多自由度系统的受迫振动
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4-第4章 多自由度体系的振动分析
T ( , , , ) 可求得其位移幅值向量为 i 1i 2i 3i ni
n个自由度体系——可得到n个线性无关的位移幅值向量：
k11 2 m1 k12 k 21 k 22 2 m 2 k n1 kn2
k1n k2n 0 k nn 2 m n
将频率方程展开，可得到关于2 的 n 次代数方程。
从频率方程可解得n 个正实根
ω2 i 开方得到各阶频率：
2 ω ； i
ω (1 2 n )T
CY KY F (t ) MY E
m1 0 质量矩阵 0 m 2 M 0 0 0 0 mn
CY ] Y P [ MY
k11 k12 刚度矩阵 k 21 k 22 K k n1 k n 2 11 12 柔度矩阵 21 22 n1 n 2
第 i 个振型方程：
k11 2 k12 i m1 2 k k 2 21 22 i m2 ( K i M ) i kn2 k n1
1i k1n 2i k2n 0 2 k nn i mn ni
(K 2 M) 0
振型方程：
(K 2M) 0
（ 4-8）
如果方程存在非零解，则系数行列式必为零，即：
K 2 M 0
k11 2 m1 k12 k 21 k 22 2 m 2 k n1 kn2
称为频率方程或特征方程。
（ 4-9）
2
（ 4-13）
求解一元二次方程得：
结构动力学之多自由度体系的振动问题
3 13.027
2.760 3.342 1
0.163
0.924
2.76
柔度法
利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：
由刚度法振幅方程：
令λ=1/ω2 得频率方程：
( [K]－ω2 [M] ){Y}={0}
前乘[K]－1=[δ]后得： ( [I ]－ω2 [δ] [M] ){Y}={0} ( [δ] [M] － λ [I ] ){Y}={0} ┃ [δ] [M] － λ [I ] ┃=0
刚度法
2）如果初始条件是任意的，则任其自然 后， 系统所发生的振动就不是按主振型的简谐自由 振动，而是复杂的周期振动，这时可以用各阶 主振动的线性组合来描述它，也就是说其通解 表为各个特解之和，即
y j sin( j t v j )
j 1 n
所以系统的任意振动可以表示为各个主振动 的叠加。
Yij为正时表示质1 1.293 5Y11 6.70Y21 3 0 量mi的运动方向与单 3Y 1.707 0
21
Y
(1)
0.163 0.569 1
0.569
5Y13 5.027Y23 3 0 (1) Y 3Y21 10.027 0 3.342 1.227
1 1 4 0 , m m 2 9
展开得: 解之:
3 15 2 42 30 0
ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151
1 m
三个频率为：
1 0.2936
1 1 3 0.9319 m m 3）求主振型： （令Y3i=1）将λ1代入振型方程： （[δ] [M ]－λ1[I]）{Y}＝0的前两式：
2.760 3.342 1
0.163
0.924
2.76
柔度法
利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：
由刚度法振幅方程：
令λ=1/ω2 得频率方程：
( [K]－ω2 [M] ){Y}={0}
前乘[K]－1=[δ]后得： ( [I ]－ω2 [δ] [M] ){Y}={0} ( [δ] [M] － λ [I ] ){Y}={0} ┃ [δ] [M] － λ [I ] ┃=0
刚度法
2）如果初始条件是任意的，则任其自然 后， 系统所发生的振动就不是按主振型的简谐自由 振动，而是复杂的周期振动，这时可以用各阶 主振动的线性组合来描述它，也就是说其通解 表为各个特解之和，即
y j sin( j t v j )
j 1 n
所以系统的任意振动可以表示为各个主振动 的叠加。
Yij为正时表示质1 1.293 5Y11 6.70Y21 3 0 量mi的运动方向与单 3Y 1.707 0
21
Y
(1)
0.163 0.569 1
0.569
5Y13 5.027Y23 3 0 (1) Y 3Y21 10.027 0 3.342 1.227
1 1 4 0 , m m 2 9
展开得: 解之:
3 15 2 42 30 0
ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151
1 m
三个频率为：
1 0.2936
1 1 3 0.9319 m m 3）求主振型： （令Y3i=1）将λ1代入振型方程： （[δ] [M ]－λ1[I]）{Y}＝0的前两式：
4.3多自由度有阻尼体系的受迫振动
1.Rayleigh阻尼
C = M K
