依托立体几何,传播数学文化
浅谈高中数学教学中数学文化的渗透
浅谈高中数学教学中数学文化的渗透欧阳建胜(福建省泉州实验中学㊀３６２０００)摘㊀要:随着高考对中国文化考查的比重越来越大ꎬ从语文学科到数学学科ꎬ都加强了对文化的渗透与指导ꎬ数学文化更是得到了整体高中数学老师共同的青睐.如何在课堂教学中充分地㊁有效地渗透数学文化ꎬ提高学生的数学文化修养ꎬ应该是大多数老师共同思考的一个课题.在高一数学的教学中ꎬ本文从立几㊁三角㊁数列三个方面结合案例谈谈数学文化在教学中的渗透.关键词:数学文化ꎻ课堂教学ꎻ教学渗透中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１８)２８－００１８－０２收稿日期:２０１８－０４－１５作者简介:欧阳建胜(１９８０.１－)ꎬ男ꎬ福建省龙海市人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁数学文化在几何体外接球教学中的渗透立体几何对一般学生来说ꎬ由于缺乏一定的空间想象能力和抽象能力ꎬ学生学起来还是比较吃力的ꎬ久而久之ꎬ会让学生的学习激情大大降低ꎬ适当地结合数学文化教学ꎬ能加深印象ꎬ提高学习效率.案例１㊀探究几何体外接球的球心.立几外接球的表面积或是体积的求解ꎬ是立几题型的要点之一ꎬ也是很多同学感觉比较困难的题型之一ꎬ而要解决这类问题ꎬ很关键的一个步骤是确定球心的位置.由于立几图形的抽象性ꎬ很多同学都找不到点上ꎬ所以对这种问题都比较为难.下面ꎬ我们来探究下几类可以转化为长方体外接球的几何体的外接球球心.请在图中作出下列几何体的外接球球心.(１)长方体ＡＢＣＤ－ＡᶄＢᶄＣᶄＤᶄ.(２)直棱柱ＡＢＣ－ＡᶄＢᶄＣᶄꎬ其中øＡＣＢ＝９０ʎ(古文称之为壍堵).(３)已知四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中ꎬＰＡʅ平面ＡＢＣＤꎬ其中ＡＢＣＤ为矩形(古文称之为阳马).(４)已知三棱锥Ｐ－ＡＢＣ中ꎬＰＡʅ平面ＡＢＣꎬ其中øＡＣＢ＝９０ʎ(古文称之为鳖臑).(５)已知三棱锥Ｐ－ＡＢＤ中ꎬＰＡʅ平面ＡＢＤꎬ其中øＤＡＢ＝９０ʎ(古文称之为墙角).(６)已知三棱锥Ｐ－ＡＢＣ中ꎬＰＡ＝ＢＣꎬＰＣ＝ＡＢꎬＰＢ＝ＡＣ.方法:利用长方体为载体ꎬ通过补形ꎬ可把这几类几何体的外接球转化为长方体的外接球.在教学过程中渗透数学文化知识ꎬ尤其是这几个古文名称ꎬ很不好读ꎬ当场查询ꎬ多读几遍ꎬ让学生有更深刻的印象ꎬ为熟练掌握这几类几何体求外接球等相关问题提供了很好的帮助.㊀㊀二㊁数学文化在三角形面积求解教学中的渗透三角形面积的求解ꎬ在正余弦定理这个章节上显得特别重要ꎬ也是高考考查的内容之一ꎬ近年来的高考题型中经常出现这个考点.如何结合正余弦定理这个章节的内容ꎬ利用三角形最基本的元素来求解ꎬ显然是这个考点的重要内容.那么在推导出新的面积求解公式后ꎬ我们不妨进一步探究一下不同类型的求解方法.案例２㊀探求三边长的三角形面积.在әＡＢＣ中ꎬ已知三边ａꎬｂꎬｃ的长度ꎬ求әＡＢＣ的面积.解决此类问题ꎬ我们引导学生的一般处理方法还是利用两边一夹角的面积公式ꎬ即Ｓ＝１２ａｂ ｓｉｎＣ＝１２ａｃｓｉｎＢ＝１２ｂｃ ｓｉｎＡꎬ首先引导学生ꎬ知道边长ꎬ但不知道任一内角怎么处理?这个时候显然就可利用余弦定理先求某一内角的余弦值ꎬ再利用平方关系求这个角的正弦值ꎬ这样就可以套用公式求面积了.这时ꎬ如果我们继续提问:有没有更简单更直接的方法来求解这种类型的面积呢?这样ꎬ可以继续引导学生做进一步的探究.然后ꎬ我们就可以简单地引入 海伦公式 及 秦九韶的三斜求积法 .海伦是古希腊的数学家ꎬ他还是一位优秀的测绘工程师ꎬ他生活的年代大约在公元一世纪ꎬ在他的著作«测８１地术»中出现了这么一个很美的计算公式Ｓ＝ｐ(ｐ－ａ)(ｐ－ｂ)(ｐ－ｃ)ꎬ这里的ｐ＝１２(ａ＋ｂ＋ｃ)也就是半周长ꎬ这个公式简洁好记ꎬ形式很美ꎬ在选择题和填空题中可以直接应用ꎬ进行这类三角形面积的求解.当然了ꎬ在我国的南宋时期ꎬ也有一个著名的数学家叫秦九韶ꎬ他也发现了利用三边长求三角形面积的公式ꎬ他的这个方法叫做 三斜求积 ꎬ换算成公式就是Ｓ＝１４[ｃ２ａ２－(ｃ２＋ａ２－ｂ２２)２]ꎬ虽然从形式上比海伦公式要复杂得多ꎬ但两者是完全等价的ꎬ也是十分的了不得ꎬ这也再次说明了中国古代数学家是多么地伟大ꎬ他们所取得的成就是多么的大ꎬ他的著作«数书九章»也是一本非常著名的数学巨作ꎬ里面提了好多的数学命题ꎬ为后世的数学研究提供了重要的参考资料.我们在课堂上渗透这些ꎬ可以让学生畅游在广阔的 数海 之中ꎬ让学生再次领略了中国古代数学的伟大ꎬ陶冶学生的爱国情操ꎬ激励学生的探索求知欲望.㊀㊀三㊁数学文化在数列递推关系教学中的渗透数列内容中的递推关系是整章的重难点内容ꎬ它的逻辑推理能力要求较高ꎬ很多同学刚开始接触ꎬ一脸茫然ꎬ不知从何下手ꎬ甚至产生了放弃的想法.如果能在教学过程中渗透一些数学文化ꎬ引导学生观察数据的变化规律ꎬ让学生发现数学的美ꎬ可以培养学生的学习兴趣!案例３㊀利用杨辉三角数的规律探究递推关系观察杨辉三角:思考１㊀杨辉三角中数字的排放顺序是有规律性的ꎬ并且是比较直观的.(比较容易观察ꎬ可以让学生畅所欲言ꎬ容易引发学生的探究欲望.)那么你能观察出哪些规律呢?基于对数字上下㊁左右结构的特点ꎬ学生加以分析ꎬ教师适当的引导ꎬ容易得出对称性和总和性ꎬ亦即两个常见的组合数公式.有了前面成功的基础ꎬ那接下来ꎬ下面的研究就可以继续地进行了.思考２㊀如果我们换个角度看待这些数ꎬ比如看下图斜线ꎬ每条线上的数相加又有什么规律?如果从数列的角度来观察这些和ꎬ又能得出什么不一样的结论?慢慢地从学生的角度ꎬ引导学生去观察和思考ꎬ从而培养学生的探索能力ꎬ有助于发展他们思维的深度和广度ꎬ而这也恰恰是学生所缺漏的.在此题中ꎬ我们不难得出以下数据:１ꎬ１ꎬ２ꎬ３ꎬ５ꎬ８ꎬ１３ꎬ２１ꎬ３４ꎬ记此数列为{ａｎ}ꎬ则有ａ１＝ａ２＝１ꎬａｎ＋２＝ａｎ＋ａｎ＋１.这个数列从第三项开始ꎬ每一项是它前面两项的和ꎬ这个数列ꎬ我们把它称为斐波那契数列.接下来ꎬ我们可以适当地介绍下这个数列的发展史ꎬ斐波那契是意大利数学家ꎬ在他的著作«算盘全书»中以兔子繁殖为背景ꎬ提出了这个问题.这个数列如果继续研究下去ꎬ还可以得出很多有趣的结论ꎬ这样ꎬ学生对这个数列的认识就会更加深刻ꎬ为递推数列的推理取得了一定的效果ꎬ甚至还可以扩充学生的思维ꎬ原来事物的联系是如此的巧妙ꎬ现实生活中隐藏着很多特别有趣的数学文化ꎬ中西文化也可以这样完美地融合在一起.接着ꎬ我们可以继续来研究以下这个问题.思考３㊀前阶段有个号称要打败淘宝的 云联惠 电商平台ꎬ它的运营模式是 买多少ꎬ返多少 ꎬ号称全部让利给客户ꎬ它的返还金是递减式的.比如你买了１００００元钱ꎬ云联惠会以每天万分之五的递减式返还给您ꎬ直至返还完.那么请问同学们ꎬ要用多久才能把这１００００元钱返还完?首先ꎬ要解决这个问题ꎬ那么我们就要真正去弄清楚它的这个返还模式ꎻ我们如果消费１００００元ꎬ第一天按万分之五返还ꎬ那么第一天就是返还５元ꎬ但是第二天呢?还是５元吗?错了ꎬ第二天返还的是剩下９９９５元的万分之五ꎬ第三天返还的是扣除前两天返还剩下的万分之五ꎬ依此类推 所以ꎬ每天返还的钱数是越来越少.从数列的角度分析ꎬ这也是个递推数列的问题ꎬ我们把每天返还的钱数看作数列的每一项ꎬ那你们能写出这个数列的递推公式吗?显然ａ１＝５ꎬａ２＝(１００００－ａ１)ˑ０.０００５ꎬ ꎬａｎ＝[１００００－(ａ１＋ａ２＋ ＋ａｎ－１)]ˑ０.０００５ꎬ利用数列求和ꎬ１００００元要全部返还的话至少要１００年.显然ꎬ这是一个多么精致的骗局ꎬ不懂内幕的消费者ꎬ以为一天返还５元ꎬ２０００天也就是５年多就能再多赚１００００元ꎬ何乐而不为.而且据说那平台里面的产品比其他地方的贵ꎬ它就是打着 消费全返 的旗号在骗取用户的消费ꎬ而且它对进驻的商家也有类似的做法.这再次说明了数学的重要性ꎬ没有一定的数学文化ꎬ可能我们很容易就会上当受骗.总之ꎬ在平时的数学教学中ꎬ适当地渗透数学文化ꎬ既可以丰富整节课的内容ꎬ又可以调节课堂氛围ꎬ还可以培养学生对学习数学的兴趣ꎬ更可以传承古代数学的美与思想ꎬ真的值得我们去尝试.当然ꎬ我们自身也要加强对数学文化的了解ꎬ以及研究如何合理地在教学中渗透数学文化ꎬ才能取得最佳的效果.也许就是因为你的传承ꎬ下一个数学家将在你的座下诞生!㊀㊀参考文献:[１]孙小礼.数学与文化[Ｍ].北京:北京大学出版社ꎬ１９９２.[２]卢建筠.高中新课程教学策略[Ｍ].广州:广东教育出版社ꎬ２００４.[３]郑毓信.数学方法论[Ｍ].南宁:广西教育出版社ꎬ２０００.[责任编辑:杨惠民]９１。
数学教学融入数学文化的事例
数学教学融入数学文化的事例数学教学融入数学文化是一种新的教学方法，这种方法不仅能够帮助学生更好地理解数学知识，还可以增加他们对数学的兴趣和热爱。
下面是一些具体的事例和相关参考内容，帮助教师和学生实践这种新的教学方法。
1. 数学历史故事在数学教学中，教师可以通过讲述一些有关数学历史的故事来吸引学生的兴趣。
比如，可以讲述古代数学家的故事，如阿基米德测圆周率的故事、费马大定理的故事等。
