矩形的定义和性质
矩形的平行四边形性质
矩形的平行四边形性质矩形是几何图形中最基本的形状之一，具有许多特殊性质。
其中之一是其作为一种平行四边形的特例，矩形具有平行四边形的性质，这使得我们能够更好地理解和应用矩形的特性。
本文将探讨矩形作为平行四边形的性质。
一、矩形的定义矩形是一种具有四条边的四边形，其内部的所有角均为直角。
矩形的特点是对边相等且平行，因此，以下讨论矩形的性质也适用于平行四边形。
二、对边相等矩形的两对对边分别相等且平行，这意味着对边AB与CD相等且平行，对边BC与DA相等且平行。
三、对角线相等矩形的两条对角线相等，且相互平分。
对角线AC与BD相等，且互相平分。
这是因为矩形是一种菱形，而菱形的对角线相等且互相平分。
四、对角线垂直矩形的对角线相交于一个点，且垂直于彼此。
对角线AC与BD相交于点O，同时也可以看出AO与BO以及CO与DO均垂直。
五、对角线中点连线平行于边矩形的对角线中点连线平行于矩形的两条边。
例如，连结对角线AC的中点M和对角线BD的中点N，可以发现MN平行于矩形的两条边。
六、对边斜率互为相反数矩形的对边的斜率互为相反数。
对边AB和CD之间的斜率为m1，对边BC和DA之间的斜率为m2，那么m1与m2满足如下关系：m1 = -1/m2。
七、矩形的周长和面积矩形的周长等于所有边长之和，面积等于矩形的两条相邻边长之积。
周长公式为：P = 2a + 2b，其中a和b分别为矩形的两条相邻边长。
面积公式为：S = a * b。
结论矩形作为一种平行四边形，具有许多特殊的性质。
这些特性包括对边相等、对角线相等且互相平分、对角线垂直、对角线中点连线平行于边、对边斜率互为相反数、周长等于所有边长之和、面积等于相邻边长之积等等。
这些性质使得矩形成为几何学中重要的图形之一，广泛应用于各个领域。
通过研究并理解矩形作为平行四边形的性质，我们可以更好地应用矩形的特性，解决几何问题，并将其应用于工程、建筑、设计等领域中。
知识的掌握是实践的基础，希望本文对读者理解和应用矩形的特性能够提供帮助。
矩形及特殊矩形知识点(经典完整版)
矩形及特殊矩形知识点(经典完整版)
1. 矩形定义
矩形是一种具有四条相等长度的边且四个角都为直角的四边形。
2. 矩形的性质
- 矩形的对角线相等。
- 矩形的两条对边平行且相等。
- 矩形的四个角都为直角。
- 矩形的相邻两边互相垂直。
3. 特殊矩形
除了常见的矩形外，还有一些特殊类型的矩形，包括正方形、
长方形和黄金矩形。
3.1 正方形
正方形是一种特殊的矩形，它的四条边长度相等，且每个角都
为直角。
正方形具有以下性质：
- 任意一条边的长度可以表示为正方形的对角线长度的平方根
乘以√2。
- 正方形的对角线长度等于边长乘以√2。
3.2 长方形
长方形是一种具有不相等的长和宽的矩形，它的两对边分别平行且长度相等。
长方形具有以下性质：
- 长方形的对角线长度可以通过长和宽的值应用勾股定理来计算。
3.3 黄金矩形
黄金矩形是一种特殊的矩形，它的长和宽比例接近黄金分割比例。
黄金矩形具有以下性质：
- 黄金矩形的长和宽的比例可以接近黄金分割比例1:1.618。
- 黄金矩形的长和宽比例可以通过对角线长度的比例来计算。
4. 应用
矩形及其特殊类型的知识在几何学、工程学和建筑学中具有广泛的应用。
矩形可以用于设计建筑物的平面布局、计算房间面积、绘制电路图等。
以上是关于矩形及特殊矩形知识点的经典完整版介绍。
*注：以上内容为简要介绍，未涉及具体应用举例。
如需详细了解，请参考专业教材或专业指导。
*。
矩形的性质和判定
矩形的性质和判定矩形的性质和判定定义：一个有一个直角的平行四边形被称为矩形。
性质：1.矩形的四个角都是直角。
2.矩形的对角线相互平分且相等。
3.矩形是中心对称图形和轴对称图形，有两条对称轴。
4.矩形的面积为长乘宽。
判定：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2.有三个角是直角的四边形是矩形。
3.对角线相等的平行四边形是矩形。
4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
矩形与平行四边形的区别与联系：相同点：1.两组对边分别平行。
2.两组对边分别相等。
3.两组对角分别相等。
4.对角线相互平分。
区别：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2.对角线相互平分且相等。
例题精讲：考点1：矩形的性质例1：在矩形ABCD中，BE=CF，求证：AF=DE。
例2：在矩形ABCD中，BE=DF，求证：△ABE≌△CDF。
例3：在矩形ABCD中，AB=2，且AOB=60°，求对角线AC的长。
考点2：矩形的判定例4：在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，求证：四边形ADCE是矩形。
例5：在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，△ABE是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形。
例6：在平行四边形ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是DAB、ABC、BCD、CDA的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，证明：四边形PQMN是矩形。
变式5】在三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AF是∠BAC的外角平分线，DE∥AB交AF于点E。
可以证明四边形ADCE是矩形。
变式6】在图11中，已知E是四边形ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F。
(1) 可以证明△ABE≌△FCE。
(2) 连接AC、BF，如果∠AEC=2∠ABC，可以证明四边形ABFC是矩形。
课堂训练】1、矩形具有对边相等和对角线互相平分的性质。
2、正确的个数是6个。
3、不一定正确的是B、AC=BDC。
九年级上册数学知识点矩形
九年级上册数学知识点矩形矩形是九年级上册数学课程中的一个重要知识点。
它是我们学习几何形状的基础之一，具有许多重要特征和性质。
在本文中，我们将深入探讨矩形的定义、性质及其在实际生活中的应用。
首先，让我们来定义矩形。
矩形是一个拥有四个直角的四边形，它的对边相等且平行。
这意味着矩形的四条边中，相对的两条边长度相等，并且相邻的两条边是垂直的。
正因为这些特点，我们可以轻松地计算矩形的周长和面积。
矩形的周长是每条边的长度之和。
假设矩形的长为a，宽为b，则它的周长为2a + 2b。
可以想象，当我们沿着矩形的边界行走时，总是要经过四个直角，并依次经过长和宽的边。
因此，周长的计算方法为两倍的长加上两倍的宽。
而矩形的面积则是长乘以宽。
也就是说，面积等于边长的乘积。
