高等代数(专升本)

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高等代数专升本辅导材料

高等代数专升本辅导材料一、填空题1．多项式可整除任意多项式。

2．若242(1)1x ax bx -∣++，则a = ，b = 。

3、设f(x)=x 4+3x 2-kx+2用x-1除余数为3，则k= 。

4、若n 元齐次线性方程组AX=0满足r(A)= r ，则AX=0的基础解系中有 _____________个解向量。

5、若矩阵运算A+BC-X=2E ，则X= 。

6、设A==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1,003020100A 则7、在行列式1314021b a -中, b 的代数余子式为-24, 则a =________．8. 当矩阵A=______时, 秩A=0.9、(1) 二次型()2234,y xy x y x f +-=的矩阵=A 。

(2) 323121321),,(x x x x x x x x x f -+=的矩阵为。

(3) 244323322241312143217865423),,,(x x x x x x x x x x x x x x x x f -++--+-= 的矩阵。

(4) 244323222121432142),,,(x x x x x x x x x x x x f -+-++=的矩阵。

(5)()()n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x f 12321312121222222),(-++++++++= 的矩阵。

二、判断题 1、设12n ααα是n P 中n 个向量，若n P β∀∈，有12,n αααβ线性相关，则12n ααα线性相关。

（）2、若向量组的秩为r ，则其中任意r 个向量都线性无关。

（）3、若向量组的秩为r ，则其中任意r+1个向量都线性相关。

（）4、若两个向量组等价，则它们含有相同个数的向量。

（）5、当a 1=a 2=…a r =0时，有a 1α1+a 2α2+…+a r αr =0, 那么α1,α2,…,αr 线性无关。

专转本高数知识点整理

专转本高数知识点整理一、函数。

1. 函数的概念。

- 设x和y是两个变量，D是一个给定的非空数集。

如果对于每个数x∈D，变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作y = f(x)，x∈ D。

其中x称为自变量，y称为因变量，D称为函数的定义域。

- 函数的两要素：定义域和对应法则。

2. 函数的性质。

- 单调性：设函数y = f(x)在区间(a,b)内有定义，如果对于(a,b)内任意两点x_1和x_2，当x_1时，有f(x_1)（或f(x_1)>f(x_2)），则称函数y = f(x)在区间(a,b)内是单调增加（或单调减少）的。

- 奇偶性：设函数y = f(x)的定义域D关于原点对称，如果对于任意x∈ D，有f(-x)=f(x)，则称y = f(x)为偶函数；如果f(-x)= - f(x)，则称y = f(x)为奇函数。

- 周期性：设函数y = f(x)的定义域为D，如果存在一个不为零的数T，使得对于任意x∈ D有(x± T)∈ D，且f(x + T)=f(x)恒成立，则称函数y = f(x)为周期函数，T称为函数的周期。

3. 反函数。

- 设函数y = f(x)的定义域为D，值域为W。

如果对于W中的每一个y值，在D中有且只有一个x值使得y = f(x)，则在W上定义了一个函数，称为函数y = f(x)的反函数，记作x = f^-1(y)。

习惯上，将y = f(x)的反函数记作y = f^-1(x)。

二、极限。

1. 极限的定义。

- 数列极限：设{a_n}为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数varepsilon（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n > N时，不等式| a_n-a|都成立，那么就称常数a是数列{a_n}的极限，或者称数列{a_n}收敛于a，记作lim_n→∞a_n=a。

- 函数极限（x→ x_0）：设函数f(x)在点x_0的某一去心邻域内有定义。

高等代数专升本试题及答案

高等代数专升本试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. [1 0; 0 0]B. [1 2; 3 4]C. [1 2; 2 4]D. [1 0; 0 1]答案：D2. 设A为3阶实对称矩阵，且A的特征值为1, 2, 3，则A的平方的特征值为？A. 1, 4, 9B. 0, 4, 9C. 1, 2, 3D. 0, 1, 4答案：A3. 线性空间V的维数是指：A. 基的大小B. 线性无关向量组中向量的最大个数C. 线性相关向量组中向量的最大个数D. 向量空间中向量的最大个数答案：A4. 以下哪个是线性变换？A. f(x) = x^2B. f(x) = x + 1C. f(x) = x^3D. f(x) = sin(x)答案：B5. 线性方程组的解集是：A. 向量B. 矩阵C. 线性空间D. 集合答案：C6. 矩阵A的迹（trace）是：A. A的行列式B. A的逆矩阵的行列式C. A的主对角线元素之和D. A的转置矩阵答案：C7. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零行的最大个数B. 矩阵中非零列的最大个数C. 矩阵中线性无关行向量的最大个数D. 矩阵中线性无关列向量的最大个数答案：D8. 以下哪个不是向量空间？A. 所有实数向量B. 所有复数向量C. 所有实数矩阵D. 所有实数多项式答案：C9. 矩阵的行列式可以用来判断：A. 矩阵是否可逆B. 矩阵的特征值C. 矩阵的秩D. 矩阵的转置答案：A10. 以下哪个是线性无关的向量组？A. [1, 0], [0, 1]B. [1, 1], [1, 0]C. [1, 2], [2, 4]D. [1, 0], [0, 0]答案：A二、填空题（每题2分，共20分）11. 矩阵的转置是将矩阵的行和列________。

