例题3：配方法1.已知方程260xx q +=-可以配方成27x p =（-）的形式，那么262x x q +=-可以配方成下列的（ ） A. 25x p =（-） B. 29x p =（-） C. 229x p +=（-） D. 225x p +=（-） 2.用配方法解方程：2420x x ++=练习：1． 用配方法解方程：x 2﹣7x+5=0． 2x 2﹣3x+1=0．x 2﹣6x ﹣7=0．例题4.公式法1.一元二次方程4x 2﹣2x+=0的根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法判断2.用公式法解方程：03822=+-x x.练习：1．用公式法解方程：3x 2+5（2x+1）=0．练习：1．“在线教育”指的是通过应用信息科技和互联网技术进行内容传播和快速学习的方法．”互联网+”时代，中国的在线教育得到迅猛发展．根据中国产业信息网数据统计分析，2015年中国在线教育市场产值约为1600亿元，2017年中国在线教育市场产值在2015年的基础上增加了900亿元．（1）求2015年到2017年中国在线教育市场产值的年平均增长率；（2）若增长率保持不变，预计2018年中国在线教育市场产值约为多少亿元？例题2：利润问题1.某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？练习:1．今年本市蜜桔大丰收，某水果商销售一种蜜桔，成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？（销售利润=销售价﹣成本价）例题3：面积问题1.某中学标准化建设规划在校园内的一块长36米，宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的人行道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草（如图所示），若使每一块草坪的面积都为96平方米．求人行道的宽。
《一元二次方程》复习经典讲义--绝对经典实用
《一元二次方程》复习经典讲义基础知识1、一元二次方程方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如脳」「冰4；"『：寫占门的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。
其中'分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a b分别是二次项和一次项的系数。
如|满足一般形式「丁：、1，工宀L分别是二次项、一次项和常数项，2,—4分别是二次项和一次项系数。
注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。
2.—元二次方程求根方法(1)直接开平方法形如•的方程都可以用开平方的方法写成' ，求出它的解，这种解法称为直接开平方法。
(2)配方法通过配方将原方程转化为V；工己丿的方程，再用直接开平方法求解。
配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。
配方应注意：当二次项系数为1时，原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为1,只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为1。
(3)公式法求根公式：方程小* X 「的求根公式_b 丄v b2-4ac2ti步骤:1）把方程整理为一般形式：：匚『“甩.m」：，确定a b、c。
2）计算式子卜In的值。
3）当八心心-时，把a、b和卜L LI的值代入求根公式计算，就可以求出方程的解。
（4）因式分解法把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法。
3、一兀二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到显然只有当护仏“时，才能直接开平方得:也就是说，一元二次方程卅r吐m沁珥只有当系数'耳、满足条件託=眇一盘供訣氐时才有实数根.这里「n 叫做一元二次方程根的判别式.4、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程'的根由其系数「、耳、确定，它的根的情况（是否有实数根）由二•，确定.设一元二次方程为' 7 ' 11■ 「，其根的判别式为：则hbph' ■4tjcr①1■- ' =■方程门厂山应二：：緘町有两个不相等的实数根■br V ——丫——…_ _②方程' f'有两个相等的实数根•一.③.匸方程农用沁没有实数根.若I，4，匸为有理数，且二为完全平方式，则方程的解为有理根；若△为完全平方式，同时血是％的整数倍，则方程的根为整数根.说明:⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，：；有两个相等的实数根时，人-J;没有实数根时，「1⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式—氐判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）•当亠忙仝:时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根.