（4.62）
式中，， 为比例常数，这时，系统的各振型关于阻尼矩阵正交。即
X T CX i X T ( M K ) X i X T MX i X T KX i j j j j
0 2 c j ( j )m j
对于初始条件q(0)和q(0)，可以式（4.60）求得：
X iT Mu (0) X iT Mu (0) qi (0)= , qi (0)= Mi Mi
（4.78）
u Xq X i qi
i 1
n
（4.55）
上述求解方法是将运动方程的解用振型的线性叠加来表示，称振型叠加法。
振型叠加法思路：
c11 c12 c 21 c22 C ci1 ci 2 cn1 cn 2
c1n c2 n cij cin cnn
（4.61）
式中，Cij为j质点单位速度对质点i所产生的阻尼力。
关于阻尼矩阵却不满足正交条件，因此在一般情况下，只能得到关于振 型坐标的一组相互耦联的微分方程。为了便于方程组解耦，使振型关于 阻尼矩阵正交，现介绍以下两种多自由度体系中的阻尼假设。
n 1
C 0 M 1K 2 KM 1K M m ( M 1K )m （4.67）
m 0
式中， 0，1， 2， ， n 1为n个待定常数。利用广义正交性可以证明Caughey阻 尼矩阵满足正交性，即i j时，
X iT CX i X iT M m ( M 1K ) m X i 0
(i j ) (i j )
（4.63）
式中，c为第j阶振型的广义阻尼系数。从上式可以求出第j阶振型的阻尼比 j
3.5多自由度系统的受迫振动
• 系统对简谐力激励的响应
多自由度系统受到外力激励所产生的运动为受迫运动
设 n 自由度系统沿各个广义坐标均受到频率和相位相同
的广义简谐力的激励
系统受迫振动方程：
MX KX
F0eit
X Rn
M，K Rnn
复数列阵
实部和虚部分别为余弦或正旋激励的响应 F0 Rn1
：外部激励的频率
F0 ：广义激励力的幅值列阵
《机械动力学》
9
多自由度系统振动 / 多自由度系统的受迫振动
x1
x2
k1
k2 m1
k2
2
k2
1
k2
m2
2
F0
0
F0
()
k2
m2 2
k2
() ：系统的特征多项式
() K 2M
() (k1 k2 m12 )(k2 m22 ) k22 m1m24 (k1m2 k2m1 k2m2 )2 k1k2
当 k2 时
m2
外部激励频率等于吸
振器的固有频率
F0 sin t
主系统不再振动 x1 0 反共振
此时
(
)
k
2 2
吸振器振幅
x2
F0 k2
m2 k2
m1 k1
主系统上受到的激振力恰好被来自吸振器的弹性恢复力平衡
x2 x1
2021/4/24
《机械动力学》
10
多自由度系统振动 / 多自由度系统的受迫振动
MX KX F0eit X Rn H [K 2 M ]1
X Xeit
K 2 M X F0
X HF0
因此： X HF0eit
n
H 的物理意义： 沿 i 坐标的投影式： X i Hij F0 j
多自由度系统受到外力激励所产生的运动为受迫运动
设 n 自由度系统沿各个广义坐标均受到频率和相位相同
的广义简谐力的激励
系统受迫振动方程：
MX KX
F0eit
X Rn
M，K Rnn
复数列阵
实部和虚部分别为余弦或正旋激励的响应 F0 Rn1
：外部激励的频率
F0 ：广义激励力的幅值列阵
《机械动力学》
9
多自由度系统振动 / 多自由度系统的受迫振动
x1
x2
k1
k2 m1
k2
2
k2
1
k2
m2
2
F0
0
F0
()
k2
m2 2
k2
() ：系统的特征多项式
() K 2M
() (k1 k2 m12 )(k2 m22 ) k22 m1m24 (k1m2 k2m1 k2m2 )2 k1k2
当 k2 时
m2
外部激励频率等于吸
振器的固有频率
F0 sin t
主系统不再振动 x1 0 反共振
此时
(
)
k
2 2
吸振器振幅
x2
F0 k2
m2 k2
m1 k1
主系统上受到的激振力恰好被来自吸振器的弹性恢复力平衡
x2 x1
2021/4/24
《机械动力学》
10
多自由度系统振动 / 多自由度系统的受迫振动
MX KX F0eit X Rn H [K 2 M ]1
X Xeit
K 2 M X F0
X HF0
因此： X HF0eit
n
H 的物理意义： 沿 i 坐标的投影式： X i Hij F0 j
第4章：多自由度系统的振动
2 2 k m k m 11 11 12 12 0 2 2 k m k m 21 21 22 22
频率方程:
4 2 a b c 0
第4章 多自由度系统的振动
( 4 . 1 . 10 )
2 2 a m m m , c k k k k m k m 2 k m , 1122 12 b 11 22 12 11 22 22 11 12 12
特征根—固有频率:
( b b 4 ac 4 . 1 . 11 )
2 1 a 1 , 2 2 2
1—第一阶固有频率： 代入齐次方程组 (4.1.9)，得