教师可以通过讲述这些故事，使学生更好地理解数学知识的产生和发展过程，激发学生对数学的兴趣。
参考内容：- 文章《数学的历史才是无穷奥妙》，介绍数学的历史和发展过程，如古希腊数学、印度数学等。
- 电影《阿基米德的秘密》，讲述了古希腊数学家阿基米德的故事，包括他测量圆周率的经历。
2. 数学文化的艺术作品数学教学也可以融入一些数学文化的艺术作品，如数学雕塑、数学画作等。
通过观赏这些艺术作品，学生可以更好地理解数学中的一些概念和定理。
例如，学生可以通过观赏一幅画作来理解黄金分割的概念，或者通过观赏一个雕塑来理解立体几何的概念。
参考内容：- 数学艺术家弗莱彻·迪克森（Frank Farris）的作品，他通过数学公式生成艺术作品，如数学画作和雕塑。
- 文章《数学与艺术的结合》，介绍了一些数学与艺术结合的例子，如埃舍尔的画作、弗莱彻·迪克森的艺术作品等。
3. 数学文化的游戏和竞赛数学教学可以结合一些数学文化的游戏和竞赛来进行，这样可以增加学生对数学的兴趣和参与度。
例如，可以组织数学游戏比赛，学生通过参与比赛来提高他们的数学能力和解题能力。
同时，这种竞赛还可以让学生了解一些数学文化的知识，如古代的数学游戏等。
参考内容：- 数学游戏《数独》，通过填写数字的方式来解决谜题，培养学生的逻辑思维和解题能力。
- 数学竞赛《国际数学奥林匹克》，是一个全球性的数学比赛，可以培养学生的解题能力和团队合作能力。
4. 数学文化的实地考察数学教学还可以结合一些实地考察活动，让学生亲身体验数学文化。
数学文化在教学中的渗透
将数学文化融入课堂教学的探索将数学文化融入数学课堂教学中，已经得到越来越多教师的认可和重视。
《数学新课程标准》指出，高中生应适当地学习“数学文化”，领会和感悟数学特有的文化内涵。
2015年高考，全国新课标卷Ⅰ第6题、新课标卷Ⅱ第8题、湖北卷等都引用了《九章算术》中的经典问题作为考查载体，这也从侧面说明，教师应重视数学文化在数学课堂教学中的渗透，充分发挥数学文化教学的能动作用。
基于对学生学情的分析和新课标的要求，在课堂教学中，笔者一直尝试、探索数学文化与课堂教学的融合，本文谈一谈笔者在课堂教学中的实践和体会。
一、将数学文化融入课堂教学的必要性 目前，我国的新课改正如火如荼地进行，新的教学理念和教学方式、评价方式已深入人心。
但是在实际教学中，不少高中对分数仍然非常看重。
迫于各种压力，老师为追求短期效益和高分，往往会以习题为中心，组织学生进行大量的训练。
这样的课堂，学生无法体会数学知识的形成过程，一节课下来，往往是知其然而不知其所以然，学生对数学知识在生产生活中的应用更是少了亲身体验，久而久之，学生对数学的认识是零散的，杂乱的，更不可能将数学知识与其他学科有机地联系起来。
高中是一个承前启后的教学阶段，在学生学习能力的培养、个性的塑造、知识水平的提升以及人生观的形成等方面，具有重要性和关键性。
因此，作为高中的一线教师，我们更应关注高中数学课堂教学，以《高中数学课程标准》为标杆，理性思考如何在课堂中融入数学文化的教育教学。
在高中课堂教学中融入数学文化教育，有助于拓展学生的知识面，增强他们的学习兴趣，增强数学与各学科的联系，开阔学生的视野，让学生更好地认识数学，并将数学知识用于生活实践中。
在课堂教学中重视数学文化的渗透和教育，能提升学生的综合能力，取得较好的教学效果，是数学课堂教学进行素质教育的良好途径。
二、将数学文化融入课堂教学的方法 （一）以数学史为载体，充分发挥数学文化的情感教育功能 克莱因曾这样说过，教材中定理和公理的叙述，是数学家经历艰苦的探索，字斟句酌的结果。
探究高中数学教学中如何有效地融入数学文化
探究高中数学教学中如何有效地融入数学文化发布时间：2022-12-11T15:40:34.608Z 来源：《比较教育研究》2022年11月作者：黄赞新[导读] 本文主要从探究高中数学教学中如何有效地融入数学文化进行阐述说明。
教育需要明确是：“传统文化必须走进课堂”。
在实际教学中，需要让学生全面感受到文化，进而受到文化熏陶，产生共鸣，感受数学。
现阶段，我国课程改革的脚步在不断迈进，由此揭开了传统文化面纱，促进传统文化走进。
身为教师，需要全面掌握数学文化基础，进而实现双相融合。
黄赞新东安一中【摘要】本文主要从探究高中数学教学中如何有效地融入数学文化进行阐述说明。
教育需要明确是：“传统文化必须走进课堂”。
在实际教学中，需要让学生全面感受到文化，进而受到文化熏陶，产生共鸣，感受数学。
现阶段，我国课程改革的脚步在不断迈进，由此揭开了传统文化面纱，促进传统文化走进。
身为教师，需要全面掌握数学文化基础，进而实现双相融合。
【关键词】高中数学；传统文化；教学实践中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1003-7667（2022）11-201-01引言：数学是一门逻辑性极强的学科，如果学生可以学好数学知识，那么就可以依照相关的思想来促进逻辑思维能力提升，进而解决更多的现实问题。
所以，避免只是将数学看作是一种工具，应当在学习中掌握数学精神，进而发展学生健全的文化素养与健全品格。
人文教育是当前教育发展的根本方向，高中数学教师需要全面发展人文精神，让学生掌握学习技巧，提升学生基础技能，形成全面的性格与品德，彰显出教书育人的本质。
1、注重数学知识的合理运用教师应当注意的是，数学知识与生活之间存在紧密的联系，数学在实际生活的运用，可以明确对数学文化价值的展现。
在数学文化的渗透的背景下，需要在课堂教学中改善与生活脱轨的情况，依照教材的相关问题，进而为学生创建更为直观的情境，保证学生可以在相关的情境下认识到文化的具体运用价值，积极落实数学文化的发展目标。
数学核心素养导向下的立体几何教学——以“平面”为例
数学核心素养导向下的立体几何教学———以“平面”为例文|张婷黄少龙一、教学内容（一）内容的内涵本节课是湘教版普通高中教科书数学必修二第4章“立体几何初步”4.2“平面”的第一课时。
本章内容包括基本立体图形和基本图形的位置关系两部分内容，在直观认识空间几何体结构特征的基础上，抽象出组成几何体的基本要素———点、直线、平面，进一步研究它们的位置关系。
平面是学习和认识图形的基础，也是认识空间图形性质的基础，平面的基本性质是公理化思想的重要体验，是立体几何问题演绎推理的基本依据，能使学生的观念逐步从平面转向空间。
（二）蕴含的思想方法感悟类比与转化、特殊到一般、具体到抽象、分类讨论、数形结合。
（三）知识的上下位关系在六年级长方体的学习中，学生初步感受了空间图形，并体会用铅垂线、三角尺的方法探索空间图形的性质；在八年级的几何证明单元中，以简单的平面几何图形为载体，实现了从感性认识到理性认识的重大跨越；在本章第一节的学习过程中，我们从空间几何体的整体观察入手，了解了空间的基本元素。
通过对“平面”的学习，学生可以认识和理解空间中点、直线、平面的概念及其相互位置关系，这是进一步研究空间中平行与垂直关系的基础。
平面的基本性质是空间问题转化为平面问题的基本途径，是公理化思想的初步体验，是以后演绎推理的依据。
二、教学目标（一）课程目标借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析几何问题；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。
（二）单元目标通过本单元的学习，学生可以借助模型、实物等，认识和理解空间点、直线、平面的位置关系；可以用数学语言表述其位置关系中包含的性质、判定定理，并对某些结论进行论证；可以运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等认识和探索空间图形的性质，形成空间观念。
（三）课堂教学目标1.能从日常生活实例中抽象出平面的概念，理解平面的基本特征。
2.会用图形和符号表示点、直线、平面，能用集合语言描述它们之间的位置关系。
学科素养专题8 立体几何与数学文化的综合
大一轮复习·数学·BSD（文）
[典例 4] 《九章算术》是我国古代内 容极为丰富的数学名著，书中有如下问题： “今有委米依垣内角，下周八尺，高五 尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在 屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥 的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆 的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方 尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米有( B )
本题属于生产生活中谷物储存问题，源于《九章算术》第五 章“商功”，结合立体几何中的基础知识进行设问，强化了数学文 化的传承和数学应用意识的培养.
