依托立体几何,传播数学文化
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! 九章算 术 " 是我国古 代内容极 为 丰 富 的 数 学 名 书 中 有 如 下 问 题% # 今 著& 下周八 有委 米 依 垣 内 角 & 尺& 高 五 尺! 问% 积及为米 几何 *$ 其意思为 % # 在屋内墙角处堆放米 ( 如图 & 米堆 为一个圆锥的四分 之 一 ) & 米 堆 底 部 的 弧 长 为 1 尺& 米堆的高为 ' 尺 & 问米堆的体积和堆放的米各为多 少 *$ 已知 " 斛米的体积约为 "! 圆周率约 # + 立方尺 & 估算出堆放的米约有 ( 为 !& !! ) () " &斛 *) + +斛 ,) ! #斛 /) # #斛 分析 结 ! 根据 米 堆 为 一 个 圆 锥 的 四 分 之 一 合圆的周长公式 圆锥的体积公式和题中有关数据 计算即可 ! 解析 由 ! 因为 米 堆 为 一 个 圆 锥 的 四 分 之 一 # 米堆底部的弧长为 1 尺 # 可知圆锥底面圆的周长为 # 结合圆的 周 长 公 式 # 可 得 圆 锥 底 面 半 径 为" ! +尺# 尺! 又米堆的高为 ' 尺 # 再 结 合 圆 锥 的 体 积 公 式# 可 + -立 方 尺 再 根 据 题 设 条 件 斛 得米堆 的 体 积 为! ! " ! 米的 体 积 约 为 "! 圆 周 率 约 为 !# 可估算 # + 立 方 尺# 故选 *! 出米堆约有 + +斛# 赏析 ! 试题 插 图 的 创 新 是 本 题 的 一 个 亮 点 & 其一增强了数学问 题 的 生 活 化 & 使数学的应用更贴 其二有利 于 考 生 分 析 问 题 和 解 近学生的生活实际 + 决问题& 这对稳定学生在考试中的情绪和心态起 到了较好 的 效 果+ 其三探索了高考数学试题插图 的新形式& 给出了如何将抽象的数学问题现象化 的范例!
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例
九章算术 商功章有题 一圆柱形谷仓 高"丈 !尺! "寸 容纳 米 + -斛 " 丈 %" - 尺 " 尺 %" !
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寸 斛为容积单位 则圆 " 斛 $"! # + 立 方 尺 $! 柱底面圆周长约为 !!
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湖北省武汉市黄陂区第六中学 ! 梅 ! 磊
""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""# 出现过刘徽 祖冲之 秦九韶等伟大的数学家 以及众多 !! 中国古代数学取得了极其辉煌的成就
其中 九章算术 和 数书九章 便是其中的代表作 ! 这些中国古代数学名著是中 华 优 秀 传 数学名著 密 具有浓厚的实际背景 体现出明显的问题式 综合性和算法化的特征 !
例
我国古代数学名著 ! 数 书 九 章" 中有# 天池盆测 雨$ 题% 在下雨时 & 用一个圆台形的天池盆接雨水 ! 天
上篇 ! 数学文化题赏析 !
池盆盆口直径为二尺八寸 & 盆底直径为一尺二寸 & 盆 % % 深一尺八寸 ! 若 盆 中 积 水 深 九 寸& 则平地降雨量是 % % 寸! % ( 注% 平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口 % % 面积 + 一尺等于十寸 + 圆台体积公式 % % % " (+ + % ) "% ') 2 & 2) &) ! % % 分析 ! 根据题设判断天池盆中积水形状为圆 % 结合题中有关数据判断此圆台的上 下底面 % 台形状 % 再结合题后注释 圆台体积公式和圆的面 % 半径和高 % 积公式计算即可 ! % 解析 天池盆中水的形状是一个上 % ! 依题 意 # % 底半径 " 下底半径 # 寸 # 高 $ 寸的圆台 # 从而平 % -寸# % % "+ , " # 2# 2! 0$ % ! 均降雨量为 %!! % " $ # % 赏析 数 书 九 章" & 通过加工改造 % ! 本题源 于 ! % 试题体 % 和加注解释的方式 降 低 了 理 解 题 意 的 难 度 ! 现了空间想象能力 中 # 无图想图$ , # 无 图 作 图$ 的高 % % 有效地考 查 了 考 生 提 炼 图 形 与 应 用 图 形 % 层次要求 & % 的能力 & 同时传播了数学文化 ! 著名数学史专家钱宝 % % 琮先生对于 ! 数书九章 " 中提到的 # 天池盆 $ 作了高度 % 指出 % # 天池 盆 是 世 界 文 化 史 上 最 早 出 现 的 % 的评价 & % % $ 雨量器 ! % % 例 % % # 牟合方盖 $ 是我国古代数学家刘徽在研究球的 % % 它由 % 体积的过程中构造 的 一 个 和 谐 优 美 的 几 何 体 ! 完全相同的四个曲 面 构 成 & 相对的两个曲面在同一 % % 个圆柱的侧面上 & 好似两个扣合( 牟 合) 在一起的方 % % 形伞 ( 方盖 ) 其直观图如下左图 & 图中四边形是为体 % ! % 现其直观性所作的 辅 助 线 ! 其实际直观图中四边形 % 当其正视图和侧视图完全相同时 & 它的正视 % 不存在Байду номын сангаас& % 图和俯视图分别可能是 ( % !! ) % % % % % % % % () $& % *) $& * ,) *& % /) %& # % 分析 理解题干中有 % ! 观察 题 目 所 给 直 观 图 % 关 牟合方盖 的特征叙述 结合 当其正视图和侧视 % % 图完全相同时 这个关键条件作答 ! % !