2 2 A k m k m 21 11 111 21 1 21 1 2 2 A k m k m 11 12 112 22 1 22
k1x1
c 1 x 1
m 1 x1
k2 (x2 x1)
F1(t)
2 x 1) c 2(x
k
1
x1 (t )
k
c
x 2 (t)
k
c
m
3
1
m
c1
1
m
2
2
3
x2 k2 (x2 x1) m 2
2 x 1) c 2(x
k3 x2
F 2 (t)
(a)
m
2
图4.1.1 两个自由度系统的受迫振动
x ( t ) φ q ( t )
( 4 . 1 . 16 )
—模态矩阵或振型矩阵， q(t)—广义位移矢量 。
第4章 多自由度系统的振动
四个待定常数： 四个初始条件：
A1 1 A12
频率方程:
4 2 a b c 0
第4章 多自由度系统的振动
( 4 . 1 . 10 )
2 2 a m m m , c k k k k m k m 2 k m , 1122 12 b 11 22 12 11 22 22 11 12 12
特征根—固有频率:
( b b 4 ac 4 . 1 . 11 )
2 1 a 1 , 2 2 2
1—第一阶固有频率： 代入齐次方程组 (4.1.9)，得
2 2 A k m k m 21 11 111 21 1 21 1 2 2 A k m k m 11 12 112 22 1 22
k1x1
c 1 x 1
m 1 x1
k2 (x2 x1)
F1(t)
2 x 1) c 2(x
k
1
x1 (t )
k
c
x 2 (t)
k
c
m
3
1
m
c1
1
m
2
2
3
x2 k2 (x2 x1) m 2
2 x 1) c 2(x
k3 x2
F 2 (t)
(a)
m
2
图4.1.1 两个自由度系统的受迫振动
x ( t ) φ q ( t )
( 4 . 1 . 16 )
—模态矩阵或振型矩阵， q(t)—广义位移矢量 。
第4章 多自由度系统的振动
四个待定常数： 四个初始条件：
A1 1 A12
高等结构动力学 多自由度系统的振动
(i n
)
]T
An
[] [{}(1) {}(2)
{}(n1) ]——模态矩阵
系统按第i阶固有频率所作的振动称作系统的第 i 阶主振动.
{x}(i) i{}(i) sin(it i )
其中 i 为i 任意常数，取决于初始运动条件。
例
K
x1
K
x2 K
x3
m
m
m
m
0
0 m
0 0
2.当 0 时
X1 1P X 2 2P
m121X1 (m222 1/ 2 ) X 2 2P / 2
解方程,得
X1
1
X2
2
其中
(m1112 1) X1 m212 X 22 1P
2m121X1 (2m222 1) X 2 2P
3.当 时 X1 0 X 2 0
§3.4简谐荷载作用下无阻尼系统的受迫振动分析
1
1
m2
k2
和弹簧 为辅助系统，称
m2
x2
k2
m1
x1
F sint
k1
m1
0
0 m2
x1 x2
k1 k2
k2
k2 k2
x1 x2
F
0
sin
t
设其稳态响应为
x1 x2
X1 X2
sin
t
(k1 k2 2m1)(k2 2m2 ) k22
X 2 21(P I1) 22I2
X1 I1 / m1 2 X 2 I2 / m22
P sin t
m1
m2
l / 3 x1 lE/I3x2 l / 3
P
X1 I1
X2 I2
12.9_多自由度体系在任意动力荷载作用下的强迫振动
各层振幅值为
All Rights Reserved
0.028
Y 0.045 mm
0.23
可见,两种方法计算结果相同。
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20 0
103
m
0.045 0.230
mm
负号表示当荷载向右达到幅值时，位移向左达到幅值。
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解法二:采用振型叠加法求解
(1)求自振频率和振型：
由例12-26，已求出
w1 13.47 s 1 w2 30.1 s1
w3 46.6 s1
0.333 0.664 4.032
Y 0.667 0.663 3.022
1
1
1
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(2)计算广义质量：
由 M i Y (i) T [M ] Y (i) ，可得
0.333
T
270
0
0 0.333
M1
0.667
0
t
1 0 0 180 1
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(3)计算广义荷载：
由 Fi t Y (i) T [FP t] ，可得
0.333 T 0
F1t
0.667
20
sin
t
13.34
sin
t
kN
1 0
0.664
T
0
F2 t
0.663
20
sin