大一轮复习·数学·BSD（文）
[典例 3] 《算数书》竹简于 20 世纪 80 年代在湖北省江淩县
张家山出土，这是我国现存最早的数学典籍，其中记载有求“囷
大一轮复习·数学·BSD（文）
[典例 6] 在 xOy 平面上，将两个半圆 弧 (x － 1)2 ＋ y2 ＝ 1(x≥1) 和 (x － 3)2 ＋ y2 ＝ 1(x≥3)，两条直线 y＝1 和 y＝－1 围成的封
闭图形记为 D．如图中阴影部分，记 D 绕 y 轴旋转一周而成的几
何体为 Ω.过(0，y)(|y|≤1)作 Ω 的水平截面，所得截面积为 4π 1－y2 ＋8π.试利用一个平放的圆柱和一个长方体，根据祖暅原理得出 Ω 的体积为________．
大一轮复习·数学·BSD（文）
大一轮复习·数学·BSD（文）
学科素养专题八 立体几何与数学文化的综合
大一轮复习·数学·BSD（文）
立体几何是中国古代数学的一个重要研究内容，从中国古代 数学中挖掘素材，考查立体几何的有关知识，既符合考生的认知 水平，又可以引导考生关注中华优秀传统文化，培养了学生直观 想象、逻辑推理、数学运算、数学抽象等学科素养．
立体几何中的数学文化——“五角锥”与“阴狗”
立体几何中的数学文化——“五角锥”与“阴狗”引言在数学领域，几何学是一门探索空间关系和形状的学科。
立体几何是几何学的一个分支，研究的对象是三维空间内的物体及其特征。
本文将介绍两个立体几何中的数学文化，即“五角锥”和“阴狗”。
五角锥五角锥是一种具有五个三角形侧面和一个五边形底面的立体图形。
它有多种应用和数学特性。
五角锥的侧面和底面都是多边形，所以它对多边形的研究具有重要意义。
五角锥也是一种特殊的锥体，它的顶点在底面以上。
五角锥在几何学中有着丰富的性质和应用。
例如，五角锥具有五条顶点到底面的边，这些边被称为“母线”。
五角锥的母线长度都相等，而且与它们所在边的位置有特定的几何关系。
这些特性对于建筑设计、纺织和工程学等领域具有重要意义。
此外，五角锥还与黄金比例等数学概念有关。
黄金比例是一个在艺术和自然界中常见的比例关系，它与五角锥的形状紧密相关。
研究五角锥可以帮助我们理解黄金比例及其在数学和美学中的应用。
阴狗阴狗是指立体几何中的一个特殊形状，由于难以描述其几何特征，因此得名为“阴狗”。
这个名字起源于形状看起来像是一只蜷曲的狗。
阴狗具有许多独特的属性，使其成为立体几何中的一个有趣的研究对象。
阴狗的形态复杂多变，它由一系列非连续的曲面和棱边组成，不同于其他常见的几何体。
因此，阴狗的几何性质和计算方法与常规的几何体不同。
它在数学建模和计算几何学中拥有广泛的应用。
由于阴狗的特殊性，对其进一步研究和理解有助于拓展立体几何的领域，并为解决实际问题提供新的思路和方法。
结论立体几何是数学中一个重要的分支，研究空间关系和形状的三维图形。
在立体几何中，五角锥和阴狗是两个有趣的数学文化。
五角锥具有多边形的性质，与黄金比例相关，并在工程学和建筑设计中具有应用。
阴狗则是一个复杂而独特的几何形状，具有广泛的应用领域。
通过研究和理解这些数学文化，我们可以深入探索立体几何的奥秘，拓展我们对空间关系和形状变化的认知，为数学应用和实际问题的解决提供新的思路和方法。
立体几何中的数学文化——“方柱”与“阴马”
立体几何中的数学文化——“方柱”与“阴马”立体几何是数学中一门非常有趣且广泛应用的学科，它涉及到空间中各种形状的研究和分析。
在这个领域中，方柱和阴马是两个重要的概念。
方柱方柱是一种立体形状，它由一个矩形底面和四个身高相等的矩形侧面组成。
方柱的特点是具有六个平面面，其中底面和顶面是矩形，侧面是长方形。
方柱在日常生活中常见于建筑物、家具和一些中。
在立体几何中，方柱有许多有趣的性质和特征。
例如，它的体积可以通过底面积与高度的乘积来计算。
同时，方柱的表面积也可以通过顶面和底面的面积加上四个侧面的面积来计算。
这些公式在解决实际问题和进行几何推理时非常有用。
阴马阴马是另一个立体几何中的重要概念。
它由一个以上的平面组成，这些平面之间没有重叠，也没有空隙，形成了一个封闭的空间。
阴马的名称来源于它的形状类似于一只马的轮廓。
阴马在数学文化中扮演着重要角色。
许多古代的数学家和艺术家对阴马的形状进行了研究和创作。
同时，阴马也是许多数学难题和几何推理的基础。
通过研究阴马，我们可以发现其中隐藏的几何规律和原理。
数学文化中的立体几何立体几何作为数学的一个分支，在数学文化中起着重要的作用。
它不仅仅是一种学科，更是一种创造力和思维的表达方式。
方柱和阴马作为立体几何中的两个重要概念和形状，体现了数学在日常生活中的应用和美学价值。
它们不仅仅存在于数学课本和学术研究中，也出现在建筑、艺术和设计中。
通过研究和理解方柱和阴马，我们可以发现其中的数学原理和几何特性，进而深入了解立体几何的数学文化。
这种探索和欣赏数学的过程，不仅能够培养我们的创造力和逻辑思维能力，还能够增加对数学的兴趣和理解。
在教育和传播数学文化的过程中，立体几何的相关内容也是不可或缺的一部分。
通过将方柱和阴马与实际生活和艺术创作结合起来，可以激发学生对数学的兴趣，并加深他们对立体几何的理解。
总结起来，立体几何中的数学文化涉及到方柱和阴马这两个重要的概念。
通过研究和欣赏方柱和阴马的形状和性质，我们可以更好地理解立体几何的数学原理和美学价值。
借助数学文化 渗透数形结合思想——“勾股定理”教学设计与思考
教育界/ EDUCATION CIRCLE2021年第16期（总第440期）课例点评▲【摘要】勾股定理被称为“几何学的基石”，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，体现了“数”与“形”的互相转换，表明了数形结合思想在数学教学中有不可忽视的作用。
基于此，本文探讨了如何在“勾股定理”教学的各个环节渗透数形结合思想，旨在为中学数学教师的教学提供一些新的视角。
【关键词】数形结合思想；勾股定理；教学设计借助数学文化 渗透数形结合思想——“勾股定理”教学设计与思考江苏省南京市第二十九中学初中部 韩茂芳“数”与“形”是数学知识的两种表现形式，“数”体现在用数学语言表征数学概念、数学性质与数学定理等，而“形”是实物、图象与图形的表征。
勾股定理是中国传统数学文化代表之一，在教学中，为了让学生更深层次地领悟知识、感悟数形结合的思想，教师可以借助数学文化把数形结合思想融入各个教学环节中。
┈一、基于渗透数形结合思想的“勾股定理”教学设计（一）教材分析“勾股定理”是人教版数学教材八年级下册的内容，学生已经初步掌握开方、解方程、三角形等相关知识。
教师可以结合八年级学生具有较强的好奇心和求知欲的特点，在教学中分层、分阶段地渗透数形结合的思想。
基于此，教师可以借助数学文化载体，对定理的由来、探索证明方法、应用过程中渗透数形结合思想进行设计，为学生后续学习平面几何乃至立体几何做好铺垫［1］。
（二）教学目标（1）让学生主动探索“发现”勾股定理的证明过程，并会用面积法证明勾股定理。
（2）在探索与证明勾股定理的过程中渗透数形结合的思想方法，培养学生发现问题和总结规律的能力。
（3）在学生动手操作过程中，培养学生的合作学习的能力，使学生体会到勾股定理中“数”与“形”的关系，感受到数学中的美。
┈（三）教学重点、难点教学重点：探索勾股定理的推导过程。
教学难点：运用数形结合的思想证明勾股定理。
（四）教学过程【第一环节】实践操作，提出猜想，导入课题1.小组合作，感知数与形之间的奥秘教师课前准备好三张直角三角形纸片（三边长是勾股数），通过PPT展示以下任务。
数学史融入立体几何教学的行动研究以直线、平面为例
3、借助统计分析、文献综述等方法，对数学史在立体几何教学中的作用进 行量化分析和综合评估。例如，通过对比实验组和对照组的教学效果，分析数学 史融入立体几何教学对学生学习兴趣、学习成绩等方面的影响，从而为优化教学 设计提供依据。
通过以上行动研究方法，我们发现数学史融入立体几何教学具有以下优点： 1、增强学生的学习兴趣和动力，提高其主动参与度和课堂互动性；
例如，介绍古希腊时期的数学家如何运用演绎推理证明定理，中世纪的数学 家如何将几何学与代数相结合，现代数学家如何用向量和矩阵等方法研究立体几 何等。最后，可以借助图表、图像等形式展现数学知识之间的和互动关系。例如， 通过绘制图形或展示实物模型，说明直线和平面在空间中的位置关系。
进行数学史融入立体几何教学的行动研究，可采用以下方法：
结论与建议
通过本次行动研究，我们验证了数学史融入立体几何教学能够提高教学效果 的假设。为了进一步推广这一教学方法，我们提出以下建议：
1、加强数学史和立体几何的结合点研究：教师可以根据具体的教学内容和 目标，深入挖掘数学史和立体几何的结合点，有针对性地引入相关历史背景和文 化知识，提高教学效果。
当然，融入数学史的教学方式也对教师提出了更高的要求。教师需要不断学 习和掌握相关的数学史知识，才能将其自然、恰当地融入到教学中。此外，教师 还需要充分考虑学生的年龄和认知水平，选择适合他们的历史材料和教学方式。
总的来说，将数学史融入小学数学单元教学是一种富有价值的教学方式。它 有助于丰富教学内容，提高学生的学习兴趣和数学素养。在今后的研究中，我们 还将进一步探讨如何更好地将数学史融入小学数学教学，以及如何评价这种教学 方式的效果。希望通过我们的努力，能为小学数学教育的改革和发展贡献一份力 量。
4、学生的历史意识得到了增强：通过学习数学史，学生对人类文明的发展 和数学知识的演变有了更深刻的认识，从而增强了学生的历史意识。
立体几何与数学文化
立体几何与数学文化
立体几何是一门研究空间图形的数学学科，它不仅在数学中有着重要的地位，同时也与数学文化息息相关。
在中国古代，立体几何已经有了一定的研究和应用，比如在《九章算术》中，就有许多与空间图形相关的问题。
而在西方古代，希腊哲学家柏拉图就曾经提出过“五种几何体”，这些几何体不仅仅是几何学的基础，更是哲学思考的重要组成部分。
在现代数学中，立体几何成为了数学的一个重要分支。
它不仅在几何学、拓扑学、微积分等领域都有一定的应用，同时也被广泛应用于计算机图形学、建筑设计等领域。
而立体几何的研究也不断推动着数学的发展和数学文化的传承。
除此之外，立体几何也是一门充满趣味和美感的学科。
通过对空间图形的研究和探索，我们可以感受到数学中的美学与理性，体会到几何学的奇妙与神秘。
因此，学习立体几何不仅仅是为了应对考试或者求职，更是为了增强我们对数学文化的认知和理解。
通过学习立体几何，我们可以更好地欣赏数学之美，更深入地了解数学文化的内涵，同时也可以从中获得更多的思维乐趣与启示。
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专题05 立体几何与数学文化-高考中的数学文化试题 (解析版)
专题05 立体几何与数学文化纵观近几年高考，立体几何以数学文化为背景的问题，层出不穷，让人耳目一新。
同时它也使考生们受困于背景陌生，阅读受阻，使思路无法打开。
本专题通过对典型高考问题的剖析、数学文化的介绍、及精选模拟题的求解，让考生提升审题能力，增加对数学文化的认识，进而加深对数学文理解，发展数学核心素养。
【例1】（2019课标2）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有个面，其棱长为．【答案】26，21．【解析】中间层是一个正八棱柱，有8个侧面，上层是有81+，个面，下层也有81+个面，故共有26个面；半正多面体的棱长为中间层正八棱柱的棱长加上两个棱长的2cos452=倍．该半正多面体共有888226+++=个面，设其棱长为x，则221x x=，解得21x．【试题赏析】本题以金石文化为背景，考查了球内接多面体，体现了对直观想象和数学运算素养的考查。
