2017届高考理科数学第一轮复习习题6
高考理科数学第一轮复习测试题17 A级 基础达标演练
A 级 基础达标演练(时间：40分钟 满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．下列函数中，与函数y ＝1x有相同定义域的是( )． A ．f (x )＝ln x B ．f (x )＝1xC ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝e x解析 由y ＝1x可得定义域是{x |x ＞0}．f (x )＝ln x 的定义域是{x |x ＞0}；f (x )＝1x 的定义域是{x |x ≠0}；f (x )＝|x |的定义域是x ∈R ；f (x )＝e x 定义域是x ∈R .故选A. 答案 A[来源:Z+xx+]2．(★)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )．解析 (筛选法)根据函数的定义，观察得出选项B. 答案 B【点评】 本题解题利用的是筛选法，即根据题设条件筛选出正确选项，这种方法在选择题中经常应用.3．(2010·陕西) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )．A.12B.45 C ．2 D ．9[来源:学*科*网] 解析 f (f (0))＝f (2)＝4＋2a 由已知4a ＝4＋2a ，解得a ＝2. 答案 C4．已知函数f (x )的图象是两条线段(如图，不含端点)，则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫13＝( )．A ．－13B.13 C ．－23D.23解析 由图象知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (－1＜x ＜0)，x －1 (0＜x ＜1).∴f ⎝⎛⎫13＝13－1＝－23， ∴f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫13＝f ⎝⎛⎭⎫－23＝－23＋1＝13. 答案 B5．(2011·天津)对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b ＞1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x－x 2)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )． A ．(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎫－1，32 B ．(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎫－1，－34[来源:] C.⎝⎛⎭⎫－1，14∪⎝⎛⎭⎫14，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－1，－34∪⎣⎡⎭⎫14，＋∞ 解析 当(x 2－2)－(x －x 2)≤1，即－1≤x ≤32时，f (x )＝x 2－2；当x 2－2－(x －x 2)＞1，即x ＜－1或x ＞32时，f (x )＝x －x 2，∴f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2 ⎝⎛⎭⎫－1≤x ≤32，x －x 2⎝⎛⎭⎫x ＜－1或x ＞32，f (x )的图象如图所示，c ≤－2或－1＜c ＜－34.答案 B[来源:学.科.网Z.X.X.K]二、填空题(每小题4分，共12分)6．设函数f (x )＝|2x －1|＋x ＋3，则f (－2)＝________；若f (x )≤5，则x 的取值范围是________． 解析 f (－2)＝|2×(－2)－1|＋(－2)＋3＝6，|2x －1|＋x ＋3≤5⇔|2x －1|≤2－x ⇔x －2≤2x －1≤2－x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥x －2，2x －1≤2－x ，∴－1≤x ≤1.答案 6 －1≤x ≤17．已知函数f (x )、g (x )分别由下表给出：则f [g (1)]的值为________；满足f [g (x )]>g [f (x )]的x 的值是________． 解析 g (1)＝3 f [g (1)]＝1 g [f (1)]＝3g (2)＝2 f [g (2)]＝3 g [f (2)]＝1 g (3)＝1 f [g (3)]＝1 g [f (3)]＝3 因此满足f (g (x ))>g (f (x ))的x ＝2. 答案 1 28．若函数f (x )＝ 的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 解析 ∵y ＝ 的定义域为R ， ∴对一切x ∈R 都有2x 2＋2ax －a ≥1恒成立，即x 2＋2ax －a ≥0恒成立．∴Δ≤0成立，即4a 2＋4a ≤0， ∴－1≤a ≤0. 答案 [－1,0] 三、解答题(共23分)9．(11分)求下列函数的定义域： (1)f (x )＝lg (4－x )x －3；(2)y ＝25－x 2－lg cos x ； (3)y ＝lg(x －1)＋lgx ＋1x －1＋19－x. 解 (1)⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＞0x －3≠0，⇒x ＜4且x ≠3，故该函数的定义域为(－∞，3)∪(3,4)．(2)⎩⎪⎨⎪⎧25－x 2≥0，cos x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－5≤x ≤5，2k π－π2＜x ＜2k π＋π2，k ∈Z ，故所求定义域为⎣⎡⎭⎫－5，－3π2∪⎝⎛⎭⎫－π2，π2∪⎝⎛⎦⎤3π2，5. (3)⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，x ＋1x －1＞0，9－x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，x ＞1，x ＜9或x ＜－1，解得1＜x ＜9.故该函数的定义域为(1,9)．10．(12分)记f (x )＝lg(2x －3)的定义域为集合M ，函数g (x )＝ 1－2x －1的定义域为集合N ，求：(1)集合M 、N ；(2)集合M ∩N ，M ∪N .解 (1)M ＝{x |2x －3>0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >32，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪1－2x －1≥0＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －3x －1≥0＝{x |x ≥3，或x <1}；(2)M ∩N ＝{x |x ≥3}，M ∪N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1或x >32. B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2011·济南模拟)如下图，是张大爷晨练时所走的离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是()．解析 据图象可知在第一段时间张大爷离家距离随时间的增加而增加，在第二段时间内，张大爷离家的距离不变，第三段时间内，张大爷离家的距离随时间的增加而减少，最后回到始点位置，对比各选项，只有D 选项符合条件． 答案 D2．(★)(2011·北京)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx ，x ＜A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )．A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16解析 (回顾检验法)∵c A＝15，故A ＞4，则有c2＝30，解得c ＝60，A ＝16，将c ＝60，A ＝16代入解析式检验知正确．故选D. 答案 D【点评】 解决分段函数的关键在于“对号入座”，解出结果后代入对应解析式检验是否正确.二、填空题(每小题4分，共8分)3．已知函数f (x )＝1x ＋1，则函数f [f (x )]的定义域是________．解析 据题意可得f [f (x )]＝11x ＋1＋1，若使函数有意义只需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1x ＋1＋1≠0，解得x ≠－1且x ≠－2，故函数的定义域为{x |x ≠－1且x ≠－2}． 答案 {x |x ≠－1，且x ≠－2}4．(2011·四川)函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数．下列命题： ①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数；②若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原象； ④函数f (x )在某区间上具有单调性，则f (x )一定是单函数． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)解析 对①，f (x )＝x 2，则f (－1)＝f (1)，此时－1≠1，则f (x )＝x 2不是单函数，①错；对②，当x 1，x 2∈A ，f (x 1)＝f (x 2)时有x 1＝x 2，与x 1≠x 2时，f (x 1)≠f (x 2)互为逆否命题，②正确；对③，若b ∈B ，b 有两个原象时．不妨设为a 1，a 2可知a 1≠a 2，但f (a 1)＝f (a 2)，与题中条件矛盾，故③正确；对④，f (x )＝x 2在(0，＋∞)上是单调递增函数，但f (x )＝x 2在R 上就不是单函数，④错误；综上可知②③正确． 答案 ②③三、解答题(共22分)5．(10分)已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1， x >0，2－x ， x <0，(1)求f [g (2)]与g [f (2)]． (2)求f [g (x )]与g [f (x )]的表达式． 解 (1)g (2)＝1，f [g (2)]＝f (1)＝0. f (2)＝3，g [f (2)]＝g (3)＝2. (2)当x >0时，f [g (x )]＝f (x －1)＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x <0时，f [g (x )]＝f (2－x )＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3.即f [g (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x >0，x 2－4x ＋3，x <0.g [f (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x <－1，或x >1，3－x 2，－1<x <1. 6．(12分)(2012·唐山一中月考)已知g (x )＝－x 2－3，f (x )是二次函数，当x ∈[－1,2]时，f (x )的最小值为1，且f (x )＋g (x )为奇函数，求函数f (x )的表达式． 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f (x )＋g (x )＝(a －1)x 2＋bx ＋c －3，又f (x )＋g (x )为奇函数，∴a ＝1，c ＝3.[来源:学科网] ∴f (x )＝x 2＋bx ＋3，对称轴x ＝－b2.当－b2≥2，即b ≤－4时，f (x )在[－1,2]上为减函数，∴f (x )的最小值为f (2)＝4＋2b ＋3＝1. ∴b ＝－3.∴此时无解．当－1＜－b2＜2，即－4＜b ＜2时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－b 2＝3－b24＝1，∴b ＝±2 2. ∴b ＝－22，此时f (x )＝x 2－22x ＋3，当－b2≤－1，即b ≥2时，f (x )在[－1,2]上为增函数，∴f (x )的最小值为f (－1)＝4－b ＝1. ∴b ＝3.∴f (x )＝x 2＋3x ＋3.综上所述，f (x )＝x 2－22x ＋3，或f (x )＝x 2＋3x ＋3.。
优化探究高考数学一轮复习 第六章 第四节 基本不等式
【优化探究】2017届高考数学一轮复习 第六章 第四节 基本不等式课时作业 理 新人教A 版A 组 考点能力演练1．(2016·汉中一模)“a ≥0，b ≥0”是“a ＋b2≥ab ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：由a ≥0，b ≥0可得a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．反之，若a ＋b2≥ab ，则ab ≥0，可得a ≥0，b ≥0，故选C.答案：C2．(2016·杭州一模)设a >0，b >0.若a ＋b ＝1，则1a ＋1b的最小值是( )A ．2 B.14 C ．4D ．8解析：由题意1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ×a b ＝4.当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时取等号，所以最小值为4.答案：C3．若a >0，b >0且a ＋b ＝7，则4a ＋1b ＋2的最小值为( )A.89 B ．1 C.98D.10277解析：本题考查利用基本不等式求最值．因为b ＝7－a ，所以4a ＋1b ＋2＝4a ＋19－a ＝19(a ＋9－a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋19－a ＝19⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋1＋49－aa＋a 9－a ≥19(4＋1＋4)＝1，当且仅当49－aa＝a9－a时取得等号，故选B.答案：B4．设x ，y ∈R ，a >1，b >1.若a x ＝b y ＝2，a 2＋b ＝4，则2x ＋1y的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由a x＝b y＝2得x ＝log a 2＝1log 2 a ，y ＝log b 2＝1log 2 b ，2x ＋1y＝2log 2 a ＋log 2 b ＝log 2 (a 2·b )≤log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 22＝2(当且仅当a 2＝b ＝2时取等号)．答案：B5．若直线ax ＋by －1＝0(a >0，b >0)过曲线y ＝1＋sin πx (0<x <2)的对称中心，则1a ＋2b的最小值为( )A.2＋1 B ．4 2 C ．3＋2 2D ．6解析：本题考查三角函数的性质与基本不等式．注意到曲线y ＝1＋sin πx (0<x <2)的对称中心是点(1,1)，于是有a ＋b ＝1，1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ·(a ＋b )＝3＋b a ＋2a b ≥3＋22，当且仅当b a＝2a b ，即b ＝2a ＝2(2－1)时取等号，因此1a ＋2b的最小值是3＋22，故选C.答案：C6．(2016·济南一模)若实数x ，y 满足4x ＋4y ＝2x ＋1＋2y ＋1，则t ＝2x ＋2y的取值范围是________．解析：设a ＝2x ，b ＝2y ，则a >0，b >0，由条件得a 2＋b 2＝2(a ＋b )，∵(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2)，当且仅当a ＝b 时取等号，∴(a ＋b )2≤4(a ＋b )，∴a ＋b ≤4，又(a ＋b )2－2(a ＋b )＝2ab >0.∴a ＋b >2，∴2<a ＋b ≤4，即2<t ≤4.答案：(2,4]7．(2015·郑州二模)已知a ，b 均为正数，且2是2a ，b 的等差中项，则1ab的最小值为________．解析：由于2是2a ，b 的等差中项，故2a ＋b ＝4，又a ，b 均为正数，故2ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b 22＝4，当且仅当2a ＝b ＝2，即a ＝1，b ＝2时取等号，所以1ab 的最小值为12.答案：128．已知函数y ＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋y n－4＝0(m >0，n >0)上，则m ＋n 的最小值为________．解析：由题意可知函数y ＝log a x ＋1的图象恒过定点A (1,1)，∵点A 在直线x m ＋y n－4＝0上，∴1m ＋1n ＝4，∵m >0，n >0，∴m ＋n ＝14(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≥14⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2n m ·m n ＝1，当且仅当m ＝n ＝12时等号成立，∴m ＋n 的最小值为1.答案：19．已知x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1z －1>8.证明：因为x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，所以1x－1＝1－x x ＝y ＋z x >2yzx，①1y－1＝1－y y ＝x ＋z y >2xz y ，②1z－1＝1－z z＝x ＋y z>2xy z，③又x ，y ，z 为正数，由①×②×③，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1y－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1z－1>8.10．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由形状为长方形A 1B 1C 1D 1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比|A 1B 1||B 1C 1|＝x (x >1)，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S (x )的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？ 解：(1)设休闲区的宽为a 米，则长为ax 米，由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x.则S (x )＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4 000＋(8x ＋20)·2010x＋160＝8010⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5x ＋4 160(x >1)． (2)8010⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5x ＋4 160≥8010×22x ×5x＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760，当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时，等号成立，此时a ＝40，ax ＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100米，宽40米．B 组 高考题型专练1．(2015·高考湖南卷)若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：由已知得1a ＋2b ＝b ＋2aab＝ab ，且a >0，b >0，∴ab ab ＝b ＋2a ≥22ab ，∴ab ≥2 2. 答案：C2．(2014·高考重庆卷)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3D ．7＋4 3解析：由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得12log 2(3a ＋4b )＝12log 2(ab )，所以3a ＋4b ＝ab ，即3b ＋4a＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫3b ＋4a ＝3a b ＋4ba ＋7≥43＋7，当且仅当3ab ＝4b a，即a ＝23＋4，b ＝3＋23时取等号，故选D.答案：D3．(2015·高考陕西卷)设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r <pB ．p ＝r <qC ．q ＝r >pD ．p ＝r >p解析：∵0<a <b ，∴a ＋b2>ab ，又f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，故f (ab )<f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，即q >p ，∵r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝f (ab )＝p ，∴p ＝r <q .故选B.答案：B4．(2015·高考山东卷)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x >0，y >0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．解析：因为x >0，y >0，所以x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋2y x ≥2，当且仅当x y＝2yx，即x ＝2y 时取等号．故x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为 2.答案： 2。
2017年高考数学一轮总复习第六章不等式第3讲算术平均数与几何平均数课件理
A.有最大值 C.是增函数
B.有最小值 D.是减函数
t2＋1 2 3.已知 t>0，则函数 y＝ t 的最小值为_______.
t2＋1 1 解析：y＝ t ＝t＋ t ≥2 ＝2. 1 1 t· t ＝2，当且仅当 t＝ t 时，ymin
1 16 4.已知 x>0，y>0，且 x＋4y＝1，则 xy 的最大值为_______.
【互动探究】
x y 1.(2015 年福建)若直线a＋b＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则 a
＋b 的最小值等于( C ) A.2 B.3 C.4 D.5
1 1 1 1 解析：由已知，得a＋b＝1，则 a＋b＝(a＋b)×a＋b＝
b a b a 2＋a＋b.因为 a>0，b>0，所以a＋b≥2 b a 当a＝b，即 a＝b＝2 时取等号.
2.会用基本不等式 解决简单的最大
(1)平时突出对基本不等式取
等号的条件及运算能力的强 化训练.
(小)值问题
(2)训练过程中注意对等价转
化、分类讨论及逻辑推理能 力的培养
a＋b 1.基本不等式 ab≤ 2 (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号. a＋b (3) 2 叫做算术平均数， ab叫做几何平均数，基本不等 式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2.几个常用的重要不等式 (1)a∈R，a2≥0，|a|≥0当且仅当a＝0时取“＝”. ≥ ab. (2)a，b∈R，则a2＋b2____2
1 (3)a>0，则 a＋a≥2.
a2＋b2 a＋b2 (4) 2 ≥ . 2
3.最值定理
2017届高三数学一轮复习课件：6-4 基本不等式
微知识❹ 常用的几个重要不等式
(1)a＋b≥ 2 ab (a＞0，b＞0)。
(2)ab≤ a＋2 b2
(a，b∈R)。
(3)a＋2 b2≤a2＋2 b2(a，b∈R)。 (4)ba＋ab≥ 2 (a，b 同号)。
以上不等式等号成立的条件均为 a＝b。
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[规律方法] (1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建 立数学模型，转化为数学问题求解。 (2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就 不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解。
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D．[－4,4]
解析：M＝a2＋a 4＝a＋4a。 当 a＞0 时，M≥4；当 a＜0 时，M≤－4。 答案：A
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4．若 x＞1，则 x＋x－4 1的最小值为__________。 解析：x＋x－4 1＝x－1＋x－4 1＋1≥4＋1＝5。 当且仅当 x－1＝x－4 1，即 x＝3 时等号成立。 答案：5
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微考点
基本不等式的综合应用
角度一：基本不等式与其他知识综合的最值问题
【典例 2】若点 A(1,1)在直线 mx＋ny－2＝0 上，其中 mn＞0，则m1 ＋1n的最 小值为________。
解析：因为点 A(1,1)在直线 mx＋ny－2＝0 上，所以 m＋n－2＝0，即m2 ＋n2 ＝1，
取得“＝”，故选 D 项。
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高考数学(理)大一轮复习习题：函数模型及应用 word版含答案
课时达标检测（十三） 函数模型及应用1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )解析：选C 出发时距学校最远，先排除A ，中途堵塞停留，距离没变，再排除D ，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B.2．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况. 加油时间加油量(升) 加油时的累计里程(千米) 2015年5月1日12 35 000 2015年5月15日48 35 600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( )A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升 解析：选B 因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35 600－35 000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)．3．已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为( )A ．800米B ．900米C ．1 000米D ．1 200米 解析：选A 设这个广场的长为x 米，则宽为40 000x 米，所以其周长为l ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋40 000x ≥800，当且仅当x ＝40 000x，即x ＝200时取等号． 4．(2016·安阳一模)某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选C 由题意，当生产第k 档次的产品时，每天可获得利润为y ＝＝－6k 2＋108k＋378(1≤k ≤10，k ∈N)，配方可得y ＝－6(k －9)2＋864，所以当k ＝9时，获得利润最大．选C.5．拟定甲、乙两地通话m 分钟的电话费(单位：元)由f (m )＝1.06(0.5＋1)给出，其中m >0，是不超过m 的最大整数(如＝3，＝3，＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．解析：∵m ＝6.5，∴＝6，则f (6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.答案：4.24一、选择题1．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T 内完成预测的运输任务Q 0，各种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )解析：选B 选项B 中，Q 的值随t 的变化越来越快，即运输效率在逐步提高．2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )A ．118元B ．105元C ．106元D ．108元解析：选D 设进货价为a 元，由题意知132×(1－10%)－a ＝10%·a ，解得a ＝108.3．(2017·四川德阳诊断)将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a 4L ，则m 的值为( ) A ．5 B ．8 C ．9 D ．10 解析：选A ∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y ＝f (t )＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n ＝12a ， 可得n ＝15ln 12， 所以f (t )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 5， 设k min 后甲桶中的水只有a 4L ， 则f (k )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝a 4，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14， 解得k ＝10，所以m ＝k －5＝5(min)．故选A.4.某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t (分钟)与电话费S (元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元 D.403元 解析：选A 依题意可设S A (t )＝20＋kt ，S B (t )＝mt .又S A (100)＝S B (100)，∴100k ＋20＝100m ，得k －m ＝－0.2，于是S A (150)－S B (150)＝20＋150k －150m ＝20＋150(k －m )＝20＋150×(－0.2)＝－10，即通话150分钟时，两种方式电话费相差10元，故选A.5．(2016·四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11, lg 2≈0.30)A ．2018年B ．2019年C ．2020年D ．2021年解析：选B 设2015年后的第n 年，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由130(1＋12%)n ＞200，得1.12n ＞2013，两边取常用对数，得n ＞lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n ≥4，∴从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元． 6．某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )A ．10.5万元B ．11万元C ．43万元D ．43.025万元 解析：选C 设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆，所以可得利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x )＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－0.1x －2122＋0.1×2124＋32.因为x ∈且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元． 二、填空题7．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.解析：设矩形花园的宽为y m ，则x 40＝40－y 40，即y ＝40－x ，矩形花园的面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400，当x ＝20 m 时，面积最大．答案：208．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A .那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a 表示)解析：令t ＝A (t ≥0)，则A ＝t 2，∴D ＝at －t 2＝－t －12a 2＋14a 2.∴当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D 取得最大值．答案：14a 2 9．(2017·湖北八校联考)某人根据经验绘制了2015年春节前后，从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．解析：前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得⎩⎪⎨⎪⎧ 10＝k ＋b ，30＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909. 答案：190910．已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套公寓房月租金定为3 000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设没有出租的房子不需要花这些费用)，则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为________元．解析：由题意，设利润为y 元，每套房月租金定为3 000＋50x 元(0≤x ≤70，x ∈N)．则y ＝(3 000＋50x )(70－x )－100(70－x )＝(2 900＋50x )(70－x )＝50(58＋x )(70－x )≤50⎝ ⎛⎭⎪⎫58＋x ＋70－x 22＝204 800，当且仅当58＋x ＝70－x ，即x ＝6时，等号成立，故当每套房月租金定为3 000＋50×6＝3 300元时，可使公司获得最大利润．答案：3 300三、解答题11.如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4米，CD ＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE 内截取一个矩形BNPM ，使点P 在边DE 上．(1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM 面积的最大值．解：(1)作PQ ⊥AF 于Q ，所以PQ ＝(8－y )米，EQ ＝(x －4)米．又△EPQ ∽△EDF ，所以EQ PQ ＝EF FD ，即x －48－y ＝42. 所以y ＝－12x ＋10， 定义域为{x |4≤x ≤8}．(2)设矩形BNPM 的面积为S 平方米，则S (x )＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫10－x 2＝－12(x －10)2＋50， S (x )是关于x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x ＝10，所以当x ∈时，S (x )单调递增．所以当x ＝8时，矩形BNPM 的面积取得最大值，为48平方米．12．在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q (百件)与销量价格P (元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元．(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？解：设该店月利润余额为L 元，则由题设得L ＝Q (P －14)×100－3 600－2 000，①由销量图易得Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2P ＋50，14≤P ≤20，－32P ＋40，20<P ≤26， 代入①式得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2P ＋50P －14×100－5 600，14≤P ≤20，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32P ＋40P －14×100－5 600，20<P ≤26，(1)当14≤P ≤20时，L max ＝450元，此时P ＝19.5元；当20<P ≤26时，L max ＝1 2503元，此时P ＝613元． 故当P ＝19.5元时，月利润余额最大，为450元．(2)设可在n 年后脱贫，依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0，解得n ≥20.即最早可望在20年后脱贫．。
高考数学(理)大一轮复习习题：第二章 函数的概念与基本初等函数ⅰ word版含答案
第二章⎪⎪⎪函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示 突破点(一) 函数的定义域基础联通 抓主干知识的“源”与“流”1．函数与映射的概念 函数映射两集合A ，B设A ，B 是两个非空的数集 设A ，B 是两个非空的集合 对应关系f ：A →B如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应名称 称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射记法y ＝f (x )，x ∈A对应f ：A →B(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”求给定解析式的函数的定义域(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}．(5)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R. (6)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)．(7)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z .[例1] y ＝x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是( ) A ．(－2,0)∪(1,2) B ．(－2,0]∪(1,2) C ．(－2,0)∪[1,2)D ．[－2,0]∪[1,2][解析] 要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧x －12x ≥0，x ≠0，4－x 2>0，∴x ∈(－2,0)∪[1,2)．即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)． [答案] C [易错提醒](1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．求抽象函数的定义域对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域． [例2] 若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域为________．[解析] 由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，0≤2x ≤2，解得0≤x ＜1，即g (x )的定义域是[0,1)．[答案] [0,1)[易错提醒]函数f [g (x )]的定义域指的是x 的取值范围，而不是g (x )的取值范围．已知函数定义域求参数[例3] 若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是( )A ．[0,4)B ．(0,4)C ．[4，＋∞)D ．[0,4][解析] 由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立． 当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4. 综上可得：0≤m ≤4. [答案] D[方法技巧]已知函数定义域求参数的思想方法已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法．转化与化归的思想方法是通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1．[考点一]函数y ＝x ln(2－x )的定义域为( ) A ．(0,2) B ．[0,2) C ．(0,1]D ．[0,2]解析：选B 由题意知，x ≥0且2－x >0，解得0≤x ＜2，故其定义域是[0,2)． 2．[考点一](2017·青岛模拟)函数y ＝1－x 22x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C ．[1,2)∪(2，＋∞)D.⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1 解析：选D 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ≠2且x ≠－12，即－1≤x ≤1且x ≠－12，所以函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1.故选D. 3．[考点一]函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a >0且a ≠1)的定义域为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－|x －1|≥0，a x －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ≠0，即0<x ≤2，故所求函数的定义域为(0,2]．答案：(0,2]4．[考点二]已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．解析：∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，∴x ∈[－3， 3 ]，x 2－1∈[－1,2]，∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．答案：[－1,2]5．[考点三]若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________．解析：函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1＋2＝－b ，1×2＝b a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.答案：－92突破点(二) 函数的表示方法1．函数的表示方法函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表示．2．应用三种方法表示函数的注意事项(1)解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；(2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；(3)图象法：注意定义域对图象的影响．与x 轴垂直的直线与其最多有一个公共点． 3．函数的三种表示方法的优缺点(2)求x与y的对应关系时需逐个计算，比较繁杂列表法能鲜明地显示自变量与函数值之间的数量关系只能列出部分自变量及其对应的函数值，难以反映函数变化的全貌图象法形象直观，能清晰地呈现函数的增减变化、点的对称关系、最大(小)值等性质作出的图象是近似的、局部的，且根据图象确定的函数值往往有误差考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求函数的解析式[典例](1)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()A．y＝12x3－12x2－xB．y＝12x3＋12x2－3xC．y＝14x3－xD．y＝14x3＋12x2－2x(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.(3)(2017·合肥模拟)已知f (x )的定义域为{x |x ≠0}，满足3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1，则函数f (x )的解析式为________．[解析] (1)设该函数解析式为f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝d ＝0，f (2)＝8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，f ′(0)＝c ＝－1，f ′(2)＝12a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，d ＝0，∴f (x )＝12x 3－12x 2－x .(2)∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1，∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－12x (x ＋1)．故当－1≤x ≤0时，f (x )＝－12x (x＋1)．(3)用1x代替3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1中的x ，得3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1， ∴⎩⎨⎧3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1， ①3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1， ②①×3－②×5得f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)．[答案] (1)A (2)－12x (x ＋1) (3)f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)[易错提醒]1.已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1，则f (x )＝________. 解析：在f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1中，用1x 代替x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )1x －1，将f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )1x －1代入f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1中，求得f (x )＝23x ＋13(x >0)．答案：23x ＋13(x >0) 2．函数f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝2x ，则f (x )＝________.解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )＋f (－x )＝2x ，2f (－x )＋f (x )＝－2x ，解得f (x )＝2x . 答案：2x3．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式． 解：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，t ≥1，代入原式有 f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1，x ≥1.4．已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式． 解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R.5．已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式． 解：由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， 所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2.突破点(三) 分段函数基础联通 抓主干知识的“源”与“流”1．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．2．分段函数的相关结论(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”分段函数求值[例1] (1)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，则f (f (－2))＝( )A ．－1 B.14 C.12D.32(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (1＋log 25)的值为( ) A.14 B.⎝⎛⎭⎫12错误!未找到引用源。
2017届高三数学一轮总复习(人教通用)课件：第6章 第四节 基本不等式
()
A．52
B．3
C．72
D．4
答案：B
第八页，编辑于星期六：一点 八分。
已知 x，y，z 是互不相等的正数，且 x＋y＋z＝1，求证： 1x－11y－11z－1>8.
