2020届吉林省吉林市高三第二次调研测试数学(理)试题(解析版)

2019-2020学年吉林省吉林市普通中学度高三第二次调研测试数学（理）试题一、单选题1．集合{}|212P x N x =∈-<-<的子集的个数是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】先确定集合P 中元素的个数，再得子集个数． 【详解】由题意{|13}{0,1,2}P x N x =∈-<<=，有三个元素，其子集有8个． 故选：D ． 【点睛】本题考查子集的个数问题，含有n 个元素的集合其子集有2n 个，其中真子集有21n -个． 2．已知i 为虚数单位，复数z 满足()1z i i ⋅-=，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】求出复数z ，得出其对应点的坐标，确定所在象限． 【详解】 由题意i i(1i)11i 1i (1i)(1i)22z +===-+--+,对应点坐标为11(,)22- ，在第二象限． 故选：B ． 【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题．3．如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是（ ） A ．数据中可能有异常值 B ．这组数据是近似对称的 C ．数据中可能有极端大的值 D ．数据中众数可能和中位数相同【答案】B【解析】根据中位数、平均数、众数的定义说明． 【详解】中位数表示一组数据的一般水平，平均数表示一组数据的平均水平，如果这两者差不多，说明数据分布较均匀，也可以看作近似对称，但现在它们相关很大，说明其中有异常数据，有极端大的值，众数是出现次数最多的数，可能不止一个，当然可以和中位数相同，因此只有B 错误． 故选：B ． 【点睛】本题考查样本数据特征，掌握它们的概念是解题基础． 4．“1cos 22α=-”是“3k παπ=+，k Z ∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】先求出满足1cos 22α=-的α值，然后根据充分必要条件的定义判断． 【详解】 由1cos 22α=-得2223k παπ=±，即3k παπ=±，k Z ∈ ，因此“1cos 22α=-”是“3k παπ=+，k Z ∈”的必要不充分条件．故选：B ． 【点睛】本题考查充分必要条件，掌握充分必要条件的定义是解题基础．解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断．5．对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：()0.675,0.989-，()1.102,0.010-，()2.899,1.024，()9.101,2.978，下列函数模型中拟合较好的是（ ） A ．3y x = B ．3x y =C ．()21y x =--D ．3log y x =【答案】D【解析】作出四个函数的图象及给出的四个点，观察这四个点在靠近哪个曲线． 【详解】如图，作出A ，B ，C ，D 中四个函数图象，同时描出题中的四个点，它们在曲线3log y x =的两侧，与其他三个曲线都离得很远，因此D 是正确选项， 故选：D ． 【点睛】本题考查回归分析，拟合曲线包含或靠近样本数据的点越多，说明拟合效果好．6．已知实数x ，y 满足线性约束条件10+20x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A ．1-B ．1C ．5-D ．5【答案】B【解析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定函数的最值即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：2y x z =-+，其中z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值， 联立直线方程：11x x y =⎧⎨+=⎩，可得点的坐标为：()1,1A -，据此可知目标函数的最小值为：min 2211z x y =+=-=.故选B . 【点睛】本题考查了线性规划的问题，关键是画出可行域并理解目标函数的几何意义，属于基础题.7．已知圆22670x y x +--=与抛物线()220y px p =>的准线相切，则p 的值为（）A ．1 B.2 C.12D ．4 【答案】B【解析】因为圆22670x y x +--=与抛物线()220y px p =>的准线相切，则圆心为（3,0），半径为4，根据相切可知，圆心到直线的距离等于原点 半径，可知p 的值为2，选B.8．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，则下列各直线中，不与平面1ACD 平行的是（ ）A ．直线EFB ．直线GHC ．直线EHD ．直线1A B【答案】C【解析】根据线面平行的判定定理判断． 【详解】首先四个选项的直线都不在平面1ACD 内，由中点及正方体的性质知//EF AC ，11////GH AC AC ，11//AB DC ，∴直线EF ，GH ，1A B 都与平面1ACD 平行，剩下的只有EH 不与平面1ACD 平行．