2019-2019创新设计-同步人教A版选修2-1 2-2第一章 1.ppt
2019-2020数学人教A版选修2-2课件：第一章导数及其应用1.5 1.5.1 1.5.2 课后
9．若做变速直线运动的物体 v(t)＝t2，在 0≤t≤a 内经过的路程为 9， 则 a 的值为________．
答案 3
解析 将区间[0，a]分为等长的 n 个小区间，第 i 个区间记为i－n 1a，ina (i＝1,2，…，n)，取每个小区间的右端点的速度近似代替，则 Δt＝an，所以 v(ti)＝ina2，sn＝∑i＝n1 ina2·an＝an33(1＋22＋…＋n2)
第三页，编辑于星期日：点 二十分。
3．在求由 x＝a，x＝b(a<b)，y＝f(x)(f(x)≥0)及 y＝0 围成的曲边梯形的 面积 S 时，在区间[a，b]上等间隔地插入 n－1 个分点，分别过这些分点作 x 轴的垂线，把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是( )
①n 个小曲边梯形的面积和等于 S； ②n 个小曲边梯形的面积和小于 S； ③n 个小曲边梯形的面积和大于 S； ④n 个小曲边梯形的面积和与 S 之间的大小关系无法确定． A．1 B．2 C．3 D．4
解 将区间[0,2]等分成 n 个小区间，则第 i 个小区间为2i－n 1，2ni(i＝
1,2，…，n)．
第 i 个小区间的面积 ΔSi＝f2i－n 1·2n，
所以 Sn＝∑ i＝n1f2i－n 1·2n＝2n∑ i＝n1
4i－12 n2
答案15
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＝n83∑i＝n1 (i－1)2
解析 所围成的四边形为直角梯形，x＝0 时，y＝1，x＝2 时，y＝3， 所以 S＝12×(1＋3)×2＝4.
答案
解析11
第十一页，编辑于星期日：点 二十分。
8．已知某物体运动的速度 v＝2t－1，t∈[0,10]，若把区间 10 等分，取 每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值 为________．
2019-2020学年人教A版选修2-2 函数的最大(小)值与导数 课件(50张)
(2)[a，b]上连续不断的函数 f(x)在(a，b)上满足 f′(x)＞0，则 f(a)是函数的最______值，f(b)是函数的最______值．
【答案】 小，大
题型二 闭区间上函数的最值
例 2 求下列函数的最大值和最小值． ππ
y′
＋
0
－
0＋
y －2
2
－2
2
由上表知 f(x)最大值为 2.
【答案】 C
x－1 (2)求 y＝ ，x∈[0，4]的最大值和最小值．
x2＋1 【解析】 y′＝－（xx2＋2＋21x）＋21，
令 y′＝0，得 x＝1＋ 2和 x＝1－ 2(舍)． 又 f(0)＝－1，f(4)＝137，f(1＋ 2)＝ 22－1， ∴ymax＝ 22－1，ymin＝－1.
x f′(x)
f(x)
π －2
π 2
ππ (－ 2 ，－ 6 )
π －6
－
0
π－3 3 6
ππ (－ 6 ， 6 )
＋
π x
6
f′(x)
0
3 3－π f(x)
6
ππ (6，2)
－
π 2
π －2
π
π
从上表可知，最大值为 2 ，最小值为－ 2 .
(2)f′(x)＝3x2－3，令 f′(x)＝0，得 x＝±1. ∵f(－3)＝(－3)3－3×(－3)＋3＝－15， f(－1)＝(－1)3－3×(－1)＋3＝5， f(1)＝13－3×1＋3＝1， f(32)＝(32)3－3×32＋3＝185， ∴函数的最大值是 5，最小值是－15.
互动 2 函数的最大(小)值可以有多个吗？最大(小)值点 呢？
2019-2020学年新素养同步人教A版数学选修2-1课件：1.1.1命题
2．命题的形式 命题的一般形式为“若 p，则 q”． 其中 p 叫做命题的 条件 ，q 叫做命题的结论．
第四页，编辑于星期日：点 分。
|自我尝试| 1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”) (1)“集合{a，b，c}有 3 个子集”是命题( √ ) (2)“x2－3x＋2＝0”是命题( × )
第二十七页，编辑于星期日：点 分。
解析：可用反证法．假设 l 与 l1，l2 都不相交，因为 l 与 l1 都在平面 α 内，于是 l∥l1，同理 l∥l2，于是 l1∥l2，与已知矛盾， 故 l 至少与 l1，l2 中的一条相交．选 D.
答案：D
第二十八页，编辑于星期日：点 分。
2．给出命题：方程 x2＋ax＋1＝0 没有实数根，则使该命题 为真命题的 a 的一个值可以是( )
第十七页，编辑于星期日：点 分。
跟踪训练 2 下列命题中真命题有( )
①mx2＋2x－1＝0 是一元二次方程；
②抛物线 y＝ax2＋2x－1 与 x 轴至少有一个交点；
③互相包含的两个集合相等；
④空集是任何集合的真子集．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
第十八页，编辑于星期日：点 分。
解析：①中当 m＝0 时，是一元一次方程；②中当 Δ＝4＋4a<0 时，抛物线与 x 轴无交点；③是正确的；④中空集不是本身的真 子集．
解析：(1)若一个数是奇数，则它不能被 2 整除，是真命题． (2)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则 a＝b＝1，是真命题． (3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三 角形，是假命题． (4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直 线平行，是假命题．
2019-2020学年高二数学人教A版选修2-2教师用书：第1章 1.5.3 定积分的概念 Word版含解析
1.5.3 定积分的概念1．了解定积分的概念．(难点)2．理解定积分的几何意义．(重点、易混点) 3．掌握定积分的几何性质．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 定积分的概念 阅读教材P 45内容，完成下列问题．如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf(ξi )Δx ＝________________，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛ab f(x(dx ＝__________.其中a 与b 分别叫做__________与__________，区间[a ，b ]叫做______，函数f (x )叫做____________，x 叫做__________，f (x )d x 叫做__________．【答案】 ∑i ＝1n b －a n f (ξi ) lim n→∞∑i ＝1n b －an f (ξi ) 积分下限 积分上限 积分区间 被积函数积分变量 被积式⎠⎛12(x ＋1)d x 的值与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0，f (x )＝x ＋1围成的梯形的面积有什么关系？【解析】 由定积分的概念知：二者相等． 教材整理2 定积分的几何意义 阅读教材P 46的内容，完成下列问题．从几何上看，如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分⎠⎛a b f (x )d x 表示由__________________所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分⎠⎛ab f (x )d x 的几何意义．【答案】 直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f (x)判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ab f (t )d t .( ) (2)⎠⎛a b f (x )d x 的值一定是一个正数．( ) (3)⎠⎛012x d x <⎠⎛022x d x ( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)√ 教材整理3 定积分的性质阅读教材P 47的内容，完成下列问题．1.⎠⎛ab kf (x )d x ＝________________________(k 为常数)． 2.⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±__________________. 3.⎠⎛ab f (x )d x ＝______________(其中a <c <b )． 【答案】 1.k ⎠⎛a b f (x )d x 2.⎠⎛a b f 2(x )d x 3.⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x填空：(1)由y ＝0，y ＝cos x ，x ＝0，x ＝π2围成的图形的面积用定积分的形式表示为__________． (2)⎠⎛-11f (x )d x ＝⎠⎛-10f (x )d x ＋__________. (3)⎠⎛a b (x 2＋2x )d x ＝⎠⎛ab 2x d x ＋________. 【答案】 (1) ⎠⎜⎛0π2cos x d x (2)⎠⎛01f (x )d x (3)⎠⎛a b x 2d x[小组合作型]⎠⎛1【精彩点拨】 根据定积分的意义，分四步求解，即分割、近似代替、求和、取极限． 【自主解答】 令f (x )＝3x ＋2. (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，将区间[1,2]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n. (2)近似代替、作和取ξi ＝n ＋i －1n(i ＝1,2，…，n )，则S n ＝∑i ＝1nf ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n ·Δx ＝∑i ＝1n错误!·错误!＝错误!错误!＝错误![0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋5＝32×n2－n n2＋5＝132－32n. (3)取极限 ⎠⎛12(3x ＋2)d x＝lim n→∞S n ＝lim n→∞⎝ ⎛⎭⎪⎫132－32n ＝132.利用定义求定积分的步骤[再练一题]1．利用定积分的定义计算⎠⎛12(－x 2＋2x )d x 的值．【解】 令f (x )＝－x 2＋2x . (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分为n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n (i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n.(2)近似代替、作和取ξi ＝1＋in (i ＝1,2，…，n )，则S n ＝∑i ＝1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·Δx ＝∑i ＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝⎛⎭⎪⎫1＋i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1n＝－1n3[(n ＋1)2＋(n ＋2)2＋(n ＋3)2＋…＋(2n )2]＋2n2[(n ＋1)＋(n ＋2)＋(n ＋3)＋…＋2n ]＝－1n3错误!＋错误!·错误!＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1n .