证明
第九页，编辑于星期六：一点 八分。
第十一页，编辑于星期六：一点 八分。
设a，b均为正实数，求证：a12＋b12＋ab≥2 2.
第十七页，编辑于星期六：一点 八分。
[变式2] 母题的条件和结论互换即：已知a＞0，b＞0，1a＋1b ＝4，则a＋b的最小值为________．
解析：由1a＋1b＝4，得41a＋41b＝1. ∴a＋b＝41a＋41b(a＋b)＝12＋4ba＋4ab≥12＋2 当且仅当a＝b＝12时取等号． 答案：1
第二十三页，编辑于星期六：一点 八分。
[变式6] 若母题变为：已知各项为正数的等比数列{an}满足 a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an，使得 am·an＝2 2a1， 则m1 ＋n4的最小值为________．
解析
第二十四页，编辑于星期六：一点 八分。
首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排， 绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行 技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的 化工产品．已知该单位每月的处理量最少为 400 吨，最多为 600 吨，月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可 近似地表示为 y＝12x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳 得到可利用的化工产品价值为 100 元．
第四节
基本不等式
a>0，b>0 a＝b
第一页，编辑于星期六：一点 八分。
2ab 2
高考数学(理)一轮复习人教A版-第六章 第3节 (2)
...第3节等比数列及其前n项和最新考纲 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等比数列与指数函数的关系.知识梳理1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式：a na n－1＝q(n≥2，q为非零常数).(2)如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中G＝±ab.2. 等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{a n}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为a n＝a1q n－1；通项公式的推广：a n＝a m q n－m.(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，S n＝na1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ） 1－q ＝a 1－a n q1－q .3.等比数列的性质已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和. (1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则有a k ·a l ＝a m ·a n . (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ， a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .(3)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n .[常用结论与微点提醒]1.若数列{a n }为等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 也是等比数列. 2.由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.3.在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)等比数列公比q 是一个常数，它可以是任意实数.( ) (2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( )(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n ，则其前n 项和为S n ＝a （1－a n）1－a.( )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列.( ) 解析 (1)在等比数列中，q ≠0.(2)若a ＝0，b ＝0，c ＝0满足b 2＝ac ，但a ，b ，c 不成等比数列. (3)当a ＝1时，S n ＝na .(4)若a 1＝1，q ＝－1，则S 4＝0，S 8－S 4＝0，S 12－S 8＝0，不成等比数列. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2.(必修5P53AT1(2)改编)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )A .－12B .－2C .2 D.12解析 由题意知q 3＝a 5a 2＝18，即q ＝12.3.(2018·湖北省七市联考)公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( ) A .8B .9C .10D .11解析 由题意得，2a 5a 6＝18，a 5a 6＝9，∴a 1a m ＝a 5a 6＝9， ∴m ＝10. 答案 C4.(2015·全国Ⅰ卷)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和.若S n ＝126，则n ＝________.解析 由a n ＋1＝2a n ，知数列{a n }是以a 1＝2为首项，公比q ＝2的等比数列，由S n ＝2（1－2n ）1－2＝126，解得n ＝6.答案 65.(2017·北京卷)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________.解析 {a n }为等差数列，a 1＝－1，a 4＝8＝a 1＋3d ＝－1＋3d ，∴d ＝3，∴a 2＝a 1＋d ＝－1＋3＝2.{b n }为等比数列，b 1＝－1，b 4＝8＝b 1·q 3＝－q 3，∴q ＝－2， ∴b 2＝b 1·q ＝2，则a 2b 2＝22＝1.答案 1考点一 等比数列基本量的运算【例1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝(2)(2017·江苏卷)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.解析 (1)由{a n }为等比数列，设公比为q . 由⎩⎨⎧a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，得⎩⎨⎧a 1＋a 1q ＝－1，①a 1－a 1q 2＝－3，② 显然q ≠1，a 1≠0，②①得1－q ＝3，即q ＝－2，代入①式可得a 1＝1， 所以a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8.(2)设数列{a n }首项为a 1，公比为q (q ≠1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1（1－q 3）1－q ＝74，S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2， 所以a 8＝a 1q 7＝14×27＝32. 答案 (1)－8 (2)32规律方法 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解. 2.等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q1－q.【训练1】 (1)(2018·武昌调研)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1＝( ) A .－2B .－1C.12D.23(2)(2016·全国Ⅰ卷)设等比数列满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________.解析 (1)由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即q ＋q 2＝3q 2－3，解得q ＝－1(舍)或q ＝32，将q ＝32代入S 2＝3a 2＋2中得a 1＋32a 1＝3×32a 1＋2，解得a 1＝－1，故选B.(2)设等比数列{a n }的公比为q ，∴⎩⎨⎧a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5⇒⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q ＋a 1q 3＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12， ∴a 1a 2…a n ＝a n 1q1＋2＋…＋(n －1)＝2－n 22＋7n2.记t ＝－n 22＋7n 2＝－12(n 2－7n )，结合n ∈N *，可知n ＝3或4时，t 有最大值6.又y ＝2t 为增函数.所以a 1a 2…a n 的最大值为64. 答案 (1)B (2)64考点二 等比数列的性质及应用【例2】 (1)(必修5P68BT1(1))等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( ) A .12B .10C .8D .2＋log 35(2)(2018·云南11校调研)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝( ) A .40B .60C .32D .50解析 (1)由等比数列的性质知a 5a 6＝a 4a 7，又a 5a 6＋a 4a 7＝18，所以a 5a 6＝9，则原式＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝10.(2)由数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4，8，S 9－S 6，S 12－S 9是首项为4，公比为2的等比数列，则S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝16，S 12－S 9＝a 10＋a 11＋a 12＝32，因此S 12＝4＋8＋16＋32＝60. 答案 (1)B (2)B规律方法 1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度. 2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.【训练2】 (1)(2018·西安八校联考)已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11＝－33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tan b 3＋b 91－a 4·a 8的值是( )A .－ 3B .－1C .－33D. 3(2)(一题多解)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝________.解析 (1)依题意得，a 36＝(－3)3，a 6＝－3，3b 6＝7π，b 6＝7π3，b 3＋b 91－a 4·a 8＝2b 61－a 26＝－7π3，故tan b 3＋b 91－a 4·a 8＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫－7π3＝－tan π3＝－ 3.(2)法一 由等比数列的性质S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，由已知得S 6＝3S 3， ∴S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3，即S 9－S 6＝4S 3，S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73.法二 因为{a n }为等比数列，由S 6S 3＝3，设S 6＝3a ，S 3＝a ，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等比数列，即a ，2a ，S 9－S 6成等比数列，所以S 9－S 6＝4a ，解得S 9＝7a ，所以S 9S 6＝7a3a＝73.答案 (1)A (2)73考点三 等比数列的判定与证明【例3】 (2016·全国Ⅲ卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.(1)证明 由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n ，由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1. (2)解 由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫λλ－1n.由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132. 解得λ＝－1.规律方法 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.【训练3】 (2017·安徽“江南十校”联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4.(1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列； (2)求数列{S n }的前n 项和T n . (1)证明 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)， 所以S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)， 即S n ＝2S n －1－n ＋4(n ≥2)，所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2](n ≥2)，又由题意知a 1－2a 1＝－3，所以a 1＝3，则S 1－1＋2＝4， 所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2等比数列. (2)解 由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1，所以S n ＝2n ＋1＋n －2，于是T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n ＝4（1－2n ）1－2＋n （n ＋1）2－2n ＝2n ＋3＋n 2－3n －82.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.已知{a n }，{b n }都是等比数列，那么( ) A .{a n ＋b n }，{a n ·b n }都一定是等比数列B .{a n ＋b n }一定是等比数列，但{a n ·b n }不一定是等比数列C .{a n ＋b n }不一定是等比数列，但{a n ·b n }一定是等比数列D .{a n ＋b n }，{a n ·b n }都不一定是等比数列 解析 两个等比数列的积仍是一个等比数列. 答案 C2.(2018·太原模拟)在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( ) A .2B .4C. 2D .2 2解析 在等比数列{a n }中，a 2a 4＝a 23＝1，又a 2＋a 4＝52，数列{a n }为递减数列，所以a 2＝2，a 4＝12，所以q 2＝a 4a 2＝14，所以q ＝12，a 1＝a 2q ＝4.答案 B3.(2017·全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A .1盏B .3盏C .5盏D .9盏解析 设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ，则依题意S 7＝381，公比q ＝2.∴a 1（1－27）1－2＝381，解得a 1＝3.答案 B4.设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18B .－18C.578D.558解析 因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且公比不等于－1，在等比数列中，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以有8(S 9－S 6)＝(－1)2，S 9－S 6＝18，即a 7＋a 8＋a 9＝18. 答案 A5.(2018·昆明诊断)在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程x 2＋4x ＋2＝0的两根，则a 5的A .－2B .－ 2C .± 2D. 2解析 根据根与系数之间的关系得a 3＋a 7＝－4， a 3a 7＝2，由a 3＋a 7＝－4<0，a 3a 7>0， 所以a 3<0，a 7<0，即a 5<0， 由a 3a 7＝a 25，得a 5＝－a 3a 7＝－ 2. 答案 B 二、填空题6.(2018·河南百校联盟联考改编)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝40，且S 6＋3a 7＝S 8，则a 2等于________.解析 由S 6＋3a 7＝S 8，得2a 7＝a 8，则公比q 为2，所以a 2＝a 523＝4023＝5. 答案 57.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝1(n ∈N *)，则通项a n ＝________. 解析 ∵a n ＋S n ＝1，①∴a 1＝12，a n －1＋S n －1＝1(n ≥2)，②由①－②，得a n －a n －1＋a n ＝0，即a n a n －1＝12(n ≥2)，∴数列{a n }是首项为12，公比为12的等比数列， 则a n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝12n .答案 12n8.(2018·成都诊断)已知数列{a n }中，a 1＝2，且a 2n ＋1a n ＝4(a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则其前9项的和S 9＝________.解析 由a 2n ＋1a n＝4(a n ＋1－a n )得，a 2n ＋1－4a n ＋1a n ＋4a 2n ＝0，∴(a n ＋1－2a n )2＝0，a n ＋1a n ＝2，∴数列{a n }是首项a 1＝2，公比为2的等比数列，∴S 9＝2（1－29）1－2＝1 022.答案 1 0229.(2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列. 解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设可得 ⎩⎨⎧a 1（1＋q ）＝2，a 1（1＋q ＋q 2）＝－6，解得⎩⎨⎧q ＝－2，a 1＝－2. 故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n .(2)由(1)得S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝－2[1－（－2）n ]1－（－2）＝23[(－2)n －1]，则S n ＋1＝23[(－2)n ＋1－1]，S n ＋2＝23[(－2)n ＋2－1]，所以S n ＋1＋S n ＋2＝23[(－2)n ＋1－1]＋23[(－2)n ＋2－1]＝23[2(－2)n－2]＝43[(－2)n －1]＝2S n ， ∴S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列.10.(2018·惠州调研)已知数列{a n }中，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上，且首项a 1＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值. 解 (1)根据已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2， 即a n ＋1－a n ＝2＝d ，所以数列{a n }是一个等差数列，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1. (2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2.等比数列{b n }中，b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3， 所以q ＝3，b n ＝3n －1.数列{b n }的前n 项和T n ＝1－3n 1－3＝3n －12.T n ≤S n 即3n －12≤n 2，又n ∈N *，所以n ＝1或2.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A .(3n －1)2B.12(9n －1) C .9n －1 D.14(3n －1) 解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1， ∴当n ≥2时，a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1，又n ＝1时，a 1＝2适合上式，∴a n ＝2·3n －1，故数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列.因此a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4（1－9n ）1－9＝12(9n －1). 答案 B12.(2018·东北三省三校联考)各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式为________.解析 由题意知2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n ·b n ＋1，∴a n ＋1＝b n b n ＋1，当n ≥2时，2b n ＝b n －1b n ＋b n b n ＋1，∵b n >0，∴2b n ＝b n －1＋b n ＋1，∴{b n }成等差数列，由a 1＝1，a 2＝3，得b 1＝2，b 2＝92，∴b 1＝2，b 2＝322，∴公差d ＝22，∴b n ＝n ＋122，∴b n ＝（n ＋1）22， ∴a n ＝b n －1b n ＝n （n ＋1）2. 答案 a n ＝n （n ＋1）213.(2017·合肥模拟)设{a n }是公比为q 的等比数列.(1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列.(1)解 设{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ，∴S n ＝a 1（1－q n）1－q ，∴S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1. (2)证明 假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)， a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1. ∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾. 故数列{a n ＋1}不是等比数列.。
高考理科数学第一轮复习测试题6
(时间：40分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共40分)1．如图所示，AB 是⊙O 的直径，MN 与⊙O 切于点C ，AC ＝12BC ，则sin ∠MCA ＝________.解析 由弦切角定理得， ∠MCA ＝∠ABC ，sin ∠ABC ＝AC AB ＝AC AC 2＋BC 2＝AC 5AC ＝55.答案552．如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，CD 与AB 相交于点E ，∠ACD ＝60°，∠ADC ＝45°，则∠AEC ＝________.解析 如图，连接BC ，由圆周角定理推论2知，∠ACB ＝90°. ∵∠ACD ＝60°，∴∠DCB ＝30°， 的度数＝60°.∴∠ADC ＝45°，∴ 的度数＝90°. ∴∠AEC ＝12( )的度数＝75°.答案 75°3．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点．AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ，∠DAB ＝80°，则∠ACO ＝________.解析 ∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ，又∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD . 由此得，∠ACO ＝∠CAD ，∵OC ＝OA ，∴∠CAO ＝∠ACO ，∴∠CAD ＝∠CAO ，故AC 平分∠DAB .∴∠CAO ＝40°， 又∵∠ACO ＝∠CAO ，∴∠ACO ＝40°. 答案 40°4．如右图所示，已知⊙O 的直径与弦AC 的夹角为30°，过C 点的切线PC 与AB 的延长线交于P ，PC ＝5， 则⊙O 的半径为________．解析 如图，连接OC ，则有∠COP ＝60°， OC ⊥PC ，可求OC ＝53 3.答案533 5．(2011·深圳模拟)如图，P 是等边三角形ABC 外接圆 上任一点，AP 交BC 于点D ，AP ＝4，AD ＝2，则AC ＝________.解析 如图，连接PC 、PB ，在等边三角形A BC 中，有∠ABC ＝∠ACB ＝60°， 又∠ABC ＝∠APC ，所以∠ACB ＝∠APC . 而∠P AC 是公共角，所以△APC 和△ACD 相似， 所以AC AP ＝AD AC，即AC 2＝AP ·AD ＝4×2＝8， 即AC ＝2 2. 答案 2 26．(2011·东莞调研)如图，P A 、PB 是圆O 的切线 ，切点分别为A 、B ，点C 在圆O 上，如果∠P ＝50°，那么∠ACB ＝________.解析 连接OA 、OB ，因为P A 、PB 是圆O 的切线，所以∠OBP ＝∠OAP ＝90°，又因为∠P ＝50°，所以∠AOB ＝130°，所以∠ACB ＝65°. 答案 65°7．(2011·汕头调研)如图，已知P A 是圆O (O 为圆心)的切线，切点为A ，PO 交圆O 于B ，C 两点，AC ＝3，∠P AB ＝30°，则圆O 的面积为________．解析 连接OA ，由∠P AB ＝30°，得∠OCA ＝∠OAC ＝30°， 由余弦定理得，AC 2＝OA 2＋OC 2－2OA ·OC cos 120°＝3OA 2， OA ＝13AC ＝1，因此圆O 的面积等于π×12＝π. 另解 由∠P AB ＝30°，∴∠ACB ＝30°，在Rt △ABC 中， AC ＝3，∴CB ＝2，∴OC ＝1，因此圆O 的面积等于π×12＝π. 答案 π8．(2011·韶关调研)如图所示，CA 和CB 都是⊙O 的切线，切点分别是A 、B ，如果⊙O 的半径为23，且AB ＝6，则∠ACB ＝________.解析 如图，连接OC 交于AB 于点D .∵CA 、CB 分别是 ⊙O 的切线，∴CA ＝CB ，OC 平分∠ACB ，故OC ⊥AB . 由AB ＝6，可知BD ＝3，在Rt △OBD 中，OB ＝23，故sin ∠BOD ＝BD OB ＝323＝32，所以∠BOD ＝60°，又因为B 是切点，故OB ⊥BC ，所以∠OCB ＝30°.故∠ACB ＝60°. 答案 60°二、解答题(共20分)9．(10分)如右图所示，AB 为圆O 的直径，BC ，CD 为圆O 的切线，B 、D 为切点． (1)求证：AD ∥OC ；(2)若圆O 的半径为1，求AD ·OC 的值． (1)证明 如图所示，连接OD ，BD ， ∵BC ，CD 为⊙O 的切线，∴BD ⊥OC ， ∴又AB 为圆O 的直径，∴AD ⊥DB ， ∴AD ∥OC .(2)解 因为AO ＝OD ，则∠1＝∠A ＝∠3，Rt △BAD ∽Rt △COD ，∴AD OD ＝ABOC ，即AD ·OC＝AB ·OD ＝2.10．(10分)如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E .(1)证明：△ABE ∽△ADC ；(2)若△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ，求∠BAC 的大小．(1)证明 由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD . 因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角， 所以∠AEB ＝∠ACD . 故△ABE ∽△ADC .(2)解 因为△ABE ∽△ADC ， 所以AB AD ＝AE AC ，即AB ·AC ＝AD ·AE .又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC ，且S ＝12AD ·AE .故AB ·AC sin ∠BAC ＝AD ·AE .则sin ∠BAC ＝1，又∠BAC 为三角形内角， 所以∠BAC ＝90°.。
高考理科数学一轮复习最值范围证明问题专题练习题
