地下水动力学第七章

d
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二、滞后疏干排水理论
1、博尔顿假定： 、博尔顿假定：
在抽水开始以后， 和τ +δτ 之间，潜水位下降 δ s τ , 潜水层释放的水由两部分组成。 弹性释放：单位面积的含水层柱体中弹性储量释 （1）弹性释放 放出来的水量
V = µeδ s ×1 = µeδ s
t >τ
（2）滞后释放：在单位水平面积的含水层柱体中，在任意 滞后释放 时，给出的水量
B= 1 T
αµd
α
1
越小，滞后性越小 越大，滞后性越大
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α
4、博尔顿滞后重力给水潜水井流标准曲线
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4、博尔顿潜水井流标准曲线
（一）标准曲线的绘制 B
→∞ Q s= 4πT
引入无因次变量
αtx2
∫
∞
0
− 2 r 1 dx x +1 2J0 ( x)[1− 2 e −∈ ] B x +1 x
α ↑⇒ e
−α (t −τ )
=
1
↓
∴ sµd [1− e−α (t −τ ) ] ↑ δ
α
1
α
1
↑⇒ 给水量↓⇒ 滞后性大
α
为滞后系数
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t >τ 1、博尔顿假定 ——三点说明（续）
(3)在 (3)在τ与百度文库区间内滞后给水的总水量. 区间内滞后给水的总水量.
eα (t −τ ) α愈大，则τ至时段内给出水量大，滞后性小 t 1 ∴ ↓⇒ 给水量↑⇒ 滞后性小
5 < η < 100 时，中间过渡带用E,D两类标准曲线的相切曲线表示
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二、利用标准曲线进行抽水试验求参 （一）标准曲线法
（1）将某观测孔r处水位观测数据在双对数纸上作s-t曲线。 （2）实测s-t曲线重叠于E类标准曲线。 在保持 WE (ue , r ) 轴平行s轴， 1 轴平行t轴的条件下， ue B 寻找最优拟合曲线 ( r ) 位置，记下( r ) 值
δsi αµd e−α (t −τ )δτi ∑δτ i =1 i
i
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2、考虑滞后疏干的潜水流动控制方程
滞后疏干排水
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2、考虑滞后疏干的潜水流动控制方程 n δsi −α (t −τ i ) ∑ αµd e δτi
i =1
δτi
n →∞ 当 δτi → 0
∂s ∴有 αµd e−α (t −τ )dτ ∫0 ∂t
第七章 无越流潜水含水层中的完整井流 一、概述
无压井流与承压井流不同 潜水面是随时间变化的浸润漏斗，控制方程是非 的浸润漏斗， 潜水面是 的浸润漏斗 线性的，并不能真正用 简化表示。 线性的，并不能真正用hm简化表示。 无压井流的导水系数 T=Kh，此参数随距离 r,t是 ， 是 变化的 而承压井流 无关。 变化的。而承压井流T=KM,与r,t无关。 , 无关 无压井流存在垂直分流速，即它是三维流动的， 无压井流存在垂直分流速，即它是三维流动的， 垂直分流速 而承压井流是径向二维流的。 而承压井流是径向二维流的。
Q r s= WD (ud , ) 4πT B
由 ud 和 r 计算博尔顿井函数表,如表7-2-1, p171 B 以 1 为横作标， D 为纵轴，绘制D类标准曲线。 W
ud
对于比较小时，− 2 −13可写为 t 7 Q r s= WE (u e , ) ⇒ E类标准曲线 4πT B
由 ue 以
1 ue
(3)在 (3)在τ与t区间内滞后给水的总水量
∴∫ δ sαµd e
τ
t −α (t −τ )
dt = −δ sµd ∫ e−α (t −τ )d[−α(t −τ )]
τ
t
= −δ sµd [e−α (t −τ ) ]τ = δ sµd [1− e−α (t −τ ) ] t
eα (t −τ ) α愈大，则τ至时段内给出水量大，滞后性小 t 1 ∴ ↓⇒ 给水量↑⇒ 滞后性小
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一、潜水含水层在抽水条件下的给水机理