答案：互换12. 线性方程组的增广矩阵中，________是增广项。

答案：最后列13. 如果向量组线性相关，则存在不全为零的标量使得它们的线性组合为零向量。

山西省2013专升本高等代数证明题

山西省2013专升本高等代数证明题高等代数作为数学领域的重要分支，对于专升本的考生来说是具有一定挑战性的。

在 2013 年山西省专升本考试中，高等代数的证明题更是对考生的知识掌握和逻辑思维能力进行了深入的考查。

高等代数中的证明题通常需要考生对基本概念、定理和性质有深刻的理解，并能够熟练运用各种数学方法和技巧进行推理和论证。

在面对这些证明题时，考生首先要有清晰的思路，明确题目所涉及的知识点和需要证明的结论。

比如说，有这样一道证明题：证明若一个 n 阶矩阵 A 满足 A²＝ A ，则 A 可对角化。

这道题就需要我们从矩阵可对角化的定义和性质出发进行思考。

我们知道，一个矩阵可对角化的充要条件是它有 n 个线性无关的特征向量。

那么对于 A²＝ A 这个条件，我们可以先考虑它的特征值。

设λ 是A 的特征值，x 是对应的特征向量，那么有 Ax ＝λx 。

将 A²＝ A 两边同时乘以 x ，得到 A²x ＝ Ax ，即λ²x ＝λx ，从而得到λ² λ ＝ 0 ，解得λ ＝ 0 或λ ＝ 1 。

接下来，我们要证明 A 有 n 个线性无关的特征向量。

因为 A²＝ A ，所以 A(A E) ＝ 0 ，其中 E 是单位矩阵。

这意味着矩阵 A E 的列向量都是方程 Ax ＝ 0 的解。

又因为秩(A) ＋秩(A E) ＝ n ，所以矩阵 A E 的零空间的维数等于n 秩(A E) ，也就是矩阵 A 属于特征值 1 的线性无关的特征向量的个数。

同理，矩阵 A 属于特征值 0 的线性无关的特征向量的个数为 n 秩(A) 。

而秩(A) ＋秩(A E) ＝ n ，所以属于特征值 0 和 1 的线性无关的特征向量的个数之和为 n ，即 A 可对角化。

再看另一道证明题：设 V 是数域 P 上的 n 维线性空间，σ 是 V 上的线性变换，证明σ 可逆当且仅当σ 是双射。

(完整版)高等代数专插本试卷总汇

试题一考核课程：《高等代数》（上）考核类型：考试考核形式：闭卷学生院系：年级：试卷：一、判断题（在括号里打“√”或“×”，每小题2分，共20分）1．若整系数多项式()f x 在有理数域可约，则()f x 一定有有理根．（） 2．若()p x 、()q x 均为不可约多项式，且((),())1p x q x ≠，则存在非零常数c ，使得()()p x cq x =．（）3．对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变．（） 4．若矩阵A 的所有1r +级的子式全为零，则A 的秩为r ．（） 5．若行列式中所有元素都是整数，且有一行中元素全为偶数，则行列式的值一定是偶数．（） 6．若向量组12,,,s ααα（1s >）线性相关，则存在某个向量是其余向量的线性组合．（）7．若两个向量组等价，则它们所包含的向量的个数相同．（） 8．若矩阵A 、B 满足0AB =，且0A ≠，则0B =．（） 9． A 称为对称矩阵是指'A A =．若A 与B 都是对称矩阵，则AB 也是对称矩阵．（） 10．设n 级方阵A 、B 、C 满足ABC E =，E 为单位矩阵，则CAB E =．（）二、填空题：（每小题2分，共20分） 1．设()()g x f x ，则()f x 与()g x 的最大公因式为．2．设0a ≠，用()g x ax b =-除()f x 所得的余式是函数值．3．多项式()f x 、()g x 互素的充要条件是存在多项式()u x 、()v x 使得． 4．一个n 级矩阵A 的行（或列）向量组线性无关，则A 的秩为． 5．线性方程组有解的充分必要条件是．6．设矩阵A 可逆，且1A =，则A 的伴随矩阵A *的逆矩阵为．7．设A 、B 为n 阶方阵，则222()2A B A AB B +=++的充要条件是． 8．设P 、Q 都是可逆矩阵，若PXQ B =，则X = ． 9．若120s ααα+++=，则向量组12,,,s ααα必线性．10．一个齐次线性方程组中共有1n 个线性方程、2n 个未知量，其系数矩阵的秩为3n ，若它有非零解，则它的基础解系所含解的个数为．三、计算题（每小题5分，共20分）1．求多项式32()24f x x x x =++-与32()241g x x x x =+-+的最大公因式．2．111111111aa a+++ （n 级）3．设000a A b a c b a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，给出A 可逆的充分必要条件，并在A 可逆时求其逆．4．求向量组(1,1,1)α=、(1,2,3)β=、(3,4,5)γ=的一个极大线性无关组，并将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合．四、设向量组12,,,r ααα线性无关，而向量组12,,,,r αααβ线性相关，证明：β可以由12,,,r ααα线性表出，且表示法唯一．（本大题10分）五、设A 是一个秩为r 的m n ⨯矩阵，证明：存在一个秩为n r -的 ()n n r ⨯-矩阵B ，使0AB =．（本大题10分）六、（10分）设12111n a a A a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，12111n B b b b ⎛⎫=⎪⎝⎭．（1）计算AB 及BA ；（2）证明：BA 可逆的充分必要条件是111()()nnniii ii i i a b n a b ===≠∑∑∑；（3）证明：当2n >时，AB 不可逆．（本大题10分）七、设线性方程组为1234123412341234123(1)1x x x x x x x x x x x x x x x x λλλ+++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩ 讨论λ为何值时，下面线性方程组有唯一解？无解？有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解（要求用导出组的基础解系及它的特解形式表示其通解）．（本大题10分）试题一参考答案及评分标准课程名称：高等代数（下）执笔人：胡付高一、判断题（每小题2分，共20分）（1）×；（2）√；（3）√；（4）×；（5）√；（6）√；（7）×；（8）×；（9）×；（10）√．二、填空题（每小题2分，共20分）（1）()g x ；（2）()b f a；（3）()()()()1u x f x v x g x +=；（4）n ；（5）系数矩阵与增广矩阵的秩相等；（6）A ；（7）AB BA =；（8）11P BQ --；（9）相关；（10）23n n -三、计算题（每小题5分，共20分） 1．((),())1f x g x x =-．注：本题一般用辗转相除法求出最大公因式，如果分解因式2()(1)(24)f x x x x =-++，2()(1)(31)g x x x x =-+-得到最大公因式，也给满分．2．解：原式1()n n a a-=+．3．解：因为3A a =，所以A 可逆的充分必要条件是0a ≠．…………………（2分）A 的伴随矩阵2222000a A aba b ac ab a *⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭ …………………（4分）故21232200110a A A ab a A a b ac ab a -*⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪--⎝⎭…………………（5分）注：本题在得到A 可逆时，求其逆矩阵可以采用初等变换法．院系负责人签字4．由113102124011135000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知,αβ为向量组的一个极大线性无关组，…………………（3分）且有2γαβ=+． …………………（5分）注：本题也可以先说明其秩为2，故任意两个向量都是极大线性无关组（容易看出任意两个向量线性无关），或其它方法均可．四、证明（1）由12,,,,r αααβ线性相关，存在不全为零的数121,,,,r r k k k k +，使112210r r r k k k k αααβ+++++=…………………（2分）又由12,,,r ααα线性无关，得10r k +≠（否则，12,,,r ααα线性相关，矛盾），于是有1212111rr r r r k kk k k k βααα+++=----； …………………（5分）（2）设1122r r c c c βααα=+++，1122r r l l l βααα=+++，则1111r r r r c c l l αααα++=++，即111222()()()0r r r c l c l c l ααα-+-++-=，…………………（8分）由于12,,,r ααα线性无关，故11220,0,,0r r c l c l c l -=-=-=，即i i c l =（1,2,,i r =）． …………………（10分）五、证明考虑齐次线性方程组0Ax =，因为秩()A r =，故存在基础解系12,,,n r ξξξ-，作()n n r ⨯-矩阵12(,,,)n r B ξξξ-=，则0AB =， …………………（6分）由于B 的n r -个列向量线性无关，故有秩()B n r =-．…………………（10分）注：本题的另一证法是：由秩()A r =，存在可逆矩阵,P Q 使000r E PAQ ⎛⎫=⎪⎝⎭，即11000rE A P Q --⎛⎫=⎪⎝⎭，取0n r B Q E -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则0AB =．（B 的取法不唯一）．六、（1）1112121222212111111111n n n n n a b a b a b a b a b a b AB a b a b a b +++⎛⎫⎪+++⎪= ⎪⎪+++⎝⎭， 111ni i n nii i i i n a BA b a b ===⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑． …………………（4分）（2）由于111()()n n ni iiii i i BA na b a b ====-∑∑∑，故BA 可逆的充分必要条件是0BA ≠，即111()()nnni i i i i i i a b n a b ===≠∑∑∑． …………………（7分）（3）当2n >时，由于()()2R AB R A n ≤≤<，故AB 不可逆．…………………（10分）注：对（3）直接证明0AB =的，只要方法正确，也给满分．七、解由于系数行列式2(1)(2)A λλ=-- …………………（2分）（1）由克莱姆法则知，当1λ≠且2λ≠时，方程组有唯一解；…………………（4分）（2）当1λ=时，11111111121111311101⎛⎫ ⎪⎪→⎪ ⎪⎝⎭11111000010000200020⎛⎫⎪⎪⎪⎪-⎝⎭，方程组无解；…………………（6分）（3）当2λ=时，11111121121121311111⎛⎫ ⎪⎪→⎪ ⎪⎝⎭11111010010010200000⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭方程组有无穷多解： …………………（8分）123421102001x x k x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． …………………（10分）注：直接作初等变换111111112111311111λλλ⎛⎫ ⎪⎪→⎪ ⎪-⎝⎭11111010010010200020λλλ⎛⎫⎪- ⎪⎪-⎪-⎝⎭，然后讨论方程组解的情况亦可，根据相应步骤给分．试题二一、判断题：（在括号里打“√”或“×”，每小题2分，共20分）1．任一排列施行一次对换后，其逆序数必增加1或减少1．（×） 2．1122121233443434a b a b a a b b a b a b a a b b ++=+++．（×）3．若行列式中所有元素都是整数，则行列式的值一定是整数．（√） 4．若矩阵A 的秩是r ，则A 的所有r 级的子式全不等于零．（×） 5．若矩阵A 经过初等变换化为矩阵B ，则A B =．（×） 6．若一组向量的和为零向量，则它们必线性相关．（√） 7．任一线性方程组有解⇔它的导出组有解．（×）8．若两个向量组等价，则它们所包含的向量的个数相同．（×） 9．若向量组12,,,s ααα（1s >）线性相关，则每个向量都是其余向量的线性组合．（×）10．一个非齐次线性方程组的两个解（向量）之差一定是它的导出组的解．（√）二、填空题（每小题2分，共20分）1．排列(1)321n n -的逆序数为(1)2n n -．2．五级行列式D 中的一项2113324554a a a a a 在D 中的符号为负． 3．n 级行列式D 按第j 列展开公式是D =1122j j j j n j n j a A a A a A +++．4．已知非零向量组α、β、γ两两线性相关，则该向量组的秩为 1 ． 5．线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩．6．若矩阵A 中有一个r 级子式不为零，则秩()A r ≥．7．一个齐次线性方程组中共有s 个线性方程、t 个未知量，其系数矩阵的秩为p ，若它有非零解，则它的基础解系所含解的个数等于t p -．8．一个非齐次线性方程组记为（Ⅰ），它的导出组记为（Ⅱ），则（Ⅰ）的一个解与（Ⅱ）的一个解的差是（Ⅰ）的解．9．一个n 级矩阵A 的行（或列）向量组线性相关，则A 的行列式等于0 ． 10．两个向量组等价是指它们可以相互线性表出．三、计算下列行列式（每小题5分，共20分）．（1）1827641491612341111解原式33322222233311111234123412341234123412341111==12=．注：其它方法计算出结果的给满分，方法正确而计算错误的，酌情给分．（2）1111222a b c bc ac a b b c c a a b+++ 解将所有列加到第1列上，则第1列与第4列成比例，故原式0=．注：本题也可以从第4行提取公因子12，然后用第2行、第3行都乘-1后加到第4行，把第4行化为元素全为零，故原式0=．（3）121212nn n a x a a a a x a a a a x+++；解将所有列全加到第1列并提起公因子，得原式221211()1n nn i i n a a a x a x a a a x=+=++∑21100()n ni i a a x x a x==+∑11()nn i i x a x-==+∑11()nnn i i x a x -==+∑．（4）12n a x x xx a x x xxa x+++ （120n a a a ≠）解将所有行减去第1行，化为爪形行列式，得原式112100na x x x a a a a +-=-11121000ni ina a x x xa a a =+=∑11211()nn i ia a x a a a ==+∑1211(1)nn i ix a a a a ==+∑．