课时作业56 最值、范围、证明问题第一次作业 基础巩固练1．已知动圆C 与圆C 1：(x －2)2＋y 2＝1相外切，又与直线l ：x ＝－1相切． (1)求动圆圆心轨迹E 的方程；(2)若动点M 为直线l 上任一点，过点P (1,0)的直线与曲线E 相交于A ，B 两点，求证：k MA ＋k MB ＝2k MP .解：(1)由题知，动圆C 的圆心到点(2,0)的距离等于到直线x ＝－2的距离，所以由抛物线的定义可知，动圆C 的圆心轨迹是以(2,0)为焦点，x ＝－2为准线的抛物线，所以动圆圆心轨迹E 的方程为y 2＝8x .(2)证明：由题知当直线AB 的斜率为0时，不符合题意，所以可设直线AB 的方程为x＝my ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝8x ，消去x ，得y 2－8my －8＝0，Δ＝64m 2＋32>0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (－1，t )，则y 1＋y 2＝8m ，y 1·y 2＝－8，x 1＋x 2＝8m 2＋2，x 1·x 2＝1， 而2k MP ＝2·t－1－1＝－t ， k MA ＋k MB ＝y 1－t x 1＋1＋y 2－tx 2＋1＝y 1x 2＋y 2x 1＋y 1＋y 2－t x 1＋x 2－2tx 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝18y 1y 2y 1＋y 2＋y 1＋y 2－t x 1＋x 2－2tx 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝－t8m 2＋48m 2＋4＝－t ， 所以k MA ＋k MB ＝2k MP .2. 如图，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，右焦点为F (1,0)，过点A 且斜率为1的直线交椭圆E 于另一点B ，交y 轴于点C ，AB →＝6BC →.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点F 作直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，连接MO (O 为坐标原点)并延长交椭圆E 于点Q ，求△MNQ 面积的最大值及取最大值时直线l 的方程．解：(1)由题知A (－a,0)，C (0，a )，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 7，6a 7， 代入椭圆E 的方程得149＋36a 249b 2＝1，结合a 2－b 2＝1，得a 2＝4，b 2＝3，故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题知，直线l 不与x 轴重合，故可设l ：x ＝my ＋1，代入x 24＋y 23＝1得(3m 2＋4)y2＋6my －9＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，连接ON ，由Q 与M 关于原点对称知，S △MNQ ＝2S △MON ＝|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝12m 2＋13m 2＋4 ＝123m 2＋1＋1m 2＋1，∵m 2＋1≥1， ∴3m 2＋1＋1m 2＋1≥4，∴S △MNQ ≤3，当且仅当m ＝0时，等号成立，∴△MNQ 面积的最大值为3，此时直线l 的方程为x ＝1.3．(2019·河南洛阳统考)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，过焦点F 的直线交C 于A ，B两点，D 是抛物线的准线l 与y 轴的交点．(1)若AB ∥l ，且△ABD 的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M 为AB 的中点，过M 作l 的垂线，垂足为N .证明：直线AN 与抛物线相切． 解：(1)∵AB ∥l ，∴|FD |＝p ，|AB |＝2p . ∴S △ABD ＝p 2＝1.∴p ＝1，故抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)证明：显然直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋p2，A ⎝⎛⎭⎪⎫x 1，x 212p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 222p . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py消去y 整理得，x 2－2kpx －p 2＝0.∴x 1＋x 2＝2kp ，x 1x 2＝－p 2. ∴M ⎝⎛⎭⎪⎫kp ，k 2p ＋p 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫kp ，－p 2.∴k AN ＝x 212p ＋p 2x 1－kp ＝x 212p ＋p 2x 1－x 1＋x 22＝x 21＋p 22p x 1－x 22＝x 21－x 1x 22p x 1－x 22＝x 1p.又x 2＝2py ，∴y ′＝x p.∴抛物线x 2＝2py 在点A 处的切线斜率k ＝x 1p. ∴直线AN 与抛物线相切．4．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为F 2(1,0)，且该椭圆过定点M ⎝⎛⎭⎪⎫1，22.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点Q (2,0)，过点F 2作直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，且F 2A →＝λF 2B →，λ∈[－2，－1]，以QA ，QB 为邻边作平行四边形QACB ，求对角线QC 长度的最小值．解：(1)由题易知c ＝1，1a 2＋12b 2＝1，又a 2＝b 2＋c 2，解得b 2＝1，a 2＝2， 故椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线l ：x ＝ky ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋1，x 22＋y 2＝1得(k 2＋2)y 2＋2ky －1＝0，Δ＝4k 2＋4(k 2＋2)＝8(k 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则可得y 1＋y 2＝－2k k 2＋2，y 1y 2＝－1k 2＋2.QC →＝QA →＋QB →＝(x 1＋x 2－4，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2＋1k 2＋2，－2k k 2＋2， ∴|QC →|2＝|QA →＋QB →|2＝16－28k 2＋2＋8k 2＋22，由此可知，|QC →|2的大小与k 2的取值有关． 由F 2A →＝λF 2B →可得y 1＝λy 2，λ＝y 1y 2，1λ＝y 2y 1(y 1y 2≠0)．从而λ＋1λ＝y 1y 2＋y 2y 1＝y 1＋y 22－2y 1y 2y 1y 2＝－6k 2－4k 2＋2，由λ∈[－2，－1]得⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋1λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，－2，从而－52≤－6k 2－4k 2＋2≤－2，解得0≤k 2≤27. 令t ＝1k 2＋2，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，12，∴|QC →|2＝8t 2－28t ＋16＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫t －742－172，∴当t ＝12时，|QC |min ＝2.5．(2019·合肥模拟)已知中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆C ，其上一点P 到两个焦点F 1，F 2的距离之和为4，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋1与曲线C 交于A ，B 两点，求△OAB 面积的取值范围．解：(1)设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，e ＝c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，c ＝3，b ＝1， 故椭圆C 的方程为y 24＋x 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0， 故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4，设△OAB 的面积为S ， 由x 1x 2＝－3k 2＋4<0， 知S ＝12×1×|x 1－x 2|＝12x 1＋x 22－4x 1x 2＝2k 2＋3k 2＋42，令k 2＋3＝t ，知t ≥3，∴S ＝21t ＋1t＋2. 对函数y ＝t ＋1t(t ≥3)，知y ′＝1－1t 2＝t 2－1t2>0，∴y ＝t ＋1t 在t ∈[3，＋∞)上单调递增，∴t ＋1t ≥103，∴0<1t ＋1t＋2≤316，∴0<S ≤32. 故△OAB 面积的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32. 第二次作业 高考·模拟解答题体验1．(2019·四川成都七中模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且离心率为22，过左焦点F 1的直线l 与C 交于A ，B 两点，△ABF 2的周长为4 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)当△ABF 2的面积最大时，求l 的方程． 解：(1)由椭圆的定义知4a ＝42，a ＝2， 由e ＝c a知c ＝ea ＝1，b 2＝a 2－c 2＝1. 所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，|F 1F 2|＝2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my －1， 联立x ＝my －1与x 22＋y 2＝1，得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0，|y 1－y 2|＝22m 2＋1m 2＋2，S △ABF 2＝22m 2＋1m 2＋22＝221m 2＋1＋1m 2＋1＋2，当m 2＋1＝1，m ＝0时，S △ABF 2最大为2，l ：x ＝－1.2．(2019·广东佛山模拟)已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆M 的离心率为12，椭圆上异于长轴顶点的任意点A 与左、右两焦点F 1，F 2构成的三角形中面积的最大值为 3.(1)求椭圆M 的标准方程；(2)若A 与C 是椭圆M 上关于x 轴对称的两点，连接CF 2与椭圆的另一交点为B ，求证：直线AB 与x 轴交于定点P ，并求PA →·F 2C →的取值范围．解：(1)由题意知c a ＝12，12·2c ·b ＝3，a 2＝b 2＋c 2，解得c ＝1，a ＝2，b ＝ 3.所以椭圆M 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 1，－y 1)，直线AB ：y ＝kx ＋m . 将y ＝kx ＋m ，代入x 24＋y 23＝1得，(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. 则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋3，x 1x 2＝4m 2－124k 2＋3.因为B ，C ，F 2共线，所以kBF 2＝kCF 2， 即kx 2＋m x 2－1＝－kx 1＋m x 1－1， 整理得2kx 1x 2＋(m －k )(x 1＋x 2)－2m ＝0， 所以2k 4m 2－124k 2＋3－(m －k )8km 4k 2＋3－2m ＝0，解得m ＝－4k .所以直线AB ：y ＝k (x －4)，与x 轴交于定点P (4,0)．因为y 21＝3－34x 21，所以PA →·F 2C →＝(x 1－4，y 1)·(x 1－1，－y 1)＝x 21－5x 1＋4－y 21＝74x 21－5x 1＋1＝74⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1072－187.因为－2<x 1<2，所以PA →·F 2C →的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－187，18. 3．(2019·广东华南师大附中模拟)已知点C 是圆F ：(x －1)2＋y 2＝16上任意一点，点F ′与圆心F 关于原点对称．线段CF ′的中垂线与CF 交于P 点．(1)求动点P 的轨迹方程E ；(2)设点A (4,0)，若直线PQ ⊥x 轴且与曲线E 交于另一点Q ，直线AQ 与直线PF 交于点B ，证明：点B 恒在曲线E 上，并求△PAB 面积的最大值．解：(1)由题意得，F 点坐标为(1,0)，因为P 为CF ′中垂线上的点，所以|PF ′|＝|PC |.又|PC |＋|PF |＝4，所以|PF ′|＋|PF |＝4>|FF ′|＝2，由椭圆的定义知，2a ＝4，c ＝1，所以动点P 的轨迹方程E 为x 24＋y 23＝1.(2)设P 点坐标为(m ，n )(n ≠0)，则Q 点的坐标为(m ，－n )，且3m 2＋4n 2＝12， 所以直线QA ：y ＝n4－m (x －4)，即nx －(4－m )y －4n ＝0，直线PF ：y ＝nm －1(x －1)，即nx －(m －1)y －n ＝0.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧nx －4－m y －4n ＝0，nx －m －1y －n ＝0，解得x B ＝5m －82m －5，y B ＝3n2m －5，则x 2B 4＋y 2B3＝5m －8242m －52＋3n 232m －52＝25m 2－80m ＋64＋12n 242m －52＝16m 2－80m ＋10042m －52＝1，所以点B 恒在椭圆E 上．设直线PF ：x ＝ty ＋1，P (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，3x 2＋4y 2＝12，消去x 整理得(3t 2＋4)y 2＋6ty －9＝0，所以y 1＋y 2＝－6t 3t 2＋4，y 1y 2＝－93t 2＋4， 所以|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝－6t 3t 2＋42＋363t 2＋4＝12t 2＋13t 2＋4， 从而S △PAB ＝12|FA ||y 1－y 2|＝18t 2＋13t 2＋4 ＝18t 2＋13t 2＋1＋1＝183t 2＋1＋1t 2＋1.令μ＝t 2＋1(μ≥1)，则函数g (μ)＝3μ＋1μ在[1，＋∞)上单调递增，故g (μ)min＝g (1)＝4，所以S △PAB ≤184＝92，即当t ＝0时，△PAB 的面积取得最大值，且最大值为92.4．(2019·河北邢台模拟)已知椭圆W ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距与椭圆Ω：x 24＋y 2＝1的短轴长相等，且W 与Ω的长轴长相等，这两个椭圆在第一象限的交点为A ，直线l 与直线OA (O 为坐标原点)垂直，且l 与W 交于M ，N 两点．(1)求W 的方程；(2)求△MON 的面积的最大值．解：(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，a 2－b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3，故W 的方程为y 24＋x 23＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 24＋x 23＝1，x24＋y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3613，y 2＝413，∴y 2x 2＝19. 又A 在第一象限，∴k OA ＝y x ＝13.故可设l 的方程为y ＝－3x ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ＋m ，y 24＋x23＝1，得31x 2－18mx ＋3m 2－12＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝18m 31，x 1x 2＝3m 2－1231.∴|MN |＝1＋－32×x 1＋x 22－4x 1x 2＝10×4331－m231.又O 到直线l 的距离为d ＝|m |10，则△MON 的面积S ＝12d ·|MN |＝23|m |31－m 231，∴S ＝23m 231－m 231≤331(m 2＋31－m 2)＝3，当且仅当m 2＝31－m 2，即m 2＝312时，满足Δ>0，故△MON 的面积的最大值为 3.5．(2018·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B ，已知椭圆的离心率为53，点A 的坐标为(b,0)，且|FB |·|AB |＝6 2.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k >0)与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若|AQ ||PQ |＝524sin ∠AOQ (O 为原点)，求k 的值．解：(1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .由已知可得，|FB |＝a ，|AB |＝2b ，由|FB |·|AB |＝62，可得ab ＝6，从而a ＝3，b ＝2. 所以，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点Q 的坐标为(x 2，y 2)． 由已知有y 1>y 2>0， 故|PQ |sin ∠AOQ ＝y 1－y 2. 又因为|AQ |＝y 2sin ∠OAB ，而∠OAB ＝π4，故|AQ |＝2y 2.由|AQ ||PQ |＝524sin ∠AOQ ，可得5y 1＝9y 2. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 29＋y24＝1，消去x ，可得y 1＝6k 9k 2＋4.易知直线AB 的方程为x ＋y －2＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x ＋y －2＝0，消去x ，可得y 2＝2kk ＋1.由5y 1＝9y 2，可得5(k ＋1)＝39k 2＋4，两边平方，整理得56k 2－50k ＋11＝0，解得k ＝12，或k ＝1128. 所以，k 的值为12或1128.。
高考数学一轮复习全套课时作业6-2等差数列
题组层级快练 6.2等差数列一、单项选择题1．(2021·河北辛集中学月考)已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3＝6，S 3＝12，则公差d 等于()A ．1B.53C ．2D ．32．(2017·课标全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为()A ．1B ．2C ．4D ．83．(2021·南昌市一模)已知{a n }为等差数列，若a 2＝2a 3＋1，a 4＝2a 3＋7，则a 5＝()A ．1B ．2C ．3D ．64．(2020·西安四校联考)在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 7＝3，在该数列中的任何两项之间插入一个数，使之仍为等差数列，则这个新等差数列的公差为()A ．－25B ．－45C ．－15D ．－355．(2020·安徽合肥二模)a 1＝1，a 4＝4，则a 10＝()A ．－45B ．－54C.413D.1346．(2021·合肥市一检)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，a 5＋a 7－a 62＝0，则S 11的值为()A ．11B ．12C ．20D ．227．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝()A.310B.13C.18D.198．(2021·福建高三质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 7＋a 8＋a 13＝2π21，则tanS 14＝()A ．－33B.33C ．－3D.39．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝9，S 99－S 55＝－4，则S n 取最大值时的n 为()A ．4B ．5C ．6D ．4或510．(2021·沈阳二中模拟)《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”这首歌诀的大意是：“一位老公公有九个儿子，九个儿子从大到小排列，相邻两人的年龄差三岁，并且儿子们的年龄之和为207岁，请问大儿子多少岁，其他几个儿子年龄如何推算．”在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为a n ，则a 3＝()A ．17B ．29C ．23D ．3511．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为()A ．13B ．12C ．11D ．10二、多项选择题12．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，下列选项正确的有()A ．a 10＝0B ．S 10最小C ．S 7＝S 12D ．S 20＝0三、填空题与解答题13．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝3n －12n ＋3，则a 10b 10＝________．14．(2020·沈阳市模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 3＝a 5，a m ＝2019，则m ＝________．15．设数列{a n }的各项都为正数，其前n 项和为S n ，已知对任意n ∈N *，S n 是a n 2和a n 的等差中项．(1)证明：数列{a n }为等差数列；(2)若b n ＝－n ＋5，求{a n ·b n }的最大项的值并求出取最大值时n 的值．16．已知A n ＝{x|2n <x<2n ＋1且x ＝7m ＋1，m ，n ∈N }，则A 6中各元素的和为________．9个数构成一个首项为71，公差为7的等差数列．∴71＋78＋…＋127＝71×9＋9×82×7＝891.17．(2019·课标全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5.(1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．6.2等差数列参考答案1．答案C解析由已知得S 3＝3a 2＝12，即a 2＝4，∴d ＝a 3－a 2＝6－4＝2.2．答案C解析设等差数列{a n }的公差为d ，1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，1＋6×52d ＝48，1＝－2，＝4，故选C.3．答案B解析设数列{a n }的公差为d ，将题中两式相减可得2d ＝6，所以d ＝3，所以a 2＝2(a 2＋3)＋1，解得a 2＝－7，所以a 5＝a 2＋(5－2)d ＝－7＋9＝2.故选B.4．答案C解析∵{a n }的公差d ＝3－57－2＝－25，∴新等差数列的公差d×12＝－15.故选C.5．答案A解析由题意，得1a 1＝1，1a 4＝14，d ＝1a 4－1a 13＝－14，由此可得1a n＝1＋(n －1)＝－n 4＋54，因此1a 10＝－54，所以a 10＝－45.故选A.6．答案D解析方法一：设等差数列的公差为d(d ＞0)，则由(a 1＋4d)＋(a 1＋6d)－(a 1＋5d)2＝0，得(a 1＋5d)(a 1＋5d －2)＝0，所以a 1＋5d ＝0或a 1＋5d ＝2，又a 1＞0，所以a 1＋5d ＞0，则a 1＋5d ＝2，则S 11＝11a 1＋11×102d ＝11(a 1＋5d)＝11×2＝22.故选D.方法二：因为{a n }为正项等差数列，所以由等差数列的性质，并结合a 5＋a 7－a 62＝0，得2a 6－a 62＝0，a 6＝2，则S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11×2a 62＝11a 6＝22.故选D.7．答案A解析令S 3＝1，则S 6＝3，∴S 9＝1＋2＋3＝6.S 12＝S 9＋4＝10，∴S 6S 12＝310.故选A.8．答案D 9．答案B解析由{a n }为等差数列，设公差为d ，有S 99－S55＝a 5－a 3＝2d ＝－4，即d ＝－2，又a 1＝9，所以a n ＝－2n＋11，由a n ＝－2n ＋11<0，得n>112，所以S n 取最大值时n 为5.故选B.10．答案B解析依题意{a n }为等差数列，且d ＝－3，S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5＝207，∴a 5＝23，∴a 3＝a 5－2d ＝29.故选B.11．答案A解析因为a 1＋a 2＋a 3＝34，a n －2＋a n －1＋a n ＝146，所以a 1＋a 2＋a 3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝34＋146＝180.又因为a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2，所以3(a 1＋a n )＝180，从而a 1＋a n ＝60.所以S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n·602＝390，即n ＝13.12．答案AC解析根据题意，数列{a n }是等差数列，若a 1＋5a 3＝S 8，即a 1＋5a 1＋10d ＝8a 1＋28d ，变形可得a 1＝－9d ，又由a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －10)d ，则有a 10＝0，故A 一定正确；不能确定a 1和d 的符号，不能确定S 10最小，故B 不正确；又由S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝－9nd ＋n （n －1）d 2＝d2×(n 2－19n)，则有S 7＝S 12，故C 一定正确；则S 20＝20a 1＋20×192d ＝－180d ＋190d ＝10d ，∵d ≠0，∴S 20≠0，则D 不正确．13．答案5641解析在等差数列中，S 19＝19a 10，T 19＝19b 10，因此a 10b 10＝S 19T 19＝3×19－12×19＋3＝5641.14．答案1010解析设公差为d ，由题知S 3＝a 5，即3a 1＋3d ＝a 1＋4d ，得d ＝2a 1，又a 1＝1，故d ＝2.于是a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，再由2m －1＝2019，得m ＝1010.15．答案(1)证明见解析(2)当n＝2或n＝3时，{a n·b n}的最大值为6解析(1)证明：由已知可得2S n＝a n2＋a n，且a n>0，当n＝1时，2a1＝a12＋a1，解得a1＝1.当n≥2时，有2S n－1＝a n－12＋a n－1，所以2a n＝2S n－2S n－1＝a n2－a n－12＋a n－a n－1，所以a n2－a n－12＝a n＋a n－1，即(a n＋a n－1)(a n－a n－1)＝a n＋a n－1，因为a n＋a n－1>0，所以a n－a n－1＝1(n≥2)．故数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列．(2)由(1)可知a n＝n，设c n＝a n·b n，则c n＝n(－n＋5)＝－n2＋5n＋254，因为n∈N*，所以n＝2或3，c2＝c3＝6，因此当n＝2或n＝3时，{a n·b n}取最大项，且最大项的值为6. 16．答案891解析∵A6＝{x|26<x<27且x＝7m＋1，m∈N}，∴A6的元素有9个：71，78，85，92，99，106，113，120，127，9个数构成一个首项为71，公差为7的等差数列．∴71＋78＋…＋127＝71×9＋9×82×7＝891.17．答案(1)a n＝10－2n(2){n|1≤n≤10，n∈N}解析(1)设{a n}的公差为d.由S9＝－a5得a1＋4d＝0.由a3＝4得a1＋2d＝4.于是a1＝8，d＝－2.因此{a n}的通项公式为a n＝10－2n.(2)由(1)得a1＝－4d，故a n＝(n－5)d，S n＝n（n－9）d2.由a1>0知d<0，故S n≥a n等价于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10.所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．。
高三理科数学一轮复习讲义,复习补习资料：第六章数列6.4数列求和(解析版)
§6.4 数列求和考纲展示►1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.考点1 公式法求和1.公式法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和． (1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －2d .(2)等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q＝a 1－q n1－q ，q ≠1.2．倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法：如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．(2)并项求和法：在一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 形如a n ＝(－1)nf (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.非等差、等比数列求和的常用方法：倒序相加法；并项求和法．(1)[教材习题改编]一个球从100 m 高处自由落下，着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，经过的路程是( )A ．100＋200×(1－2－9) B ．100＋100(1－2－9) C ．200(1－2－9)D ．100(1－2－9)答案：A(2)[教材习题改编]已知函数f (n )＝n 2cos n π，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝________.答案：－100解析：因为f (n )＝n 2cos n π＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2，n 为奇数，n 2，n 为偶数，所以f (n )＝(－1)n ·n 2，由a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝(－1)n ·n 2＋(－1)n ＋1·(n ＋1)2＝(－1)n [n 2－(n ＋1)2]＝(－1)n ＋1·(2n ＋1)，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)＝50×(－2)＝－100.数列求和的两个易错点：公比为参数；项数的奇偶数．(1)设数列{a n }的通项公式是a n ＝x n，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.答案：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，x ＝1，x －xn1－x，x ≠1解析：当x ＝1时，S n ＝n ；当x ≠1时，S n ＝x－xn1－x.(2)设数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.答案：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n 为偶数，－1，n 为奇数解析：若n 为偶数，则S n ＝0；若n 为奇数，则S n ＝－1.[典题1] (1)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．[答案] 27[解析] 由a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，可知数列{a n }是首项为1，公差为12的等差数列，故S 9＝9a 1＋－2×12＝9＋18＝27.(2)若等比数列{a n }满足a 1＋a 4＝10，a 2＋a 5＝20，则{a n }的前n 项和S n ＝________. [答案]109(2n－1) [解析] 由题意a 2＋a 5＝q (a 1＋a 4)，得20＝q ×10，故q ＝2，代入a 1＋a 4＝a 1＋a 1q 3＝10，得9a 1＝10，即a 1＝109.故S n ＝109－2n1－2＝109(2n－1)． [点石成金] 数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n 项和的数列来求之．考点2 分组转化法求和分组求和法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(1)数列112，314，518，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －＋12n 的前n 项和S n ＝________________. 答案：n 2＋1－12n(2)已知数列{a n }中，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n 为正奇数，2n －1，n 为正偶数， 设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 9＝________.答案：377[典题2] 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2·3n －1＋(－1)n ·(ln 2－ln 3)＋(－1)nn ln 3，求其前n 项和S n .[解] 由通项公式知，S n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn ]ln 3，所以当n 为偶数时，S n ＝2×1－3n1－3＋n 2ln 3＝3n＋n 2ln 3－1；当n 为奇数时，S n ＝2×1－3n 1－3－(ln 2－ln 3)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12－n ln 3＝3n－n －12ln 3－ln 2－1.