线性规划与企业利润最大化

目录1. 引言 (1)2. 线性规划的数学模型 (2)3. 线性规划问题的理论 (4)3.1线性规划问题的标准形式 (4)3.2单纯形法 (5)4. 利用线性规划建立企业利润最大化数学模型 (7)4.1企业利润最大化原则 (7)4.2利润最大化模型 (8)5. 总结 (10)参考文献 (11)随着社会的发展，线性规划广泛应用于社会的各行各业中，例如运输业、工程技术、加工生产业等领域。

本文通过线性规划的方法，在已有的因素变化区间找到最优解，并就如何应用线性规划在现实中合理地利用有限的人力、物力、财力等资源做出最优决策，提出科学的依据。

关键词：线性规划，最优解，利润最大化。

With the development of society, linear programming is widely used in variety areas, such as transportation, engineering and production of industry and so on. Using the method of linear programming, optimal solution can be found by interval of the changes of factors. We also provide some theoretic basis for the application of linear programming in the rational use of limited human and material resources in reality to make the optimal decision.Keywords: linear programming，optimal solution，maximize profit.1.引言线性规划是运筹学的一个基本的，也是成熟的分支。

为了解决二次世界大战中的后勤供应问题，早在20世纪30年代末期康托洛维奇和希奇柯克等在生产的组织和运输问题等方面就开始研究应用这一数学方法。

10多年后Dantzig等人提出的单纯形方法给线性规划这一数学方法的成熟与发展奠定了坚实的理论基础。

随着时间的推移，能用线性规划解决问题的类型在大量的增加。

现在几乎所有的工业领域、商业领域、军事领域及科学技术的研究领域都在不同程度地运用这一方法。

正是由于它的应用，全球每年各个领域节省了上亿万美元的资金，而各个生产部门也创造了大量的经济效益。

我国在建国初期就开始应用线性规划这一数学方法。

线性规划方法是一种重要的数学方法，线性规划方法是企业进行总产量计划时常用的一种定量方法。

线性规划是运筹学的一个最重要的分支，理论上最完善，实际运用得最广泛。

主要用于研究有限资源的最佳分配问题，即如何对有限的资源作出最佳方式地调配和最有利地使用，以便最充分地发挥资源的效能去获取最佳的经济效益。

由于有成熟的计算机应用软件的支持，采用线性规划模型安排生产计划，并不是一件困难的事情。

在总体计划中，用线性规划模型解决问题的思路是，在有限的生产资源和市场需求条件约束下，求利润最大的总产量计划。

该方法的最大优点是可以处理多品种问题，可解决如运输问题、生产的组织与计划问题、合理下料问题、配料问题、布局问题、分派问题等。

线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型。

简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。

涉及更多个变量的线性规划问题不能用初等方法解决。

线性规划问题的难点表现在三个方面：一是将实际问题抽象为线性规划模型；二是线性约束条件和线性目标函数的几何表征；三是线性规划最优解的探求。

本文主要是通过线性规划来探讨一个企业在有限的条件下如何获得最大的利润。

2.线性规划的数学模型在实际中，运用线性规划来解决的问题有很多，例如：(1)下料问题。

现有一批长度一定的钢管，由于生产的需要，要求截出不同规格的钢管若干。

试问要如何下料，既能满足生产的需要,又使得使用的原材料钢管数量最少或废材最少？(2)配料问题。

把若干种不同的原料配制成含有一定成分的各种原料的产品，如何配料使产品成本最低？或者是用若干种不同原料，用不同的比例配制出一些价格不同规格不一的产品，在原材料供应量的限制和保证产品成分的含量的前提下，如何获取最大的利润？ （3）生产计划安排问题。

如何合理充分地利用厂里现有的人力、物力、财力，制定出最优的产品生产计划，使得工厂的获利最大？（4）运输问题。

一个企业有若干个生产单位与销售单位，根据各生产单位的产量及销售单位的销售，如何制定调运方案，使某种一定量的产品从若干产地运到若干个销地的总运输或总货运量最小？（5）投资问题。

如何从不同的投资项目中选择出一个投资方案，使得投资的回报最大？线性规划问题数学模型是描述实际问题的数学形式，它反映了实际问题数量间的本质规律。

由于实际问题往往比较复杂，建立线性规划的数学模型时，对某一问题要作认真分析，抓住其最本质的因素，用简单的数学式子将其描述出来，使建立的数学模型既简单，又能正确反映问题的本质。