注：本题也可以用加边法化为爪形行列式计算．四、设线性方程组为：1234123412341234111(1)2x x x x x x x x x x x x x x x x λλλ+++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩，试讨论下列问题：（1）当λ取什么值时，线性方程组有唯一解？（2）当λ取什么值时，线性方程组无解？（3）当λ取什么值时，线性方程组有无穷多解？并在有无穷多解时求其解．（要求用导出组的基础解系及它的特解形式表示其通解）（共15分）解线性方程组的系数行列式为211111111111010(1)(2)111001111102λλλλλλλλ-==-----（1）当2(1)(2)0λλ--≠，即1λ≠且2λ≠时，线性方程组有唯一解；（2）当2λ=时，1111111111121110100011211001001111200001⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭线性方程组无解；（3）当1λ=时111111111111102111110000000011111110000000000111020001100000⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性方程组有无穷多解，且其通解为123412(,,,)(1,1,0,0)(1,0,1,0)(2,0,0,1)x x x x k k =-+-+-．五、（1）设向量123,,ααα线性无关，证明：向量122331,,αααααα+++ 线性无关；（2）证明：对任意4个向量1234,,,αααα，向量组1223,,αααα++34,αα+41αα+都线性相关．（共15分）证明（1）设112223331()()()0k k k αααααα+++++=，即131122233()()()0k k k k k k ααα+++++=，由于123,,ααα线性无关，故有13122300k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 解之得，1230k k k ===故122331,,αααααα+++也线性无关． (8)（2）由12233441()()()()0αααααααα+-+++-+=得，12233441,,,αααααααα++++线性相关．六、设向量组12,,,r ααα线性无关，而12,,,,,r αααβγ线性相关，但β不能由12,,,,r αααγ线性表出，证明：γ可以由12,,,r ααα线性表出，且表示法唯一．（10分）证明（1）先证γ可以由12,,,r ααα线性表出：因为12,,,,,r αααβγ线性相关，所以存在不全为零的数122,,,r k k k +，使得1122120r r r r k k k k k αααβγ+++++++=．由于β不能由12,,,,r αααγ线性表出，故必有10r k +=，下证20r k +≠．用反证法：若20r k +=，则11220r r k k k ααα+++=，由于122,,,r k k k +不全为零，故12,,,r k k k 不全为零，与12,,,r ααα线性无关的假设矛盾，于是20r k +≠，得到1212222rr r r r k kk k k k γααα+++=-----．（2）次证表示法唯一：设1122r r c c c γααα=+++，1122r r l l l γααα=+++，则 11221122r r r r c c c l l l αααααα+++=+++，即111222()()()0r r r c l c l c l ααα-+-++-=，由于12,,,r ααα线性无关，故11220,0,,0r r c l c l c l -=-=-=，即i i c l =（1,2,,i r =），于是表示法唯一．七、（附加题）证明或否定下面命题：若三个向量,,αβγ两两线性无关，则,,αβγ线性无关．并说明在三维矢量空间中的几何意义．（10分）解本结论的几何描述是：三个矢量（向量）两两不共线，则它们不共面．很明显该结论是错误的，例如某平面上存在彼此不共线的三个矢量，但它们共面.注否定上述结论时，也可构造反例，如(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)αβγ===等，或构造三个二维向量，使它们两两线性无关．试题四（每小题2分，共20分）1. 集合A =｛a +︱,a b 为整数｝是一个数域；（）2. 设在数域P 上(,())1x a f x -=，则一定有()0f a ≠；（）3. 若整系数多项式()f x 无有理根，则()f x 在有理数域上一定不可约；（）4. 设A 是n 级矩阵，k 是任意常数，则kA k A =或kA k A =-；（）5. 设abcd 是一个4级排列，则abcd 与badc 的奇偶性相同；（）6. 设方程个数与未知量的个数相等的非齐次线性方程组的系数行列式等于0，则该线性方程组无解；（）7. 任意等价向量组中所含向量的个数相等；（）8. 任何齐次线性方程组都存在基础解系；（）9. 设,αβ都是n 维列向量，则''αββα=；（） 10．设,A B 都是n 级对称矩阵，且0AB ≠，则A 与B 在复数域上合同．（）二、填空题：（每小题2分，共14分）1．设,,αβγ是多项式32()f x x ax bx c =+++的三个根，则αβγ++= ． 2．四阶行列式中，项23124134a a a a 的符号为． 3．设矩阵A 可逆，且1A =，则1()A *- ．4．设A 、B 为n 阶方阵，则22()()A B A B A B +-=-的充要条件是． 5．设A 为s t ⨯矩阵，则齐次线性方程组0AX =有非零解的充要条件是：秩（A ）． 6．设,,,a b c d 是互异常数，则线性方程组12312322221231x x x ax b x c x d a x b x c x d⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩的解向量中分量1x = ． 7．二次型22212312323(,,)22f x x x x x x x x λμ=+++是正定的充分必要条件是λ与μ满足．（每小题6分，共12分）1．1111111111111111a a a a ++++（n 级）2．设000a b c A a b a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，给出A 可逆的充分必要条件，并在A 可逆时求其逆．四、（共10分）化二次型222123112132323(,,)2443f x x x x x x x x x x x x =++++-为标准形，写出所作的非退化的线性替换．并回答下列问题：（1）该二次型的正、负惯性指数及符号差是多少？（2）该二次型在复数域、实数域上的规范形分别是什么？五、（14分）当λ为何值时，下面线性方程组有解？并求解．1234123412341234123(1)1x x x x x x x x x x x x x x x x λλλ+++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩六、（10分）设向量β可以由12,,,,s αααγ线性表出，但不能由12,,,s ααα线性表出．证明：（1）γ可由向量组12,,,,s αααβ线性表出；（2）γ不能由12,,,s ααα 线性表出．七、（10分）设A 是一个秩为r 的n n ⨯矩阵，证明：存在一个秩为n r -的n n ⨯矩阵B ，使0AB =．八、（10分）证明：如果((),())1f x g x =，((),())1f x h x =，则((),()())1f x g x h x =．参考答案及评分标准（试题四）一．判断题（每小题2分）1．×； 2．√；3．×；4．×；5．√；6．×；7．×；8．×；9．√；10．√．二．填空题（每小题2分，共14分）1．a -； 2．负号； 3．A ； 4．AB BA =； 5．t <； 6．()()()()()()c d c b b d c a c b b a ------； 7．220λμ->．三．计算（每小题6分，共12分）1．原式11111111()11111111a n a a a +=+++1111000()000a n a a a=+………（2分） ………（4分）(1)12(1)()n n n n a a --=-+ ………（6分）2．因为3A a =，所以A 可逆的充分必要条件是0a ≠， ………（3分）且221232100a ab b ac A a ab a a -⎛⎫-- ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭………（6分）四．f 212323(2)7x x x x x =++-，令112322332y x x x y x y x =++⎧⎪=⎨⎪=⎩ ，则f 21237y y y =-………（2分）再令11223323y z y z z y z z=⎧⎪=+⎨⎪=-⎩，则f 22212377z z z =-+ ………（4分）且所作的非退化的线性替换为111222333112112100010010011001001011x y z x y z x y z ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123131011011z z z -⎛⎫⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭． ………（6分）（1）该二次型的正、负惯性指数及符号差分别是2，1，1． ………（8分）（2）该二次型在复数域、实数域上的规范形分别是222123f w w w =++与222123f w w w =+- ………（10分）五．解 111111112111311111λλλ⎛⎫ ⎪⎪→ ⎪ ⎪-⎝⎭11111010010010200020λλλ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭………（2分）（1）当1λ≠且2λ≠时，方程组有唯一解 ………（4分）141x λλ-=-，211x λ=-，321x λ=-，40x =； ………（7分）（2）当1λ=时，方程组无解； ………（9分）（3）当2λ=时，方程组有无穷多解： ………（11分）123421102001x x k x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ………（14分）六．证明（1）因为β可以由12,,,,s αααγ线性表出，所以存在不全为零的数11,,,s s k k k +，使11221s s s k k k k βαααγ+=++++， ………（2分）若10s k +=，则β可以由12,,,s ααα线性表出，矛盾．故10s k +≠， ………（4分）从而有121211111s s s s s s k k kk k k k γαααβ++++=----+． ………（5分）（2）（反证法）若γ可由12,,,s ααα线性表出，又由于β可以由12,,,,s αααγ线性表出，得β可以由12,,,s ααα线性表出，矛盾．故γ不能由12,,,s ααα线性表出．……（10分）七．证明考虑齐次线性方程组0Ax =，因为秩()A r =，故存在基础解系12,,,n r ξξξ-，作n n ⨯矩阵12(,,,,0,,0)n r B ξξξ-=，则0AB =，且秩()B n r =-． ………（10分）注1 在构造矩阵B 时，B 的后面r 列未必一定要取零向量，事实上，只要说明B 中每列都是线性方程组0Ax =的解，且B 中含n r -个线性无关的列向量即可．注2 本题的另一证法是：由秩()A r =，存在可逆矩阵,P Q 使000r E PAQ ⎛⎫=⎪⎝⎭，即 11000rEA P Q --⎛⎫= ⎪⎝⎭，取000n r B Q P E -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则0AB = 八．证明由((),())1f x g x =及((),())1f x h x =，存在多项式(),()i i u x v x （1,2i =），使11()()()()1u x f x v x g x +=，22()()()()1u x f x v x h x +=， ………（4分）两式相乘得，12122112()()1u u f u v h u v g f v v gh +++= ………（8分）所以有((),()())1f x g x h x =． ………（10分）试题六1．如果11dim V m =，22dim V m =，123dim()V V m +=，则12dim()V V ⋂= ． 2．两个有限维线性空间1V 、2V 同构的充分必要条件是．3．用()L V 表示n 维线性空间V 的所有线性变换构成的线性空间，则dim ()L V = ． 4．若n nA P⨯∈，且2A E =，则A 的特征值为．5．设欧氏空间的正交变换A 在一组标准正交基下的矩阵是U ，则U = ． 6．设V 是一个n 维欧氏空间，0α≠是V 中非零向量，{}(,)0,W V βαββ==∈，则dim W = ．一、填空题（每小题2分，共20分）7．矩阵111111111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的最小多项式为．8．已知线性变换A 在基123,,εεε下的矩阵为111213212223313233a a a a aa a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，则A 在基321,,εεε下的矩阵为．9．在[]n P x 中，线性变换D (()f x )'()f x =，则D 在基211,,,,n x x x -下的矩阵为．10．设6级矩阵A 的不变因子是231,1,1,1,(2),(2)(3)λλλ---，则A 的若尔当标准形是．1．下列集合构成n nP⨯的子空间的是（）a ．{},0n n A A P A ⨯∈≠；b ．{},0n n A A P A ⨯∈=；c ．{},'n n A A P A A ⨯∈=．2．n 维线性空间V 的线性变换A 可以对角化的充要条件是（）a ．A 有n 个互不相同的特征向量；b ．A 有n 个互不相同的特征根；c ．A 有n 个线性无关的特征向量．3．对子空间123,,V V V ，123V V V ++为直和的充要条件是（）a ．{}1230V V V ⋂⋂=；b ．123V V V V =++；c ．{}()0i j j iV V ≠⋂=∑，1,2,3i =．4．下列类型的矩阵A 一定相似于对角矩阵（）a ．正交矩阵；b ．特征值皆为实数的矩阵；c ．主对角元两两互异的上三角矩阵．5．~A B 的充要条件是（）a ．A二、选择题（每小题3分，共15分）四、（10分）设[]n P x 表示数域P 上次数小于n 的多项式及零多项式作成的线性空间．