综上知，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋n2ln 3－1，n 为偶数，3n－n －12ln 3－ln 2－1，n 为奇数.[点石成金] 分组转化法求和的常见类型(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组转化法求{a n }的前n 项和． (2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比或等差数列，可采用分组转化法求和．[提醒] 某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论.在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1 与a 4 的等比中项． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a nn ＋2，记T n ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)nb n ，求T n .解：(1)由题意知，(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )， 即(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋6)， 解得a 1＝2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)由题意知，b n ＝a nn ＋2＝n (n ＋1)．所以T n ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)nn ×(n ＋1)． 因为b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)， 可得当n 为偶数时，T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋…＋(－b n －1＋b n )＝4＋8＋12＋ (2)＝n2＋2n 2＝n n ＋2；当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋(－b n )＝n －n ＋2－n (n ＋1)＝－n ＋22.所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧－n ＋22，n 为奇数，nn ＋2，n 为偶数.考点3 错位相减法求和错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的．(1)[教材习题改编]数列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋…＋n的前n 项和为________． 答案：2n n ＋1解析：因为11＋2＋…＋n ＝2n n ＋＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 所以数列的前n 项和为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. (2)[教材习题改编]数列22，422，623， (2)2n ，…的前n 项的和为________．答案：4－n ＋22n －1解析：设该数列的前n 项和为S n ， 由题可知，S n ＝22＋422＋623＋ (2)2n ，①12S n ＝222＋423＋624＋ (2)2n ＋1，② ①－②，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12S n ＝22＋222＋223＋224＋…＋22n －2n 2n ＋1＝2－12n －1－2n 2n ＋1， ∴S n ＝4－n ＋22n －1.[典题3] [2018·山东模拟]设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n . [解] (1)因为2S n ＝3n＋3， 所以2a 1＝3＋3，故a 1＝3， 当n ≥2时，2S n －1＝3n －1＋3，此时2a n ＝2S n －2S n －1＝3n－3n －1＝2×3n －1，即a n ＝3n －1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，3n －1，n ≥2.(2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝13，当n ≥2时，b n ＝31－nlog 33n －1＝(n －1)·31－n.所以T 1＝b 1＝13；当n ≥2时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝13＋[1×3－1＋2×3－2＋…＋(n －1)×31－n]， 所以3T n ＝1＋[1×30＋2×3－1＋…＋(n －1)×32－n]，两式相减，得2T n ＝23＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n )－(n －1)×31－n＝23＋1－31－n1－3－1－(n －1)×31－n ＝136－6n ＋32×3n ， 所以T n ＝1312－6n ＋34×3n ，经检验，n ＝1时也适合． 综上知，T n ＝1312－6n ＋34×3n .[点石成金] 用错位相减法求和的三个注意事项(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式．(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．[2018·天津模拟]已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1＝b 1＝1，b 2＋b 3＝2a 3，a 5－3b 2＝7.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和．解：(1)设数列{a n }的公比为q ，数列{b n }的公差为d ，由题意知q >0.由已知，有⎩⎪⎨⎪⎧2q 2－3d ＝2，q 4－3d ＝10，消去d ，整理得q 4－2q 2－8＝0，解得q 2＝4. 又因为q >0，所以q ＝2，所以d ＝2. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *；数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1，n ∈N *. (2)由(1)有c n ＝(2n －1)·2n －1，设{c n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －3)×2n －2＋(2n －1)×2n －1，2S n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n，上述两式相减，得－S n ＝1＋22＋23＋…＋2n －(2n －1)×2n ＝2n ＋1－3－(2n －1)·2n ＝－(2n －3)·2n－3，所以S n ＝(2n －3)·2n＋3，n ∈N *.考点4 裂项相消法求和裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． (2)常见的裂项技巧： ①1n n ＋＝1n －1n ＋1. ②1nn ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2. ③1n －n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.④1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .[考情聚焦] 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．裂项相消法求和是历年高考的重点，命题角度凸显灵活多变，在解题中要善于利用裂项相消的基本思想，变换数列a n 的通项公式，达到求解目的．主要有以下几个命题角度： 角度一 形如a n ＝1nn ＋k型 [典题4] [2019·重庆模拟]设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 3＝a 7，a 8－2a 3＝3. (1)求a n ；(2)设b n ＝1S n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n >34－1n ＋1(n ∈N *)．(1)[解] 设数列{a n }的公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝a 1＋6d ，a 1＋7d －a 1＋2d ＝3，解得a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋1.(2)[证明] 由(1)，得S n ＝na 1＋n n －2d ＝n (n ＋2)，∴b n ＝1nn ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2. ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n －1＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2，∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2>12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋1＝34－1n ＋1. 故T n >34－1n ＋1.角度二 形如a n ＝1n ＋k ＋n型[典题5] [2019·江南十校联考]已知函数f (x )＝x a的图象过点(4,2)，令a n ＝1f n ＋＋f n，n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 014＝( )A. 2 013－1B. 2 014－1C. 2 015－1D. 2 015＋1[答案] C[解析] 由f (4)＝2可得4a＝2，解得a ＝12，则f (x )＝x 12.∴a n ＝1f n ＋＋f n＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2 014＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 014＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 014－ 2 013)＋( 2 015－ 2 014) ＝ 2 015－1. 角度三形如a n ＝n ＋1n 2n ＋2型[典题6] 正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令b n ＝n ＋1n ＋2a 2n ，数列{b n }的前n 项和为T n .证明：对于任意的n ∈N *，都有T n <564. (1)[解] 由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得 [S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0.由于{a n }是正项数列，所以S n >0，S n ＝n 2＋n . 于是a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n . 综上，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)[证明] 由于a n ＝2n ， 故b n ＝n ＋1n ＋2a 2n ＝n ＋14n 2n ＋2＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n 2－1n ＋2.T n ＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－132＋122－142＋132－152＋…＋1n －2－1n ＋2＋1n2－1n ＋2＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋122－1n ＋2－1n ＋2<116×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＝564. [点石成金] 利用裂项相消法求和的注意事项(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项． (2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{a n }是等差数列，则1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1，1a n a n ＋2＝12d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋2.[方法技巧] 非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想：(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成．(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．[易错防范] 1.在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如a n，an ＋1的式子应进行合并．2．在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项，特别是隔项相消．真题演练集训1．[2018·北京模拟]已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________.答案：6解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝6，2a 1＋6d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝6，d ＝－2，所以S 6＝6a 1＋12×6×5d ＝36＋15×(－2)＝6.2．[2018·四川模拟]设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________.答案：－1n解析：∵ a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1，∴ S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1.∵ S n ≠0，∴ 1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n ＝－1. 又1S 1＝－1，∴ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列． ∴ 1S n＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ， ∴ S n ＝－1n. 3．[2018·山东模拟]已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式； (2)令c n ＝a n ＋n ＋1b n ＋n ，求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5，当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，所以a n ＝6n ＋5.设数列{b n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，得⎩⎪⎨⎪⎧ 11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ，可解得b 1＝4，d ＝3.所以b n ＝3n ＋1.(2)由(1)知，c n ＝n ＋n ＋1n ＋n ＝3(n ＋1)·2n ＋1.又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，所以T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]， 2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]， 两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2]＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋－2n 1－2－n ＋n ＋2＝－3n ·2n ＋2， 所以T n ＝3n ·2n ＋2. 4．[2018·重庆模拟]S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n ＞0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和． 解：(1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，①可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.②②－①，得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )． 由a n ＞0，得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1.(2)由a n ＝2n ＋1可知， b n ＝1a n a n ＋1＝1n ＋n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝n n ＋.课外拓展阅读数列求和[典例] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn (其中k ∈N *)，且S n 的最大值为8. (1)确定常数k ，并求a n ；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n 的前n 项和T n .[审题视角][解析] (1)当n ＝k ，k ∈N *时，S n ＝－12n 2＋kn 取得最大值， 即8＝S k ＝－12k 2＋k 2＝12k 2，故k 2＝16，k ＝4. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－12＋4＝72， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝92－n . 当n ＝1时，上式也成立，故a n ＝92－n . (2)因为9－2a n 2n ＝n 2n －1， 所以T n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n 2n －1，① 所以2T n ＝2＋2＋32＋…＋n －12n －3＋n 2n －2，② ②－①，得2T n －T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n 2n －1 ＝4－12n －2－n 2n －1＝4－n ＋22n －1. 故T n ＝4－n ＋22n －1. 方法点睛1．根据数列前n 项和的结构特征和最值确定k 和S n ，求出a n 后再根据⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n 的结构特征确定利用错位相减法求T n .在审题时，要审题目中数式的结构特征判定解题方案．2．利用S n 求a n 时不要忽视当n ＝1的情况；错位相减时不要漏项或算错项数．3．可以通过当n ＝1,2时的特殊情况对结果进行验证．。
系统集成2017高考数学理一轮总复习教案：第六章 数 列 Word版含解析
第六章数列高考导航考纲要求备考策略1.数列的概念和简单表示法(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；(2)了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.2.等差数列、等比数列(1)理解等差数列、等比数列的概念；(2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式；(3)能在具体问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用等差数列、等比数列的有关知识解决相应的问题；(4)了解等差数列与一次函数的关系、等比数列与指数函数的关系.数列是历年高考的重点，高考中一般以选择题或填空题的形式考查等差数列、等比数列的概念以及基本性质，解答题主要考查数列的综合应用，可能考到的题型有：等差数列和等比数列的综合题，与数列相关的归纳、猜想、证明问题，同时注重在数列与函数、数列与不等式、数列与几何、数列与向量等知识网络的交汇点命制试题.复习时采用以下应对策略：1.立足课本，突出基础，重视概念的辨析以及等差、等比数列的“知三求二”，因此在复习中要重视常规的训练，注意强调细节.2.熟练掌握解决数列题的基本方法与技巧，特别是教材中等差、等比数列的公式的推导方法与运算技巧在解题中的应用.3.注意数列与函数、方程、不等式等知识的交汇，这类题常常作为高考压轴题出现.4.强化训练合情推理在数列中的应用.5.重视以数列为模型的，取材于当前我国和世界的政治、经济、科技相关的应用题.知识网络6.1 数列的概念与简单表示法考点诠释重点：求数列的通项公式.难点：由递推关系确定数列的通项，由通项公式认识数列的性质(如单调性、周期性).典例精析题型一 由数列的前几项归纳数列的通项【例1】根据下面各数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式. (1)－1,7，－13,19，…； (2)23，415，635，863，1099，…； (3)0.8,0.88,0.888，…； (4)7,77,777,7 777，…； (5)1,3,3,5,5,7,7,9,9，….【思路分析】认真观察项与项数之间的关系，寻找满足条件的共同规律，若各项形式不一致，可把它们变为统一的形式.【解析】(1)各项的符号可通过(－1)n 表示，各项的绝对值的排列规律为后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5).(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积.经过组合，知所求数列的一个通项公式为a n ＝2n(2n －1)(2n ＋1).(3)数列变为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，所以a n ＝89⎝⎛⎭⎫1－110n . (4)将数列变形为79(10－1)，79(102－1)，79(103－1)，…，79(10n －1)，故a n ＝79(10n －1).(5)将已知数列变为1＋0,2＋1,3＋0,4＋1,5＋0,6＋1,7＋0,8＋1,9＋0，…， 故数列的通项公式为a n ＝n ＋1＋(－1)n2.【方法归纳】1.根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，可使用添项、还原、分割等办法，转化成一些常见数列的通项公式来求；2.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代入检验，对于符号变化，可用(－1)n 或(－1)n ＋1来调整.【举一反三】1.如下表定义函数f (x )：x 1 2 3 4 5 f (x )54321对于数列{a n }，a 1＝4，a n ＝f (a n －1)，n ＝2,3,4，…，则a 2 016的值是( B ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】a 1＝4，a 2＝1，a 3＝5，a 4＝2，a 5＝4，…，可得a n ＋4＝a n ，所以a 2 016＝a 4＝2，故选B. 题型二 应用a n ＝求数列通项【例2】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，分别求其通项公式： (1)S n ＝3n －2；(2)S n ＝18(a n ＋2)2 (a n ＞0).【思路分析】(1)直接利用关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)，S n －S n －1 (n ≥2，n ∈N *)求解；(2)中含S n 与a n 项，先利用上式转化为递推关系式再求通项.【解析】(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝31－2＝1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －2)－(3n －1－2) ＝2×3n －1，又a 1＝1不适合上式， 故a n ＝(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝18(a 1＋2)2，解得a 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝18(a n ＋2)2－18(a n －1＋2)2， 所以(a n －2)2－(a n －1＋2)2＝0， 所以(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－4)＝0， 又a n ＞0，所以a n －a n －1＝4， 可知{a n }为等差数列，公差为4，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)·4＝4n －2， a 1＝2也适合上式，故a n ＝4n －2.【方法归纳】数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是：a n ＝此公式经常使用，应引起重视.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示.【举一反三】2.数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝13S n (n ＝1,2,3，…)，则a n ＝.【解析】因为a n ＋1＝13S n ，所以a n ＝13S n －1(n ≥2)，所以a n ＋1－a n ＝13(S n －S n －1)＝13a n (n ≥2)，所以a n ＋1＝43a n (n ≥2).又a 1＝1，a 2＝13S 1＝13a 1＝13，所以{a n }是从第2项起，公比为43的等比数列.所以a n ＝题型三 利用递推关系求数列的通项公式【例3】根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式. (1)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2；(2)a 1＝1，a n ＝n －1na n －1(n ≥2，n ∈N *)；(3)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2.【思路分析】(1)构造法；(2)累商法；(3)累加法. 【解析】(1)因为a n ＋1＝3a n ＋2， 所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝3.所以数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3.又a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2×3n －1.所以a n ＝2×3n －1－1. (2)因为a n ＝n －1n a n －1(n ≥2，n ∈N *)，所以a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘得a n ＝a 1×12×23×…×n －1n ＝a 1n ＝1n.当n ＝1时，a 1＝11＝1符合上式.所以a n ＝1n .(3)因为a n ＋1－a n ＝3n ＋2，所以a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n (3n ＋1)2(n ≥2). 当n ＝1时，a 1＝12×(3×1＋1)＝2符合上式，所以a n ＝32n 2＋n2.【方法归纳】已知数列的递推公式，求该数列的通项公式的常用方法 (1)求出该数列的前若干项，归纳、猜想出它的通项公式；(2)对于常见的简单的递推公式，可以采用迭代法或迭加法、累乘法等求其通项公式.【举一反三】3.已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n.(1)求a 2，a 3；(2)求数列{a n }的通项公式.【解析】(1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3；由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1.当n ＞1时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1.于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…… a n －1＝nn －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1， 将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n ＝n (n ＋1)2.当n ＝1时，也满足上式.综上可知，数列{a n }的通项公式a n ＝n (n ＋1)2.体验高考(2015江苏)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为 .【解析】2011.由已知得a 2－a 1＝1＋1，a 3－a 2＝2＋1，a 4－a 3＝3＋1，…，a n －a n －1＝n －1＋1(n ≥2)，则有a n －a 1＝1＋2＋3＋…＋n －1＋(n －1)(n ≥2)，因为a 1＝1，所以a n ＝1＋2＋3＋…＋n (n ≥2)，即a n ＝n 2＋n2(n ≥2)，又当n ＝1时，a 1＝1也适合上式，故a n ＝n 2＋n2(n ∈N *)，所以1a n ＝2n 2＋n ＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，从而1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 10＝2×⎝⎛⎭⎫1－12＋2×⎝⎛⎭⎫12－13＋2×⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋2×⎝⎛⎭⎫110－111＝2×⎝⎛⎭⎫1－111＝2011. 【举一反三】(2015四川)设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值.【解析】(1)由已知S n ＝2a n －a 1， 有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)， 即a n ＝2a n －1(n ≥2). 从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1. 又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列， 即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2.所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 故a n ＝2n .(2)由(1)得1a n ＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝＝1－12n .由|T n －1|＜11 000，得⎪⎪⎪⎪1－12n －1＜11 000，即2n ＞1 000.因为29＝512＜1 000＜1 024＝210，所以n ≥10.于是，使|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值为10.6.2 等差数列考点诠释重点：根据等差数列的概念灵活地判定等差数列，规范地证明等差数列；准确地分析a 1，d ，a n ，S n ，n 之间的关系，熟练地“知三求二”；应用前n 项和公式推导方法求部分数列的前n 项和.难点：由递推关系确定的等差数列问题；在具体问题情境中，识别数量间的等差关系，并能建立等差数列模型，解决实际问题.典例精析题型一 等差数列的判定与证明【例1】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝12，a n ＝－2S n S n －1(n ≥2，n ∈N *).(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求S n 和a n .【思路分析】(1)利用定义法证明；(2)先由⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，求出1S n ，进而求出S n ，然后再由a n ＝S n －S n －1，求a n .【解析】(1)证明：因为当n ≥2，n ∈N *时，a n ＝S n －S n －1＝－2S n S n －1，① 所以S n (1＋2S n －1)＝S n －1. 由上式，若S n －1≠0，则S n ≠0. 因为S 1＝a 1≠0，由递推关系知S n ≠0(n ∈N *)，由①式得1S n －1S n －1＝2(n ≥2，n ∈N *).所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，其中首项为1S 1＝1a 1＝2，公差为2.(2)由(1)知1S n ＝1S 1＋2(n －1)＝1a 1＋2(n －1)，所以S n ＝12n.当n ≥2，n ∈N *时，a n ＝S n －S n －1＝－12n (n －1)，当n ＝1时，a 1＝S 1＝12不适合上式，所以【方法归纳】等差数列的判定方法(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数； (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立； (3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q ； (4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .注意：在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断.【举一反三】1.已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n＝1a n －1(n ∈N *). (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由.【解析】(1)证明：因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1，所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1⎝⎛⎭⎫2－1a n －1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1.又b 1＝1a 1－1＝－52， 所以数列{b n }是以－52为首项，以1为公差的等差数列.(2)由(1)知b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7，设f (x )＝1＋22x －7，则f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，72和⎝⎛⎭⎫72，＋∞上为减函数. 故当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3.题型二 等差数列的基本计算 【例2】(1)设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A.31 B.32 C.33 D.34(2)已知数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝1，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫11＋a n 是等差数列，则a 11等于( )A.0B.16C.13D.12【思路分析】利用等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程组求解.【解析】(1)B.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋5×42d ＝30，解得：a 1＝263，d ＝－43，S 8＝8×263＋8×72×⎝⎛⎭⎫－43＝32.故选B.(2)A.11＋a 5－11＋a 3＝12－13＝16.所以公差为112，11＋a 11＝11＋a 5＋(11－5)×112，所以a 11＝0.故选A.【方法归纳】在等差数列{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d 中，有五个量a 1，a n ，n ，d ，S n ，通过解方程(组)知三可求二.a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知量，是常用的方法.方程(组)的数学思想方法在数列部分应用很广泛，要注意灵活运用.【举一反三】2.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1－a 7＋a 13＝6，则S 13等于 78 . 【解析】由a 1－a 7＋a 13＝6，得a 7＝6，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7＝78.题型三 等差数列的性质 【例3】(1)设等差数列的前n 项和为S n ，已知S 6＝36，S n ＝324，最后6项的和为180(n >6)，求数列的项数n 及a 9＋a 10；(2)等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝3n －12n ＋3，求a 8b 8的值.【思路分析】根据等差数列的性质得a 6＋a n －5＝a 5＋a n －4＝…＝a 1＋a n ，由公式S n ＝n (a 1＋a n )2求解.【解析】(1)由题意可知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，① a n ＋a n －1＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216，所以a 1＋a n ＝36. 又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324，所以18n ＝324，所以n ＝18.所以a 1＋a 18＝36，所以a 9＋a 10＝a 1＋a 18＝36. (2)因为S n T n ＝3n －12n ＋3，所以S 15T 15＝3×15－12×15＋3＝4433＝43.因为S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15a 8，T 15＝15(b 1＋b 15)2＝15b 8，所以a 8b 8＝15a 815b 8＝S 15T 15＝43.【方法归纳】解决此类问题一般有两种策略：一是利用性质解决，这需要有敏锐的观察能力和应对能力；二是利用通项公式、前n 项和公式等知识结合方程思想解决.【举一反三】3.(1)在等差数列{a n }中，若3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，求该数列前13项的和；(2)已知数列{a n }是等差数列，且a 1＋a 2＋…＋a 10＝10，a 11＋a 12＋…＋a 20＝20，求a 41＋a 42＋…＋a 50.【解析】(1)因为a 3＋a 5＝2a 4，a 7＋a 10＋a 13＝3a 10， 所以6(a 4＋a 10)＝24，a 4＋a 10＝4， 所以S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 4＋a 10)2＝26.(2)设公差为d ，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝10a 1＋45d ， a 11＋a 12＋…＋a 20＝10a 1＋145d .即⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝10，10a 1＋145d ＝20.解得⎩⎨⎧d ＝110，a 1＝1120.所以a 41＋a 42＋…＋a 50＝10a 1＋445d ＝50. 题型四 等差数列的综合应用【例4】已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72.若b n ＝12a n －30，求数列{b n }的前n 项和的最小值.【思路分析】先求出a n ，再求b n ，然后利用项的性质求解或利用二次函数的最值求解. 【解析】方法一：因为2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2， 所以{a n }是等差数列.设{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由a 3＝10，S 6＝72，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝10，6a 1＋15d ＝72，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝4.所以a n ＝4n －2.则b n ＝12a n －30＝2n －31.解⎩⎪⎨⎪⎧2n －31≤0，2(n ＋1)－31≥0，得292≤n ≤312.因为n ∈N *，所以n ＝15.所以{b n }前15项为负值.所以S 15最小. 可知S 15＝15×(－29＋2×15－31)2＝－225.方法二：同方法一求出b n ＝2n －31.因为S n ＝n (－29＋2n －31)2＝n 2－30n ＝(n －15)2－225，所以当n ＝15时，S n 有最小值，且最小值为－225.【方法归纳】等差数列前n 项和最值问题除了用二次函数求解外，还可用下面的方法讨论：若d ＞0，a 1＜0，S n 有最小值，需⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≤0，a n ＋1≥0；若a 1＞0，d ＜0，S n 有最大值，需⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，n 取正整数.【举一反三】4.在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N *).(1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项；(3)若λa n ＋1a n ＋1≥λ对任意n ≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围.【解析】(1)证明：将3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)整理得1a n －1a n －1＝3(n ≥2，n ∈N *).所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，3为公差的等差数列.(2)由(1)可得1a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a n ＝13n －2.(3)λa n ＋1a n ＋1≥λ对n ≥2的整数恒成立，即λ3n －2＋3n ＋1≥λ对n ≥2的整数恒成立， 整理得λ≤(3n ＋1)(3n －2)3(n －1)，令c n ＝(3n ＋1)(3n －2)3(n －1)，c n ＋1－c n ＝(3n ＋4)(3n ＋1)3n －(3n ＋1)(3n －2)3(n －1)＝(3n ＋1)(3n －4)3n (n －1).因为n ≥2，所以c n ＋1－c n ＞0，即数列{c n }为单调递增数列，所以c 2最小，c 2＝283.所以λ的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，283. 体验高考(2015重庆)在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( )A.－1B.0C.1D.6【解析】B.设数列{a n }的公差为d ，由a 4＝a 2＋2d ，a 2＝4，a 4＝2，得2＝4＋2d ，即d ＝－1，所以a 6＝a 4＋2d ＝0，故选B.【举一反三】(2015浙江)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n .若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( B )A.a 1d ＞0，dS 4＞0B.a 1d ＜0，dS 4＜0C.a 1d ＞0，dS 4＜0D.a 1d ＜0，dS 4＞0【解析】由a 24＝a 3a 8，得(a 1＋2d )(a 1＋7d )＝(a 1＋3d )2，整理得d (5d ＋3a 1)＝0，又d ≠0，所以a 1＝－53d ，则a 1d ＝－53d 2＜0，又因为S 4＝4a 1＋6d ＝－23d ，所以dS 4＝－23d 2＜0，故选B.6.3 等比数列考点诠释重点：会判断、证明数列是否为等比数列；准确熟练地“知三求二”(a 1，q ，a n ，S n ，n )；用求和公式及推导求和公式的方法求相应数列的前n 项和.难点：等比数列与函数、三角函数、向量、几何等知识点的交汇，涉及递推关系的推理及运算能力的综合问题；从等差数列中取部分项构成一个新的等比数列问题.典例精析题型一 等比数列的判定与证明【例1】数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＋S n ＝n ，c n ＝a n －1. 求证：数列{c n }是等比数列，并求出其通项公式.【思路分析】利用a n ＋1＝S n ＋1－S n 的关系及c n ＝a n －1，找出c n ＋1与c n 的关系即可证明. 【证明】因为a 1＝S 1，a n ＋S n ＝n ，①所以a 1＋S 1＝1，得a 1＝12，所以c 1＝a 1－1＝－12，又a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1，②②－①得2a n ＋1－a n ＝1，即2(a n ＋1－1)＝a n －1， 即a n ＋1－1a n －1＝12，即c n ＋1c n ＝12，所以{c n }是以－12为首项，以12为公比的等比数列.其通项公式为c n ＝－2－n .【方法归纳】判断一个数列是等比数列，可证a n ＋1a n＝q (不为零的常数)恒成立，也可证a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2 恒成立；若判定一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法.【举一反三】1.设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明数列{b n }是等比数列；(2)在(1)的条件下证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列，并求a n .【解析】(1)证明：由a 1＝1，及S n ＋1＝4a n ＋2， 有a 1＋a 2＝4a 1＋2，a 2＝3a 1＋2＝5， 所以b 1＝a 2－2a 1＝3. 由S n ＋1＝4a n ＋2，①知当n ≥2时，有S n ＝4a n －1＋2，② ①－②得a n ＋1＝4a n －4a n －1， 所以a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1). 又因为b n ＝a n ＋1－2a n ，所以b n ＝2b n －1. 所以{b n }是首项b 1＝3，公比q ＝2的等比数列. (2)由(1)可得b n ＝a n ＋1－2a n ＝3×2n －1， 所以a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列.所以a n 2n ＝12＋34(n －1)＝34n －14.所以a n ＝(3n －1)×2n －2.题型二 等比数列的基本计算【例2】(1)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10等于( ) A.7 B.5 C.－5 D.－7 (2)已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝ ；(3)设公比为q (q ＞0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝ .【思路分析】等比数列的运算中涉及a 1，q ，S n ，a n ，n 五个量，只要知道其中三个，就能求另外两个.【解析】(1)D.设数列{a n }的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝2，a 5·a 6＝a 4·a 7＝－8，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝4，a 7＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，q 3＝－12，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q 3＝－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，a 10＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 10＝－8，所以a 1＋a 10＝－7.(2)2n .因为2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，所以2a n ＋2a n ·q 2＝5a n ·q ，即2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12(舍去).又因为a 25＝a 10＝a 5·q 5，所以a 5＝q 5＝25＝32. 所以32＝a 1·q 4，解得a 1＝2.所以a n ＝2×2n －1＝2n ，故a n ＝2n . (3)32.由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，作差可得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即2a 4－a 3－3a 2＝0，所以2q 2－q －3＝0，解得q ＝32或q ＝－1(舍去).【方法归纳】等比数列运算的通法与等差数列一样，求等比数列的基本量也常运用方程的思想和方法.从方程的观点看等比数列的通项公式a n ＝a 1·q n －1(a 1q ≠0)及前n 项和公式S n＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n)1－q ，q ≠1，中共有五个变量，已知其中的三个变量，可以通过构造方程或方程组求另外两个变量，在求公比q 时，要注意应用q ≠0验证求得的结果.【举一反三】2.(1)在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝a 3a 5，则a 7等于( B ) A.116 B.18 C.14 D.12(2)已知{a n }是由正数组成的等比数列，S n 表示{a n }的前n 项的和.若a 1＝3，a 2a 4＝144，则S 10的值是( D )A.511B.1 023C.1 533D.3 069【解析】(1)在等比数列{a n }中，a 24＝a 3a 5，又a 4＝a 3a 5，所以a 4＝1，故q ＝12，所以a 7＝18.故选B. (2)因为正项等比数列中，a 2a 4＝144，所以a 3＝12，结合a 1＝3，可得数列{}a n 是以3为首项，2为公比的等比数列，所以S 10＝3(1－210)1－2＝3 069，故选D.题型三 等比数列性质的应用【例3】在等比数列{a n }中，a 1＋a 6＝33，a 3a 4＝32，a n ＞a n ＋1(n ∈N *). (1)求a n ；(2)若T n ＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a n ，求T n .【思路分析】由等比数列的性质知a 3a 4＝a 1a 6＝32，解出a 1，q ，即可求解. 【解析】(1)由等比数列的性质可知a 1a 6＝a 3a 4＝32，又a 1＋a 6＝33，a 1＞a 6，解得a 1＝32，a 6＝1，所以a 6a 1＝132，即q 5＝132，所以q ＝12，所以a n ＝32·⎝⎛⎭⎫12n －1＝26－n . (2)由等比数列的性质可知，{lg a n }是等差数列， 因为lg a n ＝lg 26－n ＝(6－n )lg 2，lg a 1＝5lg 2， 所以T n ＝(lg a 1＋lg a n )n 2＝n (11－n )2lg 2.【方法归纳】历年高考对数列的性质考查较多，主要是利用“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新，要熟练掌握.【举一反三】3.(1)在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝324，a 3＋a 4＝36，求a 5＋a 6的值； (2)在等比数列{a n }中，已知a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值.【解析】(1)由等比数列的性质知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6也成等比数列，则(a 3＋a 4)2＝(a 1＋a 2)(a 5＋a 6).所以a 5＋a 6＝4.(2)因为a 3a 5＝a 24，所以a 3a 4a 5＝a 34＝8，所以a 4＝2，又因为a 2a 6＝a 3a 5＝a 24，所以a 2a 3a 4a 5a 6＝a 54＝32.题型四 等比、等差数列的综合问题【例4】已知等差数列{a n }的前三项和为－3，前三项积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和.【思路分析】(1)设出等差数列的首项a 1和公差d ，并求出，从而求出a n ； (2)根据a n 的符号，去掉绝对值符号，再求和.【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝－3，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7. 故a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列； 当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件.故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3.记数列{|a n |}的前n 项和为S n . 当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4； 当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5；当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7) ＝5＋(n －2)[2＋(3n －7)]2＝32n 2－112n ＋10.当n ＝2时，满足此式，综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n ＞1，n ∈N *.【方法归纳】在解决等差与等比数列的问题时，要立足通法通解，即求出首项和公差或首项和公比，就可求出其他的量，这也体现了方程组的思想.【举一反三】4.设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列.(1)求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＝7，(a 1＋3)＋(a 3＋4)＝6a 2，①②将①代入②，得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q，a 3＝2q ，又S 3＝7，可知2q ＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0.解得q 1＝2，q 2＝12.由题意得q ＞1，所以q ＝2，所以a 1＝1. 故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1.(2)由于b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，由(1)得a 3n ＋1＝23n ， 所以b n ＝ln 23n ＝3n ln 2.又b n ＋1－b n ＝3ln 2， 故数列{b n }为等差数列.所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (b 1＋b n )2＝n (3ln 2＋3n ln 2)2＝3n (n ＋1)2ln 2.故T n ＝3n (n ＋1)2ln 2.体验高考(2015新课标Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7等于( ) A.21 B.42 C.63 D.84 【解析】B.设{a n }的公比为q ，由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21， 得1＋q 2＋q 4＝7，解得q 2＝2(负值舍去).所以a 3＋a 5＋a 7＝a 1q 2＋a 3q 2＋a 5q 2＝(a 1＋a 3＋a 5)q 2＝21×2＝42.【举一反三】(2015湖南)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝ 3n －1 .【解析】设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，依题意得a 2＝a 1·q ＝q ，a 3＝a 1q 2＝q 2，S 1＝a 1＝1，S 2＝1＋q ，S 3＝1＋q ＋q 2. 又3S 1,2S 2，S 3成等差数列，所以4S 2＝3S 1＋S 3，即4(1＋q )＝3＋1＋q ＋q 2，所以q ＝3(q ＝0舍去)，所以a n ＝a 1q n －1＝3n －1.6.4 数列求和考点诠释重点：求给出通项的数列的前n 项和.难点：灵活选择适当方法求各类数列的前n 项和.典例精析题型一 分组并项求和法【例1】已知数列{}a n ，S n 是其前n 项和且满足3a n ＝2S n ＋n (n ∈N *).(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12为等比数列；(2)记{}(－1)n S n 的前n 项和为T n ，求T n 的表达式.【思路分析】(1)根据给出的a n ，S n 的关系式消去S n ，得到只含a n ，a n －1的关系式，从而证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12为等比数列；(2)根据n 为奇数，n 为偶数两种情况对T n 分组求和.【解析】(1)当n ＝1时，3a 1＝2S 1＋1，所以a 1＝1. 当n ≥2时，3a n ＝2S n ＋n ，① 3a n －1＝2S n －1＋(n －1)，②①－②得3a n －3a n －1＝2a n ＋1，即a n ＝3a n －1＋1，所以a n ＋12＝3a n －1＋1＋12，a n ＋12a n －1＋12＝3，又a 1＋12＝32≠0，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是以32为首项，3为公比的等比数列.(2)由(1)得a n ＋12＝32·3n －1，所以a n ＝32·3n －1－12，所以S n ＝34·3n －14(2n ＋3)，所以T n ＝－S 1＋S 2－S 3＋…＋(－1)n S n ＝34[]－3＋32－33＋…＋(－3)n －14[－5＋7－9＋…＋(－1)n (2n ＋3)]，当n 为偶数时，T n ＝34×－3[1－(－3)n]1＋3－14×2×n 2＝916(3n －1)－n4，当n 为奇数时，T n ＝34×－3[1－(－3)n]1＋3－14×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2·n －12－(2n ＋3)＝－916(3n＋1)＋n ＋44. 综上可知，T n＝⎩⎪⎨⎪⎧916(3n－1)－n4，n 为偶数，－916(3n＋1)＋n ＋44，n 为奇数.【方法归纳】若一个数列能分解转化为几个能求和的新数列的和或差，可借助求和公式求得原数列的和.求解时应通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化.【举一反三】1.已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2，a 3＋a 4＋a 5＝64⎝⎛⎭⎫1a 3＋1a 4＋1a 5.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n2，求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】(1)设公比为q ，则a n ＝a 1q n －1，且q ＞0，a 1＞0.由已知有⎩⎨⎧a 1＋a 1q ＝2⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 1q ，a 1q 2＋a 1q 3＋a 1q 4＝64⎝⎛⎭⎫1a 1q 2＋1a 1q 3＋1a 1q 4，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 21q ＝2，a 21q 6＝64.又a 1＞0，故q ＝2，a 1＝1.所以a n ＝2n －1.(2)由(1)知，b n ＝⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n 2＝a 2n ＋1a 2n ＋2＝4n －1＋14n －1＋2.因此T n ＝(1＋4＋…＋4n －1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14＋…＋14n －1＋2n ＝4n－14－1＋1－14n 1－14＋2n ＝13(4n －41－n )＋2n ＋1.题型二 错位相减法求和【例2】已知数列{}a n ，当n ≥2时满足1－S n ＝a n －1－a n . (1)求该数列的通项公式；(2)令b n ＝(n ＋1)a n ，求数列{}b n 的前n 项和T n .【思路分析】根据已知条件消去S n 求出a n ，而b n 是由一个等差数列{n ＋1}和一个等比数列{a n }的积构成，利用错位相减法求和.【解析】(1)因为当n ≥2时，1－S n ＝a n －1－a n ，所以1－S n ＋1＝a n －a n ＋1，作差得a n ＋1＝a n －1－2a n ＋a n ＋1，所以a n ＝12a n －1.又1－S 2＝a 1－a 2，即1－a 1－a 2＝a 1－a 2，所以a 1＝12，因为a n ≠0，所以a n a n －1＝12，所以{}a n 是首项为12，公比为12的等比数列，所以a n ＝12·⎝⎛⎭⎫12n －1＝12n .(2)由(1)得b n ＝n ＋12n ，所以T n ＝221＋322＋423＋…＋n2n －1＋n ＋12n ，所以12T n ＝222＋323＋424＋…＋n 2n ＋n ＋12n ＋1，以上两式作差得12T n ＝1＋122＋123＋124＋…＋12n －n ＋12n ＋1＝1＋14－12n ·121－12－n ＋12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1，所以T n ＝3－n ＋32n .【方法归纳】1.若数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法；2.当等比数列公比为未知数时，应该对公比是否为1进行讨论；3.当将S n 与qS n 相减合并同类项时，注意错位及未合并项的符号.【举一反三】2.设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项；(2)设b n ＝na n，求数列{b n }的前n 项和S n .【解析】(1)因为a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，①所以当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，② ①－②得3n －1a n ＝13，a n ＝13n .