2016-2017学年高中数学人教A版选修2-2课件：1.4 生活中的优化问题举例

则|CD|＝3－x.由 AD⊥BC，∠ACB＝45° 知，△ADC 为等腰直 角三角形，所以|AD|＝|CD|＝3－x. 由折叠前 AD⊥BC 知，折叠后，如图②所示，AD⊥DC， AD⊥BD，且 BD∩DC＝D，所以 AD⊥平面 BCD.又∠BDC＝ 1 1 90° ，所以 S△BCD＝ |BD|· |CD|＝ x(3－x)． 2 2 1 1 1 1 3 2 于是 VA＝ | AD |· S ＝ (3 － x )· x (3 － x ) ＝ ( x － 6 x △ BCD BCD 3 3 2 6 ＋9x)．
3.导数在实际问题中的应用
[典例] (12 分)如下图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴
长为 2，短半轴长为 1，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状， 下底 AB 是半椭圆的短轴，上底 CD 的端点在椭圆上，记|CD| ＝2x，梯形的面积为 S.
(1)求面积 S 以 x 为自变量的函数解析式， 并写出其定义域； (2)求面积 S 的最大值．
[解]
k (1) 由题设，每年能源消耗 费用为 C(x) ＝ 3x＋5
(0≤x≤10)， 40 再由 C(0)＝8，得 k＝40，因此 C(x)＝ . 3x＋5 而建造费用为 C1(x)＝6x. 最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f(x) 40 800 ＝20C(x)＋C1(x)＝20× ＋6x＝ ＋6x(0≤x≤10)． 3x＋5 3x＋5
[随堂即时演练]
1．做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时， 它的高为 A．6 m B． 8 m ( )
利用导数解决利润最大问题
[例 3] 某公司为了获得更大的利益，每年要投入一定的 资金用于广告促销． 经调查， 每年投入广告费 t(单位： 百万元)， 可增加销售额约为－t2＋5t(单位：百万元，且 0≤t≤5)． (1)若该公司将当年的广告费控制在 3 百万元之内，则应 投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？ (2)现该公司准备共投入 3 百万元，分别用于广告促销和 技术改造．经预测，每投入技术改造费 x(单位：百万元)，可 1 3 增加的销售额约为－ x ＋x2＋3x(单位：百万元)．请设计一个 3 资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大(注：收益＝销 售额－投入)．
[类题通法] 利润最大问题的解决方法 利润问题是经济生活中最为常见的问题．一般来说， 利润等于总收入减去总成本，而总收入等于产量乘价 格． 由此可以得到利润与产量的函数关系式， 进而用导数 求最大利润．
[活学活用] 某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量 x(吨)与每吨 1 2 产品的价格 p(元/吨)之间的关系式为 p＝24 200－ x ，且生 5 产 x 吨的成本为 R＝50 000＋200x(元)． 问： 该厂每月生产多 少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？
[类题通法] 利用导数解决优化问题的一般步骤 (1) 抽象出实际问题的数学模型，列出函数解析式 y＝ f(x)． (2)求函数 f(x)的导数 f′(x)，并解方程 f′(x)＝0，即求 函数可能的极值点． (3)比较函数 f(x)在区间端点的函数值和可能极值点的函 数值的大小，得出函数 f(x)的最大值或最小值． (4)根据实际问题的意义给出答案．
利用导数解决费用最省问题
[例 2] 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗， 房屋 的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元．该建筑物 每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm) k 满足关系：C(x)＝ (0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源 3x＋5 消耗费用为 8 万元． 设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消 耗费用之和． (1)求 k 的值及 f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时， 总费用 f(x)达到最小？并求最小值．
18 000 18 000x S(x)＝x x－20 ＋25 ＝ x－20 ＋25x，
18 000[x－20－x] －360 000 ∴S′(x)＝ ＋25＝ ＋25. x－202 x－202
令 S′(x)>0，得 x>140， 令 S′(x)<0，得 20<x<140. ∴函数 S(x)在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调 递减， ∴S(x)的最小值为 S(140)． 当 x＝140 时，y＝175. 即当 x＝140，y＝175 时，S(x)取得最小值 24 500， 故当广告牌的高为 140 cm，宽为 175 cm 时，可使广告牌 的面积最小.
[解] 元，则有
(1)设投入 t 百万元的广告费后增加的收益为 f(t)百万
f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t ＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)， ∴当 t＝2 时，f(t)取得最大值 4， 即投入 2 百万元的广告费时， 该公司由此获得的收益最大． (2)设用于技术改造的资金为 x 百万元， 则用于广告促销的 资金为(3－x)百万元，又设由此获得的收益是 g(x)，则
解： 如右图所示， 依题意， 点 C 在线段 AD 上， 设 C 点距 D 点 x km，则 AC＝50－x，因为 BD＝40， 所以 BC＝ BD2＋CD2＝ 402＋x2.