(3)取极限⎠⎛12(－x 2＋2x )d x ＝lim n→∞S n ＝lim n→∞ ⎣⎢⎡－13⎝⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋ ⎦⎥⎤3＋1n＝23.(1)⎠⎛-33－39－x2d x ；(2)⎠⎛03(2x ＋1)d x ； (3)⎠⎛-11－1(x 3＋3x )d x . 【导学号：62952046】【精彩点拨】 对于本题(1)、(2)可先确定被积函数、积分区间，画出图形，然后用几何法求出图形面积，从而确定定积分的值；对于(3)可根据被积函数的奇偶性求解．【自主解答】 (1)曲线y ＝9－x2表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆如图(1)所示．其面积为S ＝12·π·32＝92π.由定积分的几何意义知⎠⎛-339－x2d x ＝92π.(2)曲线f (x )＝2x ＋1为一条直线.⎠⎛03(2x ＋1)d x 表示直线f (x )＝2x ＋1，x ＝0，x ＝3围成的直角梯形OABC 的面积，如图(2)．其面积为S ＝12(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义知⎠⎛03(2x ＋1)d x ＝12.(3)∵y ＝x 3＋3x 在区间[－1,1]上为奇函数，图象关于原点对称，∴曲边梯形在x 轴上方部分面积与x 轴下方部分面积相等．由定积分的几何意义知⎠⎛-11(x 3＋3x )d x ＝0.定积分的几何意义的应用(1)利用定积分的几何意义求⎠⎛ab f (x )d x 的值的关键是确定由曲线y ＝f (x )，直线x ＝a ，x ＝b 及y ＝0所围成的平面图形的形状．常见的图形有三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．(关键词：平面图形的形状)(2)不规则的图形常利用分割法将图形分割成几个容易求定积分的图形求面积，要注意分割点要确定准确．(关键词：分割)[再练一题]2．上例(1)中变为⎠⎜⎛－32329－x2d x ，如何求解？ 【解】 由y ＝9－x2，知x 2＋y 2＝9(y ≥0)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32，其图象如图所示：由定积分的几何意义，知⎠⎜⎛－32329－x2d x 等于圆心角为60°的弓形C ED 的面积与矩形ABC D的面积之和．S 弓形＝12×π3×32－12×3×332＝6π－934，S 矩形＝|AB |×|BC |＝2×32×9－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝932，∴⎠⎜⎛－32329－x2d x ＝6π－934＋932＝6π＋934.[探究共研型]探究1【提示】 可先把每一段函数的定积分求出后再相加． 探究2 怎样求奇(偶)函数在区间[a ，b ]上的定积分？【提示】 ①若奇函数y ＝f (x )的图象在[－a ，a ]上连续，则⎠⎛-a a f (x )d x ＝0；②若偶函数y ＝g (x )的图象在[－a ，a ]上连续，则⎠⎛-a a g (x )d x ＝2⎠⎛0a g (x )d x .(1)f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，0≤x<1，2x2，1≤x≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝( )A.⎠⎛02(x ＋1)d xB.⎠⎛022x 2d x C.⎠⎛01(x ＋1)d x ＋⎠⎛122x 2d x D.⎠⎛122x d x ＋⎠⎛02(x ＋1)d x (2)已知⎠⎛02f (x )d x ＝8，则⎠⎛02[f (x )－2x ]d x ＝________.【自主解答】 (1)∵f (x )在[0,2]上是连续的，由定积分的性质(3)得⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛01(x ＋1)d x ＋⎠⎛122x 2d x .(2)由定积分的性质(2)可得 ⎠⎛02[f (x )－2x ]d x ＝⎠⎛02f (x )d x －⎠⎛022x d x ＝⎠⎛02f (x )d x －2⎠⎛02x d x . 又∵⎠⎛02f (x )d x ＝8，⎠⎛02x d x ＝12×2×2＝2，∴⎠⎛02[f (x )－2x ]d x ＝⎠⎛02f (x )d x －2⎠⎛02x d x ＝8－2×2＝4.【答案】 (1)C (2)4利用定积分的性质求定积分的技巧灵活应用定积分的性质解题，可以把比较复杂的函数拆成几个简单函数，把积分区间分割成可以求积分的几段，进而把未知的问题转化为已知的问题，在运算方面更加简洁．应用时注意性质的推广：(1)⎠⎛ab [f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛a b f 2(x )d x ±…±⎠⎛ab f n (x )d x ； (2)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎜⎛a c1f (x )d x ＋⎠⎜⎛c1c2f (x )d x ＋…＋⎠⎜⎛cnb f (x )d x (其中a <c 1<c 2<…<c n <b ，n ∈N *)．[再练一题]3．已知⎠⎛0e x d x ＝e22，⎠⎛0e x 2d x ＝e33，求下列定积分的值．(1)⎠⎛0e (2x ＋x 2)d x ；(2)⎠⎛0e (2x 2－x ＋1)d x .【解】 (1)⎠⎛0e (2x ＋x 2)d x＝2⎠⎛0e x d x ＋⎠⎛0e x 2d x ＝2×e22＋e33＝e 2＋e33.(2)⎠⎛0e (2x 2－x ＋1)d x ＝2⎠⎛0e x 2d x －⎠⎛0e x d x ＋⎠⎛0e 1d x ， 因为已知⎠⎛0e x d x ＝e22，⎠⎛0e x 2d x ＝e33，又由定积分的几何意义知：⎠⎛0e 1d x 等于直线x ＝0，x ＝e ，y ＝0，y ＝1所围成的图形的面积，所以⎠⎛0e 1d x ＝1×e ＝e ，故⎠⎛0e (2x 2－x ＋1)d x ＝2×e33－e22＋e ＝23e 3－12e 2＋e.1．下列等式不成立的是( )A.⎠⎛a b [mf (x )＋ng (x )]d x ＝m ⎠⎛a b f (x )d x ＋n ⎠⎛a b g (x )d xB.⎠⎛a b [f (x )＋1]d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ＋b －aC.⎠⎛a b f (x )g (x )d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ·⎠⎛ab g (x )d x D.⎠⎛－2π2πsin x d x ＝⎠⎛－2π0sin x d x ＋⎠⎛02πsin x d x 【解析】 利用定积分的性质可判断A ，B ，D 成立，C 不成立． 例如⎠⎛02x d x ＝2，⎠⎛022d x ＝4，⎠⎛022x d x ＝4， 即⎠⎛022x d x ≠⎠⎛02x d x ·⎠⎛022d x . 【答案】 C2．图1-5-3中阴影部分的面积用定积分表示为()图1-5-3A.⎠⎛012x dxB.⎠⎛01(2x －1)d xC.⎠⎛01(2x ＋1)d xD.⎠⎛01(1－2x )d x 【解析】 根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为⎠⎛012x d x －⎠⎛011d x ＝⎠⎛01(2x －1)d x .【答案】 B3．由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________. 【导学号：62952047】【解析】 ∵0＜x ＜π2，∴sin x ＞0.∴y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式为⎠⎜⎛0π2 sin x d x .【答案】 ⎠⎜⎛0π2 sin x d x4．若⎠⎛a b [f (x )＋g (x )]d x ＝3，⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x ＝1，则⎠⎛a b [2g (x )]d x ＝________.【解析】 ⎠⎛ab [2g (x )]d x＝⎠⎛a b [(f (x )＋g (x ))－(f (x )－g (x ))]d x ＝⎠⎛a b [f (x )＋g (x )]d x －⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x ＝3－1＝2. 【答案】 25．用定积分的几何意义求⎠⎛-114－x2d x .【解】 由y ＝4－x2可知x 2＋y 2＝4(y≥0)，其图象如图．⎠⎛-114－x2d x 等于圆心角为60°的弓形C E D 的面积与矩形ABCD 的面积之和． S 弓形＝12×π3×22－12×2×2sin π3＝2π3－3.S 矩形＝|AB |·|BC |＝23.∴⎠⎛-114－x2d x ＝23＋2π3－3＝2π3＋3.。
【创新设计】高中数人教A版选修12【配套课件】：2112
课前探究学习
课堂讲练互动
想一想：由合情推理得到的结论可靠吗？ 提示 一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想， 未必可靠，例如，费马猜想就被数学家欧拉推翻了．
பைடு நூலகம்
课前探究学习
课堂讲练互动
名师点睛
1．类比推理
(1)类比推理的一般步骤
①找出两类事物之间的相似性或一致性．
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确
题型二 类比推理在几何中的应用 【例2】 如图所示，在△ABC中，射影定理可
表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分 别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出 对空间四面体性质的猜想． [思路探索]
课前探究学习
课堂讲练互动
解 如右图所示，在四面体PABC中，设S1，S2， S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB， 面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小． 我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝ S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.
课前探究学习
课堂讲练互动
解析 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知 特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫类比推理，上 述三个结论均符合推理结论，故均正确． 答案 C
课前探究学习
课堂讲练互动
方法技巧 数形结合思想在合情推理中的应用 本节关于数形结合思想的考查主要是利用图形归纳、类比一般规 律，从而作出猜想． 【示例】 如图所示是树形图，第一层是一条与水平线垂直的线段，
第2课时 类比推理
课前探究学习
课堂讲练互动
【课标要求】 1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理． 2．了解合情推理在数学发现中的作用． 【核心扫描】 1．对合情推理含义的理解．(重点) 2．能利用归纳和类比进行简单的推理．(重点)
最新2019版-创新设计-高考总复习-数学-人教A版-理科-第一章-第1节ppt课件
2.(必修 1P7 练习 2 改编)若集合 A＝{x∈N|x≤ 2 018}，a＝2 2，则下列结论正确的
是( )
A.{a}⊆A
B.a⊆A
C.{a}∈A
D.a∉A
解析 因为 a＝2 2不是自然数，而集合 A 是不大于 2 018的自然数构成的集合，所 以 a∉A.