①当时二抛物线开口向上二顶点为其最低点；②当…「时=抛物线开口向下二顶点为其最高点.5、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题.6韦达定理b如果能畋;:;的两根是；:,贝U " -丿.（隐含的条件：•「「）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设'，’‘是方程"'的两个根，贝U '-7、韦达定理的逆定理以两个数，”为根的一元二次方程（二次项系数为1 ）是F -（x t ^x2）x^x l x2 -0一般地，如果有两个数’，•满足＜，「，那么'，•'必定是加亠脉V.U =比爭為的两个根.8、韦达定理与根的符号关系在£已护仏心1J的条件下，我们有如下结论:-<0 丄邸⑴当・时，方程的两根必一正一负•若- ，则此方程的正根不小于负-*<0根的绝对值；若「，则此方程的正根小于负根的绝对值.->0 --> o⑵当J 时，方程的两根同正或同负.若」，则此方程的两根均为正--<0根；若「，则此方程的两根均为负根.更一般的结论是：若，'■是煜。
初一数学一元二次方程全章精品讲义
当 <0,方程无实数解。
典例分析：
题型1：根据判别式判断根的情况
例1：方程 的根的情况（）
A、该方程有两个相等的实数根B、该方程有两个不相等的实数根
C、该方程没有实数根D、无法确定
例2：不解方程判断下列方程根的情况
（1） （2） （3）
（4） （5）
题型2：利用跟的判别式求方程中某个字母的值或取值范围
d=====(￣▽￣*)b_____________________________________
例2：已知 是完全平方式，则 的值为______。
例3：若 是完全平方公式，则 的值为_______。
例4：根据完全平方式填空
（1） （2）
（3） (4)
题型2：用配方法解一元二次方程
例1：用配方法解下列方程：
例3：已知一元二次方程 的两个根分别为 ，则二次三项式 可分解为_________________。
例4：在实数范围为定义一种运算“*”，其规则为 ，根据这个规矩，方程 的解为______________。
例5：若关于 的方程 与 有相同的实数根，则 的值为_______。
例6：已知 为非负数，方程
（2）如果方程有两个相等的实数根，是判断△ABC的形状，并说明理由。
（3）如果△ABC是等边三角形，试求出这个一元二次方程的根。
例3：已知 的两边AB、AD的长是关于x的方程 的两个实数根。
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长？
（2）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长为多少？
6、求证：关于 的一元二次方程 恒有两个实数根．
7、已知关于 的方程
（1）当该方程的一个根为1时，求 的值及该方程的另一个根
一元二次方程全章讲义
九年级上册第二章一元二次方程一、知识点梳理：知识点一：一元二次方程的定义 知识点二:开平方法解一元二次方程 知识点三：因式分解法解一元二次方程 知识点四：配方法解一元二次方程 知识点五： 一元二次方程的判别公式 知识点六：韦达定理 知识点七：二元一次方程应用题二、各知识点讲解：知识点一 ：一元二次方程的定义 （一）知识点：1、只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化成ax 2+bx+c=0（a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程．2、判断一个方程是否为一元二次方程的依据（1）是一个整式方程 （2）只含有一个未知数（3）未知数的最高次数是2.这三个条件必须同时满足，缺一不可。
3、一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项.一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下ax 2+bx+c=0（a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.（二）、经典例题及相关练习例题1：判断下列方程是否为一元二次方程？(1)3x+2=5y-3 (2) x 2=4 (3) 3x 2-5x=0 (4) x 2-4=(x+2) 2 (5) ax 2+bx+c=0练习1、在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．①3x 2+7=0 ②ax 2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x 2-1 ④3x 2-5x=0 2、下列方程是一元二次方程的有__________。