实际上过A 作1CD 的平行线，这条平行线在平面1ACD 内且与EH 相交（它们都在平面11ABB A 内）．故选：C ． 【点睛】本题考查线面平行的判定，解题根据是线面平行的判定定理．9．我国宋代数学家秦九韶（1202－1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.其实质是根据三角形的三边长a ，b ，c 求三角形面积S ，即S =若ABC ∆的面积S =，a =2b =，则c 等于（ ）A ．5B ．9C 3D ．5或9【答案】C【解析】把已知数据代入面积公式解方程即得． 【详解】=2221111[3()]424c c --=，整理得4214450c c -+=，29c =或5，即c =3．故选：C ． 【点睛】本题寓数学知识于数学文化之中，解题时只要把已知,a b 代入面积公式解方程即可得．10．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的焦距为2c .点A 为双曲线C 的右顶点，若点A 到双曲线C 的渐近线的距离为12c ，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．BC ．2D ．3【答案】A【解析】由点到直线距离公式建立,,a b c 的等式，变形后可求得离心率． 【详解】由题意(,0)A a ，一条渐近线方程为b y xa =，即0bx ay -=，∴12d c ==， 222214a b c c =，即22222()14a c a c c -=，42440e e -+=，e = 故选：A ． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，掌握渐近线方程与点到直线距离公式是解题基础．11．已知ln a π=，5log 2b =，12c e -=，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】B【解析】首先与1比较，得一最大的，剩下的两个与12比较． 【详解】首先125ln 1,0log 21,01eπ-><<<<，a 最大，其次551log 2log 2<=，1212e -=>=，∴c b >，∴a c b >>． 故选：B ． 【点睛】本题考查比较幂和对数的大小，对不同底的对数或幂一般借助于中间值比较，如0，1，2等等．本题中是与12比较的．12．如图，在ABC ∆中，点M ，N 分别为CA ，CB 的中点，若AB =1CB =，且满足223AG MB CA CB ⋅=+，则AG AC ⋅等于（ ）A ．2BC ．23D ．83【答案】D【解析】选取,BA BC 为基底，其他向量都用基底表示后进行运算． 【详解】由题意G 是ABC ∆的重心，2133()2()()32AG MB AN BM BN BA BC BA ⋅=⨯⋅-=--⋅+1()()2BA BC BC BA =-⋅+22111152222BA BC BA BC BA BC =-+⋅=-+⋅22222()121BA BC BA BA BC BC CA CB =-+=-⋅+=++5211BA BC =-⋅++ ，∴917222BA BC BA BC +⋅=-⋅，1BA BC ⋅=， ∴AG AC⋅22221213()()()332322AN AC BC BA BC BA BC BC BA BA =⋅=-⋅-=-⋅+2138(5)3223=-+=， 故选：D ． 【点睛】本题考查向量的数量积，解题关键是选取两个不共线向量作为基底，其他向量都用基底表示参与运算，这样做目标明确，易于操作．二、填空题13．在空间直角坐标系O xyz -中，)A，()0,3,0B ，()0,0,5C ，)D，则四面体ABCD 的外接球的体积为______. 【答案】36π；【解析】由四点坐标知此四点正好是一个长方体的四个顶点，则长方体的对角线就是四面体ABCD 外接球的直径． 【详解】取(0,3,5),(0,0,0)E F G O ，则O A F B C E D G-是长方体，其对角线长为6l ==，∴四面体ABCD 外接球半径为32lr ==． 334433633V r πππ==⨯=，故答案为：36π．【点睛】本题考查四面体外接球体积，关键是在三个坐标平面上找三个点结合坐标原点，共八点是一个长方体的八个顶点，这样外接球直径易知．14．直线20+-=mx ny （0m >，0n >）过圆C ：222210x y x y +---=的圆心，则24m n+的最小值是______.【答案】3+【解析】求出圆心坐标，代入直线方程得,m n 的关系，再由基本不等式求得题中最小值． 【详解】圆C ：222210x y x y +---=的标准方程为22(1)(1)3x y -+-=，圆心为(1,1)C ， 由题意20m n +-=，即2m n +=，∴24122()()333m n m n m n m n n m +=++=++≥+=+2m nn m=，即1),2(2m n ==时等号成立，故答案为：3+． 【点睛】本题考查用基本不等式求最值，考查圆的标准方程，解题方法是配方法求圆心坐标，“1”的代换法求最小值，目的是凑配出基本不等式中所需的“定值”．15．若函数()1sin 262f x x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在区间[]0,π上恰有4个不同的零点，则正数ω的取值范围是______. 【答案】4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭；【解析】求出函数()f x 的零点，让正数零点从小到大排列，第三个正数零点落在区间[]0,π上，第四个零点在区间[]0,π外即可．【详解】由()1sin 2062f x x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭＝，得2(1)66k x k ππωπ+=+-⋅，k Z ∈， 1=[(1)]266k x k πππω+--⋅，k Z ∈， ∵(0)0f =，∴1(3)2661(4)266ππππωππππω⎧--≤⎪⎪⎨⎪+->⎪⎩ ，解得423ω≤<．故答案为：4[,2)3． 【点睛】本题考查函数的零点，根据正弦函数性质求出函数零点，然后题意，把正数零点从小到大排列，由于0已经是一个零点，因此只有前3个零点在区间[]0,π上．由此可得ω的不等关系，从而得出结论，本题解法属于中档题．16．关于函数()()()ln 2ln 4f x x x =+--有下列四个命题： ①函数()y f x =在()2,4-上是增函数； ②函数()y f x =的图象关于()1,0中心对称； ③不存在斜率小于23且与函数()y f x =的图象相切的直线； ④函数()y f x =的导函数()y f x '=不存在极小值. 其中正确的命题有______.（写出所有正确命题的序号） 【答案】①②③【解析】由单调性、对称性概念、导数的几何意义、导数与极值的关系进行判断． 【详解】函数()()()ln 2ln 4f x x x =+--的定义域是(2,4)-， 由于()()()26ln 2ln 4lnln(1)44x f x x x x x+=+--==-+--， 614u x=-+-在(2,4)-上递增，∴函数()y f x =在()2,4-上是递增，①正确； (2)ln(4)ln(2)()f x x x f x -=--+=-，∴函数()y f x =的图象关于()1,0中心对称，②正确；22116662'()2482(1)993f x x x x x x =+==≥=+-+---+，1x =时取等号，∴③正确；2116'()2428f x x x x x =+=+--++，设()'()g x f x =，则2212(1)'()(28)x g x x x -=-++，显然1x =是()g x 即'()f x 的极小值点，④错误．故答案为：①②③. 【点睛】本题考查函数的单调性、对称性，考查导数的几何意义、导数与极值，解题时按照相关概念判断即可，属于中档题．三、解答题17．已知数列{}n a 是公比为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，满足12a =，且223,2,a S a 成等差数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足2log n n b a =，求2222222212345699100b b b b b b b b -+-+-+⋅⋅⋅+-的值.【答案】（1）()21*2n n a n N -=∈（2）20000-【解析】（1）由公比q 表示出232,,a a S ，由223,2,a S a 成等差数列可求得q ，从而数列的通项公式；（2）求（1）得n b ，然后对和式2222222212345699100b b b b b b b b -+-+-+⋅⋅⋅+-两两并项后利用等差数列的前n 项和公式可求解． 【详解】（1）∵{}n a 是等比数列，且223,2,a S a 成等差数列∴2234S a a =+，即()211114a a q a q a q +=+∴244q q q +=+，解得：1q =-或4q = ∵0q >，∴4q = ∵12a = ∴()121*242n n n a n N --=⋅=∈（2）∵2log 21n n b a n ==- ∴2222221357197199-+-+⋅⋅⋅+-()()()()()()13135757197199197199=-++-++⋅⋅⋅+-+ ()()21357199=-++++⋅⋅⋅+ 119921002+=-⋅⋅ 20000=-【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查并项求和法及等差数列的n 项和公式．本题求数列通项公式所用方法为基本量法，求和是用并项求和法．数列的求和除公式法外，还有错位相关法、裂项相消法、分组（并项）求和法等等．18．如图，三棱柱ABC A B C '''-的侧棱AA '垂直于底面ABC ，且90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =，AA '=，M 是棱CC '的中点.（1）证明：AB A M ''⊥；（2）求二面角A MB A ''--的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】（1）由侧棱AA '垂直于底面ABC ，且90ACB ∠=︒，得可侧面与底面垂直，从而BC 与侧面AA C C ''垂直，因此有BC A M '⊥，即有B C A M '''⊥，于是只要证A M AC ''⊥即可有线面垂直，从而证AB A M ''⊥，这个A M AC ''⊥在矩形ACC A ''由相似三角形可得证；（2）以分别以CA ，CB ，CC '为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面MA B ''和平面MAB '法向量，有平面法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值（注意确定二面角是锐角还是钝角）． 