对于线性规划问题，一般地可以用如下数学模型来描述⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥=≤+++≥=≤+++≥=≤++++++=0,...,b (.........)(...b (......)min (max 21m 221122222212112121112211n n mn m m n n n n nn x x x x a x a x a b x a x a x a x a x a x a x c x c x c z ），或，或），或或上述模型的简写形式为⎪⎩⎪⎨⎧=≥=≥=≤=∑∑==),...,2,1(0),...,2,1(b ()min max(11n j x m i x a x c z jinj j ij nj jj ），或或用向量形式表达时，上述模型可写为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==⎪⎩⎪⎨⎧≥≥=≤∑==m mj j j j n n nj j j b b b B a a a P x x x X c c C X x P CX z ...;...;...);,...,,c 0B (min)max(212121211（式中），或或 用矩阵和向量形式来表示可写成为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎩⎨⎧≥≥=≤=mn m m n n a a a a a a a a a A X AX CX z .......... 0B (min)(max 212222111211），或或 A 称为约束方程组（约束条件）的系数矩阵。

例：某工厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，已知生产单位产品所需要的设备台时和A 、B 两种原材料的消耗以及资源的限制情况，如表1所示：表1该工厂每生产一单位产品A 可获利50元，每生产一单位产品B 可获利100元，问工厂应分别生产多少单位产品A 和产品B 才能使工厂获利最大？解：为了解决这个实际问题，我们把它归结为数学问题来研究。

首先，确定决策变量。

工厂目前要决策的是产品A 和产品B 的生产量，可以用变量1x 和2x 来表示，即：决策变量1x 表示生产产品A 的数量；决策变量2x 表示生产产品B 的数量。

由于它们表示产品产量，所以只取非负数。

其次，根据问题的限制条件，列出表示条件的线性不等式。

对于台时数方面的限制可以表示为30021≤+x x原材料的限量可以表示为400221≤+x x 和2502≤x除了上述约束外，显然还有0,021≥≥x x 最后，根据实际问题所追求的目标，列出其线性表函数式。

则总利润可表示为2110050z x x +=最大利润记为 2110050m ax x x z +=综上所述，得到了描述该问题的一组数学表达式： 目标函数为2110050m ax x x z +=约束条件为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤≤+≤+0,025040023002122121x x x x x x x3. 线性规划问题的理论3.1线性规划问题的标准形式线性规划问题的一般形式包含了线性规划问题的多种形式，这对我们阐述一些基本概念和求解方法很不利。

所以，我们要规定一种线性规划问题的标准形式。

我们规定线性规划问题的标准形式有以下特点： （1） 求目标函数的最大值； （2） 所有的约束方程都用等式表示； （3） 所有的变量都是非负的；（4） 约束方程等式右端的常数（称为约束常数）都是非负的。

一般地，线性规划问题的标准形式可以写成：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++++=mn mn m m n n n n b x a x a x a bx a x a x a b x a x a x a ............x ...c x c x c z max 22112222212111212111n n 2211 其中，0i b ≥（i=1,2，…m ） 或表成：nj jj 11max z c x (0)(1,2,...,)0(1,2,...,)ni j j ii j ja xb b i m x j n ===⎧=≥=⎪⎨⎪≥=⎩∑∑如何将线性规划问题的一般形式化为标准形式呢？可分以下几种情况：（1） 目标函数为求极小值，即为： ∑==nj j j x c z 1m in因为求min z 等价于求max(-z),令,z 'z -=，即化为：∑-==nj j j x c z 1'max（2）约束条件的右端项i b <0时，只需将等式或不等式两端同乘（-1），则等式右端项必大于零（3）约束条件为不等式。

当约束条件为“≤”时，如24x 2621≤+x ，可令2132624x x x --=，得2426321=++x x x ，显然03≥x 。

当约束条件为“≥”时，如有18121021≥+x x ，可令181210214-+=x x x ，得0,1812104421≥=-+x x x x 。

43x x 和是新加上去的变量，取值均为非负，加到原约束条件中去的变量其目的是使不等式转化为等式，其中3x 称为松弛变量，4x 一般配称为剩余变量，但也有称松弛变量的。

松弛变量或剩余变量在实际问题中分别表示未被充分利用的资源和超出的资源数，均未转化为价值和利润，所以引进模型后它们在目标函数中的系数均为零。

3.2单纯形法关于一般线性规划的标准形用矩阵表示为,0,..,C z m T ≥==x B Ax t s x ax其中T n Tn x x x x c c c C ),...,,(,),...,,(2121==，T m n m ij b b b B a A ),...,,(,)(21==⨯。