（1）x 2+x1－5=0 （2）x 2－3xy+7=0（3）x+12 x =4（4）m3－2m+3=0 （5）22x2－5=0 （6）ax2－bx=43、下列方程中，是关于x的一元二次方程的有___________.①x2＋2x＋y＝1 ②－5x2＝0 ③2x2－1=3x④（m2＋1）x＋m2＝6 ⑤3x3－x＝0 ⑥x2+1x－1=0例2：一元二次方程一般形式、各项系数及常数项（1）一元二次方程（x+1）2－x==3（x2－2）化成一般形式是.（2）把方程(1－3x)(x+3)=2x2+1化为一元二次方程的一般形式,并写出二次项,二次项系数,一次项,一次项系数及常数项.练习：1、把一元二次方程（x+2）（x－3）=4化成一般形式，得（）．A、x2+x－10=0B、x2－x－6=4C、x2－x－10=0D、x2－x－6=02、将方程3x2＝2x－1化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项系数可以是( )A. 3,2,－1B. 3,－2,－1C. 3,－2,1D. －3,－2,13、一元二次方程3x2－3x－2=0的一次项系数是________，常数项是_________．4、方程4x2=3x-2+1的二次项是 ,一次项是 ,常数项是5、把方程x(x+1)=4(x－1)+2化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数、常数项.例3：利用一元二次方程的定义解题（1）关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．练习1、已知（m+3）x2－3mx－1=0是一元二方程，则m的取值范围是。
第二章 一元二次方程复习 讲义
龙文教育学科教师辅导讲义学员姓名： 辅导课目：数学 年级：八年级 学科教师：汪老师 授课日期及时段课 题第二章 一元二次方程复习重点、难点、考点1、一元二次方程的基本概念2、一元二次方程的解法及应用学习目标1、理解一元二次方程的基本概念及其相应的应用2、一元二次方程的解法及其应用教学内容一、知识回顾:1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数。
2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法. （注意：用直接开平方的方法时要记得取正、负.）（2）配方法：关键化原方程为2()x m n +=的形式 （警告： 用配方法时二次项系数要化1.）（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是221,24(40)2b b ac x b ac a-±-=-≥.（注意：方程要先化成一般形式.）（4）因式分解法（主要有提取公因式、运用平方差公式、运用完全平方公式、十字相乘法）：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积； ③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.（注意：方程要先化成一般形式.）3．一元二次方程根的判别式: 24b ac ∆=-(1)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况：①当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；②当0∆=时，方程有两个相等的实数根； ③当0∆<时，方程无实数根. (2)判定一元二次方程根的情况； (3)确定字母的值或取值范围。
知识点练习知识一：一元二次方程的概念1、一元二次方程(1－3x)(x+3)=2x 2+1的一般形式是 它的二次项系数是 ； 一次项系数是 ；常数项是 。
一元二次方程全章讲义
九年级上册第二章一元二次方程一、知识点梳理：知识点一：一元二次方程的定义 知识点二:开平方法解一元二次方程 知识点三：因式分解法解一元二次方程 知识点四：配方法解一元二次方程 知识点五： 一元二次方程的判别公式 知识点六：韦达定理 知识点七：二元一次方程应用题二、各知识点讲解：知识点一 ：一元二次方程的定义 （一）知识点：1、只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化成ax 2+bx+c=0（a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程．2、判断一个方程是否为一元二次方程的依据（1）是一个整式方程 （2）只含有一个未知数（3）未知数的最高次数是2.这三个条件必须同时满足，缺一不可。
3、一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项.一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下ax 2+bx+c=0（a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.（二）、经典例题及相关练习例题1：判断下列方程是否为一元二次方程？(1)3x+2=5y-3 (2) x 2=4 (3) 3x 2-5x=0 (4) x 2-4=(x+2) 2 (5) ax 2+bx+c=0练习1、在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．①3x 2+7=0 ②ax 2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x 2-1 ④3x 2-5x=0 2、下列方程是一元二次方程的有__________。