这一点可以用我们之前探讨过的周长来验证。
假设一个矩形的长为a，宽为b，周长为2a + 2b。
我们把它展开成一个平面图形，可以看到，它可以分为a个宽为b的长方形，以及b个宽为a的长方形。
因此，矩形的面积为a*b，与长宽相乘的公式一致。
除了周长和面积，矩形还有其他一些重要的性质。
首先，因为矩形的对边平行，所以它的内部所有角都是直角。
这也是为什么矩形是直角四边形的原因。
其次，矩形的对角线相等且相互平分。
这意味着矩形的两条对角线的长度相等，并且每条对角线把矩形分成两个长度和宽度相等的三角形。
这个性质在计算矩形的面积时非常有用，因为它可以帮助我们把矩形划分为两个更简单的形状。
除了理论知识，矩形在我们的日常生活中也有许多实际应用。
例如，我们的书桌、电视机、窗户等物件常常是矩形的形状。
因为矩形具有规则的边界和直角，所以它们更容易被设计和制造。
此外，矩形的面积和周长也用于计算房间的大小、材料的用量等问题。
我们可以通过测量房间的长和宽，然后使用面积公式来计算房间的面积。
这不仅能帮助我们更好地规划家具的摆放，还能帮助我们合理地选择地板、地砖等材料的用量。
总结起来，矩形是九年级上册数学课程中非常重要的一个知识点。
矩形的性质和判定
矩形的性质和判定基础知识点1、矩形的性质和判定：定 义矩 形有一个内角是直角的平行四边形。
性质边对边平行，对边相等。
角 四个角相等，都是直角。
对角线互相平分，相等。
判定有一个角是直角的平行四边形是矩形。
有三个角是直角的四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形。
2、在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。
3、矩形是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线所在的直线。
例题剖析例1、 已知矩形ABCD 中，AB=2BC ，点E 在边DC 上，且AE=AB ，求∠EBC 的度数．【变式练习】矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F ，•求证：BE=CF ．【变式练习】在矩形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，过顶点C 作BD•的平行线与AB 的延长线相交于点E ，求证：△ACE 是等腰三角形．例2、折叠矩形ABCD 纸片，先折出折痕BD ，再折叠使A 落在对角线BD 上A ′位置上，折痕为DG ，AB=2，BC=1。
求AG 的长。
GA`DCBA【变式练习】如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在F 的位置，BF 交AD 于E ，AD=8,AB=4，求△BED 的面积。
EDC BAF例3、在△ABC中，∠ABC=90°，BD是△ABC的中线，延长BD到E，•使DE=BD，连结AE，CE，求证：四边形ABCE是矩形．【变式练习】在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形。
求证：四边形ADCE是矩形。
例4、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形．【变式练习】（2011•青岛）在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．（1）求证：△BEC≌△DFA；（2）连接AC ，当CA=CB 时，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？并证明你的结论【变式练习】E 为□ABCD 外一点，AE ⊥CE,BE ⊥DE ，求证：□ABCD 为矩形例5、□ABCD 中，AE 、BF 、CG 、DH 分别是各内角的平分线，E 、F 、G 、H 为它们的交点， 求证：四边形EFGH 的矩形。
什么是矩形_矩形的性质
什么是矩形_矩形的性质矩形是一种平面图形，包括长方形与正方形，那么你对矩形了解多少呢?以下是由店铺整理关于什么是矩形的内容，希望大家喜欢!什么是矩形矩形(rectangle)是一种平面图形，包括长方形与正方形。
是特殊的平行四边形，因为平行四边形具有不稳定性，所以当改变一个内角大小，而不改变各边长并仍保证为平行四边形矩形至直角时，便有了矩形。
所以矩形的四个角都是直角，同时矩形的两组对边分别相等，对角相等，邻角互补，对角线相等且互相平分，故两条对角线可以将一个矩形分为四个面积相等的等腰三角形，而且在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等。
还有我们知道，在任意四边形中，顺次连接各边中点，所得图形即为平行四边形{可用中位线定理证明}。
而在一个对角线互相垂直的四边形中，顺次连接各边中点，所得图形即为矩形。
判定矩形一般有3种基本方法：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形{定义判定法}2.有三个角是直角的四边形是矩形3.对角线相等的平行四边形{即对角线相等且互相平分的四边形}是矩形矩形的判定1.一个角是直角的平行四边形是矩形。
2.对角线相等的平行四边形是矩形。
3.三个内角都是直角的四边形是矩形。
说明：矩形和正方形都是平行四边形。
平行四边形的定义在矩形上仍然适用。
矩形的性质(1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.(2)矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有;②角：矩形的四个角都是直角;③边：邻边垂直;④对角线：矩形的对角线相等;⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形.它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线;对称中心是两条对角线的交点.(3)由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.矩形判定应用例1：已知ABCD的对角线AC和BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4.求这个平行四边形的面积。
分析：首先根据△AOB是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD是矩形(如图个4-37)，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积为例2：已知：如图4-38在ABCD中，M为BC中点，∠MAD=∠MDA.求证：四边形ABCD是矩形.分析：根据定义去证明一个角是直角，由△ABM≌DCM(SSS)即可实现。
专题15 矩形的性质与判定(解析版)
