全微分的定义(精)
第三节 全微分
t
t
z z x s x s
z z x z dy t x t y dt
注意 设 z f (u, x, y) ,u ( x, y) z f [ ( x, y), x, y]
x
链式图
x
z
y y
u
链式法则 z z u f
x u x
第三节
全微分
一、全微分的定义 二、全微分在近似计算中的应用
一、全微分的定义
1.一元函数的微分： 2.全微分的定义 若函数 z f ( x, y) 在点( x, y )的某一邻域内偏导数
z z 在该点可微,且称 x dx y dy 为函数 z f ( x, y)
z x
z z f ( x, y) 、 y 存在,且在这一点它们都连续，则
z z u z v y u y v y
u x
z
v
y
例1 设 z e sin v
u
z ,而 u xy , v x y ,求 x
u x
,
z y
解
z z u z v x u x v x
u u
z
e sin v y e cosv 1
dz z du z dv dt u dx v dt
情形3：复合函数的中间变量既有一元函数，又有 多元函数的情形,设 z f x, y , x s, t , y t
z f s, t , t
z
y
s
x
链式图
链式法则
v ( x, y)在点( x, y )处有偏导数, 函数 z f (u, v) 在对应点
(u , v) 处有连续偏导数, 则复合函数 z f [ ( x, y), ( x, y)]
全微分的定义(精)
如果u ( x, y)及v ( x, y) 都在点( x, y)
具有对x 和y 的偏导数，且函数z f (u,v) 在对应 点( u, v ) 具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x, y), ( x, y)]在对应点( x, y) 的两个偏
导数存在，且可用下列公式计算
z
z
u
z
v
，
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
如 dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
u
z
v
t
下一页
w
以上公式中的导数
dz dt
称为全导数.
同线相乘，分线相加
例 1 设z uv sin t ，而u et ，v cos t ，
求全导数dz .
dt
z
u v
导，函数z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导
数，则复合函数 z f [ (t), (t)]在对应点 t 可
导，且其导数可用下列公式计算：
dz z du z dv ． dt u dt v dt
证 设 t 获得增量 t，
则 u (t t) (t), v (t t) (t);
z Ax By o( )，其中 A, B不依赖于 x, y而仅与 x, y有关， (x)2 (y)2 ，
则称函数z f ( x, y)在点( x, y)可微分，
Ax By称为函数z f ( x, y)在点( x, y)的全 微分，记为dz，即 dz= Ax By.
下一页
函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 则称这函数在 D 内可微分.
t
w t
解
dz z du z dv z
2019年最新-D64全微分-精选文档
z A x B y o () , (x)2(y)2
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，AxBy称为函数 f (x,y)
当 |x|,| y|,|z|很小时，有常见的近似公式
(1 x )(1 y) 1 x y ,
ln 1(x)ln 1(y)x,y arctaxny xy.
1xy
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内容小结
1. 微分定义: (以 zf(x,y)为)例 定义
z fx(x ,y ) x fy(x ,y ) yo()
(x)2 (y)2
(x)2x(yy)2
0
o() 因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
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例1. 计算函数 zexy在点 (2,1) 处的全微分.
解: z ye xy , x
z xexy y
x z(2,1)e2, y z(2,1)2e2
当 |x|,| y|,|z|很小时，有近似公式
f ( x , y , z ) f ( 0 , 0 , 0 ) f x ( 0 , 0 , 0 ) x f y ( 0 , 0 , 0 ) y f z ( 0 , 0 , 0 ) z 于是
1.002 2.00 23 3.003 4
第四节 全微分
第六章
一元函数 y = f (x) 的微分
y A x o ( x )
dyf(x) x 应用 近似计算
本节内容:
一、全微分的定义 二、全微分在近似计算中的应用
全微分的定义与应用
全微分的定义与应用全微分是微积分中的一个重要概念，用于描述函数的微小变化与其自变量的微小变化之间的关系。
在本文中，我们将介绍全微分的定义以及一些常见的应用。
