工件排序问题的最优解及其有效性
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收稿日期 : 2005 - 01 - 13 作者简介 : 任运平 (1953 - ) ,男 ,山西闻喜人 ,运城学院应用数学系教授 。 m in S =
n k =1
一、 引言
∑∑x
l =1
ik
, jlci , jl
k
∑x
i =1 n
i, j
=1 =1
j = 1, 2, ……, n, j ≠ i i = 1, 2, ……, n, i ≠ j
【 责任编辑 张凤琴 】
(上接第 33 页 ) 其中 cij为加工工件 J i 到加工工件 J j的调
1 ) 同阶 。
4
四、 求解实例 整时间 (或费用 ) , x ij = 0 为不从加工工件 J i 转到加工 作为一个例子 , 假设存在六个工件 J1 , J2 , J3 , J 4 , 工件 J j , x ij = 1 表示需要从加工工件 J i 转到加工工件 J 5 , J6 , 并且调整矩阵是 ( 1 ) J j。 e 5 3 4 2 1 e 4 2 3 1 0 下面我们给出求工件排序问题的最优解的有效的 1 e 1 2 3 2 0 e 0 1 2 1 计算方法 : 2 5 e 1 2 3 1 4 e 0 1 2 ( 1 ) 由于机器在加工工件时 , 每次只能加工一种 1 4 4 e 1 2 0 3 3 e 0 1 工件 ,而每种工件总是要一次加工完毕 ,所以我们首先 1 3 4 5 e 5 0 2 3 4 e 4 可以将这个问题看成是一个指派问题 。于是根据构造 4 4 2 3 1 e 3 3 1 2 0 e 的赋权双竞赛图可以构造相对应的调整矩阵 A , 对应 ( ) ( 2) 1 着指派问题中的效率矩阵 。因为不存在从工件 J i 到 J i 由调整矩阵可以看出 , 每次调整的费用至少需要 的调整时间 (或费用 ) , 可以认为 J i 到 J i 之间无边 , 其 一个单位 。 对调整矩阵利用匈牙利方法经过相应的变 权数记为一个足够大的数字 , 例如用 e来表示 。 则有 ( 2 ) 由此我们可以找到一条路 :ν 换得到矩阵 e a12 …… a1 n 2 →ν 3 → ν ν ν ν 4 → 1 → 6 → 5 ; 所以选择工件排序序列 J 2 → J 3 → J 4 a e …… a
定理 2:每个赋权双竞赛图可以做成一个赋权亚 设某台机器必须加工多种工件 J1 , J2 , ……J n ; 在 完备偶图 kn, n 。 事实上 , 将赋权双竞赛图的每一个点 x i 分成二个 一种工件加工完毕之后 , 为了加工下一种工件 , 机器必 点 x i , y i , 规定 x i 到 x j ( i > j) 的边为偶图 x i 到 y i 的边 , 须进行调整 。 如果从加工工件 J i 到加工工件 J j的调整 时间 (或费用 ) 是 tij , 要求对这些工件的加工过程给出 x i 到 x i ( i < j) 的边为偶图 x j 到 y i 的边 , 即做成一个赋 一个排序 , 使整个加工过程中机器的调整时间 (或费 权亚完备偶图 kn, n 。 三、 主要结论及计算过程 用 ) 最少 。 该问题称为工件排序问题 。 [ 1 ] 中指出 , 目前 由定理 1 可以得到一个显然的结论 : 工件排序问题即使求的未必是最优解 , 也还没有已知 定理 3: 工件排序问题一定存在最优解 。 的有效方法 。 由定理 2 可以知 ,工件排序问题几乎可以由 Kuhn 二、 预备知识 [1 ] - Munkres算法不加修改的进行求解 , 且由 [ 1 ]知这 定义 1: 完全图的定向图称为竞赛图 。 是一个有效的好算法 。下面我们再给出一个有效的最 定义 2:若图 G的途径 W 的顶点 ν 0 ,ν 1, Lν k 互不相 优解计算方法 : 同 , 则 W 称为路 。 由于工件排序问题是要求机器的调整时间 (或费 定义 3: 将竞赛图的每条定向边上相应的加一条 用 ) 最少 , 可以看出 , 这个问题显然与旅行商问题有 与其反向的边得到的图称为双竞赛图 。 关。 由于多种工件的加工次序可以是任意的 , 且从加工 定义 4:若偶图 G ( X, Y ) 中除 x i 和 y i 之间没有连杆 工件 J i 到加工工件 J j的调整时间 (或费用 ) 是确定的 , 外 , 当 i ≠ j时 , x i , y i 之间均有连杆 , 则称 G ( X, Y ) 是一 所以我们可以构造一个赋权双竞赛图 , 由定理 1, 这个 个亚完备偶图 图有一条通过每一个点一次的最短路 。 由此可得下面 ( ) 引理 1: Redei 每 个 竞 赛 图 都 有 有 向 Ham ilton 的数学模型 n- 1 n- 1 路。 由引理 1 可得 推论 1: 每个双竞赛图都有有向 Ham ilton 圈 , 从而 也有有向 Ham ilton 路 。 由于每个双竞赛图上的有向 Ham ilton 圈为有限 个 ,所以有 定理 1: 每个赋权双竞赛图一定存在一条最短有 向 Ham ilton 路 (圈 ) 。