上篇 ! 数学文化题赏析 !
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解析 ' 牟合 ! 当正视图和侧视图完全相同时 # 方盖 ( 相对的两个 曲 面 正 对 前 方 # 正 视 图 为 一 个 圆# 俯视图为一个正方形 # 且具有两条实线的对角线 # 故 选 (! 赏析 牟合方盖 $ 是我国古代利用立体几何 !# 模型和数学思想方 法 解 决 数 学 问 题 的 代 表 之 一 ! 本 题取材于 # 牟合方 盖 $ & 通过添加解释和提供直观图 的方式降低了理解题 意 的 难 度 ! 试题从识# 图$ 到想 # 图$ 再到构# 图$ & 考 生 要 经 历 分 析, 判断的逻辑过 程! 另外 & 我国古代数学中的其他著名几何体 & 如# 阳 马$ , # 鳖 $ 和# 堑堵 $ 等的三视图问题都有可能在高 值得我们注意 ! 考中考查 &
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例
统文化的重要组成部分 ! 中国古代数学遵循 经 世 济 用 涉 及 的 研 究 大 多 与 实 际 生 活 生产结合紧
立体几何是中国古代数学的一个重要研究内容 从中国古代数学中挖掘素材 考查立体 几 何 的
有关知识 既符合考生的认知水平 又可以引导 考 生 关 注 中 华 优 秀 传 统 文 化 ! 这里从近年来高考和 模拟试卷中选取一些有关立体几何的数学文化题加以赏析 期望对大家有些许启示 !
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其中 九章算术 和 数书九章 便是其中的代表作 ! 这些中国古代数学名著是中 华 优 秀 传 数学名著 密 具有浓厚的实际背景 体现出明显的问题式 综合性和算法化的特征 !
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我国古代数学名著 ! 数 书 九 章" 中有# 天池盆测 雨$ 题% 在下雨时 & 用一个圆台形的天池盆接雨水 ! 天
上篇 ! 数学文化题赏析 !
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% % % 我国古代 数 学 名 著 九 章 算 术 中 开 立 圆 术% 曰 置积尺 数 以 十 六 乘 之 九 而 一 所得开立方除 % % 之 即立圆径 ! 开立圆术 相当于给出了已知球的体 % % ! % " # 积" 求其直径 # 的一 个 近 似 公 式#$ 人们 % "! $ % 还用过一些类似的近似公式 ! 根据 %!! " & " ' $ 判 % % 断下列近似公式中最精确的一个是 !! % ! % " # % () #$ " $ % ! % *) #$ 槡 + " % ! % ! % ,) #$ " " ' . % ! % + " % /) #$ " " " % % 分析 根据 球 的 体 积 公 式 结 合 四 个 选 项 中 ! % % 的数据和精确度要求判断即可 ! % ! ! % # & # 解析 得 #$ "! ! 由"% % ! + % $ # % % 设选项中常数为 则 % ! % % $ % #0$ % ( 选项中常数代入得 % %!! ! . ' " # %
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统文化的重要组成部分 ! 中国古代数学遵循 经 世 济 用 涉 及 的 研 究 大 多 与 实 际 生 活 生产结合紧
立体几何是中国古代数学的一个重要研究内容 从中国古代数学中挖掘素材 考查立体 几 何 的
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