（1）x 2+x1－5=0 （2）x 2－3xy+7=0（3）x+12 x =4（4）m3－2m+3=0 （5）22x2－5=0 （6）ax2－bx=43、下列方程中，是关于x的一元二次方程的有___________.①x2＋2x＋y＝1 ②－5x2＝0 ③2x2－1=3x④（m2＋1）x＋m2＝6 ⑤3x3－x＝0 ⑥x2+1x－1=0例2：一元二次方程一般形式、各项系数及常数项（1）一元二次方程（x+1）2－x==3（x2－2）化成一般形式是 .（2）把方程(1－3x)(x+3)=2x2+1化为一元二次方程的一般形式,并写出二次项,二次项系数,一次项,一次项系数及常数项.练习：1、把一元二次方程（x+2）（x－3）=4化成一般形式，得（）．A、x2+x－10=0B、x2－x－6=4C、x2－x－10=0D、x2－x－6=02、将方程3x2＝2x－1化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项系数可以是( )A. 3,2,－1B. 3,－2,－1C. 3,－2,1D. －3,－2,13、一元二次方程3x2－3x－2=0的一次项系数是________，常数项是_________．4、方程4x2=3x-2+1的二次项是 ,一次项是 ,常数项是5、把方程x(x+1)=4(x－1)+2化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数、常数项.例3：利用一元二次方程的定义解题（1）关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．练习1、已知（m+3）x2－3mx－1=0是一元二方程，则m的取值范围是。
一元二次方程的基本概念
一元二次方程的基本概念一元二次方程是数学中常见的一种方程类型，它的形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知实数系数，而x则是未知数。
在本文中，我们将详细介绍一元二次方程的基本概念，并探讨其性质和解的方法。
一、一元二次方程的性质1. 零点和根：一元二次方程的解又称为方程的根或者零点。
如果一个实数r满足方程ax^2 + bx + c = 0，那么我们就说r是方程的一个根。
一个一元二次方程可能有1个、2个或者0个实根。
2. 判别式：一元二次方程的判别式Δ = b^2 - 4ac，它的值可以用来判断方程的根的情况。
当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根；当Δ =0时，方程有两个相等的实根；当Δ < 0时，方程没有实根。
3. 对称性：一元二次方程的图像是一个抛物线，具有对称性。
对于方程ax^2 + bx + c = 0，如果r是它的一个根，那么2r-b是它的另一个根。
二、一元二次方程的解法解一元二次方程的方法主要有以下两种：1. 因式分解法：如果一元二次方程可以因式分解为(ax + b)(cx + d) = 0的形式，其中a、b、c、d是已知实数系数，那么方程的解就是使得(ax + b)和(cx + d)其中之一等于0的根。
这种方法适用于方程可以被因式分解的情况下。
2. 二次公式法：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的解可以通过以下公式得到：x = (-b ± √Δ) / (2a)其中，±表示取正负号，Δ是方程的判别式。
根据Δ的值，我们可以得到方程的解的情况。
三、一元二次方程的应用一元二次方程在实际问题中有着广泛的应用，例如：1. 物理学中的自由落体问题可以建模为一元二次方程，其中时间t 为未知数，加速度a为已知常数。
解方程可以得到自由落体的时间和运动轨迹。
2. 经济学中的成本和利润问题也可以转化为一元二次方程，帮助分析决策和预测趋势。
九年级第一次课讲义一元二次方程的定义,直接开平方,配方法
第1次课讲义-一元二次方程的定义、直接开平方、配方法一元二次方程的认识一、一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．注意：要想判断一个方程是不是一元二次方程，首先要做到熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程；再次需要注意的是要对方程进行简单的化简整理.二、一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是()200ax bx c a ++=≠．其中2ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．例1.