答案 D
3.(2017·全国Ⅰ卷)已知集合 A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则( )
• 谦称 “家”：用于对别人称自己的辈分高的或同辈 年纪大的亲属。如：家父、家严、家尊（称父亲）， 家母、家慈（称母亲）。
• “舍”：用于对别人称自己的辈分低的或同辈年纪 小的亲属。如：舍弟（称弟弟），舍妹（称妹妹）。
• “小”：用于称自己或跟自己有关的人或事物。如： 小弟（男性在朋友或熟人之间谦称自己），小儿 （谦称自己的儿子），小女（谦称自己的女儿）， 小店（谦称自己的商店）。
• “奉”：用于自己的举动涉及对方时。如：奉送（赠送），奉还（归 还），奉劝（劝告），奉陪（陪同）。
• 其他：久仰（仰慕已久，初次见面时说），劳驾（用于请别人做事或让 路），赏光（用于请对方接受自己的邀请），赏脸（用于请对方接受自 己的要求或赠品），贵姓（问人姓氏），贵庚（问人年龄），大作（称 人作品的敬辞），大驾（对他人的尊称）。
知识梳
理 1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、 互异性 、 无序性 . (2)元素与集合的关系是 属于 或 不属于 ，表示符号分别为∈和∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、 描述法 、图示法.
诊断自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.( ) (2)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.( ) (3)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.( ) (4)含有n个元素的集合有2n个真子集.( )
2016-2017《创新设计》同步人教A版选修2-1 2-2第一章 1.7.1
1.7.1 定积分在几何中的应用明目标、知重点会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．1．当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积S ＝ʃba f (x )d x .2．当x ∈[a ，b ]时，若f (x )<0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积S ＝－ʃba f (x )d x .3．当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>g (x )>0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的平面图形的面积S ＝ʃba [f (x )－g (x )]d x .(如图)探究点一 求不分割型图形的面积思考 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．例1 计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 2所围图形的面积S .解 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x 2得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为 S ＝S 曲边梯形OABC —S 曲边梯形OABD ＝ʃ10x d x －ʃ10x 2d x＝23x 32|10－13x 3|10 ＝23－13＝13. 反思与感悟 求由曲线围成图形面积的一般步骤： (1)根据题意画出图形；(2)找出范围，确定积分上、下限； (3)确定被积函数； (4)将面积用定积分表示；(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2－4y ＝－x ＋2得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝0， 所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S ， 根据图形可得S ＝ʃ2－3(－x ＋2)d x －ʃ2－3(x 2－4)d x＝(2x －12x 2)|2－3－(13x 3－4x )|2－3 ＝252－(－253)＝1256. 探究点二 分割型图形面积的求解思考 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？答 求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下．例2 计算由直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 以及x 轴所围图形的面积S . 解 方法一 作出直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 的草图．解方程组⎩⎨⎧y ＝2x ，y ＝x －4得直线y ＝x －4与曲线y ＝2x 交点的坐标为(8,4)． 直线y ＝x －4与x 轴的交点为(4,0)． 因此，所求图形的面积为 S ＝S 1＋S 2 ＝ʃ42x d x ＋[]ʃ 842x d x －ʃ 84(x －4)d x＝22332x |40＋22332x |84－12(x －4)2|84 ＝403. 方法二 把y 看成积分变量，则 S ＝ʃ4(y ＋4－12y 2)d y ＝(12y 2＋4y －16y 3)|40 ＝403. 反思与感悟 两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x 运算较繁锁，则积分变量可选y ，同时要更换积分上、下限．跟踪训练2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解 画出图形，如图所示．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－13x ，及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ， 得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)， 所以S ＝ʃ10[x －(－13x )]d x ＋ʃ31[(2－x )－(－13x )]d x ＝ʃ10(x ＋13x )d x ＋ʃ31(2－x ＋13x )d x ＝(23x 32＋16x 2)|10＋(2x －12x 2＋16x 2)|31 ＝23＋16＋(2x －13x 2)|31 ＝56＋6－13×9－2＋13 ＝136. 探究点三 定积分的综合应用例3 在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为112，试求：切点A 的坐标以及在切点A 处的切线方程． 解 如图，设切点A (x 0，y 0)，其中x 0≠0，由y ′＝2x ，过点A 的切线方程为 y －y 0＝2x 0(x －x 0)， 即y ＝2x 0x －x 20，令y ＝0，得x ＝x 02，即C (x 02，0)，设由曲线和过点A 的切线与x 轴围成图形的面积为S ， 则S ＝S 曲边△AOB －S △ABC ，∵S 曲边△AOB ＝ʃx 00x 2d x ＝13x 3|x 00＝13x 30，S △ABC ＝12|BC |·|AB |＝12(x 0－x 02)·x 20＝14x 30. ∴S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112.∴x 0＝1，从而切点为A (1,1)， 切线方程为2x －y －1＝0.反思与感悟 本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决．跟踪训练3 如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1， 所以，抛物线与x 轴所围图形的面积 S ＝ʃ10(x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 22－13x 3|10＝16.又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ， 由此可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ， 所以，S 2＝ʃ1－k 0(x －x 2－kx )d x＝⎝⎛⎭⎫1－k 2x 2－13x 3|1－k 0＝16(1－k )3. 又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－ 312＝1－342.1．在下面所给图形的面积S 及相应表达式中，正确的有( )S ＝ʃab [f (x )－g (x )]d xS ＝ʃ80(22x －2x ＋8)d x① ②S ＝ʃ41f (x )d x －ʃ74f (x )d xS ＝ʃ a 0[g (x )－f (x )]d x ＋ʃ ba [f (x )－g (x )]d x③ ④A ．①③B ．②③C ．①④D ．③④ 答案 D 解析 ①应是S ＝ʃba [f (x )－g (x )]d x ，②应是S ＝ʃ8022x d x －ʃ84(2x －8)d x ，③和④正确，故选D.2．曲线y ＝cos x (0≤x ≤32π)与坐标轴所围图形的面积是( )A ．2B ．3 C.52 D ．4答案 B 解析 S ＝π20⎰cos x d x －3π2π2⎰cos x d x＝sin x|π20－sin x|3π2π2＝sin π2－sin 0－sin 3π2＋sin π2＝1－0＋1＋1＝3.3．由曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 所围成的平面图形的面积为________． 答案 43解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，y ＝x 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4. ∴曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 交点为(2,4)，(0,0)． ∴S ＝ʃ20(2x －x 2)d x ＝(x 2－13x 3)|2＝(4－83)－0＝43.4．由曲线y ＝x 2＋4与直线y ＝5x ，x ＝0，x ＝4所围成平面图形的面积是________． 答案193解析 由图形可得 S ＝ʃ10(x 2＋4－5x )d x ＋ʃ41(5x －x 2－4)d x ＝(13x 3＋4x －52x 2)|10＋(52x 2－13x 3－4x )|41 ＝13＋4－52＋52×42－13×43－4×4－52＋13＋4＝193. [呈重点、现规律]对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时 (1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标． (2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的．一、基础过关1．用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( )A ．ʃca f (x )d x B ．|ʃca f (x )d x | C ．ʃba f (x )d x ＋ʃcb f (x )d x D ．ʃcb f (x )d x －ʃba f (x )d x答案 D解析 ∵x ∈[a ，b ]时，f (x )<0，x ∈[b ，c ]时，f (x )>0， ∴阴影部分的面积S ＝ʃcb f (x )d x －ʃba f (x )d x .2．直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( ) A.43 B ．2 C.83 D.1623答案 C解析 ∵抛物线方程为x 2＝4y ，∴其焦点坐标为F (0,1)，故直线l 的方程为y ＝1.如图所示，可知l 与C 围成的图形的面积等于矩形OABF 的面积与函数y ＝14x 2的图象和x 轴正半轴及直线x ＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分的2倍)， 即S ＝4－2ʃ20x24d x ＝⎪⎪4－2·x 31220＝4－43＝83.3．若y ＝f (x )与y ＝g (x )是[a ，b ]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的平面区域的面积为( ) A ．∫b a [f (x )－g (x )]d x B ．∫b a [g(x)－f(x)]d x C ．∫b a |f (x )－g (x )|d xD.||∫ba [f (x )－g (x )]d x答案 C解析 当f (x )＞g (x )时， 所求面积为∫b a [f (x )－g (x )]d x ；当f (x )≤g (x )时，所求面积为∫b a [g (x )－f (x )]d x . 综上，所求面积为∫b a |f (x )－g (x )|d x .4．曲线y ＝x 2－1与x 轴所围成图形的面积等于( ) A.13 B.23 C ．1 D.43答案 D解析 函数y ＝x 2－1与x 轴的交点为(－1,0)，(1,0)，且函数图象关于y 轴对称，故所求面积为 S ＝2ʃ10(1－x 2)d x ＝2(x －13x 3)|10 ＝2×23＝43.5．由曲线y ＝x 与y ＝x 3所围成的图形的面积可用定积分表示为________． 答案 ʃ10(x －x 3)d x解析 画出y ＝x 和y ＝x 3的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积，解方程组⎩⎨⎧y ＝xy ＝x 3得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为S ＝ʃ10(x －x 3)d x .6．由y ＝x 2，y ＝14x 2及x ＝1围成的图形的面积S ＝______.答案 14解析 图形如图所示：S ＝ʃ10x 2d x －ʃ1014x 2d x＝ʃ1034x 2d x＝14x 3|10＝14. 二、能力提升7．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ∈[0，1]，2－x ， x ∈(1，2]，则ʃ20f (x )d x等于( )A.34B.45C.56 D ．不存在 答案 C解析 数形结合，如图，ʃ20f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃ21(2－x )d x＝13x 3|10＋(2x －12x 2)|21＝13＋(4－2－2＋12)＝56. 8．若两曲线y ＝x 2与y ＝cx 3(c >0)围成图形的面积是23，则c 等于( )A.13B.12 C ．1 D.23 答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝cx3得x ＝0或x ＝1c . ∵0<x <1c 时，x 2>cx 3，∴S ＝10c ⎰(x 2－cx 3)d x＝(13x 3－14cx 4)|10c ＝13c 3－14c 3＝112c 3＝23. ∴c 3＝18.