专题15 矩形的性质与判定【考点归纳】（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）（5）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．【好题必练】一、选择题1．（2020秋•光明区期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB 上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（）A．1.2B．1.5C．2.4D．2.5【答案】A【解析】解：连接CM，如图所示：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形CEMF是矩形，∴EF＝CM，∵点P是EF的中点，∴CP＝EF，当CM⊥AB时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，∵△ABC的面积＝AB×CM＝AC×BC，∴CM＝＝＝2.4，∴CP＝EF＝CM＝1.2，故选：A．2．（2020秋•凤翔县期末）如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，连接BP、MN，若AB＝6，BC＝8，当点P在斜边AC上运动时，则MN的最小值是（）A．1.5B．2C．4.8D．2.4【答案】C．【解析】解：∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝＝10，∵PM⊥AB，PN⊥BC，∠C＝90°，∴四边形BNPM是矩形，∴MN＝BP，由垂线段最短可得BP⊥AC时，线段MN的值最小，此时，S△ABC＝BC•AB＝AC•BP，即×8×6＝×10•BP，解得：BP＝4.8，即MN的最小值是4.8，故选：C．3．（2020•竹溪县模拟）下列说法中，错误的是（）A．菱形的对角线互相垂直B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．矩形的四个内角都相等D．四个内角都相等的四边形是矩形【答案】B【解析】解：A、∵菱形的对角线互相垂直，∴选项A不符合题意；B、∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，∴选项B符合题意；C、∵矩形的四个角都是直角，∴矩形的四个内角都相等，∴选项C不符合题意；D、∵四个内角都相等的四边形是四个角都是直角，∴四个内角都相等的四边形是矩形，∴选项D不符合题意；故选：B．4．（2020秋•武侯区校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（）A．5B．2.5C．4.8D．2.4【答案】D．【解析】解：连接AP，如图所示：∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝＝10，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP，EF与AP互相平分，∵M是EF的中点，∴M为AP的中点，∴PM＝AP，根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短，∴当AP⊥BC时，AP＝＝4.8，∴AP最短时，AP＝4.8，∴当PM最短时，PM＝AP＝2.4．故选：D．5．（2020春•沙坪坝区校级月考）下列说法正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直且平分B．矩形的邻边一定相等C．对角线相等的四边形是矩形D．有三个角为直角的四边形为矩形【答案】D．【解析】解：A、∵矩形的对角线互相平分且相等，∴选项A不符合题意；B、∵矩形的邻边一定垂直，不一定相等，∴选项B不符合题意；C、∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴选项C不符合题意；D、∵有三个角为直角的四边形为矩形，∴选项D符合题意；故选：D．6．（2020春•江夏区期末）如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN的中点，若AB＝6，BC＝8，当点P在AC上运动时，则BO的最小值是（）A．1.5B．2C．2.4D．2.5【答案】C．【解析】解：连接BP，如图所示：∵∠ABC＝90°，PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，∴四边形BMPN是矩形，AC＝＝＝10，∴BP＝MN，BP与MN互相平分，∵点O是MN的中点，∴BO＝MN，当BP⊥AC时，BP最小＝＝＝4.8，∴MN＝4.8，∴BO＝MN＝2.4，故选：C．二、填空题7．（2020•顺义区一模）如图，将一矩形纸片ABCD沿着虚线EF剪成两个全等的四边形纸片．根据图中标示的长度与角度，求出剪得的四边形纸片中较短的边AE的长是．【答案】3【解析】解：过F作FQ⊥AD于Q，则∠FQE＝90°，∵四边形ABCD是长方形，∴∠A＝∠B＝90°，AB＝DC＝4，AD∥BC，∴四边形ABFQ是矩形，∴AB＝FQ＝DC＝4，∵AD∥BC，∴∠QEF＝∠BFE＝45°，∴EQ＝FQ＝4，∴AE＝CF＝×（10﹣4）＝3，故答案为：3．8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为．【答案】【解析】解：∵∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，∴BC＝＝10，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形，∴MN＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝＝，∴MN的最小值为；故答案为：．9．在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，连接EF，则EF的最小值为cm．【答案】【解析】解：∵AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形AEPF为矩形，连接AP，如图，EF＝AP，当AP的值最小时，EF的值最小，当AP⊥BC时，AP的值最小，根据△ABC面积公式，×AB•AC＝×AP•BC，∴AP＝＝＝，∴EF的最小值为．故答案为．10．如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是．【答案】【解析】解：连接PC．∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°；又∵∠ACB＝90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴AC•BC＝AB•PC，∴PC＝．