下列方程中，关于x 的一元二次方程有（ ）①20x =；②20ax bx c ++=23-=；④20a a x +-=；⑤()21402m m x x -++=；⑥21113x x +=2=；⑧()2219x x +=-． A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个练习1.1 有下列关于x 的方程：①20ax bx c +=+，②()340x x -=，③230x y +-=，④212x x +=，⑤3380x x +=-，⑥215702x x -+=，⑦()()2251x x x -+=-．其中是一元二次方程的有（ ）个 A ．2B ．3C ．4D ．5在利用一元二次方程的定义求字母的值时，特别要注意0a ≠的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．也就是说我们不仅要使方程的最高次是二次的，同时要保证这个二次项是存在的，即二次项系数0a ≠.例2.已知：方程()||1310m m x mx ---+=是关于x 的一元二次方程，则m 的值为（ ）A ．3m =±B ．3m =C ．3m =或1m =-D ．1m =-练习2.已知关于x 的方程()211230mm x x +-+-=是一元二次方程，则m 的值为（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．±1 D ．不能确定在判断一个含有字母参数的方程是什么方程时，一定要严格按照该方程的定义来判断. 例3.方程()()211310m m x m x +++--=；（1）m 取何值时是一元二次方程；（2）m 取何值时是一元一次方程．练习3.1 已知关于x 的方程()2210m m x x ++-=．（1）当m 为何值时是一元一次方程；（2）当m 为何值时是一元二次方程．在利用一元二次方程的一般式判断二次项系数、一次项系数和常数项时，一定要先将已知的一元二次方程化简后再进行判断，同时要注意其前面的符号.例4.一元二次方程2342x x -=-的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）A ．3，﹣4，﹣2B ．3，﹣2，﹣4C ．3，2，﹣4D ．3，﹣4，0练习4.1 方程22650x x -=-的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A ．6、2、5 B ．2、﹣6、5 C ．2、﹣6、﹣5 D ．﹣2、6、5练习4.2 关于x 的一元二次方程()()()33215x x a x a -+-+=的一次项系数是（ ）A ．8aB ．8a -C ．2aD ．79a -一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．已知一个数是方程的解，只需将这个数代入到方程中得到一个等式即可.例5. 关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++=-的一个根是0，则a 的值为（ ） A ．1B ．﹣1C ．1或﹣1D ．12练习5.1 如果2是方程230x x k +=-的一个根，则常数k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．﹣1D ．﹣2练习 5.2 我们知道方程2230x x +-=的解是11x =，23x =-，现给出另一个方程()()22322330x x +++-=，它的解是（ ）A ．11x =，23x =B ．11x =，23x =-C ．11x =-，23x =D ．11x =-，23x =-不解方程，可以通过化简，用整体代入求值。
一元二次方程讲义
一元二次方程讲义(总13页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第6讲 判别式和根与系数的关系【学习目标】1、 使学生会运用根与系数关系解题 2、对一元二次方程以及其根有更深刻的了解，培养分析问题和解决问题的能力【知识要点】1、一元二次方程的判别式：ac b 42-=∆，（1）当042>-ac b 时，方程有两个不相等的实数根，aacb b x 242-±-=；（2）当042=-ac b 时，方程有两个相等的实数根，abx x 221-==； （3）当042<-ac b 时，方程无实数解。
2、一元二次方程根与系数关系的推导：对于一元二次方程02=++c bx ax 其中0≠a ，设其根为21,x x ，由求根公式a acb b x x 24221-±-==，有ab x x -=+21，a cx x =⋅213、常见的形式：（1）212212214)()(x x x x x x -+=- （2）)(3)(21213213231x x x x x x x x +-+=+ （3）21221214)(x x x x x x -+±=-【典型例题】例1 当m 分别满足什么条件时，方程2x 2-(4m+1)x +2m 2-1=0,（1）有两个相等实根；（2）有两个不相实根；（3）无实根；(4)有两个实根.例2、已知方程022=--c x x 的一个根是3，求方程的另一个根及c 的值。