∴c ＝12.9．从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________．答案 13解析 根据题意得：S 阴＝ʃ103x 2d x ＝x 3|10＝1，则点M 取自阴影部分的概率为S 阴S 矩＝13×1＝13.10．求曲线y ＝6－x 和y ＝8x ，y ＝0围成图形的面积．解 作出直线y ＝6－x ，曲线y ＝8x 的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎨⎧ y ＝6－x y ＝8x得直线y ＝6－x 与曲线y ＝8x 交点的坐标为(2,4)，直线y ＝6－x 与x 轴的交点坐标为(6,0)．因此，所求图形的面积S ＝S 1＋S 2＝ʃ208x d x ＋ʃ62(6－x )d x＝8×2332x |20＋(6x －12x 2)|62 ＝163＋[(6×6－12×62)－(6×2－12×22)] ＝163＋8＝403. 11．求由抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积． 解 由y ′＝－2x ＋4得在点A 、B 处切线的斜率分别为2和－2，则两直线方程分别为y ＝2x －2和y ＝－2x ＋6，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，y ＝－2x ＋6，得两直线交点坐标为C (2,2)， ∴S ＝S △ABC －ʃ31(－x 2＋4x －3)d x ＝12×2×2－⎝⎛⎭⎫－13x 3＋2x 2－3x ⎪⎪⎪31＝2－43＝23. 12．设点P 在曲线y ＝x 2上，从原点向A (2,4)移动，如果直线OP ，曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记为S 1、S 2.(1)当S 1＝S 2时，求点P 的坐标；(2)当S 1＋S 2有最小值时，求点P 的坐标和最小值．解 (1)设点P 的横坐标为t (0<t <2)，则P 点的坐标为(t ，t 2)，直线OP 的方程为y ＝tx .S 1＝ʃt 0(tx －x 2)d x ＝16t 3， S 2＝ʃ2t (x 2－tx )d x ＝83－2t ＋16t 3. 因为S 1＝S 2，所以t ＝43，点P 的坐标为(43，169)．(2)S ＝S 1＋S 2＝16t 3＋83－2t ＋16t 3 ＝13t 3－2t ＋83，S ′＝t 2－2， 令S ′＝0得t 2－2＝0.因为0<t <2，所以t ＝2，因为0<t <2时，S ′<0；2<t <2时，S ′>0.所以，当t ＝2时，S 1＋S 2有最小值83－423， 此时点P 的坐标为(2，2)．三、探究与拓展13．已知抛物线y ＝x 2－2x 及直线x ＝0，x ＝a ，y ＝0围成的平面图形的面积为43，求a 的值．解 作出y ＝x 2－2x 的图象如图．(1)当a <0时，S ＝ʃ0a (x 2－2x )d x＝(13x 3－x 2)|0a ＝－a 33＋a 2 ＝43， ∴(a ＋1)(a －2)2＝0.∵a <0，∴a ＝－1.(2)当a >0时，①若0<a ≤2，则S ＝－ʃa 0(x 2－2x )d x＝－(13x 3－x 2)| a 0 ＝a 2－13a 3＝43， ∴a 3－3a 2＋4＝0即(a ＋1)(a －2)2＝0.∵a >0，∴a ＝2.②当a >2时，S ＝－ʃ20(x 2－2x )d x ＋ʃa 2(x 2－2x )d x＝－(13x 3－x 2)|20＋(13x 3－x 2)|a 2＝－(83－4)＋(13a 3－a 2－83＋4) ＝43＋(13a 3－a 2－83＋4)＝43. ∴13a 3－a 2＋43＝0 ∴a >2不合题意．综上a ＝－1，或a ＝2.。
2019-2020人教A版数学选修2-1 第1章 1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系
1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系1．四种命题的概念及表示形式(1)四种命题之间的关系(2)四种命题间的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．思考：(1)“a＝b＝c＝0”的否定是什么？(2)在原命题，逆命题、否命题和逆否命题四个命题中．真命题的个数会是奇数吗？[提示](1)“a＝b＝c＝0”的否定是“a，b，c至少有一个不等于0”．(2)真命题的个数只能是0，2，4，不会是奇数．1．命题“若一个数是负数，则它的相反数是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的相反数不是正数”B．“若一个数的相反数是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的相反数不是正数”D．“若一个数的相反数不是正数，则它不是负数”B[根据逆命题的定义知，选B.]2．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是()A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题C[原命题正确，则逆否命题正确，逆命题不正确，从而否命题不正确．故选C.]3．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数B[原命题的条件是f(x)是奇函数，结论是f(－x)是奇函数，同时否定条件和结论即得否命题，即：若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数．] 4．命题“若ab＝0，则a＝0”与命题“若a＝0，则ab＝0”是________命题．(填“互逆”“互否”“互为逆否”)互逆[两个命题的条件和结论交换了，满足互逆命题的概念．]否命题和逆否命题．(1)相似三角形对应的角相等；(2)当x>3时，x2－4x＋3>0；(3)正方形的对角线互相平分．[解](1)原命题：若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等；逆命题：若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似；否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角对应不相等；逆否命题：若两个三角形的三个角对应不相等，则这两个三角形不相似．(2)原命题：若x>3，则x2－4x＋3>0；逆命题：若x2－4x＋3>0，则x>3；否命题：若x≤3，则x2－4x＋3≤0；逆否命题：若x2－4x＋3≤0，则x≤3.(3)原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分；逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形；否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分；逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形．1．写出一个命题的逆命题，否命题，逆否命题的方法(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论．2．写否命题时应注意一些否定词语，列表如下：1．(1)命题“若y＝kx，则x与y成正比例关系”的否命题是()A．若y≠kx，则x与y成正比例关系B．若y≠kx，则x与y成反比例关系C．若x与y不成正比例关系，则y≠kxD．若y≠kx，则x与y不成正比例关系D[条件的否定为y≠kx，结论的否定为x与y不成正比例关系，故选D.](2)命题“若ab≠0，则a，b都不为零”的逆否命题是________．若a，b至少有一个为零，则ab＝0[“ab≠0”的否定是“ab＝0”，“a，b 都不为零”的否定是“a，b中至少有一个为零”，因此逆否命题为“若a，b至少有一个为零，则ab＝0”．]它的逆命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为() A．0个B．1个C．2个D．4个(2)判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．思路探究：(1)只需判断原命题和逆命题的真假即可．(1)C[当c＝0时，ac2>bc2不成立，故原命题是假命题，从而其逆否命题也是假命题；原命题的逆命题为“若ac2>bc2，则a>b”是真命题，从而其否命题也是真命题，故选C.](2)解：法一：原命题的逆否命题：若x2＋x－a＝0无实根，则a<0.∵x2＋x－a＝0无实根，∴Δ＝1＋4a<0，解得a<－14<0，∴原命题的逆否命题为真命题．法二：∵a≥0，∴4a≥0，∴对于方程x2＋x－a＝0，根的判别式Δ＝1＋4a>0，∴方程x2＋x－a＝0有实根，故原命题为真命题．∵原命题与其逆否命题等价，∴原命题的逆否命题为真命题．判断命题真假的方法(1)解决此类问题的关键是牢记四种命题的概念，正确地写出所涉及的命题，判定为真的命题需要简单的证明，判定为假的命题要举出反例加以验证．(2)原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与它的逆命题同真同假，故二者只判断一个即可．2．判断下列四个命题的真假，并说明理由．(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；(2)“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；(4)“对顶角相等”的逆命题．[解](1)命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，则逆命题为真命题，因为原命题的逆命题和否命题具有相同的真假性，所以“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题是真命题．(2)令x＝1，y＝－2，满足x>y，但x2<y2，所以“若x>y，则x2>y2”是假命题，因为原命题与其逆否命题具有相同的真假性，所以“若x>y，则x2>y2”的逆否命题也是假命题．(3)该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，令x＝4，满足x>3，但x2－x－6＝6>0，不满足x2－x－6≤0，则该否命题是假命题．(4)该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”是假命题，如等边三角形的任意两个内角都相等，但它们不是对顶角．1．当一个命题的条件与结论以否定形式出现时，为了研究方便，我们可以研究哪一个命题？[提示]一个命题与其逆否命题等价，我们可研究其逆否命题．2．在证明“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”时，我们也可以证明哪个命题成立．[提示]根据一个命题与其逆否命题等价，我们也可以证明“若m＋n>2，则m2＋n2≠2”成立．【例3】(1)命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．(2)证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.思路探究：(1)根据其逆否命题求解．(2)证明其逆否命题成立．(1)[－3，0][∵命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3＞0不成立”等价于“对任意x ∈R ，ax 2－2ax －3≤0恒成立”，若a ＝0，则－3≤0恒成立，∴a ＝0符合题意． 若a ≠0，由题意知⎩⎨⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，即⎩⎨⎧a <0，－3≤a ≤0， ∴－3≤a <0，综上知，a 的取值范围是[－3，0]．](2)证明：原命题的逆否命题为“已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )”．若a ＋b <0，则a <－b ，b <－a .又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )， ∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )． 即原命题的逆否命题为真命题． ∴原命题为真命题．1．若一个命题的条件或结论含有否定词时，直接判断命题的真假较为困难，这时可以转化为判断它的逆否命题．2．当证明一个命题有困难时，可尝试证明其逆否命题成立．3．证明：若a 2－4b 2－2a ＋1≠0，则a ≠2b ＋1.[证明] “若a 2－4b 2－2a ＋1≠0，则a ≠2b ＋1”的逆否命题为“若a ＝2b ＋1，则a 2－4b 2－2a ＋1＝0”．∵a ＝2b ＋1，∴a 2－4b 2－2a ＋1 ＝(2b ＋1)2－4b 2－2(2b ＋1)＋1 ＝4b 2＋1＋4b －4b 2－4b －2＋1＝0.∴命题“若a ＝2b ＋1，则a 2－4b 2－2a ＋1＝0”为真命题． 由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证．1．“命题”的三个关注点(1)我们研究四种命题，一般只研究“若p，则q”形式的命题；有些命题虽然不是这种形式，但可以化为“若p，则q”的形式．(2)对“命题的逆命题、否命题与逆否命题”只要求作一般性的了解，定位在具体、简单的数学命题，重点是四种命题的构成形式及其真假判断．(3)四种命题是相对的，一个命题是什么命题不是固定不变的，但只要我们事先规定好哪个命题是原命题，那么它的其他形式的命题就确定了．2．“互逆命题”“互否命题”“互为逆否命题”与“逆命题”“否命题”“逆否命题”的区别两者具有不同的含义，具体区分如下：前者说的是两个命题的关系，同时涉及两个命题；后者是指与确定的原命题为“互逆”“互否”“互为逆否”关系的那一个命题.1．命题“若a A，则b∈B”的逆命题是()A．若a A，则b B B．若a∈A，则b BC．若b∈B，则a A D．若b B，则a AC[“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，所以本题的逆命题是“若b∈B，则a A”．]2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是()A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3A[同时否定命题的条件与结论，所得命题就是原命题的否命题，故选A.] 3．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．1B．2C．3 D．4B[原命题是真命题，从而其逆否命题是真命题，其逆命题是“若a>－6，则a>－3”，是假命题，从而其否命题也是假命题，故真命题的个数是2.] 4．命题“若m＞1，则mx2－2x＋1＝0无实根”的等价命题是________．若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1[原命题的等价命题是其逆否命题，由定义可知其逆否命题为：“若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1”．]。