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(5)计算各楼层的位移：
05-3 多自由度系统的受迫振动
(2)固有频率 特征方程：
B [ K ] 2 [M ] 3K 2 m 2K 0 2K 3K 2 m K
2
燕山大学
Yanshan University
0 K K 2 2 m
3
0
展开并整理得：
K 4 K 2 K 6.5 7.5 0 m m m
1 振型矩阵： P 1.4235 2.0523
1 0.8544 0.5399
1.0279 0.1128 1
正则振型矩阵 主质量矩阵：
燕山大学
Yanshan University
1 1 1 1.4235 2.0523 m 0 0 1 T 0 m 0 1.4235 0.8544 1.0279 1 0.8544 0.5399 M P P M P 1 1.0279 0.1128 0 0 2m 2.0523 0.5399 0.1128 0 0 11.4502 m 0 2.3130 0 0 2.0820 0
燕山大学
Yanshan University
F0 x x sin t m
2 n
F0 x 2 m 2 sin t n
系统正则响应方程：
Q 1 1 2 2 sin t n1 Q 2 sin t 2 2 2 n 2 Q n sin t n 2 2 nn
5.3
多自由度系统的受迫振动
燕山大学
Yanshan University
5.3.1 无阻尼系统的受迫振动 无阻尼系统受迫振动运动方程：M K x Q(t ) x 式中:
多自由度系统的受迫振动
则由 ( 2 ) 0
动力吸振器
动力吸振器
动力吸振器
1 c c x 1 k1 k2 x m1 0 0 m 2 k 2 c c x 2 x2 k2 x1 F0 sin t k2 x2 0
主系统振幅并不为零但是和无阻尼系统的两个共振振幅相比共振振幅明显下降3216模态叠加法17模态叠加法18模态叠加法19模态叠加法20多自由度系统的受迫振动21多自由度系统的受迫振动22多自由度系统的受迫振动23多自由度系统的受迫振动24多自由度系统的受迫振动25多自由度系统的受迫振动26多自由度系统的受迫振动27多自由度系统的受迫振动28多自由度系统的受迫振动29有阻尼的多自由度系统振动30有阻尼的多自由度系统振动31有阻尼的多自由度系统振动32有阻尼的多自由度系统振动33有阻尼的多自由度系统振动34有阻尼的多自由度系统振动35有阻尼的多自由度系统振动36有阻尼的多自由度系统振动37有阻尼的多自由度系统振动38有阻尼的多自由度系统振动39有阻尼的多自由度系统振动40有阻尼的多自由度系统振动41有阻尼的多自由度系统振动42有阻尼的多自由度系统振动43有阻尼的多自由度系统振动44有阻尼的多自由度系统振动45有阻尼的多自由度系统振动461
多自由度系统的受迫振动
•系统对简谐力激励的响应 •动力吸振器 •模态叠加法
•系统对任意激励力的响应
系统对简谐力激励的响应
回顾：
cx kx F0eit x 单自由度系统的受迫振动 m x 为复数变量，分别与F0 cost和 F0 sin t 相对应
x H () F0 H ( ) 复频响应函数 引入： s c 2 1 1 s 2si 0 2 km H ( ) [ ] 2 2 2 k (1 s ) (2s) 1 ( s) 1 (1 s 2 ) 2 (2s) 2 e i k 2s ( s ) arctan 1 s2
《振动力学》7多自由度系统振动(c)
X ∈ Rn
φ 有非零解的充要条件： K − ω 2 M = 0
若ω =0 必有： K = 0
结论： K 为奇异矩阵是零固有频率存在的充要条件，满足此条 件时系统的刚度矩阵 K 是半正定的 。 ω =0 Kφ = 0 说明当半正定系统按刚体振型运动时，不发生弹性变形，因此 不产生弹性恢复力 。
3
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
5
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
例：教材P100习题4.14（不考虑阶梯力的作用）
k m m k m k m
T 初始条件： X 0 = [0 0 0 0]
& X 0 = [v 0 0 v]T 求系统响应
&& MX + KX = 0
解： 方法一
动力方程 :
x ⎡m 0 0 0 ⎤ ⎡ &&1 ⎤ ⎡ 1 − 1 0 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢ 0 m 0 0 ⎥ ⎢ && ⎥ ⎢− 1 2 − 1 0 ⎥ ⎢ x ⎥ x2 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ 2 ⎥ = 0 + k⎢ ⎢ 0 0 m 0 ⎥ ⎢ &&3 ⎥ ⎢ 0 − 1 2 − 1⎥ ⎢ x3 ⎥ x ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ x ⎣ 0 0 0 m⎦ ⎣ &&4 ⎦ ⎣ 0 0 − 1 1 ⎦ ⎣ x4 ⎦