（1）证明：211,,(),,()n x a x a x a ----是[]n P x 的一组基；（2）求上述的一组基到基211,,,,n x x x -的过渡矩阵．五、（12分）设A ()L V ∈，且A 2=A ．证明（1）A的特征值为０或１；（2）V =A V⊕A -1(0)．六、（8分）设12,,,s ααα是欧氏空间V 的两两正交的非零向量组，证明它们线性无关． ,,s α是欧氏空间,,)s α，W ∈使(,i γα1,2,,s ，那么(,)iβαβ=1,2,,s ，那么s W V ⊥⋂⋂．试题六参考答案及评分标准一、填空题（每小题2分，共20分）（1）123m m m +-；（2）12dim dim V V =；（3） 2n ；（4）1或1-；（5）1±；（6）1n -；（7）23λλ-；（8）333231232221131211a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭；（9）01000020000100n ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪-⎪ ⎪⎝⎭；（10）221231313⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭．二、选择题（每小题3分，共15分）（1）c ；（2）c ；（3）c ；（4）c ；（5）c ．三、（1）解 21111113111E A λλλλλλ----=---=----（），因此A 的特征值为0λ=与3λ=．…………………（4分）对3λ=，可求出A 的一个线性无关的特征向量为3111ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故得A 的所有特征向量为123()k εεε++，这里k 不为零． …………………（6分）对0λ=，求出A 的两个线性无关的特征向量1110ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2101ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故A 的所有特征向量为1211223()k k k k εεε-+++，或112213()()k k εεεε-++-+，这里1k 、2k 不全为零．…………………（8分）院系负责人签字（2）由于A 有三个线性无关的特征向量，故A 可以对角化． …………………（3分）取0T =⎪⎪⎭，则1300000000T AT -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ …………………（7分）注：也可以指出A 是实对称阵，故A 可以对角化．另外注意正交矩阵T 的取法不唯一．四、（1）证明（方法1）由于dim []n P x n =，只需证明211,,(),,()n x a x a x a ----线性无关：设211231()()()0n n k k x a k x a k x a -⋅+-+-++-=，令x a =，得10k =，又对等式两边求导后令x a =，得20k =，再求二阶导数，…，求1n -阶导数，分别得到30n k k ===，于是211,,(),,()n x a x a x a ----是[]n P x 的一组基； …………………（5分）（方法2）已知211,,,,n x x x -是[]n P x 的一组基，求出21(1,,(),,())n x a x a x a ----=21(1,,,,)n x x x A -中的矩阵A ，只需说明A 可逆，便得结论；（方法3）由数学分析中的泰勒定理可知，对于()[]n f x P x ∀∈，都有(1)11()()1'()()()()(1)!n n f x f a f a x a f a x a n --=⋅+-++--又已知dim []n P x n =，故211,,(),,()n x a x a x a ----是[]n P x 的一组基．（2）所求过渡矩阵为12101(1)001n n a a n a A --⎛⎫⎪-⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． …………………（10分）五、证明（1）设A ξλξ=（0ξ≠），则由A 2=A 推出A ２2ξλξ=，从而2λξλξ=，即得2λλ=，于是0λ=或１； …………………（6分）（2）对V α∀∈，由α=A α+(α-A )α，注意到A (α-A )0α=，因此α∈A V +A -1(0)，于是V ⊂A V +A -1(0)，即得V =A V +A -1(0)； …………………（3分）设β∀∈A V ⋂A -1(0)，则V α∃∈，.s tβ=A ()α，且A ()0β=，推出A ２()0α=，即得β=A ()0α=，于是A V ⋂A -1(0){}0=，故V =A V⊕A -1(0)．…………………（6分）六、证明设11220s s k k k ααα+++=，由于(,)0i j αα=，i j ≠，故由(,)0i j j k αα=∑，得(,)0i i i k αα=， …………………（5分）而0i α≠，所以(,)0i i αα≠，于是0i k =，1,2,,i s =．因此12,,,s ααα线性无关．…………………（8分）七、证明（1）因为0W ∈，所以W φ≠． …………………（1分）设,X Y W ∀∈，由()A XY AX AY +=+()XA YA X Y A =+=+，得X Y W +∈．…………………（3分）又设X W ∀∈，k P ∀∈，由()()A kX kAX kX A ==，得kX W ∈，因此W 是n n P ⨯的一个子空间； …………………（5分）（2）当A 为主对角元两两互异的对角矩阵时，与A 可换的矩阵也一定是对角矩阵，即W 是由所有对角矩阵作成的子空间，因此W 的一组基可取为1122,,,nn E E E ，故dim W n =．…………………（10分）八、证明（1）若W γ∈，则有1122s s k k k γααα=+++，于是1122(,)(,)s s k k k γγγααα=+++11(,)(,)0s s k k γαγα=++=，则0γ=；…………………（5分）（2）设ξ∀∈W ⊥，则(,)0i αξ=，从而i V ξ∈，即i WV ⊥⊂，1,2,,i s =，因此有12s W V V V ⊥⊂⋂⋂⋂． …………………（2分）设β∀∈12s V V V ⋂⋂⋂，则(,)0i αβ=，对w W ∀∈，设1122s s w l l l ααα=+++，则(,)0w β=，于是有W β⊥∈，即12s V V V W ⊥⋂⋂⋂⊂．故12s W V V V ⊥=⋂⋂⋂．…………………（5分）试题八一、（共12分）叙述下列概念或命题：（1）线性相关；（2）极大线性无关组；（3）行列式按一行（列）展开定理.答：（1）向量组12,,,s ααα称为线性相关，如果有数域P 中不全为零的数12,,,s k k k ，使11220s s k k k ααα+++=.注对如下定义也视为正确：如果向量组12,,,s ααα（1s >）中有一个向量可由其余的向量线性表出，那么向量组12,,,s ααα称为线性相关的.（2）一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中任意添加一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关.注对如下定义也视为正确：向量组12,,,s ααα的一个部分组12,,,t i i i ααα称为一个极大线性无关组，是指：（ⅰ）12,,,t i i i ααα线性无关；（ⅱ）12,,,s ααα可由12,,,t i i i ααα线性表出.（3）行列式等于某一行（列）的元素分别与它们代数余子式的乘积之和.注用公式写出按行（或列）展开定理亦可.二、判断题：（在括号里打“√”或“×”，共20分） 1．1122121233443434a b a b a a b b a b a b a a b b ++=+++．（×）2．若向量组12,,,s ααα（1s >）线性相关，则其中每个向量都是其余向量的线性组合．（×）3．在全部n （1n >）级排列中，奇排列的个数为!2n ．（√） 4．若排列abcd 为奇排列，则排列badc 为偶排列．（×） 5．若矩阵A 的秩是r ，则A 的所有高于r 级的子式（如果有的话）全为零．（√） 6．若一组向量线性相关，则至少有两个向量的分量成比例．（×） 7．当线性方程组无解时，它的导出组也无解．（×） 8．对n 个未知量n 个方程的线性方程组，当它的系数行列式等于0时，方程组一定无解．（×） 9．等价向量组的秩相等．（√） 10．齐次线性方程组解的线性组合还是它的解．（√）三、（共18分）计算行列式（1）1827641491612341111解原式33322222233311111234123412341234123412341111==12=．注用其它方法计算出结果的给满分，方法正确而计算错误的，酌情给分．（2）1111222a b c bc ac a b b c c a a b+++ 解将所有列加到第1列上，则第1列与第4列成比例，故原式0=．注本题也可以从第4行提取公因子12，然后用第2行、第3行都乘-1后加到第4行，把第4行化为元素全为零，故原式0=．（3）11212212nn n n a x a a a a x a a a a x +++ （120n x x x ≠）．解原式11231213100nna x a a a x x x x x x +-=--123123(1)00000000ni n i inax a a a x x x x =+=∑121(1)nin i ia x x x x ==+∑．注本题也可按最后一列（或行）展开，得递推式：112112122122121112120nn n n n n n nna x a a a x a a a x a a a x D a x x x x D a a a a a x --++++=+=+，答案正确给满分，有正确的递推式但结果有误，给3分．另外对按第一行（或列）展开者类似给分．四、设向量组1(1,1,0,0)α=，2(1,2,1,1)α=-，3(0,1,1,1)α=-，4(1,3,2,1)α=，5(2,6,4,1)α=-．试求向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用这个极大线性无关组线性表出．（10分）解11012121360112401111⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪---⎝⎭→10101011020001100000--⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭…………（5分）故向量组的秩为3，124,,ααα是一个极大线性无关组，并且 …………（8分）312ααα=-+，51242αααα=-++． …………（10分）注本题关于极大线性无关组答案中，除123,,ααα不能构成极大线性无关组外，任何三个向量都是极大线性无关组，对其它方法求出极大线性无关组，但未得到线性表出式的给5分．五、讨论λ取什么值时下列线性方程组有解，并求解．（10分）123123123111x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解方程组的增广矩阵为111111111λλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，系数行列式为21111(2)(1)11λλλλλ=+- ……（2分）（1）当1λ≠且2λ≠-时，方程有唯一解，此时 …………（3分）1112223111111111111λλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33111111221111010211110012λλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪+⎪- ⎪→→- ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭ ⎪+⎝⎭311111002211010010221100100122λλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，故得解为12312x x x λ===+； …………（5分）（2）当2λ=-时，增广矩阵211121111211121111210003--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，无解；…………（7分）（3）当1λ=时，增广矩阵111111111111000011110000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有无穷多组解，通解为1231x x x =--（23,x x 为自由未知量），或表成12(1,0,0)(1,1,0)(1,0,1)k k ξ=+-+-． ……（10分）注本题也可以对增广矩阵用初等行变换的方法讨论．对唯一解及无穷多组解的表达式未能给出者，各扣2分．六、证明题：（每小题10分，共30分）1．证明：如果向量组12,,,r ααα线性无关，而12,,,,r αααβ线性相关，则向量β可以由12,,,r ααα线性表示，且表示法唯一．（10分）．证明（1）由12,,,,r αααβ线性相关，存在不全为零的数121,,,,r r k k k k +，使112210r r r k k k k αααβ+++++= …………（2分）又由12,,,r ααα线性无关，得10r k +≠（否则，12,,,r ααα线性相关，矛盾）…………（4分）于是，1212111rr r r r k kk k k k βααα+++=----； …………（5分）（2）设1122r r c c c βααα=+++，1122r r l l l βααα=+++，则11221122r r r r c c c l l l αααααα+++=+++，即111222()()()0r r r c l c l c l ααα-+-++-=，由于12,,,r ααα线性无关，故11220,0,,0r r c l c l c l -=-=-=，即i i c l =（1,2,,i r =）． …………（10分）2．证明：若向量,,αβγ线性无关，则,,αββγγα+++也线性无关．并说明该结论对4个向量的情形是否成立．证明设123()()()0k k k αββγγα+++++=，即131223()())()0k k k k k k αβγ+++++=，…………（2分）由于,,αβγ线性无关，故有13122300k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 解之得，1230k k k === …………（5分）故,,αββγγα+++也线性无关． …………（6分）对4个向量的情形其相应结论不成立，因为，由4个向量1234,,,αααα线性无关，并不能得到向量12233441,,,αααααααα++++线性无关的结论．