【例2】（2018课标Ⅲ）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A ．【试题赏析】本题以中国古建筑借助榫卯将木构件为背景，考查了简单几何体的三视图的画法。
【例2】 (2019浙江高考) 祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V sh 柱体，其中s 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是A ．158B ．162C ．182D ．324【答案】B【解析】由三视图还原原几何体如图，该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解， 即()()114632632722ABCDE S =+⨯++⨯=五边形，高为6，则该柱体的体积是276162V =⨯=．故选：B ． 【试题赏析】本题以祖暅原理为背景，考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体。
数学文化与高中数学教学深度融合的研究
教学研究２０２４年２月上半月㊀㊀㊀数学文化与高中数学教学深度融合的研究∗◉江苏省口岸中学㊀雷道金㊀㊀摘要:随着新课改的推进,数学文化在当前高中数学教学中的价值越发突出．文章从 情境导入,体现数学魅力 活动设计,绽放数学生命力 关注体验,彰显数学理性美 解题教学,提升文化底蕴 四方面具体阐述了如何将数学文化渗透在数学课堂教学中,以提升学生的数学核心素养．关键词:数学文化;情境;体验㊀㊀数学文化并非单纯指数学学科或数学史,还包括数学精神㊁历史㊁方法㊁思想等,这些都属于数学文化的范畴．M 克莱因认为:数学文化是人类智慧与创造的结晶,它以自己独特的思想体系保留并记录了人类发展的历史文化进程[１]．因此,数学文化既是传播数学思想方法的方式,又是传递现代社会信息的载体．１情境导入,体现数学魅力近年来,情境教学取得了显著的成效．数学课堂的导入环节,若从学生的生活实际出发,择取与教学内容相关的美好景象作为情境素材,再配以丰富的解说,常能有效激起学生的探索欲,让学生结合生活实际将数学学科与美学㊁语言学㊁文学等有机融合,体现数学魅力．案例１㊀ 圆的方程 的教学课堂伊始,教师以中国古代外圆内方的铜钱以及奥运会五环标志作为情境素材,让学生在古今中外交相互映的生活知识中体验圆的独特美．这种设计,一方面为揭示教学主题,另一方面彰显出中华民族文化的博大精深,奥运五环让学生联想到北京奥运会,体会到祖国的繁荣昌盛．除此之外,关于数学文化的渗透,还可作如下设计:借助多媒体播放美妙的音乐,同时呈现阳光下绽放的向日葵㊁圆形陶器㊁圆形剪纸㊁中国结㊁圆形建筑等图片．学生在用眼睛㊁耳朵体验圆的美好的同时,教师旁白: 这个世界因为有了圆而变得更加美好,圆在我们生活中扮演着重要角色,它是美的化身．希望我们每个同学都能像圆一样包容㊁接纳他人．上述情境,教师通过层层铺染的方式逐层推进,让学生通过各个感官来体验圆的文化特性,这是滋养学生心灵的教学方式,也是促使学生成长的原动力．随着情感的投入,学生会自然而然进入主动探索的状态,并将所得所感有机地纳入原有认知结构中,为建构新的认知体系奠定基础．王之涣的«登鹳雀楼»以景抒情,其中 欲穷千里目,更上一层楼 这句诗,揭示了想要看到千里之外的美景,需要登高,那么究竟需要登上多高的楼呢?带着此问学生自发进行了小组合作学习．学生各抒己见,提出这样一个疑惑:远古时代的人是怎样测量出远处无法触及的物体的高度与距离的呢比如,月球．带着这个问题,学生到网上搜索㊁查阅资料．随着思维的发散与知识的拓展,学生在应用圆的方程解决实际问题方面有了新的突破．这种学习方式,既体现了深度学习,又彰显了回归自然的教学方式．学生在这种情境下学习与思考,可进一步优化数学素养,提升数学文化素养．２活动设计,绽放数学生命力心理学家皮亚杰[２]认为: 一切智力方面的工作都与兴趣有着千丝万缕的联系,兴趣对学习具有调节作用,它可支配学生的内在学习动力,是促进目标实现的基础． 课堂上,高质量的活动设计可有效激发学生的学习兴趣,调动学生学习的积极性,让学生自主进入数学文化的王国,体验数学学科强有力的生命力．案例２㊀ 立体几何 的教学立体几何对于学生而言比较抽象,在数学文化渗透的基础上设计教学活动,可作如下引入:带领学生背诵陈子昂的«登幽州台歌»,要求学生用数学知识阐述这首诗的时间与空间,从中体验自然的神奇,让学４２∗课题信息:江苏省中小学教学研究第十四期重点资助课题 数学文化融入高中数学 阅读板块 的教学现状及实现路径研究 ,课题编号为２０２１J Y １４ＧZ A ３０．２０２４年２月上半月㊀教学研究㊀㊀㊀㊀生从诗歌中对立体几何产生敬畏之心．至于三维空间的秘密,就是本节课将要着重探索的内容．将古诗词作为数学教学活动的研究内容,不仅体现出学科之间的联系,还从很大程度上激发了学生的探索欲,学生从中也感知到数学学科的魅力,这对提升学习品味具有重要意义．数学文化的渗透,让该活动设计绽放出新的生命力．３关注体验,彰显数学理性美数学体验是指学生在学习过程中,通过个体认知㊁行为等的参与,对数学事实产生的理性认识．教学实践告诉我们,良好的数学体验会带给学生愉悦感,从而提高学习效率．因此,体验式教学在近年来也受到广大教育工作者的重视．作为一线数学教师,应尽可能打造生动㊁活泼㊁有趣的课堂,让学生积极主动地参与到学习中来,并获得更多成就感,也让课堂充满理性之美．案例３㊀ 排列与组合 的教学为了让学生在教学过程中获得更多学习体验,本节课笔者设计了以游戏的方式实施教学．首先将学生分组,每组５名学生,并给每位学生分别按１~５编码,要求各组学生分别坐到标有１~５数字的椅子上,每组只能有两名学生和所坐的椅子编号一致,求每组学生有多少种不同的坐法．当教师说完游戏规则时,学生表现出了极高的参与热情,各组学生争先恐后地去尝试㊁分析与思考,短短几分钟的时间,学生就通过活动体验获得如下结论:首先选定与条件相符的两名学生坐在相同编号的椅子上,这种坐法有C２５种,而后剩下的三名学生需要坐在与自己的编码不一样的椅子上,这种情况有两种,再结合乘法原理获得结论２C２５＝２０(种)．学生通过自主分析,获得了解决问题的办法．若想在课堂中渗透数学文化,教师可在此时改编问题,鼓励学生自导自演如下问题:①如果甲同学确定坐在１号椅子上,有几种可能?②如果乙同学不坐在５号椅子上,有几种可能?③如果数学老师也参与进来,在不改变原来５名学生位置的情况下,又存在几种可能?随着问题的逐渐深入,学生的思维也变得更加深刻,整个教学过程充满了生活气息与文化底蕴,学生通过参与坐椅子活动,切身体验到数学源自生活㊁高于生活㊁服务于生活的价值与意义．４解题教学,提升文化底蕴数学文化在人类文化发展历程中一直充当着重要角色．近年来,随着新课改的推进,高考试题也越来越灵活,高考试卷中都有数学文化的身影．这就要求教师在日常解题教学中要注意数学文化的渗透,让学生通过解题不仅能更好地掌握知识与技能,还能提升文化底蕴,并从中获得良好的人格品质．数学史是数学文化的载体,在例题中融入数学史㊁数学家小故事㊁知识发展史以及古典名题等都是渗透数学文化的表现[３]．案例４㊀数学史融入例题的教学图１如图１,此为希波克拉底所研究的几何图形,该图由三个半圆组成,三个半圆的直径分别是R tәA B C的斜边B C,直角边A B,A C,将әAB C三条边所围成的区域(阴影部分)定义为Ⅰ,黑色部分定义为Ⅱ,其他部分定义为Ⅲ,若在图中任意取点,并将该点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ部分的概率分别记作p１,p２,p３,那么,下列说法正确的是(㊀㊀)．A．p１＝p２㊀㊀㊀㊀㊀B．p１＝p３C．p１＝p２＋p３D．p２＝p３希波克拉底是学生耳熟能详的人物,他的 希波克拉底誓言 是医护工作者职业道德圣典,他所研究的月牙形几何问题较多,借助他所提出的关于月牙形几何面积问题 月牙定理,一方面考查学生的几何直观㊁理性分析与运算能力,另一方面通过这个问题拓展学生的视野,渗透数学文化．总之,教育是基于生命的事业,是直面人的教育．因此,我们应将数学教学提升到生命的层次．如,通过教学情境的创设为课堂营造良好的文化氛围,为传播数学文化㊁提升学生的综合素养奠定环境基础;也可通过丰富的活动,让学生体验数学的活力与生命力,将数学文化渗透在解题教学中,潜移默化地提升学生的思维品质与文化素养．参考文献:[１]克莱因．古今数学思想:第一册[M]．上海:上海科学技术出版社,１９７９:２３．[２]皮亚杰,英海尔德．儿童心理学[M]．吴富元,译．北京:商务印书馆,１９８１:４４．[３]陈慧玲．论新课程背景下数学史与中学数学教育的结合[D]．武汉:湖北大学,２００６．Z５２。
2021届高考数学大二轮专题复习讲义(新高考)专题8第1讲数学文化及核心素养类试题
第1讲数学文化及核心素养类试题「考情研析」数学文化与数学知识相结合，有效考查考生的阅读理解能力、抽象概括能力、转化与化归能力，既体现了对数学应用性的考查，也体现了我国数学文化的源远流长．高考中多以选择题的形式出现，难度中等.热点考向探究考向1三角函数中的数学文化例1(2020·河北省衡水中学第九次调研考试)我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤(ab)2－⎝⎛⎭⎪⎫a2＋b2－c222.根据此公式，若a cos B＋(b＋3c)cos A＝0，且a2－b2－c2＝2，则△ABC的面积为()A． 2 B．2 2C． 6 D．2 3我国南宋数学家秦九韶发现的“三斜求积术”虽然与海伦公式(S＝p(p－a)(p－b)(p－c)，其中p＝12(a＋b＋c))在形式上不一样，但两者完全等价，它填补了我国传统数学的一项空白．(2020·湖南省长郡中学高三第三次适应性考试)上世纪末河南出土的以鹤的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(图1)，充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系．图2为骨笛测量“春(秋)分”“夏(冬)至”的示意图．图3是某骨笛的部分测量数据(骨笛的弯曲忽略不计)，夏至(或冬至)日光(当日正午太阳光线)与春秋分日光(当日正午太阳光线)的夹角等于黄赤交角．由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如表：黄赤交角23°41′23°57′24°13′24°28′24°44′正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年A．早于公元前6000年B．公元前2000年到公元元年C．公元前4000年到公元前2000年D．公元前6000年到公元前4000年考向2数列中的数学文化例2(多选)(2020·山东省青岛市高三三模)在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中的第n 天所织布的尺数为a n ，b n ＝2an ，对于数列{a n }，{b n }，下列选项中正确的为( )A ．