sin ω3t
12
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
x1 =
1
ω3
sin ω3t
x2 = −
1
ω3
sin ω3t
x3 = −
1
ω3
sin ω3t
x4 =
1
第2章——多自由度系统的振动——强迫振动
船体振动基础1第2章多自由度系统的振动第章多自由度系统的振一、引言二、两自由度系统的振动2正则振型上节课内容的回顾⎪⎫⎪⎧)(1i Φ⎪⎫⎪⎧)()(1)(i n i ΦΦ⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎨=Φ)(2)(i i ΦM 取1)(=i n Φ⎪⎪⎪⎬⎪)()(2)(i n i ΦΦM上节课内容的回顾1=pi iM c 2=1=书上例题P49：例2.9¾振动方程组解耦F1F2k1k2m1m k3两自由度弹簧-质量(1) 21211F kx kx xm =−+&&(2) 22212F kx kx xm =+−&&(2)－(1)：121212)(3)(F F x x k x x m −=−+−&&&&(2)＋(1)：&&&&121212)()(F F x x k x x m +=+++121x x y −=F F Q −=122x x y +=引入坐标变换：定义广义力：122121F F Q +=m +&&1113Q ky y =222Q ky y m =+&&质量矩阵和刚度矩阵同时为对角矩阵:[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=m m M 00[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=k k K 003质量矩阵和刚度矩阵的形式与坐标选取有关上节课内容的回顾¾通过选取坐标系直接使质量矩阵和刚度矩阵同时为对角矩阵难以实现。
¾通过坐标变换使振动微分方程组质量矩阵和刚度矩阵同时对角化（解耦）——振动模态分析的基本思路。
•系统的振动表示为所有n个主振动的叠加¾对多自由度系统振动求响应求解的类型：无阻尼振动系统对初始条件的响应无阻尼振动系统对任意激励的响应有阻尼振动系统对各种激励的响应（简谐激励、周期激励、任意激励）阻尼的表达与处理：一、什么情况下需要讨论阻尼的影响？1、系统的阻尼很小，而且激励频率又远离共振频率，阻尼效应影响很小，可以忽略不计。
多自由度强迫振动
Psinqt
m2 k2
m1
k1
P k2 选定k 2 , 再确定m2 2 . Y2 q 吸振器不能盲目设置，必须在干扰力使体系产生较大振动时才 有必要设置。
15
对于n个自由度体系强迫振动方程 .. m1 y1 k11 y1 k12 y 2 ... k1n y n P (t ) 1 .. m2 y 2 k 21 y1 k 22 y 2 ... k 2 n y n P2 (t ) .......... .......... .......... .......... .......... ...... .. mn y n k n1 y1 k n 2 y 2 ... k nn y n Pn (t )
1 m kq 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
层间动剪力:
Q1 1
q 2m
k
( 1 2 )
Q1 P q 2 m(Y1 Y2 ) q 2m P(1 ( 1 2 )) k
由此可见，在多自由度体系中，没有一个统一的动力系数。
14
例：
Pk2 P k 2 q 2 m2 Y2 Y1 D0 D0 2 D0 (k1 k2 q 2 m1 )( k2 q 2 m2 ) k2
例：图示简支梁EI=常数,θ=0.75ω1求动位移幅值和动弯矩幅值。 P sinq t 解：1)求柔度系数
3l 3 7l 3 11 22 , 12 21 256 EI 768 EI 16 ml 3 ml 3 1 ( 11 12 )m 768 EI 48 EI 2ml 3 ml 3 2 ( 11 12 )m 768 EI 384 EI
各简谐荷载频率相同,相位 相同，否则用其他方法
第三章 多自由度系统振动
U = U ( q1 , q2 ,..., qn )
通常将静平衡位置作为势能零点， 并且以静平衡 通常将静平衡位置作为势能零点， 位置为坐标原点。 位置为坐标原点。 我们研究的是在静平衡位置附 近的微振动， 近的微振动，则将 U 在静平衡位置作泰勒展开有
∂U U = U0 + ∑ i =1 ∂qi
0
q
对应的广义力，阻尼力，耗散力。 对应的广义力，阻尼力，耗散力。系统的第 k 个 质点受到的阻尼力
& Rk = − β k ⋅ rk
与势能形式上对应存在一个耗散函数