∴线段EF长的最小值为；故答案是：．11．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为．【答案】2.4【解析】解：连接AP，∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴AB2+AC2＝BC2，即∠BAC＝90°．又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF＝AP，∵AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，∴EF的最小值为2.4，故答案为：2.4．三、解答题12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点C作AC的垂线，过点D作BD的垂线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE＝1，DE＝2，求四边形的ABCD面积．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°．∵CE⊥AC，DE⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形；（2）解：由（1）知，四边形OCED是菱形，则CE＝OD＝1，DE＝OC＝2．∵四边形ABCD是菱形，∴AC＝2OC＝4，BD＝2OD＝2，∴菱形ABCD的面积为：AC•BD＝×4×2＝4．【解析】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF ＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AC＝10，∠ABC＝60°，则矩形AEFD的面积是．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵CF＝BE，∴BC＝EF，∴AD∥EF，AD＝EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴平行四边形AEFD是矩形；（2）解：∵AB＝CD，BE＝CF，∠AEB＝∠DFC＝90°，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵AC＝10，∴AE＝AC＝5，AB＝10，BO＝5，∵AD＝EF＝10，∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积＝×10×10＝50，故答案为：50．【解析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD＝BC，等量代换得到BC＝EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的判定定理得到Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），求得矩形AEFD的面积＝菱形ABCD 的面积，根据等腰三角形的性质得到结论．14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接OE，若AE＝4，AD＝5，求OE的长．【答案】（1）证明：∵菱形ABCD，∴AD∥BC．∵CF∥AE，∴四边形AECF是平行四边形．∵AE⊥BC，∴平行四边形AECF是矩形；（2）解：∵AE＝4，AD＝5，∴AB＝5，BE＝3．∵AB＝BC＝5，∴CE＝8．∴AC＝4，∵对角线AC，BD交于点O，∴AO＝CO＝2．∴OE＝2．【解析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC，推出四边形AECF是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据已知条件得到得到CE＝8．求得AC＝4，于是得到结论．15．（2020•石景山区一模）如图，在▱ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．（1）求证：四边形ACED是矩形；（2）连接AE交CD于点F，连接BF．若∠ABC＝60°，CE＝2，求BF的长．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠CAD＝∠ACB＝90°．又∵∠ACE＝90°，DE⊥BC，∴四边形ACED是矩形．（2）解：∵四边形ACED是矩形，∴AD＝CE＝2，AF＝EF，AE＝CD．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝2，AB＝CD．∴AB＝AE．又∵∠ABC＝60°，∴△ABE是等边三角形．∴∠BFE＝90°，．在Rt△BFE中，．【解析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC．所以∠CAD＝∠ACB＝90°．又∠ACE ＝90°，即可证明四边形ACED是矩形；（2）根据四边形ACED是矩形，和四边形ABCD是平行四边形，可以证明△ABE是等边三角形．再根据特殊角三角函数即可求出BF的长．16．（2020春•灌云县期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．（1）求证：四边形AODE是矩形；（2）若△ABC是边长为2的正三角形，求四边形AODE的面积．【答案】（1）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∴四边形AODE是矩形；（2）解：∵△ABC是边长为2的正三角形，∴AB＝AC＝2，∠ABC＝60°，∵四边形ABCD为菱形，∴AO＝AC＝1，OD＝OB，∵∠AOB＝90°，∴OB＝＝＝，∴OD＝OB＝，∵四边形AODE是矩形，∴四边形AODE的面积＝×1＝．【解析】（1）根据题意可判断出四边形AODE是平行四边形，再由菱形的性质可得出AC⊥BD，即∠AOD ＝90°，继而可判断出四边形AODE是矩形；（2）由菱形的性质和勾股定理求出OB，得出OD，由矩形的面积公式即可得出答案。
矩形的定义和性质
矩形的定义和性质
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
也就是长方形。
矩形的性质：
由于矩形是特殊的平行四边形，故包含平行四边形的性质；矩形的性质大致总结如下：
1、矩形具有平行四边形的所有性质：对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分、矩形的四个角都是直角。
2、矩形的对角线相等、具有不稳定性（易变形）。
矩形的常见判定方法：
1、有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形。