bN
差别很大的状态 。 从实现企业收益的过程 ,看到企业收益波动的主要部分 来自于销售量的不确定性 ,而单位毛利 、 期间成本 、 债息的作 用又增加了企业收益的波动程度 。因此 ,企业首先要把握好 销售量的波动规律 ,再根据企业的具体情况 , 选择适当的期 间成本和债息 ,尽量降低企业收益的波动程度 , 从而实现企 业跨越式的发展 。 参 考 文 献: [ 1 ] 王虎林 . 正确评估风险的指标选用 [ J ]. 经济科学 , 1998 ( 2) . [ 2 ] 杨淑娥 ,胡元木 . 财务管理研究 [M ]. 北京 : 经济科学出 版社 , 2002. [ 3 ] 邵希娟 ,崔毅 . 企业风险与杠杆效应 [ J ]. 山西大学学报 (哲学社会科学版 ). 2000 (4)
A =
21 2n
……
an1
……
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…… ……
……
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→ J 1 → J 6 → J 5 , 其费用仅为 5 个单位 , 这是一个最优 值。 参 考 文 献:
[ 1 ] J. A. 邦迪 , U. S . R. 默蒂著 ,吴望名 ,李念祖等译 . 图论
( 2 ) 将匈牙利方法用到上述调整矩阵上 , 则只需
第 23 卷 第 2期 2005 年 4 月
运城学院学报 Journal of Yuncheng University
Vol . 23 No. 2 Ap r . 2005
工件排序问题的最优解及其有效性
任运平
①
(运城学院 应用数学系 ,山西 运城 044000)
摘 要 : 工件排序问题还没有已知的有效方法 ,希望有一个方法来得到一个相当好的解 。由于工件排序问 题可转化为双竞赛图与偶图 ,通过对匈牙利方法及 Kuhn - M unkres方法的改进 ,分别可以得到二个有效的求工 件排序问题最优解的方法 。 关键词 : 工件排序问题 ; 双竞赛图 ; 亚完备偶图 ; 调整矩阵 ; 中图分类号 : O232 文献标识码 : A 文章编号 : 1008 - 8008 ( 2005 ) 02 - 0033 - 02
[ 4 ]ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ上海高校《经济数学基础 》 编写组 . 概率论与数理统计 [M ]. 上海 : 立信会计出版社 2001.
1 - T
, 可以把前面讨论情况中的 a 取作 I +
bN
1 - T
, 把每股收 bN ,
益的分界点 b转化为税息前收益中的分界值 a = I +
1 - T
仍可用上述方法加以解释 。 五、 小结 在用标准差体系衡量收益波动程度时 ,标准差和标准差 系数两个指标要结合使用 ,标准差系数的主要作用是消除多 组数据之间平均水平差异对不确定性的影响 ; 但在使用中要 注意 : 标准差系数这个指标利用期望值做分母 , 过分强调了 其分母趋于 0 时的不确定性 。以分母这个指标为分界指标 , 并将指标值为 0 作为分界点 ,把研究对象人为地分成了两种
∑x
j =1
i, j
x i, j = 0, 1
(下转第 36 页 )
①
・3 3 ・
ξ 少 , 并在 E 趋于 ( F + a ) / d 时趋于负无穷大 , 说明期望税息 前收益从小于的方向逐渐向 a 靠近 , 到了 a 的附近就很容易 大于 a 了 , 所以税息前收益是否超过 a 的不确定性也就非常 ξ 大。 在期望销售量大于 ( F + a ) / d 后 , 随 E 的增加 , Vη′ 在逐 步减少 , 说明税息前收益大于 a 的状况越来越稳定 。 a 小于 0 时仿此解释 。 如果我们关注的是每股收益大于 b或小于 b时的状况 , ζ = ( dE ξ - F - I) ( 1 - T) /N = b, 有 dE ξ- F = I + 则由 E
及其应用 [M ]. 科学出版社 , 1984. 4.