b 10＝8b 5B ．{b n }是等比数列C ．a 1b 30＝105D ．a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＝209193本题以传统数学文化为载体考查数列的实际应用问题．解题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，建立等差、等比数列的模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，利用方程思想求解．(2020·福建省宁德市二模)著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”．音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的．我国明代的数学家、音乐理论家朱载堉创立了十二平均律，是第一个利用数学使音律公式化的人．十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如表所示，其中a 1，a 2，…，a 13表示这些半音的频率，它们满足log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a i ＋1a i 12＝1(i ＝1,2，…，12)．若某一半音与D #的频率之比为32，则该半音为( ) 频率 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 a 13 半音CC #DD #EFF #G G #AA #BC (八度)C ．G #D ．A考向3 立体几何中的数学文化例3我国齐梁时代的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图，将底面直径都为2b，高皆为a的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面β上，用平行于平面β且与平面β任意距离d处的平面截这两个几何体，可横截得到S圆及S环两截面．可以证明S圆＝S环总成立．据此，半短轴长为1，半长轴长为3的椭球体的体积是________.依托立体几何，传播数学文化．立体几何是中国古代数学的一个重要研究内容，从中国古代数学中挖掘素材，考查立体几何的线面的位置关系、几何体的体积等知识，既符合考生的认知水平，又可以引导学生关注中华优秀传统文化．(2020·山东省潍坊市模拟)唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图2所示．已知球的半径为R，酒杯内壁表面积为143πR2.设酒杯上部分(圆柱)的体积为V1，下部分(半球)的体积为V2，则V1V2＝()A．2 B．3 2C．1 D．3 4考向4概率中的数学文化例4(2020·河北省张家口高三5月模拟)角谷猜想，也叫3n＋1猜想，是由日本数学家角谷静夫发现的，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2，如此循环最终都能够得到1.如：取n＝6，根据上述过程，得出6,3,10,5,16,8,4,2,1，共9个数．若n＝5，从根据上述过程得出的整数中，随机选取两个不同的数，则这两个数都是偶数的概率为()A．37B．715C．25D．35数学文化渗透到概率数学中去，不但丰富了数学的概率知识，还提高了学生的文化素养．解决此类问题的关键是构建合理的概率模型，利用相应的概率计算公式求解．(2020·河南省六市高三一模)五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明的重要组成部分．古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为()A．12B．13C．14D．15考向5数学文化与现代科学例52016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③c1a1<c2a2；④c1a2>a1c2.其中正确式子的序号是()A．①③B．①④C．②③D．②④．(1)命题者抓住“嫦娥奔月”这个古老而又现代的浪漫话题，以探测卫星轨道为背景，抽象出共一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆的几何性质，并以加减乘除的方式构造两个等式和两个不等式，考查椭圆的几何性质，可谓匠心独运．(2)注意到椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ共一个顶点P和一个焦点F，题目所给四个式子涉及长半轴长和半焦距，从焦距入手，这是求解的关键，本题对考生的数学能力进行了比较全面的考查，是一道名副其实的小中见大、常中见新、蕴文化于现代科学技术应用之中的好题．(2020·北京市东城区模拟)标准对数远视力表(如图)采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“E”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”边长的1010倍，若视力4.1的视标边长为a，则视力4.9的视标边长为()A．104 5aB．109 10aC．D．真题押题『真题检验』1．(2020·新高考卷Ⅰ) 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为()A．20°B．40°C．50°D．90°2．(2020·全国卷Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块3. (2019·全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________.『押题』4．天干地支纪年法(简称干支纪年法)是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：2049年是新中国成立100周年．这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴．使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2059年是________年；使用干支纪年法可以得到________种不同的干支纪年．专题作业一、选择题1．(2020·山东省烟台市模拟)《九章算术》是我国古代的一本数学名著．全书为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题．在第六章“均输”中有这样一道题目：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“现有五个人分5钱，每人所得成等差数列，且较多的两份之和等于较少的三份之和，问五人各得多少？”在此题中，任意两人所得的最大差值为()A．13B．23C．16D．562．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”．其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则该人第五天走的路程为()A．48里B．24里C．12里D．6里3. (2020·河北六校联考)玉琮是中国古代玉器中重要的礼器，神人纹玉琮王是新石器时代良渚文化的典型玉器，1986年出土于浙江省余杭县反山文化遗址．如图，玉琮王通高8.8 cm，孔径4.9 cm，外径17.6 cm，琮体四面各琢刻一完整的兽面神人图象，兽面的两侧各浅浮雕鸟纹，器形呈扁矮的方柱体，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔．估计该神人纹玉琮王的体积为(单位：cm3)()A．6250 B．3050C．2850 D．23504．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据称为勾股数．现从1～15这15个数中随机抽取3个数，则这三个数为勾股数的概率为()A．1910B．3910C．4455D．64555．阿基米德(公元前287年～公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆的离心率为74，面积为12π，则椭圆C的方程为()A．x29＋y216＝1 B．x23＋y24＝1C．x218＋y232＝1 D．x24＋y236＝16．(2020·山东省泰安市模拟)我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体(如图所示)，下底面是边长为2的正方形，上棱EF＝32，EF ∥平面ABCD，EF与平面ABCD的距离为2，该刍甍的体积为()A．6 B．11 3C．314D．127．(2020·江西省九江市二模)算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65.若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为()A．38B．12C．23D．348．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年．例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，在堑堵ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，若A1A＝AB＝2，当阳马B－A1ACC1体积最大时，堑堵ABC－A1B1C1的体积为()A．83B． 2C．2 D．2 29．(2020·四川省达州市模拟)斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有．图1、图2是斗拱实物图，图3是斗拱构件之一的“斗”的几何体．本图中的斗由棱台与长方体形凹槽(长方体去掉一个小长方体)组成．若棱台两底面面积分别是400 cm2,900 cm2，高为9 cm，长方体形凹槽的体积为4300 cm3，那么这个斗的体积是()注：台体体积公式是V＝13(S′＋S′S＋S)h.A．5700 cm3B．8100 cm3C．10000 cm3D．9000 cm310. (2020·辽宁省葫芦岛市模拟)地球的公转轨道可以看作是以太阳为一个焦点的椭圆，根据开普勒行星运动第二定律，可知太阳和地球的连线在相等的时间内扫过相等的面积．某同学结合物理和地理知识得到以下结论：①地球到太阳的距离取得最小值和最大值时，地球分别位于图中A点和B点；②已知地球公转轨道的长半轴长约为149600000千米，短半轴长约为149580000千米，则该椭圆的离心率约为1，因此该椭圆近似于圆形；③已知我国每逢春分(3月21日前后)和秋分(9月23日前后)，地球会分别运行至图中C点和D点，则由此可知我国每年的夏半年(春分至秋分)比冬半年(当年秋分至次年春分)要少几天．以上结论正确的是()A．①B．①②C．②③D．①③二、填空题11．