2、有三个角是直角的四边形是矩形、经过证明，在同一平面内，任意两角是直角，任意一组对边相等的四边形是矩形、对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
初中数学 矩形的内角和外角的关系是什么
初中数学矩形的内角和外角的关系是什么矩形是一种特殊的四边形，它具有许多独特的性质。
在本篇文章中，我们将详细探讨矩形的内角和外角的关系。
首先，我们先来了解一下矩形的定义和性质：矩形的定义：矩形是一种四边形，其四个内角都是直角（90度）。
矩形的对边是平行的且相等。
在矩形中，相邻的两条边也是相等的。
矩形的性质：1. 矩形的内角都是直角（90度）。
2. 矩形的对边是平行的且相等。
3. 矩形的相邻两条边也是相等的。
4. 矩形的对角线相等且互相平分。
接下来，我们来探讨矩形的内角和外角的关系。
矩形的内角和外角的关系：1. 内角和：矩形的内角和等于360度。
由于矩形有四个内角，且每个内角都是直角（90度），所以矩形的内角和为4 × 90度= 360度。
2. 外角和：矩形的外角和也等于360度。
矩形的外角是指由矩形的两个相邻内角所组成的角。
每个内角的补角就是它所对应的外角。
因此，矩形的外角和等于4 × 90度= 360度。
证明：我们可以通过几何证明来证明矩形的内角和外角和都等于360度。
首先，根据矩形的定义，我们知道矩形的四个内角都是直角（90度）。
所以，矩形的内角和为4 × 90度= 360度。
其次，我们来证明矩形的外角和也等于360度。
设矩形的四个内角为A、B、C、D，其相邻的内角对为A和B，B和C，C和D，D和A。
我们需要证明∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360度。
根据矩形的定义，我们知道矩形的对边是平行的且相等。
所以，∠A和∠C是同位角，∠B和∠D 是同位角。
由于同位角的性质，我们可以得出：∠A + ∠C = 180度，∠B + ∠D = 180度。
将上述两个等式相加，我们可以得到：∠A + ∠B + ∠C + ∠D = (∠A + ∠C) + (∠B + ∠D) = 180度+ 180度= 360度。
因此，我们可以得出结论：矩形的外角和等于360度。
通过了解矩形的内角和外角的关系，我们可以更好地理解和应用矩形的性质。
矩形定义及性质(教案)
矩形定义及性质教学课时：1课时教学对象：八年级教学目标：1. 理解矩形的定义和性质；2. 能够运用矩形的性质解决实际问题；3. 培养学生的观察能力、思维能力和解决问题的能力。
教学重点：矩形的定义和性质教学难点：矩形的性质在实际问题中的应用教学准备：1. 矩形模型或图片；2. 直尺、圆规、剪刀等绘图工具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 向学生展示一些矩形的模型或图片，引导学生观察矩形的特征；2. 提问：你们认为矩形有哪些特征？矩形和其他四边形有什么区别？二、矩形的定义（5分钟）1. 介绍矩形的定义：矩形是一种四边形，其中对边平行且相等，四个角都是直角；2. 强调矩形的对边平行且相等，四个角都是直角这两个关键特征；3. 举例说明矩形的对边平行且相等，四个角都是直角的性质。
三、矩形的性质（15分钟）1. 矩形的对边相等：引导学生通过观察和测量矩形的对边长度，发现对边相等的性质；2. 矩形的对角相等：引导学生通过观察和测量矩形的对角长度，发现对角相等的性质；3. 矩形的对边平行：引导学生通过观察和测量矩形的对边斜率，发现对边平行的性质；4. 矩形的四个角都是直角：引导学生通过观察和测量矩形的角，发现四个角都是直角的性质。
四、矩形的性质在实际问题中的应用（10分钟）1. 举例说明如何运用矩形的性质解决实际问题，如计算矩形的面积、周长等；2. 让学生尝试解决一些与矩形相关的实际问题，如计算矩形的面积、周长等；1. 回顾本节课所学的内容，强调矩形的定义和性质；2. 让学生谈谈自己在学习过程中的收获和感受；3. 对学生的学习情况进行评价，鼓励学生继续努力。
教学反思：本节课通过展示矩形的模型或图片，引导学生观察矩形的特征，进而引入矩形的定义和性质。
在讲解矩形的性质时，注意通过观察、测量和举例等方式，让学生充分理解和掌握矩形的性质。
通过实际问题的解决，让学生学会运用矩形的性质解决实际问题。
整个教学过程中，注重培养学生的观察能力、思维能力和解决问题的能力。
矩形及特殊矩形知识点(经典完整版)
矩形及特殊矩形知识点(经典完整版) 1. 矩形的定义和性质- 矩形是一个拥有四条直角边的四边形。
- 矩形的对边长度相等。
- 矩形的对角线相等且互相平分。
- 矩形的内角和为360度。
2. 矩形的面积和周长计算公式- 矩形的面积可以通过边长相乘得到：面积 = 长 ×宽。
- 矩形的周长可以通过边长相加得到：周长 = 2 × (长 + 宽)。
3. 特殊矩形：正方形和长方形3.1 正方形的性质和计算公式- 正方形是一种特殊的矩形，具有所有矩形的性质。
- 正方形的四条边长度相等。
- 正方形的对角线相等且互相平分。
- 正方形的内角和为360度。
- 正方形的面积可以通过边长的平方得到：面积 = 边长 ×边长。
- 正方形的周长可以通过边长的四倍得到：周长 = 4 ×边长。
3.2 长方形的性质和计算公式- 长方形是一种特殊的矩形，具有矩形的性质。
- 长方形的对角线相等且互相平分。
- 长方形的内角和为360度。
- 长方形的面积可以通过长和宽相乘得到：面积 = 长 ×宽。
- 长方形的周长可以通过长和宽相加再乘以2得到：周长 = 2 ×(长 + 宽)。
4. 应用举例- 例子1：已知一个矩形的长为10cm，宽为6cm，求其面积和周长。
- 面积：面积 = 10cm × 6cm = 60cm²- 周长：周长 = 2 × (10cm + 6cm) = 32cm- 例子2：已知一个正方形的边长为8cm，求其面积和周长。
- 面积：面积 = 8cm × 8cm = 64cm²- 周长：周长 = 4 × 8cm = 32cm- 例子3：已知一个长方形的长为12cm，宽为5cm，求其面积和周长。
- 面积：面积 = 12cm × 5cm = 60cm²- 周长：周长 = 2 × (12cm + 5cm) = 34cm5. 总结矩形是一种有着特定性质的四边形，具有对边相等、对角线相等且互相平分、内角和为360度的特点。
矩形的认识与分类
矩形的认识与分类矩形是几何学中常见的形状之一，具有许多重要的性质和用途。
本文将对矩形的基本定义、特点以及不同类型的矩形进行详细介绍。
一、基本定义矩形是一种有四个直角的四边形，其对边长度相等且相对平行。
也就是说，一条边和和其相邻的两条边构成一个直角。
二、性质和特点1. 对角线相等：矩形的对角线相等，而且相互平分。
2. 相对边平行：矩形的相对边是平行的。
3. 内角和为180度：矩形的内角和等于180度，每个角都是直角。
根据以上性质和特点，我们可以通过测量边长和角度来判断是否是矩形。