沃尔顿（W.C.Walton） 2. 沃尔顿（W.C.Walton）抽水过程三阶段 抽水早期：弹性储量释放阶段，可能仅几分钟， （1）抽水早期：弹性储量释放阶段，可能仅几分钟， 遵循承压井泰斯曲线 µ = µ e （2）疏干排水阶段 表现偏离泰斯曲线。 曲线斜率减少， 表现偏离泰斯曲线。s-t曲线斜率减少，甚至短时间 稳定。 稳定。 （3）平衡阶段 抽水持续进行。 抽水持续进行。当疏干排水的滞后排水作用达到压力 平衡时又与泰斯曲线相吻合， 平衡时又与泰斯曲线相吻合，此时 µ = µ 。
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4、博尔顿潜水井流标准曲线
每一条E类曲线的右边和D类曲线的左边部分接近一水平线。
r r r WE (ue , ) = WD (ud , ) = 2K0 ( ) B B B
K0 为虚宗量零阶第二类贝塞尔函数。
注意：上述标准曲线在 实际上：当
η →∞
可运用。
前提推出的。
η ≥ 100
３.滞后给水的博尔顿解
Q ∞2 r αηt(1− x2 ) −λ1 s= ∫0 x[1− e (chλ2 + 2λ2 shλ2 )]J0 (ν B x)dx 4πT x +1 当t足够小，η →∞时，
−αηt+( x2+1) Q ∞ r x2 dx s= ] ∫0 2J0 ( B x) x2 +1[1− e 4πT x 当α → 0 B →∞. ，
∴∫
∞
τ
µdδ s ×α × e−α (t −τ )dt
∞
= −µdδ s∫ e−α (t −τ )d[−α(t −τ )]
τ
= µdδ s[e−α (t −τ ) ]τ ∞ = µdδ s − µdδ s lime−α (t −τ )
t →∞
= µdδ s
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t >τ 1、博尔顿假定 ——三点说明（续）
r 2µe Q Q ∴s = W( )= W(ue ) 4πT 4Tt 4πT 当t足够大时， r 2µd Q Q s= W( )= W(ud ) 4πT 4Tt 4πT
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３.滞后给水的博尔顿解
当α → 0 B →∞. ， r2µe Q Q ∴s = W( )= W(ue ) 4πT 4Tt 4πT 当t足够大时， r2µd Q Q s= W( )= W(ud ) 4πT 4Tt 4πT
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考虑滞后给水的分析方法–博尔顿法 7.2 考虑滞后给水的分析方法 博尔顿法
一、潜水含水层在抽水条件下的给水机理
1、潜水含水层重力滞后疏干排水
•承压含水层 ：水头的下降是压力的减小，地下水的释放是 承压含水层 弹性储存量的释放 而含水层的厚度不变。 •无压含水层 无压含水层：水头下降导致水层厚度的下降 水位下降是由 无压含水层 于重力储存量的释放。 •重力疏干 重力疏干：重力给水是地下水在重力作用下缓慢排出的，称 重力疏干 为重力疏干。 •滞后疏干 滞后疏干：由于这种疏干排水的速率与含水介质有关，当含 滞后疏干 水层颗粒很细时，重力水的释放不能瞬时完成，因而存在滞后 现象，即为滞后疏干（或滞后重力排水）。
α ↑⇒ e−α (t −τ ) =
1
↓
∴ sµd [1− e−α (t −τ ) ] ↑ δ
α
1
α
1
↑⇒ 给水量↓⇒ 滞后性大
这种刻画滞后 性的数学方法 可用于表征降 雨入渗补给、 泉流量衰减等
α
为滞后系数
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2.考虑滞后疏干的潜水流动控制方程 2.考虑滞后疏干的潜水流动控制方程
(1)忽略垂向分流速，且令 T = khm = const
1 s, t ,WD和 ud
r QWD (u d , ) B ∴T = 4π s
4Tt ⋅ u d µd = 2 r
理论上应当一致，如果实际计算的相差不大， 两个T理论上应当一致，如果实际计算的相差不大，则 取平均值。 取平均值。
∂2s 1 ∂s ∂s ) = µe T( 2 + ∂r r ∂r ∂t
(2)考虑滞后疏干排水， 将[0-t]分成n个时段
只 虑 性 水 考 弹 释
∴δτi = τi −τi−1
=
τ0 =
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2、考虑滞后疏干的潜水流动控制方程
--滞后疏干排水的数学刻画 滞后疏干排水的数学刻画 (2)考虑滞后疏干排水，将[0-t]分成n个时段
µe
2λ1 = αηt(1+ x2 ) 2λ2 = αt η2 (1+ x2 )2 − 4 x2 η
ν=
B=
µd η −1 = η µe + µd
T
αµd
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J0 : 零阶第一类贝塞尔函数。
