第三章可靠性概率分布

二项分布

( k 0 , 1 , 2 , n )
上式为二项概率公式。若用X表示在n次重复试验中事件A发 生的次数，显然，X是一个随机变量，X的可能取值为 0,1,2,…n，则 • 随机变量X的分布律为：
k k n k P ( X k ) C p q n
( k 0 , 1 , 2 , n )
•
X的数学期望与方差分别为:
E ( x ) kP ( X k ) np
k 0 2 D ( X ) [ k E ( X )] P ( X k ) npq np ( 1 p ) k 0 n n
• 二项分布用来计算冗余系统的可靠度，也可用于计算一次 性使用装置或系统的可靠度估计
•
两点分布可以作为描绘从一批产品中任意抽 取一件得到的“合格品”或“不合格品”的 概率分布模型
二项分布
• 二项分布又称贝努里分布。二项分布满足以下 基本假定：
试验次数n是一定的； 每次试验的结果只有两种，成功或失败； 每次试验的成功概率和失败概率相同，即p和q是 常数； 所有试验是独立的。
二项分布实例
例：有人打靶，每次命中率均为0.7，现独立射击5次，求恰 好命中2次的概率？ 解：每次射击有“击中”和“未击中”两个可能，设 A " 第 i次击中 " ，“恰好有两次几种”的情况有 i


A A A A A , A A A A A , A A A A A ,... 共有 种 3 4 5 2 4 5 2 3 1 2 1 3 1 4 5 C 5
• 比如汽车上的双管路制动系统
np • 在二项分布中，如果 lim （常数），则二项分布可表示为：
泊松分布
P ( X k ) e
n k
此时，称随机变量X服从参数为λ的泊松分布。泊松分布可认为是当 n无限大时二项分布的推广。当n很大、p很小时，可用泊松分布近似代 替二项分布。一般地，当n≥20,p≤0.05时，近似程度较好。 • 随机变量X取值不大于k次的累积分布函数为：
此时，称随机变量X服从二项分布B（n,p）。 当n=1时，二项分布简化为两点分布即：
k1 k p X k p q , k 0 , 1
二项分布
• 随机变量X取值不大于k的累积分布函数为:
r r n r F ( k ) P ( X k ) C p q n r 0 n
所谓独立试验是指将试验A重复做n次，若 各次试验的结果互不影响，即每次试验结果出 现的概率都与其他各次试验结果无关，则称这n 次试验是独立的，并称它们构成一个序列
•
在二项分布中，若一次试验中，P ( A ) p ,P ( A ) 1 p, 则在n次独立地重复试验中，试验A发生的概率为:
k k n k P ( k ) C p q n n
离散型随机变量的几种常见分布
可靠性抽样试验以及产品质量保证等大量工 程实际问题需要用到离散模型。主要有
两点分布 二项分布
泊松分布
几何分布与负二项分布 超几何分布
两点分布
• 数字特征:
E ( X ) 1 p 0 q p
2 D ( X ) p p p ( 1 p ) pq
k r e
k !
( k 0 , 1 , 2 , , n , 0 )

F ( k ) P ( X k ) ! r 0r • X的期望与方差分别为：
E (X) kP (X k)
k 0
2 D (X) [k E (X)] P (X K) k 0
可靠性的概率分布
学习要求
1. 了解二项分布、泊松分布的含义和计算 2. 掌握指数分布、正态分布、对数正态分布 和威布尔分布的特性以及特征值的获取
3. 会查标准正态分布表
主要内容
• 离散型随机变量的几种常见分布
两点分布 二项分布 泊松分布 几何分布和负二项分布 超几何分布
• 连续型随机变量的几种常见分布
(2)在任意两次相邻的失效之间的时间T是独立的连续型的随机 变量，服从参数为λ 的指数分布 :
t P ( T t ) R ( t ) e
k ( t ) t P ( X k ) e k !
( k 0 )
泊松分布
1 两次失效的平均时间为 ,泊松过程适
合于建模有较多的元件倾向于失效，而每 个元件失效的概率比较小的情况
正态分布 截尾正态分布 对数正态分布 指数分布 伽玛分布 威布尔分布
可靠性的概率分布
可靠性工程以产品的寿命特征为主要研究对象。产品 的寿命特征一般是连续的随机变量，例如产品故障时间和 维修时间等。处理这种问题可利用概率统计方法，找出它 们的概率分布和概率密度函数，有了确定的分布就可以求 出该分布特征统计量，如正态分布的均值及标准差。即使 不知道具体的分布函数，也可以通过对分布的参数估计求 得某些特征量的估计值。这些分布及概率密度函数，不仅 描述了寿命的内在规律，而且分布的参数还决定了产品的 寿命特征。因此必须对失效分布作较深入的研究
P ( A A ) P ( A ) P ( A ) P ( A ) P ( A ) P ( A ) 3A 4A 5 3 4 5 1 2A 1 2 0 . 7 0 . 7 0 . 3 0 . 3 0 . 3
2 3 0 . 7 0 . 3
k n k P (A ) P q C n 2 3 0 . 7 0 . 3 0 . 1323 C 5 2 k
泊松分布
• 泊松分布，经过适当的处理可成为指数分布。假 定：
在互不相交的时间区间内所发生的失效是统计独立的； 单位时间内的平均失效次数为常数，而与所考虑的时间区 间无关。
•
泊松过程有下面两个重要性质:ห้องสมุดไป่ตู้
(1)设t是时间区间的长度，则在此区间内发生失效的次数X 是一个整数型的随机变量，在此时间区间内，发生k次失效的概 率服从一个均值为λ t的泊松分布: