2020年高考理科数学必刷押题卷北京卷

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2020届高考数学仿真押题卷03 北京卷理新人教A版精

2020届高考数学仿真押题卷——北京卷（理3）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若复数2()iix x x z +-=（x ∈R ）为纯虚数，则x 等于（A ）0 （B ）1 （C ）-1 （D ）0或1 （2）给出下列三个命题：①x ∀∈R ，02>x ；②0x ∃∈R ，使得200x x ≤成立；③对于集合,M N ，若x M N ∈I ，则x M ∈且x N ∈. 其中真命题的个数是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（3）沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（A ）（B ）（C ）（D ）（4）极坐标方程02sin =θ（0≥ρ）表示的图形是（A ）两条直线（B ）两条射线（C ）圆（D ）一条直线和一条射线（5）已知正项数列{}n a 中，11=a ，22=a ，222112(2)n n n a a a n +-=+≥，则6a 等于（A ）16 （B ）8 （C ）22 （D ）4（6）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于,M N 两点，O 为坐标原点.若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（A （B （C （D （7）△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2OA AB AC ++=0u u u r u u u r u u u r ， ||||OA AB =u u u r u u u r，则CA CB ⋅u u u r u u u r等于（A ）32（B （C ）3 （D ）B（8）已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1)]([+=x f f y 的零点个数是（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2020高考密押卷理科数学北京卷

附答案详解2020年高考必刷卷数学北京卷本试卷共10页，150分，考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分 (选择题共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．(2020北京，理1)函数的最小正周期为__________．答案：π解析：函数的最小正周期 .2．(2020北京，理2)在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：D解析：∵(2－i)2＝3－4i ，∴该复数对应的点位于第四象限，故选D.3．(2020北京，理3)双曲线24x －y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )．A ．25B ．45C ．5D ．5答案：C解析：双曲线24x －y 2＝1的顶点为(±2,0)，渐近线方程为12y x =±，即x －2y ＝0和x ＋2y ＝0.故其顶点到渐近线的距离d ===.4．(2020北京，理4)将函数y x ＋sin x (x ∈R)的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( ).A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π6答案：B解析：∵y x ＋sin x ＝π2sin 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴函数y cos x ＋sin x (x ∈R)的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，变为函数π=2sin 3y x m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的图象.又∵所得到的图象关于y 轴对称，则有π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴m ＝ππ6k +，k ∈Z.∵m ＞0，∴当k ＝0时，m 的最小值为π6. 5．(2020北京，理5)函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象的交点个数为( )．A ．3B ．2C ．1D ．0 答案：B解析：设f (x )与g (x )图象的交点坐标为(x ，y )，则y ＝2ln x ，y ＝x 2－4x ＋5，联立得2ln x ＝x 2－4x ＋5，令h (x )＝x 2－4x ＋5－2ln x (x ＞0)，由h ′(x )＝2x －4－2x＝0得x 1＝1+x 2＝1(舍)．当h ′(x )＜0时，即x ∈(0,1+时，h (x )单调递减；当h ′(x )＞0，即x ∈(1∞)时，h (x )单调递增．又∵h (1)＝2＞0，h (2)＝1－2ln 2＜0，h (4)＝5－2ln 4＞0，∴h (x )与x 轴必有两个交点，故答案为B ．6．(2020北京，理6)若2211d S x x =⎰，2211d S x x=⎰，231e d x S x =⎰，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )．A ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 2＜S 1＜S 3C ．S 2＜S 3＜S 1D ．S 3＜S 2＜S 1 答案：B解析：2211d S x x =⎰＝23117|33x =，2211d S x x =⎰＝21ln |ln 2x =，231e d x S x =⎰＝2217e |e e=(e 1)>e>3x =--，所以S 2＜S 1＜S 3，故选B.7．(2020北京，理7)使3nx⎛+ ⎝(n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )．A ．4B ．5C ．6D ．7 答案：B解析：3nx⎛+ ⎝展开式中的第r ＋1项为C r n (3x )n －r 32rx -＝52C 3n r r n r n x --，若展开式中含常数项，则存在n ∈N ＋，r ∈N ，使52n r -＝0，故最小的n 值为5，故选B.8．(2020北京，理8)椭圆C ：22=143x y+的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )．A ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：B解析：设P 点坐标为(x 0，y 0)，则2200=143x y +， 2002PA y k x =-，1002PA y k x =+，于是12220222003334244PA PA x y k k x x -⋅===---. 故12314PA PA k k ＝－.∵2PA k ∈[－2，－1]，∴133,84PA k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选B.第二部分 (非选择题共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．(2020北京，理9)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1＞0”发生的概率为________．答案：23解析：由3a －1＞0得13a >，由几何概型知112313P -==. 10．(2020北京，理10)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i ＝__________.答案：5解析：第一次执行循环体后：a ＝5，i ＝2；第二次执行循环体后：a ＝16，i ＝3；第三次执行循环体后：a ＝8，i ＝4；第四次执行循环体后：a ＝4，i ＝5，满足条件，循环结束．输出i ＝5. 11．(2020北京，理11)如图，在半径为7的O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，PA ＝PB ＝2，PD＝1，则圆心O 到弦CD 的距离为__________．答案：2解析：如图所示，取CD 中点E ，连结OE ，OC ．由圆内相交弦定理知PD ·PC ＝PA ·PB ，所以PC ＝4，CD ＝5，则CE ＝5，OC所以O 到CD 距离为OE 2=.12．(2020北京，理12)集合{－1,0,1}共有__________个子集．答案：8解析：由于集合{－1,0,1}有3个元素，故其子集个数为23＝8.13．(2020北京，理13)抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线22=133x y -相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.答案：6解析：抛物线的准线方程为2py =-，设A ，B 的横坐标分别为x A ，x B ，则|x A |2＝|x B |2＝234p +，所以|AB |＝|2x A |.又焦点到准线的距离为p ，由等边三角形的特点得||p AB =，即2234344p p ⎛⎫=⨯⨯+ ⎪⎝⎭，所以p ＝6.14．(2020北京，理14)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为__________．答案：10解析：设5个班级的人数分别为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则1234575x x x x x ++++=，2222212345777775x x x x x (-)+(-)+(-)+(-)+(-)＝4，即5个整数平方和为20，最大的数比7大不能超过3，否则方差超过4，故最大值为10，最小值为4.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤．15．(2020北京，理15)(本小题满分13分)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率； (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？解法一：(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X ≤3”的事件为A ，则事件A 的对立事件为“X ＝5”，因为P (X ＝5)＝2243515⨯=，所以P (A )＝1－P (X ＝5)＝1115，即这2人的累计得分X ≤3的概率为1115. (2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X 1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X 2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E (2X 1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E (3X 2)．由已知可得，X 1～B 22,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，X 2～B 22,5⎛⎫⎪⎝⎭，所以E (X 1)＝24233⨯=，E (X 2)＝24255⨯=，从而E (2X 1)＝2E (X 1)＝83，E (3X 2)＝3E (X 2)＝125.因为E (2X 1)＞E (3X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．解法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X ≤3”的事件为A ，则事件A 包含有“X ＝0”，“X ＝2”，“X ＝3”三个两两互斥的事件，因为P (X ＝0)＝22111355⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，P (X ＝2)＝2221355⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，P (X ＝3)＝22213515⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭，所以P (A )＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1115，即这2人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X 1，都选择方案乙所获得的累计得分为X 2，则X 1，X 2的分布列如下：所以E (X 1)＝0×19＋2×49＋4×9＝3，E (X 2)＝0×25＋3×1225＋6×425＝125.因为E (X 1)＞E (X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．16．(2020北京，理16)(本小题满分12分)已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得331211125,||10,a q a q a q ⎧=⎨-=⎩ 解得15,33,a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩或15,1.a q =⎧⎨=-⎩故1533n n a -=⋅，或a n ＝－5·(－1)n －1.(2)若1533n n a -=⋅，则113153n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，故1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为35，公比为13的等比数列，从而1311531 =113mmn na =⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-∑＝9191<110310m⎡⎤⎛⎫⋅-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 若a n ＝(－5)·(－1)n －1，则111(1)5n n a -=--，故1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为15-，公比为－1的等比数列，从而11,21,150,2,mn n m k k a m k k +=+⎧-=-(∈)⎪=⎨⎪=(∈)⎩∑N N 故111mn n a =<∑.综上，对任何正整数m ，总有111mn na =<∑.故不存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥成立． 17．(2020北京，理17)(本小题满分12分)如图，在直棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AC ⊥BD，BC ＝1，AD ＝AA 1＝3.(1)证明：AC ⊥B 1D ；(2)求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值．解法1：(1)如图，因为BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥BB 1. 又AC ⊥BD ，所以AC ⊥平面BB 1D ．而B 1D ⊂平面BB 1D ，所以AC ⊥B 1D ．(2)因为B 1C 1∥AD ，所以直线B 1C 1与平面ACD 1所成的角等于直线AD 与平面ACD 1所成的角(记为θ)．如图，连结A 1D ，因为棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1是直棱柱，且∠B 1A 1D 1＝∠BAD ＝90°，所以A 1B 1⊥平面ADD 1A 1.从而A 1B 1⊥AD 1.又AD ＝AA 1＝3，所以四边形ADD 1A 1是正方形，于是A 1D ⊥AD 1. 故AD 1⊥平面A 1B 1D ，于是AD 1⊥B 1D ．由(1)知，AC ⊥B 1D ，所以B 1D ⊥平面ACD 1.故∠ADB 1＝90°－θ.在直角梯形ABCD 中，因为AC ⊥BD ，所以∠BAC ＝∠ADB ．从而Rt △ABC ∽Rt △DAB ，故AB BC DA AB=.即AB=. 连结AB 1，易知△AB 1D 是直角三角形，且B 1D 2＝BB 12＋BD 2＝BB 12＋AB 2＋AD 2＝21，即B 1D在Rt △AB 1D 中，cos ∠ADB 1＝17AD B D ==，即cos(90°－θ)＝7. 从而sin θ＝7. 即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为7. 解法2：(1)易知，AB ，AD ，AA 1两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AB ＝t ，则相关各点的坐标为：A (0,0,0)，B (t,0,0)，B 1(t,0,3)，C (t,1,0)，C 1(t,1,3)，D (0,3,0)，D 1(0,3,3)．从而1B D ＝(－t,3，－3)，AC ＝(t,1,0)，BD ＝(－t,3,0)．因为AC ⊥BD ，所以AC ·BD ＝－t 2＋3＋0＝0.解得t =或t =(舍去)．于是1B D ＝(3-，3，－3)，AC ＝3，1,0)．因为AC ·1B D ＝－3＋3＋0＝0，所以AC ⊥1B D ，即AC ⊥B 1D ． (2)由(1)知，1AD ＝(0,3,3)，AC ＝，1,0)，11B C ＝(0,1,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面ACD 1的一个法向量，则10,0,AC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,330.y y z +=+=⎪⎩ 令x ＝1，则n ＝(1，．设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ，则 sin θ＝|cos 〈n ，11B C 〉|＝1111B C B C ⋅⋅n n7=. 即直线B1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为7. 18．(2020江苏，理18)(本小题满分16分)设函数f (x )＝ln x －ax ，g (x )＝e x －ax ，其中a 为实数．(1)若f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，且g (x )在(1，＋∞)上有最小值，求a 的取值范围； (2)若g (x )在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f (x )的零点个数，并证明你的结论．解：(1)令f ′(x )＝11axa x x--=＜0，考虑到f (x )的定义域为(0，＋∞)，故a ＞0，进而解得x＞a －1，即f (x )在(a －1，＋∞)上是单调减函数．同理，f (x )在(0，a －1)上是单调增函数．由于f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)⊆(a －1，＋∞)，从而a －1≤1，即a ≥1.令g ′(x )＝e x －a ＝0，得x ＝ln a ．当x ＜ln a 时，g ′(x )＜0；当x ＞ln a 时，g ′(x )＞0.又g (x )在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a ＞1，即a ＞e.综上，有a ∈(e ，＋∞)．(2)当a ≤0时，g (x )必为单调增函数；当a ＞0时，令g ′(x )＝e x －a ＞0，解得a ＜e x ，即x ＞ln a .因为g (x )在(－1，＋∞)上是单调增函数，类似(1)有ln a ≤－1，即0＜a ≤e －1.结合上述两种情况，有a ≤e －1.①当a ＝0时，由f (1)＝0以及f ′(x )＝1x＞0，得f (x )存在唯一的零点； ②当a ＜0时，由于f (e a )＝a －a e a ＝a (1－e a )＜0，f (1)＝－a ＞0，且函数f (x )在[e a,1]上的图象不间断，所以f (x )在(e a,1)上存在零点．另外，当x ＞0时，f ′(x )＝1x－a ＞0，故f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，所以f (x )只有一个零点．③当0＜a ≤e －1时，令f ′(x )＝1x－a ＝0，解得x ＝a －1.当0＜x ＜a －1时，f ′(x )＞0，当x ＞a－1时，f ′(x )＜0，所以，x ＝a －1是f (x )的最大值点，且最大值为f (a －1)＝－ln a －1.当－ln a －1＝0，即a ＝e －1时，f (x )有一个零点x ＝e.当－ln a －1＞0，即0＜a ＜e －1时，f (x )有两个零点．实际上，对于0＜a ＜e －1，由于f (e －1)＝－1－a e －1＜0，f (a －1)＞0，且函数f (x )在[e －1，a－1]上的图象不间断，所以f (x )在(e －1，a －1)上存在零点．另外，当x ∈(0，a －1)时，f ′(x )＝1x－a ＞0，故f (x )在(0，a －1)上是单调增函数，所以f (x )在(0，a －1)上只有一个零点．下面考虑f (x )在(a －1，＋∞)上的情况．先证f (e a －1)＝a (a －2－e a －1)＜0.为此，我们要证明：当x ＞e 时，e x ＞x 2.设h (x )＝e x －x 2，则h ′(x )＝e x －2x ，再设l (x )＝h ′(x )＝e x －2x ，则l ′(x )＝e x －2.当x ＞1时，l ′(x )＝e x －2＞e －2＞0，所以l (x )＝h ′(x )在(1，＋∞)上是单调增函数．故当x ＞2时，h ′(x )＝e x －2x ＞h ′(2)＝e 2－4＞0，从而h (x )在(2，＋∞)上是单调增函数，进而当x ＞e 时， h (x )＝e x －x 2＞h (e)＝e e －e 2＞0.即当x ＞e 时，e x ＞x 2.当0＜a ＜e －1，即a －1＞e 时，f (e a －1)＝a －1－a e a －1＝a (a －2－e a －1)＜0，又f (a －1)＞0，且函数f (x )在[a －1，e a －1]上的图象不间断，所以f (x )在(a －1，e a －1)上存在零点．又当x ＞a －1时，f ′(x )＝1x－a ＜0，故f (x )在(a －1，＋∞)上是单调减函数，所以f (x )在(a －1，＋∞)上只有一个零点．综合①，②，③，当a ≤0或a ＝e －1时，f (x )的零点个数为1，当 0＜a ＜e －1时，f (x )的零点个数为2.19．(2020北京，理19)(本小题满分12分)如图，四棱锥PABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，E 为BD的中点，G 为PD 的中点，△DAB ≌△DCB ，EA ＝EB ＝AB ＝1，PA ＝32，连接CE 并延长交AD 于F .(1)求证：AD ⊥平面CFG ；(2)求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值．解：(1)在△ABD 中，因为E 是BD 中点，所以EA ＝EB＝ED ＝AB ＝1，故∠BAD ＝π2，∠ABE ＝∠AEB ＝π3，因为△DAB ≌△DCB ，所以△EAB ≌△ECB ，从而有∠FED ＝∠BEC ＝∠AEB ＝π3，所以∠FED ＝∠FEA ，故EF ⊥AD ，AF ＝FD ，又因为PG ＝GD ，所以FG ∥PA . 又PA ⊥平面ABCD ，所以CF ⊥AD ，故AD ⊥平面CFG .(2)以点A为坐标原点建立如图所示的坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C3,022⎛⎫⎪⎪⎝⎭，D(0，0)，P30,0,2⎛⎫⎪⎝⎭，故1,,022BC⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，33,,222CP⎛⎫=--⎪⎪⎝⎭，3,22CD⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭.设平面BCP的法向量n1＝(1，y1，z1)，则11110,22330,222yy z⎧+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩解得1132,3yz⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即n1＝21,3⎛⎫⎪⎪⎝⎭.设平面DCP的法向量n2＝(1，y2，z2)，则22230,22330,222yy z⎧-+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩解得222.yz⎧=⎪⎨=⎪⎩即n2＝(1，2)．从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为cos θ＝21124||||||⋅==n nn n.20．(2020北京，理20)(本小题满分15分) 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，πcos4ρθ⎛⎫-⎪⎝⎭.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为33,12x t aby t⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(t∈R 为参数)，求a，b的值．解：(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.解2224,40x yx y⎧+(-)=⎨+-=⎩得110,4,xy=⎧⎨=⎩222,2.xy=⎧⎨=⎩所以C1与C2交点的极坐标为π4,2⎛⎫⎪⎝⎭，π4⎛⎫⎪⎝⎭.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0. 由参数方程可得122b ab y x =-+. 所以1,212,2b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得a ＝－1，b ＝2.。

2020年北京市高考数学压轴试卷(含答案解析)

2020年北京市高考数学压轴试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设复数z满足，则A. B. C. D.2.设集合0，1，2，，，则A. B. 1， C. 2， D. 1，2，3.已知定义域为R的奇函数满足，且当时，，则A. B. C. D.4.函数其中e为自然对数的底数图象的大致形状是A. B.C. D.5.已知坐标原点到直线l的距离为2，且直线l与圆相切，则满足条件的直线l有A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条6.函数的单调递增区间是A. B.C. D.7.某三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为A. 10B. 20C. 30D. 608.已知点在抛物线C：的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为A. B. C. D.9.已知，则“”是“”的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件10.已知随机变量的分布列为：x yP y x则下列说法正确的是A. 存在x，，B. 对任意x，，C. 对任意x，，D. 存在x，，二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知曲线的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为______．12.函数的最小正周期等于______．13.在中，若，，，求的面积______．14.已知是各项均为正数的等比数列，，，则的通项公式______；设数列的前n项和为，则______．15.已知函数，下列命题正确的有______写出所有正确命题的编号是奇函数；在R上是单调递增函数；方程有且仅有1个实数根；如果对任意，都有，那么k的最大值为2．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.已知函数为常数，且．在下列条件中选择一个______使数列是等比数列，说明理由；数列是首项为2，公比为2的等比数列；数列是首项为4，公差为2的等差数列；数列是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．在的条件下，当时，设，求数列的前n项和．17.在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，Q为PD中点．Ⅰ求证：；Ⅱ求异面直线PC与BQ所成角的余弦值．18.已知函数Ⅰ求函数的单调区间；Ⅱ当时，若在上有零点，求实数a的取值范围．19.自由购是通过自助结算方式购物的一种形式．某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：20以下70以上使用人数312176420未使用人数003143630现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用X表示这3人中年龄在的人数，求随机变量X的分布列及数学期望；为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋．20.已知椭圆C：．求椭圆C的标准方程和离心率；是否存在过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21.对于，定义一个如下数阵：，其中对任意的，，当i能整除j时，；当i不能整除j时，设．Ⅰ当时，试写出数阵并计算；Ⅱ若表示不超过x的最大整数，求证：；Ⅲ若，，求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：由，得，，则．故选：A．把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．2.答案：B解析：解：解得，，或；，或；；1，．故选：B．解不等式即可得出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．考查列举法、描述法表示集合的概念，以及一元二次不等式的解法，补集、交集的运算．3.答案：B解析：解：根据题意，函数为奇函数且满足，则，又由当时，，则；则有，故选：B．根据题意，由函数的奇偶性和周期性分析可得，结合函数的解析式求出的值，即可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质应用，涉及函数的周期，属于基础题．4.答案：B解析：【分析】本题考查了函数图象的判断，考查函数奇偶性的应用，属于中档题．判断的奇偶性，再根据在上的函数值的符号得出答案．【解答】解：，．为奇函数，图象关于原点对称，排除A，C；当时，，，，排除D，故选：B．5.答案：A解析：【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，属基础题．设出直线l：，再根据点到直线距离为2和直线与圆相切列方程组成方程组解得，只有一解．【解答】解：显然直线l有斜率，设l：，则，即，又直线l与圆相切，，联立，，，所以直线l的方程为，故选：A．6.答案：C解析：解：对于函数，令，求得，故函数的单调增区间为，，故选：C．由题意利用正弦函数的的单调性，求得结果．本题主要考查正弦函数的的单调性，属于基础题．7.答案：A解析：解：由题意可知几何体是底面是直角三角形的三棱锥，顶点在底面的射影与底面三角形组成长方形，底面三角形的直角边长为：3，5，棱锥的高为4，射影几何体的体积为：．故选：A．判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，考查空间想象能力以及计算能力．8.答案：C解析：【分析】本题考查抛物线的性质，考查直线斜率的计算，考查学生的计算能力，属于基础题．利用点在抛物线C：的准线上，确定焦点F的坐标，即可求出直线AF的斜率．【解答】解：点在抛物线C：的准线上，，，直线AF的斜率为．故选：C．9.答案：C解析：解：，由，，反之也成立．“”是“”的充要条件．故选：C．：，由，可得，化简即可判断出关系．本题考查了向量垂直与数量积的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.答案：C解析：解：由随机变量的分布列得：x，，且，对任意x，，，由此排除A和B；取时，则，，排除D．故选：C．对任意x，，，由此排除A和B；取时，求出，，排除D．本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查排除法、特殊值法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.答案：2解析：解：曲线的导数为，曲线的一条切线的斜率是3，切点的横坐标为n，则，解得，故答案为：2．求出函数的导数，通过切线的斜率，转化求解切点的横坐标即可．本题考查导数的运用：求切线方程，正确理解函数导数的几何意义以及转化求解是解题的关键．12.答案：解析：解：因为函数；故最小正周期等于．故答案为：先根据二倍角的余弦公式将函数化简为的形式，再由得到答案．本题主要考查三角函数最小正周期的求法，一般先将函数化简为的形式，再由可解题．13.答案：或解析：解：在中，设，由余弦定理可得，，，或．当时，的面积为，当时，的面积为，故答案为或．设，由余弦定理可得，解出x的值，代入的面积为，运算求得结果．本题考查余弦定理的应用，求得BC的长度或，是解题的关键．14.答案：解析：解：设等比数列的公比为q，由题知，，，；，．故填：，．先由，求出公比q，再求与，最后求．本题主要考查等比数列、等差数列的通项公式与前n项和的求法，属于基础题．15.答案：解析：解：根据题意，依次分析4个命题：对于、，定义域是R，且，是奇函数；故正确；对于、若，则，故在R递增；故正确；对于、，令，令可得，，即方程有一根，，，则方程有一根在之间，故错误；对于、如果对任意，都有，即恒成立，令，且，若恒成立，则必有恒成立，若，即恒成立，而，若有，故正确；综合可得：正确；故答案为：．根据题意，依次分析4个命题，对于、由奇函数的定义分析可得正确；对于、对函数求导，分析可得，分析可得正确；对于、，分析可得，即方程有一根，进而利用二分法分析可得有一根在之间，即方程至少有2跟，故错误，对于、由函数的恒成立问题的分析方法，分析可得正确，综合可得答案．本题考查函数的奇偶性、单调性的判定，以及方程的根与恒成立问题的综合应用，关键是利用二分法．16.答案：解析：解：不能使数列是等比数列，可以．由题意，即，可得，且，，由常数且，可得为非零常数，则是为首项、为公比的等比数列；由可得，当时，，，可得，前n项和．选，由和对数的运算性质，以及等比数列的定义，即可得到结论；运用等比数列的通项公式可得，进而得到，由数列的裂项相消求和可得所求和．本题考查等比数列的定义和通项公式，数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．17.答案：证明：如图所示，0，，0，，0，，2，，1，，1，，2，，1，，由，，；Ⅱ解：，，．异面直线PC与BQ所成角的余弦值为．解析：建立空间直角坐标系，只要证明，即可证明结论．Ⅱ，，，利用向量夹角公式即可得出．本题考查了异面直线所成的角、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.答案：解：Ⅰ函数的定义域为，．由，可得或，当时，在上恒成立，的单调递增区间是，没有单调递减区间；当时，由，解得，函数单调递增，由，解得，函数单调递减，的单调递减区间是，单调递增区间是．当时，由，解得，函数单调递增，由，解得，函数单调递减，的单调递减区间是，单调递增区间是．Ⅱ当时，的单调递减区间是，单调递增区间是．在上有零点的必要条件是，即，．而，若，在是减函数，，在上没有零点．若，，在上是增函数，在上是减函数，在上有零点等价于，即，解得综上所述，实数a的取值范围是．解析：Ⅰ先求出函数的定义域，再求导，分类讨论，即可求出函数的单调区间，Ⅱ在上有零点等价于，解得即可本题考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，考查了运算能力和转化能力和分类讨论的能力，属于中档题．19.答案：解：在随机抽取的100名顾客中，年龄在且未使用自由购的共有人，所以随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率为．所有的可能取值为1，2，3，；；．所以X的分布列为X123P所以X的数学期望为．在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有人，所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为．解析：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．利用古典概型概率个数求解即可．求出X的可能值，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有人，然后求解即可．20.答案：解：椭圆C：，即有标准方程为，可得，，，；假设存在过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足，可设直线l的方程为，联立椭圆方程，可得，，即，设，，可得，，由，可得，即，即，将代入可得，，消去，可得，解得，故存在这样的直线l，且方程为或．解析：将椭圆方程化为标准方程，可得a，b，c，由离心率公式可得所求值；假设存在过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足，可设直线l的方程为，联立椭圆方程，消去x可得y的二次方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量共线的坐标表示，化简整理解方程，即可判断是否存在这样的直线．本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查向量共线的坐标表示，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．21.答案：解：Ⅰ依题意可得，．Ⅱ由题意可知，是数阵的第j列的和，因此是数阵所有数的和．而数阵所有数的和也可以考虑按行相加．对任意的，不超过n的倍数有1i，2i，，．因此数阵的第i行中有个1，其余是0，即第i行的和为．所以．Ⅲ证明：由的定义可知，，所以所以．考查定积分，将区间分成等分，则的不足近似值为，的过剩近似值为所以．所以所以．所以．解析：Ⅰ依题意可得，．Ⅱ由题意可知，是数阵的第j列的和，因此是数阵所有数的和．而数阵所有数的和也可以考虑按行相加．对任意的，不超过n的倍数有1i，2i，，因此数阵的第i行中有个1，其余是0，即第i行的和为从而得到结果．Ⅲ由的定义可知，，所以所以再考查定积分，根据曲边梯形的面积的计算即可证得结论．本小题主要考查高阶矩阵、矩阵的应用、定积分等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．。

2020届高考数学仿真押题卷02 北京卷理新人教A版

2020届高考数学仿真押题卷——北京卷（理2）第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）已知全集U =R ，集合{|021}xA x =<<，3{|log 0}B x x =>，则U ()A B I ð=（A ）{|1}x x > （B ）{|0}x x > （C ）{|01}x x << （D ）{|0}x x <（2）设,x y ∈R ，那么“0>>y x ”是“1>yx”的（A ）必要不充分条件（B ）充分不必要条件（C ）充分必要条（D ）既不充分又不必要条件（3）三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正视图(如图所示)的面积为8，则侧视图的面积为（A ） 8 （B ） 4（C）（D（4）已知随机变量X 服从正态分布(, 4)N a ，且(1)0.5P X >=，则实数 a 的值为（A ）1 （B（C ）2 （D ）4（5）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有（A ）120个（B ）80个（C ）40个（D ）20个（6）点P 是抛物线x y 42=上一动点，则点P 到点(0,1)A -的距离与到直线1-=x 的距离和的最小值是（A（B（C ）2 （D ）2（7）已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是棱1BB ，1DD 上的动点，且1BE D F λ==1(0)2λ<≤．设EF 与AB 所成的角为α，与BC 所成的角为β，则αβ+的最小值（A ）不存在（B ）等于60︒ （C ）等于90︒ （D ）等于120︒（8）已知点P 是ABC ∆的中位线EF 上任意一点，且//EF BC ，实数x ，y 满足PA xPB yPC ++=0u u u r u u u r u u u r．设ABC ∆，PBC ∆，PCA ∆，PAB ∆的面积分别为S ，1S ，2S ，3S ，记11S S λ=，22SS λ=，33S Sλ=．则23λλ⋅取最大值时，2x y +的值为正视图（A ）32 （B ）12（C ） 1 （D ）2 第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. （9）已知复数z 满足1iz i =-，则z = .（10）曲线C ：cos 1,sin 1x y θθ=-⎧⎨=+⎩（θ为参数）的普通方程为 .（11）曲线233y x =-与x 轴所围成的图形面积为________.(12)已知数列{}n a 满足12a =，且*1120,n n n n a a a a n +++-=∈N ，则2a = ；并归纳出数列{}n a 的通项公式n a = .(13)如图，PA 与圆O 相切点A ，PCB 为圆O 的割线，并且不过圆心O ，已知30BPA ∠=o，PA =1PC =，则PB = ；圆O 的半径等于．(14)已知函数2()(1)1f x ax b x b =+++-，且(0, 3)a ∈，则对于任意的b ∈R ，函数()()F x f x x =-总有两个不同的零点的概率是 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分13分）已知函数2()2sin sin()2sin 12f x x x x π=⋅+-+ ()x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若0()23x f =，0ππ(, )44x ∈-，求0cos 2x 的值. （16）（本小题满分13分）为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响. （Ⅰ）求该产品不能销售的概率；（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利-80元）.已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X 元，求X 的分布列，并求出均值E (X ). （17）（本小题满分13分）在长方形11AA B B 中，124AB AA ==，C ，1C 分别是AB ，11A B 的中点（如图1）. 将此长方形沿1CC 对折，使二面角11A CC B --为直二面角，D ，E 分别是11A B ，1CC 的中点（如图2）.（Ⅰ）求证：1C D ∥平面1A BE ；（Ⅱ）求证：平面1A BE ⊥平面11AA B B ；（Ⅲ）求直线1BC 与平面1A BE 所成角的正弦值.(18)（本小题满分13分）设函数2()ln ()f x x x a =+-，a ∈R . （Ⅰ）若0a =，求函数()f x 在[1,]e 上的最小值；（Ⅱ）若函数()f x 在1[, 2]2上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围；（Ⅲ）求函数)(x f 的极值点. (19)（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点(2, 1)A，离心率为2．过点(3, 0)B 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求BM BN ⋅u u u u r u u u r的取值范围；（Ⅲ）设直线AM 和直线AN 的斜率分别为AM k 和AN k ，求证:AM AN k k +为定值． (20)（本小题满分14分）对于正整数, a b ，存在唯一一对整数q 和r ，使得a bq r =+，0r b <≤. 特别地，当0r =时，称b 能整除a ，记作|b a ，已知{1, 2, 3,,23}A =⋅⋅⋅.图（1）（Ⅰ）存在q A ∈，使得201191 (091)q r r =+<≤，试求,q r 的值；（Ⅱ）求证：不存在这样的函数:{1,2,3}f A →，使得对任意的整数12,x x A ∈，若12||{1,2,3}x x -∈，则12()()f x f x ≠；（Ⅲ）若B A ⊆，12)(=B card （()card B 指集合B 中的元素的个数），且存在,a b B ∈，b a <，|b a ，则称B 为“和谐集”. 求最大的m A ∈，使含m 的集合A 的有12个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由.参考答案1. D 【解析】分别把两个集合表示为{}{}0,1A x x B x x =<=>，所以{}1U C B x x =≤，(){}0.U A C B x x =<I2. B 【解析】当0>>y x 时1>y x 成立，若1>yx，则出现0>>y x 和0x y <<两种情形.3. C 【解析】侧视图应为矩形，高为4，宽为22=因此侧视图的面积为 4. A 【解析】由(1)0.5P X >=可知 1.a μ==5. C 【解析】分四种情形处理，当中间数依次分别为3,4,5,6时，相应“伞数”的个数分别为22222345,,,,A A A A 所以2222234540.A A A A +++=6. D 【解析】点P 到点(0,1)A -的距离与到直线1-=x 的距离和转化为点P 到点(0,1)A -的距离与点P 到焦点()1,0F 的距离和，显然最小值为AF =7. C 【解析】在1AA 上取一点M ，使EM AB ∥，连结MF ，则MEF α∠=，同理可判断αβ=.在MFE ∆中，1,ME EF MF ===所以cos 2α=≥，所以min 45,α︒=因此()min 90.αβ︒+= 【易错点拨】在判断EF 与AB 所成的角α、BC 所成的角β时不能从图形直接判断为相等是本题解答的一个障碍，由三角函数值确定角也是较为容易出错的地方。

北京市2020年高考数学押题仿真卷(一)(解析版)

2020年北京市高考数学押题试卷（一）一、选择题（共10小题）.1．已知集合A ＝{x |﹣1≤x ＜3}，B ＝{x ∈Z|x 2＜4}，则A ∩B ＝（） A ．{0，1} B ．{﹣1，0，1}C ．{﹣1，0，1，2}D ．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．已知复数z =1+i1−i，则|z |＝（） A ．2B ．1C ．0D ．√23．（x −2x）6的展开式中的常数项为（） A ．﹣20B ．20C ．﹣160D ．1604．设a ，b ∈R ，若a ＞b ，则（） A ．1a＜1bB ．a +1b＞2C ．2a ＞2bD ．lga ＞lgb5．若角α的终边在第一象限，则下列三角函数值中不是sin α的是（） A ．cos(α−π2)B ．cos(π2−α)C ．−cos(α+π2)D ．cos(α+π2)6．设a →，b →是非零向量，则“a →，b →共线”是“|a →−b →|=|a →|−|b →|”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知双曲线x 2a+y 2=1的一条渐近线倾斜角为2π3，则a 的值为（）A ．﹣3B ．−13C ．3D ．√338．某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该三棱锥的体积为（）A ．4B ．2C ．83D ．439．在平行四边形ABCD 中，∠A =π3，AB ＝2，AD ＝1，若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足|BM →||BC →|=|CN →||CD →|，则AM →⋅AN →的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．510．已知函数f(x)={−x 2+2x +1，x ＜22x−2，x ≥2，且存在不同的实数x 1，x 2，x 3，使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则x 1•x 2•x 3的取值范围是（） A ．（0，3）B ．（1，2）C ．（0，2）D ．（1，3）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．函数f （x ）＝sin2x +cos2x 的最小正周期是．12．圆（x +3）2+y 2＝1的圆心到直线x +√3y +1=0的距离为．13．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝27，a 6＝1，则数列{a n }的公差为． 14．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图的腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为15．已知集合P＝{（x，y）|（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝4，0≤θ≤π}．由集合P中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”．给出下列结论：①“水滴”图形与y轴相交，最高点记为A，则点A的坐标为(0，√3)；②在集合P中任取一点M，则M到原点的距离的最大值为4；③阴影部分与y轴相交，最高点和最低点分别记为C，D，则|CD|=3+√3；④白色“水滴”图形的面积是116π−√3．其中正确的有．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．已知△ABC满足，且b=√6，A=2π3，求sin C的值及△ABC的面积．从①B=π4，②a=√3，③a＝3√2sin B这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，AB＝BB1＝2BC＝2，BC1=√3，点E为A1C1的中点．（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣E的大小．18．近年来，随着5G网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试．某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程（单位：万公里）将这些汽车分为4组：[5，6），[6，7），[7，8），[8，9]并整理得到如图的频率分布直方图：（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）该机构用分层抽样的方法，从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本．从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有X辆汽车行驶里程不小于8万公里，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）设该机构调查的所有无人驾驶汽车的行驶里程的平均数为μ0．若用分层抽样的方法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为μ1；若用简单随机抽样的方法从上述无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为μ2．有同学认为|μ0﹣μ1|＜|μ0﹣μ2|，你认为正确吗？说明理由．19．已知函数f(x)=lnx−1x−ax．（Ⅰ）当a＝2时，（i）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（ii）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若1＜a＜2，求证：f（x）＜﹣1．20．已知椭圆P的中心O在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点A（0，2√3），离心率为12（1）求椭圆P的方程；（2）是否存在过点E（0，﹣4）的直线l交椭圆P于点R，T，且满足OR→•OT→=167．若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．21．已知项数为m（m∈N*，m≥2）的数列{a n}满足如下条件：①a n∈N*（n＝1，2，…，m）；②a1＜a2＜…＜a m．若数列{b n}满足b n=(a1+a2+⋯+a m)−a nm−1∈N∗，其中n＝1，2，…，m，则称{b n}为{a n}的“伴随数列”．（Ⅰ）数列1，3，5，7，9是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）若{b n}为{a n}的“伴随数列”，证明：b1＞b2＞…＞b m；（Ⅲ）已知数列{a n}存在“伴随数列”{b n}，且a1＝1，a m＝2049，求m的最大值．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A＝{x|﹣1≤x＜3}，B＝{x∈Z|x2＜4}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【分析】容易求出B＝{﹣1，0，1}，然后进行交集的运算即可求出A∩B．解：解x2＜4得，﹣2＜x＜2；又x∈Z；∴B＝{﹣1，0，1}，且A＝{x|﹣1≤x＜3}；∴A∩B＝{﹣1，0，1}．故选：B．2．已知复数z=1+i1−i，则|z|＝（）A．2B．1C．0D．√2【分析】通过分母有理化即得结论．解：∵z=1+i1−i =(1+i)(1+i)(1−i)(1+i)=1+2i+i21−i2=i，∴|z|＝|i|＝1，故选：B．3．（x−2x）6的展开式中的常数项为（）A．﹣20B．20C．﹣160D．160【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于零，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．解：二项式（x−2x）6的展开式的通项公式为T r+1=∁6r•x6﹣r•（−2x）r＝（﹣2）r•∁6r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，解得r＝3，故展开式中的常数项为：（﹣2）3•∁63=−160．故选：C．4．设a，b∈R，若a＞b，则（）A．1a＜1bB．a+1b＞2C．2a＞2b D．lga＞lgb【分析】直接利用赋值法的应用和不等式的性质，即可得到正确选项．解：当a＝1，b＝0时，选项A、B、D不成立．∵a＞b，∴2a＞2b，故选：C．5．若角α的终边在第一象限，则下列三角函数值中不是sinα的是（）A．cos(α−π2)B．cos(π2−α)C．−cos(α+π2)D．cos(α+π2)【分析】利用诱导公式即可求解．解：对于A，由于cos(α−π2)=cos（π2−α）＝sinα，是对于B，由于cos(π2−α)=sinα，是对于C，−cos(α+π2)=sinα，是对于D ，cos(α+π2)=−sin α，不是故选：D ．6．设a →，b →是非零向量，则“a →，b →共线”是“|a →−b →|=|a →|−|b →|”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】若a →，b →共线反向，则|a →−b →|≠|a →|−|b →|；反之，若a →，b →是非零向量，且|a →−b →|=|a →|−|b →|，则a →，b →共线，再由充分必要条件的判定得答案．解：若a →，b →共线反向，则|a →−b →|≠|a →|−|b →|，则不充分；反之，若a →，b →是非零向量，且|a →−b →|=|a →|−|b →|，则a →，b →共线同向，且|a →|＞|b →|．则“a →，b →共线”是“|a →−b →|=|a →|−|b →|”的必要不充分条件．故选：B ．7．已知双曲线x 2a+y 2=1的一条渐近线倾斜角为2π3，则a 的值为（）A ．﹣3B ．−13C ．3D ．√33【分析】由双曲线方程求得渐近线方程，结合题意可得−a =tan 2π3，则a 的值可求．解：由双曲线x 2a+y 2=1的一条渐近线y =1√−a x ，一条渐近线的倾斜角为2π3，可得：1√−a =tan 2π3=−√3，解得：a =−13．故选：B ．8．某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该三棱锥的体积为（）A ．4B ．2C ．83D ．43【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．解：由题意几何体是直观图如图：是正方体的一部分，三棱锥P ﹣ABC ，正方体的棱长为：2，几何体的体积为：13×12×2×2×2=43．故选：D ．9．在平行四边形ABCD 中，∠A =π3，AB ＝2，AD ＝1，若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足|BM →||BC →|=|CN →||CD →|，则AM →⋅AN →的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】设|BM →||BC →|=|CN →||CD →|=k ，0≤k ≤1，建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，求出AM →•AN →的最小值即可．解：设|BM→||BC→|=|CN→||CD→|=k，0≤k≤1；建立如图所示的坐标系．A（0，0），B（2，0），D（12，√32），C（52，√32），由BM→=k BC→，CN→=k CD→，可得AM→=AB→+k BC→=（2+12k，√3k2），同理可得AN→=（52−2k，√32），∴AM→•AN→=（2+12k）（52−2k）+34k＝﹣k2﹣2k+5＝﹣（k+1）2+6，∵0≤k≤1，∴AM→•AN→的最小值是2，当且仅当M与点C重合，N与点D重合时取得最小值．故选：A．10．已知函数f(x)={−x2+2x+1，x＜22x−2，x≥2，且存在不同的实数x1，x2，x3，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则x1•x2•x3的取值范围是（）A．（0，3）B．（1，2）C．（0，2）D．（1，3）【分析】作出y＝f（x）的函数图象，设x1＜x2＜x3，f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝t，1＜t＜2，求得x1，x2，x3，构造函数g（t）＝（t﹣1）（2+log2t），1＜t＜2，求得导数，判断单调性，即可得到所求范围．解：函数f(x)={−x2+2x+1，x＜22x−2，x≥2的图象如图所示：设x1＜x2＜x3，又当x∈[2，+∞）时，f（x）＝2x﹣2是增函数，当x＝3时，f（x）＝2，设f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝t，1＜t＜2，即有﹣x12+2x1+1＝﹣x22+2x2+1＝2x3−2=t，故x1x2x3＝（1−√2−t）（1+√2−t）（2+log2t）＝（t﹣1）（2+log2t），由g（t）＝（t﹣1）（2+log2t），1＜t＜2，可得g′（t）＝2+log2t+t−1tln2＞0，即g（t）在（1，2）递增，可得g（t）的范围是（0，3）．故选：A．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11．函数f （x ）＝sin2x +cos2x 的最小正周期是 π ．【分析】由题意利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性，得出结论．解：函数f （x ）＝sin2x +cos2x =√2sin （2x +π4）的最小正周期是2π2=π，故答案为：π．12．圆（x +3）2+y 2＝1的圆心到直线x +√3y +1=0的距离为 1 ．【分析】直接利用点到直线的距离公式即可直接求解．解：圆（x +3）2+y 2＝1的圆心（﹣3，0）到直线x +√3y +1=0的距离d =|−3+√3×0+1|2=1．故答案为：1．13．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝27，a 6＝1，则数列{a n }的公差为 ﹣2 ．【分析】利用等差数列前n 项和公式和通项公式列出方程组，能求出该数列的首项和公差．解：∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 9＝27，a 6＝1，∴{S 9=9a 1+9×82d =27a 6=a 1+5d =1，解得a 1＝11，d ＝﹣2． ∴数列{a n }的公差为﹣2．故答案为：﹣2．14．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图的腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为 √3π2【分析】该几何体是一个四棱锥，底面是正方形，高等于正方形的边长．其四棱锥补成一个正方体，即可得出外接球．解：该几何体是一个四棱锥，底面是正方形，高等于正方形的边长．其四棱锥补成一个正方体，即可得出外接球．设其四棱锥的外接球的半径为r ，则3×12＝（2r ）2，解得r =√32．∴该几何体外接球的体积=43×π×（√32）3=√3π2．故答案为：√3π215．已知集合P ＝{（x ，y ）|（x ﹣cos θ）2+（y ﹣sin θ）2＝4，0≤θ≤π}．由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”．给出下列结论： ①“水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为(0，√3)； ②在集合P 中任取一点M ，则M 到原点的距离的最大值为4；③阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记为C ，D ，则|CD|=3+√3；④白色“水滴”图形的面积是116π−√3．其中正确的有 ①③④ ．【分析】①方程（x ﹣cos θ）2+（y ﹣sin θ）2＝4中，令x ＝0求得y 的取值范围，得出最高点的坐标；②利用参数法求出点M 到原点的距离d ，求出最大值； ③求出知最高点C 与最低点D 的距离|CD |；④计算“水滴”图形的面积是由一个等腰三角形，两个全等的弓形和一个半圆组成．解：对于①，方程（x ﹣cos θ）2+（y ﹣sin θ）2＝4中，令x ＝0，得cos 2θ+y 2﹣2y sin θ+sin 2θ＝4，所以2sin θ＝y −3y ，其中θ∈[0，π]，所以sin θ∈[0，1]，所以y −3y ∈[0，2]，解得y ∈[−√3，﹣1]∪[√3，3]；所以点A （0，√3），点B （0，﹣1），点C （0，3），点D （0，−√3），所以①正确；对于②，由（x ﹣cos θ）2+（y ﹣sin θ）2＝4，设{x =2cosα+cosθy =2sinα+sinθ，则点M 到原点的距离为d =√x 2+y 2=√(2cosα+cosθ)2+(2sinα+sinθ)2=√5+4cos(α−θ)，当α＝θ时，cos （α﹣θ）＝1，d 取得最大值为3，所以②错误；对于③，由①知最高点为C（0，3），最低点为D（0，−√3），所以|CD|＝3+√3，③正确；对于④，“水滴”图形是由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成；计算它的面积是S＝S半圆+2S弓形+S△=12π×12+2×（2π3−√3）+12×2×√3=116−√3，所以④正确；综上知，正确的命题序号是①③④．故答案为：①③④．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．已知△ABC满足①，且b=√6，A=2π3，求sin C的值及△ABC的面积．从①B=π4，②a=√3，③a＝3√2sin B这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【分析】选①，由sin C＝sin（A+B），利用正弦的和角公式展开求解即可得到sin C，再由正弦定理求得a，由此即可求得三角形面积．选②，由正弦定理结合已知数据可得sin B＞1，此时三角形无解；选③，先由正弦定理结合已知条件求得sinB=√22，再根据诱导公式及和差角公式可得sin C的值，再进一步求得面积．解：选①，由A+B+C＝π可知，sinC=sin[π−(A+B)]=sin(A+B)=sin(2π3+π4)=sin2π3cosπ4+cos2π3sinπ4=√32×√22−12×√22=√6−√24；由正弦定理有asinA =bsinB，即asin2π3=√6sinπ4，解得a＝3，∴S△ABC=12absinC=12×3×√6×√6−√24=9−3√34．选②，∵a=√3，b=√6，A=2π3，∴由正弦定理可得，asinA =bsinB，即√3sin2π3=√6sinB，解得sinB=√6sin2π33=√62＞1，此时无解；选③，∵a＝3√2sin B，b=√6，A=2π3，∴由正弦定理可得，asinA =bsinB，即a sin B＝b sin A，∴3√2sin2B=√6sin2π3=√6×√32，∴sin2B=12，又B为△ABC内角，∴sinB=√22，又A=2π3，故B=π4，a=3√2×√22=3，∴sinC=sin(A+B)=sin2π3cosπ4+cos2π3sinπ4=√32×√22−12×√22=√6−√24，∴S△ABC=12absinC=12×3×√6×√6−√24=9−3√34．17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，AB＝BB1＝2BC＝2，BC1=√3，点E为A1C1的中点．（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣E的大小．【分析】（Ⅰ）证明AB ⊥C 1B ．CB ⊥C 1B ．利用直线与平面垂直的判断定理证明C 1B ⊥平面ABC ．（Ⅱ）以B 为原点建立空间直角坐标系B ﹣xyz ．求出平面BCE 的法向量，平面ABC 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的大大小即可．【解答】（Ⅰ）证明：因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，C 1B ⊂平面BB 1C 1C ，所以AB ⊥C 1B ．在△BCC 1中，BC ＝1，BC 1=√3，CC 1＝2，所以BC 2+BC 12=CC 12．所以CB ⊥C 1B ．因为AB ∩BC ＝B ，AB ，BC ⊂平面ABC ，所以C 1B ⊥平面ABC ．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，AB ⊥C 1B ，BC ⊥C 1B ，AB ⊥BC ，如图，以B 为原点建立空间直角坐标系B ﹣xyz ．则B （0，0，0），E(−12，√3，1)，C （1，0，0）.BC →=(1，0，0)，BE →=(−12，√3，1)．设平面BCE 的法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅BC →=0n →⋅BE →=0，即{x =0，−12x +√3y +z =0. 令y =√3则x ＝0，z ＝﹣3，所以n →=(0，√3，−3)．又因为平面ABC 的法向量为m →=（0，1，0），所以cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=12．由题知二面角A ﹣BC ﹣E 为锐角，所以其大小为π3．18．近年来，随着5G 网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试．某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程（单位：万公里）将这些汽车分为4组：[5，6），[6，7），[7，8），[8，9]并整理得到如图的频率分布直方图：（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）该机构用分层抽样的方法，从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本．从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有X 辆汽车行驶里程不小于8万公里，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）设该机构调查的所有无人驾驶汽车的行驶里程的平均数为μ0．若用分层抽样的方法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为μ1；若用简单随机抽样的方法从上述无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为μ2．有同学认为|μ0﹣μ1|＜|μ0﹣μ2|，你认为正确吗？说明理由．【分析】（Ⅰ）利用频率分布直方图列出关系式，求解a；（Ⅱ）求出X的可能取值为：0，1，2；求出概率，得到X的分布列然后求解数学期望；（Ⅲ）判断有可能μ1更接近μ0，也有可能μ2更接近μ0，说明|μ0﹣μ1|＜|μ0﹣μ2|不恒成立，说明结果即可．解：（Ⅰ）由题意可得1×（0.1+0.2+0.4+a）＝1可得a＝0.3；（Ⅱ）4组无人驾驶汽车的数量比为：1：2：4：3；若使用分层抽样抽取10辆汽车，则行驶里程在[7，8）这一组的无人驾驶汽车有10×410=4辆，行驶里程在[8，9）这一组的无人驾驶汽车有10×310=3辆，由题意可知X的可能取值为：0，1，2；P（X＝0）=C42C72=27，P（X＝1）=C41C31C72=47，P（X＝2）=C32C72=17，X的分布列为：X012P274717所以X的数学期望：EX=0×27+1×47+2×17=67．（Ⅲ）这种说法不正确．理由如下：由于样本具有随机性，故μ1、μ2是随机变量，受抽样结果影响，因此有可能μ1更接近μ0，也有可能μ2更接近μ0，所以|μ0﹣μ1|＜|μ0﹣μ2|不恒成立，所以这种说法不正确． 19．已知函数f(x)=lnx−1x−ax ．（Ⅰ）当a ＝2时，（i ）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（ii ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若1＜a ＜2，求证：f （x ）＜﹣1．【分析】（Ⅰ）（i ）根据题意，求出函数的导数，据此计算f ′（1）与f （1），即可得切线的斜率以及切点的坐标，由直线的点斜式方程即可得答案；（ii ）根据题意，令g （x ）＝2﹣lnx ﹣2x 2，分析g （x ）的符号，即可得函数f （x ）的导数的符号，即可得函数f （x ）的单调区间，（Ⅱ）根据题意，f （x ）＜﹣1，即lnx−1x−ax ＜−1，设h(x)=lnx−1x−ax +1(x ＞0)，对h （x ）求导分析可得h （x ）的单调性，分析h （x ）的最值，即可得结论．解：（Ⅰ）当a ＝2时，f(x)=lnx−1x−2x ，定义域为（0，+∞）， f′(x)=2−lnx x 2−2=2−lnx−2x 2x 2， f ′（1）＝﹣1﹣2＝﹣3， f '（1）＝2﹣2＝0；所以切点坐标为（1，﹣3），切线斜率为0 所以切线方程为y ＝﹣3；（ii ）令g （x ）＝2﹣lnx ﹣2x 2，g′(x)=−1x −4x ＜0所以g （x ）在（0，+∞）上单调递减，且g （1）＝0所以当x ∈（0，1）时，g （x ）＞0即f '（x ）＞0 所以当x ∈（1，+∞）时，g （x ）＜0即f '（x ）＜0综上所述，f （x ）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）．（Ⅱ）证明：f （x ）＜﹣1，即lnx−1x−ax ＜−1设h(x)=lnx−1x −ax +1(x ＞0)，h′(x)=2−lnx x 2−a =−ax 2−lnx+2x 2，设φ（x ）＝﹣ax 2﹣lnx +2φ′(x)=−2ax −1x =−2ax 2−1x＜0所以φ'（x ）在（0，+∞）小于零恒成立即h '（x ）在（0，+∞）上单调递减因为1＜a ＜2，所以h '（1）＝2﹣a ＞0，h '（e 2）＝﹣a ＜0，所以在（1，e 2）上必存在一个x 0使得h′(x 0)=−ax 02−lnx 0+2x 02=0，即lnx 0=−ax 02+2，所以当x ∈（0，x 0）时，h '（x ）＞0，h （x ）单调递增，当x ∈（x 0，+∞）时，h '（x ）＜0，h （x ）单调递减，所以h(x)max =h(x 0)=lnx 0−1x 0−ax 0，因为lnx 0=−ax 02+2，所以h(x 0)=−2ax 02+x 0+1x 0，令h （x 0）＝0得x 0=1±√1+8a 4a，因为1＜a ＜2，所以1−√1+8a4a＜0，1+√1+8a4a＜1，因为x 0∈(1，e 2)，所以h （x 0）＜0恒成立，即h （x ）＜0恒成立，综上所述，当1＜a ＜2时，f （x ）＜﹣1．20．已知椭圆P 的中心O 在坐标原点，焦点在x 轴上，且经过点A （0，2√3），离心率为12（1）求椭圆P 的方程；（2）是否存在过点E （0，﹣4）的直线l 交椭圆P 于点R ，T ，且满足OR →•OT →=167．若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设椭圆P 的方程为 x 2a 2+y 2b 2═1 （a ＞b ＞0），由椭圆经过点A （0，2√3），离心率为12，求得a 和b 的值，从而求得椭圆P 的方程．（2）由{y =kx −4x 216+y 212=1可得 x 1+x 2 和x 1•x 2 的值，可得y 1•y 2的值，根据 OR →•OT →=167，求出k ＝±1，从而得到直线l 的方程．解：（1）设椭圆P 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1 （a ＞b ＞0），由题意得b ＝2√3，c a=12，∴a ＝2c ，b 2＝a 2﹣c 2＝3c 2，∴c ＝2，a ＝4，∴椭圆P 的方程为：x 216+y 212=1．（2）假设存在满足题意的直线L ．易知当直线的斜率不存在时，OR →•OT →＜0，不满足题意．故设直线L 的斜率为k ，R （x 1，y 1），T （x 2，y 2 ）．∵OR →•OT →=167，∴x 1•x 2+y 1•y 2=167，由{y =kx −4x 216+y 212=1可得（3+4k 2 ）x 2﹣32kx +16＝0，由△＝（﹣32k ）2﹣4（3+4k 2）•16＞0，解得 k 2＞14①．∴x 1+x 2=32k 3+4k2，x 1•x 2=163+4k2，∴y 1•y 2＝（kx 1﹣4 ）（kx 2﹣4）＝k 2 x 1•x 2﹣4k （x 1+x 2）+16， ∴x 1•x 2+y 1•y 2=163+4k2+16k23+4k2−128k23+4k2+16=167，∴k 2＝1 ②，由①、②解得 k ＝±1，∴直线l 的方程为 y ＝±x ﹣4，故存在直线l ：x +y +4＝0，或 x ﹣y ﹣4＝0，满足题意．21．已知项数为m （m ∈一、选择题*，m ≥2）的数列{a n }满足如下条件：①a n ∈N *（n ＝1，2，…，m ）；②a 1＜a 2＜…＜a m ．若数列{b n }满足b n =(a 1+a 2+⋯+a m )−a nm−1∈N ∗，其中n ＝1，2，…，m ，则称{b n }为{a n }的“伴随数列”．（Ⅰ）数列1，3，5，7，9是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）若{b n }为{a n }的“伴随数列”，证明：b 1＞b 2＞…＞b m ；（Ⅲ）已知数列{a n }存在“伴随数列”{b n }，且a 1＝1，a m ＝2049，求m 的最大值．【分析】（Ⅰ）根据题目中“伴随数列”的定义得b 4=1+3+5+7+9−75−1=92∉N ∗，所以数列1，3，5，7，9不存在“伴随数列”．（Ⅱ）只要用作差法证明{b n }的单调性即可，（Ⅲ）∀1≤i ＜j ≤m ，都有b i −b j =a j −ai m−1，因为b i ∈N ∗，b 1＞b 2＞…＞b m ．因为b n−1−b n =a n −a n−1m−1∈N ∗，所以a n ﹣a n ﹣1≥m ﹣1，又a m ﹣a 1＝（a m ﹣a m ﹣1）+（a m ﹣1﹣a m ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）≥（m ﹣1）+（m ﹣1）+…+（m ﹣1）＝（m ﹣1）2．所以2049﹣1≥（m ﹣1）2，即可解得m的最大值．解：（Ⅰ）数列1，3，5，7，9不存在“伴随数列”．因为b4=1+3+5+7+9−75−1=92∉N∗，所以数列1，3，5，7，9不存在“伴随数列”．（Ⅱ）证明：因为b n+1−b n=a n−a n+1m−1，1≤n≤m﹣1，n∈N*，又因为a1＜a2＜…＜a m，所以有a n﹣a n+1＜0，所以b n+1−b n=a n−a n+1m−1＜0，所以b1＞b2＞…＞b m成立．（Ⅲ）∀1≤i＜j≤m，都有b i−b j=a j−a i m−1，因为b i∈N∗，b1＞b2＞…＞b m．所以b i−b j∈N∗，所以b i−b j=a j−a im−1∈N∗，所以b1−b m=a m−a1m−1=2048m−1∈N∗，因为b n−1−b n=a n−a n−1m−1∈N∗，所以a n﹣a n﹣1≥m﹣1，又a m﹣a1＝（a m﹣a m﹣1）+（a m﹣1﹣a m﹣2）+…+（a2﹣a1）≥（m﹣1）+（m﹣1）+…+（m ﹣1）＝（m﹣1）2．所以2049﹣1≥（m﹣1）2所以（m﹣1）2≤2048，所以m≤46，又2048m−1∈N ∗，所以m ≤33，例如：a n ＝64n ﹣63（1≤n ≤33），满足题意，所以，m 的最大值是33．。

2020高考理科数学预测押题卷北京卷

2020年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(北京卷)本试卷共5页，150分，考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. (2020北京，理1)复数()i 2i -=（）A.12i +B.12i -C.12i -+D.12i -- 答案: A 解析:()2i 2i 2i i 12i-=-=+，故选A ．2．(2020北京，理2)若x ，y 满足，则2x+y 的最大值为（） A ．0 B ．3 C ．4 D ．5【考点】7C ：简单线性规划．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；33：函数思想；35：转化思想．【分析】作出不等式组对应的平面区域，目标函数的几何意义是直线的纵截距，利用数形结合即可求z 的取值范围．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设z=2x+y 得y=﹣2x+z,平移直线y=﹣2x+z ，由图象可知当直线y=﹣2x+z 经过点A 时，直线y=﹣2x+z 的截距最大，此时z 最大．由，解得，即A （1，2），代入目标函数z=2x+y 得z=1×2+2=4．即目标函数z=2x+y的最大值为4．故选：C ．3．(2020北京，理3)已知直线l的参数方程为13,(24x tty t=+ìí=+î为参数），则点(1,0)到直线l的距离是()A．15B．25C．45D．65【思路分析】消参数t化参数方程为普通方程，再由点到直线的距离公式求解．【解析】：由13(24x tty t=+ìí=+î为参数），消去t，可得4320x y-+=．则点(1,0)到直线l的距离是65d==．故选：D．【归纳与总结】本题考查参数方程化普通方程，考查点到直线距离公式的应用，是基础题．4．(2020北京，理4)执行如图所示的程序框图，输出的S值为()．A．1 B．23C．1321D．610987答案：C解析：依次执行的循环为S ＝1，i ＝0；23S =，i ＝1；1321S =，i ＝2.故选C. 5．(2020北京，理5)设点A ，B ，C 不共线，则“AB !!!"与AC !!!"的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>!!!"!!!"!!!"”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【思路分析】“AB !!!"与AC !!!"的夹角为锐角” Þ “||||AB AC BC +>!!!"!!!"!!!"”，“ ||||AB AC BC +>!!!"!!!"!!!"” Þ “AB !!!"与AC !!!"的夹角为锐角”，由此能求出结果．【解析】：点A ，B ，C 不共线，“AB !!!"与AC !!!"的夹角为锐角” Þ “||||AB AC BC +>!!!"!!!"!!!"”， “||||AB AC BC +>!!!"!!!"!!!"” Þ “AB !!!"与AC !!!"的夹角为锐角”，\设点A ，B ，C 不共线，则“AB !!!"与AC !!!"的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>!!!"!!!"!!!"”的充分必要条件．故选：C ．【归纳与总结】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查向量等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．6．(2020北京，理6)若双曲线22221x y a b-=( )．A ．y ＝±2xB ．y =C ．12y x =± D ．2y x =±答案：Bc ，∴b .∴渐近线方程为by x a=±=，故选B. 7．(2020北京，理7)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )．A ．43B ．2C ．83D ．3答案：C解析：由题意可知，l 的方程为y ＝1. 如图，B 点坐标为(2,1)，∴所求面积S ＝4－2202d 4x x ò＝4－3202|12x æöç÷èø＝83，故选C.8．(2020北京，理8)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是( )A ．①B ．②C ．①②D ．①②③【思路分析】将x 换成x -方程不变，所以图形关于y 轴对称，据对称性讨论y 轴右边的图形可得．【解析】：将x 换成x -方程不变，所以图形关于y 轴对称，当0x =时，代入得21y =，1y \=±，即曲线经过(0,1)，(0,1)-；当0x >时，方程变为2210y xy x -+-=，所以△224(1)0x x =--Ö，解得(0x Î，3，所以x 只能取整数1，当1x =时，20y y -=，解得0y =或1y =，即曲线经过(1,0)，(1,1)，根据对称性可得曲线还经过(1,0)-，(1,1)-，故曲线一共经过6个整点，故①正确．当0x >时，由221x y xy +=+得222212x y x y xy ++-=Ñ，（当x y =时取等），222x y \+Ñ，\即曲线C 上y C 上任意一点到原点②正确．在x 轴上图形面积大于矩形面积122=´=，x 轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积12112=´´=，因此曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于213+=，故③错误．故选：C ．【归纳与总结】本题考查了命题的真假判断与应用，属中档题．第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．(2020北京，理9)在极坐标系中，点π2,6æöç÷èø到直线ρsin θ＝2的距离等于__________．答案：1解析：在极坐标系中，点π2,6æöç÷èø对应直角坐标系中坐标为1)，直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中的方程为y ＝2，所以点到直线的距离为1.10．(2020北京，理10)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝__________；前n 项和S n ＝__________.答案：2 2n ＋1－2 解析：由题意知352440220a a q a a +===+. 由a 2＋a 4＝a 2(1＋q 2)＝a 1q (1＋q 2)＝20， ∴a 1＝2.∴S n ＝21212n (-)-＝2n ＋1－2. 11．(2020北京，理11)如图，AB 为圆O 的直径，P A 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，若P A ＝3，PD ∶DB ＝9∶16，则PD ＝__________，AB ＝__________.答案：954解析：设PD ＝9k ，则DB ＝16k (k ＞0)．由切割线定理可得，P A 2＝PD ·PB ，即32＝9k ·25k ，可得15k =. ∴PD ＝95，PB ＝5. 在Rt △APB 中，AB4.12．(2020北京，理12)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是__________．答案：96解析：连号有4种情况，从4人中挑一人得到连号参观券，其余可以全排列，则不同的分法有4×1343C A ＝96(种)．13．(2020北京，理13)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋µb (λ，µ∈R)，则lµ=__________.答案：4解析：可设a ＝－i ＋j ，i ，j 为单位向量且i ⊥j ，则b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j.由c ＝λa ＋µb ＝(6µ－λ)i ＋(λ＋2µ)j ，∴6123,µl l µ-=-ìí+=-î，解得21.2l µ=-ìïí=-ïî，∴4l µ=. 14．(2020北京，理14)如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为__________．答案：5解析：过E 点作EE 1垂直底面A 1B 1C 1D 1，交B 1C 1于点E 1，连接D 1E 1，过P 点作PH 垂直于底面A 1B 1C 1D 1，交D 1E 1于点H ，P 点到直线CC 1的距离就是C 1H ，故当C 1H 垂直于D 1E 1时，P 点到直线CC 1距离最小，此时，在Rt △D 1C 1E 1中，C 1H ⊥D 1E 1，D 1E 1·C 1H＝C 1D 1·C 1E 1，∴C 1H5=. 三、解答题共6小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤．15．(2020北京，理15)(本小题共13分)在△ABC 中，a ＝3，b =∠B ＝2∠A ，(1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解：(1)因为a ＝3，b =∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin sin 2A A=. 所以2sin cos sin 3A A A =.故cos A ＝3(2)由(1)知，cos A ＝3，所以sin A 3=. 又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A－1＝13. 所以sin B 3=. 在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝9. 所以c ＝sin sin a C A＝5. 16．(2020北京，理16)(本小题共13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)解：设A i表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1,2，…，13)．根据题意，P(A i)＝113，且A i∩A j＝Æ(i≠j)．(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8. 所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝213.(2)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，且P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝413，P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝413，P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝513. 所以X的分布列为：故X的期望EX＝0×513＋1×413＋2×13＝13.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．17．(2020北京，理17)(本小题共14分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5，(1)求证：AA 1⊥平面ABC ；(2)求二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值；(3)证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求1BDBC 的值．解：(1)因为AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1⊥AC . 因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ，所以AA 1⊥平面ABC .(2)由(1)知AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB . 由题知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC . 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz ，则B (0,3,0)，A 1(0,0,4)，B 1(0,3,4)，C 1(4,0,4)．设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则1110,0,A B A C ì×=ïí×=ïî!!!"!!!!"n n 即340,40.y z x -=ìí=î 令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以n ＝(0,4,3)．同理可得，平面B 1BC 1的法向量为m ＝(3,4,0)．所以cos 〈n ，m 〉＝16||||25×=n m n m . 由题知二面角A 1－BC 1－B 1为锐角，所以二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为1625. (3)设D (x ，y ，z )是直线BC 1上一点，且BD !!!"＝λ1BC !!!!"，所以(x ，y －3，z )＝λ(4，－3,4)．解得x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ. 所以AD !!!"＝(4λ，3－3λ，4λ)．由AD !!!"·1A B !!!"＝0，即9－25λ＝0，解得925l =. 因为925∈[0,1]，所以在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B . 此时，1925BD BC l ==.18．(2020北京，理18)(本小题共13分)设L 为曲线C ：ln xy x=在点(1,0)处的切线． (1)求L 的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线L 的下方．解：(1)设()ln x f x x =，则()21ln xf x x -¢=. 所以f ′(1)＝1. 所以L 的方程为y ＝x －1. (2)令g (x )＝x －1－f (x )，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于g (x )＞0("x ＞0，x ≠1)． g (x )满足g (1)＝0，且g ′(x )＝1－f ′(x )＝221ln x x x -+. 当0＜x ＜1时，x 2－1＜0，ln x ＜0，所以g ′(x )＜0，故g (x )单调递减；当x ＞1时，x 2－1＞0，ln x ＞0，所以g ′(x )＞0，故g (x )单调递增．所以，g (x )＞g (1)＝0("x ＞0，x ≠1)．所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．19．(2020北京，理19)(本小题共14分)已知A ，B ，C 是椭圆W ：24x ＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； (2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．解：(1)椭圆W ：24x ＋y 2＝1的右顶点B 的坐标为(2,0)．因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设A (1，m )，代入椭圆方程得14＋m 2＝1，即m ＝2±. 所以菱形OABC 的面积是12|OB |·|AC |＝12×2×2|m |＝(2)假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．由2244,x y y kx m ì+=í=+î消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则1224214x x km k +=-+，121222214y y x x mk m k ++=×+=+. 所以AC 的中点为M 224,1414km m k k æö-ç÷++èø. 因为M 为AC 和OB 的交点，所以直线OB 的斜率为14k -. 因为k ·14k æö-ç÷èø≠－1，所以AC 与OB 不垂直．所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．20．(2020北京，理20)(本小题共13分)已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A n ，第n 项之后各项a n ＋1，a n ＋2，…的最小值记为B n ，d n ＝A n －B n .(1)若{a n }为2,1,4,3,2,1,4,3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n ∈N *，a n ＋4＝a n )，写出d 1，d 2，d3，d4的值；(2)设d是非负整数，证明：d n＝－d(n＝1,2,3，…)的充分必要条件为{a n}是公差为d的等差数列；(3)证明：若a1＝2，d n＝1(n＝1,2,3，…)，则{a n}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.解：(1)d1＝d2＝1，d3＝d4＝3.(2)(充分性)因为{a n}是公差为d的等差数列，且d≥0，所以a1≤a2≤…≤a n≤…. 因此A n＝a n，B n＝a n ，d n＝a n－a n＋1＝－d(n＝1,2,3，…)．(必要性)因为d n＝－d≤0(n＝1,2,3，…)，所以A n＝B n＋d n≤B n. 又＋1因为a n≤A n，a n＋1≥B n，所以a n≤a n＋1. 于是，A n＝a n，B n＝a n＋1，因此a n＋1－a n＝B n－A n＝－d n＝d，即{a n}是公差为d的等差数列．(3)因为a1＝2，d1＝1，所以A1＝a1＝2，B1＝A1－d1＝1.故对任意n≥1，a n≥B1＝1. 假设{a n}(n≥2)中存在大于2的项．设m为满足a m＞2的最小正整数，则m≥2，并且对任意1≤k＜m，a k≤2. 又因为a1＝2，所以A m－1＝2，且A m＝a m＞2. 于是，B m＝A m－d m＞2－1＝1，B m－1＝min{a m，B m}≥2. 故d m－1＝A m－1－B m－1≤2－2＝0，与d m－1＝1矛盾．所以对于任意n≥1，有a n≤2，即非负整数列{a n}的各项只能为1或2. 因为对任意n≥1，a n≤2＝a1，所以A n＝2. 故B n＝A n－d n＝2－1＝1. 因此对于任意正整数n，存在m满足m＞n，且a m＝1，即数列{a n}有无穷多项为1.11。

2020届高考数学仿真押题卷07 北京卷理新人教A版精

2020届高考数学仿真押题卷——北京卷（理7）一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设集合{}01|2<-=x x M ，{}0lg |<=x x N ，则N M ⋃等于A {}11|<<-x xB {}10|<<x xC {}01|<<-x xD {}0|<x x2.已知21,e e 是不共线向量，212e e +=，21e e -=λ，当∥时，实数λ等于A 1-B 0C 21-D 2- 3.设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，则下列命题正确的是A 若α⊂⊥n n m ,，则α⊥mB 若m n m //,α⊥，则α⊥nC 若αα//,//n m ，则n m //D 若γβγα⊥⊥,，则βα// 4.已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则9876a a a a ++等于 A 21+ B 21- C 223+ D 223-5.设抛物线x y 82-=的焦点为F,准线为l ，P 为抛物线上一点，l PA ⊥，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为3，那么=PFA 34B 38C 8D 16 6.极坐标方程θρsin 2=和参数方程⎩⎨⎧--=+=t y tx 132（t 为参数）所表示的图形分别为A 圆，圆B 圆，直线C 直线，直线D 直线，圆7.已知点),(y x P 的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≥0321y x x y x ，那么点P 到直线0943=--y x 的距离的最小值为 A514 B 56C 2D 1 8.已知定义在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,0π上的函数)(x f y =的图像关于直线43π=x 对称，当43π≥x 时，Cx x f cos )(=，如果关于x 的方程a x f =)(有解，记所有解的和为S, 则S 不可能．．．为 Aπ45 B π23 C π49D π3 二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9.在复平面内，复数ii++121对应的点的坐标为________________________. 10.在二项式521⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，含4x 项的系数为______________________. (用数字作答）11.如图，AB,CD 是半径a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，a CP 89=，︒=∠60AOP ,则=PD ________________.是一个正三棱柱的三视图，若三棱柱的体积是38，则12.如图=a ____________________.13.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标）。

2020年高考数学临考押题卷(北京天津山东等)1(解析word版)

2020年高考临考押题卷（一）数学（北京卷）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单选题1．已知集合{}20A x x =-≥，{}1,2,3B =，则A B =I ( ) A ．{}1 B ．{}2C ．{}2,3D ．{}1,2,3【答案】C【解析】由题意，{}2A x x =≥，{}1,2,3B =，则{}2,3A B =I . 故选：C.2．已知复数z 满足3z z i +=+，则z =（） A ．1i - B ．1i +C ．43i - D ．43i + 【答案】D【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则z =3a bi i +=+，所以31a b ⎧⎪=⎨=⎪⎩ ，解得431a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即43z i =+，选D. 3．若向量,a b v v的夹角为3π，且||2a =v ，||1b =v ，则向量2a b +v v 与向量a v 的夹角为（） A ．3πB ．6πC ．23π D ．56π【答案】B【解析】设向量2a b +r r 与a r 的夹角为α，因为,a b v v 的夹角为3π，且2a =v ，1b =v ，所以221(2)()22cos 4221632a ab a a b a a b π+=+=+=+⨯⨯⨯=r r r r r r r r r gg g ，2a b +==r r==，所以(2)cos 2a a b a a b α+===+r r r g r r r ，又因为[0,]απ∈ 所以6πα=，故选B4．已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，(2)c f m =+则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】B【解析】∵f （x ）为偶函数； ∴f （﹣x ）＝f （x ）； ∴2x m --﹣1＝2x m -﹣1； ∴|﹣x ﹣m |＝|x ﹣m |；（﹣x ﹣m ）2＝（x ﹣m ）2； ∴mx ＝0； ∴m ＝0；∴f （x ）＝2x ﹣1；∴f （x ）在[0，+∞）上单调递增，并且a ＝f （|0.5log 3|）＝f （2log 3）， b ＝f （2log 5），c ＝f （2）； ∵0＜2log 3＜2＜2log 5； ∴a<c<b ．故选B ．5．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（）.（取lg30.4771≈，lg 20.3010≈）A ．16B ．17C ．24D ．25【答案】D【解析】记初始线段长度为a ，则“一次构造”后的折线长度为43a ，“二次构造”后的折线长度为243a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，以此类推，“n 次构造”后的折线长度为43na ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若得到的折线长度为初始线段长度的1000倍，则410003na a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即410003n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， ()()44lg lg lg 4lg32lg 2lg3lg1000333nn n n ⎛⎫∴==-=-≥= ⎪⎝⎭，即324.0220.30100.4771n ≥≈⨯-，∴至少需要25次构造.故选：D .6．天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序相互配合组成，以此往复，60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率为（） A ．219B ．995C ．4895D ．519【答案】B【解析】20个年份中天干相同的有10组（每组2个），地支相同的年份有8组（每组2个），从这20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率2201089C 95P +==. 故选:B.7．已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（） A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】22x y +≥Q 且224x y +≤ ，422x y ∴≤≤⇒+≤ ，等号成立的条件是x y =，又x y +≥Q ，0,0x y >>21xy ∴⇒≤ ，等号成立的条件是x y =,2241x y xy ∴+≤⇒≤，反过来，当12,3x y ==时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件.故选:C8．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，且ABC ∆为等边三角形，2AP AB ==，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（） A ．272π B ．283π C ．263π D ．252π 【答案】B【解析】ABC ∆的外接圆半径为32sin3AB r π==，PA ⊥Q 底面ABC ，所以，三棱锥P ABC -的外接球半径为3R ===，因此，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为22284433R πππ⎛=⨯= ⎝⎭. 故选：B.9．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，以线段1F A为直径的圆交线段1F B 的延长线于点P ，若2//F B AP 且线段AP的长为2+，则该椭圆方程为（）A ．22142x y +=B ．22183x y +=C ．22154x y +=D ．22184x y +=【答案】D【解析】设椭圆的半焦距为c ，因为点P 在以线段1F A 为直径的圆上，所以1AP PF ⊥. 又因为2//F B AP ，所以21F B BF ⊥.又因为21F B BF =，所以12F F B △是等腰直角三角形，于是1F AP △也是等腰直角三角形，21F B BF a ==，222cos 452OF c BF a ===o ，12F A =，得222a c +=，解得22a =2c =2224b a c =-=，所以椭圆方程为22184x y +=.故选：D.10．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。