３.滞后给水的博尔顿解
αηt(1− x2 ) Q ∞2 r −λ1 s= ∫0 x[1− e (chλ2 + 2λ2 shλ2 )]J0 (ν B x)dx 4πT
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一、概述
无压井流与承压井流不同 泰斯系统地下水释放是弹性释水，它近似是瞬 时完成的。 无压井流地下水是重力水疏干，是重力给水， 往往无法瞬时完成，存在滞后排水情况。 无压井流在井壁上出现水跃（出渗段）现象
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二、说 明
以前无压井流只是简单地从形式上利用泰斯公 式解，是简单的近似处理。 前面的无压井流是在忽略以上几个特点的情况 下导出的。 到目前为止，无压水流的问题在理论上尚未获 得严格解法。目前只是考虑到上述五个问题中 的某个问题得到的。
r W = f (αt,η, ) B 当 →∞ η Q s= 4πT
∫
∞
0
r 1 2J0 ( x)[1− 2 e B x +1
−
αtx2
x2 +1
dx −∈ ] x
x2 −αηt +( x2 +1) e 式中∈= 2 x +1 当t足够小，η →∞时，
−αηt+( x2+1) Q ∞ r x2 dx s= ] ∫0 2J0 ( B x) x2 +1[1− e 4πT x 当α → 0，B →∞. 地下水动力学课程组
r 和 计算博尔顿井函数表,如表7-2-2, p173 B
为横作标，WE为纵轴，绘制E类标准曲线。
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4、博尔顿潜水井流标准曲线 WD
表7-2-1博尔顿井函数表
Q r s= WD (ud , ) 4πT B
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4、博尔顿潜水井流标准曲线 WD
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4、博尔顿潜水井流标准曲线
. 在 δτi时段内水位下降 δsi (i = 1 2Ln)。降深 δ si 所引起 , 的在t时刻的疏干排水量，即单位时间水平面积的多孔介质 柱体中，单位时间的滞后重力给水量可写为：
δsiαµd e
−α (t −τ i )
δsi = αµd e−α (t −τ )δτi δτi
i
在t时刻之前各阶段 (δτ1,δτ2 ,δτ3 Lδτn ) 产生的降深 (δs1,δs2 ,δs3 L sn ) 对t时刻引起的滞后重力给水的 δ 总水量： n
t
t ∂ ∂2s 1 ∂s ∂s s −α (t −τ ) T( 2 + ) = µe +αµd ∫ e dτ 0 ∂ ∂r r ∂r ∂t t s(r,0) = 0 s(∞, t) = 0
∂s = −Q lim2π rT r →0 ∂r
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３. 滞后给水的博尔顿解
Q ∞2 αηt(1− x2 ) r −λ 1 s= ∫0 x[1− e (chλ2 + 2λ2 shλ2 )]J0 (ν B x)dx 4πT 式中： µ + µd η= e
r 2µe ue = 由 4Tt r 2µd ud = = ue (η −1) 4Tt
由于B =
2
T
αµd
⇒α B2 =
2
T
Q r s= WD (ud , ) 4πT B
µd
r ( )2 r 1 r 1 ∴ud = ⋅ = ⋅ = B 4t T 4t α B2 4αt
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4、博尔顿潜水井流标准曲线
B B
和对应的 s, t,W 和 1 值。 E ue
r QWE (u e , ) B ∴T = 4π s
4Tt ⋅ u e µ e= r2地下水动力学课程组
（一）标准曲线的使用方法
（3）将实测曲线重选在D类曲线上，这里除了应保持相应 r
B
坐标轴彼此平行外，也应与E类标准曲线匹配时相同。找 到最优拟合位置后，任选一配合点，记下相应的
V = µdδ s ×α × e−α (t −τ ) ×1 = µdδ s ×α × e−α (t −τ )
µd是重力给水度；α是经验系数
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1、博尔顿假定 ——三点说明 τ
(t > τ )
µdδ s ×α × e
−α (t −τ )
它为滞后重力给水。
(1)是 τ 和 τ+d τ 之间发生降深 δ s 之后t(t> τ)时刻 释放的。 (2)滞后给水满足水量均衡：