高中数学人教A版选修1-2创新应用第一章 章末小结与测评课件
i＝1
则^b＝
≈0.196 2，^a＝ y －^b－x ≈1.814 2，
5
x2i －5 x 2
i＝1
故所求回归直线方程为^y＝0.196 2x＋1.814 2. (3)根据(2)，当 x＝150 时，销售价格的估计值为^y ＝ 0.1962×150＋1.814 2＝31.244 2(万元)．
[对点训练]
10.82 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
8 参考公式：K2＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d，其中 n＝a ＋b＋c＋d
解：(1)因为在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜欢户
外运动的员工的概率是35，所以喜欢户外运动的男女员工
总计
45 40 85
请问喜欢吃零食与性别是否有关？
解：k＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d， 把相关数据代入公式，得 k＝85×17×5×682×8－454×0×40122 ≈4.722>3.841. 因此，在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，可 以认为“喜欢吃零食与性别有关”．
独立性检验就是根据采集的样本数据，利用公式求出 随机变量 K2 的观测值 k，通过比较 k 与临界值 k0 的大小来 确定两个分类变量是否有关系的方法．
[典例 3] 户外运动已经成为一种时尚运动，某单
位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关，决定从
本单位全体 650 人中采用分层抽样的办法抽取 50 人进
行问卷调查，得到了如下列联表：
喜欢户外运动 不喜欢户外运动 总计
男性 5
女性
10
总计 50
已知在这 50 人中随机抽取 1 人抽到喜欢户外运动
的员工的概率是35.
人教A版选修2-2第1章1.4.docx
§1.4 生活中的优化问题举例课时目标 通过用料最省、利润最大、效率最高等优化问题，使学生体会导数在解决实际问题中的作用，会利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为____________，通过前面的学习，我们知道________是求函数最大(小)值的有力工具，运用________，可以解决一些生活中的____________．2．解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系，这需通过分析、联想、抽象和转化完成．函数的最值要由极值和端点的函数值确定，当定义域是开区间，而且其上有惟一的极值，则它就是函数的最值． 3．解决优化问题的基本思路是：优化问题→用函数表示的数学问题优化问题的答案←用导数解决数学问题上述解决优化问题的过程是一个典型的__________过程．一、选择题1．某箱子的容积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2⎝⎛⎭⎫60－x 2 (0<x <60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为( )A ．30B ．40C ．50D ．其他2．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( ) A ．13万件 B ．11万件 C ．9万件 D ．7万件3．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为( ) A ．32米，16米 B ．30米，15米 C ．40米，20米 D ．36米，18米4．若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为( ) A.3V B.32V C.34V D ．23V5．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高为( ) A.33 cm B.1033cm C.1633 cm D.2033cm6．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益r 与年产量x 的关系是r ＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 (0≤x ≤400)80 000 (x >400)，则总利润最大时，年产量是( )A ．100B ．150C ．200D ．300 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处． 8.如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，x 与h 的比为________．9．做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．三、解答题10．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素．记余下工程的费用为y万元．(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？11．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？能力提升12．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)13．已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为p ＝25－18q ，求产量q 为何值时，利润L 最大．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：(1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )；(2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)写出答案．答案知识梳理1．优化问题 导数 导数 优化问题 作业设计1． B [V ′(x )＝60x －32x 2＝0，x ＝0或x ＝40.2．x(0,40)40(40,60)V ′(x ) ＋0 －V (x )极大值可见当x ＝40时，V (x )达到最大值．]2．C [y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0，得x ＝9或x ＝－9(舍去)．当0<x <9时，y ′>0；当x >9时，y ′<0，故当x ＝9时，函数有极大值，也是最大值．]3．A [要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，如图所示，设场地宽为x 米，则长为512x 米，因此新墙壁总长度L ＝2x ＋512x (x >0)，则L ′＝2－512x2.令L ′＝0，得x ＝±16.∵x >0，∴x ＝16.当x ＝16时，L 极小值＝L min ＝64，此时堆料场的长为51216＝32(米)．]4．C [设底面边长为a ，直三棱柱高为h . 体积V ＝34a 2h ，所以h ＝4V 3a 2， 表面积S ＝2·34a 2＋3a ·4V 3a 2＝32a 2＋43Va ，S ′＝3a －43V a 2，由S ′＝0，得a ＝34V .经验证，当a ＝34V 时，表面积最小．]5．D [设高为x cm ，则底面半径为202－x 2 cm ， 体积V ＝π3x ·(202－x 2) (0<x <20)，V ′＝π3(400－3x 2)，由V ′＝0，得x ＝2033或x ＝－2033(舍去)．当x ∈⎝⎛⎭⎫0，2033时，V ′>0，当x ∈⎝⎛⎭⎫2033，20时，V ′<0，所以当x ＝2033时，V 取最大值．]6．D [由题意，总成本为c ＝20 000＋100x ， 所以总利润为p ＝r －c＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20 000 (0≤x ≤400)60 000－100x (x >400)， p ′＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x (0≤x ≤400)－100 (x >400)，p ′＝0，当0≤x ≤400时，得x ＝300； 当x >400时，p ′<0恒成立， 易知当x ＝300时，总利润最大．] 7．5解析 依题意可设每月土地占用费y 1＝k 1x ，每月库存货物的运费y 2＝k 2x ，其中x 是仓库到车站的距离．于是由2＝k 110，得k 1＝20；由8＝10k 2，得k 2＝45.因此两项费用之和为y ＝20x ＋4x 5，y ′＝－20x 2＋45，令y ′＝－20x 2＋45＝0得x ＝5(x ＝－5舍去)，经验证，此点即为最小值点．故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小． 8．1∶1解析 设窗户面积为S ，周长为L ，则S ＝π2x 2＋2hx ，h ＝S 2x －π4x ，所以窗户周长L ＝πx＋2x ＋2h ＝π2x ＋2x ＋S x ，L ′＝π2＋2－Sx 2.由L ′＝0，得x ＝2Sπ＋4， x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 2S π＋4时，L ′<0， x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2S π＋4，＋∞时，L ′>0， 所以当x ＝2Sπ＋4时，L 取最小值， 此时h x ＝2S －πx 24x 2＝2S 4x 2－π4＝π＋44－π4＝1.9．3解析 设半径为r ，则高h ＝27ππr 2＝27r 2. ∴水桶的全面积S (r )＝πr 2＋2πr ·27r 2＝πr 2＋54πr .S ′(r )＝2πr －54πr 2，令S ′(r )＝0，得r ＝3. ∴当r ＝3时，S (r )最小．10．解 (1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ， 即n ＝mx－1 (0<x <m )，所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x ＝256⎝⎛⎭⎫m x －1＋m x (2＋x )x ＝256mx＋m x ＋2m －256 (0<x <m )． (2)由 (1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12m 1_2x＝m2x 2(32x －512)． 令f ′(x )＝0，得32x ＝512，所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)内为减函数；当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)内为增函数，所以f (x )在x ＝64处取得最小值，此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小．11．解 (1)设商品降低x 元时，多卖出的商品件数为kx 2，若记商品在一个星期的销售利润为f (x )，则依题意有 f (x )＝(30－x －9)·(432＋kx 2) ＝(21－x )·(432＋kx 2)，又由已知条件24＝k ·22，于是有k ＝6， 所以f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072， x ∈[0,30]．(2)根据(1)，有f ′(x )＝－18x 2＋252x －432＝－18(x －2)(x －12)．当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下表：x [0,2) 2 (2,12) 12 (12,30] f ′(x ) －0 ＋0 －f (x )极小值极大值故x ＝12时，f (x )达到极大值．因为f (0)＝9 072，f (12)＝11 664，所以定价为30－12＝ 18(元)能使一个星期的商品销售利润最大．12．解 设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f (x )＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋10 800x (x ≥10，x ∈N *)，f ′(x )＝48－10 800x 2，令f ′(x )＝0得x ＝15. 当x >15时，f ′(x )>0； 当0<x <15时，f ′(x )<0.因此，当x ＝15时，f (x )取最小值f (15)＝2 000.所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层． 13．解 收入R ＝q ·p ＝q ⎝⎛⎭⎫25－18q ＝25q －18q 2. 利润L ＝R －C ＝⎝⎛⎭⎫25q －18q 2－(100＋4q ) ＝－18q 2＋21q －100 (0<q <200)，L ′＝－14q ＋21，令L ′＝0，即－14q ＋21＝0，解得q ＝84.因为当0<q <84时，L ′>0； 当84<q <200时，L ′<0， 所以当q ＝84时，L 取得最大值． 所以产量q 为84时，利润L 最大．。
2019秋高中数学第一章常用逻辑用语章末复习课课件新人教A版选修2_1
[变式训练] 设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其 中a＜0，q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0，且 ¬p是¬q的必要不充分条件，求a的取值范围．
解：令A＝{x|p}＝{x|x2－4ax＋3a2＜0，a＜0} ＝{x|3a＜x＜a，a＜0}， B＝{x|q}＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0} ＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x＜－4或x＞2} ＝{x|x＜－4或x≥－2}．
因为平移后所得函数为y＝2sin2x－π6＋π3＝2sin 2x， 易知此函数为奇函数， 所以函数图象关于原点对称，所以q为真命题． 所以(¬p)∧(¬q)为假命题． 答案：D
[变式训练] 给出以下命题，其中为真命题的是____． ①函数y＝ax(a>0，a≠1)与函数y＝logaax(a>0，a≠1)的 定义域相同； ②若函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于y轴对称，则φ＝π2； ③函数y＝(x－1)2与y＝2x－1在区间[0，＋∞)上都是增函 数； ④若不等式|x－4|<a的解集非空，则必有a>0.