**一、全微分的定义**在微积分中，对于一个具有多个自变量的函数，其全微分可以被定义为函数在某一点处的线性逼近。
假设有一个函数f(x₁, x₂, ..., xn)，其中x₁, x₂, ..., xn为自变量。
在点(a₁, a₂, ..., an)处，函数f的全微分df可以表示为如下形式：df = ∂f/∂x₁ · dx₁ + ∂f/∂x₂ · dx₂ + ... + ∂f/∂xn · dxn其中∂f/∂x₁, ∂f/∂x₂, ..., ∂f/∂xn分别表示函数f对自变量x₁, x₂, ..., xn的偏导数，dx₁, dx₂, ..., dxn表示自变量的微小变化量。
**二、全微分的应用**全微分的应用非常广泛，下面将介绍其中的一些常见应用。
**1. 近似计算**全微分可以用于进行函数值的近似计算。
通过求解函数的全微分，可以将函数在某一点处的微小变化近似表示为自变量的微小变化量与偏导数的乘积之和。
这对于计算复杂函数在某一点处的近似值非常有用。
**2. 极值问题**全微分还可以用于求解函数的极值问题。
对于一个多元函数，函数的局部极值点处，其全微分等于0，即df=0。
通过求解这个方程组可以得到极值点的坐标。
**3. 函数的变化率**全微分还可以用于描述函数的变化率。
对于一个函数f(x₁, x₂, ..., xn)，其全微分可以看作一个量对另一个量的变化率。
这对于分析函数在不同自变量取值情况下的变化规律非常有帮助。
**4. 微分方程的求解**全微分在微分方程的求解中也起到重要作用。
通过对微分方程进行全微分，可以将微分方程转化为更容易求解的形式，从而得到方程的解析解。
**结语**全微分作为微积分中的一个重要概念，在数学和科学研究中有着广泛的应用。
全微分讲义
第三节 全微分一、 全微分的定义及计算定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义。
如果自变量x 和y 在点),(00y x 处分别有增量x ∆和y ∆，则函数相应有增量),(),(0000y x f y y x x f z -∆+∆+=∆ (18)我们称z ∆为函数),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量。
一般说来，计算全增量z ∆比较复杂。
在一元函数微分学中，我们用函数)(x f y =的微分（即函数增量的线性主部）来近似替代函数的增量。
现在对于二元函数),(y x f z =，我们也希望能够用自变量的增量y x ∆∆,的线性函数来近似替代函数的增量z ∆。
为此，引入全微分的概念。
定义 若二元函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域有定义，如果函数的全增量z ∆可写成：)(ρo y B x A z +∆⋅+∆⋅=∆（19）其中B A ,仅与00,y x 有关而与y x ∆∆,无关，()22)(y x ∆+∆=ρ，则称y x ∆⋅B +∆⋅A为函数()y x f z ,=在点),(00y x 处的全微分。
记作),(00y x dz ，即),(00y x dz =y x ∆⋅B +∆⋅A（20）此时，又称函数()y x f z ,=在点),(00y x 处是可微的。
定理 1 如果函数),(y x f z =在点),(00y x 处可微，则（1）),(y x f z =在点),(00y x 处连续；（2）),(00y x f x '和),(00y x f y '都存在，且),(00y x dz =),(00y x f x 'y y x f x y ∆⋅'+∆⋅),(00（21）证 （1） 由于函数),(y x f z =在点),(00y x 处可微，所以函数在点),(00y x 的增量可表示为)(ρo y B x A z +∆⋅+∆⋅=∆而当0,0→∆→∆y x 时，0→ρ，故有0)(→ρo ，因此0lim 00=∆→∆→∆z y x 设yy y x x x ∆+=∆+=00,，则当0,0→∆→∆y x 时，00,y y x x →→，所以()0),(),(lim00),(),(00=-→y x f y x f y x y x ，即),(),(lim 00),(),(00y x f y x f y x y x =→，也即),(y x f z =在点),(00y x 处连续。
全微分的概念与计算
全微分基本公式是dz=z'(x)dx+z'(y)dy。
如果函数z=f(x，y)在(x，y)处的全增量Δz=f(x+Δx，y+Δy)-f(x，y)可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A、B不依赖于Δx，Δy，仅与x，y有关，ρ趋近于0(ρ=√[(Δx)2+(Δy)2])。
全微分定义
全微分是微积分学的一个概念，指多元函数的全增量的线性主部，一个多元函数在某点的全微分存在的充分条件是此函数在该点某邻域内的各个偏导数存在且偏导函数在该点都连续，则此函数在该点可微，存在条件全微分继承了部分一元函数实函数的微分所具有的性质。
但两者间也存在差异，从全微分的定义出发，可以得出有关全微分存在条件的多个定理，充分条件一个多元函数在某点的全微分存在的充分条件是，此函数在该点某邻域内的各个偏导数存在且偏导函数在该点都连续。
第四节,全微分及其应用解析
多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
偏导数
函数可微 偏导数连续
三、全微分的计算
例2 求函数z 2xy3－x2 y6 的全微分.