2020高考密押卷理科数学北京卷

附答案详解 2020年高考必刷卷数学北京卷本试卷共 10 页， 150 分，考试时长 120 分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分( 选择题共 40 分)一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1 ． (2020 北京，理 1) 函数的最小正周期为 __________ ．答案： π解析：函数的最小正周期 .2 ． (2020 北京，理 2) 在复平面内，复数 (2 －i)2 对应的点位于 () ．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案： D解析： ∵(2 － i)2 ＝ 3 －4i ，∴ 该复数对应的点位于第四象限，故选 D. 3 ． (2020 北京，理 3) 双曲线x 2－y 2＝ 1 的顶点到其渐近线的距离等于 () ．4A ．2B ．4C ．2 5D ．4 55 555答案： C解析：双曲线x 2－y 2＝ 1 的顶点为 ( ±2,0) ，渐近线方程为 y1x ，即 x －2y ＝ 0 和 x ＋ 2y ＝420. 故其顶点到渐近线的距离 d| 2 | 2 2 5 .14 5 54 ．(2020 北京，理 4) 将函数 y ＝ 3 cos x ＋sin x( x ∈R) 的图象向左平移 m ( m ＞ 0) 个单位长度后，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值是 ().A ．πB ．πC ．πD ．5π12 636答案： B解析： ∵y ＝ 3 c os x ＋sinx ＝ 2sin xπ，∴ 函数 y ＝ 3 cos x ＋sin x( x ∈R) 的图象向左平移 m ( m ＞0) 个单位长度后，变为函数 y=2sin xπm 的图象 .3又∵ 所得到的图象关于 y 轴对称，则有π＋ m ＝k π＋ π， k ∈Z ，32∴m ＝ k π π，k ∈Z.6∵m ＞0 ，∴当 k ＝0 时， m 的最小值为π.65 ．(2020 北京，理 5) 函数 f(x ) ＝2lnx 的图象与函数 g( x) ＝ x 2－4x ＋5 的图象的交点个数为 ( ) ．A ．3B ．2C ．1D ．0答案： B解析：设 f( x) 与 g( x ) 图象的交点坐标为 (x ， y) ，则 y ＝ 2ln x ，y ＝ x 2 －4x ＋5 ，联立得 2ln x ＝x 2 －4 x ＋5 ，令 h( x ) ＝ x 2－4 x ＋5 －2ln x (x ＞0) ，由 h ′(x)＝2x －4 － 2＝0 得 x 1＝ 12 ，x 2 ＝ 1 2 (舍)．x当 h ′(x)＜0 时，即 x ∈ (0, 1 2 ) 时， h( x ) 单调递减；当 h ′(x)＞0 ，即 x ∈( 12 ，＋ ∞)时， h ( x ) 单调递增．又∵ h(1) ＝2 ＞0 ，h(2) ＝1 －2ln 2 ＜0 ，h (4) ＝5 －2ln 4 ＞0 ， ∴h( x ) 与 x 轴必有两个交点，故答案为 B ．6 ．(2020 北京，理 6) 若 S 12x 2dx ，S 22 1dx ，S 32e x dx ，则 S 1 ，S 2 ，S 3 的大小关系为 () ．11x1 A ．S 1 ＜S 2＜S 3 B ．S2 ＜S 1 ＜S3 C ．S 2 ＜S 3＜S 1D ．S 3 ＜S 2 ＜S 1答案： Bx 2dx ＝1x 3 |12 7 ，解析： S 1213321S 22ln 2 ，dx ＝ ln x |11x7S 32 x x 22， 1 e dx ＝ e |1e e=(e 1)>e>3所以 S 2＜S 1＜S 3 ，故选 B.1 n7 ． (2020北京，理 7) 使 3x( n ∈N ＋) 的展开式中含有常数项的最小的n 为 () ．x xA ．4B ．5C ．6D ．7答案： Bn3 rn5解析： 3x1r展开式中的第 r ＋ 1 项为 C n r (3 x) n －rx 2 ＝ C n r 3n r x2，若展开式中含常数项，x x则存在 n ∈ N ＋，r ∈N ，使 n5r ＝ 0，2故最小的 n 值为 5 ，故选 B.北京，理 8) 椭圆 C ：x 228 ． (2020 y=1 的左、右顶点分别为 A 1 ，A 2 ，点 P 在 C 上且直线 PA 2 斜43率的取值范围是 [ －2 ，－ 1] ，那么直线 PA 1 斜率的取值范围是 () ．A ． 1, 3 B ． 3, 3 2 48 4C ． 1,1D ． 3,124答案： B解析：设 P 点坐标为 ( x 0 ，y 0 ) ，则x 02y 0 2 =1，4 33 23 . k PA 2y 0， k PA 1y 0，于是 k PA 1k PA 2y 023 4 x 0x 0 2 x 0 2 x 0 222x 0 244故 k PA ＝－31 .14 k PA2∵ k PA 2 ∈[ －2 ，－ 1] ， ∴ k PA3,3.故选 B.18 4第二部分 ( 非选择题共 110 分)二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．9 ． (2020 北京，理 9) 利用计算机产生 0～ 1 之间的均匀随机数 a ，则事件 “3a －1 ＞ 0”发生的概率为 ________ ．答案：231112解析：由 3a －1 ＞ 0 得 a ，由几何概型知 P33 1.310 ．(2020 北京，理 10) 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果 i ＝ __________.答案： 5解析：第一次执行循环体后： a ＝5 ，i ＝ 2 ；第二次执行循环体后： a ＝16 ，i ＝ 3 ；第三次执行循环体后： a ＝ 8 ，i ＝ 4；第四次执行循环体后： a ＝4 ，i ＝ 5 ，满足条件，循环结束．输出 i ＝ 5.11 ．(2020 北京，理 11) 如图，在半径为7的 O 中，弦 AB ， CD 相交于点 P ， PA ＝ PB ＝ 2， PD＝ 1 ，则圆心 O 到弦 CD 的距离为 __________．3 答案：2解析：如图所示，取 CD 中点 E ，连结 OE ， OC ．由圆内相交弦定理知 PD ·PC ＝PA ·PB ，所以 PC ＝4 ，CD ＝5 ，则 CE ＝ 5，OC ＝7 .2所以到距离为＝23 .O CD 7 25OE2 2答案： 8解析：由于集合 { －1,0,1} 有 3 个元素，故其子集个数为2 3＝8.13 ．(2020 北京，理 13) 抛物线 x 2＝2 py (p>0) 的焦点为 F ，其准线与双曲线x 2y 2 =1 相交于 A ，3 3B 两点，若 △ABF 为等边三角形，则 p ＝________.答案： 6解析：抛物线的准线方程为 yp，设 A ，B 的横坐标分别为 x A ，x B ，则| x A | 2 ＝| x B | 2＝ 3 p 2 ，24所以 |AB| ＝ |2 x A |. 又焦点到准线的距离为 p ，由等边三角形的特点得 p3|AB|，即223 3p 2p 4，所以 p ＝6.4414 ．(2020 北京，理 14) 为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取 5 个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为 7 ，样本方差为 4 ，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为 __________．答案： 10解析：设 5 个班级的人数分别为 x 1 ， x 2 ，x 3， x 4 ，x 5 ，则 x 1 x 2 x 3 x 4x 57 ，5x 1 7 2x 2 7 2x 3 7 2x 4 7 2x 5 7 25＝4 ，即 5 个整数平方和为 20 ，最大的数比 7 大不能超过 3 ，否则方差超过 4 ，故最大值为 10 ，最小值为 4.三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤．15 ．(2020 北京，理 15)( 本小题满分 13 分) 某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为2，中奖可以获得 2 分；方案乙的中奖率为2，中奖可以获得3 分；35未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1) 若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求 X ≤3的概率；(2) 若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？解法一： (1) 由已知得，小明中奖的概率为2，小红中奖的概率为2，且两人中奖与否互不影响．35记“这 2 人的累计得分 X ≤ 3”的事件为 A ，则事件 A 的对立事件为 “X ＝5”，因为 P(X ＝5) ＝22 4 ，所以 P( A)＝1 －P( X ＝5) ＝ 11，3 5 15 1511即这 2 人的累计得分 X ≤3的概率为.(2) 设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X 1 ，都选择方案乙抽奖中奖次数为 X 2 ，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2 X 1 ) ，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为 E(3 X 2 ) ．由已知可得， X 1 ～ B 2, 2，X 2～B 2, 2 ，35所以 E(X 1)＝ 22 4，E(X 2)＝22 4 ，3 35 5从而 E(2 X 1)＝2E( X 1) ＝ 8，E(3 X 2) ＝3 E( X 2) ＝12. 35因为 E(2 X 1)＞E(3 X 2) ，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．解法二： (1) 由已知得，小明中奖的概率为 2 ，小红中奖的概率为 2 ，且两人中奖与否互不影响． 3 5记“这 2 人的累计得分 X ≤ 3”的事件为 A ，则事件 A 包含有 “X ＝0”，“X ＝2”， “X ＝3”三个两两互斥的事件，因为 P(X ＝0) ＝ 121 21，P( X ＝2) ＝21 22，P( X ＝3) ＝ 12 2 2 ，3 55 35535 1511所以 P(A) ＝P(X ＝0) ＋P( X ＝2) ＋P(X ＝3) ＝，11即这 2 人的累计得分 X ≤3的概率为.(2) 设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为 X 1 ，都选择方案乙所获得的累计得分为 X 2 ，则 X 1，X 2 的分布列如下：X 1 02 4 P1 4 4 9 9 9X 236P9 12425 2525所以 E(X 1 )＝0×1＋ × 4＋ × 4 ＝ 8 ，E(X 2 )＝0×9＋ ×12＋ × 4 ＝12.9249 3 25 36592525 因为 E(X 1)＞E(X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．16 ．(2020 北京，理 16)( 本小题满分 12 分) 已知等比数列 { a n } 满足：| a 2－a 3 | ＝ 10 ，a 1 a 2 a 3 ＝ 125.(1) 求数列 { a n } 的通项公式；(2) 是否存在正整数 m ，使得11 1 1 ？若存在，求 m 的最小值；若不存在，说明理a 1a 2a m由．解： (1) 设等比数列 { a n } 的公比为 q ，则由已知可得a 1 3q 3 125,| a 1q a 1 q 2 | 10,a5 ,a 1 5,解得13或1.q 3,q故 a n5 n 1，或 a n ＝－ ·－ 1) n－1 .3 3 5 (n 153n 1 ，则 1 3 11 是首项为 3，公比为 1的等比数列，(2) 若 a n，故3 a n5 3a n5 33 m1m11 = 5 3从而1n 1 an13＝9m11 9<1.10310若 a n ＝( －5) ·(－1) n－1，则11 ( 1)n 1，故 1 是首项为1，公比为－ 1 的等比数列，从a n5a n5m11, m 2k 1 k N ,故 m11 .而51 a nn 1a n0, m 2k k N ,n综上，对任何正整数 m ，总有 m1 .n 1a n1故不存在正整数 m ，使得11 1 1成立．a 1a 2 a m17 ．(2020 北京，理 17)( 本小题满分 12 分) 如图，在直棱柱 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝ 90°，AC ⊥BD ，BC ＝1 ，AD ＝AA 1 ＝3.(1) 证明： AC ⊥B 1D ；(2) 求直线 B 1 C 1 与平面 ACD 1 所成角的正弦值．解法 1 ：(1) 如图，因为 BB 1⊥ 平面 ABCD ， AC 平面 ABCD ，所以 AC ⊥ BB 1 .又 AC ⊥BD ，所以 AC ⊥平面 BB 1D ．而 B 1D 平面 BB 1D ，所以 AC ⊥B 1D ．(2) 因为 B 1 C 1 ∥AD ，所以直线 B 1 C 1 与平面 ACD 1 所成的角等于直线 AD 与平面 ACD 1 所成的角 ( 记为 θ) ．如图，连结A1 D，因为棱柱ABCD －A1B1 C1 D1是直棱柱，且∠B1A1 D1＝∠BAD ＝90°，所以A1B1⊥平面 ADD 1 A1.从而 A1B1⊥AD 1 .又 AD ＝AA 1＝3 ，所以四边形 ADD 1 A1是正方形，于是 A1 D⊥AD 1.故 AD 1⊥平面 A1B1D，于是 AD1⊥B1D．由(1) 知， AC ⊥B 1 D ，所以 B 1 D⊥平面 ACD 1 . 故∠ADB 1＝ 90°－θ.在直角梯形 ABCD 中，因为 AC⊥ BD ，所以∠ BAC ＝∠ADB ．从而 Rt △ABC ∽Rt △ DAB ，故AB BC.即AB＝DA BC3. DA AB连结 AB 1，易知△ AB 1 D 是直角三角形，且 B1D2＝BB 12＋BD 2＝BB 12＋AB 2＋AD 2＝21 ，即 B1D＝21 .在 Rt △AB 1 D 中， cos ∠ADB 1＝AD321，即 cos(90 °－θ) ＝21.B1D 21 7 7 从而 sin θ＝21 .7即直线 B1 C1与平面 ACD 1所成角的正弦值为21 .7解法 2 ：(1) 易知， AB ，AD ， AA 1两两垂直．如图，以 A 为坐标原点， AB ，AD ，AA 1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设 AB ＝ t ，则相关各点的坐标为： A(0,0,0) ，B(t, 0,0) ，B1 (t, 0,3) ，C( t, 1,0) ，C1 (t, 1,3) ，D(0,3,0) ，D 1 (0,3,3) ．从而 B1D ＝( －t, 3 ，－ 3) ，AC＝( t, 1,0) ，BD＝( －t, 3,0) ．因为 AC ⊥BD ，所以AC·BD＝－ t 2＋3 ＋0 ＝0. 解得t 3 或 t 3 (舍去)．于是 B1D ＝( 3 ，3，－3)， AC ＝(3，1,0)．因为 AC ·B1D＝－3＋3＋0＝0，所以 AC ⊥B1D，即AC⊥B1D．(2) 由(1) 知， AD ＝(0,3,3)，AC＝( 3 ，1,0)，BC＝(0,1,0)．1 1 1设 n ＝ (x ，y ， z) 是平面 ACD 1 的一个法向量，则n AC 0, 即3x y 0,n AD 10, 3y 3z 0.令 x ＝ 1 ，则 n ＝ (1 ， 3， 3)．设直线 B 1 C 1 与平面 ACD 1 所成角为 θ，则sin θ＝|cos 〈 n ， B 1C 1 〉 | ＝ nB 1C 1n B 1C 1＝3 21 . 77即直线 B 1 C 1 与平面 ACD 1 所成角的正弦值为 21 .718 ．(2020 江苏，理 18)( 本小题满分 16 分) 设函数 f(x ) ＝ ln x －ax ，g ( x) ＝e x－ax ，其中 a 为实数．(1) 若 f( x ) 在(1 ，＋ ∞)上是单调减函数，且 g ( x) 在 (1 ，＋ ∞)上有最小值，求 a 的取值范围；(2) 若 g( x ) 在 ( － 1 ，＋ ∞)上是单调增函数，试求 f ( x) 的零点个数，并证明你的结论．解： (1) 令 f ′(x)＝1a1 ax ＜0 ，考虑到 f( x ) 的定义域为 (0 ，＋ ∞)，故 a ＞0 ，进而解得 xxx＞ a－1，即 f( x ) 在 (a－1，＋ ∞)上是单调减函数．同理， f(x ) 在(0 ，a－1) 上是单调增函数．由于 f( x) 在(1 ，＋ ∞)上是单调减函数，故 (1 ，＋∞) ( a －1，＋∞)，从而 a－1≤1，即 a ≥ 1.令 g ′(x)＝e x － a＝ 0 ，得 x ＝ ln a ．当 x ＜ln a 时， g ′(x)＜0 ；当 x ＞ ln a 时， g ′(x)＞ 0. 又 g( x ) 在 (1 ，＋ ∞)上有最小值，所以 ln a ＞1 ，即 a ＞e.综上，有 a ∈ (e ，＋ ∞)．(2) 当 a ≤0时， g( x) 必为单调增函数；当 a ＞0 时，令 g ′(x)＝e x －a ＞0 ，解得 a ＜e x ，即 x ＞ln a .因为 g(x ) 在( －1 ，＋ ∞)上是单调增函数，类似 (1) 有 ln a ≤－1 ，即－1.0 ＜a ≤e结合上述两种情况，有－1.a ≤e① 当 a ＝ 0 时，由 f(1) ＝ 0 以及 f ′(x)＝ 1＞ 0，得 f(x ) 存在唯一的零点；x② 当 a ＜ 0 时，由于 f(e a ) ＝ a － ae a ＝a(1 － e a ) ＜ 0 ，f(1) ＝－ a ＞0 ，且函数 f( x) 在[e a,1] 上的图象不间断，所以 f(x ) 在(e a, 1) 上存在零点．另外，当 x ＞ 0 时，f ′(x)＝ 1－a ＞0 ，故 f( x ) 在 (0 ，＋ ∞)上是单调增函数，所以 f( x) 只有一个x零点．③ 当 0 ＜－1时，令 ′(＝ 1 －＝ 0 ，解得 x ＝ a －1. 当 0 ＜ x ＜ a －1时， ′(＞，当 x ＞a≤ea f x) x a f x ) 0－1 时， ′(＜，所以，＝是的最大值点，且最大值为－1) ＝－ ln a － 1.0 x a －1 f (x) f( af x )当－ ln a －1 ＝0 ，即 a ＝e－1时， f( x) 有一个零点 x ＝e.当－ ln a －1 ＞0 ，即 0 ＜a ＜ e－1时， f( x) 有两个零点．实际上，对于 0 ＜a ＜ e－1，由于 f (e －1) ＝－ 1 － ae －1 ＜0 ，f(a－1) ＞0 ，且函数 f( x ) 在 [e－1， a－ 1] 上的图象不间断，所以 f( x ) 在 (e －1 ， a －1 ) 上存在零点．另外，当 x ∈(0 ， a －1) 时， f ′(x)＝ 1－a ＞0 ，故 f (x) 在(0 ， a－1) 上是单调增函数，所以 f (x)x在 (0 ，a －1) 上只有一个零点．下面考虑 f( x) 在( a－1，＋ ∞)上的情况．先证 f(e a－1) ＝a(a－2－ea －1) ＜0.为此，我们要证明：当 x ＞e 时，e x ＞x 2 . 设 h( x) ＝e x －x 2，则 h ′(x)＝ e x －2 x ，再设 l( x) ＝ h ′(x)＝ e x －2x ，则 l ′(x)＝e x － 2.当 x ＞1 时， l ′(x)＝e x －2 ＞ e － 2 ＞0 ，所以 l( x ) ＝ h ′(x)在(1 ，＋ ∞)上是单调增函数．故当 x＞ 2 时， h ′(x)＝e x － 2 x ＞ h ′ (2)＝e 2 －4 ＞0 ，从而 h(x ) 在(2 ，＋ ∞)上是单调增函数，进而当 x ＞e 时，h(x ) ＝e x － x 2 ＞h(e) ＝ e e －e 2 ＞ 0. 即当 x ＞e 时， e x ＞x 2 .当 0 ＜a ＜e－1，即 a－1＞ e 时， f(e a－1) ＝a－1－ ae a－1＝ a( a－2－e a－1) ＜0 ，又 f( a－1) ＞0 ，且函数f(x ) 在[ a －1，e a－1] 上的图象不间断，所以 f( x ) 在 (a－1，e a－1) 上存在零点．又当 x ＞a－1时，f ′(x)＝ 1－a ＜0 ，故 f (x) 在( a －1，＋ ∞)上是单调减函数，所以 f( x ) 在( a－1，＋ ∞)上只有一个零点． x综合 ① ， ② ， ③ ，当 a ≤0或 a ＝e－1时， f(x ) 的零点个数为1 ，当 0 ＜a ＜e－1时， f (x) 的零点个数为 2.19 ．(2020 北京，理 19)( 本小题满分 12 分) 如图，四棱锥 PABCD 中，PA ⊥平面 ABCD ，E 为 BD的中点， G 为 PD 的中点， △DAB ≌△DCB ，EA ＝EB ＝AB ＝1 ， PA ＝ 3，连接 CE 并延长交 AD 于2F. (1) 求证： AD ⊥平面 CFG ；(2) 求平面 BCP 与平面 DCP 的夹角的余弦值．解： (1) 在△ABD 中，因为 E 是 BD 中点，所以 EA ＝EB＝ ED ＝AB ＝1 ，故∠ BAD ＝ π，∠ ABE ＝ ∠AEB ＝ π，2 3因为 △DAB ≌△DCB ，所以 △ EAB ≌△ECB ，π3所以 ∠FED ＝∠FEA ，故 EF ⊥ AD ， AF ＝ FD ，又因为 PG ＝GD ，所以 FG ∥PA .又 PA ⊥ 平面 ABCD ，所以 CF ⊥AD ，故 AD ⊥平面 CFG.(2) 以点 A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则A(0,0,0) ， B(1,0,0) ， C3,3,0 ，D(0 ，223 ，0) ，P 0,0,3，故 BC1 , 3,0 ，CP3 , 3 , 3 ， CD 3 , 3,0 .22222 222设平面 BCP的法向量 n 1 ＝ (1 ， y 1 ， z 1 ) ，则130,2 y 12 3 3 322 y 1 2 z 1 0,y 13 ,3 , 2 . 解得3即 n 1 ＝ 1,z 1 2 ,3 333 3y 2 0,2) ，则 22 y 23,设平面 DCP 的法向量 n 2＝ (1 ，y 2 ，z解得3 3 3z 2 2.22 y 2 2 z 20,即 n 2 ＝(1 ， 3 ，2) ．从而平面 BCP 与平面 DCP 的夹角的余弦值为| n 1 n 2| 4 2cos θ＝3.| n 1 || n 2 | 16 48920 ．(2020 北京，理 20)( 本小题满分 15 分) 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆 C 1，直线 C 2 的极坐标方程分别为 ρ＝ 4sin θ， cosπ .=2 24(1) 求 C 1 与 C 2 交点的极坐标；(2) 设 P为 C 1 的圆心，为1 与2 交点连线的中点．已知直线 x t 3a, C C PQ的参数方程为( t ∈ RQy b t 312为参数 ) ，求 a ，b 的值．解： (1) 圆 C 1 的直角坐标方程为 x 2 ＋( y －2) 2 ＝4 ，直线 C 2 的直角坐标方程为 x ＋ y － 4 ＝0.x 2 y 224,x 1 0, x 2 2,解4 0得4,y 2 2.x yy 1 所以 C 1与C 2 交点的极坐标为4, π ， 2 2, π.24注：极坐标系下点的表示不唯一．(2) 由(1) 可得， P 点与 Q 点的直角坐标分别为 (0,2) ，(1,3) ．故直线 PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2 ＝ 0.b x ab1.由参数方程可得y2 2b1,所以 2ab1 2,解得 a ＝－ 1 ，b ＝ 2.。

2020年北京市高考数学押题试卷(二)