2．命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类： (1)充分不必要条件，即p⇒q，而q p. (2)必要不充分条件，即p q，而q⇒p. (3)充要条件，既有p⇒q，又有q⇒p. (4)既不充分也不必要条件，既有p q，又有q p. 3．充分条件与必要条件的判断． (1)直接利用定义判断：即“若p⇒q成立，则p是q的充 分条件，q是p的必要条件”．(条件与结论是相对的)
答案：①④
题型二 充分条件、必要条件的判断及应用 1．充分条件、必要条件的判断问题，几乎是每年 都考，也是近几年高考的一类热点考题，一般以选择 题、填空题的形式进行考查，并且与其他数学知识的考 查融合在一起．因此必须准确地理解充分条件、必要条 件、充要条件的含义，并能判断所给条件是结论的何种 条件，还要能够利用充要条件解决问题，例如寻求某个 结论的充要条件、求参数的取值范围等．
2018-2019版数学新设计同步人教A版选修2-1讲义：第一
章末检测(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)1.下列语句中是命题的个数为()①“等边三角形是等腰三角形”；②“平行于同一条直线的两条直线必平行吗？”；③“一个数不是正数就是负数”；④“x·y为有理数，则x，y也都是有理数”；⑤“作△ABC∽△A′B′C′”.A.1B.2C.3D.4解析根据命题的概念，判断是不是命题.①是命题，且是真命题.②疑问句.没有对平行于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题.③是假命题.0既不是正数也不是负数.④是假命题.如x＝3，y＝－ 3.⑤是祈使句，不是命题.答案 C2.命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是()A.若α≠π4，则tan α≠1B.若α＝π4，则tan α≠1C.若tan α≠1，则α≠π4D.若tan α≠1，则α＝π4解析命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”，故选C.答案 C3.设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝a x在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R 上是增函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 结合函数单调性的定义求解.由题意知函数f (x )＝a x 在R 上是减函数等价于0<a <1，函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数等价于0<a <1或1<a <2，∴“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件. 答案 A4.设函数f (x )＝x 2＋mx (m ∈R )，则下列命题中的真命题是( ) A.任意m ∈R ，使y ＝f (x )都是奇函数 B.存在m ∈R ，使y ＝f (x )是奇函数 C.任意m ∈R ，使y ＝f (x )都是偶函数 D.存在m ∈R ，使y ＝f (x )是偶函数解析 存在m ＝0∈R ，使y ＝f (x )是偶函数，故选D. 答案 D5.下列命题中的假命题是( ) A.∃x ∈R ，sin x ＝52 B.∃x ∈R ，log 2x ＝1 C.∀x ∈R ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>0D.∀x ∈R ，x 2≥0解析 因为∀x ∈R ，sin x ≤1<52，所以A 是假命题；对于B ，∃x ＝2，log 2x ＝1；对于C ，根据指数函数图象可知，∀x ∈R ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>0；对于D ，根据二次函数图象可知，∀x ∈R ，x 2≥0. 答案 A6.下列命题正确的是( )A.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，则a >b 是cos A <cos B 的充要条件B.命题p ：对任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1>0，则綈p ：对任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1≤0C.已知p ：1x ＋1>0，则綈p ：1x ＋1≤0 D.存在实数x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝π2成立 解析 对于选项A ，在△ABC 中大边对大角， 由a >b 得A >B ，又余弦函数在(0，π)上单调递减，所以cos A <cos B ； 又由A ，B ∈(0，π)，cos A <cos B 时得A >B ，故a >b ， 故选项A 正确.对于选项B ，命题p 的否定綈p 应为：存在x 0∈R ，x 20＋x 0＋1≤0，故选项B 不正确.对于选项C ，p ：1x ＋1>0⇔p ：x >－1，故綈p 为x ≤－1，而不是1x ＋1≤0，故选项C 不正确.对于选项D ，sin x ＋cos x 的最大值为2，小于π2， 故选项D 不正确. 答案 A7.已知命题p ：∃x 0∈(－∞，0)，使得3x 0<4x 0；命题q ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，有tan x >x ，则下列命题中的真命题是( ) A.p ∧q B.p ∨(綈q ) C.p ∧(綈q )D.(綈p )∧q解析 由3x<4x得⎝ ⎛⎭⎪⎫43x>1，当x <0时不等式不成立，故p 为假命题， 由图象知，tan x >x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立.故q 为真命题.故D 项为真. 答案 D8.下列命题中真命题的个数是( ) ①∀x ∈R ，x 2>|x |；②若p∧q是假命题，则p，q都是假命题；③命题“∀x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“∃x0∈R，x30－x20＋1>0”.A.0B.1C.2D.3解析对于①，当x＝0时，左边＝右边＝0，故①为假命题.对于②，p，q有一个为假时，p∧q也为假，故②为假命题.③为真命题.故真命题有1个.答案 B9.下列有关命题的说法正确的是()A.命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B.若p∨q为假命题，则p，q均不为假命题C.命题“存在x0∈R，使得x20＋x0＋1<0”的否定是“对任意x∈R，均有x2＋x ＋1<0”D.命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题解析选项A中否命题为“若x2≠1，则x≠1”；选项B中，若p∨q为假命题，则p，q均为假命题；选项C中命题的否定为“对任意x∈R，均有x2＋x＋1≥0”.故A，B，C三项说法均不正确.选项D中，“若x＝y，则sin x＝sin y”是真命题，故其逆否命题也为真命题. 答案 D10.已知命题p：∀x∈R，1－x2≤1，则()A.綈p：∃x0∈R，1－x20≥1B.綈p：∀x∈R，1－x2≥1C.綈p：∃x0∈R，1－x20>1D.綈p：∀x∈R，1－x2>1解析根据全称命题的否定方法，当命题p：∀x∈R，1－x2≤1时，綈p：∃x0∈R，1－x20>1.故选C.答案 C11.已知p ：－4＜x －a ＜4，q ：(x －2)(3－x )＞0，若綈p 是綈q 的充分条件，则实数a 的取值范围是( ) A.[－1，6]B.(－∞，－1]C.[6，＋∞)D.(－∞，－1]∪[6，＋∞)解析 p ：－4＜x －a ＜4，即a －4＜x ＜a ＋4； q ：(x －2)(3－x )＞0，即2＜x ＜3.所以綈p ：x ≤a －4或x ≥a ＋4，綈q ：x ≤2或x ≥3； 而綈p 是綈q 的充分条件，所以⎩⎨⎧a －4≤2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6，故答案为[－1，6]. 答案 A12.已知一组函数f i (x )＝sin i x ＋cos i x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，i ∈N *，则以下说法正确的个数是( )①∀i ∈N *，f i (x )≤2恒成立； ②若f i (x )为常数函数，则i ＝2；③f 4(x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递增.A.0B.1C.2D.3解析 对任意x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x 0∈[0，1]，cos x 0∈[0，1]，则sin i x 0≥sin i ＋1 x 0，cos i x 0≥cos i ＋1 x 0， 所以f 1(x 0)≥f i (x 0)，i ∈N *，由于f 1(x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ，x ＝π4时，f i (x )取最大值2，所以(1)正确；若f i (x )为常值函数，由于f i (0)＝1，所以f i ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22i＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22i ＝1，解得i＝2，又f 2(x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝1，所以(2)正确；因为f 4(x )＝sin 4x ＋cos 4x ＝14cos 4x ＋34，所以(3)正确.故选D. 答案 D二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13.