解 z 2y 3 2x y 6, z 6x y 2 12x 2y 5,
（1） f ( x, y)在点( x0 , y0 )处连续；
（2）
f
x
(
x
,
y
)
、
f
y
(
x
,
y
)在点(
x0
,
y0
)
的
某邻域存在；
（3）z
f
x
(
x,
y)x
f
y
(
x,
y)y
，
当 (x)2 (y)2 0时是无穷小量；
z
（4）
f
x
(
x,
y)x
f
y
(
x,
(x)2 (y)2
y)y
,
当 (x)2 (y)2 0时是无穷小量.
z dz fx ( x, y)x fy ( x, y)y. 也可写成
f ( x x, y y) f ( x, y) fx ( x, y)x fy ( x, y)y.
例 5 计算(1.04)2.02的近似值.
解 设函数 f ( x, y) x y. 取 x 1, y 2, x 0.04, y 0.02.
x
y
故 dz 2y3(1－xy3)dx 6xy2 (1－xy3)dy.
例3 计算函数z exy 在点(1，2)处的全微分.
高等数学课件第八章全微分
则
称为函数
在点 (x, y) 的全微分, 记作
若函数在域 D 内各点都可微,
则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，
处全增量
则称此函数在D 内可微.
(2) 偏导数连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
(1) 函数可微
函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微
由微分定义 :
思考与练习
1. P72 题 1 (总习题八)
函数
在
可微的充分条件是( )
的某邻域内存在 ;
时是无穷小量 ;
时是无穷小量 .
2. 选择题
答案:
也可写作:
当 x = 2 , y =1 , △x = 0.01 , △y = 0.03 时 △z = 0.02 , d z = 0.03
在点 (0,0) 可微 .
备用题
在点 (0,0) 连续且偏导数存在,
续,
证: 1)
因
故函数在点 (0, 0) 连续 ;
但偏导数在点 (0,0) 不连
证明函数
所以
同理
极限不存在 ,
在点(0,0)不连续 ;
同理 ,
在点(0,0)也不连续.
2)
3)
4) 下面证明
可微 :
说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件.
第八章
*二、全微分在数值计算中的应用
应用
第三节
一元函数 y = f (x) 的微分
近似计算
估计误差
本节内容:
一、全微分的定义
全微分
一、全微分的定义
定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )
教学目的全微分的有关概念和意义
教学目的全微分的有关概念和意义全微分是微积分中一个重要的概念，它在许多应用领域中都有着重要的意义。
本文将从定义、性质、应用等方面详细介绍全微分的相关概念和意义。
全微分指的是函数多元微分的一个近似，它是各个偏导数与自变量增量之积的和。
假设有一个函数f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是自变量，而f是因变量。
在其中一点(x1, x2, ..., xn)处，如果各个自变量分别有一个增量Δx1, Δx2, ..., Δxn，那么函数f也会产生一个增量Δf。
全微分df可以近似表示为：df = (∂f/∂x1)Δx1 + (∂f/∂x2)Δx2 + ... + (∂f/∂xn)Δxn其中(∂f/∂xi)表示函数f对变量xi的偏导数。
这个定义说明了全微分是由各个偏导数与自变量增量之积的和得来的。
全微分有以下几个重要性质：1. 对于全微分来说，增量Δx1, Δx2, ..., Δxn 是相对于各个自变量的增量。
这表示全微分考虑了各个自变量的变化对函数值的影响。
2.全微分是函数值的增量Δf的最佳线性近似。
这意味着当Δx趋近于0时，全微分会趋近于Δf。
因此，可以用全微分来近似描述函数值的变化。
3.全微分的值与坐标系的选择无关。
这是因为全微分的定义与具体的坐标系无关，只与函数f及各个偏导数有关。