m n 1 ∂rk dqi n ∂rk dq j 1 & & Φ = ∑ β k ⋅ rk ⋅ rk = ∑ β k ⋅ ∑ ⋅ ⋅∑ ⋅ dt j =1 ∂q j dt k =1 2 k =1 2 i =1 ∂qi
kn 2 − mn 2ωi2 ) ⋅ ϕ 2i + ... + ( knn − mnnωi2 ) ⋅ ϕ ni = ( mn1ωi2 − kn1 ) ϕ1i (
n − 1 个方程，n − 1 未知数， 个方程， 未知数， 最终可求出 ϕ2i ,..., ϕni 用 ϕ1i
表示，其余都与其成一定比例。 表示，其余都与其成一定比例。 与其成一定比例
系统的能量等于各阶主振动的能量之和不同阶之间能量不发生变换每一阶主振动的动能和势能在内部交换总和保持常数34多自由度系统的受迫振动mxcxkx1特征值分析求出无阻尼的各阶固有频率和各阶主振型2模态叠加方法分解解耦期望阻尼阵也和mk一样具有正交性即如果这样就可以使用模态叠加法进行解耦分析求解
结 构 动 力 学
1 n n ∂ 2U U = ∑∑ 0 qi q j 2 i =1 j =1 ∂qi ∂q j ， 令
双自由度与多自由度的受迫振动
F 1, F 2, F 3 , F i , F n 和对应的弹簧-阻尼元件作用下振动，在系统静止时建立各自 的位移坐标 x1 , x2 ,, xi , xn 。假定弹簧变形在其线性范围内，阻尼为粘性阻尼，
则系统为线性系统。现在讨论第i（i=1,2,…,n）个质量块的受力情况。为此，我们给出 以下定义： 仅考虑质量的作用时，定义质量（惯性）影响系数为在使第j个质量块具有单位加速度 （加速度为1）而其他质量块无加速度的情况下平衡第i个质量块的惯性力所施加的作用力
1.影响系数法
右图为两类链状系统，其中（a）图为平动 多自由度质量-弹簧-阻尼振动系统，（b）为 转动多自由度转子-弹簧-阻尼扭振系统。两者 在动力学模型和方程上即为相似，只是将相应 的惯性元件、弹性元件和阻尼元件的代号更换， 这里以平动系统为例说明。
多自由度链状系统
（1）刚度系数法
在图（a）所示的平动系统中，质量块 m1 , m2 ,m3 ,，mi ,，mn 分别在作用力
稳态解：
x1 ( t ) X 1 sin pt x 2 ( t ) X 2 sin pt
动力消振器
X1 F1 (k2 m2 p 2 ) / , X 2 F1k2 /
系数行列式：
(k1 k2 m1 p )(k2 m1 p ) k
2 2
2 2
子系统固有频率为 k 2 /m 2 。则由主系统的幅频响应曲线 可知当激振力频率与主系统固有频率的比值为1时，即满足：
Fci cij x j
j 1
n
.
( j 1,2,, n )
而实际中，需要同时考虑质量、阻尼和弹簧的作用，因此第i个质量块所受外激励为上 述三个外力之和，即：
受迫振动下多自由度隔振系统的动态特性研究
输 入通 道 偏 心 质量 在 激 振 力 卜的受 迫 振 动 ，输
ｆ｝Ｉ通 道 为被 一Ｖ．－挂 体 质 心 ＇ （竖 丘）、 （水 平 ）
方 向上 的 化 移 幅值 以及 弹 簧悬 挂 点 、阻 安装
点 的受 力幅 值 由 丁驱 动 电 机 的极 限 ［作转 述 为
ｌ ２００ ｒ／ｍｉ．， 此 定 义激 振 顿 率 ｔ Ｉ（单 化 Ｈｚ）的
ｌ［ …【 【 』
Ｉ
！
ｆ
—
ｊ Ｊ ．
ＪＩ
、
．
Ｉ＂ｒｅｑｕｅｎｃｖｌｔｌｚ
ａ） ＇力 向 ｆ 移 ！顷 响 应
研 究 与
ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００９－９４９２．２０１８．０３．００８
受迫振动下 多 自由度隔振 系统 的动态特性研 究
孙维丽 ，马 玉华 ，宋爱利 ，葛伟伟
（青 岛黄 海学院 ， 山东青 岛 ２６６４２７）
摘要 ：多 自由度隔振系统在受迫振 动下的动力学特性是 目前工程 机械振动控制研究 的热点 。基 于广 义拉格 朗 日方程和矢量环方
ｓ Ｊ，在 这 种 条 件 得 到 的 功 力学 特 性 埘 比 分 析结
果 如 ｆ割３所 爪 ｆＨ－ ３巾可 以看 ｆｌ｛：阻 尼 系数 对振 动
特 性 的 影 响 与弹 簧 刚 度 小 质 的 别 ； 个 隔振
系统 的 仃 率 阻 尼 系数 的 变 化无 关 ，仉 足 对 于』ｔ．７振 振 幅 变 化 的 敏 度 非 常 高 ；对 丁 Ｉ５ｆ【尼 ，
文献标识码 ：Ａ
文章编号 ：１００９—９４９２（２０１８）０３—００２９—０３
Ｓｔｕｄｙ ｏｎ Ｄｙｎａｍ ｉｃ Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ０ｆ Ｍ ｕｌｔｉ Ｄｅｇｒｅｅ Ｆｒｅｅｄｏｍ Ｉｓｏｌａｔｉｏｎ Ｓｙｓｔｅｍ ｕｎｄｅｒ Ｆｏｒｃｅｄ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ
多自由度系统振动(第13讲,11月12日)
回顾： 回顾： 单自由度系统的受迫振动