命题“若a >b ，则2a >2b －1”的否命题为______________________________. 解析 一个命题的否命题是对条件和结论都否定. 答案 若a ≤b ，则2a ≤2b －114.命题：存在一个实数对，使2x ＋3y ＋3<0成立的否定是 ____________________________________. 解析 特称命题的否定是全称命题. 答案 对任意实数对，2x ＋3y ＋3≥0恒成立 15.已知命题p ：不等式xx －1<0的解集为{x |0<x <1}；命题q ：在△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”成立的必要不充分条件.有下列四个结论；①p 真q 假；②“p ∧q ”为真；③“p ∨q ”为真；④p 假q 真，其中正确结论的序号是________. 解析 解不等式知，命题p 是真命题；在△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的充要条件，∴命题q 是假命题，∴①正确，②错误，③正确，④错误. 答案 ①③16.在下列四个命题中，真命题的个数是__________. ①∀x ∈R ，x 2＋x ＋3>0；②∀x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1是有理数；③∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β； ④∃x 0，y 0∈Z ，使3x 0－2y 0＝10.解析 ①中x 2＋x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋114≥114>0，故①是真命题.②中x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1一定是有理数，故②是真命题.③中α＝π4，β＝－π4时，sin(α＋β)＝0，sin α＋sin β＝0， 故③是真命题.④中x 0＝4，y 0＝1时，3x 0－2y 0＝10成立， 故④是真命题.答案 4三、解答题(本大题共6个小题，共70分)17.(10分)(1)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.①面积相等的两个三角形是全等三角形； ②若x 2＋y 2＝0，则实数x ，y 全为零. (2)写出下列命题的否定并判断真假： ①所有自然数的绝对值是正数；②任何实数x 都不是方程5x －12＝0的根； ③∀x ∈R ，x 2－3x ＋3>0； ④有些质数不是奇数.解 (1)①逆命题：全等的两个三角形的面积相等，真命题. 否命题：面积不相等的两个三角形不是全等三角形，真命题. 逆否命题：两个不全等的三角形的面积不相等，假命题. ②逆命题：若实数x ，y 全为零，则x 2＋y 2＝0，真命题. 否命题：若x 2＋y 2≠0，则实数x ，y 不全为零，真命题. 逆否命题：若实数x ，y 不全为零，则x 2＋y 2≠0，真命题. (2)①綈p ：有些自然数的绝对值不是正数，真命题. ②綈p ：∃x 0∈R ，使得5x 0－12＝0，真命题. ③綈p ：∃x 0∈R ，x 20－3x 0＋3≤0，假命题. ④綈p ：所有的质数都是奇数，假命题.18.(12分)求证：方程x 2－2x －3m ＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是－13<m <0.证明 (1)充分性：∵－13<m <0，∴方程x 2－2x －3m ＝0的判别式Δ＝4＋12m >0， 且－3m ＞0，∴方程x 2－2x －3m ＝0有两个同号且不相等的实根.(2)必要性：若方程x 2－2x －3m ＝0有两个同号且不相等的实根，则有⎩⎨⎧Δ＝4＋12m >0，x 1x 2＝－3m >0，解得－13<m <0.综合(1)(2)知，方程x 2－2x －3m ＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是－13<m <0.19.(12分)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ≠0，q ：实数x 满足⎩⎨⎧x 2＋x －12≤0，x 2＋3x －10＞0，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 解 ∵p 是q 的必要不充分条件，即 q ⇒p 但pD ⇒/q ，设A ＝{x |p (x )}， B ＝{x |q (x )}，则BA ，又B ＝(2，3]，当a ＞0时，A ＝(a ，3a )；当a ＜0时，A ＝(3a ，a )， ∴当a ＞0时，有⎩⎨⎧a ≤2，3＜3a ，解得1＜a ≤2；当a ＜0时，显然A ∩B ＝∅，不合题意. 综上所述，实数a 的取值范围是(1，2].20.(12分)设p ：关于x 的不等式a x >1 (a >0且a ≠1)的解集为{x |x <0}，q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R .如果p 和q 有且仅有一个为真命题，求a 的取值范围.解 当p 真时，0<a <1，当q 真时，⎩⎨⎧a >0，1－4a 2<0， 即a >12， ∴p 假时，a >1，q 假时，a ≤12. 又p 和q 有且仅有一个为真命题，∴当p 真q 假时，0<a ≤12，当p 假q 真时，a >1. 综上得，a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪(1，＋∞). 21.(12分)已知命题p ：函数y ＝x 2＋2(a 2－a )x ＋a 4－2a 3在[－2，＋∞)上单调递增，q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0解集为R .若p ∧q 假，p ∨q 真，求实数a 的取值范围.解 ∵函数y ＝x 2＋2(a 2－a )x ＋a 4－2a 3＝[x ＋(a 2－a )]2－a 2在[－2，＋∞)上单调递增，∴－(a 2－a )≤－2，即a 2－a －2≥0， 解得a ≤－1或a ≥2. 即p 为真时：a ≤－1或a ≥2.由不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R 得a ＝0或⎩⎨⎧a ＞0，Δ<0，即a ＝0或⎩⎨⎧a ＞0，（－a ）2－4a <0，解得0≤a <4， ∴q 为真时：0≤a <4. ∵p ∧q 假，p ∨q 真， ∴p 与q 一真一假， ∴p 真q 假或p 假q 真， 即⎩⎨⎧a ≤－1或a ≥2，a <0或a ≥4或⎩⎨⎧－1<a <2，0≤a <4， ∴a ≤－1或a ≥4或0≤a <2.∴实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[0，2)∪[4，＋∞).22.(12分)已知函数f (x )对一切实数x ，y 均有f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x 成立，且f (1)＝0. (1)求f (0)的值；(2)当f (x )＋2<log a x 对于x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12恒成立时，求a 的取值范围. 解 (1)由已知等式f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x ， 令x ＝1，y ＝0，得f (1)－f (0)＝2， 又因为f (1)＝0，所以f (0)＝－2. (2)由(1)知f (0)＝－2，所以f (x )＋2＝f (x )－f (0)＝f (x ＋0)－f (0) ＝(x ＋1)x . 因为x ∈(0，12)，所以[f (x )＋2]∈(0，34).要使x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，f (x )＋2<log a x 恒成立，显然当a >1时不成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 12≥34，解得344≤a <1.所以a 的取值范围为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫344，1.。
人教A版高中数学选修2-1课件空间正交基向量
（金戈铁骑 整理制作）
3.空间向量基本定理 a、b、c不共面 p xa yb zc ( x、y、z存在且唯一) {a,b,c} : 基底 a,b,c:基向量
特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面，
还应明确： （1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
2019/5/25
二、距离与夹角
1.距离公式 （1）向量的长度（模）公式
| a |2 a a a12 a22 a32
| b |2 b b b12 b22 b32
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。
（2）空间两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，已知 A(x1 , y1 , z1) 、
a (a1,a2,a3),( R) ;
a b a1b1 a2b2 a3b3 ;
a // b a1 b1,a2 b2 ,a3 b3( R) ; a1 / b1 a2 / b2 a2 / b2 .
a b a1b1 a2b2 a3b3 0 ;
（2）由于可视为与0任意一个非零向量共线，与任意两
个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们
都不是。 0
（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基 底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。
推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一 点P，都存在唯一的有序实数组{x,y,z}，使
OP xOA yOB zOC.