注1 由12233441()()()()0αααααααα+-+++-+=知，12233441,,,αααααααα++++是线性相关的，对该问题未说明原因的，只要结论正确给满分；注2 如果认为对4个向量的情形其相应结论也成立的，必须说明是指如下结论: 若4个向量1234,,,αααα线性无关，则向量234134124123,,,αααααααααααα++++++++也线性无关．该答案也给满分，但仅说相应结论成立,而未给出任何说明者,不得分．3．设12,,n a a a 是数域P 中个互不相同的数，12,,,n b b b 是数域P 中任一组给定的数．求证：（1）存在唯一的数域P 上的次数不超过1n -的多项式01()f x c c x =++22n n c x --+11n n c x --+，使()i i f a b =，1,2,,i n =；（2）特别的，求出使1()n i i f a a -=，1,2,,i n =成立的1n -次的多项式()f x ．证明（1）将()i i f a b =，1,2,,i n =，代入01()f x c c x =++22n n c x --+11n n c x --+，得21011121112102122212210121n n n n n n n n n n n n n n n nc a c a c a c b c a c a c a c b c a c a c a c b ------------⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩ …………（2分）由于系数行列式1111221111n n n nn a a a a a a ---1()0j i i j na a ≤<≤=-≠∏， …………（4分）故线性方程组有且仅有唯一解，即存在唯一的数域P 上的次数不超过1n -的多项式01()f x c c x =++22n n c x --+11n n c x --+，使()i i f a b =，1,2,,i n =； …………（5分）（2）由克莱姆定理110D x D ==，，110n n D x D --==，111n n D Dx D D--===，故使1()n i i f a a -=，1,2,,i n =成立的1n -次的多项式为1()n f x x -=． …………（10分）注对（2）不用克莱姆定理，而直接观察出1()n f x x-=的也给满分．七、（附加题）证明或否定如下结论：若三个向量,,αβγ两两线性无关，则,,αβγ线性无关．并说明在三维几何空间中的意义．（10分）解本结论的几何描述是：三个矢量（向量）两两不共线，则它们不共面． ………（5分）很明显该结论是错误的，例如某平面上存在彼此不共线的三个矢量，但它们共面． ………（10分）注否定上述结论时，也可构造反例，如(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)αβγ===等，或构造三个二维向量，使它们两两线性无关．试题十及答案一、判断题：（每小题2分，共30分，在括号里打“√”或“×”）1．零多项式的次数为零．（×） 2．零多项式与()f x 的最大公因式为()f x ．（√） 3．设(),(),()[]f x g x d x P x ∈且(),()[]u x v x P x ∃∈，使得 ()()()d x u x f x =+()()v x g x ，则()d x 为()f x 与()g x 的一个最大公因式．（×）４．零次多项式能整除任一多项式．（√） 5．若()()h x f x ，但()h x 不整除()g x ，则()h x 不整除()()f x g x +．（√） 6．设()()()h x f x g x ，但()h x ()g x ，则()()h x f x ．（×）７．若α是()f x 的导数()f x '的k 重根，则α为()f x 的1k +重根．（×）８．设P P ⊆，P 、P 为数域，如果在[]P x 中()f x 与()g x 互素，则在[]P x 中()f x 与()g x 也互素．（√）９．若12((),())1f x f x =，且23((),())1f x f x =，则13((),())1f x f x =．（×） 10．若()p x 在数域P 上不可约，则()p x 在P 上没有根．（×） 11．设()[]f x Q x ∈，如果()f x 无有理根，则()f x 在Q 上不可约．（×） 12．若()()()f x g x h x ，则()()f x g x 或()()f x h x ．（×） 13．设()p x 是不可约多项式，如果()()()p x f x g x =，则()f x 与()g x 有且仅有一个为零次多项式．（√） 14．设()[]f x P x ∈，且(1)(1)0f f -==，则21()x f x -．（√） 15．n 次实系数多项式的实根个数的奇偶性与n 的奇偶性相同．（√）二、填空题：（每小题2分，共10分）１．若3642(1)x x ax bx c -+++，则a = -3 ，b = 3 ，c = -1 ．２．若()p x ，()q x 均为P 上的不可约多项式，且((),())1p x q x ≠，则()p x 与()q x 的关系是()(),0p x cq x c P =≠∈．３．若1-是52()1f x x ax ax =--+的重根，则a = -5 ．４．用()23g x x =+除3()89f x x =+所得的余数r = -18 ．5．已知12i +为32()375f x x x x =-+-的一个根，那么()f x 的其余根是 1，1-2i ．三、计算题：１．（8分）求543211113()372222f x x x x x x =+----的根和标准分解式．解 54321()(614113)2f x x x x x x =+----41(1)(3)2x x =+- 2．（10分）λ为何值时，32()31f x x x x λ=-+-有重根．解因为2'()36f x x x λ=-+，作辗转相除法，要使()f x 有重根，则必须('(),())1f x f x ≠，3()(1)'()(3)(21)f x x f x x λ=-+-+，若3λ=，则('(),())1f x f x ≠；3λ≠，由于2'()f x =1515(3)(21)222x x λ-+++，当15202λ+=，即154λ=-时('(),())1f x f x ≠．故当3λ=或154λ=-时，()f x 有重根．3．（12分）设432()352f x x x x x =+---，32()22g x x x x =+--．（1）用辗转相除法求((),())f x g x ．（2）求()u x ，()v x 使((),())()()()()f x g x u x f x v x g x =+．答案（1）((),())1f x g x x =+；（2）回代得：222(2)()(21)()x x f x x x g x +=-+-++，故取1()(2)2u x x =-， 21()(21)2v x x x =-++，使((),())()()()()f x g x u x f x v x g x =+．四、证明题：（每小题10分，共30分）1．设5()54f x x x =++，证明：（1）()f x 在Q 上不可约；（2）()f x 至少有一个实根，但不是有理根．证明（1）令1x y =+，则5(1)(1)5(1)4f y y y +=++++5432510101010y y y y y =+++++，取5p =，由Eisenstein 判别法知，(1)f y +在Q 上不可约，从而()f x 在Q 上不可约；注也可利用反证法证之：若可约，则()f x 能分解成两个次数低的整系数多项式之积，或为1次与4次多项式之积，或为2次与3次多项式之积，都能推出矛盾，这里从略．（2）因为()f x 是奇次的，则()f x 必有一个实根，此根若是有理根，则()f x 在Q 上可约，矛盾．注奇次多项式有实根可由数学分析中连续函数的介值定理证得，或将()f x 在实数域上作标准分解，由于实数域上的不可约因式只有一次因式与二次不可约因式，故奇次多项式()f x 一定有一次因式，因此()f x 必有一个实根．另外，对()f x 没有有理根的结论，可以对其所有可能的有理根进行直接检验得知．2．设(),()f x g x 不全为零，证明((),()())((),()())f x f x g x g x g x f x +=-．证明设1((),()())()f x f x g x d x +=，2((),()())()g x g x f x d x -=，由11()(),()()()d x f x d x f x g x +1()(()())()()d x f x g x f x g x ⇒+-=1()()()d x g x f x ⇒-，又2()d x 为()g x 与()()g x f x -的最大公因式，故12()()d x d x ；反之，由2()()d x g x ，2()()()d x g x f x -2()()(()())()d x g x g x f x f x ⇒--=2()()()d x f x g x ⇒+，又1()d x 为()f x 与()()f x g x +的最大公因式，故21()()d x d x ．又1()d x 、2()d x 均为首1多项式，从而12()()d x d x =． 3．若整系数多项式()f x 有根pq，这里(,)1p q =，则()(1)q p f -，()(1)q p f +-．证明因p q为()f x 的根，则()()()pf x xg x q =-，()g x 为整系数多项式．由(1)(1)(1)pf g q=-，即(1)()(1)qf q p g =-，()(1)q p qf -，又(,)1q p q -=，故有()(1)q p f -；由(1)(1)(1)pf g q-=---，得(1)()(1)qf q p g --=+-，同理可得()(1)q p f +-．注可以由()()px f x q-，得()()qx p f x -，()()()f x qx p h x =-，由于qx p -是本原多项式，故()h x 为整系数多项式， (1)()(1)f q p h =-，(1)()(1)f q p h -=-+-，因此有()(1)q p f -，()(1)q p f +-．试题十一及答案一、判断题（在括号里打“√”或“×”，每小题2分，共20分）１．若向量组12,,,s ααα与向量组12,,,t βββ都线性无关，则12,,,s ααα,12,,,t βββ也线性无关；（×）2．n 维线性空间V 中任何n 个线性无关的向量都是V 的一组基；（√）3．对n 维线性空间V 中任何非零向量α，在V 中一定存在1n -个向量121,,,n βββ-，使得1121,,,,n αβββ-作成V 的一组基；（√）4．三个子空间123,,V V V 的和123V V V ++为直和的充要条件是{}1230V V V ⋂⋂=；（×） 5．把复数域看成实数域R 上的线性空间，它与2R 是同构的；（√） 6．线性空间V 的两组基12,,,n ααα到12,,,n βββ的过渡矩阵是可逆的；（√）7．V 的任意两个子空间的交12V V ⋂与并12V V ⋃都是V 的子空间；（×） 8．集合{},0n nW A A PA ⨯=∈=作成n n P ⨯的子空间；（×）9．实对称矩阵为半正定的充要条件是它的所有顺序主子式都非负；（×） 10．设n 元实二次型的正负惯性指数分别为,s t ，则必有s t n +≤．（√）二、填空题（每小题2分，共20分）1．如果11dim V m =，22dim V m =，123dim()V V m +=，则12dim()V V ⋂=123m m m +-． 2．两个有限维线性空间1V 、2V 同构的充分必要条件是12dim dim V V =． 3．两个复对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等．4．设实二次型的秩为r ，负惯性指数为q ，符号差为m ，则r 、q 、m 的关系是2r m q =+． 5．22⨯级实对称矩阵的所有可能的规范型是：001010101010,,,,000000010101--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 6．设基12,,,n ααα到基12,,,n βββ的过渡矩阵是A ，而基12,,,n βββ到基12,,,n γγγ的过渡矩阵是B ，则12,,,n γγγ到12,,,n ααα的过渡矩阵是11B A --．7．已知,,αβγ为线性空间V 的三个线性无关的向量，则子空间(,)(,)L L αββγ+的维数为 3 ． 8．若1212dim()dim dim V V V V +=+，则12V V ⋂={}0．9．设三维线性空间V 的基123,,ααα到123,,βββ的过渡矩阵为111111111A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，向量η在基123,,βββ下的坐标为(1,2,3)，在η在基123,,ααα下的坐标为(4,2,0)． 10．n 元实二次型2221212(,,,)(1)(2)()n n f x x x a x a x a n x =-+-++-正定的充分必要条件是常数a 满足a n >．三、简述下列定义（共12分）1．n 级矩阵A 、B 合同：如果存在可逆矩阵C ，使得'B C AC = 2．子空间的和12V V +={}12,1,2i i V i ααα+∈=3．生成子空间123(,,)L ααα={}112233,1,2,3i k k k k P i ααα++∀∈=4．子空间的直和：12V V +中每个向量α的分解式12ααα=+（,1,2i i V i α∈=）是唯一的．四、（10分）设β可由12,,,r ααα线性表出，但不能由121,,,r ααα-线性表出，证明：121121(,,,,)(,,,,)r r r L L αααααααβ--=．证明只需证明向量组{}121,,,,r r αααα-与{}121,,,,r αααβ-等价：易知{}121,,,,r αααβ-可由与{}121,,,,r r αααα-线性表示，另一方面，由于β可由12,,,r ααα线性表出，故有1122r r k k k βααα=+++，且0r k ≠，（否则β可121,,,r ααα-线性表出，矛盾），于是11111r r r rr rk k k k k αααβ--=----+，因而{}121,,,,r r αααα-可由{}121,,,,r αααβ-线性表出，故向量组{}121,,,,r r αααα-与{}121,,,,r αααβ-等价，最后不难得到结论．五、（1）讨论：λ取什么值时，二次型2222123123()()x x x x x x λ++-++是正定的．（2）证明当3λ=时，上述二次型是半正定的．（共14分）解（1）二次型可化为222123121323(1)(1)(1)222x x x x x x x x x λλλ-+-+----，它对应的矩阵是111111111λλλ---⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭。

