全微分的定义(精)

具有对x 和y 的偏导数，且函数 z f ( u, v ) 在对应 点( u, v ) 具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x , y ), ( x , y )]在对应点( x , y ) 的两个偏
导数存在，且可用下列公式计算
z z u z v z z u z v ， . x u x v x y u y v y
u v w
t
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同线相乘，分线相加
例 1 设 z uv sin t ，而 u e t ， v cos t ，
dz 求全导数 . dt
解
z
dz z du z dv z dt u dt v dt w
u v w t
t
ve u sin t cos t
y 的偏导数，复合 x 和 w w( x , y ) 都在点( x , y ) 具有对
函数 z f [ ( x , y ), ( x , y ), w( x , y )] 在对应点( x , y ) 两个偏导数存在，且可用下列公式计算
z z u z v z w , x u x v x w x z z u z v z w . y u y v y w y
结束
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链式法则如图示
u
z
x
y
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v
z z u z v , x u x v x
z z u z v . y u y v y
同线相乘，分线相加
类似地再推广，设u ( x , y ) 、v ( x , y ) 、
6.4
全微分
一、全微分的定义 由一元函数微分学中增量与微分的关系得
f ( x x , y ) f ( x , y ) f x ( x, y )x
f ( x , y y ) f ( x , y ) f y ( x , y ) y
二元函数 对 x 和对 y 的偏增量
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f (1,2) 1,
f x ( x , y) yx
y 1
,
f y ( x , y) x y ln x ,
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f x (1, 2) 2,
f y (1, 2) 0,
由公式得 (1.04) 2.02 1 2 0.04 0 0.02 1.08.
三、小结 １、多元函数全微分的概念； ２、多元函数全微分的求法； ３、多元函数连续、可导、可微的关系．
•说明： •多元函数的各偏导数存在并不能保 证全微分存在。
定理２（充分条件） 如果函数z f ( x , y ) 的偏
z z ( x, y) 导数 、 在点( x , y ) 连续，则该函数在点 x y
可微分．
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z z 习惯上，记全微分为 dz dx dy. x y
t
e t cos t e t sin t cos t
e t (cos t sin t ) cos t .
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上定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况： z f [ ( x , y ), ( x , y )].
( x, y) 如果u ( x , y ) 及v ( x , y ) 都在点
z z u z v y u y v y u u e sin v x e cos v 1 e u ( x sinv cos v ).
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课堂练习与习题 6-4 1、选一 7 6-5 2 4 6、选一
函数可微 偏导数连续
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例 1 计算函数z e xy 在点( 2,1) 处的全微分.
解
z xy ye , x
z xy xe , y
z z 2 2 e , 2e , x ( 2 ,1 ) y ( 2,1)
所求全微分 dz e 2dx 2e 2dy.
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例 2 求函数 z y cos( x 2 y ) ，当x ，y ， 4
dz z z du z dv lim . dt t 0 t u dt v dt
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 如
dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
z
dz 以上公式中的导数 称为全导数. dt
通常我们把二元函数的全微分等于它的 两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分 符合叠加原理． 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
u u u du dx dy dz. x y z
叠加原理也适用于二元以上函数的情况．
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多元函数连续、可偏导、可微的关系 函数连续 函数可偏导
dx
解

4
，dy 时的全微分.
z y sin( x 2 y ), x z cos( x 2 y ) 2 y sin( x 2 y ), y
dz ( , )
4
z z 2 dx dy ( 4 7 ). x ( , ) y ( , ) 8
也可写成
f ( x x , y y ) f ( x , y ) f x ( x , y ) x f y ( x , y ) y.
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例3
计算 (1.04) 2.02的近似值.
解
设函数 f ( x, y) x .
y
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取 x 1, y 2, x 0.04, y 0.02.
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z
u v w
x
y
例 2 设 z e u sin v ，而 u xy ， v x y ，
z z 求 和 . x y
解
u
z
x
y
z z u z v x u x v x
v
e u sin v y e u cos v 1 e u ( y sinv cos v ),
4 4
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全微分在近似计算中的应用
当二元函数 z f ( x , y) 在点 P ( x , y) 的两 个偏导数 f x ( x , y), f y ( x , y) 连续，且 x , y 都较小时，有近似等式
z dz f x ( x, y)x f y ( x, y)y.
其逆否命题是什么？
二、可微的条件
定理 1（必要条件） 如果函数z f ( x , y ) 在点
z ( x , y ) 可微分，则该函数在点( x , y ) 的偏导数 、 x z 必存在，且函数 z f ( x , y ) 在点( x , y ) 的全微分 y
z z dz x y ． x y
（注意：与一元函数有很大区别）
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6.5
复合函数微分法 与隐函数微分法（一）
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一、链式法则
定理 如果函数 u ( t ) 及 v ( t ) 都在点 t 可 导， 函数 z f ( u, v )在对应点( u, v ) 具有连续偏导 数，则复合函数 z f [ ( t ), ( t )]在对应点 t 可 导，且其导数可用下列公式计算：
二元函数 对 x 和对 y 的偏微分
全微分的定义
如果函数 z f ( x , y )在点( x , y )的全增量 z f ( x x , y y ) f ( x , y ) 可以表示为 z Ax By o( )，其中 A, B不依赖于
x , y 而仅与 x , y 有关， ( x )2 ( y )2 ， 则称函数 z f ( x , y )在点( x , y )可微分，
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为
一元函数在某点的导数存在
微分存在．
多元函数的各偏导数存在
全微分存在．
xy 2 2 x y 例如， f ( x , y ) 0
x2 y2 0
2 2
.
x y 0
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在点(0,0) 处有
f x (0,0) f y (0,0) 0
极限不存在！不连续！不可微！
dz z du z dv ． dt u dt v dt
证 设 t 获得增量 t，
则 u ( t t ) ( t ), v ( t t ) ( t );
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由于函数 z f ( u, v ) 在点( u, v ) 有连续偏导数
z z z u v 1 u 2 v , u v
Ax By 称为函数 z f ( x , y )在点( x , y )的全 微分，记为 dz ，即 dz = Ax By .
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函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 则称这函数在 D 内可微分.
如果函数z f ( x , y ) 在点( x , y ) 可微分, 则 函数在该点连续.
当u 0 ，v 0 时， 1 0 ， 2 0
z z u z v u v 1 2 t u t v t t t
当t 0 时， u 0 ，v 0
u du , t dt
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v dv , t dt
事实上 z Ax By o( ), lim z 0,
0
x 0 y 0
lim f ( x x , y y ) lim[ f ( x , y ) z ]
0
f ( x, y)
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故函数 z f ( x , y ) 在点( x , y ) 处连续.