点O叫做原点，向量e1,e2,e3都叫做坐标向量. 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
3.空间向量基本定理 a、b、c不共面 p xa yb zc ( x、y、z存在且唯一) {a,b,c} : 基底 a,b,c:基向量
2016-2017《创新设计》同步人教A版选修2-3第一章 1.1(一)
[学习目标] 1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理.2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题．知识点一分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．思考1在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同吗？答案在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法是不同的，若相同它只能在同一类方案中且只能算是一种方法．思考2用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？答案因为英文字母共有26个，阿拉伯数字0～9共有10个，所以总共可以编出26＋10＝36(种)不同的号码．知识点二分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．思考1在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法可以相同吗？答案在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这一步骤的方法均不相同，若相同，只能算是一种方法．思考2用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？答案编写一个号码要先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字，我们可以用树形图列出所有可能的号码．如图：由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有6×9＝54(个)不同的号码．题型一分类加法计数原理的应用例1为调查今年的北京雾霾治理情况，现从高二(1)班的男生38人和女生18人中选取1名学生做代表，参加学校组织的调查团，则选取代表的方法有多少种？解完成这件事需要分两类完成：第一类：选1名男生，有38种选法；第二类：选1名女生，有18种选法，根据分类加法计数原理，共有N＝38＋18＝56(种)不同的选法．反思与感悟应用分类加法计数原理应注意如下问题：(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些方法，怎样才算是完成这件事．(2)无论哪类方案中的哪种方法都可以独立完成这件事，而不需要再用到其他的方法．即各类方法之间是互斥的，并列的，独立的．跟踪训练1有3个袋子，分别装有不同编号的红色小球6个、白色小球5个、黄色小球4个．若从3个袋子中任取1个小球，有多少种不同的取法？解有3类不同方案：第1类，从第1个袋子中任取1个红色小球，有6种不同的取法；第2类，从第2个袋子中任取1个白色小球，有5种不同的取法；第3类，从第3个袋子中任取1个黄色小球，有4种不同的取法．其中，从这3个袋子的任意1个袋子中取1个小球都能独立地完成“任取1个小球”这件事，根据分类加法计数原理，不同的取法共有6＋5＋4＝15(种)．题型二分步乘法计数原理例2在平面直角坐标系内，若点P(x，y)的横、纵坐标均在{0,1,2,3}内取值，则可以组成多少个不同的点P?解确定点P的坐标必须分两步，即分步确定点P的横坐标与纵坐标．第一步，确定横坐标，从0,1,2,3四个数字中选一个，有4种方法；第二步，确定纵坐标，从0,1,2,3四个数字中选一个，也有4种方法．根据分步乘法计数原理，所有不同的点P的个数为4×4＝16.故可以组成16个不同的点P. 反思与感悟应用分步乘法计数原理应注意如下问题：(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目中所给的某种方法是不是能完成这件事，也就是说要经过几步才能完成这件事．(2)完成这件事要分若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步，这件事都不可能完成．即各步之间是关联的，相互依存的，只有前步完成后步才能进行．(3)根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，即分步要做到步骤完整．跟踪训练2用0,1,2,3,4,5,6这七个数字共能组成多少个两位数？解第一步，确定十位数字，1,2,3,4,5,6六个数字都可以选择，有6种方法；第二步，确定个位数字，0,1,2,3,4,5,6七个数字都可以选择，有7种选法．根据分步乘法计数原理，不同的两位数共有6×7＝42(个)．故可以组成42个两位数．题型三两个原理的综合应用例3现有高一年级的四个班的学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？解(1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法．所以，共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种)．(2)分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长．所以，共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5 040(种)．(3)分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9 种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．所以，共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．反思与感悟(1)在处理具体的应用题时，首先必须弄清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么，选择合理的标准处理事件，关键是看能否独立完成这件事，避免计数的重复或遗漏．(2)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰．跟踪训练3某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？解由题意，知有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语．方法一分两类．第一类：从只会英语的6人中选1人说英语，有6种选法，则说日语的有2＋1＝3(种)选法．此时共有6×3＝18(种)选法．第二类：从不只会英语的1人中选1人说英语，有1种选法，则选会日语的有2种选法，此时有1×2＝2(种)选法．所以由分类加法计算原理知，共有18＋2＝20(种)选法．方法二设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教日语．第一类：甲入选．(1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理，有1×2＝2(种)选法；(2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理，有1×6＝6(种)选法．故甲入选的不同选法共有2＋6＝8(种)．第二类：甲不入选．可分两步．第一步，从只会英语的6人中选1人有6种选法：第二步，从只会日语的2人中选1人有2种选法．由分步乘法计数原理，有6×2＝12(种)不同的选法．综上，共有8＋12＝20(种)不同选法．分不清“分类”还是“分步”致误例4某体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，小李到体育场看比赛，则他进、出门的方案有()A．12种B．7种C．14种D．49种错解由题意知，小李进体育场有7种不同方案，出体育场有7种不同的方案，故他进、出体育场共有7＋7＝14(种)不同的方案．答案 C错因分析错误的根本原因是没有分清小李完成进、出体育场门的过程是分类还是分步，实际上小李到体育场看比赛，他进、出体育场门的过程分两步：第一步进体育场，第二步出体育场．正解完成进、出体育场门这件事，需要分两步，第一步进体育场，第二步出体育场．第一步进门共有4＋3＝7(种)方法．第二步出门共有4＋3＝7(种)方法．由分步乘法计数原理知，进、出门的方案有7×7＝49(种)．答案 D点评利用两个计数原理解决问题时，应首先弄清是“分类”还是“分步”，其次要做到分类时不重不漏，分步时步骤完整．1．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法为()A．1＋1＋1＝3 B．3＋4＋2＝9C．3×4×2＝24 D．以上都不对答案 B解析分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类乘轮船，从2次中选1次有2种走法．所以，共有3＋4＋2＝9(种)不同的走法．2．现有3名老师、8名男生和5名女生共16人．若需1名老师和1名学生参加评选会议，则不同的选法种数为()A．39 B．24C．15 D．16答案 A解析先从3名老师中任选1名，有3种选法，再从13名学生中任选1名，有13种选法．由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为3×13＝39.3．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在平面直角坐标系中，第一、第二象限内不同点的个数为()A．18 B．16C．14 D．10答案 C解析此问题可分为两类：①以集合M中的元素作为横坐标，集合N中的元素作为纵坐标，在集合M中任取一个元素的方法有3种，要使所取的点在第一、第二象限内，则在集合N 中只能取5,6两个元素中的一个，方法有2种，根据分步乘法计数原理，有3×2＝6(个)；②以集合N中的元素作为横坐标，集合M中的元素作为纵坐标，在集合N中任取一个元素的方法有4种，要使所取的点在第一、第二象限内，则在集合M中只能取1,3两个元素中的一个，方法有2种，根据分步乘法计数原理，有4×2＝8(个)．综合①②，由分类加法计数原理知，共有6＋8＝14(个)，故选C .4．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有________个．答案36解析第一步取b的数，有6种方法，第二步取a的数，也有6种方法，根据分步乘法计数原理，共有6×6＝36(种)方法．5．从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的各项的系数，可组成不同的二次函数共有______个，其中不同的偶函数共有______个．(用数字作答)答案18 6解析一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c 的取法有2种，由分步乘法计数原理知，共有二次函数的个数为3×3×2＝18.其中不同的偶函数的个数为3×2＝6.1.应用两个原理时，要仔细区分原理的不同，加法原理关键在于分类，不同类之间互相排斥，互相独立；乘法原理关键在于分步，各步之间互相依存，互相联系．2．通过对这两个原理的学习，要进一步体会分类讨论思想及等价转化思想在解题中的应用．一、选择题1．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则不同的选法种数为()A．3 B．6 C．9 D．12答案 C解析甲运动员有3种选法，乙运动员也有3种选法，由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为3×3＝9.2．某班有男生26人，女生24人，从中选一位同学为数学课代表，则不同选法的种数有() A．50 B．26 C．24 D．616答案 A解析根据分类加法计数原理，因数学课代表可为男生，也可为女生，因此选法共有26＋24＝50(种)．故选A.3．某班小张等4位同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有()A．27种B．36种C．54种D．81种答案 C解析 小张的报名方法有2种，其他3位同学各有3种，所以由分步乘法计数原理知，共有2×3×3×3＝54(种)不同的报名方法，选C.4．将字母a ，a ，b ，b ，c ，c ，排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种答案 A解析 先填最左上角的数有3种方法，再填右上角的数有2种方法，再填第二行第一列的数有2种方法，根据分步乘法计数原理，不同的排列方法共有3×2×2＝12(种)．5．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A ．243B ．252C ．261D ．279答案 B解析 本题考查了分步乘法计数原理，可用间接法求解．用0,1，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，所以有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．6．已知两条异面直线a ，b 上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( )A ．40B ．16C ．13D ．10答案 C解析 分两类：第一类，直线a 分别与直线b 上的8个点可以确定8个不同的平面；第二类，直线b 分别与直线a 上的5个点可以确定5个不同的平面．由分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13(个)不同的平面．7．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( )A ．24对B ．30对C ．48对D ．60对答案 C解析 与正方体的一个面上的一条对角线成60°角的对角线有8条，故共有8对，正方体的12条面对角线共有96对，且每对均重复计算一次，故共有962＝48对． 二、填空题8．一个科技小组中有4名女同学、5名男同学，从中任选1名同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法______种，若从中任选1名女同学和1名男同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法______种．答案 9 20解析根据分类加法计数原理，从中任选1名同学参加学科竞赛共有5＋4＝9(种)选派方法．根据分步乘法计数原理，从中任选1名女同学和1名男同学参加学科竞赛共有4×5＝20(种)选派方法．9．4名学生参加跳高、跳远、游泳比赛，4人都来争夺这三项冠军，则冠军分配的种数有________．答案64解析本题中要完成的一件事：“将比赛的各项冠军逐一分配给4名参赛学生”．∵跳高冠军的分配有4种不同的方法．跳远冠军的分配有4种不同的方法．游泳冠军的分配有4种不同的方法．∴根据分步乘法计数原理，冠军的分配方法有4×4×4＝64(种)．10．用数字1,2组成一个四位数，则数字1,2都出现的四位偶数有______个．答案7解析由四位数是偶数，知最后一位是2.在四位数中，当出现1个1时，有1 222,2 122,2 212，共3个，当出现2个1时，有1 122,1 212,2 112，共3个，当出现3个1时，只有1 112这1个四位偶数，故数字1,2都出现的四位偶数有3＋3＋1＝7(个)．11.如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中与正八边形有公共边的三角形有________个．答案40解析满足条件的有两类：第一类：与正八边形有两条公共边的三角形有m1＝8(个)；第二类：与正八边形有一条公共边的三角形有m2＝8×4＝32(个)，所以满足条件的三角形共有8＋32＝40(个)．三、解答题12．已知集合A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,3,5,7,9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对(m，n)，问：(1)有多少个不同的数对？(2)其中所取两数m＞n的数对有多少个？解(1)∵集合A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,3,5,7,9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对(m，n)，先选出m有5种结果，再选出n有5种结果，根据分步乘法计数原理知共有5×5＝25个不同的数对．(2)在(1)中的25个数对中所取两数m＞n的数对可以分类来解，当m＝2时，n＝1，有1种结果；当m＝4时，n＝1，3有2种结果；当m＝6时，n＝1,3,5有3种结果；当m＝8时，n＝1,3,5,7有4种结果；当m＝10时，n＝1,3,5,7,9有5种结果．综上所述共有1＋2＋3＋4＋5＝15种结果．13．有3个不同的负数、5个不同的正数，从中任取2个数，使它们的积为正数，问：有多少种不同的取法？解根据题意，知积为正数的情况分为两类．第一类是2个数都是负数，分两步取数：第一步，先从3个负数中任取1个负数，有3种不同的取法；第二步，从剩下的2个负数中任取1个负数，有2种不同的取法，故有3×2＝6(种)不同的取法．第二类是2个数都是正数，也分两步取数：第一步，先从5个正数中任取1个正数，有5种不同的取法；第二步，从剩下的4个正数中任取1个正数，有4种不同的取法，故有5×4＝20(种)不同的取法．综上所述，不同取法的种数为6＋20＝26.。