2020年北京市高考数学押题试卷（二）一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合A ={−1,0}，B ={x|−1<x <1}，则A ∩B =( )A. {−1}B. {0}C. {−1,0}D. {−1,0，1} 2. 设a =213，b =log 32，c =cosπ，则( )A. c >b >aB. a >c >bC. c >a >bD. a >b >c 3. 下列函数中，最小正周期为π2的是( )A. y =sin|x|B. y =cos|2x|C. y =|tanx|D. y =|sin2x|4. 若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 55. 与圆x 2+y 2+2x −4y =0相切于原点的直线方程是( )A. x −2y =0B. x +2y =0C. 2x −y =0D. 2x +y =06. 设{a n }是公差为d 的等差数列，S n 为其前n 项和，则“d >0”是“{S n }为递增数列”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为1，则该几何体的体积为( )A. 16B. √26C. √36 D. 128. 双曲线C 的方程x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，左右焦点分别为F 1，F 2，P 为C 右支上的一点，PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，以O 为圆心，a 为半径的圆与PF 1相切，则双曲线的离心率为( )A. √5B. √3C. 2D. √2 9. 已知函数f(x)=sin(2x −π3)，g(x)=x 2−2，若对任意的实数x 1，总存在实数x 2使得f(x 1)=g(x 2)成立，则x 2的取值范围是( )A. [−1,1]B. [−√3,√3]C. (−∞,−1]∪[1,+∞)D. [−√3,−1]∪[1,√3]10.已知函数f(x)=2mx2−2(4−m)x+1，g(x)=mx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)至少有一个为正数，则实数m的取值范围是()A. (0,2)B. (0,8)C. (2,8)D. (−∞,0)二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.复数|2i+1|=______．12.已知α∈(π2,π)，sinα=45，则tan(α+π4)=______．13.在△ABC中，若bcosC+csinB=0，则∠C=______．14.为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg/L)随时间t(单位：ℎ)的变化关系为C=20tt2+4，则经过______h后池水中药品的浓度达到最大．15.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1+11+11+⋯中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1+1x =x，求得x=1+√52，类似上述过程，则√3+√3+√3+√……______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.在①b1+b3=a2，②a4=b4，③S5=−25这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由．设等差数列{a n}的前n项和为S n，{b n}是等比数列，______，b1=a5，b2=3，b5=−81，是否存在k，使得S k>S k+1且S k+1<S k+2？17.如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD的中点，PA⊥AD，BE//CD，BE⊥AD，PA=AE=BE=2，CD=1．(Ⅰ)求证：平面PAD⊥平面PCD；(Ⅱ)求二面角C−PB−E的余弦值．18.某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人．上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核．(Ⅰ)求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；(Ⅱ)考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈．设选出的3人中男员工人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；(Ⅲ)考核分笔试和答辩两项．5名员工的笔试成绩分别为78，85，89，92，96；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为95，88，102，106，99.这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记为s12，s22，试比较s12与s22的大小．(只需写出结论)19.已知函数，g(x)=xf(x)+12x2+2x．(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)当a=1时，若函数g(x)在区间内存在唯一的极值点，求m的值．20.已知直线l：x=t与椭圆C：x24+y22=1相交于A，B两点，M是椭圆C上一点(Ⅰ)当t=1时，求△MAB面积的最大值；(Ⅱ)设直线MA和MB与x轴分别相交于点E，F，O为原点．证明：|OE|⋅|OF|为定值．21.数字1，2，3，…，n(n≥2)的任意一个排列记作(a1,a2,…,a n)，设S n为所有这样的排列构成的集合．集合A n={(a1,a2,…,a n)∈S n|任意整数i，j，1≤i<j≤n，都有a i+i≤a j−j}；集合B n={(a1,a2,…,a n}∈S n|任意整数i，j，1≤i<n，都有a i+i≤a j+j}．(Ⅰ)用列举法表示集合A3，B3(Ⅱ)求集合A n∩B n的元素个数；(Ⅲ)记集合B n的元素个数为b n.证明：数列{b n}是等比数列．答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合A={−1,0}，B={x|−1<x<1}，则A∩B={0}，故选：B．利用交集定义能求出集合A∩B．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2.【答案】D【解析】解：a=213>1，b=log32∈(0,1)，c=cosπ=−1，故a>b>c．故选：D．结合对数的单调性引入0与1进行比较大小，即可判断．本题考查三个数的大小比较，是基础题．3.【答案】D【解析】【试题解析】解：由于函数y=sin|x|不是周期函数，故排除A；由于函数y=cos|2x|=cos2x的周期为2π2=π，故B不正确；由于函数y=|tanx|的周期为π1=π，故排除C；由于函数y=|sin2x|的周期为12⋅2π2=π2，故D正确，故选：D．由题意利用三角函数的周期性，得出结论．本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，∴OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=−|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4+OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4，故选：C ．根据垂直可得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，代入计算即可．本题考查平面向量垂直，平面向量数量积的运算，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：圆：x 2+y 2+2x −4y =0，即(x +1)2+(y −2)2=5，表示以C(−1,2)为圆心，半径等于√5的圆．(0,0)满足圆的方程，所以过点(0,0)且与圆x 2+y 2+2x −4y =0相切的直线方程为x −2y =0．故选：A ．先求出圆的标准方程，可得圆心坐标和半径，(0,0)满足圆的方程，从而得到答案．本题主要考查圆的标准方程，考查学生的计算能力，属于基础题6.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n 项和公式是解决本题的关键，属于基础题．根据等差数列的前n 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由S n+1>S n⇔(n +1)a 1+n(n +1)2d >na 1+n(n −1)2d ⇔dn +a 1>0⇔d ≥0且d +a 1>0．即数列{S n }为递增数列的充要条件是d ≥0且d +a 1>0，则“d >0”是“{S n }为递增数列”的既不充分也不必要条件．故选：D ．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状，属于中档题．根据已知中三视图，画出几何体的直观图，分析几何体的形状为三棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中三视图，画出几何体的直观图如下图所示：它的顶点均为棱长为1的正方体的顶点，故其底面为直角边为1的等腰直角三角形，高为1，故几何体的体积V =13×12×1×1×1=16．故选A ．8.【答案】A【解析】解：如图：连结PF 2、OM ，∵PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以PF 1⊥PF 2，以O 为圆心，a 为半径的圆与PF 1相切，∴M 是PF 1的中点，∴OM 是△PF 1F 2的中位线，∴OM//PF 2，且|PF 2|=2|OM|=2a∵PF 1与以原点为圆心a 为半径的圆相切，∴OM ⊥PF 1，可得PF 2⊥PF 1，△PF1F2中，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，…①∵根据双曲线的定义，得|PF1|−|PF2|=2a∴|PF1|=|PF2|+2a=4a，代入①得(4a)2+(2a)2=|F1F2|2，∴(2c)2=|F1F2|2=20a2，解之得c=√5a=√5，由此可得双曲线的离心率为e=ca故选：A．连结PF2、OM，PF2⊥PF1.由圆的切线性质，得到OM⊥PF1，根据三角形中位线定理，算出|PF2|=2|OM|= 2a.在△PF1F2中利用勾股定理，结合双曲线的定义解出c与a的关系，利用双曲线离心率公式即可算出该双曲线的离心率．本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的离心率的求法．着重考查了双曲线的标准方程与圆的性质，三角形中位线定理和勾股定理等知识，属于中档题．9.【答案】D)，【解析】解：函数f(x)=sin(2x−π3根据正弦函数性可知：f(x)的值域为[−1,1]，对任意的实数x1，总存在实数x2使得f(x1)=g(x2)成立，∴[−1,1]⊆g(x)．∵g(x)=x2−2，根据二次函数性质可知：当g(x)=−1时，可得x=±1，当g(x)=1时，可得x=±√3，由二洗函数的图象可得：[−√3,−1]∪[1,√3].故选：D．由题意，求出f(x)的值域，根据对任意的实数x1，总存在实数x2使得f(x1)=g(x2)成立，可得g(x)的值域，即可求出x2的取值范围．本题考查了三角函数性质以及二次函数的图象及性质的运用，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：当m≤0时，当x接近+∞时，函数f(x)=2mx2−2(4−m)x+1与g(x)=mx均为负值，显然不成立当x=0时，因f(0)=1>0当m>0时，若−b2a =4−m2m≥0，即0<m≤4时结论显然成立；若−b2a =4−m2m<0，时只要△=4(4−m)2−8m=4(m−8)(m−2)<0即可，即4<m<8则0<m<8故选B．当m≤0时，显然不成立；当m>0时，因为f(0)=1>0，所以仅对对称轴进行讨论即可．本题主要考查对一元二次函数图象的理解．对于一元二次不等式，一定要注意其开口方向、对称轴和判别式．11.【答案】√2【解析】解：|2i+1|=|2(1−i)(1+i)(1−i)|=|1−i|=√2．故答案为：√2．先对已知复数进行化简，然后结合模长公式即可求解．本题主要复数的运算及复数模长的求解，属于基础试题．12.【答案】−17【解析】【分析】本题考查三角函数关系式的变换，和角公式的应用，考查运算能力和转换能力，属于基础题．直接利用三角函数关系式的定义和和角公式的应用求出结果．【解答】解：α∈(π2,π),sinα=45，则：cosα=−35，所以：tanα=−43，则：tan(α+π4)=tanα+tanπ41−tanαtanπ4=−43+11+43=−17，故答案为：−17． 13.【答案】3π4【解析】解：∵bcosC +csinB =0∴由正弦定理知，sinBcosC +sinCsinB =0，∵0<B <π，∴sinB >0，于是cosC +sinC =0，即tanC =−1，∵0<C <π，∴C =3π4．故答案为：3π4．直接利用正弦定理对函数的关系式进行变换，进一步求出C 的值．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式的综合应用，考查了转化思想，属于基础题． 14.【答案】2【解析】解：C =20t t 2+4=20t+4t ≤2√t⋅t =5，当且仅当t =2时取等号．因此经过2h 后池水中药品的浓度达到最大．故答案为：2．利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．15.【答案】1+√132【解析】解：设x =√3+√3+√3+√……由题意可得：x =√3+x ，即x 2−x −3=0，(x >0)解得：x =1+√132，故答案为：1+√132．由阅读能力及类比能力结合解方程x 2−x −3=0，(x >0)解得：x =1+√132，即可得解．本题考查了阅读能力及类比能力，属中档题．16.【答案】解：因为在等比数列{b n }中，b 2=3，b 5=−81，所以其公比q =−3，从而b n =b 2(−3)n−2=3×(−3)n−2，从而a 5=b 1=−1．若存在k ，使得S k >S k+1，即S k >S k +a k+1，从而a k+1<0；同理，若使S k+1<S k+2，即S k+1<S k+1+a k+2，从而a k+2>0．若选①：由b 1+b 3=a 2，得a 2=−1−9=−10，所以a n =3n −16，当k =4时满足a 5<0，且a 6>0成立；若选②：由a 4=b 4=27，且a 5=−1，所以数列{a n }为递减数列，故不存在a k+1<0，且a k+2>0；若选③：由S 5=−25=5(a 1+a 5)2=5a 3，解得a 3=−5，从而a n =2n −11，所以当n =4时，能使a 5<0，a 6>0成立．【解析】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式和前n 项和公式，以及等差数列的性质，是中档题．利用等差数列、等比数列的通项公式和前n 项和公式，先求出等比数列{b n }的通项公式，再分别结合三个条件一一算出等差数列{a n }的通项公式，并判断是否存在符合条件的k ．17.【答案】(Ⅰ)证明：由平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥AD ，且平面PAD ∩平面ABCD =AD ，所以PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD ；又BE ⊥AD ，BE//CD ，所以CD ⊥AD ，所以CD ⊥平面PAD ；又CD ⊂平面PCD ，所以平面PAD ⊥平面PCD ；(Ⅱ)解：作AD 的垂线Ez ，以E 为原点，以EB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴，y 轴的正方向，建立空间直角坐标系E −xyz ，如图所示；则点E(0,0，0)，P(0,−2,2)，A(0,−2,0)， B(2,0，0)，C(1,2，0)，D(0,2，0)．所以PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，−2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2，0)，EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,2)；设平面PBC 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)，所以{n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{x +y −z =0−x +2y =0；令y =1，解得n⃗ =(2,1，3)；设平面PBE 的法向量为m⃗⃗⃗ =(a,b ，c)，所以{m⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{a +b +c =0−b +c =0；令b =1，解得m ⃗⃗⃗ =(0,1，1)．所以cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=√4+1+9×√0+1+1=2√77；由图形可知，二面角C −PB −E 的余弦值为2√77．【解析】(Ⅰ)证明PA ⊥CD ，CD ⊥AD.得到CD ⊥平面PAD ，即可证明平面PAD ⊥平面PCD ；(Ⅱ)建立空间直角坐标系E −xyz ，用坐标表示向量，求出平面PBC 和平面PBE 的法向量所成的角的余弦值即可．本题考查了面面垂直的判定问题，也考查了利用向量法求二面角的余弦值问题，是中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)抽取的5人中男员工的人数为545×27=3，女员工的人数为545×18=2.…(4分)(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，抽取的5名员工中，有男员工3人，女员工2人．所以，随机变量X 的所有可能取值为1，2，3．根据题意，P(X =1)=C 31⋅C 22C 53=310，P(X =2)=C 32⋅C 21C 53=610，P(X =3)=C 33⋅C 20C 53=110．随机变量X 的分布列是：数学期望EX =1×310+2×610+3×110=1810=95. …(10分)(Ⅲ)s 12=s 22.…(13分)【解析】(Ⅰ)利用抽取的比例即可得出．(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，抽取的5名员工中，有男员工3人，女员工2人．所以，随机变量X 的所有可能取值为1，2，3.利用超几何分布列的概率计算公式即可得出．数学期望EX =1×310+2×610+3×110=1810=95. (10))(Ⅲ)利用方程计算公式即可得出结论．本题考查了分层抽样、超几何分布列的概率与数学期望计算公式、方差的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)由已知得x >0，f ′(x)=1x −a =1−ax x，(ⅰ)当a ≤0时，f ′(x)>0恒成立，则函数f(x)在(0,+∞)为增函数； (ⅰ)当a >0时，由f ′(x)>0，得0<x <1a ；由f ′(x)<0，得x >1a ；所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1a )，单调递减区间为(1a ,+∞)． (Ⅱ)因为g(x)=xf(x)+12x 2+2x=x(lnx −x −1)+12x 2+2x=xlnx −12x 2+x ，则g ′(x)=lnx +1−x +1 =lnx −x +2=f(x)+3，由(Ⅰ)可知，函数g ′(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，又因为g ′(1e 2)=−2−1e 2+2=−1e 2<0，g ′(1)=1>0，所以g ′(x)在(0,1)上有且只有一个零点x 1,又在(0,x1)上，g′(x)<0，g(x)在(0,x1)上单调递减；在(x1,1)上g′(x)>0，g(x)在(x1,1)上单调递增，所以x1为极值点，此时m=0；又g′(3)=ln3−1>0，g′(4)=2ln2−2<0，所以g′(x)在(3,4)上有且只有一个零点x2，又在(3,x2)上，g′(x)>0，g(x)在(3,x2)上单调递增；在(x2,4)上，g′(x)<0，g(x)在(x2,4)上单调递减．所以x2为极值点，此时m=3．综上所述，m=0或m=3．【解析】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于较难题．(Ⅰ)求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；(Ⅱ)求出函数g(x)的导数，根据函数的单调性得到导函数的零点，求出函数的极值点，求出m的值即可．20.【答案】解：(Ⅰ)当t=1时，将x=1代入x24+y22=1，解得：y=±√62，∴|AB| =√6.[(2分)]当M为椭圆C的顶点(−2,0)时，M到直线x=1的距离取得最大值3，[(4分)]∴△MAB面积的最大值是3√62.[(5分)](Ⅱ)设A，B两点坐标分别为A(t,n)，B(t,−n)，从而t2+2n2=4.[(6分)]设M(x0,y0)，则有x02+2y02=4，x0≠t，y0≠±n.[(7分)]直线MA的方程为y−n=y0−nx0−t(x−t)，[(8分)]令y=0，得x=ty0−nx0y0−n ，从而|OE|=|ty0−nx0y0−n|.[(9分)]直线MB的方程为y+n=y0+nx0−t(x−t)，[(10分)]令y=0，得x=ty0+nx0y0+n ，从而|OF|=|ty0+nx0y0+n|.[(11分)]所以|OE|⋅|OF|=|ty0−nx0y0−n |⋅|ty0+nx0y0+n|=|t2y02−n2x02y02−n2|，=|(4−2n2)y02−n2(4−2y02)y02−n2|，[(13分)]=|4y02−4n2y02−n2|=4．∴|OE|⋅|OF|为定值．[(14分)]【解析】(Ⅰ)将x=1代入x24+y22=1，求得|AB| =√6，当M为椭圆C的顶点(−2,0)时，M到直线x=1的距离取得最大值3，即可求得△MAB面积的最大值；(Ⅱ)由题意可知：设M(x0,y0)，则有x02+2y02=4，则直线MA的方程为y−n=y0−nx0−t(x−t)，令y=0，得x=ty0−nx0y0−n ，从而|OE|=|ty0−nx0y0−n|，同理即可求得|OF|=|ty0+nx0y0+n|，则|OE|⋅|OF|=|ty0−nx0y0−n|⋅|ty0+nx0y0+n|=|t2y02−n2x02y02−n2|=|4y02−4n2y02−n2|=4．本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查三角形的面积公式，直线的点斜式方程，考查计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)A3={(1,2，3)}，B3={(1,2，3)，(1,3，2)，(2,1，3)，(3,2，1)}．(Ⅱ)考虑集合A n中的元素(a1,a2,a3,…,a n).由已知，对任意整数i，j，1≤i<j≤n，都有a i−i≤a j−j，所以(a i−i)+i<(a j−j)+j，所以a i<a j．由i，j的任意性可知，(a1,a2,a3,…,a n)是1，2，3，…，n的单调递增排列，所以A n={(1,2，3，…，n)}．又因为当a k=k(k∈N∗,1≤k≤n)时，对任意整数i，j，1≤i<j≤n，都有a i+i≤a j+j．所以(1,2，3，…，n)∈B n，所以A n⊆B n．所以集合A n∩B n的元素个数为1．(Ⅲ)由(Ⅱ)知，b n≠0．因为B2={(1,2)，(2,1)}，所以b2=2．当n≥3时，考虑B n中的元素(a1,a2,a3,…,a n).(1)假设a k=n(1≤k<n).由已知，a k+k≤a k+1+(k+1)，所以a k+1≥a k+k−(k+1)=n−1，又因为a k+1≤n−1，所以a k+1=n−1．依此类推，若a k=n，则a k+1=n−1，a k+2=n−2，…，a n=k．①若k=1，则满足条件的1，2，3，…，n的排列(a1,a2,a3,…,a n)有1个．②若k=2，则a2=n，a3=n−1，a4=n−2，…，a n=2．所以a1=1．此时满足条件的1，2，3，…，n的排列(a1,a2,a3,…,a n)有1个．③若2<k<n，只要(a1,a2,a3,…a k−1)是1，2，3，…，k−1的满足条件的一个排列，就可以相应得到1，2，3，…，n的一个满足条件的排列．此时，满足条件的1，2，3，…，n的排列(a1,a2,a3,…,a n)有b k−1个．(2)假设a n=n，只需(a1,a2,a3,…a n−1)是1，2，3，…，n−1的满足条件的排列，此时满足条件的1，2，3，…，n的排列(a1,a2,a3,…,a n)有b n−1个．综上b n=1+1+b2+b3+⋯+b n−1，n≥3．因为b3=1+1+b2=4=2b2，且当n≥4时，b n=(1+1+b2+b3+⋯+b n−2)+b n−1=2b n−1，所以对任意n∈N∗，n≥3，都有b nb n−1=2．所以{b n}成等比数列．【解析】(Ⅰ)集合A3属于单调递增排列，集合B3属于实数对，利用列举法表示集合A3，B3即可；(Ⅱ)根据题意知A n={(1,2，3，…，n)}、(1,2，3，…，n)∈B n，所以A n⊆B n.所以集合A n∩B n的元素个数为1．(Ⅲ)由(Ⅱ)知，b n≠0.因为B2={(1,2)，(2,1)}，所以b2=2.当n≥3时，考虑B n中的元素(a1,a2,a3,…,a n).分类讨论：(1)假设a k=n(1≤k<n).由已知，a k+k≤a k+1+(k+1)，依此类推，若a k=n，则a k+1=n−1，a k+2=n−2，…，a n=k．①若k=1，则满足条件的1，2，3，…，n的排列(a1,a2,a3,…,a n)有1个．②若k=2，则a2=n，a3=n−1，a4=n−2，…，a n=2．③若2<k<n，(2)假设a n=n，只需(a1,a2,a3,…a n−1)是1，2，3，…，n−1的满足条件的排列，此时满足条件的1，2，3，…，n的排列(a1,a2,a3,…,a n)有b n−1个．结合等比数列的定义进行证明．本题考查等比关系的确定与等差数列的性质，考查运算与推理、证明的能力，难度较大．。

临考押题卷06-2020年高考数学临考押题卷(北京卷)(解析版)