在①中，令n ＝1，得a 1＝13，适合a n ＝13n ，所以a n ＝13n .(2)因为b n ＝na n，所以b n ＝n 3n .所以S n ＝3＋2×32＋3×33＋…＋n 3n ，③ 所以3S n ＝32＋2×33＋3×34＋…＋n 3n ＋1.④ ④－③得2S n ＝n 3n ＋1－(3＋32＋33＋…＋3n )， 即2S n ＝n 3n ＋1－3(1－3n )1－3， 所以S n ＝(2n －1)3n ＋14＋34.题型三 裂项相消法求和【例3】已知等差数列{}a n 单调递增，且 P (a 2,14)，Q (a 4,14)都在函数f (x )＝x ＋45x的图象上.(1)求数列{}a n 的通项公式和前n 项和S n ；(2)设b n ＝(－1)n a nn (n ＋1)，求数列{}b n 的前n 项和T n .【思路分析】(1)根据已知条件利用方程法求出a n 和S n ；(2)把(1)中的a n 代入b n ，然后裂项相消求和.【解析】(1)由题意可知，a 2，a 4是方程x ＋45x ＝14的两个实根，即x 2－14x ＋45＝0的两个不相等的实根.所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a 4＝14，a 2·a 4＝45，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝5，a 4＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，a 4＝5.又因为数列{}a n 单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，a 4＝9.所以该数列的公差d ＝a 4－a 22＝2，故其通项公式为a n ＝a 2＋(n －2)d ＝5＋(n －2)×2＝2n ＋1.前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (3＋2n ＋1)2＝n (n ＋2).(2)由(1)知，b n ＝(－1)n (2n ＋1)n (n ＋1)＝(－1)n [n ＋(n ＋1)]n (n ＋1)＝(－1)n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1. 所以b n ＋b n ＋1＝(－1)n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＝(－1)n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，①当n 为偶数时，T n ＝(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋…＋(b n －1＋b n )＝(－1)1⎝⎛⎭⎫1－13＋(－1)3⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋(－1)n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝－1＋1n ＋1.②当n 为奇数时，T n ＝(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋…＋(b n －2＋b n －1)＋b n .由①知，T n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1(n －1)＋1＋(－1)n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1＝－1＋1n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1＝－1－1n ＋1. 综上所述，T n ＝或T n ＝－1＋(－1)n 1n ＋1.【方法归纳】裂项相消法求和的思路(1)裂项原则：前面裂n 项，后面都裂n 项，直到发现被消去项的规律为止；(2)消项后规律：前边剩几项，后边就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项. 【举一反三】3.已知各项均不相等的等差数列{}a n 的前5项和S 5＝20，且a 1，a 3，a 7成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和，若存在n ∈N *，使得T n －λa n ＋1≥0成立.求实数λ的取值范围.【解析】(1)设{}a n 的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×42d ＝20，(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝4，2d 2＝a 1d ，因为d ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，a 1＝2，故a n ＝n ＋1(n ∈N *) . (2)因为1a n a n ＋1＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2，所以T n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n2(n ＋2)，因为存在n ∈N *，使得T n －λa n ＋1≥0成立，所以存在n ∈N *，使得n2(n ＋2)－λ(n ＋2)≥0成立，即λ≤n2(n ＋2)2有解，所以λ≤⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n 2(n ＋2)2max ， 而n 2(n ＋2)2＝12⎝⎛⎭⎫n ＋4n ＋4≤116，当且仅当n ＝2时取等号，所以λ≤116.所以实数λ的取值范围为{λ|λ≤116}.体验高考(2015新课标Ⅰ)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n ＞0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和.【解析】(1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3. 可得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n ).由a n ＞0，可得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)，a 1＝3. 所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列， 通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝n3(2n ＋3). 【举一反三】(2015山东)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n ＝3n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n . 【解析】(1)因为2S n ＝3n ＋3，所以2a 1＝3＋3，故a 1＝3， 当n ＞1时，2S n －1＝3n －1＋3，此时2a n ＝2S n －2S n －1＝3n －3n －1＝2×3n －1，即a n ＝3n －1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，3n －1，n ＞1.(2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝13，当n ＞1时，b n ＝31－n log 33n －1＝(n －1)·31－n .所以T 1＝b 1＝13；当n ＞1时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝13＋[]1×3－1＋2×3－2＋…＋(n －1)×31－n ， 所以3T n ＝1＋[1×30＋2×3－1＋…＋(n －1)×32－n ]， 两式相减，得2T n ＝23＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n )－(n －1)×31－n＝23＋1－31－n1－3－1－(n －1)×31－n ＝136－6n ＋32×3n， 所以T n ＝1312－6n ＋34×3n.经检验，n ＝1时也适合.综上可得T n ＝1312－6n ＋34×3n.6.5 数列的综合应用考点诠释重点：应用数列知识分析、解决生产生活中的实际问题.难点：从实际问题中抽象出数列模型，用数列的通项、前n 项和等知识分析、表述生活中的量及量间的关系，数列与函数、不等式、解析几何的综合题等.典例精析题型一 函数与数列的综合问题【例1】已知f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n )(n ∈N *)是首项为4，公差为2的等差数列.(1)若a 是常数，求证：{a n }为等比数列；(2)若b n ＝a n f (a n )，{b n }的前n 项和是S n ，当a ＝2时，求S n .【思路分析】先求出等差数列{f (a n )}的通项公式，再利用函数关系式求得a n 的通项，进而证明求解.【解析】(1)证明：由题意知f (a n )＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2， 即log a a n ＝2n ＋2，得a n ＝a 2n ＋2， 所以a n a n －1＝a 2n ＋2a 2n ＝a 2(n ≥2)为定值，所以{a n }为等比数列.(2)b n ＝a n f (a n )＝a 2n ＋2log a a 2n ＋2＝(2n ＋2)a 2n ＋2， 当a ＝2时，b n ＝(2n ＋2)·(2)2n ＋2＝(n ＋1)·2n ＋2， S n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋(n ＋1)·2n ＋2， 2S n ＝2·24＋3·25＋…＋n ·2n ＋2＋(n ＋1)·2n ＋3， 两式相减得－S n ＝2·23＋24＋25＋…＋2n ＋2－(n ＋1)·2n ＋3 ＝16＋24(1－2n －1)1－2－(n ＋1)·2n ＋3，所以S n ＝n ·2n ＋3.【方法归纳】本例是数列与函数综合的基本题型之一，特征是以函数为载体构建数列的递推关系，通过由函数的解析式获知数列的通项公式，从而使问题得到求解.【举一反三】1.设函数f (x )＝x2＋sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x n }.(1)求数列{x n }的通项公式；(2)设{x n }的前n 项和为S n ，求sin S n .【解析】(1)令f ′(x )＝12＋cos x ＝0，即cos x ＝－12，解得x ＝2k π±23π(k ∈Z ).由x n 是f (x )的第n 个正极小值点知，x n ＝2n π－23π(n ∈N *).(2)由(1)可知，S n ＝2π(1＋2＋…＋n )－23n π＝n (n ＋1)π－2n π3，所以sin S n ＝sin ⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)π－2n π3. 因为n (n ＋1)表示两个连续正整数的乘积，n (n ＋1)一定为偶数， 所以sin S n ＝－sin 2n π3.当n ＝3m －2(m ∈N *)时，sin S n ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2m π－43π＝－32； 当n ＝3m －1(m ∈N *)时，sin S n ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2m π－23π＝32； 当n ＝3m (m ∈N *)时，sin S n ＝－sin 2m π＝0.综上所述，sin S n＝⎩⎪⎨⎪⎧－32，n ＝3m －2(m ∈N *)，32，n ＝3m －1(m ∈N *)，0，n ＝3m (m ∈N *).题型二 数列模型实际应用问题【例2】某企业去年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降，若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年(今年为第一年)的利润为500⎝⎛⎭⎫1＋12n 万元(n 为正整数). (1)设从今年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元(需要扣除技术改造资金)，求A n ，B n 的表达式.(2)依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？【思路分析】先根据题意写出A n ，B n 的表达式，再利用不等式及函数的单调性求解. 【解析】(1)依题意知，A n 是以480为首项，－20为公差的等差数列的前n 项和， 所以A n ＝480n ＋n (n －1)2×(－20)＝490n －10n 2，B n ＝500⎝⎛⎭⎫1＋12＋500⎝⎛⎭⎫1＋122＋…＋500⎝⎛⎭⎫1＋12n －600 ＝500n ＋500⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n －600 ＝500n ＋500×－600＝500n －5002n －100(n ∈N *).(2)依题意得，B n ＞A n ，即500n －5002n －100＞490n －10n 2，可化简得502n ＜n 2＋n －10.设f(n)＝502n，g(n)＝n2＋n－10，又因为n∈N*，f(n)是减函数，g(n)是增函数，又f(3)＝508＞g(3)＝2，f(4)＝5016＜g(4)＝10，所以n≥4，n∈N*，所以至少经过4年进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.【方法归纳】解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题，通过反复读题，列出有关信息，转化为数列的有关问题，这也是数学实际应用的具体体现.【举一反三】2.已知甲、乙两个车间的月产值在2014年元月份时相同，甲以后每个月比前一个月增加相同的产值，乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同.到2014年8月份发现两个车间的月产值又相同.比较甲、乙两个车间2014年4月份的月产值大小，则有( C )A.甲的产值小于乙的产值B.甲的产值等于乙的产值C.甲的产值大于乙的产值D.不能确定【解析】设元月份甲、乙两车间的产值为a,8月份分别为a n，b n.甲每月增产值为d(d＞0)，乙增加产值的百分比为q(q＞0)，则有n个月后甲车间的产值a n＝a＋(n－1)d，乙车间的产值b n＝a(1＋q)n，若将其视为关于n的函数，则可得如图所示的图象，所以4月份时甲的产值大于乙的产值.故选C.题型三数列与不等式的综合应用【例3】设数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n＝a n＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差数列.(1)求a1的值；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1a1＋1a2＋…＋1a n＜32.【思路分析】(1)根据a1，a2＋5，a3成等差数列求a1；(2)构造等比数列求a n；(3)将a n 代入左边，先放缩再求和.【解析】(1)当n＝1时，2a1＝a2－4＋1＝a2－3，①当n＝2时，2(a1＋a2)＝a3－8＋1＝a3－7，②又a1，a2＋5，a3成等差数列，所以a1＋a3＝2(a2＋5)，③由①②③解得a1＝1.(2)由题设条件可知n≥2时，2S n＝a n＋1－2n＋1＋1，④2S n－1＝a n－2n＋1.⑤④－⑤得2a n＝a n＋1－a n－2n＋1＋2n，即a n＋1＝3a n＋2n，整理得a n＋1＋2n＋1＝3(a n＋2n)，则{a n＋2n}是以3为首项，3为公比的等比数列.所以a n＋2n＝(a1＋2)·3n－1＝3n，即a n＝3n－2n(n＞1).又a1＝1满足上式，故a n＝3n－2n.(3)证明：因为1a n ＝13n －2n ＝13n ·≤13n ·11－23＝3·13n ， 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤3⎝⎛⎭⎫13＋132＋…＋13n ＝3×13⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13＝32⎝⎛⎭⎫1－13n ＜32. 【方法归纳】数列与不等式相结合问题的处理方法解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法，穿根法等.总之这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了.【举一反三】3.已知正数数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2n ＝S n ＋S n －1(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(1－a n )2－a (1－a n )，若b n ＋1＞b n 对任意n ∈N *恒成立，求实数a 的取值范围.【解析】(1)因为a 2n ＝S n ＋S n －1(n ≥2)， 所以a 2n －1＝S n －1＋S n －2(n ≥3)，两式相减得a 2n －a 2n －1＝a n ＋a n －1，又a n ＞0，所以a n －a n －1＝1(n ≥3).又a 22＝S 2＋S 1，且a 1＝1，得a 22－a 2－2＝0，由a 2＞0，得a 2＝2，所以a n －a n －1＝1(n ≥2). 所以a n ＝n (n ∈N *).(2)b n ＝(1－n )2－a (1－n )＝n 2＋(a －2)n ＋1－a ， 则b n ＋1－b n ＝2n ＋1＋a －2＞0，所以a ＞1－2n ，对任意n ∈N *恒成立，所以a ＞－1. 故实数a 的取值范围是(－1，＋∞).体验高考(2015湖北)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)当d ＞1时，记C n ＝a nb n，求数列{C n }的前n 项和T n .【解析】(1)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，或(2)由d ＞1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，。
2017高考数学一轮复习第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形第5讲两角和与差的正弦、余弦与正切公式习题
2017高考数学一轮复习 第三章 三角函数、三角恒等变换、解三角形第5讲 两角和与差的正弦、余弦与正切公式习题A 组 基础巩固一、选择题1．(2015²河南洛南联考)已知f (x )＝sin x －cos x ，则f (π12)的值是导学号 25400838( )A ．－62 B.12 C ．－22D ．22[答案] C[解析] 因为f (x )＝sin x －cos x ＝2sin(x －π4)，所以f (π12)＝2sin(π12－π4)＝2sin(－π6)＝－22.2.sin47°－sin17°cos30°cos17°＝导学号 25400839( )A ．－32B.－12C.12D ．32[答案] C[解析] sin47°＝sin(30°＋17°)＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°，∴原式＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.3．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan2α＝导学号 25400840( ) A.18 B.－18C.47 D ．－47[答案] D[解析] tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] ＝tan α＋β ＋tan α－β 1－tan α＋β ²tan α－β ＝3＋51－3³5＝－47.4．若cos 2α－cos 2β＝a ，则sin(α＋β)sin(α－β)等于导学号 25400841( ) A ．－a2B.a2 C ．－a D ．a[答案] C[解析] sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β) ＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β＝(1－cos 2α)cos 2β－cos 2α(1－cos 2β) ＝cos 2β－cos 2α＝－a .5．已知过点(0,1)的直线l ：x tan α－y －3tan β＝0的斜率为2，则tan(α＋β)＝导学号 25400842( )A ．－73B.73C.57 D ．1[答案] D[解析] 由题意知tan α＝2，tan β＝－13.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131－2³ －13＝1.6．(2015²成都一诊)若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈[π4，π]，β∈[π，3π2]，则α＋β的值是导学号 25400843( ) A.7π4 B.9π4C.5π4或7π4D ．5π4或9π4[答案] A[解析] 因为α∈[π4，π]，故2α∈[π2，2π]，又sin2α＝55，故2α∈[π2，π]，α∈[π4，π2]，∴cos2α＝－255，β∈[π，3π2]，故β－α∈[π2，5π4]，于是cos(β－α)＝－31010，∴cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－255³(－31010)－55³1010＝22，且α＋β∈[5π4，2π]，故α＋β＝7π4.二、填空题7.sin 250°1＋sin10°＝________.导学号 25400844 [答案] 12[解析] sin 250°1＋sin10°＝1－cos100°2 1＋sin10°＝1－cos 90°＋10° 2 1＋sin10° ＝1＋sin10°2 1＋sin10° ＝12.8．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.则sin(α－β)＝________，cos β＝________.导学号 25400845[答案] －1010 95010 [解析] ∵α，β∈(0，π2)，从而－π2＜α－β＜π2.又∵tan(α－β)＝－13＜0，∴－π2＜α－β＜0.∴sin(α－β)＝－1010，cos(α－β)＝31010. ∵α为锐角，sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45³31010＋35³(－1010)＝91050. 9．已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是________.导学号 25400846[答案] －45[解析] ∵cos(α－π6)＋sin α＝453，∴32cos α＋32sin α＝453， 3(12cos α＋32sin α)＝453，3sin(π6＋α)＝453， ∴sin(π6＋α)＝45，∴sin(α＋7π6)＝－sin(π6＋α)＝－45.10．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________.导学号 25400847[答案] 1[解析] 根据已知条件：cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β， cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0， 即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0. 又α、β为锐角，则sin β＋cos β＞0， ∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1. 三、解答题11．(2015²山东腾州二中月考)已知α，β都是锐角，sin α＝45，cos(α＋β)＝513.导学号 25400848 (1)求tan2α的值； (2)求sin β的值． [答案] (1)－247 (2)1665[解析] (1)∵α∈(0，π2)，sin α＝45，∴cos α＝1－sin 2α＝35.∴tan α＝sin αcos α＝43，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－247. (2)∵α，β∈(0，π2)，∴α＋β∈(0，π)．又∵cos(α＋β)＝513，∴sin(α＋β)＝1213，∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝1213³35－513³45＝1665. 12．(2015²广东广州执信中学月考)已知函数f (x )＝tan(3x ＋π4).导学号 25400849(1)求f (π9)的值；(2)设α∈(π，3π2)，若f (α3＋π4)＝2，求cos(α－π4)的值．[答案] (1)2－ 3 (2)－31010[解析] (1)f (π9)＝tan(π3＋π4)＝tan π3＋tanπ41－tan π3tanπ4＝3＋11－3＝－2－ 3.(2)因为f (α3＋π4)＝tan(α＋3π4＋π4)＝tan(α＋π)＝tan α＝2.所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α.①因为sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①②解得cos 2α＝15.因为α∈(π，3π2)，所以cos α＝－55，sin α＝－255.所以cos(α－π4)＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝－55³22＋(－255)³22＝－31010.B 组 能力提升1．在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则cos A cos B ＝导学号 25400850( )A.14B.34 C.12 D ．－14[答案] B[解析] tan A ＋tan B ＝sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B cos A cos B ＝sin A ＋B cos A cos B ＝sin60°cos A cos B＝32cos A cos B ＝233，∴cos A cos B ＝34.2．如图所示，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC ，ED ，则sin ∠CED ＝导学号25400851( )A.31010 B.1010 C.510D ．515[答案] B[解析] 因为四边形ABCD 是正方形，且AE ＝AD ＝1，所以∠AED ＝π4.在Rt △EBC 中，EB ＝2，BC ＝1， 所以sin ∠BEC ＝55，cos ∠BEC ＝255. sin ∠CED ＝sin(π4－∠BEC )＝22cos ∠BEC －22sin ∠BEC ＝22(255－55)＝1010. 3．(2015²重庆)若tan α＝2tan π5，则cos α－3π10sin α－π5＝导学号 25400852( )A ．1 B.2 C ．3 D ．4[答案] C[解析] cos α－3π10 sin α－π5 ＝sin α－3π10＋π2sin α－π5＝sin α＋π5 sin α－π5 ＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin αcos π5－cos αsinπ5＝sin αcos αcos π5＋sinπ5sin αcos αcos π5－sin π5＝2²sinπ5cos π5cos π5＋sinπ52²sinπ5cosπ5cos π5－sinπ5＝3sinπ5sinπ5＝3，故选C.4．(2015²广东南澳中学月考)已知方程x 2＋4x ＋3＝0的两个根分别为tan(α－β)，tan β.导学号 25400853(1)求tan α的值； (2)求3cos α＋sin αcos α－sin α的值．[答案] (1)2 (2)－5[解析] (1)⎩⎪⎨⎪⎧tan α－β ＋tan β＝－4，tan α－β ²tan β＝3，∴tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β ＋tan β1－tan α－β ²tan β＝－41－3＝2.(2)3cos α＋sin αcos α－sin α＝3＋tan α1－tan α＝3＋21－2＝－5.5．(2015²上海虹口区上学期期末)已知A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)，其中α，β为锐角，且|AB |＝105.导学号 25400854 (1)求cos(α－β)的值；(2)若tan α2＝12，求cos α及cos β的值．[答案] (1)45 (2)35；2425[解析] (1)由|AB |＝105， 得 cos α－cos β 2＋ sin α－sin β 2＝105， 得2－2(cos α²cos β＋sin α²sin β)＝25，得cos(α－β)＝45.(2)∵tan α2＝12，∴cos α＝1－tan 2α21＋tan 2α2＝1－141＋14＝35，∴sin α＝45，sin(α－β)＝±35.当sin(α－β)＝35时，cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos α²cos(α－β)＋sin α²sin(α－β)＝2425.当sin(α－β)＝－35时，cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos α²cos(α－β)＋sin α²sin(α－β)＝0.∵β为锐角，∴cos β＝2425.。
四川省高三数学理一轮复习专题突破训练：统计与概率(含答案解析)
四川省 2017 届高三数学理一轮复习专题打破训练统计与概率一、选择、填空题1、（ 2016 年四川省高考）同时投掷两枚质地均匀的硬币，当起码有一枚硬币正面向上时，就说此次试验成功，则在 2 次试验中成功次数X 的均值是.2、（成都市 2016 届高三第二次诊疗）某校高三(1) 班在一次单元测试中，每位同学的考试分数都在区间[100，128] 内，将该班所有同学的考试分数分为七组：[100，104），[104，108），[108,112), [112,116), [116,120), [120,124),[124 ， 128] ．绘制出频次散布直方图以下图，已知分数低于112 分的有 18 人，则分数不低于120分的人数为(A)10(B)12(C)20(D)403、（成都市都江堰2016 届高三 11 月调研）设会合A{1,2} ，B {1,2,3} ，分别从会合A和B 中随机取一个数 a 和b，确立平面上的一个点P(a, b) ，记“点 P(a, b) 落在直线x y n 上”为事件C n (2 n 5,n N ) ，若事件 C n的概率最大，则最大值为；4 、（成都市都江堰2016 届高三11 月调研）已知随机变量X 听从正态散布N (3,1) ，且P(2 X 4) 0.6826 ，则 P( X 4)（）A ． 0.1588B． 0.1587C． 0.1586D． 0.15855、（绵阳中学 2017 届高三上学期入学考试）把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件 A ，“第二次出现正面”为事件 B ，则P B | A（）1111 A．B．C．D．24686、（内江市 2016 届高三第四次（ 3 月）模拟）以下图的茎叶图表示甲、乙两人在5 次综合测评中的成绩，此中一个数字被污损，则甲的均匀成绩超出乙的均匀成绩的概率为（C ）27 4A ．B ．C ．5105D ．9107、（成都市双流中学 2016 届高三 5 月月考） 某单位为了认识用电量 y 度与气温 x C 之间的关系，随机统计了某4 天的用电量与当日气温，并制作了比较表气温（ C ）1813 10 1用电量（度）24343864由表中数据得回归直线方程? ? ? 2bx ?中 b，展望当气温为4 C 时，用电量的度数y a是 ．8、（成都市双流中学 2017 届高三 9 月月考）在 6 道题中有 4 道理科题和 2 道文科题，假如不放回的挨次抽取2 道题，则在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率 .9、（资阳市资阳中学 2017 届高三上学期入学考试）现有5 人参加抽奖活动，每人挨次从装有 5 张奖票（此中3 张为中奖票） 的箱子中不放回地随机抽取一张， 直到 3 张中奖票都被抽．．． 出时活动结束，则活动恰幸亏第 4 人抽完后结束的概率为（ ）．A ．1B ．1105C ．3D ．210510[ 1,1]上随机的取一个数k，则事件“直线y = kx与圆 ( x － 5) + y = 9订交”发、在 －22生的概率为二、解答题1、（ 2016 年四川省高考）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓舞居民节俭用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确立一个合理的月用水量标准x （吨）、一位居民的月用水量不超出x 的部分按平价收费，高出x 的部分按议价收费.为了认识居民用水状况，通过抽样，获取了某年100 位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据依据[0,0.5)，[0.5,1)，，[4,4.5) 分红 9 组，制成了以下图的频次散布直方图.（ I ）求直方图中 a 的值；（ II ）设该市有30 万居民，预计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，并说明原因；（ III ）若该市政府希望使85%的居民每个月的用水量不超出标准x （吨），预计 x 的值，并说明原因 .2、（ 2015 年四川省高考）某市A,B 两所中学的学生组队参加争辩赛， A 中学介绍 3 名男生，2 名女生， B 中学介绍了 3 名男生， 4 名女生，两校介绍的学生一同参加集训，因为集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取 3 人，女生中随机抽取 3 人构成代表队（ 1）求 A 中学起码有 1 名学生当选代表队的概率.（ 2）某场比赛前。
