高考数学专题精讲 (3)

专题二三角函数、解三角形与平面向量

第1讲三角函数的图象与性质

「考情研析」 1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性． 2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点.

核心知识回顾

1.同角关系式与诱导公式

(1)同角三角函数的基本关系：□01sin2α＋cos2α＝1，□02sinα

cosα＝tanα.

(2)诱导公式：在kπ

2＋α，k∈Z的诱导公式中“

□03奇变偶不变，符号看象限”．

2．三种三角函数的性质

3．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的步骤

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考向1 同角三角关系式、诱导公式

例1 (1)(2019·临川第一中学等九校高三3月联考)已知α∈(0，π)，且cos α＝－1517，则sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π2＋αtan(π＋α)＝( )

A ．－

1517

B ．

1517

C ．－817

D ．817

答案 D

解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π2＋αtan(π＋α)＝cos αtan α＝sin α，

因为α∈(0，π)，且cos α＝－15

17，

所以sin α＝1－cos 2α＝

1－⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－15172＝817.故选D. (2)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－2

2 C ．22 D ．1

答案 A

解析 因为sin α－cos α＝2，所以(sin α－cos α)2＝2，所以sin2α＝－1.因为α∈(0，π)，2α∈(0,2π)，所以2α＝3π2，即α＝3π

4，故tan α＝－1.

(3)已知α为锐角，且有2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π

＋β)－1＝0，则sin α＝( )

A.35

5 B ．377 C ．31010 D ．－353

答案 C

解析 由已知可得， －2tan α＋3sin β＋5＝0， ① tan α－6sin β－1＝0， ②

①×2＋②得tan α＝3.∵α为锐角，∴sin α＝310

10.故选C.

(1)利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐，特别注意函数名称和符号的确定．

(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．

(3)关于sin α，cos α的齐次式，往往转化为关于tan α的式子求解．

1．(2019·内江市高三第三次模拟)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝45，则tan ⎝ ⎛

⎭⎪⎫α＋π4＝( )

A ．7

B ．17

C ．－7

D ．－17

答案 D

解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝45，∴cos α＝－35，∴tan α＝－43.∴tan ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫α＋π4＝

－43＋1

1－⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－43×1＝－

17.故选D. 2．已知sin2α＝34，则tan α＋1

tan α等于( ) A.83 B ．103 C ．113 D ．4

答案 A

解析 由sin2α＝2sin αcos α＝34，可得sin αcos α＝38，所以tan α＋1tan α＝sin α

cos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝

8

3.故选A.

3．如果f (tan x )＝sin 2x －5sin x cos x ，那么f (2)＝________. 答案 －6

5

解析 ∵f (tan x )＝sin 2

x －5sin x cos x ＝sin 2x －5sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝tan 2x －5tan x

tan 2x ＋1

，∴f (x )

＝x 2－5x x 2＋1

，则f (2)＝－65.

考向2 三角函数的图象及应用

例2 (1)(2019·永州市高三第三次模拟)将函数f (x )＝sin2x ＋3cos2x 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，所得函数的一个对称中心可以是( )

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0 B ．(0,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0 D ．⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π3，0

答案 A

解析 f (x )＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x ＋π3，将横坐标伸长到原来的2倍，所

得函数为g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

x ＋π3，令x ＋π3＝k π(k ∈Z )⇒x ＝k π－π3(k ∈Z )，则对称中心为

⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，0，k ∈Z ，令k ＝0，则其中一个对称中心为⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－π3，0.故选A.

(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递增区间为________．

答案 ⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z

解析 由函数的图象可得A ＝2，14T ＝7π12－π3＝14·

2π

ω，解得ω＝2.再根据五点作图法可知2×π3＋φ＝π，φ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x ＋π3.由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2

＋2k π(k ∈Z )，可得－5π12＋k π≤x ≤π

12＋k π(k ∈Z )．

1．解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的确定方法 (1)A ，B 由最值确定，即A ＝最大值－最小值

2，

B ＝

最大值＋最小值

2

.

(2)ω由函数周期确定，相邻两对称轴(或两对称中心)之间的距离为T

2，对称轴与相邻对称中心之间的距离为T

4.

(3)φ由图象上的特殊点确定，利用五点作图的五个特殊点直接确定． 2．三角函数图象平移问题处理策略

(1)看平移要求：首先要看题目要求由哪个函数平移得到哪个函数，这是判断移动方向的关键点．

(2)看移动方向：移动的方向一般记为“正向左，负向右”，看y ＝A sin(ωx ＋φ)中φ的正负和它的平移要求．

(3)看移动单位：在函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中，周期变换和相位变换都是沿x 轴方向的，所以ω和φ之间有一定的关系，φ是初相，再经过ω的压缩，最后移