例3、已知方程0652=--x x 的根是x 1和x 2，求下列式子的值： （1）2221x x + + 21x x （2）1221x x x x +例4、已知关于x 的方程3x 2-mx-2=0的两根为x 1 ，x 2，且31121=+x x ， 求 ①m 的值； ②求x 12+x 22的值.例5、已知关于x 的方程（1）03)21(22=-+--a x a x 有两个不相等的实数根，且关于x 的方程（2）01222=-+-a x x 没有实数根，问a 取什么整数时，方程（1）有整数解【经典练习】姓名： 成绩：一、选择题1、方程012=--kx x 的根的情况是（ ）A 、有两个不相等的实数根B 、有两个相等的实数根C 、 没有实数根D 、 与k 的取值有关2、已知关于x 的一元二次方程0)1()1(22=+--k x k 的两根互为倒数，则k 的取值是( ).A 、2±B 、2C 、 2-D 、03、设方程0532=+-q x x 的两根为1x 和2x ，且0621=+x x ,那么q 的值等于( ). A 、32-B 、-2C 、91D 、92-4、如果方程12=+mx x 的两个实根互为相反数，那么m 的值为（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、±15、已知ab ≠0，方程02=++c bx ax 的系数满足ac b =⎪⎭⎫⎝⎛22，则方程的两根之比为（ ）A 、0∶1B 、1∶1C 、1∶2D 、2∶3 二、填空题1、已知方程0432=--x x 的两个根分别是x 1和x 2，则21x x += _____，21x x =_____2、已知方程02=++b ax x 的两个根分别是2与3，则=a ，=b3、已知方程032=++k x x 的两根之差为5，k=?4、（1）已知方程x 2-12x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m= （2）方程 05242=++mx x 的一个根是另一个根的5倍，则m= ；51为根构造一个一元二次方程 三、简答题1、讨论方程04)1(4)1(22=----x m x m 的根的情况并根据下列条件确定m 的值。
一元二次方程(讲义)
是一元二次方程的重要组成部分。
方程，只有当时，才叫做一元二次方程。
如果且，它就是一元二次方程了。
解题时遇到字母系数的方程可能出现以下情况：（1）一元二次方程的条件是确定的，如方程（），把它化成一般形式为，由于，所以，符合一元二次方程的定义。
（2）条件是用“关于的一元二次方程”这样的语句表述的，那么它就隐含了二次项系数不为零的条件。
如“关于的一元二次方程”，这时题中隐含了的条件，这在解题中是不能忽略的。
（3）方程中含有字母系数的项，且出现“关于的方程”这样的语句，就要对方程中的字母系数进行讨论。
如：“关于的方程”，这就有两种可能，当时，它是一元一次方程；当时，它是一元二次方程，解题时就会有不同的结果。
ax2+bx+c=0 (a≠0)1）．提问a＝0时方程还是一无二次方程吗?为什么?(如果a＝0、b≠就成了一元一次方程了)。
2）．讲解方程中ax2、bx、c各项的名称及a、b的系数名称．3）．强调：一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多三项、其中一次项、常数项可以不出现、但二次项必须存在、而且左边通常按x的降幂排列：特别注意的是“＝”的右边必须整理成0。
1．说出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项：（1）x2十3x十2＝O （2）x2—3x十4＝0； (3)3x2-5＝0（4）4x2十3x—2＝0； (5)3x2—5＝0； (6)6x2—x=0。
2.把下列方程先化成二元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数、常数项：(1)6x2＝3-7x； (3)3x(x-1)＝2(x十2)—4；(5)(3x十2)2＝4(x-3)2一、关于一元二次方程概念的题目（一）选择题1．下列方程中有（）是一元二次方程（1）（2）（3）（4）（5）（6）（A）（1）（5）（6）（B）（1）（4）（5）（C）（1）（3）（4）（D）（2）（4）（5）2．若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（）（A）（B）（C）或（D）且（二）填空题已知关于的方程当时，方程为一元二次方程，当时，方程为一元一次方程。
一元二次方程相关概念
一元二次方程相关概念
一元二次方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知的常数，而x是未知数。
在这个方程中，a不等于0。
一元二次方程的解可以用求根公式来表示。
1. 根：一元二次方程的解称为根。
方程的解可能有一个根、两个根或零个根。
2. 判别式：一元二次方程的判别式是 b^2-4ac。
根据判别式的值可以判断方程的根的情况：
- 当判别式大于0时，方程有两个不相等的实根。
- 当判别式等于0时，方程有两个相等的实根。
- 当判别式小于0时，方程没有实根，只有两个共轭复根。
3. 相关概念：还有一些与一元二次方程相关的概念，如顶点、对称轴、平移变换等。