m&& + cx + kx = F0eiωt x &
H(ω) = 1 k − mω 2 + icω 1 1 − s 2 − 2ξ si 1 − iθ = = βe 2 2 2 k (1 − s ) + (2ξ s ) k
复频响 应函数
x 为复数变量，分别与 F0 cos ωt 和 F0 sin ωt 相对应 为复数变量，
2 −1
阻抗矩阵 导纳矩阵 导纳矩阵
多自由度系统振动 / 多自由度系统的受迫振动
&& MX + KX = F0 e iωt X = Xe
iω t
2
X ∈ Rn
0
(K − ω M )X = F
H (ω ) = [ K − ω 2 M ]−1
n
X = HF0
因此： 因此： X = HF0 e iωt H 的物理意义： 的物理意义： 坐标的投影式： 沿 i 坐标的投影式：
F0 ∈ R n
X 为复数列阵
实部和虚部分别为余弦或正旋激励的响应
F0 为广义激励力的幅值列阵
ω 为激励频率
F0 = [ F01
F02 …… F0 n ]T
多自由度系统振动 / 多自由度系统的受迫振动
i ωt && 系统受迫振动方程： 系统受迫振动方程： MX + KX = F0 e
X ∈ Rn
X = [ X1 X 2 …… X n ]T
激振频率接近第二阶固有频率在稳态响应中第二阶振型占主要成分sin216sin43sin520nininini在得到后利用得出原系统的解模态广义力多自由度系统振动多自由度系统的受迫振动利用主模态坐标求解pipipipipi在得到后利用得出原系统的解pipi多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动有阻尼的多自由度系统有阻尼的多自由度系统多自由度系统振动有阻尼的多自由度系统有阻尼的多自由度系统多自由度系统的阻尼多自由度系统的阻尼一般粘性阻尼系统的响应一般粘性阻尼系统的响应多自由度系统振动任何实际的机械系统都不可避免的存在着阻尼因素材料的结构阻尼介质的粘性阻尼等在阻尼力较小时或激励远离系统的固有频率时可以忽略阻尼力的存在近似地当作无阻尼系统
m&& + cx + kx = F0eiωt x &
H(ω) = 1 k − mω 2 + icω 1 1 − s 2 − 2ξ si 1 − iθ = = βe 2 2 2 k (1 − s ) + (2ξ s ) k
复频响 应函数
x 为复数变量，分别与 F0 cos ωt 和 F0 sin ωt 相对应 为复数变量，
2 −1
阻抗矩阵 导纳矩阵 导纳矩阵
多自由度系统振动 / 多自由度系统的受迫振动
&& MX + KX = F0 e iωt X = Xe
iω t
2
X ∈ Rn
0
(K − ω M )X = F
H (ω ) = [ K − ω 2 M ]−1
n
X = HF0
因此： 因此： X = HF0 e iωt H 的物理意义： 的物理意义： 坐标的投影式： 沿 i 坐标的投影式：
F0 ∈ R n
X 为复数列阵
实部和虚部分别为余弦或正旋激励的响应
F0 为广义激励力的幅值列阵
ω 为激励频率
F0 = [ F01
F02 …… F0 n ]T
多自由度系统振动 / 多自由度系统的受迫振动
i ωt && 系统受迫振动方程： 系统受迫振动方程： MX + KX = F0 e
X ∈ Rn
X = [ X1 X 2 …… X n ]T
激振频率接近第二阶固有频率在稳态响应中第二阶振型占主要成分sin216sin43sin520nininini在得到后利用得出原系统的解模态广义力多自由度系统振动多自由度系统的受迫振动利用主模态坐标求解pipipipipi在得到后利用得出原系统的解pipi多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动有阻尼的多自由度系统有阻尼的多自由度系统多自由度系统振动有阻尼的多自由度系统有阻尼的多自由度系统多自由度系统的阻尼多自由度系统的阻尼一般粘性阻尼系统的响应一般粘性阻尼系统的响应多自由度系统振动任何实际的机械系统都不可避免的存在着阻尼因素材料的结构阻尼介质的粘性阻尼等在阻尼力较小时或激励远离系统的固有频率时可以忽略阻尼力的存在近似地当作无阻尼系统
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动力吸振器
许多机器或部件由于旋转部分的质量偏心而产生强迫振动， 为减小这种振动有时可以采用动力吸振器。 有阻尼动力吸振器系统
m1 k1 m1
主系统的质量和弹簧刚度
上作用有简谐激振力
阻尼动力吸振器
m2
质量
k 2 弹簧
c
阻尼
动力吸振器
系统的强迫振动方程：
m1 0 0 1 c c x1 k1 k 2 x c c x k m2 x2 2 2 k 2 x1 F0 sin t x 0 k2 2
反共振
F0 k2
吸振器振幅 x2
主系统上受到的激振力恰好被来自吸振器的弹性恢复力 平衡
动力吸振器