全微分在实际应用中有着重要的意义，下面介绍几个应用：1.全微分可以用于判断多元函数的微分可能性。
如果一个多元函数在其中一点处是可微的，那么它的全微分一定存在。
判定可微性可以借助于连续性和偏导数的存在性。
2.全微分在物理学中有广泛的应用。
例如，对于物体的运动来说，位置、速度和加速度之间存在微积分关系。
全微分可以帮助建立这些关系，并推导出物体的运动规律。
3.全微分可以用于计算误差传播。
当一个量通过一系列函数关系进行计算时，误差也会逐步传播。
利用全微分，可以计算每个函数对最终结果的误差贡献，从而了解误差是如何传递的。
求函数的全微分
求函数的全微分1. 定义函数的全微分是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在某一点附近的变化情况。
全微分可以看作是函数的线性近似，它描述了函数在某一点的微小变化与自变量的微小变化之间的关系。
在数学中，对于多变量函数f(x1,x2,...,x n)，其全微分可以表示为：df=∂f∂x1dx1+∂f∂x2dx2+...+∂f∂x ndx n其中，∂f∂x i表示函数f对变量x i的偏导数，dx i表示变量x i的微小变化量。
2. 用途函数的全微分在实际问题中具有广泛的应用。
它可以用于描述函数在某一点的变化率，从而帮助我们更好地理解和分析函数的性质。
以下是一些常见的应用场景：2.1 极值分析对于一个多变量函数，我们希望找到使其取得极值（最大值或最小值）的点。
通过求函数的全微分，我们可以得到函数在极值点附近的线性近似表达式，进而分析函数在该点的变化情况。
通过分析函数的全微分，我们可以确定极值点的位置以及极值点的类型（极大值或极小值）。
2.2 优化问题在实际问题中，我们常常需要求解一些优化问题，例如最小化成本、最大化收益等。
函数的全微分可以帮助我们建立数学模型，并通过分析全微分来确定使目标函数取得极值的条件。
通过这些条件，我们可以求解出最优解。
2.3 线性近似函数的全微分可以看作是函数在某一点的线性近似。
通过全微分，我们可以得到函数在该点附近的近似表达式，从而用简单的线性函数来近似描述复杂的非线性函数。
这在实际问题中具有重要的应用，例如在数值计算中，可以用线性近似来简化计算过程。
2.4 误差分析在测量和实验中，我们常常会遇到误差和不确定性。
函数的全微分可以帮助我们分析函数输出的误差与输入的误差之间的关系。
通过分析全微分，我们可以估计误差的传播和累积，从而帮助我们进行误差分析和不确定性评估。
3. 工作方式函数的全微分可以通过偏导数来计算。
具体来说，我们可以按照以下步骤来计算函数的全微分：3.1 计算偏导数首先，我们需要计算函数对每个自变量的偏导数。
全微分
全增量 S 由 y0 x，x0 y，x y 三项组成.
x y
令
比其余两项小得多.
(x) (y ) ，
2 2
当 0时，
即 x y 是比高阶的无穷小， x y o( ).
又因为x0，y0为常数，
所以全增量S 只是x, y 的函数.
z f ( x0 x, y0 y ) f ( x0 , y0 )
可表示为
z Ax By o( ),
其中A，B与 x, y 无关， (x)2 (y )2 , o( ) 是比
高阶的无穷小，则称 Ax By 为函数z=f(x,y)在点
z f ( x0 x, y0 y ) f ( x0 , y0 ).
例1 设矩形金属薄板长为x，宽为y，则面积S=xy.薄板 受热膨胀，长自x0增加x，宽自y0增加 y，其面积相 应增加
S ( x0 x)( y0 y ) x0 y0 y0 x x0 y x y.
微分为
dz f x ( x, y )dx f y ( x, y )dy
或写成
dz z x dx z y dy. (1)
定理2 (全微分存在的充分条件) 设函数z=f(x,y)在点 (x,y)存在连续的偏导数 f x ( x, y ), f y ( x, y ) ，则函数z=f(x,y) 在点(x,y)可微. 例如
函数可微
上面三个定理可以完全推广到三元和三元以上的 多元函数.如三元函数u=f(x,y,z)的全微分存在，则有
du
u x
dx
u y
dy
u z
dz.
例2 求 z x3 y 3x 2 y 3 的全微分.