[ 2 ] 卢开澄 . 图论及其应用 [M ]. 清华大学出版社 , 1981. 6.
【 责任编辑 张凤琴 】
・36・
找出 n - 1 个位于不同行不同列的 0 元素 , 这些 0 元素 所在位置的元素经过适当调整就可以构成一条最优 Ham ilton 路 ,这条路的长度就是要求的工件排序最优 调整时间 (或费用 ) 。 ( 3 ) 计算方法的有效性 定理 4: 上面所给的计算方法是有效的 。 事实上 ,由计算的过程可知 ,计算次数至多与 ( n -
n k =1
一、 引言
∑∑x
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, jlci , jl
k
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i =1 n
i, j
=1 =1
j = 1, 2, ……, n, j ≠ i i = 1, 2, ……, n, i ≠ j
【 责任编辑 张凤琴 】
(上接第 33 页 ) 其中 cij为加工工件 J i 到加工工件 J j的调
1 ) 同阶 。
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四、 求解实例 整时间 (或费用 ) , x ij = 0 为不从加工工件 J i 转到加工 作为一个例子 , 假设存在六个工件 J1 , J2 , J3 , J 4 , 工件 J j , x ij = 1 表示需要从加工工件 J i 转到加工工件 J 5 , J6 , 并且调整矩阵是 ( 1 ) J j。 e 5 3 4 2 1 e 4 2 3 1 0 下面我们给出求工件排序问题的最优解的有效的 1 e 1 2 3 2 0 e 0 1 2 1 计算方法 : 2 5 e 1 2 3 1 4 e 0 1 2 ( 1 ) 由于机器在加工工件时 , 每次只能加工一种 1 4 4 e 1 2 0 3 3 e 0 1 工件 ,而每种工件总是要一次加工完毕 ,所以我们首先 1 3 4 5 e 5 0 2 3 4 e 4 可以将这个问题看成是一个指派问题 。于是根据构造 4 4 2 3 1 e 3 3 1 2 0 e 的赋权双竞赛图可以构造相对应的调整矩阵 A , 对应 ( ) ( 2) 1 着指派问题中的效率矩阵 。因为不存在从工件 J i 到 J i 由调整矩阵可以看出 , 每次调整的费用至少需要 的调整时间 (或费用 ) , 可以认为 J i 到 J i 之间无边 , 其 一个单位 。 对调整矩阵利用匈牙利方法经过相应的变 权数记为一个足够大的数字 , 例如用 e来表示 。 则有 ( 2 ) 由此我们可以找到一条路 :ν 换得到矩阵 e a12 …… a1 n 2 →ν 3 → ν ν ν ν 4 → 1 → 6 → 5 ; 所以选择工件排序序列 J 2 → J 3 → J 4 a e …… a
定理 2:每个赋权双竞赛图可以做成一个赋权亚 设某台机器必须加工多种工件 J1 , J2 , ……J n ; 在 完备偶图 kn, n 。 事实上 , 将赋权双竞赛图的每一个点 x i 分成二个 一种工件加工完毕之后 , 为了加工下一种工件 , 机器必 点 x i , y i , 规定 x i 到 x j ( i > j) 的边为偶图 x i 到 y i 的边 , 须进行调整 。 如果从加工工件 J i 到加工工件 J j的调整 时间 (或费用 ) 是 tij , 要求对这些工件的加工过程给出 x i 到 x i ( i < j) 的边为偶图 x j 到 y i 的边 , 即做成一个赋 一个排序 , 使整个加工过程中机器的调整时间 (或费 权亚完备偶图 kn, n 。 三、 主要结论及计算过程 用 ) 最少 。 该问题称为工件排序问题 。 [ 1 ] 中指出 , 目前 由定理 1 可以得到一个显然的结论 : 工件排序问题即使求的未必是最优解 , 也还没有已知 定理 3: 工件排序问题一定存在最优解 。 的有效方法 。 由定理 2 可以知 ,工件排序问题几乎可以由 Kuhn 二、 预备知识 [1 ] - Munkres算法不加修改的进行求解 , 且由 [ 1 ]知这 定义 1: 完全图的定向图称为竞赛图 。 是一个有效的好算法 。下面我们再给出一个有效的最 定义 2:若图 G的途径 W 的顶点 ν 0 ,ν 1, Lν k 互不相 优解计算方法 : 同 , 则 W 称为路 。 