【详解】（1）证明：∵AA '⊥平面ABC ∴四边形ACC A ''是矩形∵M 为CC '中点，且AA CC ''==∴C M '=∵1BC =，30BAC ∠=︒，90ACB ∠=︒∴AC A C ''==∴C M A C A C AA '''='''连接AC ' ，∵MC A C A A ''''∠=∠，∴MC A ''∆与C A A ''∆相似 ∴C A M A AC ''''∠=∠，∴90A AC AA M '''∠+∠=︒ ∴A M AC ''⊥∵90ACB ∠=︒，∴BC ⊥平面ACC A '' ∴B C ''⊥平面ACC A ''∵A M '⊂平面ACC A ''，∴B C A M '''⊥ ∴A M '⊥平面AB C ''，∴A M AB ''⊥．（2）解∶如图，分别以CA ，CB ，CC '为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A '，M ⎛ ⎝⎭，(B '，)A ，∴3,0,MA ⎛'=⎭，MB ⎛'= ⎝⎭，3,0,MA ⎛= ⎭， 设平面MA B ''的法向量为()1111,,n x y z =，则10MA n '⋅=，20MB n '⋅=解得：12,2n ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭同理，平面MAB '的法向量21n ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭设二面角A MB A ''--的大小为θ，则1212122cos cos ,|3||||1n n n n n n θ⋅=<>===⋅ 即二面角A MB A ''--的余弦值为23. 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查空间向量法求二面角．证明线面垂直，就要证线线垂直，而证明线线垂直又可通过线面垂直得出，因此我们要注意空间线线与线面垂直的相互转化，用好用活判定定理和性质定理．立体几何中求空间角可用空间向量法求解，即建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角与空间角的关系求解．19．已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A π≠，且满足()sin 220cos 0bc A B C ++=.（1）求ABC ∆的面积S ； （2）若24a S =，求c bb c+的最大值.【答案】（1）5（2）【解析】（1）由诱导公式和二倍角公式可得sin bc A ，从而得三角形面积；（2）由余弦定理得2222cos 2sin b c bc A a bc A +-==，从而可把22c b b c b c bc++=用角A 表示出来，由三角函数性质求得最大值． 【详解】 解：（1）在ABC ∆中，A B C π++=，∴B C A +=π- ∵()sin 220cos 0bc A B C ++= ∴2sin cos 20cos 0bc A A A ⋅-= ∵2A π≠，∴cos 0A ≠∴1sin 52S bc A == （2）∵24a S =∴222cos 2sin b c bc A bc A +-= ∴222sin 2cos b c bc A bc A +=+∴222sin 2cos 4c b b c A A A b c bc π+⎛⎫+==+=+ ⎪⎝⎭∴当4A π=时，c bb c+取最大值【点睛】本题考查二倍角公式，诱导公式，两角和与差的正弦公式，余弦定理．本题关键是2222cos 2sin b c bc A a bc A +-==，这样可把22c b b c b c bc++=表示为角A 的函数，从而求得最值．20．为满足人们的阅读需求，图书馆设立了无人值守的自助阅读区，提倡人们在阅读后将图书分类放回相应区域.现随机抽取了某阅读区500本图书的分类归还情况，数据统计如下（单位：本）.（1）根据统计数据估计文学类图书分类正确的概率1p ； （2）根据统计数据估计图书分类错误的概率2p ；（3）假设文学类图书在“文学类专栏”、“科普类专栏”、“其他类专栏”的数目分别为a ，b ，c ，其中0a >，100a b +=，50c =，当a ，b ，c 的方差2s 最大时，求a ，b的值，并求出此时方差2s 的值. 【答案】（1）23（2）725（3）当100a =，0b =时，2s 取最大值50003【解析】（1）文学类图书共有150本，其中正确分类的有100本，由此可计算概率； （2）图书分类错误的共有140本，图书总共有500本，易得概率； （3）计算平均值，再计算方差2s ，转化为a 的函数后可得最大值． 