简述全微分的定义
简述全微分的定义
全微分是微积分中一个重要的概念，是指对于一个多元函数，如果它
的偏导数存在且连续，那么该函数就具有全微分。
全微分的定义可以
从两个方面来解释。
一、从几何意义上来讲，全微分表示函数在某一点处沿着某个方向的
变化率。
具体而言，设函数f(x,y)在点P(x0,y0)处有定义，则在P点附近取一点Q(x0+Δx, y0+Δy)，则f(x,y)在P点处沿着向量(Δx, Δy)的方向上的变化率可以表示为：
df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy
其中∂f/∂x和∂f/∂y分别表示函数在P点处关于x和y的偏导数。
dx
和dy则是向量(Δx, Δy)的坐标变化量。
这个式子就是全微分的定义式。
二、从代数意义上来讲，全微分可以理解为一个线性近似函数。
具体
而言，在P点附近取一小块区域U，对于区域内任意一点(x,y)，都可
以将函数f(x,y)表示为：
f(x,y) ≈ f(x0,y0) + ∂f/∂x (x-x0) + ∂f/∂y (y-y0)
这个式子表示了f(x,y)在P点处的线性近似函数。
将x-x0和y-y0看作自变量的增量，∂f/∂x和∂f/∂y看作函数的导数，则可以将式子写成：
df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy
这个式子就是全微分的定义式。
综上所述，全微分是一个非常重要的概念，它可以从几何意义和代数意义两个方面来理解。
在实际应用中，全微分可以用来计算函数在某一点处沿着某个方向上的变化率，也可以用来进行线性近似计算。
对于工程、物理等领域中的问题求解都有很大帮助。
全微分方程的定义
全微分方程的定义全微分方程（简称PDE）是数学中的一类重要问题，它的定义是描述一个或多个变量（独立变量和通常是依赖变量）之间的间接关系的方程，它用来描述物理现象的演化，这些物理现象可以是静态的，也可以是动态的。
全微分方程的研究范围相当广泛，它可以用来模拟各种物理和化学现象，并且可以用来分析复杂系统和动态系统中的行为。
全微分方程包括泛函微分方程（PDE）和常微分方程（ODE），这两类方程都可以用来描述不同的物理现象，如流体动力学、热力学、电磁学、结构力学等。
它们的基本区别在于，前者通常是多元的并且常常具有很多不同物理现象的描述，而后者则指一类更为少量的物理现象。
对于泛函微分方程，它一般包括一个拉格朗日函数或内积，它与所处理的物理现象（如电磁学，流体动力学等）有关，它还有一个或多个描述相应物理现象的积分型表达式，或者有一个或多个变量量可能是方程中的函数，这种函数可以是分段函数、拟合函数等。
另一方面，常微分方程一般不包含拉格朗日函数，而仅仅依赖某一物理现象的描述函数，变量量（函数）也仅有一个，而且这个变量量（函数）一般只能是连续的。
目前，全微分方程的研究和应用已经包括了更加复杂的问题，如可积性方程组，可偏分耦表达式，可加性分离方程，以及非线性下属方程等。
在这些全微分方程的研究和应用中，都需要用到相应的数学方法和数值计算技术，例如复变函数论，变分技术，积分变换，拟合，神经网络等。
全微分方程是数学和物理之间的重要桥梁，它们已成为研究许多复杂的物理现象和现实应用的有效工具。
从定积分到波动方程，从快速变化系统到复杂连接动力学，全微分方程在科学研究中都起着重要作用。
它们为我们探索物质世界提供了无数机会，帮助我们更好地理解自然界的奥秘。
- 1 -。
高等数学(第三版)课件：全微分
从而
f (x x, y y) f (x, y) f x(x, y)x f y(x, y)y
例4 求(1.98)4.01 的近似值．
解 (1.98)4.0可1 看作函数 z x y在 x x 1.98 y y 4.01的函数值.取 x 2 x 0.02
全微分
一、全微分的定义 二、全微分在近似计算中的应用
一、全微分的定义
1、引例 一矩形金属片,长为 x ,宽为y ,则面积z xy
当边长x, y分别有增量x,y 时,面积的增量为 z (x x)( y y) xy yx xy xy
z称为函数z xy的全增量，记 (x)2 (y)2
y 4, y 0.01
f x(2,4) yx y1 x2 32 f y(2,4) x y ln x x2 11.09
y4
y4
(1.98)4.01 f x(2,4)x f y(2,4)y f (2,4)
32 (0.02) 11.09 0.0116 15.47
在点 (x, y)处必可微．
例１ 求函数 z x y 的全微分．
解
z yx y1 x
z x y ln x y
d z z d x z d y x y
yx y1 d x x y ln x d y
注：关于二元函数全微分的定义及可微分的充
分条件可以完全类似地推广到三元和三元以上
的多元函数.
例２：计算 u
处的两个偏导数 z
x
、yz
必都存在．
(2)函数 z f (x, y) 在点 (x, y) 处可微,则函数在点(x, y)
处连续．
高等数学全微分
z A x B y o( ) ,
其中 A B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关
则称函数 f x y ) 在点( x, y) 可微 Ax By
称为函数 f ( x, y) 在点 x y) 的全微分, 记作：
dz d f Ax By
若函数在域 D 内各点都可微 则称此函数在D 内可微.