数学与文化有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343,12521等，两位数的回文数有11,22，33，…，99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是________.12．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是________.13．(2020·山东省泰安市高三一模)《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成，“”表示一根阳线，“”表示一根阴线，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线、四根阴线的概率为________.14．我国《物权法》规定：建造建筑物，不得违反国家有关工程建设标准，妨碍相邻建筑物的通风、采光和日照．已知某小区的住宅楼的底部均在同一水平面上，且楼高均为45 m，依据规定，该小区内住宅楼楼间距应不小于52 m．若该小区内某居民在距离楼底27 m高处的某阳台观测点，测得该小区内正对面住宅楼楼顶的仰角与楼底的俯角之和为45°，则该小区的住宅楼楼间距实际为________ m.第1讲数学文化及核心素养类试题「考情研析」数学文化与数学知识相结合，有效考查考生的阅读理解能力、抽象概括能力、转化与化归能力，既体现了对数学应用性的考查，也体现了我国数学文化的源远流长．高考中多以选择题的形式出现，难度中等.热点考向探究考向1三角函数中的数学文化例1(2020·河北省衡水中学第九次调研考试)我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤(ab)2－⎝⎛⎭⎪⎫a2＋b2－c222.根据此公式，若a cos B＋(b＋3c)cos A＝0，且a2－b2－c2＝2，则△ABC的面积为()A ． 2B ．2 2C ． 6D ．2 3答案 A解析 由a cos B ＋(b ＋3c )cos A ＝0，可得sin A cos B ＋cos A sin B ＋3sin C cos A ＝0，即sin(A ＋B )＋3sin C cos A ＝0，即sin C (1＋3cos A )＝0，因为sin C ≠0，所以cos A ＝－13，由余弦定理可得a 2－b 2－c 2＝－2bc cos A ＝23bc ＝2，所以bc ＝3，由△ABC 的面积公式可得S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤(bc )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2＋b 2－a 222＝14×(32－12)＝ 2.故选A ．我国南宋数学家秦九韶发现的“三斜求积术”虽然与海伦公式(S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )，其中p ＝12(a ＋b ＋c ))在形式上不一样，但两者完全等价，它填补了我国传统数学的一项空白．(2020·湖南省长郡中学高三第三次适应性考试)上世纪末河南出土的以鹤的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(图1)，充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系．图2为骨笛测量“春(秋)分”“夏(冬)至”的示意图．图3是某骨笛的部分测量数据(骨笛的弯曲忽略不计)，夏至(或冬至)日光(当日正午太阳光线)与春秋分日光(当日正午太阳光线)的夹角等于黄赤交角．由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如表：黄赤交角23°41′23°57′24°13′24°28′24°44′正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是()A．早于公元前6000年B．公元前2000年到公元元年C．公元前4000年到公元前2000年D．公元前6000年到公元前4000年答案 A解析由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为α，春秋分日光与垂直线夹角为β，则α－β即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，由图3近似画出如图平面几何图形，则tanα＝1610＝1.6，tanβ＝16－9.410＝0.66，tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝ 1.6－0.661＋1.6×0.66≈0.457.∵0.455<0.457<0.461，∴估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．考向2数列中的数学文化例2(多选)(2020·山东省青岛市高三三模)在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中的第n 天所织布的尺数为a n ，b n ＝2an ，对于数列{a n }，{b n }，下列选项中正确的为( )A ．b 10＝8b 5B ．{b n }是等比数列C ．a 1b 30＝105D ．a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＝209193答案 BD解析 由题意可知，数列{a n }为等差数列，设数列{a n }的公差为d ，a 1＝5，由题意可得30a 1＋30×29d 2＝390，解得d ＝1629，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝16n ＋12929，∵b n ＝2an ，∴b n ＋1b n ＝2an ＋12an ＝2an ＋1－an ＝2d (非零常数)，则数列{b n }是等比数列，B 正确；∵5d ＝5×1629＝8029≠3，b 10b 5＝(2d )5＝25d ≠23，∴b 10≠8b 5，A 错误；a 30＝a 1＋29d ＝5＋16＝21，∴a 1b 30＝5×221>105，C 错误；a 4＝a 1＋3d ＝5＋3×1629＝19329，a 5＝a 1＋4d ＝5＋4×1629＝20929，∴a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＝3a 53a 4＝a 5a 4＝209193，D 正确．故选BD.本题以传统数学文化为载体考查数列的实际应用问题．解题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，建立等差、等比数列的模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，利用方程思想求解．(2020·福建省宁德市二模)著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”．音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的．我国明代的数学家、音乐理论家朱载堉创立了十二平均律，是第一个利用数学使音律公式化的人．十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如表所示，其中a 1，a 2，…，a 13表示这些半音的频率，它们满足log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a i ＋1a i 12＝1(i ＝1,2，…，12)．若某一半音与D #的频率之比为32，则该半音为( ) 频率 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 a 13 半音CC #DD #EFF #G G #AA #BC (八度)C ．G #D ．A答案B解析 由题意知log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a i ＋1a i 12＝1(i ＝1,2，…，12)， ∴a i ＋1a i＝2112，故数列{a n }是公比q ＝2112的等比数列． ∵a 4＝D #，a 8＝a 4q 4＝D #×(2112)4＝D #×32＝G ，∴G D #＝32.故选B.考向3 立体几何中的数学文化例3 我国齐梁时代的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图，将底面直径都为2b ，高皆为a 的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面β上，用平行于平面β且与平面β任意距离d 处的平面截这两个几何体，可横截得到S 圆及S 环两截面．可以证明S 圆＝S 环总成立．据此，半短轴长为1，半长轴长为3的椭球体的体积是________.答案 4π解析 因为S 圆＝S 环总成立，则半椭球体的体积为πb 2a －13πb 2a ＝23πb 2a ， 所以椭球体的体积为V ＝43πb 2a ，因为椭球体的半短轴长为1，半长轴长为3， 所以椭球体的体积为V ＝43πb 2a ＝43π×12×3＝4π， 故答案是4π.依托立体几何，传播数学文化．立体几何是中国古代数学的一个重要研究内容，从中国古代数学中挖掘素材，考查立体几何的线面的位置关系、几何体的体积等知识，既符合考生的认知水平，又可以引导学生关注中华优秀传统文化．(2020·山东省潍坊市模拟)唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图2所示．已知球的半径为R ，酒杯内壁表面积为143πR 2.设酒杯上部分(圆柱)的体积为V 1，下部分(半球)的体积为V 2，则V 1V 2＝( )A ．2B ．32C．1 D．3 4答案 A解析由球的半径为R，得半球的内部表面积为2πR2，又酒杯内壁表面积为143πR2，∴圆柱的侧面积为83πR2.设圆柱的高为h，则2πR·h＝83πR2，即h＝43R.∴V1＝πR2·43R＝43πR3，V2＝23πR3，∴V1V2＝43πR323πR3＝2.故选A．考向4概率中的数学文化例4(2020·河北省张家口高三5月模拟)角谷猜想，也叫3n＋1猜想，是由日本数学家角谷静夫发现的，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2，如此循环最终都能够得到1.如：取n＝6，根据上述过程，得出6,3,10,5,16,8,4,2,1，共9个数．若n＝5，从根据上述过程得出的整数中，随机选取两个不同的数，则这两个数都是偶数的概率为() A．37B．715C．25D．35答案 C解析若n＝5，根据上述过程得出的整数有5,16,8,4,2,1，随机选取两个不同的数，基本事件总数n＝C26＝15，这两个数都是偶数包含的基本事件个数m＝C24＝6，则这两个数都是偶数的概率为P＝mn＝615＝25.故选C.数学文化渗透到概率数学中去，不但丰富了数学的概率知识，还提高了学生的文化素养．解决此类问题的关键是构建合理的概率模型，利用相应的概率计算公式求解．