- 顶点：一元二次方程y=ax^2+bx+c的图像是一个抛物线，其顶点是抛物线的最低或最高点，用顶点坐标(x_v,y_v)表示。
- 对称轴：一元二次方程的图像关于一条直线对称，这条直线称为抛物线的对称轴，对称轴的方程是x=x_v。
- 平移变换：通过调整方程中的常数项，可以使一元二次方程的图像在坐标系中上下平移、左右平移或上下左右平移。
平移变换与常数项c有关。
这些概念与一元二次方程的图像、解的个数以及特殊情况的判断有关，对于解一元二次方程的问题，理解这些概念是很重要的。
一元二次方程概念讲义
8. 试判断关于x 的方程x k x kx x =+--)(122是不是一元二次方程，如果是，指出其二次项系数、一次项系数及常数项课后作业 A 组习题：1．下列方程中的一元二次方程是( )．A ．3(x +1)2=2(x －1)B ．21x+x 1－2=0 C ．ax 2+bx +c =0 D ．x 2+2x =(x +1)(x －1)2．把方程－5x 2+6x+3=0的二次项系数化为1，方程可变为( )．A ．x 2+56x +53=0 B ．x 2－6x －3=0 C ．x 2－56x －53=0 D ．x 2－56x +53=0 3．将方程3x 2＝2x －1化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项系数可以是( ) ．A ． 3，2，－1B ．3，－2，－1C ．3，－2，1D ． －3，－2，14．把一元二次方程（x +2）（x －3）= 4化成一般形式，得（ ）．A ．x 2+x －10=0B ．x 2－x －6=4C ．x 2－x －10=0D ．x 2－x －6=05. 方程x 2+3x －x +1=0的一次项系数是（ ）．A ．3B ．－1C ．3－1D ．3x －x6.已知方程(m +2)x 2+(m +1)x －m =0，当m 满足__________时，它是一元一次方程；当m 满足___________时，它是一元二次方程.7．一元二次方程226x x -=的二次项系数、一次项系数及常数之和为 ．8．关于x 的方程2322+-=-mx x x mx 是一元二次方程，m 应满足什么条件？B 组练习：把方程2226332kx x k x kx -+=--整理为20ax bx c ++=的形式，并指出各项的系数.签字确认学员 教师 班主任。
一元二次方程概念讲义
1. 只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化成〔〕的形式，这样的方程叫做一元二次方程．思考次序：整式方程、化简整理、一元二次．2. 我们把20ax bx c ++=〔0，，，是常数a a b c ≠〕称为一元二次方程的一般形式，其中____，____，____分别称为二次项、一次项和常数项，_____，_____分别称为二次项系数和一次项系数．3. 解一元二次方程的根本思路是要设法将其转化成一元一次方程来处理．主要解法有：直接开平方法，配方法，公式法，分解因式法4. 配方法是配成完全平方公式；公式法的公式是：2b x a-±= 分解因式法是先把方程化为___________________________的形式，然后把方程左边进行____________________，根据____________，解出方程的根．1. 以下方程：①3157x x +=+；②0112=-+x x；③25ax bx -=〔a ，b 为常数〕；④322=-m m ；⑤202y =；⑥2(1)3x x x +=-；⑦22250x xy y -+=．其中为一元二次方程的是_______．2. 方程x x 3122=-的二次项是_____，一次项系数是____，常数项是__．3. 假设方程01)1(2=-+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，那么m 的取值范围是〔〕A ．m =0 B ．m ≠1C ．m ≥0且m ≠1D ．m 为任意实数 4. 假设关于x 的方程21(1)230m m x x +-+-=是一元二次方程，那么m 的值为____．5. 假设x =2是关于x 的方程032=+-a x x 的一个根，那么2a -1的值是〔〕A ．2B ．-2C ．3D ．-3 6. 一元二次方程2(4)25x +=的根为〔〕 A ．x =1 B ．x =21C ．x 1=1，x 2=-9D ．x 1=-1，x 2=9 7. 用配方法解方程：〔1〕2210x x --=；〔2〕210x x +-=；〔3〕2383x x +=；〔4〕24810x x --=；〔5〕23920x x -+=；〔6〕20ax bx c ++=〔a ≠0〕．8. 用公式法解方程：〔1〕23100x x +-=；〔2〕22790x x --=；〔3〕21683x x +=；〔4〕2352x x -+=-． 用分解因式法解方程：〔1〕(54)54x x x +=+；〔2〕(1)(8)12x x ++=-；〔3〕22(2)(23)x x -=+；〔4〕29x -=；〔5〕2(21)10kx k x k -+++=〔k ≠0〕．假设方程32)1(1=--+x x m m 是关于x 的一元二次方程，求m 的值例2、关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 的一个根是0，求a 的值关于x的方程例3、求一元二次方程〔1-2x 〕(x+4)=2x 2+3的二次项系数、一次项系数、常数项的和。