【详解】 解：（1）由题意可知，文学类图书共有1004010150++=本，其中正确分类的有100本 所以文学类图书分类正确的概率110021503p == （2）图书分类错误的共有302040101030140+++++=本，因为图书共有500本， 所以图书分类错误的概率2302040101030750025p +++++==（3）a ，b ，c 的平均数()1503x a b c =++= 所以方差()()()22221505050503s a b ⎡⎤=-+-+-⎣⎦()22150001003a b a b ⎡⎤=++-+⎣⎦ ()22150003a b =+-()22110050003a a ⎡⎤=+--⎣⎦21220050003a a ⎡⎤=-+⎣⎦ ∵0a >，0b ≥，∴当100a =，0b =时，2s 取最大值50003. 【点睛】本题考查古典概型，考查方差的计算．考查了学生的数据处理能力．属于中档题．21．设函数())ln 1f x x a=-.（1）若函数()y f x =在()1,+∞是单调递减的函数，求实数a 的取值范围；（2）若0n m >>，证明：2ln ln n m +<. 【答案】（1）2a ≥（2）证明见解析【解析】（1）求出导函数()f x '，由()0f x '≤在()1,+∞上恒成立，采用分离参数法求解；（2）观察函数()f x ，不等式凑配后知，利用2a =时()1n f f m ⎛⎫< ⎪⎝⎭可证结论． 【详解】（1）因为()y f x =在()1,+∞上单调递减， 所以()10f x x '=-≤，即a ≥在()1,+∞上恒成立 因为y=在()1,+∞()0,2，所以2a ≥ （2）因为0n m >>，所以1nm> 由（1）知，当2a =时，()y f x =在()1,+∞上单调递减所以()1n f f m ⎛⎫< ⎪⎝⎭即ln 210nm ⎫-<⎪⎪⎭所以2ln ln n m +<. 【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，考查用导数证明不等式．解题关键是把不等式与函数的结论联系起来，利用函数的特例得出不等式的证明．22．已知()2,0A -，()2,0B ，动点P 满足直线PA 与直线PB 的斜率之积为34-，设点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）若过点()1,0F 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，过点F 且与直线l 垂直的直线与4x =相交于点T ，求||||TF MN 的最小值及此时直线l 的方程. 【答案】（1）()221243x y x +=≠±（2）||||TF MN 的最小值为1，此时直线l ：1x = 【解析】（1）用直接法求轨迹方程，即设动点为(,)P x y ，把已知用坐标表示并整理即得．注意取值范围；（2）设l ：1x my =+，将其与曲线C 的方程联立，消元并整理得()2234690my my ++-=，设()12,M x y ，()22,N x y ，则可得12y y +，，12y y ，由12MN y =-求出MN ，将直线FT 方程()1y m x =--与4x =联立，得()4,3T m -，求得TF ，计算||||TF MN ，设t =.显然1t ≥，构造()()||1131||4TF f t t t MN t ⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，由导数的知识求得其最小值，同时可得直线l 的方程. 【详解】（1）设(),P x y ，则34PA PB k k ⋅=-，即()3224y y x x ⋅=---- 整理得()221243x y x +=≠±（2）设l ：1x my =+，将其与曲线C 的方程联立，得()2231412my y ++= 即()2234690m y my ++-=设()12,M x y ，()22,N x y ，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+2212(1)34m MN m +==+ 将直线FT ：()1y m x =--与4x =联立，得()4,3T m -∴TF ==∴2||11||44TF MN ⎛⎫== ⎝设t =.显然1t ≥ 构造()()||1131||4TF f t t t MN t ⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭()211304f t t ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭在[)1,t ∈+∞上恒成立所以()y f t =在[)1,+∞上单调递增所以||1131||4FT t MN t ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当1t =，即0m =时取“=”即||||TF MN 的最小值为1，此时直线l ：1x =. （注：1.如果按函数1y x x=+的性质求最值可以不扣分；2.若直线方程按斜率是否存在讨论，则可以根据步骤相应给分.） 【点睛】本题考查求轨迹方程，考查直线与椭圆相交中的最值．直线与椭圆相交问题中常采用“设而不求”的思想方法，即设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，设直线方程，直线方程与椭圆方程联立并消元，然后用韦达定理得1212,x x x x +（或1212,y y y y +），把这个代入其他条件变形计算化简得出结论，本题属于难题，对学生的逻辑推理、运算求解能力有一定的要求．。