2020年高考临考押题卷（六）数学（北京卷）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、单选题1．若集合{0,1,2}A =，2{|30}B x x x =-≤，则A B I 为（）A ．{1,2}B ．{0,1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{|03}x x ≤≤【答案】B【解析】解不等式230x x -≤得03x ≤≤，即{|03}B x x =≤≤，因为{}0,1,2A =，所以{}0,1,2A B ⋂=.2．设复数z 满足()25z i +=，则z i -=( )A B ．2C ．D ．4【答案】C【解析】55(2)(2)5,22(2)(2)i z i z i i i i -+=∴===-++-Q ，22z i i -=- ，|i |z ∴-=3．已知奇函数3(0)()()(0)x a x f x h x x ⎧+≥=⎨<⎩，则(2)h -的值为（）A ．109B ．109-C ．8D ．8-【答案】D【解析】因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，令0x =，得(0)0f =，又0(0)3f a =+，所以10a +=，即1a =-，所以2(2)(2)(2)(31)8h f f -=-=-=--=-. 故选；D4．抛物线22(0)x py p =>的焦点与双曲线221169x y -=的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则p 的值为（）.A ．403B ．52C ．203D ．3【答案】A【解析】抛物线22(0)x py p =>的焦点坐标为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，双曲线221169x y -=的右焦点坐标为(5,0),两焦点的连线的方程为(5)10py x =--，又双曲线的渐近线方程为34y x=±，所以31104p -⨯=- ，解得403p =，故选：A. 5．已知1cos 3α=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan α等于（） A ．22- B ．22 C ．2-D ．2 【答案】A 【解析】,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭Q ，222sin 1cos 3αα∴=--=-，因此，sin tan 22cos ααα==-.6．函数()21x f x x-=的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题意，函数()21x f x x -=，可得()()22()11x x f x f x x x----===-，即()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，图象关于y 对称，排除B 、C ；当0x >时，()211x f x x x x-==-，则21'()1f x x =+＞0，所以函数在0∞（，＋）上递增，排除A ， 7．刘徽注《九章算术·商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为（）A ．3B ．3C ．3 D ．4【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体为四棱锥，底面是一个正方形，设四棱锥外接球的半径为R ，将其置入到长方体中，如图所示易得1,1PD DA AB ===，所以22223R PB PD DA AB ==++=，所以3R =. 故选：C8．已知点(4,0)B ，点P 在曲线28y x =上运动，点Q 在曲线22(2)1x y -+=上运动，则2||||PB PQ 的最小值为（） A 3B ．4C 5D ．6【答案】B【解析】设圆心为F ，则F 为抛物线28y x =的焦点，该抛物线的准线方程为2x =-，设(,)P x y ，由抛物线的定义：||2PF x =+，要使2||||PB PQ 最小，则||PQ 需最大，如图||PQ 最大时，经过圆心F ，且圆F 的半径为1，∴||||13PQ PFx =+=+，且222||(4)16PB x y x =-+=+∴22||16||3PB x PQ x +=+，令3(3)x t t+=≥，则3x t =-，∴2||2564||PB t PQ t =+-≥，当5t =时取“=”，此时2x =. ∴2||||PB PQ 的最小值为4. 9．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，()()1ln x f x f x x'<-g ，则使得()()240xf x ->成立的x 的取值范围是（）A ．()()2,00,2-UB ．()(),22,-∞-+∞UC ．()()2,02,-+∞UD ．()(),20,2-∞-U【答案】D【解析】根据题意，设()()()ln 0gx x f x x =⋅>，其导数()()()()()()1'ln 'ln 'ln 'g x x f x xf x f x xf x x=+=+ ，又由当0x >时，()()1ln 'x f x f x x⋅<-，则有 ()()()1'ln '0g x f x x f x x=+⋅<，即函数()g x 在()0,∞+ 上为减函数，又由()()1ln110g f =⋅=，则在区间()0,1上，()()()ln 10g x x f x g =⋅>=，又由ln 0x <，则()0f x <，在区间()1,+∞上，()()()ln 10g x x f x g =⋅<=，又由ln 0x >，则()0f x <，则()f x 在()0,1和()1,+∞上，()0f x <，又由()f x 为奇函数，则在区间()1,0-和(),1-∞-上，都有()0f x >，()()()2240400x x f x f x ⎧->⎪->⇔⎨>⎪⎩或()2400x f x ⎧-<⎪⎨<⎪⎩，解可得2x <-或02x <<，则x 的取值范围是()(),20,2-∞-U ，故选D.10．一位老师将三道题（一道三角题，一道数列题，一道立体几何题）分别写在三张卡纸上，安排甲、乙、丙三位学生各抽取一道.当他们被问到谁做立体几何题时，甲说：“我抽到的不是立体几何题”，乙说：“我喜欢三角，可惜没抽到”，丙说：“乙抽到的肯定不是数列题”.事实证明，这三人中只有一人说的是假话，那么抽到立体几何题的是（） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．不确定【答案】C【解析】若甲说的假话，则甲抽到的是立体几何题，乙抽到数列题，这里丙又是假话，不合题意，甲是真话；若乙假话，则乙抽到三角题，这里甲丙真话，甲抽到数列题，丙抽到立体几何题，符合题意；若丙是假话，则乙抽到数列题，甲乙真话，甲抽到三角题，丙只能是立体几何题. 二、填空题11．在ABC ∆中，若8ac =，7a c +=，3B π=，则b =_________.【答案】5【解析】因为在ABC ∆中,8ac =,7a c +=,3B π=,由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-,()2222cos 3b ac ac ac p=+--, 22172828252b =-?创= 所以5b =.12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为y =，则双曲线方程为______．【答案】221412x y -=【解析】右顶点(),0a 到渐近线y =的距离d ==2a =，由双曲线方程知其渐近线方程为b y x a =±，ba∴=b = ∴双曲线方程为221412x y -=.故答案为：221412x y -=.13．某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如下：（ⅰ）摇号的初始中签率为0.19；（ⅱ）当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05.为了使中签率超过0.9，则至少需要邀请________位好友参与到“好友助力”活动. 【答案】15【解析】因为摇号的初始中签率为0.19，所以要使中签率超过0.9，需要增加中签率0.90.190.71-=，因为每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05，所以至少需要邀请0.714.20.05=，所以至少需要邀请15位好友参与到“好友助力”活动. 14．设函数()2sin 22cos f x x x =+，则函数()f x 的最小正周期为____；若对于任意x ∈R ，都有()f x m≤成立，则实数m 的最小值为____．【答案】π21+【解析】()2sin 22cos sin 2cos 212sin 214f x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，所以，函数()y f x =的周期为22T ππ==，函数()y f x =的最大值为()max 21f x =+，由于对于任意x ∈R ，都有()f x m ≤成立，则()max 21m f x ≥=+. 因此，实数m 的最小值为21+.故答案为：π；21+.15．如图，矩形ABCD 中，23AB =，2AD =，Q 为BC 的中点，点M ，N 分别在线段AB ，CD 上运动（其中M 不与A ，B 重合，N 不与C ，D 重合），且//MN AD ，沿MN 将DMN V 折起，得到三棱锥D MNQ -，则三棱锥D MNQ -体积的最大值为______.【答案】1【解析】由题意，沿MN 将DMN V 折起，得到三棱锥D MNQ -，可得当平面DMN ⊥平面MNQ 时，三棱锥D MNQ -体积最大，此时DN ⊥平面MNQ ，设AMx =，则DN x =，且023x <<则三棱锥D MNQ -的体积为1112(23)332D NQ M Q M N V S DN x x -⎡⎤=⋅=⋅⎢⎥⎣⎦△，当3x =D MNQ -体积最大，且max 1V =. 四、解答题16．如图，矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 在DC 边上，且1DE =，将ADE V 沿AE 折到AD E'V 的位置，使得平面AD E '⊥平面ABCE . （Ⅰ）求证：AE BD '⊥；（Ⅱ）求二面角D AB E '--的余弦值.【解析】（Ⅰ）连接BD 交AE 于点O ，依题意得2AB ADDA DE==，所以Rt ABD ~V Rt DAE V ，所以DAE ABD ∠=∠，所以90AOD ∠=︒，所以AE BD ⊥，即OB AE ⊥，OD AE '⊥，又OB OD O ⋂'=，OB ,D '⊂平面OBD '.所以AE ⊥平面OBD '.又1BD ⊂平面OBD '，所以AE BD ⊥'. （Ⅱ）因为平面AD E '⊥平面ABCE ，由（Ⅰ）知，OD '⊥平面ABCE ，以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -如图所示. 在Rt AD E 'V 中，易得5OD '=5OA =，5OE =，所以5A ⎫⎪⎭，5B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，5D '⎛⎝，则55AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，0,55BD ⎛= ⎝'u u u u r ，设平面ABD '的法向量()1,,n x y z =u r ，则110{0n AB n BD ='⋅=⋅u r u u u r u r u u u u r，即055{055x y y z +==，解得2{4x y z y ==，令1y =，得()12,1,4n =u r，显然平面ABE 的一个法向量为()20,0,1n =u u r.所以121212cos ,n n n n n n ⋅〈〉=u r u u ru r u u r u r u u r 42121211==⨯，所以二面角D AB E '--42117．从①前n 项和2()n S n p p =+∈R ，②13n n a a +=-，③611a =且122n n n a a a ++=+，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并完成解答．在数列{}n a 中，11a =，_______，其中*n ∈N ．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若1,,n m a a a 成等比数列，其中*,m n ∈N ，且1m n >>，求m 的最小值．【解析】选择①：（Ⅰ）当1n =时，由1111a S p ==+=，得0p =.当2n ≥时，由题意，得()21n S n =-，所以()1212nn n a S S n n -=-=-≥．经检验，11a =符合上式，所以()21n a n n N*=-∈；（Ⅱ）由1a 、n a 、m a 成等比数列，得21nm a a a =，即()()221121n m -=⨯-．化简，得2211221222m n n n ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为m 、n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 有最小值5．选择②：（Ⅰ）因为13n n a a +=-，所以13n n a a +-=．所以数列{}n a 是公差3d =的等差数列.所以()()()1113132n a a n d n n n N*=+-=+-=-∈；（Ⅱ）由1a 、n a 、m a 成等比数列，得21n m a a a =，即()()232132n m -=⨯-．化简，得2222342333m n n n ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为m 、n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 取到最小值6；选择③：（Ⅰ）由122n n n a a a ++=+，得121n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}n a 是等差数列，设等差数列{}n a 的公差为d ，又因为11a =，61511a a d =+=，所以2d =.所以()()1121n a a n d n n N*=+-=-∈；（Ⅱ）因为1a 、n a 、m a 成等比数列，所以21n m a a a =，即()()221121n m -=⨯-．化简，得2211221222m n n n ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为m 、n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 有最小值5． 18．已知某校6个学生的数学和物理成绩如下表：（1）若在本次考试中，规定数学在80分以上（包括80分）且物理在75分以上（包括75分）的学生为理科小能手.从这6个学生中抽出2个学生，设X 表示理科小能手的人数，求X 的分布列和数学期望；（2）通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系，在上述表格是正确的前提下，用x 表示数学成绩，用y 表示物理成绩，求y 与x 的回归方程.参考数据和公式：ˆˆˆy bx a =+，其中1122211()()ˆ()n niii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx====---⋅==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-. 【解析】（1）由题意得1号学生、2号学生为理科小能手.X 的可能取值为：0,1,2P （X ＝0）242625C C ==，P （X ＝1）112426815C C C ==， P （X ＝2）2226115C C ==，X 的分布列为()0+1+2=515153E X =⨯⨯⨯ （2）84,75x y ==，61 i =∑x i y i ＝37828，61i =∑x i 2＝42476， ∴ˆb=（61 i i i x y =-∑6xy ）÷（6221 6i n x x =-∑） 2378286847542476684-⨯⨯=-⨯ 15=， ˆˆa y bx =-=75﹣15×84＝2915，回归方程为129155y x =+ 19．椭圆E 的焦点为1(1,0)F -和2(1,0)F ，过2F 的直线1l 交E 于,A B 两点，过A 作与y 轴垂直的直线2l ，又知点(2,0)H ，直线BH 记为3l ，2l 与3l 交于点C ．设22AF F B λ→→=，已知当2λ=时，1||AB BF =．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：无论λ如何变化，点C 的横坐标是定值，并求出这个定值．【解析】（Ⅰ）设椭圆的方程为22221x y a b+=，其中221b a =-，由已知，当2λ=时，不妨设2||BF m =，则2||2AF m =，又1||AB BF =，所以13BF m =，由椭圆的定义得24a m =，从而12||||2AF AF m ==，此时点A 在y 轴上，不妨设(0,)A b ，从而由已知条件222AF F B =u u u u r u u u r 可得(10,0)2(1,)B B b x y --=-，解得3,22B B b x y ==，故3(,)22b B ，代入椭圆方程，解得23a =，所以2212b a =-=，故所求椭圆方程为22132x y +=. （Ⅱ）设直线AB 的方程为1x my =+，1122(,),(,)A x y B x y ，将1x my =+代入椭圆22236x y +=中，得222(1)36my y ++=，即()2223440m y my ++-=， 12122244,2323m y y y y m m --+==++，所以1212y y m y y +=，由已知，(2,0)H ，直线BH 的斜率222112221211BH y y y k y y y x my y ====+---，所以直线BH 的方程为1(2)y y x =-，而直线2l 的方程为1y y =，代入1(2)y y x =-，解得3x =，故点C 的横坐标是定值3.20．已知函数()f x =3213x ax b -+在2x =-处有极值. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间[]3,3-上有且仅有一个零点，求b 的取值范围.【解析】（Ⅰ）2()2f x x ax '=-由题意知：…2()2f x x x ∴=+'令()0,20f x x x -'>得或令()0,20f x x <-<'<得()f x ∴的单调递增区间是(,2)(0,)-∞-+∞和单调递减区间是（-2，0）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，321()3f x x x b =++4(2)3f b -=+为函数极大值，(0)f b =为极小值 Q 函数()f x 在区间[-3，3]上有且公有一个零点，(3)0(3)0(3)0{{{(0)0(2)0(3)0f f f f f f -≤≥->>-<<或或即18000{{{4018003b b b b b b +≥≤>>+<+<或或 4183b ∴-≤<-，即b 的取值范围是4[18,).3-- 21．对定义在[0，1]上的函数f （x ），如果同时满足以下三个条件：①对任意x ∈[0，1]，总有f （x ）≥0；②f （1）=1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1，有f （x 1+x 2）≥f （x 1）+f （x 2）成立．则称函数f （x ）为理想函数．（1）判断g （x ）=2x ﹣1（x ∈[0，1]）是否为理想函数，并说明理由；（2）若f （x ）为理想函数，求f （x ）的最小值和最大值；（3）若f （x ）为理想函数，假设存在x 0∈[0，1]满足f[f （x 0）]=x 0，求证：f （x 0）=x 0．【解析】（1）①显然f （x ）=2x ﹣1在[0，1]上满足f （x ）≥0；②f （1）=1．若x 1≥0，x 2≥0，且x 1+x 2≤1，则有f （x 1+x 2）﹣[f （x 1）+f （x 2）]=2x1+x2﹣1﹣[（2x1﹣1）+（2x2﹣1）]=（2x2﹣1）（2x1﹣1）≥0 故f （x ）=2x ﹣1满足条件①②③，所以f （x ）=2x ﹣1为理想函数，（2）设x 1，x 2∈[0，1]，x 1＜x 2，则x 2﹣x 1∈（0，1]∴f （x 2）=f[（x 2﹣x 1）+x 1]≥f （x 2﹣x 1）+f （x 1）﹣2∴f （x 2）﹣f （x 1）≥f （x 2﹣x 1）﹣2≥0，∴f （x 1）≤f （x 2），则当0≤x≤1时，f （0）≤f （x ）≤f （1），在③中，令x 1=x 2=0，得f （0）≤2，由②得f （0）≥2，∴f （0）=2，当x=1时，f （1）=3，∴当x=0时，f （x ）取得最小值2，当x=1时，f （x ）取得最大值3，（3）由条件③知，任给m 、n ∈[0，1]，当m ＜n 时，由m ＜n 知n ﹣m ∈[0，1]， ∴f （n ）=f （n ﹣m+m ）≥f （n ﹣m ）+f （m ）≥f （m ）．若f（x0）＞x0，则f（x0）≤f[f（x0）]=x0，前后矛盾；若：f（x0）＜x0，则f（x0）≥f[f（x0）]=x0，前后矛盾．故f（x0）=x0．。

2020北京市高考数学押题仿真试卷五含答案

垂足为 N ，满足条件 | A1M |2 | MN |2 1. 则点 M 的轨迹为
（ A）双曲线线的一部分（ C）抛物线的一部分
（B）椭圆的一部分（D）圆的一部分
答案： 1-5 DDABD 6-10 ACBBC
第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。（ 11）设 i 为虚数单位 , 如果复数 Z 满足 (1 i) Z i , 那么 Z 的共轭复数 Z 的模长为 ______ . 答案 2
等差数列 , 且适当排序后也可成等比数列 , 则 a b 的值等于
（ A） 1
（B） 7
（ C） 6
（D） 5
9. 曲线 y x3 3x 过点 (1, 2) 的切线条数为
（ A） 1条
（B） 2 条
（ C） 3 条
（ D） 4 条
10. 正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1，底面 ABCD 内任一点 M ，作 MN BC ，
2 （ 12）已知 x 0, y 0 , 且 2x 4y 4，则 xy 的最大值为 ______.
2
7. （2 x
1 x2
）5
的展开式中，
x 1 项的系数是（
）
（A） 20
（ B） 40
（ C） 80
（D） -120
8.
若 a,b 是函数 f ( x)
2
x
px
q( p
0,q
0) 的两个不同的零点 , 且 a,b, 2 这三个数适当排序后可成
3. 已知函数 f ( x) 2sin( x π ) , 则“ 3
（ A）充分而不必要条件
2 π”是“ f ( x) 为奇函数”的 3

2020年北京市高考数学押题试卷(二)