δa
S b
δb
S c
δc
1 b sin C 2
a 12.5, b 8.3, C
故绝对误差约为
δ
a
1 2
30,
a sin C δ a δ
δ
b
b 0.1201a, bδcCosC18δ0C0
又
1 12.5 8.3 sin 30 25.94
2
所以 S 的相对误差约为
例6.在直流电路中 测得电压 U = 24 伏 相对误差为 0.3; 测得电流 I = 6安 相对误差为 0.5 , 求用欧姆 定律计算电阻 R 时产生的相对误差和绝对误差 .
f x (0,0,0)
3
x cos
x
x
0
1 4
利用轮换对称性 可得
f y (0,0,0)
f z (0,0,0)
1 4
d f (0,0,0) f y (0,0,0) d x f y (0,0,0) d y f z (0,0,0) d z
1 (d x d y d z) 4
机动 目录 上页 下页 返回 结束
偏导数存在
2) 偏导数连续
函数可微
定理1必要条件) 若函数 z = f x y) 在点(x, y) 可微
则该函数在该点偏导数
必存在且有
d z z x z y x y
§8.3全微分
有关, 则称函数z=f(x, y)在点(x, y)可微分(简称可微),
称Ax+By为函数z=f(x, y)在点(x, y)的全微分, 记为dz,
即
dz = Ax + By
函数z=f(x, y)若在某区域D内各点处处可微分, 则 称函数z=f(x, y)在D内可微分.
22
dx (1 cos y ze yz )dy ye yzdz. 22
例3: 试证函数
f
(
x,
y)
xysin
1 x2 y2
( x, y) (0,0)
0
( x, y) (0,0)
在点(0, 0)处连续且偏导数存在, 但偏导数在点(0, 0)处
不连续, 而函数 f(x, y)在点(0, 0)处可微.
=[ f(x+x, y+y) – f(x, y+y)]
+[ f(x, y+y) – f(x, y)]
对第一个方括号内的表达式在以 x 和 x+x 为端
点构成的区间内应用拉格朗日中值定理(此时将y+y
视为常量), 得
f(x+x, y+y) – f(x, y+y)
= fx(x+1x, y+y)x ( 0<1<1 ) = fx(x, y)x + 1x (依偏导数的连续性) 其中, 1为x→0, y→0时的无穷小量. 同理, f(x, y+y) – f(x, y)
所求全微分为: dz e2dx 2e2dy.
例2: 计算函数 u x sin y e yz 的全微分.
一、全微分的定义
当 (Δx)2 + (Δy)2 → 0时是无穷小量；
Δz −
（4）
f
′
x
(
x,
y
)Δx
−
f
′
y
(
x
,
y
)Δy
,
(Δx)2 + (Δy)2
当 (Δx)2 + (Δy)2 → 0时是无穷小量.
练习题
一 、填 空题:
1、设 z = ln tan x ,则 ∂z = ________; ∂z = _________.
第三节全微分的偏微分二元函数由一元函数微分学中增量与微分的关系得一全微分的定义如果函数的某邻域内有定义并设为这邻域内的任意一点则称这两点的函数值之差为函数在点p对应于自变量增量全增量的概念如果函数全微分记为dz即dz内可微分
第三节 全微分
一、全微分的定义
由一元函数微分学中增量与微分的关系得
f ( x + Δx, y) − f ( x, y) ≈ fx ( x, y)Δx
例 3 计算函数u = x + sin y + e yz 的全微分. 2
多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
函数可导
函数可微 偏导数连续
三个重要反例
偏导数存在，但不连续。
f
(
x,
y)
=
⎧ ⎪ ⎨
x2
xy +
y2
,
⎪⎩0,
x2 + y2 ≠ 0 x2 + y2 = 0
⎧ xy
偏导数存在，但不可微。
f
Δz = AΔx + BΔy + o(ρ )
函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 则称这函数在 D 内可微分.