由于工件排序问题是要求机器的调整时间 (或费 定义 3: 将竞赛图的每条定向边上相应的加一条 用 ) 最少 , 可以看出 , 这个问题显然与旅行商问题有 与其反向的边得到的图称为双竞赛图 。 关。 由于多种工件的加工次序可以是任意的 , 且从加工 定义 4:若偶图 G ( X, Y ) 中除 x i 和 y i 之间没有连杆 工件 J i 到加工工件 J j的调整时间 (或费用 ) 是确定的 , 外 , 当 i ≠ j时 , x i , y i 之间均有连杆 , 则称 G ( X, Y ) 是一 所以我们可以构造一个赋权双竞赛图 , 由定理 1, 这个 个亚完备偶图 图有一条通过每一个点一次的最短路 。 由此可得下面 ( ) 引理 1: Redei 每 个 竞 赛 图 都 有 有 向 Ham ilton 的数学模型 n- 1 n- 1 路。 由引理 1 可得 推论 1: 每个双竞赛图都有有向 Ham ilton 圈 , 从而 也有有向 Ham ilton 路 。 由于每个双竞赛图上的有向 Ham ilton 圈为有限 个 ,所以有 定理 1: 每个赋权双竞赛图一定存在一条最短有 向 Ham ilton 路 (圈 ) 。
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[ 1 ] J. A. 邦迪 , U. S . R. 默蒂著 ,吴望名 ,李念祖等译 . 图论
( 2 ) 将匈牙利方法用到上述调整矩阵上 , 则只需
第 23 卷 第 2期 2005 年 4 月
运城学院学报 Journal of Yuncheng University
Vol . 23 No. 2 Ap r . 2005
工件排序问题的最优解及其有效性
任运平
①
(运城学院 应用数学系 ,山西 运城 044000)
摘 要 : 工件排序问题还没有已知的有效方法 ,希望有一个方法来得到一个相当好的解 。由于工件排序问 题可转化为双竞赛图与偶图 ,通过对匈牙利方法及 Kuhn - M unkres方法的改进 ,分别可以得到二个有效的求工 件排序问题最优解的方法 。 关键词 : 工件排序问题 ; 双竞赛图 ; 亚完备偶图 ; 调整矩阵 ; 中图分类号 : O232 文献标识码 : A 文章编号 : 1008 - 8008 ( 2005 ) 02 - 0033 - 02
[ 4 ]ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ上海高校《经济数学基础 》 编写组 . 概率论与数理统计 [M ]. 上海 : 立信会计出版社 2001.
1 - T
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益的分界点 b转化为税息前收益中的分界值 a = I +
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・3 3 ・
ξ 少 , 并在 E 趋于 ( F + a ) / d 时趋于负无穷大 , 说明期望税息 前收益从小于的方向逐渐向 a 靠近 , 到了 a 的附近就很容易 大于 a 了 , 所以税息前收益是否超过 a 的不确定性也就非常 ξ 大。 在期望销售量大于 ( F + a ) / d 后 , 随 E 的增加 , Vη′ 在逐 步减少 , 说明税息前收益大于 a 的状况越来越稳定 。 a 小于 0 时仿此解释 。 如果我们关注的是每股收益大于 b或小于 b时的状况 , ζ = ( dE ξ - F - I) ( 1 - T) /N = b, 有 dE ξ- F = I + 则由 E
及其应用 [M ]. 科学出版社 , 1984. 4.
[ 2 ] 卢开澄 . 图论及其应用 [M ]. 清华大学出版社 , 1981. 6.
【 责任编辑 张凤琴 】
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找出 n - 1 个位于不同行不同列的 0 元素 , 这些 0 元素 所在位置的元素经过适当调整就可以构成一条最优 Ham ilton 路 ,这条路的长度就是要求的工件排序最优 调整时间 (或费用 ) 。 ( 3 ) 计算方法的有效性 定理 4: 上面所给的计算方法是有效的 。 事实上 ,由计算的过程可知 ,计算次数至多与 ( n -