辽宁专升本高数知识点归纳

辽宁专升本高数知识点归纳辽宁专升本高数知识点归纳涵盖了高等数学的基本概念、定理、公式以及解题技巧，以下是对这些知识点的详细总结：一、函数与极限- 函数的定义、性质（单调性、奇偶性、周期性）- 极限的概念、性质、运算法则- 无穷小量的比较- 极限存在的条件（夹逼定理、单调有界定理）二、导数与微分- 导数的定义、几何意义、物理意义- 基本初等函数的导数公式- 高阶导数- 隐函数、参数方程的导数- 微分的概念、微分中值定理三、积分学- 不定积分与定积分的概念、性质- 基本积分公式- 换元积分法、分部积分法- 定积分在几何、物理中的应用（面积、体积、弧长）四、级数- 级数的收敛性判断（正项级数、交错级数、比值判别法）- 幂级数、泰勒级数- 函数的幂级数展开五、多元函数微分学- 多元函数的偏导数、全微分- 多元函数的极值问题- 多元函数的几何应用（切平面、法线）六、多元函数积分学- 二重积分、三重积分的概念与计算- 曲线积分、曲面积分- 格林公式、高斯公式、斯托克斯定理七、常微分方程- 一阶微分方程的解法（分离变量法、变量替换法）- 可分离变量的高阶微分方程- 线性微分方程的解法（特征方程法、常数变易法）八、线性代数基础- 矩阵的运算、行列式- 向量的线性相关性、基、维数- 线性方程组的解法（高斯消元法、克拉默法则）九、解析几何- 空间直线与平面的方程- 空间曲线的参数方程- 空间曲面的方程结束语通过以上对辽宁专升本高数知识点的归纳，我们可以看到高等数学是一个涵盖广泛、逻辑严密的学科。

掌握这些知识点不仅有助于通过专升本考试，更能为未来的学习和研究打下坚实的基础。

希望同学们能够通过系统学习和不断练习，深入理解并熟练运用这些知识点。

《高等代数》考试大纲(专升本)

《高等代数》考试大纲(专升本)
一、课程名称：高等代数
二、适用专业: 数学与应用数学
三、考试方法：闭卷考试
四、考试时间：100分钟
五、试卷结构：总分150分。

六、参考书目：
[1]《高等代数》（第三版）北京大学原代数与几何教研室编，高等教育出版社。

[2]《高等代数》王萼芳编著，高等教育出版社。

七、考试范围
1．多项式：整除关系及其性质，最大公因式的求法，因式分解定理，重因式的判定，有理系数多项式的有理根的计算.
2．行列式：行列式的计算及其性质应用，Cramer法则.
3．线性方程组：判别向量组的线性相（无）关，向量组的等价表示，向量组的秩，用消元法解线性方程组，线性方程组有解判定定理及其应用，求线性方程组的基础解系.
4．矩阵：矩阵的运算，矩阵的逆及其秩，矩阵的分块的应用，初等矩阵.
5．二次型：求二次型的标准形，正定二次型的判定.
6．线性空间：线性空间的定义与简单性质，求线性空间的基与维数，基变换与坐标变换，子空间的交与和及其直和.
7．线性变换：判定某一变换是不是线性变换，计算线性变换的矩阵、特征值与特征向量，矩阵对角化问题，线性变换的值域与核.
8．欧氏空间：欧氏空间标准正交基的计算，度量矩阵的计算，正交矩阵在矩阵对角化中的应用.。

2024年专升本高数考试范围

2024年专升本高数考试范围主要包括《高等数学》和《线性代数》两个部分。

在《高等数学》部分，考生需要了解或理解高等数学中的基本概念与基本理论，如函数、极限、连续、一元函数微积分学、多元函数微积分学、无穷级数和常微分方程等。

同时，考生需要掌握这些部分的基本方法，并理解各部分知识的结构及内在联系，具备一定的数学思维能力。

在《线性代数》部分，考试内容主要包括行列式、矩阵、向量和线性方程等。

其中，线性代数约占考试的20%，其他内容占考试的80%。

总体来说，2024年专升本高数考试范围较为广泛，需要考生全面掌握高数中的基本概念、理论和方法，同时具备较强的数学思维能力。

专转本高数考试内容

专转本高数考试内容
专转本高数考试内容通常涵盖以下几个方面：
1. 函数与极限：包括函数的定义、性质、极限的定义、极限的运算法则等。

2. 导数与微分：包括导数的定义、求导法则、高阶导数、隐函数求导等。

3. 积分与定积分：包括不定积分的定义、基本积分法、换元积分法、分部积分法、定积分的定义、定积分的计算等。

4. 微分方程：包括常微分方程、一阶微分方程、二阶线性微分方程等。

5. 级数与数项级数：包括级数的概念、收敛性、级数的收敛判别法、常见级数的性质等。

6. 一元函数的连续性与可导性：包括一元函数的连续性、一元函数可导的条件、连续函数与可导函数的关系等。

7. 向量代数与空间解析几何：包括向量的基本性质、向量的运算、平面与空间中的直线与平面的方程、点及直线的位置关系等。

这些内容是专转本高数考试的主要内容，但具体考试内容可能会因学校和教师的不同而有所差异，建议以实际考试内容为准。

125414-专升本插班生考试-011《高等代数》考试大纲

《高等代数》考试大纲Ⅰ考试性质与目的本科插班生招生考试是由专科毕业生参加的选拔性考试，我院将根据考生的成绩，按已确定的招生计划，德、智、体全面衡量，择优录取。

考试应有较高的信度，效度，必要的区分度和适当的难度。

Ⅱ考试内容一、考试基本要求要求考生理解和掌握本学科的基本概念、定理、性质和方法，能运用本学科的基础知识和基本方法进行判断、分析、计算和证明，具备一定的分析、解决问题的能力。