全微分的条件
全微分的条件一、什么是全微分？全微分是微积分中的一个重要概念，它描述了一个函数在某一点附近的变化情况。
全微分常用于描述函数在极小的局部范围内的变化，是微积分中重要的工具之一。
全微分可以看作是一个函数在一个点上的局部线性逼近。
二、全微分的定义设函数z=f(x,y)在点(x,y)的某个邻域内有定义，则函数f(x,y)在点(x,y)处的全微分为：dz=f′(x,y)Δx+f′(x,y)Δy其中f′(x,y)表示函数f(x,y)在点(x,y)处的偏导数。
三、全微分的条件1. 方程存在偏导数要求函数f(x,y)在考察的点(x,y)附近的某个邻域内存在一阶偏导数，即偏导数存在有限值。
如果偏导数不存在或者存在无穷大的值，则该函数在该点处不存在全微分。
2. 全微分等于偏导数的线性组合函数f(x,y)在点(x,y)的全微分必须等于其偏导数的线性组合，即：dz=∂z∂xΔx+∂z∂yΔy其中∂z∂x 和∂z∂y分别表示函数f(x,y)对变量x和y的偏导数。
3. 全微分的局部线性逼近全微分可以看作是一个函数在一个点上的局部线性逼近，即当(Δx,Δy)趋近于(0,0)时，全微分趋近于0。
换句话说，函数在某一点处的全微分是函数在该点处的切线方程在一个很小的邻域内对应的函数值的变化量。
4. 全微分的连续性在函数f(x,y)的定义域内，如果函数的偏导数∂z∂x 和∂z∂y在某点连续，则该函数在该点处存在全微分。
偏导数连续是全微分的一个充分条件。
四、全微分的应用全微分的应用十分广泛，特别在物理学和工程领域中被广泛应用。
它可以用于描述物理量之间的关系，例如物体的位移与时间之间的关系、电路中电压与电流之间的关系等。
全微分也是微积分中其他重要概念的基础，例如偏导数、最小二乘法等。
五、总结全微分是微积分中的重要概念，描述了一个函数在某一点处的局部变化情况。
全微分的条件主要包括方程存在偏导数、全微分等于偏导数的线性组合、全微分的局部线性逼近和全微分的连续性。
804全微分的概念及其性质
画面比例16:9
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建议老师用这几种颜色多元函数微分学
804全微分的概念及其性质
（重点文字）
全微分的概念及其性质
全微分的定义以及可微的必要条件与充分条件内容提要
理解全微分的定义以及可微的必要条件与充分条件教学要求
建议老师用这几种颜色
（重点文字）
排版右侧尽量三分之一留白画面比例16:9
判断可微的步骤
掌握判断可微的步骤
全微分的定义
建议老师用这几种颜色
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建议老师用这几种颜色
（重点文字）
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一、全微分的定义
全微分的定义:
全微分的充分条件与必要条件
建议老师用这几种颜色
（重点文字）
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建议老师用这几种颜色
（重点文字）
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二、全微分的充分条件与必要条件
注:偏导数连续可以推出可微, 但是可微不能推出偏导数连续.定理:
分为
注:可微可以推出偏导数存在, 但是偏导数存在不能推出可微.
判断可微的步骤
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建议老师用这几种颜色
（重点文字）
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步骤:
建议老师用这几种颜色
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例:
解:。
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e t cos t e t sin t cos t
e t (cos t sin t ) cos t .
下一页
上定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况： z f [ ( x , y ), ( x , y )].
( x, y) 如果u ( x , y ) 及v ( x , y ) 都在点
当u 0 ，v 0 时， 1 0 ， 2 0
z z u z v u v 1 2 t u t v t t t
当t 0 时， u 0 ，v 0
u du , t dt
下一页
v dv , t dt
z z u z v y u y v y u u e sin v x e cos v 1 e u ( x sinv cos v ).
下一页
• • • • • • • •
课堂练习与习题 6-4 1、选一 7 6-5 2 4 6、选一
dz z du z dv ． dt u dt v dt
证 设 t 获得增量 t，
则 u ( t t ) ( t ), v ( t t ) ( t );
下一页
由于函数 z f ( u, v ) 在点( u, v ) 有连续偏导数
z z z u v 1 u 2 v , u v
事实上 z Ax By o( ), lim z 0,
0
x 0 y 0
lim f ( x x , y y ) lim[ f ( x , y ) z ]
0
f ( x, y)
下一页
故函数 z f ( x , y ) 在点( x , y ) 处连续.
f (1,2) 1,
f x ( x , y) yx
y 1
,
f y ( x , y) x y ln x ,
f x (1, 2) 2,
f y (1, 2) 0,
由公式得 (1.04) 2.02 1 2 0.04 0 0.02 1.08.
三、小结 １、多元函数全微分的概念； ２、多元函数全微分的求法； ３、多元函数连续、可导、可微的关系．
dz z z du z dv lim . dt t 0 t u dt v dt
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 如
dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
z
dz 以上公式中的导数 称为全导数. dt
Ax By 称为函数 z f ( x , y )在点( x , y )的全 微分，记为 dz ，即 dz = Ax By .
下一页
函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 则称这函数在 D 内可微分.
如果函数z f ( x , y ) 在点( x , y ) 可微分, 则 函数在该点连续.
也可写成
f ( x x , y y ) f ( x , y ) f x ( x , y ) x f y ( x , y ) y.
下一页
例3
计算 (1.04) 2.02的近似值.
解
设函数 f ( x, y) x .
y
下一页
取 x 1, y 2, x 0.04, y 0.02.