2017高三数学一轮复习圆锥曲线综合题(拔高题-有答案)
2017年高三数学一轮复习圆锥曲线综合题（拔高题）一. 选择题（共15小题）A．B．2C．D．3 1．（2014•成都一模）已知椭圆C：/+y2=1的右焦点为F, 右准线为l,点A∈l,线段AF交C于点B, 若/=3/, 则|/|=（）2. （2014A．B．C．D．•鄂尔多斯模拟）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C: y2=8x相交于A.B两点,F为C的焦点, 若|FA|=2|FB|,则k=（）3. （2014•A．（﹣2, ﹣9）B．（0, ﹣5）C．（2, ﹣9）D．（1, 6）和平区模拟）在抛物线y=x2+ax﹣5（a≠0）上取横坐标为x1=﹣4, x2=2条割线, 有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切, 则抛物线顶点的坐标为（）A．B．C．D．4.（2014•焦作一模）已知椭圆/（a＞b＞0）与双曲线/（m＞0,n＞0）有相同的焦点（﹣c,0）和（c, 0）,若c是a、m的等比中项, n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是（）A．[0, 3）B．（0, 2/）C．[2/, 3）D．[0, 4] 5.（2014•焦作一模）已知点P是椭圆/+/=1（x≠0, y≠0）上的动点, F1,是∠F1PF2的角平分线上一点,且/•/=0,则|/|的取值范围是（）A．B．C．D．6.（2014•北京模拟）已知椭圆/的焦点为F1.F2,在长轴A1A2上任取一点M, 过M作垂直于A1A2的直线交椭圆于P,则使得/的M点的概率为（）7.A．B．C．D．（2014•怀化三模）从/（其中m, n∈{﹣1, 2,3}）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）方程线方程的概率为（）8.A．B．C．D．（2014•重庆模拟）已知点F1, F2分别是双曲线/的左、右焦点, 过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A, B两点, 若△ABF2是锐角三角形, 则该双曲线离心率的取值范围是（）9.A．（1, +∞）B．（1, 2）C．（1, 1+/）D．（2, 1+/）（2014•黄冈模拟）已知点F是双曲线/=1（a＞0, b＞0）的左焦点, 点E是该双曲线的右顶点, 过点F且垂直ABE是锐角三角形, 则该双曲线的离心率e的取值范围是（）10.A．B．C．D．（2014•凉州区二模）已知双曲线/（a＞0, b＞0）的左右焦点是F1,F2, 设P是双曲线右支上一点, /上的投影的大小恰好为/且它们的夹角为/, 则双曲线的离心率e为（）11. （2015•浙江一模）如图, F1.F2是双曲线/的左、右焦点, 过F1的直线l与C的左、右2个分支分别交于点A.B. 若△ABF2为等边三角形, 则双曲线的离心率为（）A．4B．C．D．12.A．1+2B．3+2C．4﹣2D．5﹣2（2014•河西区二模）双曲线/的左、右焦点分别为F1.F2离心率为e.过F2的直线与双曲线的右支交于A.B两点, 若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形, 则e2的值是（）A．B．C．D．13.（2014•呼和浩特一模）若双曲线/=1（a＞0, b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的/,则该双曲线的离心率为（）A．2B．3C．4D．5 14. （2014•太原一模）点P在双曲线: /（a＞0,条双曲线的两个焦点,∠F1PF2=90°,且△F1PF2的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是（）15.A．a B．b C．e a D．e b（2014•南昌模拟）已知双曲线/的左右焦点分别为F1, F2, e为双曲线的离心率, P是双曲线右支上的点, △PF1F2的内切圆的圆心为I,过F2作直线PI的垂线,垂足为B, 则OB=（）二. 填空题（共5小题）16．（2014•江西一模）过双曲线/=1的一个焦点F作一条渐近线的垂线, 若垂足恰在线段OF（O为原点）的垂直平分线上, 则双曲线的离心率为_________．17. （2014•渭南二模）已知F1, F2是双曲线C: /（a＞0, b＞0）的左、右焦点, 过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A, B两点. 若|AB|: |BF2|: |AF2|=3: 4: 5, 则双曲线的离心率为_________.18. （2013•辽宁）已知椭圆/的左焦点为F, C与过原点的直线相交于A, B两点, 连接AF、BF, 若|AB|=10, |AF|=6, cos∠ABF=/, 则C的离心率e=_________.19. （2013•江西）抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F, 其准线与双曲线/=1相交于A, B两点, 若△ABF为等边三角形, 则p=_________.20. （2014•宜春模拟）已知抛物线C: y2=2px（p＞0）的准线l, 过M（1, 0）且斜率为/的直线与l相交于A, 与C 的一个交点为B, 若/, 则p=_________.三. 解答题（共10小题）21. （2014•黄冈模拟）已知椭圆/的离心率为/, 过右焦点F的直线l与C相交于A.B两点, 当l的斜率为1时, 坐标原点O到l的距离为/,（Ⅰ）求a, b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P, 使得当l绕F转到某一位置时, 有/成立？若存在, 求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在, 说明理由．22. （2014•南充模拟）设椭圆中心在坐标原点, A（2, 0）, B（0, 1）是它的两个顶点, 直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D, 与椭圆相交于E、F两点.（Ⅰ）若/, 求k的值；（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值.23. （2014•福建）已知双曲线E: /﹣/=1（a＞0, b＞0）的两条渐近线分别为l1: y=2x, l2: y=﹣2x.（1）求双曲线E的离心率；（2）如图, O为坐标原点, 动直线l分别交直线l1, l2于A, B两点（A, B分别在第一、第四象限）, 且△OAB的面积恒为8, 试探究: 是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在, 求出双曲线E的方程, 若不存在, 说明理由.24. （2014•福建模拟）已知椭圆/的左、右焦点分别为F1.F2, 短轴两个端点为A.B, 且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.（1）求椭圆的方程；（2）若C.D分别是椭圆长的左、右端点, 动点M满足MD⊥CD, 连接CM, 交椭圆于点P. 证明: /为定值.（3）在（2）的条件下, 试问x轴上是否存异于点C的定点Q, 使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点, 若存在, 求出点Q的坐标；若不存在, 请说明理由．25. （2014•宜春模拟）如图, 已知圆G: x2+y2﹣2x﹣/y=0, 经过椭圆/=1（a＞b＞0）的右焦点F及上顶点B, 过圆外一点M（m, 0）（m＞a）倾斜角为/的直线l交椭圆于C, D两点,（1）求椭圆的方程；（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部, 求m的取值范围.26. （2014•内江模拟）已知椭圆C: /的离心率为/, 椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为/.（1）求椭圆C的方程；（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A.B两点.①若线段AB中点的横坐标为/, 求斜率k的值；②已知点/, 求证：/为定值．27. （2014•红桥区二模）已知A（﹣2, 0）, B（2, 0）为椭圆C的左、右顶点, F为其右焦点, P是椭圆C上异于A, B的动点, 且△APB面积的最大值为/.（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D, 当直线AP绕点A转动时, 试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系, 并加以证明.28. （2014•南海区模拟）一动圆与圆/外切, 与圆/内切.（I）求动圆圆心M的轨迹L的方程.（Ⅱ）设过圆心O1的直线l：x=my+1与轨迹L相交于A、B两点, 请问△ABO2（O2为圆O2的圆心）的内切圆N的面积是否存在最大值？若存在, 求出这个最大值及直线l的方程, 若不存在, 请说明理由．29. （2014•通辽模拟）如图所示, F是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点, 点A（4, 2）为抛物线内一定点, 点P为抛物线上一动点, |PA|+|PF|的最小值为8.（1）求抛物线方程；（2）若O为坐标原点, 问是否存在点M, 使过点M的动直线与抛物线交于B, C两点, 且以BC为直径的圆恰过坐标原点, 若存在, 求出动点M的坐标；若不存在, 请说明理由.30. （2014•萧山区模拟）如图, O为坐标原点, 点F为抛物线C1: x2=2py（p＞0）的焦点, 且抛物线C1上点P处的切线与圆C2: x2+y2=1相切于点Q.（Ⅰ）当直线PQ的方程为x﹣y﹣/=0时, 求抛物线C1的方程；（Ⅱ）当正数p变化时, 记S1, S2分别为△FPQ, △FOQ的面积, 求/的最小值．参考答案与试题解析一. 选择题（共15小题）A．B．2C．D．31．（2014•成都一模）已知椭圆C：/+y2=1的右焦点为F, 右准线为l,点A∈l,线段AF交C于点B, 若/=3/, 则|/|=（）考点：椭圆的简单性质. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题.分析：过点B作BM⊥l于M, 设右准线l与x轴的交点为N, 根据椭圆的性质可知FN=1, 由椭圆的第二定义可求得|BF|, 进而根据若/, 求得|AF|．解答：解: 过点B作BM⊥l于M,并设右准线l与x轴的交点为N, 易知FN=1.由题意/, 故/.又由椭圆的第二定义, 得/Ⅰ．故选A点评：本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义, 属基础题．A．B．C．D．2. （2014•鄂尔多斯模拟）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C: y2=8x相交于则k=（）考点：抛物线的简单性质. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题.分析：根据直线方程可知直线恒过定点, 如图过A、B分别作AM⊥l于M, BN⊥l于N, 根据|FA|=2|FB|, 推断出|AM|=2|BN|, 点B为AP的中点、连接OB, 进而可知/, 进而推断出|OB|=|BF|, 进而求得点B的横坐标, 则点B的坐标可得, 最后利用直线上的两点求得直线的斜率．解答：解: 设抛物线C: y2=8x的准线为l: x=﹣2直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2, 0）如图过A.B分别作AM⊥l于M, BN⊥l于N,由|FA|=2|FB|, 则|AM|=2|BN|,点B为AP的中点、连接OB,则，∴|OB|=|BF|, 点B的横坐标为1,故点B的坐标为/,故选D点评：本题主要考查了抛物线的简单性质. 考查了对抛物线的基础知识的灵活运用.3. （2014•A．（﹣2, ﹣9）B．（0, ﹣5）C．（2, ﹣9）D．（1, 6）和平区模拟）在抛物线y=x2+ax﹣5（a≠0）上取横坐标为x1=﹣4, x2=2线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切, 则抛物线顶点的坐标为（）考点：抛物线的应用. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题.分析：求出两个点的坐标, 利用两点连线的斜率公式求出割线的斜率；利用导数在切点处的值为切线的斜率求出切点坐标；利用直线方程的点斜式求出直线方程；利用直线与圆相切的条件求出a, 求出抛物线的顶点坐标．解答：解: 两点坐标为（﹣4, 11﹣4a）；（2, 2a﹣1）两点连线的斜率k=对于y=x2+ax﹣5y′=2x+aⅠ2x+a=a﹣2解得x=﹣1在抛物线上的切点为（﹣1, ﹣a﹣4）切线方程为（a﹣2）x﹣y﹣6=0直线与圆相切, 圆心（0, 0）到直线的距离=圆半径解得a=4或0（0舍去）抛物线方程为y=x2+4x﹣5顶点坐标为（﹣2, ﹣9）故选A.故选A．点评：本题考查两点连线的斜率公式、考查导数在切点处的值为切线的斜率、考查直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径.A．B．C．D．4.（2014•焦作一模）已知椭圆/（a＞b＞0）与双曲线0）和（c, 0）,若c是a、m的等比中项, n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是（）考点：椭圆的简单性质；等差数列的性质；等比数列的性质；圆锥曲线的共同特征. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题.分析：根据是a、m的等比中项可得c2=am, 根据椭圆与双曲线有相同的焦点可得a2+b2=m2+n2=c, 根据n2是2m2与c2的等差中项可得2n2=2m2+c2, 联立方程即可求得a和c的关系, 进而求得离心率e．解答：解: 由题意: /Ⅰ，∴/, ∴a2=4c2,Ⅰ．故选D.故选D．点评：本题主要考查了椭圆的性质, 属基础题．5.A．[0, 3）B．（0, 2/）C．[2/, 3）D．[0, 4]（2014•焦作一模）已知点P是椭圆/+/=1（x≠0, y≠0）上的动点, F1,F2是椭圆的两个焦点, O角平分线上一点,且/•/=0,则|/|的取值范围是（）考点：椭圆的简单性质；椭圆的定义. 菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：结合椭圆/=1的图象, 当点P在椭圆与y轴交点处时, 点M与原点O重合, 此时|OM|取最小值0.当点P在椭圆与x轴交点处时, 点M与焦点F1重合, 此时|OM|取最大值/．由此能够得到|OM|的取值范围．当点P在椭圆与x轴交点处时，点M与焦点F1重合，此时|OM|取最大值/. 由此能够得到|OM|的取值范围.当点P在椭圆与x轴交点处时，点M与焦点F1重合，此时|OM|取最大值．由此能够得到|OM|的取值范围．解答：解: 由椭圆/=1 的方程可得, c=/.由题意可得, 当点P在椭圆与y轴交点处时, 点M与原点O重合, 此时|OM|取得最小值为0.当点P在椭圆与x轴交点处时, 点M与焦点F1重合, 此时|OM|取得最大值c=2/.∵xy≠0, ∴|OM|的取值范围是（0, /）．故选：B.故选: B．故选：B．点评：本题考查椭圆的定义、标准方程, 以及简单性质的应用, 结合图象解题, 事半功倍．A．B．C．D．6.（2014•北京模拟）已知椭圆/的焦点为F1.F2,在长轴A1A2上任取一点M, 过M作垂直于A1A2的直线交椭圆于P,则使得/的M点考点：椭圆的应用；几何概型. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题.分析：当∠F1PF2=90°时, P点坐标为/, 由/, 得∠F1PF2≥90°．故/的M点的概率．解答：解: ∵|A1A2|=2a=4, /,设P（x0, y0）,∴当∠F1PF2=90°时, /,解得/, 把/代入椭圆/得/.由/, 得∠F1PF2≥90°．∴结合题设条件可知使得/的M点的概率=/.故选C.故选C．点评：作出草图, 数形结合, 事半功倍．7.A．B．C．D．（2014•怀化三模）从/（其中m, n∈{﹣1, 2,3}）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个, 则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为（）考点：双曲线的标准方程；列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题.分析：m和n的所有可能取值共有3×3=9个, 其中有两种不符合题意, 故共有7种, 可一一列举, 从中数出能使解答：解: 设（m, n）表示m, n的取值组合, 则取值的所有情况有（﹣1, ﹣1）, （2, ﹣1）, （2, 2）, （2, 3）, （3, ﹣1）, （3, 2）, （3, 3）共7个, （注意（﹣1, 2）, （﹣1, 3）不合题意）其中能使方程是焦点在x轴上的双曲线的有：（2, 2）, （2, 3）, （3, 2）, （3, 3）共4个Ⅰ此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为故选B点评：本题考查了古典概型概率的求法, 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程, 列举法计数的技巧, 准确计数是解决本题的关键A．B．C．D．8.（2014•重庆模拟）已知点F1, F2分别是双曲线/的左、右焦点, 过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A, B两点, 若△ABF2是锐角三角形, 则该双曲线离心率的取值范围是（）考点：双曲线的简单性质. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题.分析：先求出A, B两点的纵坐标, 由△ABF2是锐角三角形知, tan∠AF2F1=/＜1, e2﹣2e﹣1＜0, 解不等式求出e 的范围．解答：解: 在双曲线/中,令x=﹣c 得, y=±/, ∴A, B两点的纵坐标分别为±/.由△ABF2是锐角三角形知, ∠AF2F1＜/, tan∠AF2F1=/＜tan/=1,∴/＜1, c2﹣2ac﹣a2＜0, e2﹣2e﹣1＜0, ∴1﹣/＜e＜1+/.点评：本题考查双曲线的标准方程, 以及双曲线的简单性质的应用, 判断∠AF2F1＜/, tan/=/＜1, 是解题的关键．A．（1, +∞）B．（1, 2）C．（1, 1+/）D．（2, 1+/）9.（2014•黄冈模拟）已知点F是双曲线/=1（a＞0, b＞0）的左焦点, 点E是该双曲线的右顶点, 过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A.B两点, △ABE是锐角三角形, 则该双曲线的离心率e的取值范围是（）考点：双曲线的简单性质. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：根据双曲线的对称性, 得到等腰△ABE中, ∠AEB为锐角, 可得|AF|＜|EF|, 将此式转化为关于a、c的不等式, 化简整理即可得到该双曲线的离心率e的取值范围．解答：解: 根据双曲线的对称性, 得△ABE中, |AE|=|BE|,∴△ABE是锐角三角形, 即∠AEB为锐角由此可得Rt△AFE中, ∠AEF＜45°, 得|AF|＜|EF|∵|AF|=/=/, |EF|=a+c∴/＜a+c, 即2a2+ac﹣c2＞0两边都除以a2, 得e2﹣e﹣2＜0, 解之得﹣1＜e＜2点评：本题给出双曲线过一个焦点的通径与另一个顶点构成锐角三角形, 求双曲线离心率的范围, 着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识, 属于基础题．10.A．B．C．D．（2014•凉州区二模）已知双曲线/（a＞0, b＞0）的左右焦点是F1,F2, 设P是双曲线右支上一点, /上的投影的大小恰好为/且它们的夹角为/, 则双曲线的离心率e为（）考点：双曲线的简单性质. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题.分析：先根据/上的投影的大小恰好为/判断两向量互相垂直得到直角三角形, 进而根据直角三角形中内角为/, 结合双曲线的定义建立等式求得a和c的关系式, 最后根据离心率公式求得离心率e．解答：解: ∵/上的投影的大小恰好为/ⅠPF1ⅠPF2∴PF2=c, PF1=/又根据双曲线的定义得：PF1﹣PF2=2a,Ⅰc﹣c=2aⅠe=故选C.故选C．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生综合分析问题和运算的能力．解答关键是通过解三角形求得a, c的关系从而求出离心率．11. （2015•浙江一模）如图, F1.F2是双曲线/的左、右焦点, 过F1的直线l与C的左、右2个分支分别交于点A.B. 若△ABF2为等边三角形, 则双曲线的离心率为（）A．4B．C．D．考点：双曲线的简单性质. 菁优网版权所有专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：利用双曲线的定义可得可得|AF1|﹣|AF2|=2a, |BF2|﹣|BF1|=2a, 利用等边三角形的定义可得: |AB|=|AF2|=|BF2|, /. 在△AF1F2中使用余弦定理可得：/=/﹣/, 再利用离心率的计算公式即可得出．：/=/﹣/，再利用离心率的计算公式即可得出.: /=/﹣/，再利用离心率的计算公式即可得出．：=﹣，再利用离心率的计算公式即可得出．解答：解: ∵△ABF2为等边三角形, ∴|AB|=|AF2|=|BF2|, /.由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a, ∴|BF1|=2a.又|BF2|﹣|BF1|=2a, ∴|BF2|=4a.∴|AF2|=4a, |AF1|=6a.在△AF1F2中, 由余弦定理可得: /=/﹣/,∴/, 化为c2=7a2,∴/=/.故选B.故选B．点评：熟练掌握双曲线的定义、余弦定理、离心率的计算公式是解题的关键.12.A．1+2B．3+2C．4﹣2D．5﹣2（2014•河西区二模）双曲线/的左、右焦点分别为F1.F2离心率为e.过F2的直线与双曲线的右支交于A.B两点, 若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形, 则e2的值是（）考点：双曲线的简单性质. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题.分析：设|AF1|=|AB|=m, 计算出|AF2|=（1﹣/）m, 再利用勾股定理, 即可建立a, c的关系, 从而求出e2的值．解答：解: 设|AF1|=|AB|=m, 则|BF1|=/m, |AF2|=m﹣2a, |BF2|=/m﹣2a,∵|AB|=|AF2|+|BF2|=m,∴m﹣2a+/m﹣2a=m,∴4a=/m, ∴|AF2|=（1﹣/）m,∵△AF1F2为Rt三角形, ∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2∴4c2=（/﹣/）m2,Ⅰ4a=m∴4c2=（/﹣/）×8a2,Ⅰe2=5﹣2故选D.故选D．点评：本题考查双曲线的标准方程与性质, 考查双曲线的定义, 解题的关键是确定|AF2|, 从而利用勾股定理求解．A．B．C．D．13.（2014•双曲线/=1（a＞0, b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的/,则该双曲线的离心率为（）考点：双曲线的简单性质. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题.分析：因为双曲线即关于两条坐标轴对称, 又关于原点对称, 所以任意一个焦点到两条渐近线的距离都相等, 所以不妨利用点到直线的距离公式求（c, 0）到y=/x的距离, 再令该距离等于焦距的/, 就可得到含b, c的齐次式, 再把b用a, c表示, 利用e=/即可求出离心率．解答：解: 双曲线/的焦点坐标为（c, 0）（﹣c, 0）, 渐近线方程为y=±/x根据双曲线的对称性, 任意一个焦点到两条渐近线的距离都相等,求（c, 0）到y=/x的距离, d=/=/=b,又∵焦点到一条渐近线的距离等于焦距的/,∴b=/×2c, 两边平方, 得4b2=c2, 即4（c2﹣a2）=c2,∴3c2=4a2, /, 即e2=/, e=/故选B点评：本题主要考查点到直线的距离公式的应用, 以及双曲线离心率的求法, 求离心率关键是找到a, c的齐次式．A．2B．3C．4D．514. （2014•太原一模）点P在双曲线: /（a＞0,b＞0）上,F1, F2是这条双曲线的两个焦点,∠F1PF2=90°,且△F1PF2的三条边长成等差数列,则此双曲线考点：双曲线的简单性质；等差数列的性质. 菁优网版权所有专题：压轴题.分析：通过|PF2|, |PF1|, |F1F2|成等差数列, 分别设为m﹣d, m, m+d, 则由双曲线定义和勾股定理求出m=4d=8a, c=/, 由此求得离心率的值．c=/，由此求得离心率的值.c=，由此求得离心率的值．解答：解: 因为△F1PF2的三条边长成等差数列, 不妨设|PF2|, |PF1|, |F1F2|成等差数列,分别设为m﹣d, m, m+d,则由双曲线定义和勾股定理可知: m﹣（m﹣d）=2a, m+d=2c, （m﹣d）2+m2=（m+d）2,解得m=4d=8a, c=/, 故离心率e=/=/=5,故选D.故选D．点评：本题主要考查等差数列的定义和性质, 以及双曲线的简单性质的应用, 属于中档题．A．a B．b C．e a D．e b15.（2014•南昌模拟）已知双曲线/的左右焦点分别为F1, F2, e为双曲线的离心率, P是双曲线右支上的点, △PF1F2的内切圆的圆心为I,过F2作直线PI的垂线,垂足为B, 则OB=（）考点：双曲线的简单性质. 菁优网版权所有分析：根据题意, 利用切线长定理, 再利用双曲线的定义, 把|PF1|﹣|PF2|=2a, 转化为|AF1|﹣|AF2|=2a, 从而求得点H的横坐标．再在三角形PCF2中, 由题意得, 它是一个等腰三角形, 从而在三角形F1CF2中, 利用中位线定理得出OB, 从而解决问题．解答：解: 由题意知: F1（﹣c, 0）、F2（c, 0）, 内切圆与x轴的切点是点A,∵|PF1|﹣|PF2|=2a, 及圆的切线长定理知,|AF1|﹣|AF2|=2a, 设内切圆的圆心横坐标为x,则|（x+c）﹣（c﹣x）|=2a∴x=a.在三角形PCF2中, 由题意得, 它是一个等腰三角形, PC=PF2,∴在三角形F1CF2中, 有:OB=/CF1=/（PF1﹣PC）=/（PF1﹣PF2）=/×2a=a.故选A．点评：本题考查双曲线的定义、切线长定理. 解答的关键是充分利用三角形内心的性质.二. 填空题（共5小题）16．（2014•江西一模）过双曲线/=1的一个焦点F作一条渐近线的垂线, 若垂足恰在线段OF（O为原点）的垂直平分线上, 则双曲线的离心率为/．考点：双曲线的简单性质. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题.分析：先设垂足为D, 根据双曲线方程可求得其中一个渐近线和焦点F的坐标, 进而得到D点坐标．表示直线DF 的斜率与直线OD的斜率乘积为﹣1, 进而得到a和b的关系, 进而求得离心率．解答：解: 设垂足为D,根据双曲线方程可知其中一个渐近线为y=/x, 焦点为F（/, 0）D点坐标（/, /）Ⅰk DF==﹣ⅠODⅠDFⅠk DF•k OD=﹣1∴/, 即a=bⅠe===故答案为点评：本题主要考查了双曲线的简单性质. 要熟练掌握双曲线关于渐近线、焦点、标准方程等基本知识.17. （2014•渭南二模）已知F1, F2是双曲线C: /（a＞0, b＞0）的左、右焦点, 过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A, B两点. 若|AB|: |BF2|: |AF2|=3: 4: 5, 则双曲线的离心率为/.考点：双曲线的简单性质. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：根据双曲线的定义可求得a=1, ∠ABF2=90°, 再利用勾股定理可求得2c=|F1F2|, 从而可求得双曲线的离心率．解答：解: ∵|AB|: |BF2|: |AF2|=3: 4: 5, 不妨令|AB|=3, |BF2|=4, |AF2|=5,∵|AB|2+|BF2|2=|AF2|2, ∴∠ABF2=90°,又由双曲线的定义得: |BF1|﹣|BF2|=2a, |AF2|﹣|AF1|=2a,∴|AF1|+3﹣4=5﹣|AF1|, ∴|AF1|=3.∴|BF1|﹣|BF2|=3+3﹣4=2a,∴a=1.在Rt△BF1F2中, |F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2=62+42=52,∵|F1F2|2=4c2, ∴4c2=52, ∴c=/．∴双曲线的离心率e=/=/.故答案为：/.故答案为: /．故答案为：．点评：本题考查双曲线的简单性质, 考查转化思想与运算能力, 求得a与c的值是关键, 属于中档题．18. （2013•辽宁）已知椭圆/的左焦点为F, C与过原点的直线相交于A, B两点, 连接AF、BF, 若|AB|=10, |AF|=6, cos∠ABF=/, 则C的离心率e=/.考点：椭圆的简单性质. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：设椭圆右焦点为F', 连接AF'、BF', 可得四边形AFBF'为平行四边形, 得|AF|=|BF'|=6．△ABF中利用余弦定理算出|BF|=8, 从而得到|AF|2+|BF|2=|AB|2, 得∠AFB=90°, 所以c=|OF|=/|AB|=5．根据椭圆的定义得到2a=|BF|+|BF'|=14, 得a=7, 最后结合椭圆的离心率公式即可算出椭圆C的离心率．解答：解: 设椭圆的右焦点为F', 连接AF'、BF'∴由余弦定理|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB|×|BF|cos∠ABF,可得62=102+|BF|2﹣2×10×|BF|×/, 解之得|BF|=8由此可得, 2a=|BF|+|BF'|=14, 得a=7∵△ABF中, |AF|2+|BF|2=100=|AB|2∴∠AFB=90°, 可得|OF|=/|AB|=5, 即c=5因此, 椭圆C的离心率e=/=/故答案为: /点评：本题给出椭圆经过中心的弦AB与左焦点构成三边分别为6、8、10的直角三角形, 求椭圆的离心率．着重考查了椭圆的定义与标准方程、椭圆的简单几何性质等知识, 属于中档题．