三、不同类型的矩形1. 正矩形：正矩形是一种特殊的矩形，其四个内角都是直角，并且所有边长相等。
正矩形常见于建筑物中的窗户、门框等。
2. 长方形：长方形也是一种矩形，其相邻两条边长度不同，但仍然保持直角。
长方形在日常生活中非常常见，例如书、手机、电视等。
3. 菱形：菱形是矩形的一种特殊情况，其对边长度相等，但相邻两边不平行。
菱形在宝石、纹身等领域中常见。
四、矩形的应用矩形在日常生活和工作中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 建筑设计：矩形常用于建筑设计中的墙壁、门窗等构造物的规划和设计。
2. 统计学：矩形常用于绘制柱状图，用于表示数据的分布情况和比较。
3. 地理学：地理学中常用矩形来表示地图上的区域。
总结：矩形是一种重要的几何形状，具有许多独特的性质和特点。
我们可以通过测量边长和角度来判断是否是矩形，并进一步分类为正矩形、长方形和菱形。
矩形在我们的日常生活和工作中有着广泛的应用，需要我们对其进行深入的认识和理解。
注：以上内容为文章的主要部分，字数仅为500字，如需增加字数可适当拓展各小节的内容，提供更多实际应用和相关案例。
矩形的性质与判定教案
矩形的性质与判定教案一、矩形的定义矩形是指四边都相等且相互平行的四边形，其中相邻两边垂直。
二、矩形的性质1. 对角线相等矩形的两条对角线相等。
2. 对角线互相平分矩形的两条对角线互相平分。
3. 对边平行且相等矩形的对边平行且相等。
4. 内角和为360度矩形的内角和为360度。
5. 矩形的面积矩形的面积等于长乘以宽。
三、矩形的判定1. 判定矩形的条件判定一个四边形是否为矩形，需要满足以下条件：•四边相等；•对角线相等；•对角线互相平分。
2. 判定矩形的方法判定一个四边形是否为矩形，可以通过以下方法：•测量四边是否相等；•测量对角线是否相等；•测量对角线是否互相平分。
四、矩形的应用矩形是一种常见的几何图形，在日常生活中有很多应用，例如：•电视屏幕、计算机屏幕等显示器的屏幕就是矩形；•书本、纸张等常见的文具也是矩形。
此外，在数学中，矩形也是一种常见的几何图形，它的性质和判定方法也是数学学习中的重要内容。
五、矩形的练习题1. 选择题1.下列四边形中，是矩形的是（）。
A. 正方形 B. 菱形 C. 长方形 D. 平行四边形2.判定一个四边形是否为矩形，需要满足以下条件中的（）。
A. 四边相等 B.对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 以上都是2. 计算题1.已知一个矩形的长为6cm，宽为4cm，求它的面积。
答：面积为24平方厘米。
2.已知一个矩形的面积为20平方米，它的长为5米，求它的宽。
答：宽为4米。
六、总结矩形是一种常见的几何图形，它的性质和判定方法是数学学习中的重要内容。
通过本教案的学习，我们可以了解到矩形的定义、性质、判定方法和应用，同时也可以通过练习题来巩固所学知识。
在学习数学时，我们应该注重理论知识的学习，同时也要注重实际应用的练习，这样才能更好地掌握数学知识。
矩形的周长计算知识点总结
矩形的周长计算知识点总结矩形是一种常见的几何形状，也是数学课程中的重要内容。
学习矩形的周长计算方法是数学基础的一部分，本文将总结矩形周长计算的相关知识点。
在学习这些知识点时，我们需要用到一些基本的数学公式和运算方法，同时也需要理解矩形的性质和特点。
一、矩形的定义及性质矩形是一种特殊的四边形，具有以下性质：1. 四个内角都是直角（90度），即该四边形的四个角都是直的；2. 对角线相等，即连接矩形两对相邻顶点的线段长度相等；3. 两对相对边相等且平行，即矩形的两对相邻边长度相等且平行。
二、矩形周长的定义与计算方法矩形的周长是指围绕矩形一圈的长度，通常用单位长度如“米”、“厘米”、“英寸”等表示。
矩形的周长的计算方法如下：1. 根据矩形的定义，可以得知矩形的周长等于所有边长的和。
设矩形的长为a，宽为b，则矩形的周长C等于C=2a+2b，可以用这个公式来计算。
三、矩形周长计算的例题下面通过一些实际的例题来练习矩形周长的计算：例题1：一个矩形的长为12cm，宽为8cm，求它的周长。
解析：根据矩形周长的计算公式C=2a+2b，代入长和宽计算，C=2*12cm+2*8cm=24cm+16cm=40cm，所以该矩形的周长是40cm。
例题2：一块田地为矩形，长为25m，宽为15m，需要围上铁丝网，请问需要多长的铁丝网？解析：根据矩形周长的计算公式C=2a+2b，代入长和宽计算，C=2*25m+2*15m=50m+30m=80m，所以需要80m的铁丝网。
通过上述例题的练习，我们可以更好地理解和掌握矩形周长的计算方法，提高数学运算的能力。
四、矩形周长计算的应用矩形周长的计算不仅仅是数学课堂上的知识点，它也有一定的实际应用价值。
以下是一些常见的应用场景：1. 绘制图纸：在建筑设计、机械制图等领域中，需要按照一定的比例绘制图纸，矩形周长的计算可以帮助我们确定图纸的尺寸。
2. 围墙施工：在围墙建设中，需要用到砖、木材、铁丝网等材料，矩形周长的计算可以帮助我们确定需要的材料数量。
矩形的定义及性质ppt课件
平行四边形
有一个角 是直角
矩形
矩形是特殊的平行四边形
精品ppt
6
活 动 二
探究性质：
精品ppt
7
矩形
具备平行四边形所有的性质
A
D
O
边 对边平行且相等 角 对角相等邻角互补
B
C
对角线对角线互相平分
精品ppt
8
探索新知:
矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平
行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？
∴AC = BD
精品ppt
13
比一比,知关系
边
角
平行四 对边平行 对角相等
边形 且相等
邻角互补
矩形
对边平行 且相等
四个角 为直角
对角线
对角线 互相平分 对角线互相 平分且相等
这是矩形所 特有的性质
精品ppt
14
活 动 三
大显身手
精品ppt
15
生活链接---投圈游戏
四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一个矩 形的四个顶点处，目标物放在对角线的交点处, 这样的队形对每个人公平吗?为什么？
线相交所得的四个角的度数分别为 、 、 、 ．
3.已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个夹角为
120°，则矩形的边长分别为 cm， cm， cm，
cm．
4.下列说法错误的是（ ）．
（A）矩形的对角线互相平分 （B）矩形的对角线相等
（C）有一个角是直角的四边形是矩形
（D）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
2.已知△ABC是Rt△，∠ABC=900，
A
BD是斜边AC上的中线 D
┓
B
(1)若BD=3㎝ 则AC＝ 6 ㎝ (2) 若∠C=30°，AB＝5㎝，则AC＝ BD＝ 5 ㎝.