二、考核知识点和考核要求本大纲的考核要求分为“了解”、“理解”、“掌握与”、“应用”四种水平：1、了解：对知识的涵义有感性的、初步的认识，能在相关问题中正确地识别和表述。

2、理解：对概念和定理、性质等规律达到了理性认识，能知其然，也能知其所以然，能理解有关概念和定理、性质与其他概念、规律的联系，知其用途。

3、掌握：在理解的基础上形成技能、方法，并用来解决一些问题。

4、应用：能综合运用知识，达到灵活应用的程度。

第一章基本概念一、考核知识点1、集合：子集，集的相等，集合的交与并及其运算律，笛卡儿积，代数运算。

2、映射：映射，满射，单射，双射，映射的相等，映射的合成，可逆映射，映射可逆的充要条件。

3、数学归纳法:自然数的最小数原理,第一数学归纳法,第二数学归纳法。

4、整数的一些整除性质。

5、数环和数域。

二、考核要求1、认识：笛卡儿积，代数运算，整数的一些整除性质。

2、理解：映射的合成，可逆映射，映射可逆的充要条件，数环和数域。

3、掌握：集合的交与并及其运算律，映射，满射，单射，双射。

4、应用：第一数学归纳法。

第二章多项式一、考核知识点1、一元多项式的定义、次数和多项式的运算2、多项式的整除性：整除的基本性质，带余除法定理3、多项式的最大公因式：最大公因式的定义，最大公因式的性质，辗转相除法，多项式互素的概念，互素的性质。

4、多项式的唯一因式分解定理：不可约多项式概念，不可约多项式性质，唯一因式分解定理，典型分解式。

5、多项式的重因式：多项式的重因式概念，多项式有重因式的充要条件。

专升本大一高等数学教材

专升本大一高等数学教材专升本大一高等数学教材是一本为专科生升本科所编写的教材，旨在帮助专升本的学生快速了解和掌握高等数学的基本知识和重要概念。

本教材分为多个章节，涵盖了数学的各个分支领域，包括微积分、代数、几何和概率等。

以下将详细介绍本教材的内容和特点。

第一章：微积分微积分是数学的重要分支，本章主要介绍微积分的基本概念和方法。

包括极限、导数、积分等内容。

通过学习本章，学生能够掌握微积分的基本原理和运用方法，为后续章节打下扎实的基础。

第二章：代数代数是数学中的一门重要学科，本章主要介绍代数的基本概念和方法。

包括多项式、方程、函数等内容。

通过学习本章，学生能够熟练运用代数的基本规则和解题方法，提高数学分析和计算能力。

第三章：几何几何是数学的一个重要分支，本章主要介绍几何的基本概念和定理。

包括平面几何、立体几何以及解析几何等内容。

通过学习本章，学生能够理解几何的基本原理和运用方法，培养几何思维和几何解题能力。

第四章：概率与统计概率与统计是数学中的一门重要学科，本章主要介绍概率与统计的基本概念和方法。

包括概率、随机变量、概率分布、统计推断等内容。

通过学习本章，学生能够掌握概率与统计的基本理论和应用技巧，提高数据分析和决策能力。

本教材的特点有以下几点：1.理论与实践相结合。

教材在讲解数学理论的同时，注重理论与实践的结合，引导学生进行数学建模和问题求解。

2.案例分析与应用训练。

教材中穿插了大量的案例分析和应用训练，帮助学生将所学知识应用到实际问题中，并培养他们的数学建模和解决实际问题的能力。

3.思维导向与创新意识。

教材强调培养学生的数学思维和创新意识，通过鼓励学生提出问题、分析问题和解决问题的方法，培养他们的独立思考和创新能力。

4.提供练习与答案。

教材提供了丰富的习题和练习题，旨在帮助学生巩固所学知识和提高解题能力。

同时，教材还附有详细的答案和解析，方便学生自我检测和巩固知识。

总结起来，专升本大一高等数学教材是一本全面系统的教材，旨在帮助专升本的学生快速掌握高等数学的基本知识和重要概念，为他们的学习和发展打下坚实的基础。

高等代数(专升本)

韩山师范学院本科三年级插班生考试数学与应用数学专业高等代数试卷一、填空题（每题2分，共12分）1、设)(x p 是)(x f 的导数)(x f '的1-k 重因式，则)(x p 是)(x f 的k 重因式的充要条件是．2、设 A 是 n 阶方阵，则det(3A)= ．3、设 A 都是 n 阶可逆方阵, 满足aA 2+bA+I=0，则A -1= ． 4、n 元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为r ，那么其基础解系含个解向量． 5、欧氏空间中向量α的长度 α=2，则><αα,= ．6、复数域上两个n 元二次型等价的充要条件是它们____ _____．二、判断题（每题2分，共10分；在题后括号内打“√”或“×”） 1．A 、B 都为n 阶实方阵，detA = detB ，则A = B ．( ) 2．等价的向量组含有相同个数的向量．( )3．设δ，τ是n 维向量空间V 的两个线性变换．A ，B 分别是δ，τ关于V 的基n ααα,,,21 的矩阵，当δ≠τ时，必有 B ≠A ．（） 4．两个不同矩阵的特征根一定不同．（）5．在欧氏空间中V 中，对任何实数 k 都有 k k αα=．（）三、选择题（每题3分，共18分；将正确的选项序号填在题中括号内）1．下列命题正确的是：（） A 、如果)()()()(x h x f x g x f =，那么)()(x h x g =； B 、如果)()()(x g x f x h ，那么)()(x f x h 或)()(x g x h ； C 、如果)()(x f x p ，那么)())(),((x f x p x f =； D 、若既约分数sr为整系数多项式)(x f 的有理根，则)1(f r s -而且)1(-+f r s ． 2．n 阶行列式D 的元素ij a 的余子式ij M 与ij a 的代数余子式ij A 的关系是：（） A ．ij ij M A =； B 、ij ij M A -=； C 、ij ji ij M A +-=)1(； D 、ij ij M A ≠3、设0λ是可逆矩阵A 的非零特征根，则10-λ是（）的一个特征根．A ．—A ；B ．A ' ；C ．2A ； D ．1-A ．4．若m ααα,,,21 与n βββ,,,21 都线性无关,则向量组m αα,,,1 ,n ββ,,,1 ( )．A.一定线性无关；B.不一定线性无关；C.一定线性相关；D.以上结论都不对. 5、设A=)(ij a , detA=0, b=),,,(21'n b b b , X=),,,(21'n x x x ．其中A ，b 为已知，则线性方程组AX=b( )．A.无解；B.有无穷多解；C.有唯一解；D.无解或有无穷多解． 6、设A 、B ∈)(F M n ，则A 的列向量组与B 的列向量等价当且仅当( )． A.A ＝B ； B.detA ＝detB ； C.det(AB)≠0； D.秩A=秩B四、（8分）计算行列式D ＝y y x x -+-+1111111111111111．五、（8分）判断方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+=+242131243121b x x b x x a x x a x x （其中2121b b a a +=+）是否有解，有解时求其一般解．六、（10分）证明：),(),(222g f g f =．七、（8分）证明：秩AB ＝秩B 的充分必要条件是(AB)X=0与BX=0有相同的解．八、(8分)设 n 阶方阵 A 满足A 2=A ，证明I+A 可逆，且 (I+A)-1 = I －A ．九、（8分）设V 是数域F 上的向量空间，()1 , λδV L ∈ 和 2λ 是δ的两个不同的本征值，i α是δ的属于i λ的本征向量，2 , 1=i ．证明：021≠+αα，但它却不再是δ的本征向量，即F ∈∀λ，()() 2121ααλαασ+≠+．十、（10分）判定二次型ơ()32312123222132128632,,x x x x x x x x x x x x -++++=是否正定．。

高等代数(专升本)

高等代数(专升本)
单选题
1. 设多项式，则该多项式的阶数为_____(10分)
(A) 5；(B) 2；(C) 3；(D) 1
标准标准答案：A
2. 下列结论正确的是_____(10分)
(A) n次多项式必有n个实根；(B) 整系数多项式的根都是整数；(C) 多项式与互素的充要条件是没有重因式(D) 5次多项式必有5个复根。

标准标准答案：C
3. 多项式_____(10分)
(A) 有重因式；(B) 没有复根；(C) 是不可约的；(D) 是本原的。

标准标准答案：D
4. 对任意实数，必有实根的多项式是_____。

(10分)
(A) (B) (C) (D)
标准标准答案：A
5. 排列的逆序数是_____(10分)
(A) (B) (C) (D)
标准标准答案：B
6. 行列式的数值为_____。

(10分)
(A) 0；(B) 6；(C) 24；(D) -24.
标准标准答案：C
7. 行列式的数值为_____(10分)
(A) 0；(B) 6；(C) 24；(D) -24.
标准标准答案：C
8. 行列式的数值为_____(10分)。