设总的水管费用为 y 元，则 y＝3a(50－x)＋5a x2＋402(0＜x＜50)， 5ax y′＝－3a＋ 2 2. x ＋40 令 y′＝0，解得 x1＝30，x2＝－30(舍去)． 当 0＜x＜30 时，y′＜0； 当 30＜x＜50 时，y′＞0， 所以当 x＝30 时，y 取得最小值， 此时 AC＝50－30＝20(km)， 即供水站建在 A， D 之间距甲厂 20 km 处， 可使水管费用最省．
解：依题意，每月生产 x 吨时的利润为
f(x)＝24
1 2 200－ x x－(50 000＋200x) 5
1 3 ＝－ x ＋24 000x－50 000(x≥0)． 5
3 2 f′(x)＝－ x ＋24 000， 5 令 f′(x)＝0，解得 x1＝200，x2＝－200(舍去)． 当 0<x<200 时 f′(x)>0，当 x>200 时 f′(x)<0， ∴x＝200 时，f(x)取最大值， 1 最大值为 f(200)＝－ ×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000. 5 故该厂每月生产 200 吨产品才能使利润达到最大，最大利润为 315 万元．
[解题流程]
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[活学活用] 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边 A 处，乙厂与 甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸 40 km 的 B 处，乙厂到河岸 的垂足 D 与 A 相距 50 km， 两厂要在此岸边合建一个供水站 C， 从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米 3a 元和 5a 元，问：供水站 C 建在岸边何处才能使水管费用最省？
400 1 3 400 1 4 解：(1)Q＝P·v ＝19 200v －160v ＋15v·v 1 1 2 3 ＝19 200v －160v ＋15×400
v3 5 2 ＝ － v ＋6 000(0＜v≤100)． 48 2 v2 (2)Q′＝ －5v， 16 令 Q′＝0，则 v＝0(舍去)或 v＝80. 当 0＜v＜80 时，Q′＜0； 当 80＜v≤100 时，Q′＞0， ∴v＝80 千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值， 2 000 且 Qmin＝Q(80)＝ (元). 3
[活学活用] 甲、乙两地相距 400 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度 不得超过 100 千米/时，已知该汽车每小时的运输成本 P (元) 1 1 3 4 关于速度 v (千米/时)的函数关系是 P＝ v－ v ＋15v. 19 200 160 (1)求全程运输成本 Q(元)关于速度 v 的函数关系式． (2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此 时运输成本的最小值．
1.4
生活中的优化问题举例
生活中的优化问题举例
[提出问题]
某厂家计划用一种材料生产一种盛 500 mL 溶液的圆 柱形易拉罐． 问题 1： 生产这种易拉罐， 如何计算材料用的多少呢？
提示：计算出圆柱的表面积即可．
问题 2：如何制作使用材料才能最省？
提示：要使用料最省，只需圆柱的表面积最小．可设圆 1 000 柱的底面半径为 x，列出圆柱表面积 S＝2πx ＋ x (x＞0)，
1 3 令 f(x)＝ (x －6x2＋9x)， 6 1 由 f′(x)＝ (x－1)· (x－3)＝0，且 0＜x＜3，解得 x＝1. 2 当 x∈(0,1)时，f′(x)＞0； 当 x∈(1,3)时，f′(x)＜0. 2 所以当 x＝1 时，f(x)取得最大值 f(1)＝ ， 3 2 即 VABCD 取得最大值 . 3 故当|BD|＝1 时，三棱锥 ABCD 的体积最大．
1 3 2 g(x)＝－3x ＋x ＋3x＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3
1 3 ＝－ x ＋4x＋3(0≤x≤3)， 3 ∴g′(x)＝－x2＋4. 令 g′(x)＝0，解得 x＝－2(舍去)或 x＝2. 当 0≤x＜2 时，g′(x)＞0；当 2＜x≤3 时，g′(x)＜0， 故 g(x)在[0,2)上是增函数，在(2,3]上是减函数． ∴当 x＝2 时， g(x)取最大值， 即将 2 百万元用于技术改造， 1 百万元用于广告促销时，该公司由此获得的收益最大．
2 400 (2)f′(x)＝6－ ， 3x＋52 2 400 令 f′(x)＝0，即 ＝ 6， 3x＋52 25 解得 x＝5 或 x＝－ (舍去)． 3 当 0＜x＜5 时，f′(x)＜0， 当 5＜x＜10 时，f′(x)＞0，故 x＝5 是 f(x)的最小值点， 800 对应的最小值为 f(5)＝6×5＋ ＝70. 15＋5 当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小值 70 万元．