矩形正方形和长方形的基本概念与性质
矩形正方形和长方形的基本概念与性质矩形、正方形和长方形是几何学中常见的形状，它们有着各自独特的基本概念和性质。
本文将介绍这三种形状的定义、特征以及它们之间的联系和区别。
一、矩形的基本概念与性质矩形是指具有四个角都是直角的四边形，它的对边平行且相等。
矩形的特点包括下述几个方面：1. 边长性质：矩形的相邻边相等，即它的两对相对边长相等。
2. 对角线性质：矩形的两条对角线相等且互相平分。
3. 直角性质：矩形的四个角都是直角（90度）。
4. 周长和面积：设矩形的长为a，宽为b，则矩形的周长为2(a+b)，面积为a*b。
二、正方形的基本概念与性质正方形是一种特殊的矩形，它的四边长度相等且四个角都是直角。
正方形具备以下特征：1. 边长性质：正方形的四条边相等。
2. 对角线性质：正方形的两条对角线相等且互相平分。
3. 直角性质：正方形的四个角都是直角（90度）。
4. 周长和面积：设正方形的边长为a，则正方形的周长为4a，面积为a的平方（a^2）。
正方形是一种特殊的矩形，因为它的四边长和四个角均相等，具有更多的对称性质和独特美学价值。
三、长方形的基本概念与性质长方形是一种具有两对相等且平行的边的四边形，它的对边长度不相等。
长方形的特点有：1. 相邻边性质：长方形的相邻两边相等。
2. 对角线性质：长方形的两条对角线相等且互相平分。
3. 直角性质：长方形的四个角都是直角（90度）。
4. 周长和面积：设长方形的长为a，宽为b，则长方形的周长为2(a+b)，面积为a*b。
长方形是一种常见的四边形，它与矩形的不同之处在于长方形的对边长度不相等，因此它的形状更加灵活，能够适应不同的应用场景。
四、三者之间的联系与区别矩形、正方形和长方形都属于四边形，它们有着共同的性质，例如对角线相等、对角线相互平分和角度为直角。
矩形与长方形的区别在于，长方形的相邻边长度可以不相等，而矩形则要求相邻边长度相等。
正方形则是矩形的一种特殊情况，它要求四个边长度均相等。
矩形的定义和性质
学海 无涯
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A.对角线相等 B.对边相等 C.对角相等 D.对角线互相平分
2.下面性质中，矩形不一定具有的是（ ） A.对角线相等 B.四个角相等 C.是轴对称图形 D.对角线互相垂直
A
C
B
F
E
D
解：∵四边形ABCD是矩形，
又 ∠AOB=60°，
∴ ΔOAB是等边三角形
∴OA=AB=4（cm）
∴ AC=BD = 2OA=2×4=8（cm）
∴ OA = OB。
变式：若BD=8cm,∠AOD=120°，求边AB的长。
O
0
生活链接---投圈游戏
问题: 体育节中有一投圈游戏,四个同学分别站在一个矩形的四个顶点处，目标物放在对角线的交点处,这样的队形对每个人公平吗?为什么？
2、如图，矩形AEFG和矩形ADCB的大小、形状完全相同，把它们拼成如图所示的L型图案，已知∠FAE=30°,分别求∠1、∠2的度数。
解:依题意可知: ∠FAE=∠DCA=30 °,AF=AC
∴∠1=45 °,
∴∠2=∠ACF-∠ACD=15 °
∴∠DAC=60 °,
∴∠FAC=90 °,
A
B
G
F
02
学有所得
A
O
D
C
B
直角三角形的性质: 直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半.
即兴练一练: 已知一直角三角形两直角边分别为6和8,则其 斜边上的中线长为________.
5
歇闲小站
比一比,看谁做得快!
A
D
C
B
E
1、如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，ED=5cm,EC=3cm,求矩形的周长。
(完整版)矩形全章知识点总结
(完整版)矩形全章知识点总结
矩形的定义与性质
- 矩形是指具有四个直角（90度）的四边形。
- 矩形的对边相等且平行。
- 矩形的对角线相等且相交于中点。
- 矩形的面积可以通过长度和宽度之积来计算：面积 = 长度 ×宽度。
- 矩形的周长可以通过两倍的长度和两倍的宽度之和来计算：周长 = 2 × (长度 + 宽度)。
矩形的特殊情况
- 正方形是一种特殊的矩形，其四个边长相等。
- 长方形是一种特殊的矩形，其两个边长不相等。
- 正方形和长方形都可以应用矩形的定义和性质。
矩形的相关公式
- 面积公式：矩形的面积 = 长度 ×宽度。
- 周长公式：矩形的周长 = 2 × (长度 + 宽度)。
矩形的应用场景
- 矩形的性质和公式在几何学和数学中有广泛的应用。
- 矩形常见于建筑、地图、家具设计等领域。
- 矩形的面积和周长计算也常用于解决实际问题，如房屋面积计算、围栏长度计算等。
总结
矩形是一种四边形，具有四个直角、对边平行、对角线相等的性质。
矩形可以应用于建筑、地图、家具设计等领域，并且面积和周长计算经常用于解决实际问题。
了解矩形的定义、性质和公式，有助于深入理解和应用几何学知识。
初中数学 什么是矩形 它有哪些特点和性质
初中数学什么是矩形它有哪些特点和性质矩形是一种特殊的四边形，具有一些独特的特点和性质。
在本篇文章中，我们将详细探讨矩形的定义、特点和性质。
矩形的定义：矩形是一种四边形，其四个内角都是直角（90度）。
矩形的对边是平行的且相等。
在矩形中，相邻的两条边也是相等的。
矩形的特点和性质：1. 直角特性：矩形的四个内角都是直角（90度）。
这意味着矩形的边与边之间相互垂直。
2. 对边特性：矩形的对边是平行的且相等。
这意味着矩形的相对边长相等，并且它们之间没有交叉。
3. 相邻边特性：矩形的相邻的两条边也是相等的。
这意味着矩形的宽度和长度相等。
4. 对角线性质：矩形的对角线相等且互相平分。
对角线是连接矩形的相对顶点的线段，它们相互垂直且相等长度。
5. 对角线的长度：矩形的对角线长度可以根据矩形的宽度和长度计算得出。
根据勾股定理，对角线的长度等于宽度的平方加上长度的平方的开平方。
6. 面积特性：矩形的面积可以通过宽度和长度的乘积计算得出。
矩形的面积等于宽度乘以长度。
7. 周长特性：矩形的周长可以通过将宽度和长度乘以2，然后相加计算得出。
矩形的周长等于宽度乘以2加上长度乘以2。
8. 对称性：矩形具有对称性。
矩形的中心是对称轴，如果将矩形绕着中心旋转180度，它仍然是自身。
9. 最大面积：对于固定的周长，矩形是能够得到最大面积的四边形。
这是因为矩形的对角线长度最大。
10. 矩形的判定：如果一个四边形的四个内角都是直角，并且相邻边相等，那么它就是矩形。
通过了解矩形的定义、特点和性质，我们可以更好地理解和应用矩形的概念。
矩形在几何学和实际生活中都有广泛的应用，例如建筑物的设计、家具的制作和地图的绘制等。