自考本科数学专升本

自考本科数学专升本自考本科数学专升本数学作为一门基础科学，对于各个领域的学习和应用起着重要的作用。

对于我来说，数学一直是一门令我感兴趣，但也令我头疼的学科。

因此，我选择了自考本科数学专升本。

自考本科数学专升本考试包括数学分析、高等代数、概率统计以及数学实践等多个科目。

这些科目涵盖了数学学科的基本内容，对于提高我的数学素养和解决实际问题的能力非常有帮助。

数学分析作为数学学科的基础课程，在自考本科数学专升本考试中占据重要地位。

数学分析从数学的基本概念和理论出发，探究数学中的基本原理和推理方法。

通过学习数学分析，我能够更好地理解数学的本质和内在逻辑，提高我对数学问题的分析和解决能力。

高等代数是一门对抽象思维要求较高的数学学科。

通过学习高等代数，我能够学习到更加深入的数学知识和解决方案。

高等代数在自考本科数学专升本考试中的学习内容主要包括线性代数、矩阵论等。

通过学习高等代数，我能够更好地理解线性空间和线性变换等概念，进一步提高我的数学思维能力和抽象思维能力。

概率统计是一门应用广泛且实用性强的数学学科。

通过学习概率统计，我能够学习到如何利用概率和统计方法解决实际问题。

概率统计在自考本科数学专升本考试中的学习内容主要包括概率论、数理统计等。

通过学习概率统计，我能够更好地理解随机事件和统计规律，并且能够运用所学知识对实际问题进行分析和预测。

除了理论知识的学习之外，数学实践也是自考本科数学专升本考试中的一个重要组成部分。

数学实践是将数学理论知识应用于实际问题的过程，通过实践活动，我能够加深对数学知识的理解和应用能力。

数学实践在自考本科数学专升本考试中的学习内容主要包括做题、实验和建模等。

通过数学实践的学习，我能够更好地培养自己的科学思维和创新能力，提高我的实际问题解决能力。

自考本科数学专升本考试不仅对于提高自己的学历和职业发展有着重要的意义，也对于培养自己的数学素养和解决实际问题的能力有着重要的影响。

通过自考本科数学专升本考试的学习，我相信我能够更好地理解和应用数学知识，提高自己的数学素养和解决问题的能力。

专转本高数

专转本高数摘要：1.专转本高数的概念和意义2.专转本高数的主要内容3.专转本高数的学习方法和技巧4.专转本高数的重要性正文：一、专转本高数的概念和意义专转本是指专科生通过一定的考试和选拔程序，进入本科阶段继续学习的一种途径。

在这个过程中，高数（高等数学）是专转本考试中的一门重要科目。

高数不仅是理工科的基础课程，也是许多经济、管理类专业的必修课程。

它为学生提供了较强的理论基础和解决问题的能力，对于提升学生的整体素质具有重要意义。

二、专转本高数的主要内容专转本高数的主要内容包括：函数、极限、导数、微分、积分、微分方程等。

这些内容是高等数学的基本组成部分，为学生在后续学习和工作中提供了扎实的数学基础。

1.函数：函数是高数的基本概念，包括函数的定义、性质、分类和应用等。

2.极限：极限是高等数学中的重要概念，主要研究数列、函数在某一点处的性质和规律。

3.导数：导数是函数在某一点的变化率，是研究函数变化规律的重要工具。

4.微分：微分主要研究函数在某一点的切线斜率和曲率等性质。

5.积分：积分是高数的核心概念之一，主要研究如何将函数的局部性质综合为全局性质。

6.微分方程：微分方程是研究未知函数的演变规律和解决实际问题的重要工具。

三、专转本高数的学习方法和技巧学习高数需要掌握一定的方法和技巧，以下是一些建议：1.打好基础：学习高数需要一定的数学基础，特别是初中和高中的数学知识。

在专转本高数的学习过程中，要注重基础知识的学习和巩固。

2.理解概念：高数的概念和定理很多，要通过实例加深对概念的理解，这样才能更好地运用到实际问题中。

3.多做练习：高数的学习离不开大量的练习，通过做题可以巩固所学知识，提高解题能力。

4.分析总结：在做题过程中，要注重对错题的分析和总结，找出自己的不足之处，并针对性地进行改进。

四、专转本高数的重要性专转本高数作为专转本考试的重要科目，对于学生的录取和今后的学习具有重要意义。

学好高数可以为学生打下扎实的数学基础，提高解决实际问题的能力，为后续学习和工作提供有力支持。

年专升本《高等代数》试题

专升本《高等代数》试题注：请将答案全部写在答题纸上. 一.填空题（每小题2分，共20分）1.设:f A B →是集合A 到B 的映射，对任意的y B ∈，都存在x A ∈，使得()f x y =，就称映射f 为。

2.设(),()[]f x g x F x ∈，则()()0f x g x ⋅=的充要条件是。

3.设()f x 实系数多项式，()7f x ∂=且()()()()()5322x x i x x i f x -++-，则()f x 实数根的个数为。

4.假设n 阶行列式D 中零元素的个数比n 2 -n 多，则D= 。

5.m 个方程n 个未知数的线性方程组AX B =，其增广矩阵为A ，当时，此方程有无穷多个解。

6.矩阵1234⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为。

7.(){}123123,,,,0i W a a a a F a a a =∈++=。

则dim W = 。

8.向量空间[]2F x 上的线性变换()()'f x f x σ=（()f x 导数）关于它的基2{1,,}x x 的矩阵。

9.在欧空间3R 中，向量()123β=，，在由12002222αα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，-生成的子空间H 上的正射影的长度为。

10.三元二次型2222323x y z xy xz yz +++++的矩阵为。

二.判断正误（每小题2分，共20分）1. 集合 A 有 m 个元素，B 有 n 个元素，则 A B 有 m+n 个元（）2.若整数,a b 互素，则存在唯一的一对整数,s t ，使得1sa tb +=（）3.设()()[],f x g x F x ∈，且()()f x g x ≠，则对任给的i a F ∈，()()i i f a g a ≠（）4.秩为r 的矩阵必有一个1r -阶子式不为0（2r ≥）（）5.线性方程组有解的充要条件是其增广矩阵的最后一列可由前面的列向量线性表示（）6.若{}1,m αα和{}1,n ββ线性无关，则{}11,,,m n ααββ线性无关（）7.一个向量空间不可能与它的真子空间同构（）8.数域F 上的向量空间上的线性变换的集合对线性变换的加法与数乘运算构成一个向量空间（）9.由规范正交基到规范正交基的过渡矩阵是正交矩阵（） 10.实对称矩阵一定与一个对角形矩阵合同（）三.单项选择（每小题3分，共30分）１.若()()(),1f x g x =且()()()f x g x h x ，则（）A.()()f x h x 且()()f x g xB.()()f x h x 或()()f x g xC. ()()f x g xD. ()()f x h x2.艾森斯坦因判别法是判断一个多项式在有理数域上不可约的一个（）Ａ.必要非充分条件Ｂ.必要且充分条件Ｃ.充分非必要条件Ｄ.既非充分条件又非必要条件3.设111212122212n n n n nn a a a a a a D a a a =，1112121222112n n n n nnb b b b b b D b b b =且ij ij b a =-，则1D =（）Ａ.ＤＢ.－ＤＣ.()()121n n D +-Ｄ.()1nD -4.若,A B 为任意n 阶实方阵，则（）Ａ.秩{}max AB A B =秩,秩Ｂ.秩{}min AB A B =秩,秩Ｃ.秩AB =秩BAＤ.以上都不对5.若数域F 上的n 元齐次线性方程组有非零解，则该方程组（）Ａ. 有无限个非零解Ｂ.有有限个非零解Ｃ. F 上任意n 个数均是方程组的解Ｄ.有唯一非零解6.设(){}'n T A M F A A =∈=-，则dim T =（）Ａ.()12n n +Ｂ.()12n n -Ｃ.2n n -Ｄ.22n7.设()L V στ∈，下列命题正确的是（）Ａ.若2στ=，则στ=±Ｂ.2σσστθ=，则=或Ｃ.32στσστστ=++=，可逆，则Ｄ.(),,mστθσθτθ===若则或 8.设αβ，是欧氏空间n R 中的非零向量，0αβαβ=，是，正交的（）Ａ.充分而不必要条件Ｂ.必要而不充分条件Ｃ.充分必要条件Ｄ.什么条件也不是９、二次型()()112312243,,21x q x x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的矩阵是（）Ａ.4 2.52.51⎛⎫⎪⎝⎭Ｂ.4321⎛⎫ ⎪⎝⎭Ｃ.4 2.502.510000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭Ｄ420310000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭10.下列命题不正确的是（）Ａ.两个数环的交是数环Ｂ.两个数域的交是数域Ｃ.两个数环的并是数环Ｄ.两个数域的并不是数域四.计算题（每小题10分，共40分）1．计算n 阶行列式 000000000000x y x y D x y y x=。

2021年.《高等代数》(专插本)

2021年
11.《高等代数》
Ⅰ、复习基本内容
集合与映射，多项式的运算与分解理论，重因式，复数域、
实数域、有理数域上的多项式，行列式的定义，性质及计算，行
列式展开定理，线性方程组的求解与解的基本理论，线性相关与
线性无关，矩阵的运算性质、矩阵乘法、矩阵的逆，矩阵的秩，
二次型及化标准型，复二次型与实二次型，正定二次型，主轴问
题，线性空间，子空间，基与维数，坐标，线性变换，线性变换
的运算，线性变换的矩阵，基底变换，相似变换，特征值及特征
向量，可以对角化的矩阵，线性映射，欧几里得空间，正交基，
正交变换与正交矩阵的性质，对称矩阵与对称变换的性质，子空
间的正交补等。

Ⅱ、基本要求
弄清基本概念，掌握基本定理的条件、结论及证明方法，掌
握一些常见的推理与计算技巧，熟练运用基本理论和方法分析问
题、解决问题。

Ⅲ、参考书
《高等代数》北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编
王萼芳、石生明修订高等教育出版社第四版
Ⅳ、考试形式及试卷结构
闭卷笔试，试卷结构包括填空题20分,单项选择题20分,
简答题10分,解答题30分,证明题20分.
Ⅴ、题型示例
填空题（2×10=20分）、单项选择题（2×10=20分）、简答
题（5×2＝10分）、解答题（10×3＝30分）、证明题（4×5＝20
1。

高等代数(专升本)

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