(2020·河南省六市高三一模)五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明的重要组成部分．古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为()A．12B．13C．14D．15答案 A解析金、木、水、火、土彼此之间存在相生相克的关系．从5类元素中任选2类元素，基本事件总数n＝C25＝10,2类元素相生包含的基本事件有5个，则2类元素相生的概率为P＝510＝12.故选A．考向5数学文化与现代科学例52016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③c1a1<c2a2；④c1a2>a1c2.其中正确式子的序号是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④答案 D解析 观察题图可知a 1>a 2，c 1>c 2，∴a 1＋c 1>a 2＋c 2，即①式不正确；a 1－c 1＝a 2－c 2＝|PF |，即②式正确；由a 1－c 1＝a 2－c 2>0，c 1>c 2>0，知a 1－c 1c 1<a 2－c 2c 2，即a 1c 1<a 2c 2，从而c 1a 2>a 1c 2，c 1a 1>c 2a 2.即④式正确，③式不正确．(1)命题者抓住“嫦娥奔月”这个古老而又现代的浪漫话题，以探测卫星轨道为背景，抽象出共一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆的几何性质，并以加减乘除的方式构造两个等式和两个不等式，考查椭圆的几何性质，可谓匠心独运．(2)注意到椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ共一个顶点P 和一个焦点F ，题目所给四个式子涉及长半轴长和半焦距，从焦距入手，这是求解的关键，本题对考生的数学能力进行了比较全面的考查，是一道名副其实的小中见大、常中见新、蕴文化于现代科学技术应用之中的好题．(2020·北京市东城区模拟)标准对数远视力表(如图)采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“E”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”边长的1010倍，若视力4.1的视标边长为a ，则视力4.9的视标边长为( )。
理性恒久远,思想永流传——立体几何教学札记
数学教学通讯投稿邮箱:************.com >教学实践理性恒久远，思想永流传----立体几何教学札记李传峰上海市建平中学200135［摘要］新一轮的课程及革以挖掘数学的文化价值为主旨，要求将数学文化渗透于高中数学教学的始终.数学作为一种文化的传承，对学生进行数学的文化教育是素质教学的一个重要内涵.文章从多个案例出发，在课堂激趣、质疑问难、探究延伸等方面透析数学文化与数学课堂的融合，呈现出教学中处处可以渗透数学文化的特征，以期为广大数学教师的教学提供指导，从而提高学生的整体文化素养.［关键词］立体几何;理性精神;教学难点高中教材中立体几何的主要内容源自古希腊的欧氏几何,对欧氏几何的存废,当前数学教育界一宜有争议，有人认为欧氏几何作为“死掉的数学”，以美国为首的西方中学数学教材已经基本删除,我们也没有必要再保留；也有专家认为，欧氏几何对培养学生的逻辑推理能力和空间想象能力很有帮助，坚持在中学数学教材中保留有关内容.应当说，二期课改后教材中有关立体几何内容的编选现状基本体现了两种观点的妥协.立体几何真的死掉了吗？为什么学生害怕学习立体几何？如何在立体几何教学中落实培养学生核心素养的要求？笔者试图从立体几何的学科本质出发,对立体几何教学内容的数学本质进行解析,探索教学难点的突破，探索在立体几何教学中落实核心素养的培养.卩立体几何真的死掉了吗？陈省身先生认为，数学分“好的数学”（指有意义，有创新）和“不好的数学”（指仅限于把他人工作推演一番）.为了让学生学习“好的数学”，国内高中数学教材对立体几何内容进行了大刀阔斧的改革，删除了大量的命题及证明，引入空间向量和坐标法，这些改革与发展“好的数学”的思路相符合.笔者以为，我国高中数学教材的内容编选,从一期课改到二期课改,逐渐改变了因为照搬外国教材和时代发展造成的“繁、难、偏、旧”问题总体上讲,内容编选越来越科学、越来越适应时代发展的需要和学生认知的特点.随着数学和时代的发展，删掉教材中非核心的、过于技巧性的数学内容是应该的，但对核心的、思想性的数学内容应该保留，特别是完全删除某块数学内容，应当慎重.欧氏几何自公元前出现到现在已经2000多年了，它的发展对整个人类数学的发展都具有非凡的作用和意义.尽管教材中立体几何的许多文字表述和逻辑体系与《几何原本》相比，发生了很大变化，但它所代表的古希腊传承下来的理性精神和以演绎思维为基础的逻辑推理方法却散发着永恒的光辉.因此，在中学教材中保留必要的欧几里得几何学的内容，既有传承理性文化的意义，也有传递数学演绎思维的作用.第二次世界大战以前，微分几何不是核心数学，甚至被认为“它已经死了”，但20世纪下半叶以来，微分几何却成了主流，且由它发展起来的数学至21世纪依然是核心数学.所以，“非核心数学”可以发展成“核心数学”，同样，“死掉的欧几里得噌经催生了非欧几何的诞生和发展，谁又敢保证在未来某个时间它不会突然枯木逢春，重新焕发青春？作者简介:李传峰（1971-）,教育硕士，中学高级教师，从事高中数学概念研究和解题研究.32>2020年5冃（下旬）删勰5卩高中教材中立体几何的内容特点分析1.空间问题平面化⑴作图上的空间问题平面化.欧氏几何要把空间图形在平面上（纸上）表达出来,这其实是一个不可能的事情,为了达到在平面上表达空间图形的效果,我们必须在画图和读图上做到“以假为真”“以真为假”.借用《红楼梦》里的一句话:“假作真时真亦假”.在纸上画出来的空间结构都是假的,但我们要想办法把它看成真的.例如，我们说图1表示正方体,其实它是画在平面上的,这就是典型的以假为真;现实中的空间结构都是真的，但它在我们立体几何的概念中却是假的.例如，我们在立体几何中谈的正方体是对物理世界中正方体形状的空间结构（如粉笔盒）的抽象，不考虑它的质量、颜色、表面光滑与否等.所以，立体几何里的正方体在现实中是不存在的，因而是假的.（2）概念的刻画上的空间问题平面化.在学习立体几何以前,我们首先学习了平面几何（《几何原本》的前六章是平面几何，第七章到第九章是算术（数论）,第十章是不可通约量的理论，第十一章到第十三章才是立体几何内容,空间结构的有关概念是用平面上的有关概念来刻画的,这有利于问题的定量解决.掌握了这个线索,有助于我们从整体上理解立体几何知识脉络和思想体系.例如,有关角的概念，不管是异面宜线所成的角，还是宜线与平面所成的角，或者是二面角，均用平面上的角来刻画.2.无限问题有限化（1）内涵上的无限个转化成判定上的有限个.例如,若平面a外的直线/与平面a平行,则宜线2与平面a内的无数条直线平行，但只需证明宜线2与平面a内一条宜线平行，就可以判定直线Z与平面a 平行.同样道理的还有:线面垂直判定转化成“一条宜线垂宜于两条相交直线”;面面平行判定转化成“两条相交直线与平面平行”,等等.（2）外延上的无限个转化成内涵上的有限个.例如，从外延上，有无数条直线与平面所成角为60。
立体几何中的数学文化——“正方体”与“阳鸟”
立体几何中的数学文化——“正方体”与“阳鸟”
在立体几何的领域里，有许多有趣的数学文化和概念。
其中，正方体和阳鸟是两个具有代表性的例子。
尽管它们在表面上看起来似乎没有太多相似之处，但它们都具有深厚的数学背景和文化内涵。
首先，我们来看正方体。
正方体是一种具有六个相等的正方形面的立体图形。
它有相等的六个面，八个顶点和十二条棱。
在数学中，正方体是继点、线、面之后的第四个维度。
这是因为它在空间中具有长度、宽度和高度三个维度的属性。
正方体和立方体概念最早可以追溯到古希腊数学家欧几里得的《几何原本》。
在此书中，欧几里得解释了各种形状的特性和性质，其中包括正方体。
通过使用几何方法，欧几里得证明了正方体的对角线的长度等于边长的立方根的两倍。
这个证明是对正方体特性的一种重要描述。
在文化上，正方体也具有重要的象征意义。
它被广泛应用于建筑、雕塑、立体设计等领域。
许多建筑物和公共场所都以正方体的形式或元素进行设计，这不仅可以提供结构稳定性，还能够创造出美观、简洁的外观。
综上所述，正方体和阳鸟作为立体几何中的数学文化概念，都具有深厚的数学背景和丰富的文化内涵。
正方体以其稳定性和美学特点在建筑和设计领域被广泛应用，而阳鸟则在立方体展开和折叠方面发挥了重要的作用，并在文化和艺术中被赋予了象征的意义。
正方体和阳鸟的研究和应用不仅丰富了立体几何的理论内容，还在现实生活中提供了许多启示和创新的思路。
数学教学中渗透数学文化的探索
作者简介：张鱼鱼（1983－），女，甘肃通渭人，一级教师，从事数学教学与研究。
数学是一门实用性和艺术性兼具的学科，在义务教育阶段数学能够培养学生解决实际问题的能力，锻炼学生的逻辑思维和空间想象能力。
数学蕴含着深厚的数学文化，在教学过程中融入数学文化，可以潜移默化地影响学生并提升学生的数学涵养。
本文针对义务教育阶段数学教学中渗透数学文化的具体做法进行分析。
一、相关理论基础1.数学文化概述数学文化不仅包括上课所学的基本数学知识，还包含数学的发展史、一些数学方法及数学典故等内容。
数学文化的存在，对提升学生的数学核心素养有着非常重要的意义，在义务教育过程中，对数学的教学不应该只停留在学科的教学，还应该在知识教学的过程中渗透数学文化，这样才能提升学生的综合素养。
2.数学教学中渗透数学文化的原则要在数学教学中渗透数学文化，教师就需要具备专业的教学水平，并能把数学文化提炼成通俗易懂的教学案例，从而服务于教学内容。
以下就是渗透数学文化的几点原则。
第一，相关性。
在渗透数学文化时，要考虑教学内容是否与数学文化相匹配，是否具有相关性。
第二，趣味性。
在数学课堂中引入相关的数学文化，必须穿插一些趣味性较强的环节，让课堂变得更加生动有趣，从而激发学生对数学文化的求知欲。
第三，思想性。
在义务教育阶段，教师很难让学生完整地了解数学文化体系，因此，教师应该注重培养学生的数学思想与精神。
第四，适度性。
在数学课堂中渗透数学文化，一定要在保证教学目标的前提下，进行适度的渗透，而不能厚此薄彼。
第五，有效性。
在义务教育阶段的数学课堂设计之中，教师应该更加强调数学文化的基础本质，注重文化渗透的有效性，从而引起学生与教师思想的交流。
二、义务教育阶段渗透数学文化的意义1.提升学生的数学学习与运用能力教师在教学过程中渗透数学文化，对于学生数学逻辑思维的形成起着引导的作用，此过程中教师通过深入浅出的教学使得学生的数学思维一步步清晰化，将本就模糊的数学思路得以升华，这样就在无形中帮助学生解决了数学问题中的难点问题，有利于学生更好地破解难题，提高学生在数学学习过程中的参与度，能够促使学生主动参与数学学习。
立体几何中的数学文化——“球体”与“阴蛇”
立体几何中的数学文化——“球体”与“阴蛇”立体几何中的数学文化——"球体"与"阴蛇"立体几何作为数学的一个重要分支，在数学文化中扮演着重要角色。
本文将重点介绍立体几何中的两个重要概念：球体和阴蛇。
球体球体是一种具有特殊几何性质的立体。
它是由所有到一个给定点的距离等于某一固定值的点构成的。