19. （2013•江西）抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F, 其准线与双曲线/=1相交于A, B两点, 若△ABF为等边三角形, 则p=6.考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质. 菁优网版权所有专题：常规题型；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：求出抛物线的焦点坐标, 准线方程, 然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标, 利用三角形是等边三角形求出p即可．解答：解: 抛物线的焦点坐标为（0, /）, 准线方程为: y=﹣/,准线方程与双曲线联立可得: /,解得x=±/,因为△ABF为等边三角形, 所以/, 即p2=3x2,即/, 解得p=6．故答案为：6.故答案为: 6．故答案为：6．点评：本题考查抛物线的简单性质, 双曲线方程的应用, 考查分析问题解决问题的能力以及计算能力．20. （2014•宜春模拟）已知抛物线C: y2=2px（p＞0）的准线l, 过M（1, 0）且斜率为/的直线与l相交于A, 与C 的一个交点为B, 若/, 则p=2.考点：抛物线的简单性质. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题.可得p的关系式, 解方程即可求得p．可得p的关系式，解方程即可求得p.可得p的关系式，解方程即可求得p．解答：解: 设直线AB: /, 代入y2=2px得3x2+（﹣6﹣2p）x+3=0,又∵/, 即M为A.B的中点,∴xB+（﹣/）=2, 即xB=2+/,得p2+4P﹣12=0,解得p=2, p=﹣6（舍去）故答案为: 2故答案为：2点评：本题考查了抛物线的几何性质. 属基础题.三. 解答题（共10小题）21. （2014•黄冈模拟）已知椭圆/的离心率为/, 过右焦点F的直线l与C相交于A.B两点, 当l的斜率为1时, 坐标原点O到l的距离为/,（Ⅰ）求a, b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P, 使得当l绕F转到某一位置时, 有/成立？若存在, 求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在, 说明理由．考点：椭圆的简单性质. 菁优网版权所有专题：综合题；压轴题.分析：（I）设F（c, 0）, 则直线l的方程为x﹣y﹣c=0, 由坐标原点O到l的距离求得c, 进而根据离心率求得a 和b.（II）由（I）可得椭圆的方程, 设A（x1, y1）、B（x2, y2）, l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程△＞0．由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式, 假设存在点P, 使/成立, 则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2, y1+y2）, 代入椭圆方程；把A, B两点代入椭圆方程, 最后联立方程求得c, 进而求得P点坐标, 求出m的值得出直线l的方程．（II）由（I）可得椭圆的方程，设A（x1，y1）、B（x2，y2），l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程△＞0. 由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式，假设存在点P，使/成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），代入椭圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得P点坐标，求出m的值得出直线l的方程.（II）由（I）可得椭圆的方程，设A（x1，y1）、B（x2，y2），l: x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程△＞0．由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式，假设存在点P，使/成立，则其充要条件为: 点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），代入椭圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得P点坐标，求出m的值得出直线l的方程．（II）由（I）可得椭圆的方程，设A（x1，y1）、B（x2，y2），l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程Ⅰ＞0．由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式，假设存在点P，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），代入椭圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得P点坐标，求出m的值得出直线l的方程．解答：解: （I）设F（c, 0）, 直线l: x﹣y﹣c=0,由坐标原点O到l的距离为则/, 解得c=1（II）由（I）知椭圆的方程为设A（x1, y1）、B（x2, y2）由题意知l的斜率为一定不为0, 故不妨设l: x=my+1代入椭圆的方程中整理得（2m2+3）y2+4my﹣4=0, 显然△＞0.由韦达定理有: /, /, ①假设存在点P, 使/成立, 则其充要条件为:点P的坐标为（x1+x2, y1+y2）,点P在椭圆上, 即/．整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6.又A、B在椭圆上, 即2x12+3y12=6, 2x22+3y22=6、故2x1x2+3y1y2+3=0②将x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1及①代入②解得Ⅰ，x1+x2=/, 即/当；当点评：本题主要考查了椭圆的性质．处理解析几何题, 学生主要是在“算”上的功夫不够．所谓“算”, 主要讲的是算理和算法．算法是解决问题采用的计算的方法, 而算理是采用这种算法的依据和原因, 一个是表, 一个是里, 一个是现象, 一个是本质．有时候算理和算法并不是截然区分的．例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半, 还是分割成几部分来算？在具体处理的时候, 要根据具体问题及题意边做边调整, 寻找合适的突破口和切入点．22. （2014•南充模拟）设椭圆中心在坐标原点, A（2, 0）, B（0, 1）是它的两个顶点, 直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D, 与椭圆相交于E、F两点.（Ⅰ）若/, 求k的值；（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值.考点：直线与圆锥曲线的综合问题；向量的共线定理. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题.分析：（1）依题可得椭圆的方程, 设直线AB, EF的方程分别为x+2y=2, y=kx, D（x0, kx0）, E（x1, kx1）, F （x2, kx2）, 且x1, x2满足方程（1+4k2）x2=4, 进而求得x2的表达式, 进而根据/求得x0的表达式, 由D 在AB上知x0+2kx0=2, 进而求得x0的另一个表达式, 两个表达式相等求得k.（Ⅱ）由题设可知|BO|和|AO|的值, 设y1=kx1, y2=kx2, 进而可表示出四边形AEBF的面积进而根据基本不等式的性质求得最大值．（Ⅱ）由题设可知|BO|和|AO|的值，设y1=kx1，y2=kx2，进而可表示出四边形AEBF的面积进而根据基本不等式的性质求得最大值.（Ⅰ）由题设可知|BO|和|AO|的值，设y1=kx1，y2=kx2，进而可表示出四边形AEBF的面积进而根据基本不等式的性质求得最大值．。
2017届高考数学(理)一轮复习同步基础训练第2章-第9课时《函数与方程》(通用版含解析)
第二章 第9课时【A 级】 基础训练1．(2015·山东淄博模拟)若方程xlg(x ＋2)＝1的实根在区间(k ，k ＋1)(k ∈Z)上，则k 等于( )A ．－2B ．1C ．－2或1D ．0解析：由题意知，x≠0，则原方程即为lg(x ＋2)＝1x ，在同一直角坐标系中作出函数y ＝lg(x ＋2)与y ＝1x 的图像，如图所示，由图像可知，原方程有两个根，一个在区间(－2，－1)上，一个在区间(1,2)上，所以k ＝－2或k ＝1.故选C.答案：C2．(2015·北京海淀模拟)函数f(x)＝log 2x －1x 的零点所在区间为( )A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1,2)D ．(2,3)解析：∵f(12)＝log 212－2＝－3＜0，f(1)＝log 21－1＝－1＜0，f(2)＝log 22－12＝12＞0，∴函数f(x)＝log 2x －1x 的零点所在区间为(1,2)，故应选C. 答案：C3．(2013·高考湖南卷)函数f(x)＝ln x 的图像与函数g(x)＝x 2－4x ＋4的图像的交点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：作出两个函数的图像，利用数形结合思想求解．g(x)＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2，在同一平面直角坐标系内画出函数f(x)＝ln x 与g(x)＝(x －2)2的图像(如图)．由图可得两个函数的图像有2个交点．答案：C4．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2|x|＋12，x≤0|lgx|－1，x>0的零点个数为________．解析：作出函数f(x)的图像，从图像中可知函数f(x)的零点有4个． 答案：45．已知函数f(x)＝log a x ＋x －b(a>0，且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N ＋，则n ＝________.解析：∵2<a<3<b<4，当x ＝2时，f(2)＝log a 2＋2－b<0；当x ＝3时，f(3)＝log a 3＋3－b>0，∴f(x)的零点x 0在区间(2,3)内，∴n ＝2. 答案：26．(2014·高考天津卷)已知函数f(x)＝|x 2＋3x|，x ∈R.若方程f(x)－a|x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．解析：在同一坐标系中，分别作出y 1＝|x 2＋3x|，y 2＝a|x －1|的图像，将方程根的个数问题转化为两图像交点的个数问题求解．设y 1＝f(x)＝|x 2＋3x|，y 2＝a|x －1|，在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x|，y 2＝a|x －1|的图像如图所示．由图可知f(x)－a|x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x|与y 2＝a|x －1|的图像有4个不同的交点，且4个交点的横坐标都小于1，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝－有两组不同解．消去y 得x 2＋(3－a)x ＋a ＝0有两个不等实根， 所以Δ＝(3－a)2－4a>0，即a 2－10a ＋9>0， 解得a<1或a>9.又由图像得a>0，∴0<a<1或a>9. 答案：(0,1)∪(9，＋∞)7．(2015·岳阳模拟)已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．解：∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点， 即方程(2x )2＋m·2x ＋1＝0仅有一个实根． 设2x＝t(t ＞0)，则t 2＋mt ＋1＝0.当Δ＝0时，即m2－4＝0，∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)，∴2x＝1，x＝0符合题意．当Δ＞0时，即m＞2或m＜－2时，t2＋mt＋1＝0有两正或两负根，即f(x)有两个零点或没有零点．∴这种情况不符合题意．综上可知：m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.8．(2015·海淀区高三期末)已知函数f(x)＝e x(x2＋ax－a)，其中a是常数．(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若存在实数k，使得关于x的方程f(x)＝k在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，求k的取值范围．解：(1)由f(x)＝e x(x2＋ax－a)可得f′(x)＝e x[x2＋(a＋2)x]．当a＝1时，f(1)＝e，f′(1)＝4e.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－e＝4e(x－1)，即y＝4ex－3e.(2)令f′(x)＝e x[x2＋(a＋2)x]＝0，解得x＝－(a＋2)或x＝0.当－(a＋2)≤0，即a≥－2时，在区间[0，＋∞)上，f′(x)≥0，所以f(x)是[0，＋∞)上的增函数，所以方程f(x)＝k在[0，＋∞)上不可能有两个不相等的实数根．当－(a＋2)＞0，即a＜－2时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：－.由上表可知函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值为f(－(a＋2))＝e a＋2因为函数f(x)是(0，－(a＋2))上的减函数，是(－(a＋2)，＋∞)上的增函数，且当x≥－a时，有f(x)≥e－a·(－a)＞－a，又f(0)＝－a.所以要使方程f(x)＝k在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，k的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤a ＋4e a ＋2，－a . 【B 级】 能力提升1．(2015·沈阳四校联考)已知函数f(x)＝a x＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z)，其中常数a ，b 满足2a＝3,3b＝2，则n 的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：依题意得，a ＞1,0＜b ＜1，则f(x)为R 上的单调递增函数，又f(－1)＝1a －1－b＜0，f(0)＝1－b ＞0，f(－1)·f(0)＜0，因此x 0∈(－1,0)，n ＝－1，选B.答案：B2．(2015·豫西五校联考)已知符号函数sgn(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞00，x ＝0－1，x ＜0，则函数f(x)＝sgn(lnx)－ln 2x 的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：依题意得，当x ＞1时，ln x ＞0，sgn(ln x)＝1，f(x)＝sgn(ln x)－ln 2x ＝1－ln 2x ，令1－ln 2x ＝0，得x ＝e 或x ＝1e ，结合x ＞1，得x ＝e ；当x ＝1时，ln x ＝0，sgn(ln x)＝0，f(x)＝－ln 2x ，令－ln 2x ＝0，得x ＝1，符合；当0＜x ＜1时，ln x ＜0，sgn(ln x)＝－1，f(x)＝－1－ln 2x ，令－1－ln 2x ＝0，得ln 2x ＝－1，此时无解．因此，函数f(x)＝sgn(ln x)－ln 2x 的零点个数为2.答案：B3．(2014·高考山东卷)已知函数f(x)＝|x －2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2)D ．(2，＋∞)解析：作出函数的图像，用数形结合思想求解．先作出函数f(x)＝|x －2|＋1的图像，如图所示，当直线g(x)＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx 过A 点时斜率为12，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k 的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 答案：B4．若函数f(x)的图像是连续不断的，根据下面的表格，可断定f(x)的零点所在的区间为________(只填序号)．①(－∞，1] ②[1,2] ③[2,3] ④[3,4] ⑤[4,5] ⑥[5,6] ⑦[6，＋∞)间．答案：③④⑤5．若函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)>0的解集是________．解析：∵f(x)＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2,3. ∴－2,3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3＝－a ，－2×3＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－6，∴f(x)＝x 2－x －6. ∵不等式af(－2x)>0，即－(4x 2＋2x －6)>0⇔2x 2＋x －3<0，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －32<x<1.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32<x<16．(2014·高考江苏卷)已知f(x)是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f(x)－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．解析：作出函数y ＝f(x)与y ＝a 的图像，根据图像交点个数得出a 的取值范围． 作出函数y ＝f(x)在[－3,4]上的图像，f(－3)＝f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝f(3)＝f(4)＝12，观察图像可得0<a<12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，127．已知函数f(x)＝|x|x ＋2，如果关于x 的方程f(x)＝kx 2有四个不同的实数解，求实数k的取值范围．解：∵f(x)＝|x|x ＋2，∴原方程即|x|x ＋2＝kx 2.(*)①x ＝0恒为方程(*)的一个解．②当x<0且x≠－2时，若方程(*)有解，则－x x ＋2＝kx 2，kx 2＋2kx ＋1＝0.当k ＝0时，方程kx 2＋2kx ＋1＝0无解； 当k≠0时，Δ＝4k 2－4k≥0，即k<0或k≥1时， 方程kx 2＋2kx ＋1＝0有解．设方程kx 2＋2kx ＋1＝0的两个根分别是x 1、x 2， 则x 2＋x 2＝－2，x 1x 2＝1k.当k>1时，方程kx 2＋2kx ＋1＝0有两个不等的负根； 当k ＝1时，方程kx 2＋2kx ＋1＝0有两个相等的负根； 当k<0时，方程kx 2＋2kx ＋1＝0有一个负根． ③当x>0时，若方程(*)有解， 则x x ＋2＝kx 2，kx 2＋2kx －1＝0. 当k ＝0时，方程kx 2＋2kx －1＝0无解；当k≠0时，Δ＝4k 2＋4k≥0，即k≤－1或k>0时， 方程kx 2＋2kx －1＝0有解．设方程kx 2＋2kx －1＝0的两个根分别是x 3、x 4， 则x 3＋x 4＝－2，x 3x 4＝－1k.当k>0时，方程kx 2＋2kx －1＝0有一个正根； 当k≤－1时，方程kx 2＋2kx －1＝0没有正根．综上可得，当k ∈(1，＋∞)时，方程f(x)＝kx 2有四个不同的实数解．。
2017届高考数学一轮复习专题 训练之阿波罗尼斯圆
2017届高三第一轮复习专题训练之阿波罗尼斯圆引例：1.已知点与两定点的距离之比为，那么点的坐标应满足什么关系？ (人教A版《必修2》第124页习题4.1B组第3题)2.已知点，点与点的距离是它与点的距离的，用《几何画板》探究点的轨迹，并给出轨迹的方程. (人教A版《必修2》第140页例题)背景展示:阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一.例1.求证：到两定点的距离的比值是不等于1的常数的点的轨迹是圆.证明：如图，设两定点为A、B，|AB|=a，动点为P，距离的比值为常数以AB为x轴、A为坐标原点建立直角坐标系，则B(a，0)，设P(x，y)，由得：例2.（2008年高考数学江苏卷）若，则的最大值为 ．解:显然这是一例阿波罗圆，建立如图的直角坐标系，得：.设圆心为M，显然当CM⊥x轴时，△ABC面积最大,此时.评注：既然△ABC存在，说明其轨迹不包括与x轴的两个交点P,Q，现在问：P,Q这两点究竟有什么性质？由于，∴为△ACB的内角平分线；同理，为△ACB的外角平分线.这就是说，P,Q分别是线段AB的内分点和外分点，而PQ正是阿氏圆的直径.于是“阿波罗尼斯圆”在我国又被称为“内外圆”．因此，题2又有如下的轴上简洁解法:∵动点C 到定点A ( - 1，0 ) 和B（1，0）距离之比为,则有,∴得为内分点，为外分点．圆半径，即为三角形高的最大值，即△ABC 高的最大值是.故△ABC的面积的最大值是.例3.（2006年高考数学四川卷）已知两个定点.如果动点满足，则点的轨迹所包围的面积等于（）A. B. C. D.解:显然这又是一个阿波罗圆，由上述评注我们可以实行轴上解决.设O为坐标原点，注意到,可知原点O为线段AB的内分点．设AB的外分点为，由，即有C（4，0）.于是圆直径为，∴，所求轨迹面积，故选B.例4.（2015年高考数学湖北卷）如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（B在A的上方），且．（Ⅰ）圆的标准方程为；（Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：①；②；③．其中正确结论的序号是 .（写出所有正确结论的序号）yxOTCNAMB解：（1）易知半径，所以圆的方程为；（2）易知，设为圆C上任意一点，则，故①正确； ，②正确；，③正确。
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基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.函数f (x )＝1－2x 的定义域是( ) A.(－∞，0] B.[0，＋∞) C.(－∞，0) D.(－∞，＋∞)解析 要使f (x )有意义须满足1－2x ≥0，即2x ≤1，解得x ≤0. 答案 A2.若x ＝log 43，则(2x －2－x )2＝( ) A.94B.54C.103D.43解析 由x ＝log 43，得4x ＝3，即2x ＝3，2－x ＝33， 所以(2x－2－x )2＝⎝⎛⎭⎪⎫2332＝43. 答案 D3.函数y ＝xa x|x |(0＜a ＜1)的图象的大致形状是( )解析 函数的定义域为{x |x ≠0}，所以y ＝xa x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ＞0，－a x ，x ＜0，当x ＞0时，函数是指数函数，其底数0＜a ＜1，所以函数递减；当x ＜0时，函数图象与指数函数y ＝a x (x ＜0)的图象关于x 轴对称，函数递增，所以应选D. 答案 D4.(2016·长春模拟)函数y ＝4x ＋2x ＋1＋1的值域为( ) A.(0，＋∞) B.(1，＋∞) C.[1，＋∞)D.(－∞，＋∞)解析 令2x ＝t ，则函数y ＝4x ＋2x ＋1＋1可化为y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2(t ＞0). ∵函数y ＝(t ＋1)2在(0，＋∞)上递增，∴y ＞1. ∴所求值域为(1，＋∞).故选B. 答案 B5.若函数f (x )＝a |2x －4|(a ＞0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( ) A.(－∞，2]B.[2，＋∞)C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]解析 由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B. 答案 B 二、填空题6.化简⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－34＋log 354＋log 345＝________.解析 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫234－34＋log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫54×45＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＋log 31＝⎝ ⎛⎭⎪⎫323＋0＝278.答案 2787.已知函数f (x )＝a －x (a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________.解析 因为f (x )＝a －x ＝⎝⎛⎭⎪⎫1a x，且f (－2)＞f (－3)，所以函数f (x )在定义域上单调递增，所以1a ＞1，解得0＜a ＜1. 答案 (0，1)8. (2015·济宁模拟)若函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________. 解析 若a ＞1，有a 2＝4，a －1＝m ，此时a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意.若0＜a ＜1，有a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意. 答案 14 三、解答题9.已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常数且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1，6)，B (3，24).(1)试确定f (x )；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x－m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)∵f (x )＝b ·a x 的图象过点A (1，6)，B (3，24)， ∴⎩⎨⎧b ·a ＝6， ①b ·a 3＝24， ② ②÷①得a 2＝4，又a >0且a ≠1，∴a ＝2，b ＝3，∴f (x )＝3·2x .(2)由(1)知⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立可转化为m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上恒成立.令g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，则g (x )在(－∞，1]上单调递减，∴m ≤g (x )min ＝g (1)＝12＋13＝56， 故所求实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，56.10.已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值.解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令u ＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7.在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2).(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h （x ），由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.函数y ＝a x －b (a ＞0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a b 的取值范围为( ) A.(1，＋∞)B.(0，＋∞)C.(0，1)D.无法确定解析 函数经过第二、三、四象限，所以函数单调递减且图象与y 轴的交点在负半轴上.而当x ＝0时，y ＝a 0－b ＝1－b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，1－b ＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，b ＞1， 所以a b ∈(0，1).答案 C12.已知函数f(x)＝|2x－1|，a＜b＜c且f(a)＞f(c)＞f(b)，则下列结论中，一定成立的是()A.a＜0，b＜0，c＜0B.a＜0，b≥0，c＞0C.2－a＜2cD.2a＋2c＜2解析作出函数f(x)＝|2x－1|的图象如图中实线所示，∵a＜b＜c，且f(a)＞f(c)＞f(b)，结合图象知a＜0，0＜c＜1，∴0＜2a＜1，1＜2c＜2，∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a＜1，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，又f(a)＞f(c)，即1－2a＞2c－1，∴2a＋2c＜2，故选D.答案 D13.若函数f(x)＝a x－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________.解析令a x－x－a＝0，即a x＝x＋a，若0<a<1，显然y＝a x与y＝x＋a的图象只有一个公共点；若a>1，y＝a x与y＝x＋a的图象如图所示有两个公共点.答案(1，＋∞)14. (2015·龙口一中模拟)设函数f(x)＝ka x－a－x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数.(1)若f(1)>0，试求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)>0的解集；(2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x －4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值. 解 因为f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，所以k －1＝0，即k ＝1，f (x )＝a x －a －x . (1)因为f (1)>0，所以a －1a >0，又a >0且a ≠1，所以a >1. 因为f ′(x )＝a x ln a ＋a －x ln a ＝(a x ＋a －x )ln a >0， 所以f (x )在R 上为增函数， 原不等式可化为f (x 2＋2x )>f (4－x )， 所以x 2＋2x >4－x ，即x 2＋3x －4>0， 所以x >1或x <－4.所以不等式的解集为{x |x >1或x <－4}. (2)因为f (1)＝32，所以a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0，所以a ＝2或a ＝－12(舍去).所以g (x )＝22x ＋2－2x －4(2x －2－x )＝(2x －2－x )2－4(2x －2－x )＋2.令t (x )＝2x －2－x (x ≥1)，则t (x )在(1，＋∞)上为增函数(由(1)可知)，即t (x )≥t (1)＝32，所以原函数为ω(t )＝t 2－4t ＋2＝(t －2)2－2， 所以当t ＝2时，ω(t )min ＝－2，此时x ＝log 2(1＋2). 即g (x )在x ＝log 2(1＋2)时取得最小值－2.沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。
佳节又重阳，玉枕纱厨，半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后，有暗香盈袖。
莫道不消魂，帘卷西风，人比黄花瘦。