2020年北京市高考数学押题试卷（二）一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合A ={−1,0}，B ={x|−1<x <1}，则A ∩B =( )A. {−1}B. {0}C. {−1,0}D. {−1,0，1} 2. 设a =213，b =log 32，c =cosπ，则( )A. c >b >aB. a >c >bC. c >a >bD. a >b >c3. 下列函数中，最小正周期为π2的是( )A. y =sin|x|B. y =cos|2x|C. y =|tanx|D. y =|sin2x|4. 若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 55. 与圆x 2+y 2+2x −4y =0相切于原点的直线方程是( )A. x −2y =0B. x +2y =0C. 2x −y =0D. 2x +y =06. 设{a n }是公差为d 的等差数列，S n 为其前n 项和，则“d >0”是“{S n }为递增数列”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为1，则该几何体的体积为( )A. 16B. √26C. √36D. 128. 双曲线C 的方程x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，左右焦点分别为F 1，F 2，P 为C 右支上的一点，PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，以O 为圆心，a 为半径的圆与PF 1相切，则双曲线的离心率为( )A. √5B. √3C. 2D. √29. 已知函数f(x)=sin(2x −π3)，g(x)=x 2−2，若对任意的实数x 1，总存在实数x 2使得f(x 1)=g(x 2)成立，则x 2的取值范围是( ) A. [−1,1] B. [−√3,√3] C. (−∞,−1]∪[1,+∞) D. [−√3,−1]∪[1,√3]10. 已知函数f(x)=2mx 2−2(4−m)x +1，g(x)=mx ，若对于任一实数x ，f(x)与g(x)至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是( ) A. (0,2) B. (0,8) C. (2,8) D. (−∞,0) 二、填空题（本大题共5小题，共25.0分） 11. 复数|2i+1|=______．12. 已知α∈(π2,π)，sinα=45，则tan(α+π4)=______．13.在△ABC中，若bcosC+csinB=0，则∠C=______．14.为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg/L)随时间t(单位：ℎ)的变化关系为C=20tt2+4，则经过______h后池水中药品的浓度达到最大．15.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1+11+11+⋯中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1+1x =x，求得x=1+√52，类似上述过程，则√3+√3+√3+√……______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.在①b1+b3=a2，②a4=b4，③S5=−25这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由．设等差数列{a n}的前n项和为S n，{b n}是等比数列，______，b1=a5，b2=3，b5=−81，是否存在k，使得S k>S k+1且S k+1<S k+2？17.如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD的中点，PA⊥AD，BE//CD，BE⊥AD，PA=AE=BE=2，CD=1．(Ⅰ)求证：平面PAD⊥平面PCD；(Ⅱ)求二面角C−PB−E的余弦值．18.某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人．上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核．(Ⅰ)求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；(Ⅱ)考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈．设选出的3人中男员工人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；(Ⅲ)考核分笔试和答辩两项．5名员工的笔试成绩分别为78，85，89，92，96；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为95，88，102，106，99.这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记为s12，s22，试比较s12与s22的大小．(只需写出结论)19.已知函数，g(x)=xf(x)+12x2+2x．(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)当a=1时，若函数g(x)在区间内存在唯一的极值点，求m的值．20.已知直线l：x=t与椭圆C：x24+y22=1相交于A，B两点，M是椭圆C上一点(Ⅰ)当t=1时，求△MAB面积的最大值；(Ⅱ)设直线MA和MB与x轴分别相交于点E，F，O为原点．证明：|OE|⋅|OF|为定值．21.数字1，2，3，…，n(n≥2)的任意一个排列记作(a1,a2,…,a n)，设S n为所有这样的排列构成的集合．集合A n={(a1,a2,…,a n)∈S n|任意整数i，j，1≤i<j≤n，都有a i+i≤a j−j}；集合B n={(a1,a2,…,a n}∈S n|任意整数i，j，1≤i<n，都有a i+i≤a j+j}．(Ⅰ)用列举法表示集合A3，B3(Ⅱ)求集合A n∩B n的元素个数；(Ⅲ)记集合B n的元素个数为b n.证明：数列{b n}是等比数列．答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合A ={−1,0}，B ={x|−1<x <1}，则A ∩B ={0}，故选：B ．利用交集定义能求出集合A ∩B ．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用． 2.【答案】D【解析】解：a =213>1，b =log 32∈(0,1)，c =cosπ=−1，故a >b >c ．故选：D ．结合对数的单调性引入0与1进行比较大小，即可判断．本题考查三个数的大小比较，是基础题． 3.【答案】D【解析】【试题解析】解：由于函数y =sin|x|不是周期函数，故排除A ；由于函数y =cos|2x|=cos2x 的周期为2π2=π，故B 不正确；由于函数y =|tanx|的周期为π1=π，故排除C ；由于函数y =|sin2x|的周期为12⋅2π2=π2，故D 正确，故选：D ．由题意利用三角函数的周期性，得出结论．本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2， ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=−|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4+OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4，故选：C ．根据垂直可得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，代入计算即可．本题考查平面向量垂直，平面向量数量积的运算，属于基础题． 5.【答案】A【解析】解：圆：x 2+y 2+2x −4y =0，即(x +1)2+(y −2)2=5，表示以C(−1,2)为圆心，半径等于√5的圆．(0,0)满足圆的方程，所以过点(0,0)且与圆x 2+y 2+2x −4y =0相切的直线方程为x −2y =0．故选：A ．先求出圆的标准方程，可得圆心坐标和半径，(0,0)满足圆的方程，从而得到答案．本题主要考查圆的标准方程，考查学生的计算能力，属于基础题6.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n项和公式是解决本题的关键，属于基础题．根据等差数列的前n项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由S n+1>S n⇔(n+1)a1+n(n+1)2d>na1+n(n−1)2d⇔dn+a1>0⇔d≥0且d+a1>0．即数列{S n}为递增数列的充要条件是d≥0且d+a1>0，则“d>0”是“{S n}为递增数列”的既不充分也不必要条件．故选：D．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状，属于中档题．根据已知中三视图，画出几何体的直观图，分析几何体的形状为三棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中三视图，画出几何体的直观图如下图所示：它的顶点均为棱长为1的正方体的顶点，故其底面为直角边为1的等腰直角三角形，高为1，故几何体的体积V=13×12×1×1×1=16．故选A．8.【答案】A【解析】解：如图：连结PF 2、OM ， ∵PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以PF 1⊥PF 2，以O 为圆心，a 为半径的圆与PF 1相切， ∴M 是PF 1的中点，∴OM 是△PF 1F 2的中位线，∴OM//PF 2，且|PF 2|=2|OM|=2a∵PF 1与以原点为圆心a 为半径的圆相切， ∴OM ⊥PF 1，可得PF 2⊥PF 1，△PF 1F 2中，|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2，…① ∵根据双曲线的定义，得|PF 1|−|PF 2|=2a∴|PF 1|=|PF 2|+2a =4a ，代入①得(4a)2+(2a)2=|F 1F 2|2， ∴(2c)2=|F 1F 2|2=20a 2，解之得c =√5a 由此可得双曲线的离心率为e =ca =√5，故选：A ．连结PF 2、OM ，PF 2⊥PF 1.由圆的切线性质，得到OM ⊥PF 1，根据三角形中位线定理，算出|PF 2|=2|OM|=2a.在△PF 1F 2中利用勾股定理，结合双曲线的定义解出c 与a 的关系，利用双曲线离心率公式即可算出该双曲线的离心率．本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的离心率的求法．着重考查了双曲线的标准方程与圆的性质，三角形中位线定理和勾股定理等知识，属于中档题． 9.【答案】D【解析】解：函数f(x)=sin(2x −π3)，根据正弦函数性可知：f(x)的值域为[−1,1]，对任意的实数x 1，总存在实数x 2使得f(x 1)=g(x 2)成立， ∴[−1,1]⊆g(x)． ∵g(x)=x 2−2，根据二次函数性质可知：当g(x)=−1时，可得x =±1，当g(x)=1时，可得x =±√3，由二洗函数的图象可得：[−√3,−1]∪[1,√3]. 故选：D ．由题意，求出f(x)的值域，根据对任意的实数x 1，总存在实数x 2使得f(x 1)=g(x 2)成立，可得g(x)的值域，即可求出x 2的取值范围．本题考查了三角函数性质以及二次函数的图象及性质的运用，属于基础题． 10.【答案】B【解析】解：当m ≤0时，当x 接近+∞时，函数f(x)=2mx 2−2(4−m)x +1与g(x)=mx 均为负值，显然不成立当x =0时，因f(0)=1>0 当m >0时，若−b2a =4−m 2m≥0，即0<m ≤4时结论显然成立；若−b2a =4−m2m<0，时只要△=4(4−m)2−8m=4(m−8)(m−2)<0即可，即4<m<8则0<m<8故选B．当m≤0时，显然不成立；当m>0时，因为f(0)=1>0，所以仅对对称轴进行讨论即可．本题主要考查对一元二次函数图象的理解．对于一元二次不等式，一定要注意其开口方向、对称轴和判别式．11.【答案】√2【解析】解：|2i+1|=|2(1−i)(1+i)(1−i)|=|1−i|=√2．故答案为：√2．先对已知复数进行化简，然后结合模长公式即可求解．本题主要复数的运算及复数模长的求解，属于基础试题．12.【答案】−17【解析】【分析】本题考查三角函数关系式的变换，和角公式的应用，考查运算能力和转换能力，属于基础题．直接利用三角函数关系式的定义和和角公式的应用求出结果．【解答】解：α∈(π2,π),sinα=45，则：cosα=−35，所以：tanα=−43，则：tan(α+π4)=tanα+tanπ41−tanαtanπ4=−43+11+43=−17，故答案为：−17．13.【答案】3π4【解析】解：∵bcosC+csinB=0∴由正弦定理知，sinBcosC+sinCsinB=0，∵0<B<π，∴sinB>0，于是cosC+sinC=0，即tanC=−1，∵0<C<π，∴C=3π4．故答案为：3π4．直接利用正弦定理对函数的关系式进行变换，进一步求出C 的值．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式的综合应用，考查了转化思想，属于基础题． 14.【答案】2【解析】解：C =20t t 2+4=20t+4t≤2√t⋅4t=5，当且仅当t =2时取等号．因此经过2h 后池水中药品的浓度达到最大．故答案为：2．利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．15.【答案】1+√132【解析】解：设x =√3+√3+√3+√…… 由题意可得： x =√3+x ，即x 2−x −3=0，(x >0) 解得：x =1+√132，故答案为：1+√132．由阅读能力及类比能力结合解方程x 2−x −3=0，(x >0)解得：x =1+√132，即可得解．本题考查了阅读能力及类比能力，属中档题．16.【答案】解：因为在等比数列{b n }中，b 2=3，b 5=−81，所以其公比q =−3，从而b n =b 2(−3)n−2=3×(−3)n−2，从而a 5=b 1=−1．若存在k ，使得S k >S k+1，即S k >S k +a k+1，从而a k+1<0；同理，若使S k+1<S k+2，即S k+1<S k+1+a k+2，从而a k+2>0．若选①：由b 1+b 3=a 2，得a 2=−1−9=−10，所以a n =3n −16，当k =4时满足a 5<0，且a 6>0成立；若选②：由a 4=b 4=27，且a 5=−1，所以数列{a n }为递减数列，故不存在a k+1<0，且a k+2>0；若选③：由S 5=−25=5(a 1+a 5)2=5a 3，解得a 3=−5，从而a n =2n −11，所以当n =4时，能使a 5<0，a 6>0成立．【解析】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式和前n 项和公式，以及等差数列的性质，是中档题．利用等差数列、等比数列的通项公式和前n 项和公式，先求出等比数列{b n }的通项公式，再分别结合三个条件一一算出等差数列{a n }的通项公式，并判断是否存在符合条件的k ． 17.【答案】(Ⅰ)证明：由平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥AD ，且平面PAD ∩平面ABCD =AD ，所以PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD ；又BE ⊥AD ，BE//CD ，所以CD ⊥AD ，所以CD ⊥平面PAD ；又CD ⊂平面PCD ，所以平面PAD ⊥平面PCD ； (Ⅱ)解：作AD 的垂线Ez ，以E 为原点，以EB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴，y 轴的正方向，建立空间直角坐标系E −xyz ，如图所示；则点E(0,0，0)，P(0,−2,2)，A(0,−2,0)， B(2,0，0)，C(1,2，0)，D(0,2，0)．所以PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，−2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2，0)，EP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,2)；设平面PBC 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)，所以{n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{x +y −z =0−x +2y =0；令y =1，解得n⃗ =(2,1，3)；设平面PBE 的法向量为m⃗⃗⃗ =(a,b ，c)，所以{m⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅EP⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{a +b +c =0−b +c =0；令b =1，解得m ⃗⃗⃗ =(0,1，1)．所以cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=√4+1+9×√0+1+1=2√77；由图形可知，二面角C −PB −E 的余弦值为2√77．【解析】(Ⅰ)证明PA ⊥CD ，CD ⊥AD.得到CD ⊥平面PAD ，即可证明平面PAD ⊥平面PCD ； (Ⅱ)建立空间直角坐标系E −xyz ，用坐标表示向量，求出平面PBC 和平面PBE 的法向量所成的角的余弦值即可．本题考查了面面垂直的判定问题，也考查了利用向量法求二面角的余弦值问题，是中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)抽取的5人中男员工的人数为545×27=3，女员工的人数为545×18=2.…(4分)(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，抽取的5名员工中，有男员工3人，女员工2人．所以，随机变量X 的所有可能取值为1，2，3．根据题意，P(X =1)=C 31⋅C 22C 53=310，P(X =2)=C 32⋅C 21C 53=610，P(X =3)=C 33⋅C 20C 53=110．随机变量X 的分布列是：数学期望EX=1×310+2×610+3×110=1810=95.…(10分)(Ⅲ)s12=s22.…(13分)【解析】(Ⅰ)利用抽取的比例即可得出．(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，抽取的5名员工中，有男员工3人，女员工2人．所以，随机变量X的所有可能取值为1，2，3.利用超几何分布列的概率计算公式即可得出．数学期望EX=1×310+2×610+3×110=1810=95 (10))(Ⅲ)利用方程计算公式即可得出结论．本题考查了分层抽样、超几何分布列的概率与数学期望计算公式、方差的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)由已知得x>0，f′(x)=1x −a=1−axx，(ⅰ)当a≤0时，f′(x)>0恒成立，则函数f(x)在(0,+∞)为增函数；(ⅰ)当a>0时，由f′(x)>0，得0<x<1a ；由f′(x)<0，得x>1a；所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1a )，单调递减区间为(1a,+∞)．(Ⅱ)因为g(x)=xf(x)+12x2+2x=x(lnx−x−1)+12x2+2x=xlnx−12x2+x，则g′(x)=lnx+1−x+1=lnx−x+2=f(x)+3，由(Ⅰ)可知，函数g′(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，又因为g′(1e2)=−2−1e2+2=−1e2<0，g′(1)=1>0，所以g′(x)在(0,1)上有且只有一个零点x1,又在(0,x1)上，g′(x)<0，g(x)在(0,x1)上单调递减；在(x1,1)上g′(x)>0，g(x)在(x1,1)上单调递增，所以x1为极值点，此时m=0；又g′(3)=ln3−1>0，g′(4)=2ln2−2<0，所以g′(x)在(3,4)上有且只有一个零点x2，又在(3,x2)上，g′(x)>0，g(x)在(3,x2)上单调递增；在(x2,4)上，g′(x)<0，g(x)在(x2,4)上单调递减．所以x2为极值点，此时m=3．综上所述，m=0或m=3．【解析】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于较难题．(Ⅰ)求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；(Ⅱ)求出函数g(x)的导数，根据函数的单调性得到导函数的零点，求出函数的极值点，求出m的值即可．20.【答案】解：(Ⅰ)当t=1时，将x=1代入x24+y22=1，解得：y=±√62，∴|AB| =√6.[(2分)]当M为椭圆C的顶点(−2,0)时，M到直线x=1的距离取得最大值3，[(4分)]∴△MAB面积的最大值是3√62.[(5分)](Ⅱ)设A，B两点坐标分别为A(t,n)，B(t,−n)，从而t2+2n2=4.[(6分)]设M(x0,y0)，则有x02+2y02=4，x0≠t，y0≠±n.[(7分)]直线MA的方程为y−n=y0−nx0−t(x−t)，[(8分)]令y=0，得x=ty0−nx0y0−n ，从而|OE|=|ty0−nx0y0−n|.[(9分)]直线MB的方程为y+n=y0+nx0−t(x−t)，[(10分)]令y=0，得x=ty0+nx0y0+n ，从而|OF|=|ty0+nx0y0+n|.[(11分)]所以|OE|⋅|OF|=|ty0−nx0y0−n |⋅|ty0+nx0y0+n|=|t2y02−n2x02y02−n2|，=|(4−2n2)y02−n2(4−2y02)y02−n2|，[(13分)]=|4y02−4n2y02−n2|=4．∴|OE|⋅|OF|为定值．[(14分)]【解析】(Ⅰ)将x=1代入x24+y22=1，求得|AB| =√6，当M为椭圆C的顶点(−2,0)时，M到直线x=1的距离取得最大值3，即可求得△MAB面积的最大值；(Ⅱ)由题意可知：设M(x0,y0)，则有x02+2y02=4，则直线MA的方程为y−n=y0−nx0−t(x−t)，令y=0，得x=ty0−nx0y0−n ，从而|OE|=|ty0−nx0y0−n|，同理即可求得|OF|=|ty0+nx0y0+n|，则|OE|⋅|OF|=|ty0−nx0y0−n|⋅|ty0+nx0y0+n|=|t2y02−n2x02y02−n2|=|4y02−4n2y02−n2|=4．本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查三角形的面积公式，直线的点斜式方程，考查计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)A3={(1,2，3)}，B3={(1,2，3)，(1,3，2)，(2,1，3)，(3,2，1)}．(Ⅱ)考虑集合A n中的元素(a1,a2,a3,…,a n).由已知，对任意整数i，j，1≤i<j≤n，都有a i−i≤a j−j，所以(a i−i)+i<(a j−j)+j，所以a i<a j．由i，j的任意性可知，(a1,a2,a3,…,a n)是1，2，3，…，n的单调递增排列，所以A n={(1,2，3，…，n)}．又因为当a k=k(k∈N∗,1≤k≤n)时，对任意整数i，j，1≤i<j≤n，都有a i+i≤a j+j．所以(1,2，3，…，n)∈B n，所以A n⊆B n．所以集合A n∩B n的元素个数为1．(Ⅲ)由(Ⅱ)知，b n≠0．因为B2={(1,2)，(2,1)}，所以b2=2．当n≥3时，考虑B n中的元素(a1,a2,a3,…,a n).(1)假设a k=n(1≤k<n).由已知，a k+k≤a k+1+(k+1)，所以a k+1≥a k+k−(k+1)=n−1，又因为a k+1≤n−1，所以a k+1=n−1．依此类推，若a k=n，则a k+1=n−1，a k+2=n−2，…，a n=k．①若k=1，则满足条件的1，2，3，…，n的排列(a1,a2,a3,…,a n)有1个．②若k=2，则a2=n，a3=n−1，a4=n−2，…，a n=2．所以a1=1．此时满足条件的1，2，3，…，n的排列(a1,a2,a3,…,a n)有1个．③若2<k<n，只要(a1,a2,a3,…a k−1)是1，2，3，…，k−1的满足条件的一个排列，就可以相应得到1，2，3，…，n的一个满足条件的排列．此时，满足条件的1，2，3，…，n的排列(a1,a2,a3,…,a n)有b k−1个．(2)假设a n=n，只需(a1,a2,a3,…a n−1)是1，2，3，…，n−1的满足条件的排列，此时满足条件的1，2，3，…，n的排列(a1,a2,a3,…,a n)有b n−1个．综上b n=1+1+b2+b3+⋯+b n−1，n≥3．因为b3=1+1+b2=4=2b2，且当n≥4时，b n=(1+1+b2+b3+⋯+b n−2)+b n−1=2b n−1，所以对任意n∈N∗，n≥3，都有b nb n−1=2．所以{b n}成等比数列．【解析】(Ⅰ)集合A3属于单调递增排列，集合B3属于实数对，利用列举法表示集合A3，B3即可；(Ⅱ)根据题意知A n={(1,2，3，…，n)}、(1,2，3，…，n)∈B n，所以A n⊆B n.所以集合A n∩B n的元素个数为1．(Ⅲ)由(Ⅱ)知，b n≠0.因为B2={(1,2)，(2,1)}，所以b2=2.当n≥3时，考虑B n中的元素(a1,a2,a3,…,a n).分类讨论：(1)假设a k=n(1≤k<n).由已知，a k+k≤a k+1+(k+1)，依此类推，若a k=n，则a k+1=n−1，a k+2=n−2，…，a n=k．①若k=1，则满足条件的1，2，3，…，n的排列(a1,a2,a3,…,a n)有1个．②若k=2，则a2=n，a3=n−1，a4=n−2，…，a n=2．③若2<k<n，(2)假设a n=n，只需(a1,a2,a3,…a n−1)是1，2，3，…，n−1的满足条件的排列，此时满足条件的1，2，3，…，n的排列(a1,a2,a3,…,a n)有b n−1个．结合等比数列的定义进行证明．本题考查等比关系的确定与等差数列的性质，考查运算与推理、证明的能力，难度较大．。

临考押题卷06-2020年高考数学临考押题卷(北京卷)(考试版)

…○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○…………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________绝密★启用前2020年高考临考押题卷（六）数学（北京卷）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{0,1,2}A =，2{|30}B x x x =-≤，则A B I 为（） A ．{1,2}B ．{0,1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{|03}x x ≤≤2．设复数z 满足()25z i +=，则z i -=( ) A ．2B ．2C ．22D ．43．已知奇函数3(0)()()(0)x a x f x h x x ⎧+≥=⎨<⎩，则(2)h -的值为（）A ．109B ．109-C ．8D ．8-4．抛物线22(0)x py p =>的焦点与双曲线221169x y -=的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则p 的值为（）.A ．403B ．52C ．203D ．8735．已知1cos 3α=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan α等于（）A ．22-B ．22C ．2-D ．26．函数()21x f x x-=的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．7．刘徽注《九章算术·商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为（）A 3B ．3C 3D ．48．已知点(4,0)B ，点P 在曲线28y x =上运动，点Q 在曲线22(2)1x y -+=上运动，则2||||PB PQ 的最小值为（） A 3B ．4C 5D ．69．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，()()1ln x f x f x x'<-g ，则使得()()240xf x ->成立的x 的取值范围是（）A ．()()2,00,2-UB ．()(),22,-∞-+∞UC ．()()2,02,-+∞UD ．()(),20,2-∞-U 10．一位老师将三道题（一道三角题，一道数列题，一道立体几何题）分别写在三张卡纸上，安排甲、乙、丙三位学生各抽取一道.当他们被问到谁做立体几何题时，甲说：“我抽到的不是立体几何题”，乙说：“我喜欢三角，可惜没抽到”，丙说：“乙抽到的肯定不是数列题”.事实证明，这三人中只有一人说的是假话，那么抽到立体几何题的是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．不确定…○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○…………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________第Ⅱ卷二、填空题：本题共5个小题，每小题5分，共25分． 11．在ABC ∆中，若8ac =，7a c +=，3B π=，则b =_________.12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为3y x =，若其右顶点到这条渐近线的距离为3，则双曲线方程为______．13．某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如下：（ⅰ）摇号的初始中签率为0.19；（ⅱ）当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05.为了使中签率超过0.9，则至少需要邀请________位好友参与到“好友助力”活动.14．设函数()2sin 22cos f x x x =+，则函数()f x 的最小正周期为____；若对于任意x ∈R ，都有()f x m ≤成立，则实数m 的最小值为____．15．如图，矩形ABCD 中，23AB =，2AD =，Q 为BC 的中点，点M ，N 分别在线段AB ，CD 上运动（其中M 不与A ，B 重合，N 不与C ，D 重合），且//MN AD ，沿MN 将DMN V 折起，得到三棱锥D MNQ -，则三棱锥D MNQ -体积的最大值为______.三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．如图，矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 在DC 边上，且1DE =，将ADE V 沿AE 折到AD E'V 的位置，使得平面AD E '⊥平面ABCE . （Ⅰ）求证：AE BD '⊥；（Ⅱ）求二面角D AB E '--的余弦值.17．从①前n 项和2()n S n p p =+∈R ，②13n n a a +=-，③611a =且122n n n a a a ++=+，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并完成解答．在数列{}n a 中，11a =，_______，其中*n ∈N ．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若1,,n m a a a 成等比数列，其中*,m n ∈N ，且1m n >>，求m 的最小值．18．已知某校6个学生的数学和物理成绩如下表：（1）若在本次考试中，规定数学在80分以上（包括80分）且物理在75分以上（包括75分）的学生为理科小能手.从这6个学生中抽出2个学生，设X 表示理科小能手的人数，求X 的分布列和数学期望；（2）通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系，在上述表格是正确的前提下，用x 表示数学成绩，用y 表示物理成绩，求y 与x 的回归方程.参考数据和公式：ˆˆˆybx a =+，其中112211()()ˆ()n niii ii i nni i i i x x y y x y nx yb x x x nx====---⋅==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-.19．椭圆E 的焦点为1(1,0)F -和2(1,0)F ，过2F 的直线1l 交E 于,A B 两点，过A 作与y 轴垂直的直线2l ，又知点(2,0)H ，直线BH 记为3l ，2l 与3l 交于点C ．设22AF F B λ→→=，已知当2λ=时，1||AB BF =．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：无论λ如何变化，点C 的横坐标是定值，并求出这个定值．20．已知函数()f x =3213x ax b -+在2x =-处有极值. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间[]3,3-上有且仅有一个零点，求b 的取值范围.21．对定义在[0，1]上的函数f （x ），如果同时满足以下三个条件： ①对任意x ∈[0，1]，总有f （x ）≥0； ②f （1）=1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1，有f （x 1+x 2）≥f （x 1）+f （x 2）成立．则称函数f （x ）为理想函数．（1）判断g （x ）=2x ﹣1（x ∈[0，1]）是否为理想函数，并说明理由；（2）若f （x ）为理想函数，求f （x ）的最小值和最大值；（3）若f （x ）为理想函数，假设存在x 0∈[0，1]满足f[f （x 0）]=x 0，求证：f （x 0）=x 0．。

2020年北京市高考数学押题试卷(二) (含解析)

2020年北京市高考数学押题试卷(二)一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 设集合A ={x|x >2}，B ={x|x 2−4x <0}，则A ∩B =( )A. (4,+∞)B. (2,4)C. (0,4)D. (0,2)2. 设a =cos 2π5，b =30.3，c =log 53，则( )A. c <b <qB. c <a <bC. a <c <bD. b <c <a3. 下列函数中，以π2为最小正周期的奇函数是( )A. y =sin2x +cos2xB. y =sin (4x +π2)C. y =sin2xcos2xD. y =sin 22x −cos 22x4. 已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 9B. 8C. 7D. 105. 以(−2,1)为圆心且与直线x +y =3相切的圆的方程为( )A. (x −2)2+(y +1)2=2B. (x +2)2+(y −1)2=4C. (x −2)2+(y +1)2=8D. (x +2)2+(y −1)2=86. 若{a n }为等差数列，S n 是数列{a n }前n 项和，a 1=1，S 5=35，则该数列的公差d 为()A. 21B. 2C. 3D. 47. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 24B. 703 C. 22 D. 6438.已知F1、F2为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点P为双曲线C右支上一点，直线PF1与圆x2+y2=a2相切，且|PF2|=|F1F2|，则双曲线C的离心率为()A. √103B. 43C. 53D. 29.已知函数f(x)=sinωx(ω>0)，若对于的任意x1∈[0,2π3]，总存在[0,2π3]内的x2，使得f(x1)+f(x2)=0，则ω的()A. 最大值为3B. 最小值为3C. 最大值为94D. 最小值为9410.设二次函数f(x)=ax2−2ax+c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是()A. (−∞,0]B. [2,+∞)C. (−∞,0]∪[2,+∞)D. [0,2]二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知复数z=1+2ii，则|z|=_____。

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