6.4
全微分
一、全微分的定义 由一元函数微分学中增量与微分的关系得
f ( x x , y ) f ( x , y ) f x ( x, y )x
f ( x , y y ) f ( x , y ) f y ( x , y ) y
二元函数 对 x 和对 y 的偏增量
下一页
4 4
下一页
全微分在近似计算中的应用
当二元函数 z f ( x , y) 在点 P ( x , y) 的两 个偏导数 f x ( x , y), f y ( x , y) 连续，且 x , y 都较小时，有近似等式
z dz f x ( x, y)x f y ( x, y)y.
具有对x 和y 的偏导数，且函数 z f ( u, v ) 在对应 点( u, v ) 具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x , y ), ( x , y )]在对应点( x , y ) 的两个偏
导数存在，且可用下列公式计算
z z u z v z z u z v ， . x u x v x y u y v y
y 的偏导数，复合 x 和 w w( x , y ) 都在点( x , y ) 具有对
函数 z f [ ( x , y ), ( x , y ), w( x , y )] 在对应点( x , y ) 两个偏导数存在，且可用下列公式计算
z z u z v z w , x u x v x w x z z u z v z w . y u y v y w y
通常我们把二元函数的全微分等于它的 两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分 符合叠加原理． 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
u u u du dx dy dz. x y z
叠加原理也适用于二元以上函数的情况．
下一页
多元函数连续、可偏导、可微的关系 函数连续 函数可偏导
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z
u v w
x
y
例 2 设 z e u sin v ，而 u xy ， v x y ，
z z 求 和 . x y
解
u
z
x
y
z z u z v x u x v x
v
e u sin v y e u cos v 1 e u ( y sinv cos v ),
二元函数 对 x 和对 y 的偏微分
全微分的定义
如果函数 z f ( x , y )在点( x , y )的全增量 z f ( x x , y y ) f ( x , y ) 可以表示为 z Ax By o( )，其中 A, B不依赖于
x , y 而仅与 x , y 有关， ( x )2 ( y )2 ， 则称函数 z f ( x , y )在点( x , y )可微分，
下一页
为
一元函数在某点的导数存在
微分存在．
多元函数的各偏导数存在
全微分存在．
xy 2 2 x y 例如， f ( x , y ) 0
x2 y2 0
2 2
.
x y 0
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在点(0,0) 处有
f x (0,0) f y (0,0) 0
极限不存在！不连续！不可微！
（注意：与一元函数有很大区别）
下一页
6.5
复合函数微分法 与隐函数微分法（一）
下一页
一、链式法则
定理 如果函数 u ( t ) 及 v ( t ) 都在点 t 可 导， 函数 z f ( u, v )在对应点( u, v ) 具有连续偏导 数，则复合函数 z f [ ( t ), ( t )]在对应点 t 可 导，且其导数可用下列公式计算：
其逆否命题是什么？
二、可微的条件
定理 1（必要条件） 如果函数z f ( x , y ) 在点
z ( x , y ) 可微分，则该函数在点( x , y ) 的偏导数 、 x z 必存在，且函数 z f ( x , y ) 在点( x , y ) 的全微分 y
z z dz x y ． x y
函数可微 偏导数连续
下一页
例 1 计算函数z e xy 在点( 2,1) 处的全微分.
解
z xy ye , x
z xy பைடு நூலகம்xe , y
z z 2 2 e , 2e , x ( 2 ,1 ) y ( 2,1)
所求全微分 dz e 2dx 2e 2dy.
下一页
例 2 求函数 z y cos( x 2 y ) ，当x ，y ， 4
下一页
链式法则如图示
u
z
x
y
下一页
v
z z u z v , x u x v x
z z u z v . y u y v y
同线相乘，分线相加
类似地再推广，设u ( x , y ) 、v ( x , y ) 、
结束
dx
解
4
，dy 时的全微分.
z y sin( x 2 y ), x z cos( x 2 y ) 2 y sin( x 2 y ), y
dz ( , )
4
z z 2 dx dy ( 4 7 ). x ( , ) y ( , ) 8
•说明： •多元函数的各偏导数存在并不能保 证全微分存在。
定理２（充分条件） 如果函数z f ( x , y ) 的偏
z z ( x, y) 导数 、 在点( x , y ) 连续，则该函数在点 x y
可微分．
下一页
z z 习惯上，记全微分为 dz dx dy. x y
u v w
t
下一页
同线相乘，分线相加
例 1 设 z uv sin t ，而 u e t ， v cos t ，
dz 求全导数 . dt
解
z
dz z du z dv z dt u dt v dt w
u v w t
t
ve u sin t cos t