( 2 ) k1k2 [ s 4 (2 ) s 2 1] 则： 设 1 2 是吸振器和主系统组成的两自由度系统的固有频率
则由 ( 2 ) 0
动力吸振器
动力吸振器
多自由度系统的受迫振动
•系统对简谐力激励的响应 •动力吸振器 •模态叠加法
•系统对任意激励力的响应
系统对简谐力激励的响应
回顾：
x 单自由度系统的受迫振动 m cx kx F0 eit x 为复数变量，分别与F0 cost 和 F0 sin t 相对应
x H ( ) F0 H ( ) 复频响应函数 引入： s c 1 1 s 2 2si 0 2 k m H ( ) [ ] 2 2 2 k (1 s ) (2s) 1 (s) 1 i (1 s 2 ) 2 ( 2s ) 2 e k 2s ( s) arctan 1 s2
H ( ) [ K 2 M ]1
系统对简谐力激励的响应
MX KX F0eit X Rn
X Xeit
( K 2 M ) X F0
H ( ) [ K 2 M ]1
X HF0
因此： X HF0eit n H 的物理意义： 沿i 坐标的投影式： X i H ij F0 j
模态叠加法
模态叠加法
多自由度系统的受迫振动
多自由度系统的受迫振动
多自由度系统的受迫振动
多自由度系统的受迫振动
多自由度系统的受迫振动
多自由度系统的受迫振动
多自由度系统的受迫振动
多自由度系统的受迫振动
多自由度系统的受迫振动
有阻尼的多自由度系统振动
有阻尼的多自由度系统振动
有阻尼的多自由度系统振动
1
( 2 ) 系统的特征多项式 ( 2 ) (k1 k 2 m1 2 )( k 2 m2 2 ) k 22
m1m2 4 (k1m2 k 2 m1 k 2 m2 ) 2 k1k 2
当
k2 m2
时
x1 0
主系统不再振动
2 此时 ( 2 ) k 2
为激励频率
F0 为广义激励力的幅值列阵
F0 [ F01 F02 ...... F0 n ]T
系统对简谐力激励的响应
it 系统受迫振动方程： MX KX F0e
X Rn
稳态解： Xeit X
X R n 振幅列向量 X [ X 1 X 2 ...... X n ]T
先考虑无阻尼动力吸振器 利用直接法
X X sin t x X 1 x2
得到稳态响应振幅:
x1 k1 k 2 m1 x k2 2 F0 k 2 m2 0 k2
1
动力吸振器
x1 k1 k 2 m1 x k2 2 F0 F0 k 2 m2 2 0 ( 2 ) k 2 m2 k2 k2
有阻尼的多自由度系统振动
有阻尼的多自由度系统振动
有阻尼的多自由度系统振动
有阻尼的多自由度系统振动
有阻尼的多自由度系统振动
有阻尼的多自由度系统振动
有阻尼的多自由度系统振动
有阻尼的多自由度系统振动
有阻尼的多自由度系统振动
有阻尼的多自由度系统振动
有阻尼的多自由度系统振动
有阻尼的多自由度系统振动
动力吸振器
m1 0 0 1 c c x1 k1 k 2 x c c x k m2 x2 2 2 k 2 x1 F0 sin t x 0 k2 2
2 代入，得：( K M ) X F0
记：H ( ) [ K 2 M ]1 则有：X HF0
多自由度系统的幅频响应矩阵
因此： X HF0eit
简谐激励下，系统稳态响应也为简谐响应，并且振动频率 为外部激励的频率，但是各个自由度上的振幅各不相同。 工程中： ( K 2 M ) 阻抗矩阵 导纳矩阵
j 1
因此H 的物理意义为仅沿j坐标作用频率为ω 的单位幅 度简谐力时，沿i坐标所引起的受迫振动的复振幅。 adj( K 2 M ) 1 2 H ( ) [ K 2 M ]1 K M 由于H含有 K 2M K 2M 0 系统的特征方程 因此，当外部激励频率ω 接近系统的任意一个固有频率时， 都会使受迫振动的振幅无限增大的引起共振。
动力吸振器
动力吸振器
动力吸振器
动力吸振器
分析： 1 0.32 当 当 0时，系统中无阻尼，两个共振频率点 s 0.976 0.时，系统变为单自由度系统，共振点 当 主系统振幅并不为零，但是和无阻尼 系统的两个共振振幅相比，共振振幅明显下降
模态叠加法
模态叠加法
x1 4m
3k 4k y 1 m k x1 k
y2 m
4k 4k
k
x2 k m 2m k x3 k 2k
x2 2k
2k
图2
图3
有阻尼的多自由度系统振动
有阻尼的多自由度系统振动
习题
1.求系统的固有频率和振型，坐标及正方向 如图1所示，平衡位置为原点。 2. 求固有频率和振型，坐标和正方向如图2 所示，取平衡位置为 x 零点
i
k x1 m k m x3 k m k k x2 k
图1
3. 求系统的固有频率和振型
m1 m2 m
设：x x eit
系统对简谐力激励的响应
多自由度系统受到外力激励所产生的运动为受迫运动
设n 自由度系统沿各个广义坐标均受到频率和相位相同 的广义简谐力的激励 系统受迫振动方程： X KX F eit X R n M
0
M , K R nn F0 R n
x为复数列阵 实部和虚部分别为余弦或正旋激励的响应