熟练掌握矩形的特点和性质，可以帮助我们解决与矩形相关的数学问题，并提升我们的几何思维能力。
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18.2.1 矩形（一）
教学目标
1 •掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系.
2 •会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题.
3 •渗透运动联系、从量变到质变的观点.
二、重点、难点
1. 重点：矩形的性质.
2. 难点：矩形的性质的灵活应用.
三、例题的意图分析
例1是教材的例1,它是矩形性质的直接运用，它除了用以巩固所学的矩形性质外，对计算题的格式也起了一个示范作用. 例2与例3都是补充的题目，其中通过例2的讲解是想让学生了解：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法；（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式.并能通过例2、例3的讲解使学生掌握解决有关矩形方面的一些计算题目与证明题的方法.
四、课堂引入
1. 展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门，活动衣架，篱笆、井架等），想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？
2. 思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程如图）
3. 再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义.
矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫长方形）.
矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都有矩形形象.
【探究】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状.
①随着/ a的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的?
② 当/ a是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角? 它的两条对角线的长度有什么关系？
操作，思考、交流、归纳后得到矩形的性质.
矩形性质1 矩形的四个角都是直角.
矩形性质2 矩形的对角线相等.
如图，在矩形ABCD中, AC BD相交于点0,由性质2 有
A0=B0=C0=D10AC=1 BD.因此可以得到直角三角形的一
2 2
个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
五、例习题分析
例1已知：如图，矩形ABCD勺两条对角线相交于点
AOB=60，AB=4cm求矩形对角线的长.
分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知，可得△ 0AB是等边三角形，因此对角线的长度可求.
解：：四边形ABCD是矩形，
••• AC与BD相等且互相平分.
0A=0B
又 / A0B=60，
•••△ 0AB是等边三角形.
••• 矩形的对角线长AC=BD = 20A=Z4=8 （cm）.
例2（补充）已知：如图，矩形ABCD AB长8 cm，. - 分析：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中总匕
的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程一
的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法.
略解：设AD=xcm则对角线长(x+4) cm,在Rt△ ABD中，由勾股定理:
x2• 82=(x • 4)2，解得x=6.贝U AD=6cm
(2)“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式：AE X D吐AD X AB,解得AE = 4.8cm.
例3 (补充) 已知：如图，矩形ABCD中, E是BC上一点，DF丄AE于F,若AE=BC 求证：CE= EF.
分析：CE EF分别是BC, AE等线段上的一部分，若AF= BE,则问题解决，而证明AF= BE,只要证明厶ABE^A DFA即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形.
证明：：四边形ABCD是矩形，
/ B=90°,且AD// BC. 二 / 仁/ 2.
DF 丄AE, 二 / AFD=90 .
/ B=Z AFD 又AD=AE
△ABE^A DFA(AAS .
AF=BE.
EF=EC.
此题还可以连接DE,证明△ DEF^A DEC得到EF= EC.
六、随堂练习
1. (填空)
(1)矩形的定义中有两个条件：一是________________ ,二是___________________
(2)已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°,则矩形两条对角线相交所得
的四个角的度数分别为 __________ 、________ 、_________ 、 ________ .
3)已知矩形的一条对角线长为10cm 形的边长分别为cm , cm
2. (选择)
(1)下列说法错误的是( ).
(A)矩形的对角线互相平分
(C)有一个角是直角的四边形是矩形叫做矩形两条对角线的一个交角为120°,则矩, cm , cm .
(B)矩形的对角线相等
(D)有一个角是直角的平行四边形
（2）矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（
) （A）2对（B）4 对（C）6对（D）8 对
3•已知：如图，0是矩形ABCD寸角线的交点，AE平分 /
BAD / AOD=120，求/ AEO勺度数.
七、课后练习
1. （选择）矩形的两条对角线的夹角为60°,对角线长为15cm
较短边的长为（）.
(A)12cm (B)10cm (C)7.5cm (D)5cm
2. 在直角三角形ABC中，/ C=90 , AB=2AC求/ A / B的度
数.
3. 已知：矩形ABCD中, BC=2AB E是BC的中点，求证:
EA! ED
4. 如图，矩形ABCD中, AB=2BC且AB=AE求证：/ CBE的
度数.。