球体在数学和科学中起着重要的作用。
球体不仅仅是一个几何形状，它还有着深厚的数学意义。
它在数学中的应用非常广泛，例如在计算体积、曲面积分、电磁学和力学等领域都有着重要的应用。
此外，球体也是艺术和文化中的重要元素。
它作为一个完美的几何形状，经常出现在建筑、雕塑和绘画作品中。
球体形状的优雅和和谐感引发了人们对美的追求和探索。
阴蛇阴蛇是立体几何中的另一个重要概念。
它是指一条曲线在三维空间中绕一轴旋转形成的立体。
阴蛇是一个具有动态和流畅感的几何形状，呈现出独特的美学特征。
阴蛇在数学和艺术之间形成了有趣的桥梁。
在数学中，阴蛇是曲线和立体的完美结合，具有丰富的几何性质和数学规律。
而在艺术中，阴蛇的优美曲线和动感形态经常出现在雕塑、珠宝和设计作品中，给人带来视觉的愉悦和享受。
阴蛇也象征着人类对于美的追求和创造力的表达。
通过对阴蛇的观察和研究，人们能够更好地理解立体几何的美学原理，并将其应用于艺术创作和设计中。
总结立体几何中的数学文化是一门综合性的学科，它不仅仅关注几何形状本身，还深入研究其背后的数学原理和艺术表达。
球体和阴蛇作为立体几何的两个重要概念，不仅具有独特的几何性质，还在数学和艺术领域中发挥着重要作用。
通过深入了解和探索立体几何中的数学文化，我们能够更好地欣赏和理解其在现实生活和艺术创作中的意义。
走进鳖臑几何体,增长数学文化知识
走进鳖臑几何体,增长数学文化知识郭明娴【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2017(000)023【总页数】2页(P6-7)【作者】郭明娴【作者单位】甘肃临夏回民中学【正文语种】中文本文着重帮助读者理清对鳖(bīe)臑(nào)几何体的理解与认识,加强对我国古代优秀数学文化的关注;同时结合对鳖臑几何体的性质探究,可强化综合应用能力,拓宽思维视野.《九章算术·商功》:“斜解立方,得两堑堵．斜解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑.阳马居二,鳖臑居一,不易之率也．合两鳖臑三而一,验之以棊,其形露矣.”刘徽注:“此术臑者,背节也,或曰半阳马,其形有似鳖肘,故以名云.中破阳马,得两鳖臑,鳖臑之起数,数同而实据半,故云六而一即得.”阐释:阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓,取一长方体,按图1斜割一分为二,得2个一模一样的三棱柱,称为堑堵.如图2,再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开,得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底,另有一棱与底面垂直的四棱锥,称为阳马.余下的三棱锥是由4个直角三角形组成的四面体,称为鳖臑.北京师范大学出版社《普通高级中学课程标准实验教科书·数学·必修2》的第一章“立体几何初步”的第6节“垂直关系”的例题1(第37页): 如图3所示,在Rt△ABC中,∠B=90°,点P为△ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC.问:四面体PABC中有几个直角三角形?教材借助于这道例题给同学们介绍了鳖臑几何体,并提出思考问题(第38页): 仔细观察,你可以从图中得出几组互相垂直的平面?让同学们更进一步认识这一特殊几何体．教材紧接着在随后的例2中就给出了以鳖臑为载体的几何命题的证明问题(第38页): 如图4,AB为⊙O的直径,⊙O所在平面为α,PA⊥α于A,C为⊙O上异于A、B的一点．求证:平面PAC⊥平面PBC．该题借助鳖臑这一几何体中丰富的垂直关系,让学生来熟悉垂直中的判定定理以及性质定理的应用．例1 如图5所示,鳖臑几何体P-ABC中,PA⊥平面ABC,AC⊥CB,AM⊥PB于M,AN⊥PC于N.证明:(1) BC⊥平面PAC;(2) PB⊥平面AMN;(3) 平面PBC⊥平面AMN;(4) PB⊥MN.证明 (1)因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC. 又AC⊥CB,AC∩PA=A,所以BC⊥平面PAC.(2) 因为BC⊥平面PAC,AN⊂平面PAC,所以BC⊥AN.又AN⊥PC,PC∩BC=C,所以AN⊥平面PBC,则AN⊥PB.又AM⊥PB,所以PB⊥平面AMN.(3) 由(2)知PB⊥平面AMN,所以平面PBC⊥平面AMN.(4) 由(2)知PB⊥平面AMN，MN⊂平面AMN，所以PB⊥MN.图形中异面直线PA与BC的距离等于线段AC的长度;异面直线AN与PB的距离等于线段MN的长度.例2 如图6,设α为CB与斜线PB的夹角∠PBC,β为CB与斜线PB在底面ABC的射影AB的夹角∠ABC,θ为PB与底面ABC所成的角∠PBA,γ为二面角A-PB-C的平面角,ρ为直线AB与平面PBC所成的角,φ为直线PC与底面ABC所成的角, ω为直线PC与平面PAB所成的角,证明:(1) cos α=cos βcos θ; (2) sin γ=;(3) sin ρ=sin φsin β; (4) sin θ=sin φsin α;(5) tan α=.证明(1)cos βcos θ=·=cos α.(2) ====sin γ.(3) sin φsin β=·==sin ρ.(4) sin φsin α=·==sin θ.(5) 过C作CH⊥AB于H,连接PH,则CH⊥平面PAB,∠CPH=ω,图形中二面角P-BC-A的平面角的大小等于φ；二面角A-PB-C的平面角的大小等于γ；直线AB与平面PAC所成的角为δ；二面角B-PA-C的平面角的大小等于δ=-β；直线AC与平面PAB所成的角为δ=-β；直线PB与平面PAC所成的角为-α；直线AC与平面PBC所成的角为φ；直线PA与平面PBC所成的角为-φ.总之,鳖臑几何体中有着丰富的垂直关系,是讨论线线垂直、线面垂直、面面垂直以及3种垂直关系相互转化的非常好的载体;鳖臑几何体蕴含着棱锥、棱台的所有要素,可以破解立体几何千变万化的空间角;鳖臑几何体涵盖了立体几何中最基本、最核心的知识点的模型,蕴含的基本关系揭示了立体几何的基本结构与本质规律.故曰:鳖臑是立体几何的灵魂.。
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""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""# 出现过刘徽 祖冲之 秦九韶等伟大的数学家 以及众多 !! 中国古代数学取得了极其辉煌的成就
其中 九章算术 和 数书九章 便是其中的代表作 ! 这些中国古代数学名著是中 华 优 秀 传 数学名著 密 具有浓厚的实际背景 体现出明显的问题式 综合性和算法化的特征 !
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面那一大段话 & 直接 根 据 试 题 最 后 一 句 所 给 的 圆 锥
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例
我国古代数学名著 ! 数 书 九 章" 中有# 天池盆测 雨$ 题% 在下雨时 & 用一个圆台形的天池盆接雨水 ! 天
上篇 ! 数学文化题赏析 !
池盆盆口直径为二尺八寸 & 盆底直径为一尺二寸 & 盆 % % 深一尺八寸 ! 若 盆 中 积 水 深 九 寸& 则平地降雨量是 % % 寸! % ( 注% 平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口 % % 面积 + 一尺等于十寸 + 圆台体积公式 % % % " (+ + % ) "% ') 2 & 2) &) ! % % 分析 ! 根据题设判断天池盆中积水形状为圆 % 结合题中有关数据判断此圆台的上 下底面 % 台形状 % 再结合题后注释 圆台体积公式和圆的面 % 半径和高 % 积公式计算即可 ! % 解析 天池盆中水的形状是一个上 % ! 依题 意 # % 底半径 " 下底半径 # 寸 # 高 $ 寸的圆台 # 从而平 % -寸# % % "+ , " # 2# 2! 0$ % ! 均降雨量为 %!! % " $ # % 赏析 数 书 九 章" & 通过加工改造 % ! 本题源 于 ! % 试题体 % 和加注解释的方式 降 低 了 理 解 题 意 的 难 度 ! 现了空间想象能力 中 # 无图想图$ , # 无 图 作 图$ 的高 % % 有效地考 查 了 考 生 提 炼 图 形 与 应 用 图 形 % 层次要求 & % 的能力 & 同时传播了数学文化 ! 著名数学史专家钱宝 % % 琮先生对于 ! 数书九章 " 中提到的 # 天池盆 $ 作了高度 % 指出 % # 天池 盆 是 世 界 文 化 史 上 最 早 出 现 的 % 的评价 & % % $ 雨量器 ! % % 例 % % # 牟合方盖 $ 是我国古代数学家刘徽在研究球的 % % 它由 % 体积的过程中构造 的 一 个 和 谐 优 美 的 几 何 体 ! 完全相同的四个曲 面 构 成 & 相对的两个曲面在同一 % % 个圆柱的侧面上 & 好似两个扣合( 牟 合) 在一起的方 % % 形伞 ( 方盖 ) 其直观图如下左图 & 图中四边形是为体 % ! % 现其直观性所作的 辅 助 线 ! 其实际直观图中四边形 % 当其正视图和侧视图完全相同时 & 它的正视 % 不存在 & % 图和俯视图分别可能是 ( % !! ) % % % % % % % % () $& % *) $& * ,) *& % /) %& # % 分析 理解题干中有 % ! 观察 题 目 所 给 直 观 图 % 关 牟合方盖 的特征叙述 结合 当其正视图和侧视 % % 图完全相同时 这个关键条件作答 ! % !
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% % % 我国古代 数 学 名 著 九 章 算 术 中 开 立 圆 术% 曰 置积尺 数 以 十 六 乘 之 九 而 一 所得开立方除 % % 之 即立圆径 ! 开立圆术 相当于给出了已知球的体 % % ! % " # 积" 求其直径 # 的一 个 近 似 公 式#$ 人们 % "! $ % 还用过一些类似的近似公式 ! 根据 %!! " & " ' $ 判 % % 断下列近似公式中最精确的一个是 !! % ! % " # % () #$ " $ % ! % *) #$ 槡 + " % ! % ! % ,) #$ " " ' . % ! % + " % /) #$ " " " % % 分析 根据 球 的 体 积 公 式 结 合 四 个 选 项 中 ! % % 的数据和精确度要求判断即可 ! % ! ! % # & # 解析 得 #$ "! ! 由"% % ! + % $ # % % 设选项中常数为 则 % ! % % $ % #0$ % ( 选项中常数代入得 % %!! ! . ' " # %
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九章算术 商功章有题 一圆柱形谷仓 高"丈 !尺! "寸 容纳 米 + -斛 " 丈 %" - 尺 " 尺 %" !
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