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一元二次方程的概念及解法（讲义）
一、知识点睛
1. 只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化成20
ax bx c ++=（0，，，是常数a a b c ≠）的形式，这样的方程叫做一元二次方程．
思考次序：整式方程、化简整理、一元二次．
2. 我们把20ax bx c ++=（0，，，是常数a a b c ≠）称为一元二次方程的一般形式，其中____，____，____分别称为二次项、一次项和常数项，_____，_____分别称为二次项系数和一次项系数．
3. 解一元二次方程的基本思路是要设法将其转化成一元一次方程来处理．主要解法有：直接开平方法，配方法，公式法，分解因式法
4. 配方法是配成完全平方公式；公式法的公式是：2b x a
-±= 分解因式法是先把方程化为___________________________的形式，然后把方程左边进行____________________，根据____________，解出方程的根．
二、精讲精练 1. 下列方程：①3157x x +=+；②
0112=-+x x ；③25ax bx -=（a ，b 为常数）；④322=-m m ；⑤2
02
y =；⑥2(1)3x x x +=-；⑦22250x xy y -+=．其中为一元二次方程的是_______．
2. 方程x x 3122=-的二次项是_____，一次项系数是____，常数项是__．
3. 若方程01)1(2=-+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是
（ ）
A ．m =0
B ．m ≠1
C ．m ≥0且m ≠1
D ．m 为任意实数 4. 若关于x 的方程21(1)230m
m x x +-+-=是一元二次方程，则m 的值为____． 5. 若x =2是关于x 的方程032=+-a x x 的一个根，则2a -1的值是（ ） A ．2
B ．-2
C ．3
D ．-3 6. 一元二次方程2(4)25x +=的根为（ ） A ．x =1 B ．x =21 C ．x 1=1，x 2=-9
D ．x 1=-1，x 2=9 7. 用配方法解方程： （1）2210x x --=；
（2）210x x +-=； （3）2383x x +=；
（4）24810x x --=； （5）23920x x -+=；
（6）20ax bx c ++=（a ≠0）． 8. 用公式法解方程：
（1）23100x x +-=； （2）22790x x --=；
（3）21683x x +=； （4）2352x x -+=-． 9. 用分解因式法解方程：
（1）(54)54x x x +=+；（2）(1)(8)12x x ++=-；
（3）22(2)(23)x x -=+；（4）29x -=；
（5）2(21)10kx k x k -+++=（k ≠0）．
10. 阅读题：
解方程的关键是设法将其转化为一元一次方程，转化的思路是“多元消元、高次降次”，分解因式是降次的一种工具．
如：解方程3234120x x x --+=
解：原方程可化为：
2(3)4(3)0x x x ---=2(3)(4)0x x --=(3)(2)(2)0x x x -+-=
∴x 1=3，x 2=-2，x 3=2．
仿照以上解答求解方程：
3244160x x x +--=
【参考答案】
知识点睛
精讲精练
1．④⑤；
2．22x ，1-； 3．C ； 4．1-；
5．C ； 6．C ； 7．（1）2210x x --=
解：221x x -=，
22111x x -+=+，
()212x -=，
1x -=
1x =
∴1x =1+21x =-
（2）112
x -+=，212x --=． （3）113x =，23x =-．
（4）122x +=，222x =．
（5）1x =，2x =．
（6）12b x a -=，22b x a
--=（24b ac -≥0）．
8．（1）23100x x +-=
解：a =1，b =3，c =-10，
∵24b ac -=()23410-⨯-
=49>0
∴ 3 2
x -±=
= 3 72
-± ∴1x =2，2x =-5． （2）11x =-，292
x =
． （3）114x =，234
x =-． （4）113
x =-，22x =． 9．（1）(54)54x x x +=+ 解：( 1 )(54)0x x -+=，
1x -=0或54x +=0，
∴1x =1，2x =45
-． （2）14x =-，25x =-．
（3）113
x =-，25x =-．
（4）1x =2x =．
（5）11k x k
+=，21x =． 10．3244160x x x +--=
解：()()24440x x x +-+=， ()
()2440x x -+=， ()()()2240x x x +-+=，
∴123224x x x =-==-，，．。